TOPICO 2 Testes Hipoteses parametricos uma amostra

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Profa. Débora Spenassato 
E-mail: dspenassato@furg.br 
TESTES DE HIPÓTESES - 
Inferência a partir de uma 
amostra 
 
Teste de hipótese para a Média 
com σ conhecido 
http://conceito.de/hipotese 
Quando o valor do desvio padrão populacional é conhecido, a população 
original for normal ou n grande, com base no teorema central do limite 
podemos afirmar que a distribuição amostral da média segue uma 
distribuição normal e a estatística de teste é dada pela seguinte 
expressão: 
 
n
X
Zcal 


Exemplo 1 
 Um fabricante utiliza uma máquina para encher as embalagens de 
café. A máquina está funcionando adequadamente se colocar 700 g 
de café em pó em cada embalagem. 
 A fim de verificar a calibragem da máquina, a empresa coletou uma 
amostra aleatória de 40 embalagens. Esta amostra apresentou uma 
média de 698 g. Sabe-se que o desvio padrão da população é de 
10 g. 
 Teste a hipótese de que o peso médio das embalagens na 
população é de 700 g, a um nível de significância de 5 %. 
A afirmação é igualdade! 
Solução: 
1. Retire os dados do problema: 
 
 
 
2. Formule as hipóteses Ho e H1 (lembre-se que a hipótese nula é 
aquela que contém o sinal de igual): 
Ho:  = 700 (afirmação)
 
H1:  ≠ 700 
3. Determine o valor crítico: 
 o teste é bilateral; áreas nas extremidades da curva de 0,025 
cada uma. 
Com o auxílio da tabela normal padronizada obtemos o valor 
crítico 
4. Calcule a estatística de teste: 
 
 
 
 
26,1
4010
700698





n
X
Zcal 

5. Tome a decisão (rejeitar Ho ou não): Podemos verificar que o 
Zcal = -1,26 está dentro da área de não rejeição de H0, pois encontra-
se entre -1,96 e +1,96. 
 
6. Interpretação: Não há evidências suficientes para garantir a rejeição 
da afirmativa de que o peso médio em cada embalagem é de 700 g. 
Logo, não há necessidade de parar a linha de produção para calibrar a 
máquina. 
Não rejeitar a hipótese nula, ao nível de significância de 5%. 
Decisão com base 
no valor crítico 
Exemplo 1 – decisão baseada no P-valor 
Calcule a estatística de teste: 
 
 
 
 
26,1
4010
700698





n
X
Zcal 

P = 0,1038 x 2 (bilateral) = 0,2076 que corresponde a área da curva 
normal 
P >  = não rejeitar H0 
0,2076 > 0,05 
698 g 702 g 
• A probab. de ter ocorrido ao acaso valores menores de 
698g e maiores de 702g é alta. Por isso, não rejeitar Ho 
(µ=700g). Logo, esses valores da amostra podem ter 
ocorrido ao acaso e não tem muita “força” para 
demonstrar que houve mudança a ponto de rejeitar Ho 
em favor de H1. 
• Se a probab. de ter ocorrido ao acaso valores menores 
de 698g e maiores de 702g fosse muito baixa (menor que 
α), rejeitaria Ho (µ=700g). Ou seja, é um resultado que 
raramente ocorreria se Ho fosse verdadeira, sendo esta uma 
boa evidência de que a afirmativa não seja verdadeira. “Se 
aconteceu, não foi ao acaso, é porque há indícios de que 
houve mudança”. 
Valor de P ≤ α → rejeitar H0 
 
Valor de P > α → não rejeitar H0 
O gerente de um Resort Hotel afirma que os hóspedes gastam, em média, 
mais de R$ 500,00 durante um final de semana. Para testar a afirmação 
do gerente foi selecionada, aleatoriamente, uma amostra de 30 hóspedes, 
obtendo-se uma média de R$ 530,00. Sabe-se que o desvio padrão 
populacional dos gastos dos hóspedes é de R$ 45,00. Use α = 5%. 
 
 
1. Formule as hipóteses Ho e H1 
H0 : μ = 500 
H1 : μ > 500 (O gerente afirma que os hóspedes gastam mais de R$ 500,00) 
Exemplo 2 
A afirmação é de desigualdade! 
•Interpretação: Há evidências suficientes para apoiar a afirmativa 
do gerente de que os hóspedes gastam mais de R$ 500,00. 
2. Determine o valor crítico para α = 5% 
 corresponde a 1,64 na tabela 
 
3. Calcule a estatística de teste 
 
 
 
4. Tome a decisão 
Rejeita-se Ho ao nível de significância de 5% 
65,3
3045
500530





n
X
Zcal 

Você acredita que o consumo médio anual de energia elétrica (em 
Kwh) nas residências de Rio Grande é menor do que 350. Sabe-se 
que o desvio padrão de consumo é 50 kwh na cidade. Para testar 
isso, fez-se um levantamento de 30 residências, ao acaso, que 
mostrou consumo médio de 330 kwh e desvio padrão de 42. Sendo 
α = 0,1, você pode confirmar sua alegação? 
 
 
 
Exemplo 3 
Rejeitar H0. 
 
19,2calZ
Sim, há evidências para confirmar a afirmativa... 
Teste de hipótese para a Média 
com σ desconhecido 
Para amostras cujo desvio padrão da população é 
desconhecido, a distribuição a ser usada no cálculo de testes de 
hipóteses é a distribuição t de Student, desde que possamos 
considerar que a população tem distribuição normal ou 
aproximadamente normal. Neste caso, a estatística do teste será 
dada por: 
 
nS
X
tcal
/


Exemplo 1 
Há 12 anos o número médio de horas gasto assistindo TV, por família 
da população, foi relatado como sendo de, no máximo, 6,8 horas por 
dia. Uma emissora de televisão alega que o tempo médio gasto 
assistindo TV aumentou nos últimos anos. 
Uma amostra aleatória de 22 famílias forneceu um tempo médio 
gasto diante da televisão de 7,5 horas por dia com desvio padrão 
amostral de 1,8 horas por dia. Teste a alegação da emissora de 
televisão. Use um nível de significância de 1%. 
 
A afirmação é de desigualdade! 
 
 
Determine o valor crítico: O teste é unilateral à direita (>). Na tabela da 
distribuição t de Student vamos procurar o valor de g.l. = 21 e área 0,01. 
t = 2,518 (positivo, pois está a direita de zero) 
 
Calcule a Estatística de Teste 
 
 
Decisão: Não rejeitar Ho. 
Não há evidência suficiente para apoiar a afirmativa da emissora de TV de que 
o tempo médio gasto assistindo TV aumentou nos últimos anos. 
Formule as hipóteses Ho e H1 
Ho: µ ≤ 6,8 h 
H1: µ > 6,8 h 
Solução: 
 
82,1
22/8,1
8,65,7
/





nS
X
tcal

Em um anúncio, uma pizzaria alega que o tempo médio de entrega 
é inferior a 30 minutos. Uma amostra aleatória de 36 tempos de 
entregas tem uma média amostral de 28,5 minutos e um desvio 
padrão de 3,5 minutos. Há evidências suficientes para confirmar a 
alegação com α = 0,05? 
 
 
 
Exemplo 2 
6896,1
57,2


c
cal
t
t
Rejeitar H0 
Testes de Hipóteses para 
Proporções 
p
cal
pp
Z
ˆ
ˆ



n
pq
n
x
p p  ˆeˆonde A proporção da população, simbolizada por p é um parâmetro populacional. Para a proporção podemos ter três formas para 
um teste de hipótese, são eles: 
H0: p = p0 
H1: p ≠ p0 ou H1: p < p0 ou H1: p > p0 
 
O p0 é um valor hipotético para a proporção da população. 
 
Estatística de teste para a proporção: 
O fabricante de uma droga medicinal afirma que ela é 90% eficaz 
na cura de uma alergia, em um período de 8 horas. Em uma 
amostra de 200 pessoas que tinham alergia, a droga curou 160 
pessoas. Determine se a afirmação do fabricante é verdadeira. 
Usar α = 5 %. 
 
 
Exemplo 1 
Dados: 
p = 0,9 q = 0,1 n = 200 
8,0
200
160
ˆ p
Ho: p = 0,9 
H1: p < 0,9 
Solução: 
A afirmação é de igualdade! 
Solução: 
Exemplo 2 
Num clube de futebol da cidade, apenas 20% do pessoal que 
assiste aos jogos são mulheres. Em um esforço para aumentar 
essa proporção, o clube utilizou uma promoção especial. Após 
certo período foiselecionada uma amostra aleatória de 500 
pessoas, dos quais 150 eram mulheres. 
Teste a hipótese de que a proporção de mulheres que assistem 
aos jogos no clube de futebol aumentou com a nova promoção. 
Use nível de significância de 10%. 
 
Rejeita-se Ho ao nível de significância de 10%. Zcalc=5,59 
Testes de Hipóteses para a 
variância ou desvio 
padrão populacional 
Para testar hipóteses sobre a variância (σ2) ou desvio padrão 
populacional (σ), usamos a distribuição qui-quadrado (teste ). 2
Afirmativas sobre o desvio padrão populacional: 
 
• Os escore QI de estudantes de faculdade têm um desvio padrão 
menor do que 15, que é o desvio padrão da população em geral. 
 
• Os professores de colégios têm rendas anuais com um desvio padrão 
que é maior do que R$ 10.000,00. 
 
• O desvio padrão da vida útil de uma lâmpada comum é de 2.000 
horas. 
A distribuição 2
Propriedades da Distribuição: 
1. Todos os valores de χ2 são não negativos e a distribuição não é 
simétrica; ou seja, a relação entre área na cauda e valor da abscissa 
precisa ser feita em cada lado da distribuição; 
2. Há uma distribuição χ2 diferente para cada número de graus de liberdade. 
Triola (2017) 
Valores críticos para testes 
unilaterais e bilaterais 
Os valores críticos são encontrados na 
Tabela χ2, usando graus de liberdade, 
g.l.=n–1. 
1) Unilateral à direita: use valor crítico 
correspondente aos g.l. e 1-α; 
2) Unilateral à esquerda: use valor crítico 
correspondente aos g.l. e α; 
3) Bilateral: use os valores 
correspondente aos g.l. e α/2 e 1- α/2. 
 
 
Notação 
n = tamanho amostral 
s = desvio padrão amostral 
s2 = variância amostral 
σ = valor suposto do desvio padrão populacional 
σ2 = valor suposto da variância populacional 
 
Requisitos para o teste 
1. A amostra é uma amostra aleatória simples. 
2. A população tem distribuição normal. 
 
Estatística de Teste é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar os valores críticos, usamos a tabela. 
2
2
2 )1(


sn
cal


Teste para Variância 
 
Muitas vezes há interesse em verificar possíveis alterações na 
variabilidade. Nesses casos, o teste pode ser feito com as 
hipóteses: 
 
 
 
No caso de teste unilateral, a hipótese alternativa seria: 
• Unilateral à direita: 
• Unilateral à esquerda: 
 
 
22
1
22
0
0
0
:
:




H
H
22
1
22
1
0
0
:
:




H
H
O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores 
varia segundo um modelo com distribuição normal, com média de 7,4 
segundos e variância de 1,3. Depois de algumas mudanças na rede, 
acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além de 
uma possível alteração na variabilidade. 
Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB 
e foram anotados os tempos de transmissão (em segundos). 
 
 6,8 7,1 4,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3 
 
Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de 
computadores alteraram a variabilidade no tempo de transmissão de 
dados? Use nível de significância de 5%. 
 
Exemplo 1 
 
Barbetta et al., 2010. 
 
As hipóteses são: 
 
 
 
 
Como uma amostra de 10 observações produziu variância 
s2 = 0,608, temos a seguinte estatística de teste: 
 
21,4
3,1
)608,0).(9().1(
2
2
2 

 
sn
X cal3,1:
3,1:
2
1
2
0




H
H
Determinação do valor crítico 
Para construir a regra de decisão precisamos obter os pontos críticos 
 , os quais separam áreas iguais α/2 em cada cauda da distribuição. 
Usando a tabela, obtemos: 
),( 22
2
1 cc  700,221 c 023,19
2
2 c
 
Área à esquerda da curva 
 
O resultado da estatística de teste ( ) cai na região de 
não rejeição de H0. Ou seja, não há evidências de que as 
mudanças realizadas na rede de computadores alteraram a 
variabilidade no tempo de transmissão dos dados. 
Na tabela 
4,21 
21,42 calX
Solução para abordagem usando o valor de P 
Podemos observar na tabela que o valor x2 = 4,21 separa cerca de 
10% de área na cauda inferior. Considerando que o teste é bilateral, 
temos . 
Como P > α = 5%, o teste não rejeita H0. 
%20P
Exemplo 2 
178 180 176 174 175 178 180 178 178 177 
As alturas (cm) de uma amostra aleatória simples de modelos – 
Lima, Bundchen, Ambrosio, Ebanks, Iman, Rubik, Kurkova, Kerr, 
Kroes e Swanepoel. Considere a afirmativa de que as modelos têm 
alturas com menor variação do que as alturas de mulheres na 
população geral. Usaremos o nível de significância de 0,01 para 
testar a afirmativa de que as modelos têm alturas com desvio 
padrão que é menor que 6 cm, que é o desvio padrão para a 
população geral de mulheres. 
s= 1,955 cm 
956,02 calX
Rejeitar Ho 
09,22 cX
Resumo sobre os testes de hipóteses para uma amostra 
Referências: 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução a estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio 
Cezar. Estatística Para Cursos de Engenharia e Informática. 3 ed. São 
Paulo: Atlas, 2010. 
BRUNI, Adriano L. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. 2.ed. São 
Paulo: Atlas, 2010. 
PINTO, S.S.; SILVA, C. S. Estatística vol. 2. Porto Alegre: a autora, 2013. 
MOORE, D., NOTZ, I., FLINGER, A. A Estatística Básica e sua Prática, 7ª 
edição. LTC, 2017. 
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2009.