Soluções área II - lista 1 - Fisica IV - UFRGS - 2018/2

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UFRGS - FIS01184 – Física IV-C – Área 2 – Lista 1 
 
 
 
1. Um astronauta faz uma viagem de ida e volta em uma espaçonave partindo da Terra, viajando 
em linha reta, com velocidade constante durante 6 meses (tempo gasto só para a ida) e voltando 
ao ponto de partida da mesma forma e com a mesma velocidade. Ao voltar a Terra o astronauta 
constata que 1.000 anos se passaram. Determine a velocidade (v/c) da astronave. Use 8 
algarismos significativos. 
 
∆𝑡 =
 ∆𝑡𝑜
√1 − β2
 
 
∆𝑡𝑜 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 (𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑛𝑎𝑣𝑒) 
 
12000 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 =
 6 + 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
√1 − β2
 
 
𝛽 = 0.9999995 
 
 
2. A vida média de múons freados num bloco de chumbo fixo num laboratório, é 2,2 s. A 
vida média dos múons com grande velocidade, numa explosão de raios cósmicos, observada da 
Terra, é 16 s. Ache a velocidade destes múons dos raios cósmicos em relação à Terra. 
 
∆𝑡 = 16 μ𝑠 
 
∆𝑡𝑜 = 2,2 𝜇𝑠 
 
∆𝑡 =
 ∆𝑡𝑜
√1 − β2
 
 
𝑣 = 0.990502 
 
3. Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um referencial S, movendo-se ao longo deste eixo 
com velocidade 0,630c. O seu comprimento de repouso é 1,70 m. Qual será seu comprimento 
medido em S. 
 
 Temos um exemplo de dilatação da distância. Usando a Equação de Lorentz: 
 
𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 
 
Como as medidas são realizadas simultaneamente no referencial S, ∆t = 0 : 
 
𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 0) 
 
𝑥′ =
𝑥
√1 − β2
 
 
1.7 =
𝑥
√1− 
(0.630𝑐)2
𝑐2
 
 
x = 1.32 m 
 
4. Uma nave espacial, com um comprimento de repouso de 130 m, passa por uma estação 
de observação com a velocidade de 0,740c. (a) Qual é o comprimento da nave medido 
pela estação? (b) Qual é o intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação entre a 
passagem da parte dianteira e a da parte traseira da nave? 
 
a) Precisamos usar a equação de Lorentz: 
 𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡) 
 
𝑥′ = 𝛾(𝑥 − 0) 
 
130 = 
𝑥
√1 − β2
 
 
𝑥 = 𝟖𝟕, 𝟒𝟒 𝒎 
 
b) 
∆𝑥 = 𝛾(∆𝑥′ + 𝑣∆𝑡′) 
 
∆𝑥 =
1
√1 − β2
∗ (∆𝑥′ + 𝑣 ∗ ∆𝑡′) 
 
87,44 =
1
√1 − 0,742
∗ (0 + 074𝑐 ∗ ∆𝑡′) 
 
∆𝒕′ = 264.93 ns 
 
∆𝑡 = 𝛾(∆𝑡′ +
𝑣∆𝑥′
𝑐2
) 
∆𝑡 = 
1
√1 − 0,742
∗ (264.93 ns + 0) 
 
∆𝒕 = 𝟑𝟗𝟑. 𝟗 𝒏𝒔 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Um astronauta parte da Terra com destino à estrela Vega, distante 26 anos-luz, deslocando-se 
com a velocidade de 0,99c. Qual o tempo decorrido medido pelos relógios da Terra? (a) 
quando o astronauta chega a Vega? e (b) quando os observadores, na Terra, recebem o aviso 
de sua chegada à Vega? (c) Quantos anos mais velho os observadores na Terra julgam que o 
viajante estará ao chegar a Vega? 
6. 
a) 
∆𝑡 = 
𝑑
𝑣
= 
26𝑐
0.99𝑐
= 𝟐𝟔, 𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔 
b) 
26,3 + 26 = 𝟓𝟐, 𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔 
Obs: Como o sinal anda na velocidade da luz, ele leva 26 anos para retornar até a terra. 
 
c) O intervalo de tempo medido pelos relógios de bordo é o intervalo de tempo próprio 
∆to = ∆t/γ. 
∆𝑡′ =
26
1
√1 − 0,992
= 𝟑, 𝟕 𝒂𝒏𝒐𝒔 
 
 
7. (a) Pode uma pessoa, em princípio, viajar da Terra até o centro galáctico (que está a cerca 
de 23.000 anos-luz de distância) num intervalo igual ao de uma vida normal? Explique 
usando argumentos da dilatação do tempo ou da contração dos comprimentos. (b) Que 
velocidade constante seria necessária para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)? 
Resposta: (a) Sim; (b) 0,9999992c. 
 
a) Em principio sim, se a pessoa mover-se suficientemente rápido, pelo argumento da dilatação 
temporal: 
∆𝑡 = 𝛾 ∗ ∆𝑡′ 
O tempo na terra será muito maior do que o contado na espaçonave. 
 
b) 
𝑣 = 
𝑑
𝑡
= 
𝑑
𝛾∗∆𝑡′
=
23000𝑐
1
√1−(
𝑣
𝑐)
2
∗30
 
Agora basta isolar o velocidade (v) e obteremos: 
 
𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟏𝟒𝟗𝒄 
 
8. Um experimentador arma um mecanismo para disparar simultaneamente dois holofotes, 
um de flash azul, localizado na origem do seu referencial, e um de flash vermelho, em x = 
30 km. Um segundo observador, movendo-se com a velocidade de 0,250c no sentido dos 
x crescentes, também vê os flashes. (a) Qual é o intervalo de tempo que ele registra entre 
os flashes? (b) Qual é o flash que, para ele, ocorre em primeiro lugar? (42 – 20, 38 – 17) 
a) 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ = 𝛾(𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙 + 
𝑣 ∗ 𝑥𝑎𝑧𝑢𝑙
𝑐2
) 
 
𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ = 𝛾(𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 + 
𝑣 ∗ 𝑥𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
𝑐2
) 
 
Subtraindo as equações, temos: 
 
 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ − 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ = 𝛾((𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙 − 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜) + 
𝑣 ∗ (𝑥𝑎𝑧𝑢𝑙 − 𝑥𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜)
𝑐2
) 
 
Como os olofotes disparam juntos: 
 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙 = 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 
 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ − 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ = 𝛾 ∗ (0 + 
𝑣 ∗ (𝑥𝑎𝑧𝑢𝑙 − 𝑥𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜)
𝑐2
) 
 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ − 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ =
1
√1 − 
(0,250𝑐)2
𝑐2
∗ (0 + 
0,250𝑐 ∗ (30)
𝑐2
) 
 
𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ − 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ = 28,82 𝜇𝑠 
 
𝑡𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜
′ − 𝑡𝑎𝑧𝑢𝑙
′ = −𝟐𝟖, 𝟖𝟐 𝝁𝒔 
 
 
b) O segundo holofote emite primeiro no segundo referencial. Note que, devido ao efeito 
Doppler, a luz não será vermelha. 
 
 
9. Pela medição do deslocamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 
se afasta de nós com a velocidade de 0,800c. O quasar Q2, que está na mesma direção no 
espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de 0,400c. Que velocidade 
seria medida para Q2, por um observador em Q1? Resposta: 0,588 c, afastando-se. 
 
Pela pela equação (37-28): 
 
𝑢 =
𝑢′ + 𝑣
1 + 
𝑢′ ∗ 𝑣
𝑐2
 
 
𝑢′ =
𝑢 − 𝑣
1 − 
𝑢 ∗ 𝑣
𝑐2
 
 
 
𝑢′ =
𝑄1 − 𝑄2
1 − 
𝑄1 ∗ 𝑄2
𝑐2
= 𝟎, 𝟓𝟖𝟖𝒄 
 
 
 
 
 
10. Uma nave espacial está se afastando da Terra com uma velocidade de 0,20c. Uma luz, na 
popa da nave, parece azul (= 450 nm) aos passageiros da nave. Que cor pareceria a um 
observador na Terra? 
 
Esta questão refere-se ao efeito Doppler para a luz: 
 
𝑓 = 𝑓𝑜√
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
 
𝑓𝑜 = 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒(𝑛𝑎𝑣𝑒) 
 
1
𝜆
=
1
𝜆𝑜
√
1 − 𝛽
1 + 𝛽
 
 
1
𝜆
=
1
450𝑛
√
1− 
0,2𝑐
𝑐
1+ 
0,2𝑐
𝑐
 
 
𝝀 = 𝟓𝟓𝟏𝒏𝒎 
 
 
 
 
 
 
11. Qual é o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron de (a) 0,18c até 0,19c 
e (b) 0,98c até a 0,99c? Observe que o aumento de velocidade (= 0,01c) é o mesmo, nos dois 
casos. 
Resposta: (a) 996,1 eV; (b) 1,0545 MeV. 
 
a) 
𝑊(𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜) = ∆𝐾(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎) 
 
𝑊 = 𝑚𝑒 ∗ 𝑐
2 ∗ 𝛾 
 
𝑊 =
9,11∗10−31𝑘𝑔
1,602∗10−19𝐽
∗ (3 ∗ 108)2 ∗ ( 
1
√1−0,192
− 
1
√1−0,182
 ) = 𝟗𝟗𝟕, 𝟔𝟒 𝒆𝑽 
 
b) 
Mesmos passos do item ‘a’ 
 
 
12. Uma partícula de massa m tem um momento linear igual a mc. Quais são (a) o seu fator 
de Lorentz, (b) a sua velocidade e (c) a sua energia cinética? 
Resposta: (a) 1,414; (b) 0,707 c; (c) 0,414 mc2 
 
a) 
 
𝑝 = 𝛾 ∗ 𝑚 ∗ 𝑣 
 
𝑚𝑐 = 
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣 
 
𝑚𝑐 = 
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
∗ 𝑚 ∗ 𝑣 ↔ 𝑣 =
𝑐
√2
 
 
 
𝛾 =
1
√1 − (
𝑣
𝑐)
2
 
 
 𝛾 =
1
√1 − (
𝑐
√2 
𝑐 )
2
= 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 
 
b) 
𝑣 =
𝑐
√2
= 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝒄 
 
c) 
𝐾 = 𝑚 ∗ 𝑐2 ∗ (𝛾 − 1) 
 
𝐾 = 𝑚 ∗ 𝑐2 ∗ (1,414 − 1) = 𝟎, 𝟒𝟏𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒄𝟐 
 
13. Imagine as seguintes partículas, todas elas em movimento no vácuo: um fóton de 2,0 eV, 
um elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 MeV. (a) Qual delas se move mais rápidamente 
? (b) Qual delas se move maislentamente? (c) Qual delas tem o maior momento linear ? 
(d) Qual delas tem o menor momento linear? Observação: um fóton é uma partícula de luz 
com massa nula. 
Resposta: (a) o fóton; (b) o próton; (c) o próton; (d) o fóton. 
 
 a) 
 Fóton: 
v = c 
𝑝 = 𝛾 ∗ 𝑚 ∗ 𝑣 
𝛾 = 𝑖𝑛𝑓. 
 
𝑝 =
𝐸
𝑐
=
2𝑒𝑉
𝑐
 
 
𝐄𝐥𝐞𝐭𝐫𝐨𝐧: EK = mc
2(γ − 1) → γ = 1 +
 EK
mc2
= 1 +
0,4
0,511
= 𝟏, 𝟕𝟖 
 
p = γ m v = γ 
mc2
c2
 √1 − γ−2 = 1,78 
0,511
c2
 √1 − 1,78−2 c = 𝟎, 𝟕𝟓 𝐌𝐞𝐕/𝐜 
 
𝐏𝐫𝐨𝐭𝐨𝐧: EK = mc
2(γ − 1) → γ = 1 +
 EK
mc2
= 1 +
10
938
= 𝟏, 𝟎𝟏 
 
p = γ m v = γ 
mc2
c2
 √1 − γ−2 = 1,01 
938
c2
 √1 − 1,01−2 c = 𝟏𝟑𝟑 𝐌𝐞𝐕/𝐜 
 
 
 
14. tempo de vida médio dos múons em repouso é s. Em medidas realizadas em 
laboratório, sobre o decaimento de múons altamente energéticos provenientes de um feixe 
que emerge de um acelerador de partículas, encontra-se para a vida-média 6,90 s. (a) 
Qual é a velocidade destes múons no laboratório? (b) Qual é a energia cinética e (c) Qual 
é o seu momento linear? A massa de um múon é 207 vezes a massa de um elétron. 
Resposta: (a) 0,948 c; (b) 225,954 MeV; (c) 314,41 MeV/c. 
 
a) 
∆𝑡 = ∆𝑡𝑜 ∗ 𝛾 
 
∆𝑡 = 
∆𝑡𝑜
√1 − 
𝑣2
𝑐2
 
 
6,90𝜇 = 
2,20𝜇
√1 − 
𝑣2
𝑐2
 
 
𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟕𝒄 
 
b) 
𝑘 = 𝑚 ∗ 𝑐2(𝛾 − 1) 
 
𝐾 =
9,11 ∗ 10−31
1,602 ∗ 10−19
∗ 207 ∗ 𝑐2 ∗ (
1
√1 − 
0,947𝑐2
𝑐2
− 1) 
 
c) 
𝑝 = 𝑚 ∗ 𝛾 ∗ 𝑣 
 
𝑝 =
𝑚 ∗ 𝑐2
𝑐2
∗
1
√1 −
(0,947𝑐)2
𝑐2
∗ 0,947𝑐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os exemplos seguintes não são da lista 
 
 
15. Um observador S detecta dois flashes de luz, um vermelho em 𝑥1 = 1200𝑚 e, 4μs depois, um 
flash azul ocorrendo em 𝑥2 = 480𝑚. De acordo com o observador S’ os dois flashes ocorrem 
na mesma coordenada x’. (a) Qual o valor da velocidade (v/c) de S’ em relação a S? (b) S’ está 
se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo x? (c) Qual dos dois flashes ocorreu 
primeiro de acordo com S’? (d) Qual o intervalo de tempo entre os dois flashes de acordo com 
S’? 
 
(a) ∆𝑥′ = 0 = 𝛾 (∆𝑥 − 𝑢 ∆𝑡) → 𝒖 =
∆𝒙
∆𝒕
= −𝟎, 𝟔 𝒄 
(b) 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 (𝑢 = −0,6𝑐) 
(c) Como no item (d) ∆𝑡′ é 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, então ele vê o vermelho primeiro. 
(d) ∆𝑡 = 4 𝜇𝑠 → ∆𝑡′ = 𝛾 (∆𝑡 − 𝑢 ∆𝑥/𝑐2) = 1,25 (4 10−6 −
(−0,6)(−720)
3
10−8) = 𝟑, 𝟐 𝝁𝒔 
 
 
16. Os píons são criados na alta atmosfera da Terra, quando partículas de alta energia, de raios 
cósmicos, colidem com núcleos atômicos. Um píon assim formado desce em direção à Terra 
com a velocidade de 0,99c. Num referencial onde estejam em repouso, os píons decaem com 
a vida média de 26 ns. Num referencial fixo na Terra, qual é a distância percorrida (em média) 
pelos píons na atmosfera, antes de decaírem? 
 
 ∆𝑡′ = 26 𝑛𝑠; ∆𝑡 = 𝛾 ∆𝑡′; 
∆𝑥 (𝑑𝑖𝑠𝑡. 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎) = 𝑢 ∆𝑡 = 𝑢 𝛾 ∆𝑡′ = 
= 0,99𝑐 26 
10−9
√1−0,992
= 𝟓𝟒, 𝟕 𝒎 
 
 
17. Através de um telescópio, observa-se uma Galáxia G1 se afastando da Terra a uma velocidade 
0,8c. Por este mesmo telescópio, outra Galáxia G2, que está na mesma direção que a G1 e se 
encontra mais próxima da Terra, também se afasta só que com a metade da velocidade de 
G1(medidas do referencial da Terra). Qual o valor da velocidade de G2 do ponto de vista de 
um observador estacionário em relação a G1? 
 
𝑣′ = 
𝑣 − 𝑢
1 −
𝑣 𝑢
𝑐2
 = 
0,8 − 0,4 
1 − 0,8 . 0,4
 𝑐 = 𝟎, 𝟔 𝒄 
 
18. Um par elétron-pósitron é produzido por um Raio γ de alta energia (conforme mostra a figura). 
Estas duas partículas são produzidas no mesmo ponto do espaço e com velocidades de mesma 
direção, módulo igual a 0,99c e sentidos opostos em relação ao laboratório. Qual a velocidade 
relativa do elétron em relação pósitron? 
 𝑒− 𝑒+ 
 
 0,99c 0,99c 
 
 
𝑣 = 
𝑣′ + 𝑢
1 +
𝑣′𝑢
𝑐2
 = 
0,99 + 0,99 
1 + 0,992
 𝑐 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗 𝟗𝟓 𝒄 
 
 
19. Em um referencial inercial uma espaçonave se move com velocidade igual a 95% da 
velocidade da luz se afastando da Terra. A espaçonave cruza com um meteorito que viaja 
praticamente na mesma direção, mas em sentido oposto e que tem velocidade igual a 0,95c 
nesse mesmo referencial inercial. A espaçonave mede 150m no seu referencial próprio 
(comprimento medido por um observador em repouso em relação a espaçonave). Determine 
quanto tempo o meteorito leva para passar pela espaçonave do ponto de vista de um observador 
a bordo da espaçonave. 
 
𝑣 = 
𝑣′ + 𝑢
1 +
𝑣′𝑢
𝑐2
 = 
0,95 + 0,95 
1 + 0,952
 𝑐 = 𝟐, 𝟗𝟗𝟔 𝟏𝟎𝟖 
𝒎
𝒔
 
∆𝑡 =
∆𝑥
𝑣
=
150
 𝑣
= 𝟎, 𝟓 𝝁𝒔 
 
 
20. Um píon e criado em uma colisão de alta energia entre uma partícula de raios cósmicos e uma 
partícula da parte superior da atmosfera terrestre, 120 km acima do nível do mar. O píon possui 
uma energia total E de 1,35x 105 MeV e está se movendo verticalmente para baixo. No 
referencial de repouso do pion, o pion decai 35 ns após ser criado. Em que altitude acima do 
nível do mar, do ponto de vista de um observador terrestre, ocorre esse decaimento? A energia 
de repouso de pion é 139,6 MeV. 
 
 𝐿 = 120 𝑘𝑚 𝑦 = 𝐿 − ∆𝑥; ∆𝑥 = 𝑣𝑝𝑖𝑜𝑛 ∆𝑡 = 𝑣𝑝𝑖𝑜𝑛 ∆𝑡′ 𝛾 
 
 ∆𝑥 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝛾: 𝛾 = 
𝐸𝑇
𝑚𝑐2
 =
1,35
139,6
 105 = 967 
 L 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑝𝑖𝑜𝑛: 
𝑣
𝑐
= √1 − 𝛾−2 = 𝑣𝑝𝑖𝑜𝑛 = 0,999 999 5 𝑐 
 
 y ∆𝑥 = 𝑣𝑝𝑖𝑜𝑛 ∆𝑡
′ 𝛾 = 10.153𝑚 → 
 
 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟏𝟎, 𝟏𝟓𝟑 − 𝟏𝟎𝟗, 𝟖𝟒 𝐤𝐦 
 
 
 
21. A vida média dos múons em repouso é 2,20 s. Em medidas realizadas em laboratório, sobre 
o decaimento de múons altamente energéticos provenientes de um feixe que emerge de um 
acelerador de partículas, encontra-se para a vida-média 6,90 s. (a) Qual é a velocidade destes 
múons no laboratório? (b) Qual é a energia cinética e (c) Qual é o seu momento linear? A 
massa de um múon é 207 vezes a massa de um elétron. Considere a energia de repouso do 
elétron igual a 0,511 MeV. 
 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝛾: 𝛾 = ∆𝑡/∆𝑡′ =
6,9
2,2
 = 3,136 
(a) 
𝑣
𝑐
= √1 − 𝛾−2 ; 𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟕𝟖 𝒄 
(b) 𝐸𝐾 = 𝑚𝑐
2(𝛾 − 1) = 207 (𝑚𝑒𝑐
2) (𝛾 − 1) = 207 0,511 2,136 𝑀𝑒𝑉 = 𝟐𝟐𝟔 𝑴𝒆𝑽 
(c) 𝑝 = 𝛾 𝑚 𝑣 = 𝛾 
𝑚𝑐2
𝑐2
 𝑣 = 3,136 . 207 . 0,511 . 0,9478 
𝑀𝑒𝑉
𝑐
= 𝟑𝟏𝟒, 𝟒𝟏 𝑴𝒆𝑽 
 
 
22. Imagine as seguintes partículas, todas elas em movimento no vácuo com as seguintes energias 
cinéticas: um fóton de 2,0 eV, um elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 MeV. (a) Qual delas 
se move mais rapidamente? (b) Qual delas se move mais lentamente? (c) Qual delas tem o 
maior momento linear? (d) Qual delas tem o menor momento linear? Observação: um fóton é 
uma partícula de luz, com massa nula. 𝑚𝑒𝑐
2= 0,511 𝑀𝑒𝑉 𝑚𝑝𝑐
2 = 938 𝑀𝑒𝑉. 
 
𝑭𝒐𝒕𝒐𝒏: 𝑣 = 𝑐 → 𝜸 = ∞ 𝐸 = 𝑝 𝑐 → 𝑝 =
𝐸
𝑐
= 𝟐 𝒆𝑽/𝒄 
 
𝑬𝒍𝒆𝒕𝒓𝒐𝒏: 𝐸𝐾 = 𝑚𝑐
2(𝛾 − 1) → 𝛾 = 1 +
 𝐸𝐾
𝑚𝑐2
= 1 +
0,4
0,511
= 𝟏, 𝟕𝟖 
 
𝑝 = 𝛾 𝑚 𝑣 = 𝛾 
𝑚𝑐2
𝑐2
 √1 − 𝛾−2 = 1,78 
0,511
𝑐2
 √1 − 1,78−2 𝑐 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝑴𝒆𝑽/𝒄 
 
𝑷𝒓𝒐𝒕𝒐𝒏: 𝐸𝐾 = 𝑚𝑐
2(𝛾 − 1) → 𝛾 = 1 +
 𝐸𝐾
𝑚𝑐2
= 1 +
10
938
= 𝟏, 𝟎𝟏 
 
𝑝 = 𝛾 𝑚 𝑣 = 𝛾 
𝑚𝑐2
𝑐2
 √1 − 𝛾−2 = 1,01 
938
𝑐2
 √1 − 1,01−2 𝑐 = 𝟏𝟑𝟑 𝑴𝒆𝑽/𝒄 
 
Resp. (a) fóton; (b) próton; (c) próton; (d) foton 
 
 
 
 
 
 
 
23. Qual deve ser o momento de uma partícula de massa m para que a energia total da partícula 
seja 3 vezes maior do que a sua energia de repouso? 
𝐸 = 𝛾 𝑚 𝑐2 = 3𝑚𝑐2 → 𝛾 = 3; 
𝑣
𝑐
= √1 − 1/9 ; 𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟒𝟑 𝒄 
𝑝 = 𝛾 𝑚 𝑣 = 𝟐, 𝟖𝟐𝟖 𝒎𝒄 
 
 
 
24. (a) Qual é a quantidade de energia liberada na explosão de uma bomba de fissão contendo 3,0 
kg de material fissionável? Suponha que 0,10% da massa é convertida em energia liberada. (b) 
que massa de TNT precisaria explodir para liberar a mesma quantidade de energia? Admita 
que cada mol de TNT libere 3,4 MJ de energia na explosão. A massa molecular de TNT é 
0,227 kg/mol. 
 
(𝑎) 𝐸𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 = 0,001 𝑚 𝑐
2 = 0,003 𝑘𝑔 𝑐2 = 𝟐, 𝟕 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝑱 
(𝑏) 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡. 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 = 2,7
1014
3,4 106
= 79 106 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 
𝑀𝑇𝑁𝑇 = 0,227 . 79 10
6 = 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟔𝒌𝒈