1a Lista de Exercícios de Cálculo 2

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1a Lista de Exercícios de Cálculo 2 – Parte 1 
 
 Questões de 1 a 16, Exercícios 2.8 do Livro da Diva 
1. A posição de uma partícula no plano 𝑥𝑦, no tempo 𝑡, é dada por 𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝑡𝑒𝑡. 
a) Escrever a função vetorial 𝑓(𝑡) que descreve o movimento dessa partícula. 
b) Onde se encontrará a partícula em 𝑡 = 0 e em 𝑡 = 2? 
2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser 
expresso pela função vetorial 𝑟(𝑡) =
1−cos 𝑡
𝑚
𝑖 + (2𝑡 +
𝑡−sen 𝑡
𝑚
)𝑗, onde 𝑚 é a massa do 
besouro. Determinar a posição do besouro no instante 𝑡 = 0 e 𝑡 = 𝜋. 
3. Esboçar a trajetória de uma partícula 𝑃, sabendo que seu movimento é descrito por: 
a) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑖 + (2𝑡2 − 1)𝑗 
b) �⃗�(𝑡) =
2
𝑡
𝑖 +
2
𝑡+1
𝑗, 𝑡 > 0 
c) ℎ⃗⃗(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑗 + 4𝑡2�⃗⃗� 
d) �⃗�(𝑡) = ln 𝑡 𝑖 + 𝑡𝑗 + �⃗⃗�, 𝑡 > 0 
4. Sejam 𝑓(𝑡) = �⃗�𝑡 + �⃗⃗�𝑡2 e �⃗�(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + cos 𝑡 �⃗⃗�, com �⃗� = 𝑖 + 𝑗 e �⃗⃗� = 2𝑖 −
𝑗; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
a) 𝑓(𝑡) + �⃗�(𝑡) 
b) 𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡) 
c) 𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡) 
d) 𝑓(𝑡 − 1) + �⃗�(𝑡 + 1) 
5. Sejam 𝑓(𝑡) = t 𝑖 + 2𝑡2𝑗 + 3t3�⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 2t 𝑖 + 𝑗 − 3t2�⃗⃗�, t ≥ 0. 
Calcular: 
a) lim
𝑡→1
[3𝑓(𝑡) −
1
2
�⃗�(𝑡)] 
b) lim
𝑡→1
[𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡)] 
c) lim
𝑡→1
[(𝑡 + 1)𝑓(𝑡)] 
6. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável. 
a) lim
𝑡→−2
(
𝑡3+4𝑡2+4𝑡
(𝑡+2)(𝑡−3)
𝑖 + 𝑗) 
b) lim
𝑡→2
1
𝑡−2
[(𝑡2 − 4)𝑖 + (𝑡 − 2)𝑗] 
c) lim
𝑡→1
[
√𝑡−1
𝑡−1
𝑖 + (𝑡 − 1)𝑗 + (𝑡 + 1)�⃗⃗�] 
7. Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos 
indicados. 
a) 𝑓(𝑡) = {
|𝑡−3|
𝑡−3
𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ≠ 3
0, 𝑡 = 3
 em 𝑡 = 0 e 𝑡 = 3. 
b) 𝑓(𝑡) = {
𝑡 𝑠𝑒𝑛
1
𝑡
 𝑖 + cos 𝑡 𝑗, 𝑡 ≠ 0
𝑗, 𝑡 = 0
 em 𝑡 = 0 
c) 𝑓(𝑡) = {
𝑡 𝑖 +
√𝑡+2−√2
𝑡
𝑗, 𝑡 ≠ 0
√2 𝑗, 𝑡 = 0
 em 𝑡 = 0 
d) 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑖 − cos 𝑡 𝑗 + �⃗⃗� em 𝑡 = 0 
8. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais: 
a) 𝑓(𝑡) = �⃗� 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + �⃗⃗� cos 𝑡 em [0, 2𝜋], onde �⃗� = 𝑖 e �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 
b) ℎ⃗⃗(𝑡) = 𝑒−𝑡 𝑖 + ln 𝑡 𝑗 + cos 2𝑡 �⃗⃗� 
c) �⃗�(𝑡) = (𝑡2 + 1,
2−𝑡2
𝑡2−2𝑡+1
,
1
√𝑡
) 
9. Esboçar o gráfico da curva descrita por um ponto móvel 𝑃(𝑥, 𝑦), quando o parâmetro 𝑡 
varia no intervalo dado. Determinar a equação cartesiana da curva em cada um dos 
itens: 
a) 𝑥=2 cos 𝑡 
𝑦=2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 0≤𝑡≤2𝜋
 
b) 
𝑥=4 cos 𝑡 
𝑦=4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
𝑧=2, 0≤𝑡≤2𝜋 
 
c) 𝑥=2+4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
𝑦=3−2 cos 𝑡, 0≤𝑡≤2𝜋
 
d) 
𝑥=𝑡+1 
𝑦=𝑡2+4 
 𝑧=2, −∞ < 𝑡 <+∞
 
10. Obter a equação cartesiana das seguintes curvas: 
a) 𝑟(𝑡) = (
1
2
𝑡, 3𝑡 + 5) 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 1, 𝑡2 − 2𝑡 + 2) 
c) 𝑟(𝑡) = (𝑠2 − 1, 𝑠2 + 1, 2) 
11. Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências, e depois escrever uma 
equação vetorial para cada uma: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 
b) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 5𝑦 − 2 = 0 
12. Identificar as curvas a seguir e parametrizá-las. Esboçar o seu gráfico: 
a) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 5𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 
b) 2𝑥2 + 5𝑦2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 
c) 𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 = 0 
d) 𝑥2 − 8𝑦 + 4 = 0 
13. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto 𝐴, na direção 
do vetor �⃗⃗�, onde 
a) 𝐴 (1,
1
2
, 2) e �⃗⃗� = 2𝑖 − 𝑗 
b) 𝐴(0, 2) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 𝑗 
c) 𝐴(√2, 2, √3) e �⃗⃗� = 5𝑖 − 3�⃗⃗� 
14. Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵, sendo: 
a) 𝐴(2, 0, 1) e 𝐵(−3, 4, 0) 
b) 𝐴 (𝜋,
𝜋
2
, 3) e 𝐵(𝜋, −1, 2) 
15. Determinar uma representação paramétrica da reta representada por: 
a) 𝑦 = 5𝑥 − 1, 𝑧 = 2 
b) 2𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 1, 3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 1 
c) 2𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑦 − 𝑥 = 4 
16. Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 4 
b) 𝑦 = 2𝑥2, 𝑧 = 𝑥3 
c) 2(𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 10, 𝑧 = 2 
d) 𝑦 = 𝑥, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 
Questões de 17 a 29, Exercícios 2.14 do Livro da Diva 
17. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: 
a) 𝑓(𝑡) = cos3 𝑡 𝑖 + tan 𝑡 𝑗 + sin2 𝑡 �⃗⃗� 
b) �⃗�(𝑡) = sin 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + 𝑒−2𝑡𝑗 
c) ℎ⃗⃗(𝑡) =
5𝑡−2
2𝑡+1
𝑖 + ln(1 − 𝑡2) 𝑗 + 5�⃗⃗� 
18. Determinar um vetor tangente à curva definida pela função dada no ponto indicado. 
a) 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3), 𝑃(−1, 1, −1) 
b) �⃗�(𝑡) = (𝑡, 𝑒𝑡), 𝑃(1, 𝑒) 
c) ℎ⃗⃗(𝑡) = (sin 𝑡 , cos 𝑡 , 𝑡), 𝑃(1, 0, 𝜋/2) 
19. Mostrar que a curva definida por 𝑓(𝑡) = (
1
2
sin 𝑡 ,
1
2
cos 𝑡 ,
√3
2
) está sobre a esfera unitária 
com centro na origem. Determinar um vetor tangente a essa curva no ponto 𝑃 (0,
1
2
,
√3
2
). 
20. Determinar dois vetores unitários, tangentes à curva definida pela função dada, no ponto 
indicado. 
a) 𝑓(𝑡) = (𝑒𝑡, 𝑒−𝑡, 𝑡2 + 1); 𝑃(1, 1, 1) 
b) �⃗�(𝑡) = (
1
2
𝑡, √𝑡 + 1, 𝑡 + 1) ; 𝑃(1, √3, 3) 
21. A posição de uma partícula em movimento no plano, no tempo t, dada por 
𝑥(𝑡) =
1
2
(𝑡 − 1) 
𝑦(𝑡) =
1
4
(𝑡2 − 2𝑡 + 1) 
a) Escrever a função vetorial 𝑓(𝑡) que descreve o movimento dessa partícula. 
b) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração. 
22. Se 𝑟(𝑡) é o vetor posição de uma partícula em movimento, mostrar que o vetor 
velocidade da partícula é perpendicular a 𝑟(𝑡). 
a) 𝑟(𝑡) = (cos 3𝑡 , sin 3𝑡) 
b) Do item a), mostrar que o vetor aceleração tem sentido oposto ao do vetor posição. 
23. Mostrar que, quando uma partícula se move com velocidade constante, os vetores 
velocidade e aceleração são ortogonais. 
24. Seja 𝑟(𝑡) = 2 cos 𝑤𝑡 𝑖 + 4 sin 𝑤𝑡 𝑗, onde 𝑤 é uma constante não nula. Mostrar que 
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
= −𝑤2𝑟. 
25. Dados 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑗 + 𝑡2�⃗⃗� e �⃗�(𝑡) = 𝑡2 𝑗 − 𝑡 �⃗⃗�, determinar: 
a) (𝑓(𝑡) × �⃗�(𝑡))′ 
b) (𝑓(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡))′ 
26. Sejam 𝑓(𝑡) uma função real duas vezes derivável e �⃗� e �⃗⃗� vetores constantes. Mostrar 
que se �⃗�(𝑡) = �⃗� + �⃗⃗�𝑓(𝑡), então �⃗�′(𝑡) × �⃗�"(𝑡) = 0⃗⃗. 
27. Verificar quais das seguintes curvas são suaves: 
a) 𝑟(𝑡) = 𝑡3𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ∈ [−1, 1] 
b) 𝑟(𝑡) = 𝑡3𝑖 + 𝑡2𝑗, 𝑡 ∈ [
1
2
, 1] 
c) 𝑟(𝑡) = (3 cos3 𝑡 , 3 sin3 𝑡), 𝑡 ∈ [
𝜋
6
,
𝜋
3
] 
28. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas: 
a) 𝑟(𝑡) = (𝑒𝑡 cos 𝑡 , 𝑒𝑡 sin 𝑡 , 𝑒𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
b) 𝑟(𝑡) = (2𝑡3, 2𝑡, √6𝑡2), 0 ≤ 𝑡 ≤ 3 
c) 𝑥 = 𝑡3, 𝑦 = 𝑡2, 1 ≤ 𝑡 ≤ 3 
d) Hélice circular 𝑟(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 4𝑡, 2 sin 𝑡) de 𝑃0(2, 0, 0) a 𝑃1(0, 2𝜋, 2) 
e) Um arco da cicloide 𝑟(𝑡) = 2(𝑡 − sin 𝑡)𝑖 + 2(1 − cos 𝑡)𝑗 
f) 𝑟(𝑡) = (𝑡 sin 𝑡 , 𝑡 cos 𝑡) para 𝑡 ∈ [0, 𝜋] 
29. Escrever a função comprimento de arco de: 
a) 𝑟(𝑡) = (sin
𝑡
2
, cos
𝑡
2
, 2𝑡) 
b) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑡2) 
c) 𝑟(𝑡) = (cos3 𝑡 , sin3 𝑡 ,
3
4
cos 2𝑡) 
d) 𝑟(𝑡) = (cos 2𝑡 , sin 2𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝜋] 
 30) Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas: 
 
1a Lista de Exercícios de Cálculo 2 – Parte 2 (Guidorizzi e Stewart) 
1. Desenhe a imagem ou trajetória das curvas: 
a) �⃗�(𝑡) = (1, 𝑡) d) �⃗�(𝑡) = (cos 𝑡 , 2 sin 𝑡) 
b) �⃗�(𝑡) = (2𝑡 − 1, 𝑡 + 2) g) �⃗�(𝑡) = (𝑡, 𝑡, 1), 𝑡 ≥ 0 
c) �⃗�(𝑡) = (𝑡2, 𝑡) h) �⃗�(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡 , 2) 
2. Calcule 
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 e 
𝑑2�⃗�
𝑑𝑡2
: 
a) �⃗�(𝑡) = (3𝑡2,𝑒−𝑡, ln(𝑡2 + 1)) b) �⃗�(𝑡) = √𝑡2
3
𝑖 + cos 𝑡2 𝑗 + 3𝑡 �⃗⃗� 
3. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto indicado: 
a) 𝐹(𝑡) = (cos 𝑡 , sin 𝑡 , 𝑡) em 𝐹 (
𝜋
3
) b) 𝐹(𝑡) = (
1
𝑡
,
1
𝑡
, 𝑡2) em 𝐹(2) 
4. Suponha que 𝑟: ℝ → ℝ3 seja derivável até a segunda ordem, e que para todo 𝑡 ≥ 0, 
||𝑟(𝑡)|| = √𝑡: 
a) Prove que 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= −𝑟 ∙
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
 em [0, +∞[; 
b) Seja 𝜃 o ângulo entre 𝑟 e 
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. Conclua que 
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋. 
5. Seja 𝑟 ∶ 𝐼 → ℝ3, 𝐼 intervalo, derivável até a segunda ordem. Suponha que 𝑟(𝑡) forneça a 
posição, no instante 𝑡, de um ponto 𝑃 que se move no espaço. Definamos a velocidade 
�⃗�(𝑡) e a aceleração �⃗�(𝑡) de 𝑃, no instante 𝑡, por: �⃗�(𝑡) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
(𝑡) e �⃗�(𝑡) =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
. 
Determine �⃗�(𝑡) e �⃗�(𝑡) sendo: 
a) 𝑟(𝑡) = 𝑡 𝑖 + 𝑡2 𝑗 + 4 �⃗⃗� 
b) 𝑟(𝑡) = cos 𝑡 𝑖 + sin 𝑡 𝑗 + 𝑡 �⃗⃗� 
6. Seja 𝑟(𝑡) = 𝑎 cos 𝑤𝑡 𝑖 + 𝑏 sin 𝑤𝑡 𝑗, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑤 são constantes não nulas. Mostre 
que 
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
= −𝑤2𝑟. 
7. Determine 𝑟 = 𝑟(𝑡), sabendo que: 
a) 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑡 𝑖 + 2 �⃗⃗� e 𝑟(0) = 𝑖 + 𝑗 
b) 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
1+4𝑡2
𝑖 + 𝑒−𝑡𝑗 + �⃗⃗� e 𝑟(0) = �⃗⃗� 
8. Calcule: 
a) ∫ [𝑡 𝑖 + 𝑒𝑡 𝑗]𝑑𝑡
1
0
 
b) ∫ [3 𝑖 + 2 𝑗 + �⃗⃗�]𝑑𝑡
2
1
 
c) ∫ (
4
1+𝑡2
 𝑗 +
2𝑡
1+𝑡2
�⃗⃗�) 𝑑𝑡
1
0
 (J. Stewart) 
d) ∫ (3 sen2 𝑡 cos 𝑡 𝑖 + 3 sen 𝑡 cos2 𝑡 𝑗 + 2 sen 𝑡 cos 𝑡)𝑑𝑡
𝜋/2
0
 (J. Stewart) 
9. Calcule o comprimento da curva dada: 
a) 𝛾(𝑡) = (𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 sin 𝑡), 𝑡 ∈ [0, 2𝜋] 
b) 𝛾(𝑡) = (𝑒−𝑡 cos 𝑡 , 𝑒−𝑡 sin 𝑡 , 𝑒−𝑡), 𝑡 ∈ [0, 1] 
c) 𝛾(𝑡) = (2𝑡 − 1, 𝑡 + 1), 𝑡 ∈ [1, 2]