conceitos basicos de geometria plana

Prévia do material em texto

Conceitos básicos de 
geometria plana
Alfabeto grego Símbolos existe 
 todopara 
semelhante ~
congruente 
igual 
aproximado valor 





• Ponto A
• Reta 
𝐴𝐵
• Plano
r
A
B
α
• Semirreta
• Segmento 
Posições relativas entre retas
• Retas Paralelas 
A distância entre retas paralelas é sempre constante.
• Retas Perpendiculares
ou ortogonais. Retas que
se cruzam formando ângulos
de 90 graus.
• Retas Concorrentes
Ângulos
• Ângulo nulo: α = 0°
• Ângulo agudo: 0° < α < 90°
• Ângulo reto: α = 90°
• Ângulo obtuso: 90° < α < 180°
• Ângulo raso: α = 180°
• Ângulos complementares: soma = 90°
• Ângulos suplementares: soma = 180°
Ângulos entre paralelas e transversais
Ângulos congruentes: Ângulos suplementares:
• o.p.v.: 1 e 4, 2 e 3, 5 e 8, 6 e 7 Colaterais internos: 3 e 5, 4 e 6
• Alternos internos: 3 e 6, 4 e 5 Colaterais externos: 1 e 7, 2 e 8
• Alternos externos: 1 e 8, 2 e 7
• Correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 3 e 7, 4 e 8
Teorema de Tales
Um feixe de paralelas determina sobre duas transversais, segmentos proporcionais.
𝑥
𝑤
=
𝑦
𝑧
e
𝑥+𝑤
𝑥
=
𝑦+𝑧
𝑦
𝑥
𝑧
=
𝑦
𝑤
Semelhança de triângulos
𝑥
𝑥+𝑧
=
𝑦
𝑦+𝑡
=
𝑤
𝑚
ΔABC ~ ΔADE
Triângulos
Classificação quanto aos lados
• Equilátero 
• Isósceles
• Escaleno (todos os lados diferentes)
Classificação quanto aos ângulos
• Retângulo
• Acutângulo (todos os ângulos agudos)
• Obtusângulo (um ângulo obtuso)
• Triângulo equilátero – possui todos os ângulos e lados congruentes.
ℎ =
𝑙 3
2
𝐴 =
𝑙2 3
4
• Triângulo isósceles – possui dois lados congruentes e os ângulos da base 
congruentes.
𝐴 =
𝑏.ℎ
2
• Triângulo retângulo – possui um ângulo reto.
𝐴 =
𝑏.𝑐
2
Teorema de Pitágoras: 𝑐2 + 𝑏2 = 𝑎2
Relações métricas: ℎ2 = 𝑚 . 𝑛
𝑏2= 𝑎.𝑚
𝑏. 𝑐 = 𝑎. ℎ
Pontos notáveis de um triângulo
Ortocentro: encontro das alturas
• Circuncentro: encontro das mediatrizes. Mediatriz é a reta perpendicular ao 
lado que passa pelo ponto médio desse lado.
• Baricentro: encontro das medianas. Mediana é o segmento que une o ponto 
médio do lado ao vértice oposto.
• Incentro: encontro das bissetrizes.
• Diagonais: Segmentos que unem vértices não consecutivos de um polígono
Quadriláteros
Paralelogramo: Quadrilátero que possui lados opostos paralelos
• Paralelogramo (lados e ângulos opostos congruentes).
• Losango: paralelogramo que possui os quatro lados congruentes. 
• Retângulo: paralelogramo que possui os quatro ângulos retos.
• Quadrado: paralelogramo que possui lados e ângulos congruentes.
Trapézio: Quadrilátero que possui um par de lados paralelos.
• Trapézio isósceles: lados não paralelos congruentes.
• Trapézio retângulo: dois ângulos retos.
• Trapézio escaleno: lados não paralelos diferentes.
• Paralelogramo
As diagonais do paralelogramo cortam-se ao meio.
Área: 𝐴 = 𝑏. ℎ
• Losango
As diagonais do losango são perpendiculares.
Área: 𝐴 =
𝐷.𝑑
2
h
b
• Quadrado: 𝐴 = 𝑙2
Diagonal do quadrado: d =𝑙√2
• Retângulo: 𝐴 = 𝑏. ℎ
Trapézios: 𝐴 =
𝐵+𝑏 .ℎ
2
• Trapézio isósceles: 
• Trapézio retângulo: 
Polígonos
3 lados: triângulo 9 lados: eneágono
4 lados: quadrilátero 10 lados: decágono
5 lados: pentágono 11 lados: undecágono
6 lados: hexágono 12 lados: dodecágono
7 lados: heptágono 15 lados: pentadecágono
8 lados: octógono 20 lados: icoságono
• Polígonos regulares são aqueles que possuem lados e ângulos congruentes.
Área: 𝑝. 𝑎 (p é semiperímetro e a é apótema)
• Apótema: segmento que vai do centro do polígono ao lado, perpendicular a 
ele.
𝑂𝐴 é apótema
O
A
Círculo e circunferência
𝐴 = 𝜋𝑟2 e 𝐶 = 2𝜋𝑟
𝑂𝐶 é 𝑟𝑎𝑖𝑜
𝐴𝐵 é 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝐵𝐶 é 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎
෢𝐵𝐶 é 𝑎𝑟𝑐𝑜
AÔC é ângulo central
A ෠𝐵𝐶 é ângulo inscrito
A O B
C
O ângulo central é o dobro do ângulo inscrito de mesmo arco.
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
Polígonos inscritos
Hexágono inscrito
L = R
O triângulo DEO é equilátero
OL é altura do triângulo DEO, que também é 
a apótema do hexágono ℎ =
𝑙 3
2
A área do hexágono é 6 vezes a área do triângulo DEO
A= 6. 
𝑙2 3
4
Polígonos circunscritos