01 UNIDADE 1 CENTRÓIDES

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ESTÁTICA TÉCNICA
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 BIBLIOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA:
FONSECA, ADHEMAR – CURSO DE MECÂNICA
HADADE, MARIA ÂNGELA – FUNDAMENTOS DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS.
BEER JOHNSTON – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
OLIVEIRA, MYRIAM MARQUES – ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
ALMEIDA, MARIA CASCÃO FERREIRA - ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS SUPERFÍCIES PLANAS
UNIDADE 1 
1 AULA
 ESTUDO DOS CENTROS DE GRAVIDADE
 OBJETIVO
O Centro de gravidade é um dos pontos mais importantes para o estudo de problemas da engenharia.
OBJETIVO: Determinar as coordenadas do Centro de Gravidade de um corpo.
CONCEITOS PRELIMINARES
Campo gravitacional é como chamamos a região de perturbação que um corpo gera ao seu redor. 
Dois corpos que possuem massa interagem devido ao campo gravitacional.
 
Em outras palavras, um corpo que possui massa tem sua atração, exercida sobre outros corpos, representada pelo campo vetorial conhecido como campo gravitacional.
 CENTROS DE GRAVIDADE (AF I 265)
Um ponto material, de massa m , na vizinhança de um ou mais campos gravitacionais (terra, lua, sol, estrelas) sofre, em relação a um triedro fixo de referência, várias acelerações produzidas pelas atrações deses campos.
As atrações são proporcionais às massas e inversamente proporcionais aos quadrados das distâncias entre os dois corpos, de modo que as ações dos demais astros podem ser desprezadas, em primeira aproximação, na presença da ação da terra.
A ação da atração da terra associada à força centrífuga decorrente do seu movimento de rotação é que se chama peso do ponto material.
A aceleração correspondente é a aceleração da gravidade g.
 LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Lei da Gravitação Universal de Newton:
"Dois corpos atraem-se com força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade."
Onde:
F=Força de atração gravitacional entre os dois corpos
G=Constante de gravitação universal
M e m = massas dos corpos
d=distância entre os centros de gravidade dos corpos.
 
 PESO DE UM PONTO MATERIAL
Tendo-se um sistema material, isto é, um conjunto de pontos materiais formando um corpo definido, o peso deste sistema material é a resultante dos pesos das partículas que o compõem . Ao ponto de aplicação desta resultante, chama-se CENTRO DE GRAVIDADE ou baricentro do sistema material. 
Assim, o CG de um corpo sólido é o ponto segundo o qual se distribui simetricamente seu peso ou massa ou onde se concentra o peso próprio do mesmo.
P
 PESO DE UM SISTEMA MATERIAL
 PESO DE UM SISTEMA MATERIAL
Cada um dos dos pontos, que constitue o sistema, tem um peso orientado para o centro da terra.
Tem-se um sistema de forças concorrentes no centro da terra, entretanto, o centro da terra está suficientemente distante para que se possa admitir que os pesos dos pontos constituam um sistema de forças paralelas.
 MÓDULO DO VETOR PESO
No campo gravitacional (vetorial) da Terra, a aceleração tem direção radial. 
Nos sistemas de referências utilizados, as grandezas positivas apontam do centro da Terra para fora.
Assim, o campo gravitacional g é negativo para baixo.
O sinal negativo mostra que o campo é atrativo, pois a força tem o sentido oposto ao raio vetor.
 Desta forma temos, matematicamente, o módulo do peso do objeto dado pela equação: 
 DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR PESO
 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO
 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE 
 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
Resumindo: O centro de massa de um corpo, que possa ser dividido em partes componentes das quais se conhece o centro de gravidade, é uma média ponderada das coordenadas dos centros de gravidade das partes, onde o “peso da média”, para cada parte, é a fração da massa total ou do peso total que a massa ou o peso da parte integrante do corpo representa.
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO ESTÁTICO DE UMA SUPERFÍCIE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
Roteiro para determinação do centro de gravidade das superfícies planas, compostas de outras cujo centro de gravidade seja conhecido.
 
Inicialmente verifica-se a possibilidade de desmembramento da superfície desejada em outras componentes , cujos centros de gravidade sejam conhecidos para que em seguida sejam aplicadas as fórmulas 9 e 10.
Caso a superfície admita um eixo de simetria, o seu centro de gravidade estará contido neste eixo, considerando-se que para cada partícula do sólido de um lado desse eixo corresponderá outra idêntica, localizada a uma mesma distância no lado oposto, portanto a resultante dessas partículas estará no eixo de simetria. Se a figura possuir um centro de simetria, este será seu centro de gravidade.
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
Não sendo praticável o desmembramento da superfície em outras mais simples, cujos centros de gravidades sejam conhecidos, procede-se o desdobramento da mesma em partes infinitesimais e aplicam-se as equações 11 e 12.
 Centro de gravidade das figuras planas comuns.
 
Serão determinados o centro de gravidade de algumas das figuras mais utilizadas nos problemas da Engenharia, face à necessidade do seu prévio conhecimento para a obtenção dos centros de gravidade de outras figuras compostas.
 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE
Lembrando:
O centro de gravidade de um corpo é absoluto, contudo, as coordenadas desse ponto variam conforma o referencial.
 DETERMINAÇÃO DAS COORDENADAS DO CENTRO DE GRAVIDADE
 CENTRO DE GRAVIDADE DAS FIGURAS PLANAS COMUNS
 CENTRO DE GRAVIDADE DO TRIÂNGULO
 CENTRO DE GRAVIDADE DO TRIÂNGULO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO TRAPÉZIO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO TRAPÉZIO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO SETOR CIRCULAR 
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO SETOR CIRCULAR
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO SEMICÍRCULO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO SEMICÍRCULO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO QUADRANTE DE CÍRCULO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DO QUADRANTE DE CÍRCULO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DA ÁREA DO SEGMENTO PARABÓLICO
 
CENTRO DE GRAVIDADE DA ÁREA DO SEGMENTO PARABÓLICO
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CENTRO DE GRAVIDADE DO SEMICÍRCULO
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CENTRO DE GRAVIDADE DO SEMICÍRCULO
TEOREMA DE PAPPUS OU DE GULDIN 
 2 AULA
 EXERCÍCIOS SOBRE CENTROS DE GRAVIDADE
 
 EXERCÍCIOS
 
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56
 
 EXERCÍCIOS
 
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 EXERCÍCIOS (FN 21)
 
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