Geocrete_Estática

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Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS pg 
 
 
 
1.0 - APOIOS, LIGAÇÕES E TRANSMISSÕES 1 
1.2 Tipos de Apoios Ligações e Transmissões 1 
1.2.1 Apoios do 1 Gênero 1 
1.2.2 Apoios do 2 Gênero 1 
1.2.3 Apoios do 3 Gênero 1 
 2.0 - SISTEMAS DE CARGAS 2 
2.1 Cargas Concentradas 2 
2.2 Cargas distribuídas 2 
2.3 Cargas Momento 2 
2.4 Carregamento qualquer 
 
3 
 
 
3.0 - AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA 4 
 4.0 - ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 4 
4.1 Reações de apoio 6 
4.2 Exercícios resolvidos 6 
4.3 Exercícios propostos 12 
 5.0 - ESFORÇOS SECCIONAIS 
5.1 Significado prático dos esforços seccionais 15 
5.1.1 Significado do Momento Fletor 15 
5.1.2 Significado do Esforço Cortante 15 
5.1.3 Significado do Esforço Normal 15 
5.2 Momento Torçor 16 
5.3 Convenções de sinais 16 
5.3.1 Convenções de sinais para o Momento Fletor 16 
5.3.2 Convenções de sinais para o Esforço Cortante 16 
5.3.3 Convenções de sinais para o Esforço Normal 16 
5.4 Seções principais de uma estrutura 16 
5.4.1 Seções principais para o Momento Fletor 17 
5.4.2 Seções principais para o Esforço Cortante 17 
5.4.3 Seções principais para o Esforço Normal 17 
5.5 Exercícios resolvidos 17 
5.6 Exercícios propostos 23 
5.7 Diagrama dos esforços seccionais 27 
5.7.1 Carga concentrada 27 
5.7.2 Carga uniformemente distribuída 27 
5.7.3 Carga momento 28 
5.7.4 Casos particulares importantes 28 
5.7.5 Carga triangularmente distribuída 29 
5.7.6 Estrutura submetida a um carregamento qualquer 31 
5.7.7 Regra para diagrama do momento fletor 32 
5.7.8 Regra para o diagrama de esforço cortante 32 
5.7.9 Regra para o diagrama do esforço normal 32 
5.8 Exercícios resolvidos 33 
5.9 Exercícios propostos 45 
5.10 Vigas e Pórticos Articulados 54 
5.11 Exercícios resolvidos 55 
5.12 Exercícios propostos 
 
66 
 6.0 - EXERCÍCIOS ESPECIAIS RESOLVIDOS 72 
 
 
 
 
2 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
ÍNDICE 
 
 
 
 1.0 - CENTRO DE GRAVIDADE Pg. 
 
1.1 Centro da Forças Paralelas 1 
1.2 Centro de gravidade de um corpo sólido 2 
1.3 Centro de gravidade dos corpos homogêneos 2 
1.4 Centro de gravidade de uma superfície plana 2 
1.5 Centro de gravidade de uma superfície irregular 3 
1.6 Momento estático de uma superfície 4 
1.7 Roteiro para determinação do centro de gravidade das superfícies planas 4 
1.8 Centro de gravidade das figuras planas comuns 4 
1.9 Teorema de Papus ou de Guldin 6 
1.10 Exercícios resolvidos 7 
1.11 Exercícios propostos 13 
 
 2.0 - MOMENTO DE INÉRCIA 
 
2.1 Definição do momento de inércia de uma superfície 16 
2.2 Momento polar de inércia 16 
2.3 Raio de giração de uma área 17 
2.4 Momento de inércia das principais figuras planas 18 
2.5 Teorema de Steiner 20 
2.6 Aplicação do teorema de Steiner 21 
2.7 Momento de inércia de áreas compostas 22 
2.8 Exercícios resolvidos 22 
2.9 Exercícios propostos 28 
 
 3.0 - PRODUTO DE INÉRCIA 
 
3.1 Definição do produto de inércia 32 
3.2 Produto de inércia zero em relação a eixos de simetria 32 
3.3 Teorema de Steiner para produto de inércia 32 
3.4 Produto de inércia de um triângulo retângulo em relação aos catetos 33 
3.5 Produto de inércia do triângulo retângulo em relação a eixos baricêntricos 33 
3.6 Produto de inércia do retângulo em relação aos lados 33 
3.7 Produto de inércia do quadrante de círculo 34 
3.8 Produto de inércia de áreas compostas 34 
3.9 Momentos de inércia em relação a eixos inclinados 35 
3.10 Eixos principais de inércia 36 
3.11 Círculo de Mohr 38 
3.12 Exercícios resolvidos 39 
3.13 Exercícios propostos 43 
3.14 Bibliografia 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
1.0 - APOIOS, LIGAÇÕES E TRANSMISSÕES. 
 
No estudo do comportamento das estruturas em engenharia é necessário o conhecimento de como os 
diversos carregamentos, são transmitidos, como são transportados e como as diversas estruturas estão 
ligadas uma ás outras. 
 
Consideremos a estrutura representada na fig.1, constituída por uma viga, dois pilares e duas sapatas 
(fundação). 
Analisando esta estrutura, verificamos que os pilares estão servindo 
de apoio para a viga e estão também transmitindo o peso da mesma 
para as sapatas que por sua vez estão transmitindo este 
carregamento para o terreno de fundação. 
 
Concluimos com isto que uma estrutura poderá simultaneamente 
estar servindo de apoio, ligação ou transmissão, como é o caso dos 
pilares que servem de apoio para a viga, de transmissão do 
carregamento desta para as sapatas e de ligação da viga com as 
fundações. 
 
As sapatas por sua vez servem de apoio para os pilares, de 
transmissão da carga dos pilares para o terreno de fundação e também de ligação entre esses dois últimos. 
 
Na engenharia, esses apoios, ligações ou transmissões são chamados vínculos, cuja designação é relativa, 
dependendo da estrutura que se analisa. 
 
Analisando a fig.1 verificamos que o vínculo entre a viga e os pilares ocorre exatamente nos pontos A e B, e 
que dependendo da “ligação” entre essas estruturas elas terão maior ou menor liberdade de movimento, uma 
em relação a outra. 
 
Para caracterizarmos a liberdade de movimento que as estruturas têm entre si, faremos uma classificação 
dos diversos tipos de ligação em função da movimentação entre elas. 
 
1.2 - Tipos de apoios, ligações e transmissões. 
 
Definiremos agora os diversos tipos de apoios, ligações ou transmissões existentes entre as estruturas, bem 
como a simbologia adotada para representação das mesmas. 
 
1.2.1 - Apoios do 1 Gênero. 
 
Quando uma estrutura está apoiada em outra conforme mostrada na fig.2 a), em que existem duas liberdades 
de movimento, uma na direção horizontal e outro de rotação, classificamos este vínculo como do 1 Gênero, 
pois impede o movimento em apenas uma direção. 
 
A simbologia para representá-lo é a indicada na fig.2 b), onde a 
viga é indicada apenas pelo seu eixo longitudinal. 
 
1.2.2 - Apoios do 2 Gênero. 
 
No caso em que só existe uma liberdade de movimento ( o de 
rotação no caso da fig.3 a), classificamos como apoio do 2 
Gênero, uma vez que impede os movimentos nas direções 
vertical e horizontal e representamos conforme indicado na 
fig.3 b) 
 
 
 
 
 
4 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
1.2.3 - Apoios do 3 Gênero 
Quando são impedidos os movimentos de rotação, vertical e 
horizontal dizemos que o apoio é do 3 Gênero, também 
chamado de engastamento (fig.4). 
 
Vale ressaltar que as liberdades de movimentos analisadas 
nesses três casos foram para estruturas consideradas como 
coplanares, pois a liberdade de movimento na direção 
perpendicular ao plano do papel em que desenhamos seria 
livre no primeiro caso e impedida no segundo e terceiro, caso analisássemos a estrutura tridimensionalmente. 
 
2.0 - SISTEMAS DE CARGAS. 
 
Na engenharia as cargas se apresentam nas mais distintas 
e variadas formas, porém estudaremos nesta unidade 
somente as formas mais comuns de carregamentos usados 
na prática. 
 
2.1 - Cargas Concentradas. 
 
Quando o sistema de transmissão é por exemplo um pilar conforme mostrado na fig.5 a), em que a dimensão 
“b” onde a carga se distribui é desprezivelmente pequena em relação as dimensões da estrutura que está 
transmitindo a carga, podemos considerá-la como concentrada e com erro desprezível, como aplicada em um 
único ponto (fig.5 b)). 
 
2.2 - Cargas distribuídas 
 
Quando a dimensão “b” da zona de distribuição não é 
desprezível em relação as dimensões da peça, somos obrigado 
a considerar a carga como distribuída nessa região de contato. 
 
Pode acontecer que esta distribuição seja constante como é o 
caso do peso da parede mostrada na fig.6 a qual denominamos 
de carregamento “uniformemente distribuido”, onde: 
 
q = constante (peso da parede por unidade de comprimento). 
 
Outra situação bastante comum na prática é quando a 
distribuição não é constante e varia linearmente, como 
ocorre por exemplo nos muros de arrimo e nos 
reservatórios. Neste caso dizemos que a estrutura está 
sujeitaa uma carga triangularmente distribuída (fig.7). 
 
q l h . .
 onde: 
 
h = profundidade do reservatório 
 
l = largura do reservatório 
 

= peso específico do líquido 
 
2.3 - Cargas Momento. 
 
Estas cargas embora não apareçam com frequencia na prática da engenharia é de fundamental importância 
no estudo da hiperestática, onde é mais simples admitir como incógnita hiperestáticas os momentos do que 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
as reações de apoio. 
 
Na prática estas cargas aparecem geralmente em forma de binário ou conjugado, conforme mostra a fig.8 a) 
 
O binário ou conjugado que tem a resultante 
nula, provocará na viga AB um efeito de rotação 
devido ao momento M = P.d. Este momento é 
usualmente representado conforme mostra a 
fig.8 b) para indicar o movimento de rotação 
produzido no ponto de aplicação da carga 
momento. 
 
2.4 - Carregamento qualquer. 
 
Consideremos o carregamento genérico indicado na fig.9, onde não é conhecida a forma do diagrama de 
carga. 
Para determinarmos a resultante deste carregamento devemos 
lançar mão do cálculo integral. Para isto tomemos um elemento de 
carga diferencial dR = q.dx. O módulo da resultante será então: 
 
 
R q dx
a
b
  . .
 (1) 
 
que nada mais é do que a área do diagrama de carga. Para 
determinarmos a posição da resultante apliquemos em relação ao 
ponto “O” o teorema de Varignon, “O momento das componentes é 
igual o momento da resultante”, ou seja: 
 
q dx x d q dx d
q x dx
q dx
a
b
a
b
a
ba
b
. . . .
. .
.



  
 
 
A expressão acima representa a distância do centro de gravidade do diagrama de cargas ao eixo “y”. Assim 
sendo conclui-se que : “a resultante das cargas distribuídas é igual a área do diagrama de carga e passa pelo 
seu centro de gravidade”. 
 
Como exemplo de aplicação determinaremos a resultante da distribuição de carga triangular indicada na 
fig.10. 
 
O valor da resultante é igual a área do diagrama de carga: 
R t 
2 15
2
15
.
 
Para determinarmos a sua posição basta localizarmos o centro de 
gravidade do triângulo (fig.11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 - AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTÁTICA. 
 
 
 
 
 
 
6 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
Consideremos um corpo qualquer submetido a um sistema de “n” forças 
coplanares, conforme mostrado na fig.12. Sabemos da estática que o 
corpo estará em equilíbrio se forem satisfeitas as seguintes condições: 
 
a) A resultante do sistema de forças deve ser nula: 
 
   
F F F Fn1 2 3 0    ...
 (2) 
 
b) A soma dos momentos das forças em relação a um ponto qualquer 
deve ser nula: 
 
F d F d F d F dn n1 1 2 2 3 3 0. . . ... .    
 (3) 
 
onde 
d d d dn1 2 3, , ,...
 são as distâncias das retas suporte das forças ao ponto qualquer considerado. Para 
simplificarmos a equação (2), e transformá-la em uma soma algébrica uma vez que esta é vetorial, 
decompomos todas as forças segundo duas direções, uma horizontal (paralela ao eixo “x”) e a outro vertical 
(paralela ao eixo “y”). 
 
Pelo teorema de Varignon a resultante será a soma algébrica das componentes horizontais e das 
componentes verticais, uma vez que as forças passam a ser paralelas, o que transformará a equação vetorial 
(2) nas seguintes somas algébricas: 
 
1) 
 0H
 (soma das componentes horizontais igual a zero) 
 
F F F Fn n1 1 2 2 3 3 0.cos .cos .cos ... .cos        (4) 
 
2) 
 0V
 (soma das componentes verticais igual a zero) 
 
F F F Fn n1 1 2 2 3 3 0.sen .sen .sen ... .sen        (5) 
 
As estruturas isostáticas serão resolvidas com utilização das duas equações acima e mais a equação (3) que 
representaremos sempre da seguinte maneira: 
 
M
P
 0
 (soma dos momentos das forças em relação a um ponto “P” qualquer igual a zero) 
 
4.0 - ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS. 
 
Uma estrutura é dita isostática quando o número de vínculos é o estritamente necessário para que a estrutura 
permaneça em equilíbrio. Neste caso será resolvida somente com utilização das equações de equilíbrio da 
estática (3), (4) e (5), pois o número de incógnitas será sempre igual ao número de equações. 
 
No caso em que os vínculos são em quantidades superiores aos estritamente necessários para o equilíbrio, 
dizemos que a estrutura é hiperestática, pois o número de incógnitas será superior ao número de equações 
da estática, e para resolvê-las devemos recorrer a outros recursos que não fazem parte deste curso. 
 
Outro caso que devemos evitar na prática é aquele em que os vínculos não são suficiente para que a 
estrutura permaneça em equilíbrio. Neste caso o equilíbrio será dito instável, o número de equações será 
superior ao número de incógnitas e a estrutura será dita hipostática. 
 
Como o objetivo básico deste curso são as estruturas isostáticas, dentre as principais podemos citar as 
seguintes: 
 
 
 
7 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
a) Vigas biapoiadas (fig.13). 
 
 
 
 
b) Quadros e pórticos biapoiados (fig.14). 
 
 
 
c) Vigas e pórticos engastados (fig.15). 
 
 
 
 
d) Pórticos triarticulados (fig.16). 
 
 
e) Vigas articuladas ou Gerber (fig.17) 
 
 
 
Os articulados são sistemas isostáticos, uma vez que a introdução de uma ligação do segundo gênero liberta 
a estrutura segundo uma direção, criando mais uma equação (estudaremos estas estruturas mais adiante 
com detalhes). 
 
 
8 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
4.1 - Reações de apoio. 
 
Consideremos a estrutura mostrada na fig.18, constituída por 
uma viga apoiada em dois pilares. Para dimensionarmos os 
pilares necessitamos saber qual as cargas que os mesmos 
estão suportando. Nesta caso dizemos que os pilares estão 
servindo de “apoio” para a viga. 
 
Calcular as reações de apoio significa determinar as cargas 
que os pilares estão suportando, pois se a viga está 
exercendo uma força em cada pilar os mesmos reagirão igual 
e contrariamente (princípio da ação e reação). 
 
Para determinarmos estas reações devemos representar esta estrutura conforme mostrado na fig.19, onde A 
e B representam os pilares, sendo A um apoio do 2 Gênero uma vez que o movimento da viga está impedido 
nas duas direções (horizontal e vertical) e B do 1 do primeiro Gênero, devido ao impedimento somente na 
direção vertical. 
 
 
As reações exercidas pelos pilares, 
V H e VA A B, ,
são 
as cargas que os mesmos estão suportando e que 
desejamos determinar, pois o carregamento na viga é 
conhecido. Para determinarmos esta reações de apoio 
basta aplicarmos as equações de equilíbrio da estática 
(3), (4) e (5) ou seja: 
 
       0 01 2V V P P q lA BV .sen .
 
 
V V P P q lA B   1 2 .sen .
 
 
      0 02 2H P H PAH A.cos .cos 
 
M V l P x P x q l
l
V
P x P x q
l
lB BA
       
 
 0 2 0
2
1 1 2 2
1 1 2 2
2
. . .sen . .
. .sen .  
 
Como temos três incógnitas ( 
V H e VA A B, ,
) e três equações, o sistema é possível de ser resolvido e a 
estrutura é isostática. No cálculo das resultantes vertical e horizontal devemos adotar que as forças em um 
sentido são positiva e no sentido contrário negativa, analogamente os momentos serão positivos em um 
sentido de rotação e negativo em sentido contrário. 
 
Devemos lembrar também conforme visto em 2.4 que o módulo da resultante do carregamento distribuído é 
igual á área do diagrama de carga e passa pelo seu cento de gravidade. 
 
 
4.2 - Exercícios resolvidos. 
 
A seguir apresentaremos alguns exercícios resolvidos, relativo ao cálculo das reações de apoio de algumas 
estruturas isostáticas. 
4.2.1 - Determinar as reações de apoio para a viga biapoiada da fig.20. 
 
 
 
 
 
9 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
   0 0HAH
 (não há carregamento horizontal) 
          0 2 1 3 0 6V V V V tA B A BV
 
M V V tB B
A
        0 2 15 1 35 3 55 7 0 330. , . , . , ,
 
como: 
V V t V tA B A   6 2 7,
 
 
4.2.2 - Determinar as reações de apoio para a viga da fig.21, submetida à cargamomento indicada. 
 
 
 
   0 0HAH
 (não há carregamento horizontal) 
       0 0V V V VA B A BV
 
M V V tB B
A
      0 5 2 0 0 4,
 
V tA  0 4,
 (sentido contrário ao indicado na fig.21) 
 
4.2.3 - Determinar as reações de apoio para a viga biapoiada da fig.22, submetida à carga concentrada e às 
cargas momento nos apoios. 
 
 
 
   0 0HAH
 (não há carregamento horizontal) 
    0 3V VA BV
 
M V V tB BA
        0 2 3 3 3 7 0 143. ,
  
V V tA A   3 143 147, ,
 
 
4.2.4 - Para a estrutura apresentada na fig.20, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
10 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
   0 0HAH
 (não há carregamento horizontal) 
           0 2 3 2 2 8 0 23V V V V tA B A BV .
 
M V V tB BA
         0 8 2 2 3 5 2 7 2 8 4 0 1213. . . . . ,
 
V V t V tA B A     23 23 1213 1087, ,
 
 
4.2.5 - Para a estrutura representada na fig.24, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
      0 2 60 0 1H H tA o AH cos
 
         0 2 4 2 60 0 9 73V V V V tA B o A BV . sen ,
 
M V V t V to B B AA
         0 2 4 2 3 2 60 7 9 0 346 6 27. . sen . , ,
 
 
4.2.6 - Para a estrutura representada abaixo (fig.25), determinar as reações de apoio. 
 
 
 
   0 0HAH
 (não há carregamento horizontal) 
          0 2 3
4 3
2
1 0 13V V V V tA B A B
V
.
.
 
 
 
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Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
M V V t V tB B A
A
   





        0 2 3 15
4 3
2
4
3
3 1 5 7 0 571 7 29. . ,
.
. , ,
 
 
4.2.7 - Para o pórtico mostrado na fig.26 determinar as reações de apoio. 
 
 
 
 
      0 3 0 3H H tA AH
 
        0 2 1 5 2 0 9V V tA AV .
 
M M M tA A
A
          0 1 5 05 2 2 3 3 2 3 0 4 5. . , . . . ,
(sentido contrário ao indicado na fig.26). 
 
4.2.8 - Determinar as reações de apoio do pórtico sujeito à carga verticalmente distribuída e à ação horizontal 
do vento conforme mostrado na fig.27. 
 
 
 
 
      0 2 4 0 8. H H tB BH
 
        0 3 4 0 12V V V V tA B A BV .
 
 
 
12 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
M V V t V tB B B
A
        0 2 4 2 3 4 2 4 0 10 2. . . .
 
 
4.2.9 - Para a viga inclinada indicada na fig.28, pede-se calcular as reações de apoio. 
 
 
 
 
A resultante da carga distribuída é: 
R q AB .
 
A componente vertical vale: 
V q AB . cos
 
A componente horizontal é : 
H q AB . sen
 
Como 
cos 
a
AB
 e 
sen 
b
AB
 teremos: 
 
V q AB
a
AB
q a . .
 e 
H q AB
b
AB
q b . .
 
 
Isto significa que o carregamento é equivalente ao indicado abaixo (fig.29), o que torna mais simples o cálculo 
das reações de apoio. 
 
 
 
 
 
      0 0H q b H q bA AH . .
 
 
 
13 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
        0 0V V q a V V q aA B A BV . .
 
M V a q b
b
q a
a
V a
q b q a
V
q
a
a bB B B
A
      

   0 2 2 0 2 2
2 2
2 2. . . .
. .
( )
 
V q a V V q a
q a b
a
q
a
a a b V
q
a
a bA B A A    

     . .
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
 
 
4.2.10 - Para o pórtico representado na fig.30 determinar as reações de apoio. 
 
 
 
Como vimos no exercício anterior a estrutura é equivalente à mostrada na fig.31, onde fica mais simples o 
cálculo das reações de apoio. 
 
 
      0 2 12 0 24H H tB BH .
 
        0 20 0 20V V V V tA B A BV
 
M V V t V tA A
B
B        0 10 2 10 5 0 10 10. . .
 
4.3 - Exercícios propostos 
 
 
 
14 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
4.3.1 - Para a estrutura apresentada na fig.32, submetida ao carregamento triangularmente distribuído, 
calcular as reações de apoio. 
 
 
 
4.3.2 - Determinar a reações de apoio para a estrutura da fig.33. 
 
 
 
4.3.3 - Para a estrutura em balanço da fig.34, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
4.3.4 - Para o pórtico engastado da fig.35, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
4.3.5 - Determinar as reações de apoio para a viga com duplo balanço da fig.36. 
 
 
4.3.6 - Para o pórtico da fig.37, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
15 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
4.3.7 - Para o pórtico engastado da fig.38, determinar as reações de apoio. 
 
 
 
4.3.8 - Para o pórtico representado na fig.39, determinar as reações de apoio. 
 
 
4.3.9 - Para o pórtico ilustrado abaixo determinar as reações de apoio (fig.40). 
 
 
 
16 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
4.3.10 - Determinar as reações de apoio para o pórtico da fig.41. 
 
 
 
 
 
4.3.11 - Para o pórtico representado abaixo, determinar as reações de apoio (fig.42). 
 
 
 
 
 
5.0 - ESFORÇOS SECCIONAIS 
 
 
 
17 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Para determinarmos os esforços a que a seção “S” da fig.43 está submetida, é necessário que saibamos que 
tipo de ligação existe nesta seção. Verificamos facilmente que a parte da viga situada à esquerda da seção 
“S” está ligada à parte situada a direita, através de uma ligação do terceiro gênero, ou seja um engastamento, 
uma vez que estão impedidos os movimentos vertical, horizontal e de rotação. 
 
Assim sendo poderemos separar a estrutura na seção “S”, 
conforme mostrado na fig.44. Após a separação da estrutura, 
esta seção transforma-se em um apoio do terceiro gênero, 
apresentando as reações 
Q N e MS S S, .
 
 
Estas reações nada mais são do que os esforços que atuam 
na seção considerada e por esta razão são chamadas de 
esforços seccionais. Analisando as condições de equilíbrio da estrutura verificamos que estes esforços 
podem ser calculados utilizando-se as forças situadas à esquerda ou à direita da seção “S” , uma vez que 
eles são iguais e de sentidos contrários, em função do princípio da ação e reação. 
O esforço 
QS
, é igual a resultante das cargas verticais situadas à esquerda (ou à direita) da seção sendo 
denominado de Esforço Cortante. 
 
O momento 
MS
 é igual ao momento resultante da 
cargas situadas à esquerda (ou à direita) da seção 
sendo denominado de Momento Fletor. 
 
A reação 
NS
 é igual a resultante das cargas 
horizontais que atuam à esquerda da seção (ou à 
direita) e é denominado de Esforço Normal, por ser 
perpendicular ao plano da seção “S”. 
 
5.1 - Significado prático dos esforços seccionais. 
 
Para melhor entendimento dos efeitos provocados pelos esforços seccionais sobre as estruturas, ilustraremos 
a seguir o significado prático dos mesmos. 
 
5.1.1 - Significado do Momento Fletor. 
 
Conforme mostrado na fig.45, o momento fletor tende a fletir a peça, provocando efeitos de tração na parte 
inferior e compressão na parte superior para vigas simplesmente apoiadas (fig.45 a)) e esforços contrários no 
caso de vigas engastadas (fig.45 b)). 
 
5.1.2 - Significado do Esforço Cortante. 
 
Conforme podemos constatar na fig.46, o 
esforço cortante tende a provocar nas 
estruturas um efeito de corte paralelo á 
seção. 
 
5.1.3 - Significado do Esforço Normal. 
 
O esforço normal de tração realiza um alongamento na peça. Todos 
os elementos serão distendidos (fig.47). 
 
O esforço normal de compressão provoca um encurtamento na peça. Todos os elementos sofrerão um 
encurtamento “dv”, que é a deformação por compressão (fig.48). 
 
 
 
 
 
 
18 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
5.2 - Momento Torçor. 
 
Todos os esforços secionais estudados até aqui foram para estruturas planas carregadas no próprio plano. 
No caso de se tratar de uma estrutura espacial, como por exemplo aquela mostrada na fig.49, a carga P, 
produz na seção “S”, um momento P.l, cujo efeito será o de girar esta seção em torno do eixo longitudinal da 
viga que a contém ou seja realiza um efeito de torção na peça, por esta razão é denominado de Momento 
Torçor. O estudo das estruturas espaciais não fazem parte dos objetivos deste curso. 
 
5.3 - Convenções de sinais. 
 
No cálculo dos esforços seccionais podemos utilizaras forças situadas à 
esquerda ou à direita da seção em estudo (fig.44). Obviamente os 
resultados terão sinais trocados. 
 
Para evitarmos este inconveniente, é necessário adotarmos uma convenção 
de sinais de tal maneira que a adotada para as cargas de uma lado da 
seção seja contrária à do outro. 
 
Assim sendo estabeleceu-se a seguinte convenção de sinais para cálculo 
dos esforços seccionais. 
 
5.3.1 - Convenções de sinais para o Momento Fletor. 
 
Para o cálculo do momento fletor em relação a uma seção “S” (fig.50), entrando com as cargas situadas á 
esquerda desta seção, devemos considerar positivos os momentos no sentido horário e negativo no sentido 
anti-horário. 
 
Calculando com as cargas da direita devemos inverter esta convenção, 
ou seja negativo no sentido horário e positivo no sentido anti-horário. 
 
5.3.2 - Convenções de sinais para o Esforço Cortante. 
 
Para o cálculo do esforço cortante atuante em uma seção “S” (fig.51), considerando as cargas situadas à 
esquerda desta seção, devemos considerar positiva aquelas voltadas para cima e negativa aquelas voltadas 
para baixo. Com as cargas da direita a convenção se inverte. 
 
5.3.3 - Convenção de sinais para o Esforço Normal. 
 
A convenção de sinais para o cálculo do esforço normal atuante em 
uma seção “S”., independe das cargas estarem situadas à esquerda 
ou à direita, isto é convenciona-se que será positivo quando as 
cargas provocarem efeito de tração e negativo quando este efeito for de compressão (fig.52). 
 
5.4 - Seções principais de uma estrutura. 
 
Para determinação dos esforços seccionais (assunto do próximo 
capítulo) necessitaremos conhecer os esforços nas seções onde há 
mudança na forma do diagrama, ou seja mudança na equação 
analítica que o representa. 
Descreveremos a seguir as seções principais de uma estrutura. 
 
 
 
 
 
 
19 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
5.4.1 - Seções principais para o Momento Fletor. 
 
a) Seções em que há cargas concentradas não paralelas à barra que contém a seção; 
b) Onde inicia e termina um carregamento distribuído; 
c) Seções vizinhas aquelas onde há carga momento aplicada; 
d) Seções onde há rótulas; 
e) Aquelas adjacentes ao ponto de encontro de duas ou mais barras. 
 
5.4.2 - Seções principais para o Esforço Cortante. 
 
a) Aquelas adjacentes ao ponto de aplicação de uma carga concentrada não paralelas à barra que contém a 
seção; 
b) Onde inicia e termina um carregamento distribuído; 
c) Aquelas adjacentes ao ponto de encontro de duas ou mais barras. 
 
5.4.3 - Seções principais para o Esforço Normal. 
 
a) Aquelas adjacentes ao ponto de aplicação de cargas concentradas não perpendiculares à barra que 
contém a seção; 
b) As vizinhas ao ponto de encontro de duas ou mais barras. 
 
5.5 - Exercícios resolvidos. 
 
5.5.1 - Para a viga simples abaixo determinar os valores dos esforços simples em “S” (fig.53). 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A        5 8 4 4 12 0 25 25, ,
 
 
Esforços seccionais em “S” (cargas da esquerda). 
 
M t.m Q t NS S S      25 3 2 1 55 25 2 05 0, . . , , ,
 
 
5.5.2 - Para a viga biapoiada representada na fig.54, determinar os valores dos esforços simples em C. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
 
20 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
V V t V t V t V tA B B B A         
1
2
3 3 3 4 165 7
1
2
3 3
2
3
3 12 5 69 986 664. . . , . . . . . , ,
 
 
Esforços simples em C. 
 
M t.m Q t NC C C      664 3
1
2
3 3
1
3
3 1542 664
1
2
3 3 214 0, . . . , , . ,
 
 
5.5.3 - Para o quadro simples apresentado na fig.55, determinar os valores dos esforços simples em “S”. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V H V t V t H tA B B B B A B              4 3 4 11 10 2 8 6 21 48 0 63 4 7 2, ,
 
 
Esforços simples em “S”. 
 
M t.m Q t N tS S S        4 7 3 2 3 4 2 01 4 7 4 0 7 2, . . . , , ,
 (esforço de compressão). 
 
5.5.4 - Para a estrutura representada na fig.56, determinar os valores dos esforços seccionais na seção “D”, 
no meio da haste 
AC
. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A     8 6 12 2 6
 
Esforços seccionais: 
 
 
21 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
M t.m Q t N tS D D       6 1 6 6 2 7 6 534. .cos , .sen ,  (compressão) 
 
Para o cálculo do esforço cortante e esforço normal decompomos a força 
VA
, em duas componentes , uma 
perpendicular a barra 
AC
 e a outra paralela a mesma. 
 
AC       16 4 4 47
4
4 47
089
2
4 47
0 45, sen
,
, cos
,
, 
 
 
5.5.5 - Para a estrutura da fig.57, determinar os valores dos esforços simples em B e C. 
 
 
 
Momentos fletores: 
 
M t.m M t.mB C         3 15 45 3 5 6 8 3 4 5 45 675. , , . . . . , ,
 
 
Esforço cortante em B: 
 
Q t1 3 3 6  
(cargas da direita), 
Q t2 3
(cargas da direita) 
 
Esforço cortante em C: 
 
Q t3 4 6 2   
(cargas da direita), 
Q t4 6
(cargas da direita) 
 
Esforços normais: 
 
NB  0
(carga da direita) 
N tC      3 3 5 11
(compressão) 
 
Observar que não houve necessidade do cálculo das reações de apoio em virtude de podermos calcular os 
esforços com as cargas do lado em que estas não aparecem. 
 
Nas seções de aplicação de cargas concentradas, existe um descontinuidade do esforço cortante, havendo 
necessidade de calcularmos este esforço em seções vizinhas à mesma (infinitamente próximas), como foi 
feito para os as seções B e C. 
 
Para uma estrutura vertical as cargas situadas à esquerda ou á direita de uma seção depende da posição do 
observador. 
 
 
22 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
5.5.6 - Para a estrutura mostrada na fig.58, calcular os esforços simples nas seções principais. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A         4 2 6 8 2 14 8 3 3
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M t.m M t.mA B C E      0 12 8 4 3 1 3.
 
M M t.m M t.mD        1 23 2 2 2 2 3 2 2 4. .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t.m Q Q t Q tA B C E             3 3 3 4 1 2 3 1 33 4
 
 
No ponto de aplicação de uma carga momento há uma descontinuidade no momento fletor, sendo necessário 
calcularmos estes esforços em seções vizinhas (infinitamente próximas a esta seção). 
QA
e
QB
 são os 
esforços cortantes em seções infinitamente próximas a direita de A e a esquerda de B, respectivamente. 
 
5.5.7 - Para o pórtico mostrado na fig.59, determinar os valores dos esforços simples nas seções principais. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V t H tA B A A B B        8 4 3 25 8 2 0 213 587 3. , . , ,
 
Momentos fletores: 
 
M M M M t.m M t.m M M M t.mA B C D               0 3 15 45 3 15 45 3 4 121 2 3 4. , , . , , .
 
 
 
23 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
Esforços cortantes: 
 
Q Q t Q Q t Q t Q Q t Q tA B C D         0 3 3 213 587 31 2 3 4, ,
 
 
Esforços normais: 
 
N t N t N N t N t N N t N tA B C D             587 587 587 3 3 5871 2 3 4, , , ,
 
 
5.5.8 - Determinar os valores dos esforços simples nas seções principais da estrutura representada na fig.60. 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A            8 8 2 20 30 28 10 8 4 10 4 8 10 2 13 17 8 10 2sen . . . . , ,

 
 
H tB  20 30 17 3cos ,

 
 
Momentos fletores: 
 
M M t.m M t.mA C D       0 102 4 4 2 32 8 102 8 10 4 8 4 9 6, . . , , . . . ,
 
 
M t.mB     4 1 2 3 10. .
 (cargas da direita) 
M t.m ME F    2 1 2 0.
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q Q t Q t Q tA C D                102 102 4 62 102 4 10 38 104 4 10 4 781 2, , , , , , ,
 
 
Q Q t Q t Q tB E          3 4178 4 2 118 4 2 6 2, ,
 
 
Esforços normais: 
 
N N N tC    1 20 17 3,
(compressão) 
N N t NB    3 417 3 0,
 
 
Observar que também para o esforço normal na seção em que há uma carga concentrada perpendicular ao 
plano da seção, há uma descontinuidade, havendo necessidade de calcularmos estes esforçosem seções 
infinitamente próximas. 
 
 
5.5.9 - Determinar os valores dos esforços simples nas seções principais da estrutura da fig.61. 
 
 
 
 
 
24 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A          2 4 2 8 5 2 15 4 4 2 1 34 4 6. , . . , ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M t.m M t.m M t.mE A C             0 2 1 2 2 1 2 2 2 5 4 6 15 191 2. . . , , . , ,
 
 
M M M t.m MD B     3 4 34 2 4 1 28 0, . . ,
 
 
 
 
 
 
AD       1 3 316
1
316
032
3
16
0952 2 , sen
,
, cos , 
 
Q Q Q t Q tE A       0 2 2 095 4 6 095 2 471 2 . , , . , ,
 
 
Q Q t Q tC        5 62 095 4 6 095 2 47 2 47 2 095 057. , , . , , , . , ,
 
 
 
Q Q t Q tD      3 4057 34 4 06, , ,
 
 
Esforços normais: 
 
N N N tA      1 20 2 0 32 4 6 0 32 083. , , . , ,
 
 
N N t N tC        5 6083 083 2 032 019, , . , ,
 
 
5.5.10 - Para a estrutura da fig.61a, determinar os valores dos esforços seccionais nas seções principais. 
 
 
 
 
 
25 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V t H tA B B B A A            2 2 4 8 1 2 4 1 2 2 0 05 35 1. . , ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M t.m M M t.m M t.m M t.m MA C F                1 1 1 3 2 2 2 4 1 3 2 2 1 6 01 2 3. . . .
 
MD     35 4 1 3 2 6 1 0, . . .
 
M M t.m M t.m M t.mE B         4 51 1 3 2 1 1 3 2 1. .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q Q t Q t Q t Q tA C F            1 1 2 2 35 15 21 2 3 , ,
 
Q Q t Q t Q Q t Q t Q tD E B               6 7 4 52 35 15 2 35 2 05 05 1 1, , , , ,
 
 
Esforços normais: 
 
N t N N t N N t NA C F        35 35 0 1 01 2 3, ,
 
N N t N t N tE B      4 51 05 05, ,
 
 
5.6 - Exercícios propostos 
 
5.6.1 - Para a viga representada na fig.62, determinar os valores dos esforços simples na seção E. 
 
 
 
 
 
Resp. 
M t.m Q tE E 5 2 5,
 
 
 
 
 
 
 
5.6.2 - Para a estrutura representada na fig.63, 
determinar os valores dos esforços simples em S. 
 
 
 
 
 
26 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
M t.m Q t N tS S S    4 178 089, ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.3 - Determinar os esforços simples nas seções principais da estrutura da fig.64. 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
M M M t.mA B C  0 54,
 
Q t Q t Q Q t Q tA B C      37 33 17 031 2, , , ,
 
 
 
 
 
5.6.4 - Para o pórtico engastado da fig.65, pede-se os valores dos esforços simples em S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
M t.m Q t N tS S S    867 1 8,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6.5 - Para a viga biapoiada representada na fig.66, determinar os valores dos esforços simples em C e D. 
 
 
 
 
 
 
27 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
Resp. 
M t.m M t.mC D 6 12
 
 
Q t Q tC D 3 0
 
 
 
 
 
5.6.6 - Para a viga em balanço representada na fig.67, determinar os esforços simples nas seções principais. 
 
 
 
Resp. 
 
M M M M t.m M t.mC D E A B      0 6 4
 
Q t Q Q t Q t Q tD A D       2 4 4 21 2
 
Q Q t Q t Q Q t Q tB C        5 6 3 45 4 2 3
 
 
 
5.6.7 - Para o pórtico apresentado na fig.68, determinar os valores dos esforços simples nas seções 
principais. 
 
 
Resp. 
 
M M M M M t.m M M M t.mA B C D         0 125 151 2 3 4,
 
Q Q Q t Q t Q Q t Q t Q tA C D B         0 5 2 3 5 51 2 3 4
N t N N t N t N N t N t N tA C D B             2 2 5 5 3 31 2 3 4
 
 
5.6.8 - Determinar os valores dos esforços simples nas seções principais do 
pórtico da fig.69. 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
M M M M M t.m M t.mA B E C     0 25 291 2
M M t.m M t.m M t.mD    3 4 554 36 18
 
Q t Q Q t Q t Q t
Q t Q t
A D
E B
      
   
884 884 13 05
5 85
3 4 5, , ,
,
N t N N t N NA C      884 884 0 03 4 5, ,
 
 
 
 
 
5.6.9 - Determinar os valores dos esforços simples 
nas seções principais do pórtico da fig.70. 
 
 
 
 
 
 
 
28 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
Resp. 
 
M M M t.m M M M t.mA B C D       0 125 1251 2, ,M M M t.mE    3 4 475,
 
Q t Q Q t Q tA C      039 039 355 6, , ,
 
Q Q t Q t Q tD B     1 235 4 5 7 4, , ,
 
Q Q t Q tE     3 495 7 4, ,
 
N t N N t N t N tA C B     034 0 34 284 5995 6, , , ,
N N t N N N N tD E      1 2 3 4284 0 0 599, ,
 
 
5.6.10 - Determinar os valores dos esforços simples nas seções principais do pórtico mostrado na fig.71. 
 
 
Resp. 
 
M t.m M M t.m M t.m M t.mA B        1 3 2 11 2 3
 
M M t.m M t.m M t.mD       4 5 62 6 8
 
M M ME F C   0
 
Q t Q Q t Q Q t Q tA B C       1 1 0 1 11 2 3
 
Q Q Q t Q t Q t Q tD F E      4 5 60 3 4 0 3
 
N t N N t N t N tA B        8 8 7 11 2 3
 
N N t N N N t N ND C E F        4 5 67 0 0 1 0
 
5.7 - Diagrama dos esforços seccionais 
 
 
 
29 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Até o momento aprendemos a calcular os esforços simples em algumas seções e nas seções principais das 
estruturas. Na engenharia entretanto necessitamos conhecer os valores dos esforços simples em todas as 
seções da estrutura que está sendo analisada. Para isto aprenderemos a desenhar um gráfico ou diagrama 
que representa os esforços em todas as seções da peça. Iniciaremos a seguir o estudo com os 
carregamentos mais simples. 
 
5.7.1 - Carga concentrada 
 
Seja a viga biapoiada, submetida a uma carga concentrada P, conforme mostra a fig.72. 
Consideremos uma seção genérica 
Sx
 a uma distância “x” do apoio 
A (x  a). O momento fletor nesta seção será: 
 
M
P b
l
xx 
.
.
 
 
que é uma equação linear do tipo y = K.x, para 
x Mx  0 0
 e para 
x a M
P ab
l
x  
.
. Se considerarmos a seção 
Sx
 a uma distância x  b , a equação analítica do momento 
fletor será 
M
P ab
l
xx 
.
.
 o que nos dá para 
x Mx  0 0
 e para 
x b M
P ab
l
x  
.
. Usando o próprio 
eixo da barra como eixo “x” podemos representar graficamente a equação do momento fletor conforme 
indicado na fig.73a. 
 
Para o esforço cortante verificamos que à esquerda de P, a 
equação será: 
 
Q
P b
l
x 
.
 e à direita 
Q
P a
l
x  
.
 
 
equações analíticas que podem ser representada conforme 
mostrado na fig.73b. 
 
Estes gráficos são conhecidos como Diagrama de Momento Fletor 
(D.M.F.) e Diagrama de Esforço Cortante (D.E.C.). 
 
5.7.2 - Carga uniformemente distribuída. 
 
Consideremos uma seção 
Sx
 situada a uma distância “x” do apoio A, conforme mostrado na fig.74. 
O momento fletor nesta seção será: 
M
q l
x
q x
x  
. .
2 2
2 
 
esta equação representa um parábola do segundo grau. Para determinarmos o valor máximo desta parábola 
derivamos e igualamos a zero, ou seja: 
 
dM
d
q l
q xx
x
  
.
.
2
0
  
x
l

2
 significando que o máximo momento está no meio do vão e seu valor é: 
 
 
 
 
30 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
M
ql l q l q l
max 





 





 
2 2 2 2 8
2 2
.
.
 
 
Nos apoios A e B os momentos fletores são nulos uma vez 
que: 
para 
x Mx  0 0
 e para 
x l M
q l
l
q l
x    
.
.
.
2 2
0
2
 
Assim sendo podemos representar o diagrama dos momentos 
fletores pela parábola indicada na fig.74. 
 
A equação dos esforços cortantes será: 
 
Q
q l
q xx  
.
.
2
 
 
que representa a equação de uma reta. Nos apoios os valores dos esforços cortantes serão os seguinte: 
 
para 
x Q
q l
x  0
2
.
 e para 
x l Q
q l
q l
q l
x     
.
.
.
2 2
 
Podemos verificar também que o esforço cortante nada mais é que a derivado do momento fletor ou seja: 
 
dM
d
q l
q x
x
x
 
.
.
2
 
 
significando que o esforço cortante é nulo onde o momento fletor é máximo, isto é: 
 
Q
q l
q x x
l
x      0 2
0
2
.
.
 para este valor de “x” o momento fletor vale 
M
ql l q l q l
max 





 





 
2 2 2 2 8
2 2.
 
 
Uma construçãogeométrica bastante prática para desenharmos 
a parábola do segundo grau que representa o diagrama dos 
momentos fletores para uma carga uniformemente distribuída é 
aquela indicada na fig.75. 
 
A partir do ponto médio da viga AB, marcamos uma 
perpendicular 
MM
q l
1
2
4

.
. Unimos o ponto 
M1
 a A e B, 
dividimos estes segmentos de reta em partes iguais e unimos 
estes pontos alternadamente. A parábola será tangente a estes 
segmentos de reta. 
 
5.7.3 - Carga momento. 
 
Seja a viga biapoiada mostrada na fig.76, submetida a uma carga momento M. As reações de apoio devem 
formar um binário contrário ao momento M, para que haja o equilíbrio. Assim sendo concluímos facilmente 
que os diagramas de fletor e cortante são aqueles indicados. 
 
5.7.4 - Casos particulares importantes. 
 
Alguns casos particulares com relação ao posicionamento da carga momento serão importantes na 
determinação dos diagramas para carregamentos compostos, os quais veremos a seguir. 
 
 
 
 
 
31 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
a) Carga momento no apoio da esquerda (fig.77). 
 
 
 
 
 
b) Carga momento no apoio da direita (fig.78) e cargas momento nos dois apoios (fig.79). 
 
 
 
 
 
5.7.5 - Carga triangularmente distribuída 
 
Seja a estrutura mostrada na fig.80. Consideremos uma seção 
Sx
 a uma distância “x” do apoio A. 
Calculando as reações de apoio teremos: 
 
V V
q l
V l
q l
l V
q l
V
q l q l
V
q l
A B B B A A        
.
.
. . . . .
2 2
2
3 3 2 3 6
 
A equação do momento fletor será: 
 
M
q l
x
q
l
xx  
.
6 6
3
 
 
equação esta que representa uma parábola do terceiro grau. O 
esforço cortante será a derivada do momento fletor ou seja: 
 
 
 
 
32 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
dM
dx
Q
q l q
l
xx x  
.
6 2
2
 
 
que representa uma parábola do segundo grau e o momento será máximo onde o esforço cortante for nulo, 
logo: 
q l q
l
x x l l
.
. ,
6 2
0
3
3
05772    
 
 e o momento máximo será: 
 
M
q l
l
q
l
l q lmax  





 
.
, .
6
3
3 6
3
3
0 064
3
2
 
A equação geral do momento fletor pode ser escrita da seguinte forma: 
 
M
q l x
l
x
l
x  






. 2 3
36
 
fazendo-se 
x
l
 
 teremos: 
 M q lx  .
2
3
8
 
, alguns autores tabelam a expressão 
   3 D
 
possibilitando a determinação da parábola por pontos de acordo com a expressão: 
 
M
q l
x D
. 2
6

 (6) 
 
Quanto ao esforço cortante sua expressão pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 Q
q l x
l
q l
x  





  
. .
6
1
3
6
1 3
3
3

 
sendo 
 1 3  D
 vem a expressão final: 
Q
q l
x D
.
6

 (7) 
As figs.81 e 82 mostram os diagramas de momento fletor e esforço cortante. 
 
 
 
 
33 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.7.6 - Estrutura submetida a um carregamento qualquer. 
 
 
 
 
 
Seja a estrutura mostrada na fig.83, submetida a um carregamento parcialmente distribuído. Para traçarmos 
os diagramas de momento fletor e esforço cortante, rompemos a estrutura em B e C. Sendo 
MB
 e 
MC
 os 
momentos fletores nas seções B e C respectivamente, a estrutura será equivalente a da fig.84. 
 
 
 
 
 
Os diagramas de momento fletor e esforço cortante para as estruturas (1) e (3) estão representadas conforme 
vimos em 5.7.4. A estrutura (2) poderá ser desdobrada conforme abaixo: 
 
 
 
 
 
cujos diagramas de momento fletor e esforço cortante são os seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Somando todos os diagramas teremos o diagrama final mostrada na fig.85. 
 
 
 
 
 
Extrapolando as conclusões deste exemplo podemos estabelecer as regras práticas para desenharmos os 
diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal. 
 
5.7.7 - Regra para o diagrama de momento fletor. 
 
a) Determinar os momentos nas seções principais de momento fletor. 
 
b) Marcar estes valores em uma escala adequada a partir do eixo da estrutura e perpendicular a este, para 
cima quando negativo e para baixo quando positivo. 
 
c) A partir destes valores desenhamos os diagramas observando sempre que: 
 
 nos trechos descarregados o diagrama é linear; 
 nos trechos com carregamento uniformemente distribuído o diagrama é parabólico do 2 grau (5.7.2); 
 nos trechos com carregamento triangularmente distribuído o diagrama é parabólico do 3 grau (5.7.5); 
 
5.7.8 - Regra para o diagrama de esforço cortante. 
 
a) Determinar os esforços nas seções principais de esforço cortante. 
 
b) Marcar estes valores em uma escala adequada a partir do eixo da estrutura e perpendicular a este, para 
cima quando positivo e para baixo quando negativo. 
 
c) A partir destes valores desenhamos os diagramas observando sempre que: 
 
 nos trechos descarregados ou onde existe só carga momento o diagrama é constante; 
 nos trechos com carregamento uniformemente distribuído o diagrama é linear (5.7.2); 
 nos trechos com carregamento triangularmente distribuído o diagrama é parabólico do 2 grau (5.7.5); 
 
5.7.9 - Regra para o diagrama do esforço normal. 
 
a) Determinar os esforços nas seções principais de esforço normal. 
 
 
35 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
b) Marcar estes valores em uma escala adequada a partir do eixo da estrutura e perpendicular a este, para 
cima quando positivo e para baixo quando negativo. 
 
c) A partir destes valores desenhamos os diagramas observando sempre que os mesmos são constantes 
para vigas verticais e horizontais. 
 
5.8 - Exercícios resolvidos. 
 
5.8.1 - Para a viga biapoiada representada na fig.86, pede-se os diagrama de momento fletor e esforço 
cortante. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A        8 8 4 8 24 0 45 35, ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M t.m M t m M t.mA B C D E        0 35 2 7 35 4 2 2 10 45 2 9, . , . . . , .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t.m Q t Q t Q t QA C C D Desq dir esq dir         35 35 35 2 15 15 15 2 05, , , , , , ,
 
Q t Q t Q tE E Besq dir     05 45 45, , ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.8.2 - Traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga biapoiada da fig.87. 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A        5 5 5 3 2 2 0 3 2.
 
 
Momentos fletores: 
 
M t M t.m M t mA C B    2 2 3 2 8 2. .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t.m Q t Q t Q tA C C Besq dir       2 2 2 5 3 3
 
 
 
 
 
5.8.3 - Para a viga biapoiada da fig.88, determinar os diagramas dos esforços simples. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A        16 8 4 2 4 2 8 6 0 8 8. . .
 
 
 
 
37 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Momentos fletores: 
 
M M M t.m M t mA B C D        0 8 2 2 1 14 8 4 4 2 4 2 16. . . . . .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t.m Q t Q t Q Q tA C C D Besq dir            8 8 2 6 6 4 2 8 4 4 0 8
 
 
(Valores para desenho da parábola do segundo grau, conforme item 5.7.2) 
 
q AC. .2 2
4
1 2
4
1 
 
q CD. .2 2
4
1 2
4
1 
 
q DB. .2 2
4
2 4
4
8 
 
 
 
 
 
5.8.4 - Traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga biapoiada com duplo balanço da 
fig.89. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V tA B B B A         11 8 1 10 4 6 4 2 2 1 0 5 6. . . .
 
 
Momentos Fletores: 
 
M M t.m M t.m M t m M MA B E D C F            2 1 2 6 3 6 4 6 5 2 1 4 6 0. . . . . .
 
 
Esforços Cortantes: 
 
 
 
38 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Q Q t Q t Q Q Q tF A A E D Desq dir esq dir             0 2 2 6 4 6 6 0 0 4
 
 
Q t Q t Q tB B Cesq dir    4 1 1
 
q FA q AE. . . .2 2 2 2
4
1 2
4
1
4
1 4
4
4   
 
 
 
 
 
 
5.8.5 - Traçar os diagramas solicitantes para a viga engastada representada na fig.90. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V t M M t.mA A A       6 3 3 3 6
2 6
2
2
3
6 0 6.
.
. .Momentos Fletores e esforços cortantes: 
 
M t.m M Q t Q tA B A B     6 0 3 3
 
 
 
39 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.8.6 - Para o quadro isostático simples representado na fig.91, pede-se os diagramas dos esforços 
solicitantes. 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t V V t V t H tA B B B A A        5 5 5 25 3 2 0 13 37 3. , . , ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M M M t.m M M t mA B E C
AC
C
CD
D
CD
D
DB            0 3 4 12 3 2 6. . .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t Q t Q Q t QA C
AC
C
CD
D
CD
D
DB
E Eesq dir
         3 3 3 7 13 3 3 0. ,
 
 
 
 
40 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Esforços normais: 
 
N t N t N t N t N t N tA C
AC
C
CD
D
CD
D
DB
B           37 3 7 3 3 13 13, , , ,
 
 
 
 
qCD 2 2
4
1 5
4
6 25 
.
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.8.7 - Traçar os diagramas dos esforços seccionais para a estrutura representada na fig.92. 
 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
H H V t H H t H tA B A B B A        2 10 2 2 8 10 3 0 7 9. .
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M M M t.m M t.m M t.mA B E F C
AC
C
CF
D
CD                0 5 9 45 2 1 2 9 5 2 1 47. . . .
 
 
M t.m M t.m M t mD
DB
D
DE
D
DC            7 3 21 2 3 6 7 3 2 3 15. . . . .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t Q t Q t QA C
AC
C
CF
C
CD
D
DB
D
DE
D
DC            9 9 2 10 2 8 7 2 0
 
 
Q t Q t QB E F   7 2 0
 
 
Esforços normais: 
 
N t N t N t NA C
AC
C
CD
C
CF      10 10 9 0
 
 
N t N N N N ND
CD
D
DB
D
DE
E F B         2 7 9 0
 
 
 
qFC2 2
4
1 2
4
1 
.
 
 
qCD 2 2
4
1 8
4
16 
.
 
 
 
 
42 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.8.8 - Para a viga inclinada da fig.93, pede-se os diagramas dos esforços simples. 
 
 
 
 
 
43 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Reações de apoio: 
 
V V q a V a q a
a
V V
q a
A B B B A      . . . .
.
2
0
2
 
 
Momentos fletores: 
 
M MA B  0
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q
q a
Q
q a
A B  
.
cos
.
cos
2 2
 
 
 
Esforços normais: 
 
N
q a
N
q a
A B  
.
sen
.
sen
2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.8.9 - Para a estrutura apresentada na fig.94, pede-se os diagramas dos esforços seccionais. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
H t V t M M t.mA A A A       
4 5 2
2
4 5 8
2 4 5
2
1
3
4 5 8 1 0 14 75
, .
,
. ,
, . ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M t.m M t.m M t.m
M t.m M M
A B
AB
B
DB
B
BC
C D
           
     
14 75 14 75
1
2
2 4 5
2
3
4 5 4 5 4 5 8 3 15 4 5
5 2 5 12 5 0
, , . , , , . , . , ,
. , ,
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q Q t Q t Q QA B
AB
B
DB
B
BC
C D          4 5 4 5
1
2
2 4 5 0 3 8 3 5 0, , . ,
 
 
Esforços normais: 
 
N t N t N N N NA B
AB
B
DB
B
BC
C D       8 8 0 0
 
 
qDB2 2
4
1 3
4
2 25 
.
,
 
 
qBC2 2
4
1 5
4
625 
.
,
 
 
ql
D D D
2 2
6
2 4 5
6
6 75   . , ,
 
 
ql
D D D
6
2 4 5
6
15
2
   . , ,
 
 
 
 
45 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
46 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.8.10 - Para a estrutura representada da fig.95, pede-se as linhas de estado dos esforços seccionais. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
H t V M M tA A A A      3 0 4 3 15 0 85. , ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M t.m M t.m M M t.m M t.mA B B C
AC
C
CD
esq dir
             85 85 8 5 4 4 5 3 15 4 5, , . , . , ,
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q Q t QC
AC
C
CD
D  0 3 0
 
 
Esforços normais: 
 
N t N N tC
AC
C
CD
A    3 0 3
 
 
 
qCD 2 2
4
1 3
4
2 25 
.
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
5.9 - Exercícios propostos. 
 
5.9.1 - Para a viga simplesmente apoiada apresentada na fig.96, traçar os diagramas solicitantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.9.2 - Traçar os diagramas solicitantes para a viga bi-apoiada representada na fig.97. 
 
 
 
 
5.9.3 - Traçar os diagramas solicitantes para a viga biapoiada da fig.98. 
 
 
 
 
49 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.9.4 - Traçar os diagramas solicitantes para a estrutura representada na fig.99. 
 
 
 
 
 
5.9.5 - Traçar as linhas de estado para a estrutura representada na fig.100 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.9.6 - Para a viga com duplo balanço da fig.101, pede-se os diagramas dos esforços solicitantes. 
 
 
 
 
5.9.7 - Obter os diagramas solicitantes para a estrutura indicada na fig.102. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
5.9.8 - Traçar os diagramas dos esforços simples para a estrutura representada na fig.103. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.9.9 - Para o pórtico apresentado na fig.104 , pede-se os diagramas de momento fletor, esforço cortante e 
esforço normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.9.10 - Para a estrutura apresentada na fig.105, pede-se os diagramas dos esforços solicitantes. 
 
 
5.9.11 - Para o pórtico da fig.106, pede-se os diagramas dos esforços solicitantes. 
 
 
 
 
55 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
5.10 - Vigas e Pórticos Articulados. 
 
Suponhamos que o trecho 
CD
 da viga mostrada na fig.107, esteja carregado. Para que o mesmo permaneça 
em equilíbrio é necessário que haja reação de apoio em C, pois em D temos um apoio do 1 gênero que é 
capaz de absorver uma força vertical; caberia então ao ponto C, absorver uma força vertical e uma horizontal, 
o que este não é capaz de fazer, porém tem a capacidade de transmitir estas forças verticais 
 
 
 
e horizontais atuantes no trecho 
CD
, para os apoios A e B, não transmitindo porém momentos, uma vez que 
a rotação em C está livre. 
 
Esta viga é conhecida como viga “GERBER” e o ponto C, chama-se articulação, rótula ou “DENTE GERBER”, 
e representa-se conforme indicado na fig.108 abaixo. 
 
 
 
Para resolvermos esta estrutura, submetida a um carregamento qualquer, verificamos que a mesma possui 
quatro reações de apoio (incógnitas) e as reações de equilíbrio da estática são somente três. 
 
Neste caso lançaremos mão de mais uma equação que é a de momento fletor igual a zero na articulação, 
uma vez que esta não transmite momento, comumente representada por 
M cf ( )  0
. Um exemplo prático de 
utilização de vigas articuladas é o representado na fig.109. 
 
 
 
Trata-se de construir uma ponte para transpor um rio profundo. A execução do escoramento para concretar 
no local o trecho 
BC
, torna-se praticamente inviável devido ao canal do rio. Adota-se então a criação de 
duas articulações GERBER em E e F, concretando-se este trecho fora do local (premoldado) e transportando-
o para compor o trecho 
BC
 após concretado. 
Esta solução trará ainda sob o ponto de vista estrutural a vantagem de reduzir as forças horizontais nos 
 
 
57 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
pilares devidas a variações de temperaturas e retração no concreto. 
 
As estruturas articuladas têm alcançado importância cada vez maior na engenharia estrutural tendo em vista 
as técnicas avançadas de pré - fabricação e montagem das mesmas. 
 
5.11 - Exercícios resolvidos. 
 
5.11.1 - Traçar os diagramas solicitantes para a viga “GERBER” apresentada na fig.110 abaixo. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V V tA B C    264 5 314, ,
 
M V V tf C C(F) , , . .
,
,     0 4 5 57 2
57
2
0 7 2
 
M V V t V tf B B A(D) , . , , . .
,
, . , , ,       0 4 5 5 2 5 117 2
117
2
7 2 105 16 4 7 8
 
M c as da esquerda V M M t.mf A A A(D) ( arg ) , . , .
,
,      0 15 2 15
15
2
0 9 5
 
 
Momentos Fletores: 
 
M t.mA  9 5,M t.mE     95 78 4 2 4 2 57, , . . . ,
 
M t.mB      78 6 95 2 6 3 5 2 87, . , . . . ,
 
M t.mC    2 12
12
2
144. ,
,
,
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t Q tA E E B Besq dir esq dir                  7 8 7 8 8 0 2 0 2 5 52 52 4 9 2 9 2 164 7 2, , , , , , , , , ,
 
Q t Q tC Cesq dir       7 2 12 4 8 4 8 7 2 2 4, , , , ,
 
 
q AE
t.m
q EB
t.m
. .2 2
4
8
4
2 
 
 
q BC
t.m
q CG
t.m
. .
,
2 2
4
18
4
072 
 
 
 
 
 
 
58 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
5.11.2 - Traçar os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes para a viga articulada mostrada da 
fig.111. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V tA B   2 7 9
 
M C c as da direita V V V tf B A B( ) ( arg ) . ,      0 4 6 3 0 45
 
M C c as da esquerda V M M t.mf A A A( ) ( arg ) . . ,       0 5 2 3 1 05 0 16
 
 
Momentos fletores: 
 
M t.m M t.m M t.m M t.mA D E B                16 16 9 7 16 18 4 2 2 1 2.
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t Q t Q tA D D E B Besq dir esq dir             4 5 4 5 4 5 2 2 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 4 5 2, , , , , , , , ,
 
 
 
q EB
t.m
q BF
t.m
.
,
.2 2
4
625
4
1 
 
 
 
 
59 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
5.11.3 - Traçar os diagramas solicitantes para a estrutura representada na fig.112. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V V tA B C      2 2 6 7 17
 
M F c as da direita V V tf C C( ) ( arg ) . . , ,      0 3 6 1 3 15 0 35
 
M E c as da direita V V t V tf B B A( ) ( arg ) . , . . , ,         0 2 7 35 6 5 7 35 0 15 15
(sentido 
contrário ao indicado na fig.112). 
M D c as da esquerda M M t.mf A A( ) ( arg ) .( , ) . .         0 2 15 2 1 2 1 0 7
(sentido contrário ao 
indicado na fig.112). 
 
Momentos Fletores: 
 
M t.m M t.m M t.mA G B              ( ) , . . , ( ) , . . . ,7 7 15 1 1 05 7 5 35 5 6 3 5 25 13
 
M t.mH   35 2 2 1 5, . .
 
 
 
 
60 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t QA G G D Desq dir esq dir                 15 15 1 2 5 2 5 2 4 5 4 5 1 55 0, , , , , , ,
 
Q Q t Q t Q t Q tE E B B Hesq dir esq dir esq              0 55 52 2 7 5 7 5 15 7 5 7 5 3 45, , , , , , ,
 
Q t QH Cdir     4 5 6 15 35, , ,
 
 
q AG
t.m
q GD
t.m
q EB
t.m
q BH
t.m
q HC
t.m
.
,
.
,
. .
,
.2 2 2 2 2
4
025
4
025
4
1
4
2 25
4
1    
 
 
 
 
 
5.11.4 - Traçar os diagramas dos esforços simples para a viga representada na fig.113. 
 
 
 
 
 
 
61 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Reações de apoio: 
 
V V V tA B C    2 3 5
 
M B c as da direita V V tf C C( ) ( arg ) . , ,      0 4 2 3 35 0 3125
 
M c as da esquerda V V t V tf A A B(B) ( arg ) . ,        0 4 2 5 2 0 3 1125
(sentido contrário ao 
indicado na fig.113). 
 
Momentos Fletores: 
 
M t.m M t.m M t.mA Besq Bdir           2 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 2 2 2 2. . . . .
 
M t.m M t.mD C      3125 2 3 15 175 1 05 05, . . , , . , ,
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q t Q tF A A B Besq dir esq dir            2 2 2 3 1 1 1 1125 0125, ,
 
Q t Q t Q tD C Cesq dir          0125 0125 2 2125 2125 3125 1, , , , ,
 
 
q DC
t.m
q CE
t.m
. .
,
2 2
4
1
4
0 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.11.5 - Para o sistema triarticulado mostrado na fig.114, pede-se as reações de apoio e o diagrama de 
 
 
62 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
momento fletor. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V VA B  0
 
 
M l V V VA B A B        0 2 1 1 0 0. .
 
M C c as da esquerda H h H H
h
f A A B( ) ( arg ) .      0 1 0
1
 (só há empuxo horizontal) 
 
Momentos fletores: 
 
M M M
h
h t.m M
h
h t.mA B Cesq Cdir     0
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
5.11.6 - Para a estrutura representada na fig.115 abaixo, determinar os diagramas de momentos fletores, 
esforços cortantes e esforços normais. 
 
 
 
 
 
63 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
Reações de apoio: 
 
V V H H tA B A B    0
2 6
2
6
.
 
M c as da direita H H H tf B B A(D) ( arg )     0 6 0 0 6
 
M V V t V tB A A B        0 5 6
1
3
6 0 2 4 2 4. , ,
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M M t.m M MA B Cesq C D Ddir esq dir        0 6
2
3
6 6 6 12 0. . .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q Q t Q t Q QA C C D D Besq dir esq dir         6 6 6 0 2 4 2 4 0 0, ,
 
 
Esforços normais: 
 
N t N t N N t N tA C C D Desq dir esq dir          2 4 2 4 6 6 0 0 2 4, , ,
 
 
 
 
 
64 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
5.11.7 - Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura representada abaixo (fig.116). 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t H H tA B A B   7 2
 
 
M c as da direita H H H tf B B A(D) ( arg )      0 4 4 0 1
 
M C c as da esquerda V M tf A A( ) ( arg ) ,   0 3 45
 
M C c as da direita V V t V t M t.mf B B A A( ) ( arg ) . . . ,         0 4 1 4 2 2 4 2 0 2 5 105
 
 
Momentos fletores: 
M t.m M t.mA E  105 2,
 
 
 
65 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
5.11.8 - Traçar os diagramas solicitantes para o pórtico representado na fig.117. 
 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V tA B  14
 
M C c as da esquerda V V t V tf A A B( ) ( arg ) .       0 2 4 1 4 0 4 10
 
M C c as da direita M M t mf B B( ) ( arg ) . . , .       0 10 3 4 10 25 0 1
 
 
Momentos fletores: 
 
M M t.m M t.m M t.mA B Cesq Cdir         0 1 4 2 4 1 4 4 2 4 1 4 4 4. . . .
 
M t.m M t.m M t.mD Ddir D
BD
esq
          4 5 4 4 25 5 4 1 4 1. .
 
 
Esforços cortantes: 
 
Q t Q t Q t Q QA D D D
BD
Besq dir
       4 4 10 6 4 0 0
 
 
Esforços normais: 
 
N N tB D
BD  10
 
 
q AC
t.m
q CD
t.m
q DE
t.m
. .
,
.2 2 2
4
2
4
4 5
4
2  
 
 
 
 
66 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.11.9 - Traçar o diagrama de momento fletor para o pórtico articulado abaixo. 
 
 
 
 
 
67 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Reações de apoio: 
 
V V t H HA B A B  6
 
M E c as da direita V V t V tf B B A( ) ( arg ) .      0 2 2 1 0 1 5
 
M c as da esquerda V M H M H tf A A A A A(D) ( arg ) ( )        0 2 4 2 0 4 8 1
 
M c as da esquerda M H M H tf A A A A(E) ( arg ) . ( )        0 4 5 6 8 0 6 12 2
 
Resolvendo os sistemas (1) e (2) encontramos: 
H H t MA B A  2 0
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M t.m M t.mA B Cesq Cdir       0 2 2 4 4.
 
M t.m M t.mGesq Cdir     2 2 5 2 2 1 4 4. . .
 
M t.m M t.mFesq Gdir    5 4 2 4 4 2 4 4. . .
 
q
t.m
.2
4
1
2

 
 
 
 
5.11.10 - Para a estrutura representada na fig.119, pede-se o diagrama dos momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
A estrutura dada é idêntica a da fig.119a. 
 
Reações de apoio: 
 
V V t H H tA B A B   8 8
 
 
M C c as da direita H H H tf B B A( ) ( arg )     0 4 0 0 8
 
 
 
 
M C c as da esquerda V V V tf A A B( ) ( arg ) .         0 4 32 8 2 8 2 0 0 8
 
 
Momentos fletores: 
 
M M M
q AC
t.mA B C   0
4
16
2.
 
 
 
5.12 - Exercícios propostos. 
 
5.12.1 - Traçar os diagramas solicitantes para a estrutura apresentada na fig.120. 
 
 
 
 
69 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.12.2 - Traçar os diagramas solicitantes par a estrutura articulada mostrada na fig.121. 
 
 
 
 
 
 
5.12.3 - Traçar os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes para a estrutura apresentada na 
fig.122. 
 
 
 
 
 
 
70 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.12.4 - Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga biengastada representada na fig.123, 
desprezando os empuxos. 
 
 
 
 
Obs: Logicamente a estrutura é uma vez hiperestática, porém desprezando-se os empuxos horizontais, esta 
fica estaticamente determinada e o diagrama de momentos fletores é o apresentado acima. 
 
5.12.5 - Estudar qualitativamenteo diagrama de momentos fletores da estrutura da fig.124. 
 
 
 
5.12.6 - Traçar o diagrama de momentos fletores para o sistema triarticulado mostrado na fig.125. 
 
 
71 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
 
 
 
5.12.7 - Desenhar o diagrama de momentos fletores para o pórtico articulado da fig.126. 
 
 
 
 
 
 
5.12.8 - Traçar o diagrama dos momentos fletores para o pórtico da fig.127. 
 
 
 
72 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
2.12.9 - Traçar o diagrama dos momentos fletores para a estrutura da fig.128 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
73 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
 
5.12.10 - Traçar o diagrama de momento fletor para o quadro articulado representado abaixo (fig.129). 
 
 
 
 
 
 
6.0 - EXERCÍCIOS ESPECIAIS RESOLVIDOS 
 
 
74 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
6.1 - Obter os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga abaixo (fig.130), submetida a um 
carregamento distribuído segundo uma lei parabólica do 2 grau. 
 
 
 
 
Tomemos um elemento de carga de largura “dx” e ordenada “y”, distante „x‟ do apoio A. A equação da 
parábola de carga é da forma: 
 
y ax 2
 
 
como o ponto (l, q) pertence à parábola vem: 
 
q al a
q
l
  2
2
 logo a equação de carga será : 
q
q
l
xy  2
2
 
 
Para calcularmos as reações de apoio necessitamos do módulo da resultante e da sua posição. Conforme 
vimos em 2.4 o módulo da resultante é igual a área do diagrama de carga, ou seja: 
 
R q dx
q
l
x dx
q
l
x
q ly
l
l
l
  








 . . .0 2
2
2
3
0
0 3
1
3
 
 
A posição da resultante “
x
” é dada conforme vimos em 2.4, pela seguinte fórmula: 
 
x
q dx x
q dx
q
l
x dx
q
l
x dx
l
y
l
y
l
l
l
  




. .
.
.
.
0
0
2
3
0
2
2
0
3
4
 
 
Reações de apoio: 
 
V V q l V l q l l
q l
V
q l
V
q l
A B B B A      
1
3
1
3
3
4 4 4 12
2
. . . . .
. . .
 
 
A equação dos momentos fletores será: 
 
M
q l
x
q
l
x
x
M
q l
x
q
l
x    
. .
12
1
3 4 12 122
3
2
4
 
Equação esta que representa uma parábola do quarto grau. O ponto máximo desta parábola será: 
 
 
 
75 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
dM
dx
q l q
l
x x
l
x
l
l       
.
,
12 3
0
4 2
2 0 63
2
3 3
3
3
 
 
Substituindo este valor na equação do momento fletor encontramos: 
 
M
q l
qlmax  
.
,
2
3 2
32
2 0 03935
 
 
A equação dos momentos fletores pode ser colocada da seguinte forma: 
 
 M q l x
l
x
l
q l q l
do
x
l
p 





    
. . .
sen
2 4 2
4
2
12 12 12
   
 
 
e a dos esforços cortantes : 
 
 Q q l x
l
q l q l
p 





   
. . .2 3
3
2
3
2
12
1
4
12
1 4
12
 
 
 
os diagramas de fletores e cortantes estão representado na fig.131. 
 
 
 
 
 
 
6.2 - Um poste de comprimento “l” e de peso uniformemente distribuído, repousa inicialmente em um aplano 
horizontal. Deseja-se levantá-lo, fazendo-o girar em torno de uma das suas extremidades, por meio de um 
guincho cujo cabo deve ser preso nas vizinhanças da outra extremidade. A que distância dessa extremidade 
deve ser fixo o cabo do guincho, de modo a que o poste, durante o levantamento fique sujeito aos menores 
momentos fletores possíveis?. 
 
 
 
 
 
76 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
 
A posição mais desfavorável é quando o poste descola do plano horizontal (fig.132). Neste momento o 
diagrama dos momentos fletores é o mostrado na fig.133 abaixo. 
 
 
 
 
A medida que “x” aumenta , aumenta o momento máximo negativo 
Mn
 e diminui o momento máximo positivo 
Mp
. A posição ideal de “x” será quando tivermos 
M Mn p
. O momento máximo negativo é: 
 
M
q x
n 
. 2
2
 
 
A equação dos momentos fletores no trecho 
AB
 é: 
 
M V y
q y
A .
. 2
2
 
 
O momento máximo será quando: 
 
dM
dy
V q y y
V
q
A
A    . 0
 
 
e este momento vale: 
 
M
V
q
V
q
M
V
q
A A
p
A   
2 2 2
2 2
 
 
Para calcularmos 
VA
, façamos 
M
B  0
 
 
V l x q l
l
x V
q l l x
l x
A A( ) .
. ( )
( )
  





  

2
0
2
2
 
 
 
77 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
logo: 
M
q l l x
l x
p 


. ( )
( )
2 2
28
2
 fazendo 
M Mp n
 teremos: 
 
q x q l l x
l x
x
l l x
l x
. . ( )
( )
( )
( )
2 2 2
22 8
2
2
2



 


 
 
desenvolvendo a expressão acima em função de “x” obteremos a equação do segundo grau: 
 
2 42 2. . .x x l l 
 
 
cujas soluções são as seguintes: 
 
x
l l
x l

  


2 2
2
2 2
2
. . ( )
 x  l impossível 
 
  

 x l x l
( )
,
2 2
2
0 293
 
 
6.3 - Na viga biapoiada com balanços, representada na fig.134 abaixo, calcular o valor da força “P” de modo 
que o valor absoluto do momento fletor seja o mínimo possível. 
 
 
 
 
 
O diagrama dos momentos fletores é o indicado acima e a condição imposta pelo problema é que: 
 
 
M Mn p
 
 
 
cujos valores são os seguintes: 
 
 
 
78 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
M P Pn    . . .2 2 2 1 2 4
 
M P pp     
2 6
8
2 4 5 2
2.
( )
 
 
igualando teremos: 
 
2 4 5 2 025P P P t     ,
 
 
6.4 - Calcular os esforços simples na seção S do arco circular representado na fig.135 abaixo. 
 
 
 
Reações de apoio: 
 
V V t H t V V t V tA B B B B A        20 10 20 10 269 10 5 10 15 11345 8655. , . . , ,
 
 
Cálculo do raio do círculo: 
 
R R R R m2 2 2 2 2 2 2
2
10 538 10 10 76 538 10
538
10 76
12          (R , ) , ( , )
( , )
,
 
 
Funções trigonométricas e valor de “y”: 
 
sen , cos ,      3
12
0 25 0 968 14 30
 
 
y R y m       538 1 538 12 1 0968 5, ( cos ) , ( , ) 
 
Momento fletor: 
 
M t.mS    8655 7 10 231 10 2 175, . . , . ,
 
 
Esforço normal: 
 
Basta projetar as forças a esquerda de S sobre a tangente ao arco no ponto S. 
 
N t.mS       ( , ).cos( ) .sen( ) ,10 8 655 75 30 10 75 30 9 34
 
 
Esforço cortante: 
 
Basta projetar as forças a esquerda de S sobre a perpendicular a tangente em S. 
 
 
79 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
Q t.mS       ( , ).sen( ) .cos( ) ,10 8 655 75 30 10 75 30 38
 
 
 
6.5 - Estudar qualitativamente o aspecto do diagrama de momentos fletores da estrutura autoequilibrada na 
fig.136. 
 
 
 
 
 
O aspecto do diagrama de momentos fletores está indicado na fig.137. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.0 - CENTRO DE GRAVIDADE 
 
1.1.0 - Centro das forças paralelas 
 
 
 
80 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
No estudo da determinação dos centros de gravidade dos sólidos faz-se necessário a noção sobre o centro 
de forças paralelas. 
 
Consideremos um sistema de forças paralelas e de mesmo sentido   
F F Fn1 2, ,...,
, aplicadas a um corpo sólido, 
nos pontos 
A A An1 2, ,...,
, conforme mostra a Fig.1. 
É claro que este sistema de forças possui uma resultante 
R
, 
paralelas as forças, com mesmo sentido e com módulo: 
   
R F F Fn   1 2 ...
 
Agora façamos as forças girarem em torno do seu ponto de 
aplicação de um angulo fixo, no mesmo sentido. Obteremos 
assim um novo sistema de forças paralelas e de igual direção, 
com mesmos módulos e pontos de aplicação, porém com 
direções distintas. É claro que para cada ângulo fixo os sistemas 
de forças paralelas terão a mesma resultante de módulo 
R
, 
variando a sua linha de ação. 
 
Demonstraremos então que qualquer que seja o ângulo fixo, a linha de ação da resultante passará sempre 
pelo mesmo ponto 
C
. Com efeito ao compormos as forças 

F1
 e 
F2
,verificamos que a resultante 
R1
 destas 
duas forças passará sempre pelo ponto 
C1
, qualquer que seja o ângulo de rotação, satisfazendo sempre a 
igualdade: 
F A C F A C1 1 1 2 2 2. . . .
 
 
isto porque as rotações aplicadas às forças não variam a posicão da reta 
A A1 2.
. Compondo agora a força 

R1
, com a força 
F3
, achamos que esta resultante, que também é resultante das forças   
F F F1 2 3, ,
, passarásempre pelo ponto 
C2
, determinado analogamente e que se encontra sobre a reta 
C A1 3
. Realizando esta 
operação sucessivamente, chegaremos à conclusão que para "n" forças paralelas aplicadas nos pontos 
A A An1 2, ,...,
, a resultante 
R
 passará sempre por um ponto fixo 
C
, quando aplicamos rotações iguais e de 
mesmo sentido em todas as forças. 
 
O ponto 
C
por onde passa a reta suporte da resultante de um sistema de forças paralelas, ao realizarem 
rotações de mesmo ângulo e mesmo sentido em torno dos seus pontos de aplicação chama-se "CENTRO 
DAS FORÇAS PARALELAS". 
 
Determinemos agora as coordenadas do centro das forças paralelas. A posição do ponto C independe do 
sistema de coordenadas. Sendo assim, escolhamos o sistema OXYZ apresentado na fig.1, cujas 
coordenadas dos pontos serão 
A x y z A x y z A x y zn n n n1 1 1 1 2 2 2 2( , , ), ( , , ),..., ( , , )
 e 
C x y z( , , )
. Como sabemos que 
a posição do ponto
C
não depende da direção das forças, giremos estas em torno do seu ponto de aplicação 
até que fiquem paralelas ao eixo OZ (forças tracejadas na fig.1). Após isto apliquemos ao sistema o teorema 
de Varignon em relação ao eixo OY, ou seja: 
R x F x F x F xn n. . . ... .   1 1 2 2
 donde: 
x
F x
R
n n

 . (1) 
Analogamente aplicando o teorema de Varignon em relação ao eixo OX com as forças paralelas a OZ e 
a OY respectivamentes teremos: 
 
y
F y
R
n n

 . (2) e 
z
F z
R
n n

 . (3) 
 
Vale ressaltar que as expressões acima são válidas também para forças paralelas de sentidos contrários, 
 
 
 
81 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
desde que se considere os valores dos módulos positivos em um sentido e negativo no outro, com a condição 
de que 
R
 seja diferente de zero. 
 
1.2 - Centro de gravidade de um corpo sólido 
 
Todo corpo que se encontra nas proximidades da terra está submetido a ação de um força dirigida 
verticalmente e que se chama força de gravidade. Para os corpos cujas dimensões são muito pequenas em 
comparação com o raio da terra pode-se admitir que as forças de gravidade que atuam nas partículas deste 
corpo são paralelas umas às outras e têm módulos constantes para qualquer rotação efetuada pelo mesmo. 
O campo de gravidade que satisfaz estas condições chama-se campo de gravidade homogêneo. 
 
Consideremos um corpo situado nas proximidades da terra (fig.2) 
 
As partículas deste corpo, estão sujeitas às forças de gravidade 
  
P P Pn1 2, ,...,
, cuja resultante é 
P
. O módulo desta resultante equivale 
ao peso do corpo e se determina pela seguinte igualdade: 
 
P Pn
 (4) 
 
Qualquer que seja a rotação efetuada pelo corpo, estas forças 
Pn
 
continuarão paralelas umas às outras, aplicadas nos mesmos pontos, 
variando somente suas direções. Por conseguinte como foi visto em 
1.1, a resultante 
P
 das forças 
Pn
, para qualquer posição do corpo passará sempre pelo ponto 
C
que é o 
centro das forças paralelas, também chamado de centro de gravidade do corpo. Logo concluímos que as 
coordenadas do centro de gravidade são determinadas pelas fórmulas (1), (2) e (3), ou seja: 
 
x
P x
P
n n

 . , 
y
P y
P
n n

 . e 
z
P z
P
n n

 . (5) 
 
1.3 - Centro de gravidade dos corpos homogêneos 
 
Para um corpo homogêneo, isto é constituído pelo mesmo material, o seu peso específico é tal que: 
 
 
P
V
n
n
 donde 
P Vn n  .
 (peso proporcional ao volume) 
 
Substituindo os valores de Pn nas fórmulas (5) obteremos: 
 
x
V x
V
V x
V
n n n n
 
 

. .
.
., 
y
V y
V
V y
V
n n n n
 
 

. .
.
. e 
z
V z
V
V z
V
n n n n
 
 

. .
.
. (6) 
 
1.4 - Centro de gravidade de uma superfície plana 
 
Consideremos uma placa homogênea de forma hexagonal (fig.3) e espessura "e". Determinar as coordenadas 
do centro de gravidade desta placa equivale a determinar o ponto de aplicação da força 
P
 (peso do corpo) 
resultante do sistema de forças   
P P P1 2 6, ,...,
 (peso dos triângulos) que por sua vez estão aplicados nos 
respectivos centros de gravidade. Se as coordenadas dos pontos de aplicação destas forças são 
P x y P x y P x y1 1 1 2 2 2 6 6 6( , ), ( , ),..., ( , ,)
, então de acordo com as fórmulas (6) as coordenadas do ponto de 
aplicação da resultante P serão: 
 
 
 
82 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
 
x
V x V x V x
V

  1 1 2 2 6 6. . ... .
 e 
y
V y V y V y
V

  1 1 2 2 6 6. . ... .
 
(7) 
 
Como sabemos que o volume do sólido é o produto da sua superfície 
pela espessura temos que: 
 
V S en n .
 para n = 1,2,3,4,5 e 6 e 
V S e .
 
 
substituindo esses valores nas fórmulas (7) obteremos as coordenadas do centro de gravidade da superfície 
da placa: 
 
x
S x
S
n n
n


 .
1
6
 e 
y
S y
S
n n
n 
 .
1
6
 (8) 
 
Como a superfície é plana, trabalharemos sempre com duas coordenadas, o que nos permite para melhor 
visualização, rebater o plano OXY para o plano do papel em que escrevemos conforme mostra a Fig.4 onde 
A A A1 2 6, ,...,
 são os pontos de aplicação das forças 
P P P1 2 6, ,...,
 respectivamente. 
 
Concluimos então que para a determinação do centro de gravidade de uma 
superfície plana, dividimos a superfície dada em tantas outras possíveis, das 
quais conhecemos a posição do centro de gravidade e aplicamos as fórmulas 
(8) generalizadas: 
 
x
S x
S
n n

 . e 
y
S y
S
n n

 . (9) 
 
1.5 - Centro de gravidade de uma superfície irregular 
 
Para determinarmos as coordenadas do centro de gravidade de uma superfície irregular qualquer, impossível 
de dividi-la em outras conhecidas, devemos lançar mão do cálculo integral. Seja uma área qualquer conforme 
mostrado na fig.5 abaixo: 
 
Tomemos nesta superfície um elemento de área infinitesimal "ds" cujas coordenadas são x e y. Somar os 
produtos x.ds e y.ds, significa calcular a integral ao longo da superfície desses produtos. Por conseguinte as 
somatórias das fórmulas (9) se transformam em integrais ou seja: 
 
x
x ds
ds
S)
S)



.
(
(
 e 
y
y ds
ds
S
S



.
( )
( )
 (10) 
 
que são as fórmulas para o cálculo das coordenadas do centro de 
gravidade de uma superfície irregular qualquer por integração direta. 
1.6 - Momento Estático de uma superfície 
 
 
 
 
 
 
83 
Estruturas Isostáticas - Arlim Botão 
Seja a superfície "S" da fig.6, cujas distâncias do seu centro de gravidade aos 
eixos X e Y são respectivamente 
x yo o,
. Defini-se "momento estático de uma 
superfície em relação a um eixo, como sendo o produto desta pela distância do 
centro de gravidade ao eixo. Donde conclui-se portanto de acordo com a fig.6 
que : 
S xo.
= momento estático da superfície S em relação ao eixo x. 
S yo.
= momento estático da superfície S em relação ao eixo y. 
 
Quando transformamos as expressões (5) nas expressões (9) constatamos que 
o momento estático de uma superfície qualquer em relação a um eixo é igual à soma dos momentos estáticos 
das superfícies que a compõem, isto decorrente do próprio Teorema de Varignon, relativo a um sistema de 
forças qualquer. Se dividirmos a superfície "S" em "n" outras, teremos então: 
 
S x S x S x S xo n n. . . ... .   1 1 2 2
 e S y S y S y S yo n n. . . ... .   1 1 2 2 
 
o que nos leva às fórmulas das coordenadas do centro de gravidade da superfície "S" sendo 
( , ),( , ),...,( , ,)x y x y x yn n1 1 2 2
, as coordenadas do centro de gravidade das superfícies 
S S Sn1 2, ,...,
, 
respectivamente. 
 
1.7 - Roteiro para determinação do centro de gravidade das superfícies planas. 
 
Para qualquer caso que se deseje determinar o centro de gravidade de uma superfície,