AULA 1.3 Prova 1 2016 GRADIENTE

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INSINSTITUTO FEDERAL DE, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS 
CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
PROF: ANTONIO JOAO 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL
 ESTUDANTE: DATA: 
MATEMÁTICA -IFSC Prof. Antônio João – anttoniojoao@gmail.com 
 AULA 1.3 - PROVA 1 - CALCULO VETORIAL - CAMPOS VETORIAIS 
DERIVADAS DIRECIONAIS
Os vetores podem representar campos de velocidade, como correntes oceânicas, velocidade do vento 
durante um tornado ou o fluxo de ar passando por um aerofólio inclinado. Nas próximas aulas 
estudaremos o cálculo dos campos vetoriais. Esses campos são funções que associam vetores a pontos 
do espaço. Em particular, definimos a integral de linha que pode ser utilizada para determinar o trabalho 
efetuado por um campo de força agindo sobre um objeto que se move ao longo de uma curva. 
Definimos a integral de superfície que pode ser usada para determinar a taxa de vazão de um fluido 
através de uma superfície. As conexões entre esses tipos novos de integrais e as integrais de funções de 
uma variável real, duplas e triplas, qua já foi visto em semestres anteriores, são dadas por versões de 
maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo: Teorema de Green, Teorema de Stokes e 
Teorema da Divergância. 
CAMPOS VETORIAIS 
Os vetores da Figura abaixo representam os vetores velocidade do ar e indicam a rapidez, a direção e o 
sentido em pontos 10 𝑚 acima da superfície na área da baía de São Francisco. Dando uma olhada nas 
setas maiores da parte 𝑎 vemos que a maior rapidez dos ventos naquele instante ocorre quando os 
ventos entram na baía através da ponte Golden Gate. A parte 𝑏 mostra um aspecto batante diferente 
em uma época posterior. Associado a cada ponto no ar podemos imaginar o vetor velocidade do vento. 
Esse é um exemplo de um campo de vetores velocidade. 
 𝑎 12: 00 AM, 20 de Fevereiro de 2007 𝑏 2: 00 PM, 21 de Fevereiro de 2007 
FIGURA 1 Campo de vetores velocidade mostrando aspectos do vento na baía de São Francisco 
 
 
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Outros exemplos de campo de vetores velocidade estão ilustrados na Figura 2: Correntes oceânicas e o 
fluxo por um aerofólio. 
 
 
 
 
 
 
 𝑎 correntes oceânicas em frente a costa de Nova Scotia 𝑏 Fluxo do ar passando por um aerofólio 
 Outro tipo de campo vetorial, chamado campo de força, associa um vetor força a cada ponto da 
região. Um exemplo é o campo de força gravitacional mostrado no exemplo a seguir. 
 Geralmente um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos do ℝ2 
 ou ℝ3 e cuja imagem é um conjunto de vetores em 𝑉2 ou 𝑉3 . 
 
 
 
A melhor maneira de enxergar um campo 
vetorial é desenhar setas representando os 
vetores 𝑭 𝒙,𝒚 começando em um ponto 𝑥,𝑦 . 
É claro que é impossível fazer isso para todos os 
pontos 𝑥, 𝑦 , mas podemos visualizar 𝑭 
fazendo isso para alguns pontos representativos 
em 𝐷, como na figura 3. 
 
Como 𝑭 𝒙,𝒚 é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes 
𝑃 𝑒 𝑄, como segue: 
𝑭 𝑥,𝑦 = 𝑃 𝑥,𝑦 𝒊 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝒋 = 𝑃 𝑥,𝑦 ,𝑄 𝑥,𝑦 
Ou, simplificando, 
𝑭 = 𝑃𝒊 + 𝑄𝒋 
Note que 𝑃 e 𝑄 são funções escalares de duas variáveis e são chamadas, algumas vezes, campos 
escalares, para distinguir dos campos vetoriais. 
 
 
 
Seja 𝐷 um conjunto em ℝ2 (uma região plana). Um campo vetorial sobre ℝ𝟐 é uma 
função 𝐅 que associa a cada ponto 𝑥,𝑦 em 𝐷 um vetor bidimensional 𝐹(𝑥,𝑦). 
Definição 
Seja E um conjunto em ℝ3. Um campo vetorial sobre o ℝ𝟑 é uma função 𝐅 
que associa a cada ponto 𝑥,𝑦, 𝑧 em 𝐸 um vetor tridimensional 𝐹(𝑥,𝑦, 𝑧). 
Definição 
 FIGURA 3 Campo Vetorial no ℝ2 
 
 
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Um campo vetorial 𝑭 sobre ℝ3 está ilustrado na Figura 4. Podemos escrevê-lo em termos das funções 
componentes 𝑃,𝑄 e 𝑅 como 
𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑃 𝑥,𝑦, 𝑧 𝒊 + 𝑄 𝑥,𝑦, 𝑧 𝒋 + 𝑅 𝑥,𝑦, 𝑧 𝒌 
 
 
 
 
 
Como para funções vetoriais vistas nas aulas anteriores, podemos definir continuidade de campos 
vetoriais e mostrar que 𝑭 é contínua se e somente se suas funções componentes 𝑃,𝑄 𝑒 𝑅 são contínuas. 
Às vezes identificamos o ponto 𝑥,𝑦, 𝑧 com seu vetor de posição 𝑥 = 𝑥,𝑦, 𝑧 e escrevemos 𝐅(𝐱) em 
vez de 𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 . Então 𝑭 é uma função que associa um vetor 𝐅(𝐱) ao vetor 𝐱. 
 
EXEMPLO 1. Um campo vetorial em ℝ2 é definido por 
𝐹 𝑥,𝑦 = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 
Descreva 𝑭 desenhando alguns de seus vetores 𝑭 𝑥,𝑦 , como na figura 3. 
Solução 
Como 𝐹 1,0 = 𝑗, desenhamos o vetor 𝑗 = 0,1 começando no ponto (1,0), Como 𝐹 0,1 = −𝑖, 
desenhamos o vetor −1,0 iniciando no ponto 0,1 . Continuamos desse modo desenhando um número 
significativo de vetores para representar o campo vetorial na Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 5 parece que cada seta é tangente a um círculo com centro na origem. Para confirmar isso, 
vamos tomar o produto escalar do vetor de posição 𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 com o vetor 𝑭 𝒙 = 𝑭 𝒙,𝒚 : 
𝐱 ∙ 𝐅 𝐱 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ∙ −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 
= −𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 = 0 
 
 
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Isso mostra que 𝐹(𝑥, 𝑦) é perpendicular ao vetor de posição 𝑥,𝑦 e portanto tangente ao círculo com 
centro na origem e raio x = 𝑥2 + 𝑦2. Note também que 
 𝐹 𝑥,𝑦 = −𝑦 2 + 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑦2 = x 
E o comprimento do vetor 𝐹 𝑥,𝑦 é igual ao raio do círculo. 
As figuras abaixo apresentam a representação de alguns campos vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2. Desenhe o campo vetorial em 
ℝ3 dado por 𝐹 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑧𝑘. 
Solução. O desenho está mostrado na figura 9. 
Note que todos os vetores são verticais 
apontando para cima, quando acima do plano 
𝑥𝑦, e para baixo, quando abaixo do plano 𝑥𝑦. 
O comprimento aumenta à medida que nos 
distanciamos do plano 𝑥𝑦. 
 
Somos capazes de desenhar o campo vetorial do Exemplo 2 à mão, pois ele é especialmente simples, 
Entretanto, é impossível desenhar à mão a maioria dos campos vetoriais tridimensionais, e assim 
precisamos do auxílio de um sistema algébrica computacional. As figuras abaixo mostram alguns 
campos vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 3. Imagine um líquido fluindo uniformemente em um cano e seja 𝑽(𝑥,𝑦, 𝑧) o vetor 
velocidade em um ponto 𝑥,𝑦, 𝑧 . Então 𝑽 associa um vetor a cada ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧 de um certo domínio 
𝐸(interior do cano), e assim 𝑽 é um campo vetorial em ℝ3 chamado campo de velocidade. Um campo 
de velocidade possível está ilustrado na Figura 13. A rapidez em qualquer ponto é indicada pelo 
comprimento da seta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIGURA 13 Campo de velocidade de escoamento de um líquido. 
EXEMPLO 4. A Lei Gravitacional de Newton estabelece que a amplitude da força gravitacional entre 
dois objetos com massa 𝑚 e 𝑀 é 
 𝐹 =
𝑚𝑀𝐺
𝑟2
 
Onde 𝑟 é a distância entre os objetos e 𝐺 é a constante gravitacional. (Esse é um exemplo de uma lei de 
um inverso ao quadrado). Vamos admitir que o objeto com massa 𝑀 esteja localizado na origem ℝ3. 
(Por exemplo, M poderia ser a massa da terra e a origem seria seu centro). Seja 𝐱 = 𝑥,𝑦,𝑧 o vetor de 
posição do objeto com massa 𝑚. Então 
𝑟 = 𝐱 ou 𝑟2 = 𝐱 𝟐. A força gravitacional exercida nesse segundo objeto age em direção à origem, e 
seu versor é 
−
𝐱
 𝐱 
 
Portanto, a força gravitacional agindo no objeto em 𝐱 = 𝑥,𝑦, 𝑧 é 
𝑭 𝐱 = −
𝑚𝑀𝐺
 𝐱 3
𝐱 
 
Físicos frequentemente utilizam a notação 𝐫 em vez de 𝐱 para o vetor posição, de modo que você possa 
conhecer a Fórmula anterior escrita como 
𝐅 = −
𝑚𝑀𝐺
𝐫
 
 
 
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A função dada pela equação acima é um exemplo de campo de velocidade, chamado campo 
Gravitacional, porque associa um vetor (a Força 𝑭 𝐱 ) a todo ponto 𝐱 do espaço. 
Essa fórmula é uma forma compacta de escrever o campo gravitacional, mas podemos escrevê-los em 
termos de suas funções componentes usando o fato de que 
𝐱 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 𝑒 𝐱 = x2 + y2 + z2 
𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 =
−𝑚𝑀𝐺𝑥
 x2 + y2 + z2 
3
2
𝒊 +
−𝑚𝑀𝐺𝑦
 x2 + y2 + z2 
3
2
𝒋 +
−𝑚𝑀𝐺𝑧
 x2 + y2 + z2 
3
2
𝒌 
O campo gravitacional de 𝑭 está ilustrado na figura abaixo. 
 
 
EXEMPLO 5. Suponha que a carga elétrica 𝑄 esteja 
localizada na origem. Pela Lei de Coulomb, a força elétrica 
𝐹 𝑥 exercida por essa carga sobre uma carga 𝑞 localizada no 
ponto 𝑥,𝑦, 𝑧 com vetor posição 𝐱 = x, y, z é 
𝐅 𝐱 =
𝜺𝒒𝑸
 𝐱 𝟑
𝐱 
Onde 𝜺 é uma constante (que depende da unidade utilizada). Para cargas iguais utilizamos 𝑞𝑄 > 0 e a 
força repulsiva; para cargas diferentes temos 𝑞𝑄 < 0 e a força é atrativa. 
Em vez de considerar a força elétrica 𝑭, os físicos frequentemente consideram a força por unidade de 
carga: 
𝐄 𝐱 =
𝟏
𝐪
𝐅 𝐱 =
𝜺𝑸
 𝐱 𝟑
𝐱 
Então 𝑬 é um campo vetorial em ℝ3 chamado campo elétrico de 𝑄. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADA DIRECIONAL 
O mapa meteorológico dos estados da 
Califórnia e Nevada, apresentado na figura 
abaixo, mostra os contornos da função 
temperatura 𝑇(𝑥,𝑦) às 15 horas de um dia 
de outubro. As curvas de nível ou 
isotérmicas ligam localidades que 
apresentam a mesma temperatura. A 
derivada parcial 𝑇𝑥 em um ponto, como o 
Reno, dá a taxa de variação da temperatura 
em relação à distância se viajarmos de Reno 
para leste, 𝑇𝑦 é a taxa de variação de 
temperatura se viajarmos para o norte. Mas 
o que acontece se desejarmos conhecer a 
taxa de variação da temperatura quando 
viajarmos para sudeste (indo para Las 
Vegas) ou em outra direção qualquer? 
Nesta seção introduzimos um tipo de 
derivada, chamada derivada direcional, que 
nos permite determinar a taxa de variação 
de uma função de duas ou mais variáveis 
em qualquer direção. 
 
DERIVADAS DIRECIONAIS 
Lembremo-nos de que, se 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 , as derivadas parciais 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 são definidas como 
𝑓𝑥 𝑥0,𝑦0 = 𝑙𝑖𝑚
𝑕→0
𝑓 𝑥0 + 𝑕, 𝑦0 − 𝑓 𝑥0,𝑦0 
𝑕
 
 
 
𝑓𝑦 𝑥0,𝑦0 = 𝑙𝑖𝑚
𝑕→0
𝑓 𝑥0,𝑦0 + 𝑕 − 𝑓 𝑥0,𝑦0 
𝑕
 
 
E representa as taxas de variação de 𝑧 na direção positiva dos eixos 𝑥 e 𝑦, ou seja, nas direções e 
sentidos dos versores 𝐢 e 𝐣. 
Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de 𝑧 no ponto 𝑥0,𝑦0 na direção e sentido de um 
vetor unitário arbitrário 𝐮 =< 𝑎, 𝑏 > . Para fazê-lo devemos considerar a superfície 𝑆 com equação 
𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 (gráfico de 𝑓) e tomar 𝑧0 = 𝑓 𝑥0,𝑦0 . O ponto 𝑃 𝑥0,𝑦0, 𝑧0 pertence a 𝑆. O plano vertical 
que passa por 𝑃 na direção de 𝐮 intercepta 𝑆 em uma curva 𝐶. A inclinação da reta tangente 𝑇 a 𝐶 em 𝑃 
é a taxa de variação de 𝑧 na direção e sentido de 𝐮. 
 
 
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Se 𝑄 𝑥,𝑦, 𝑧 é outro ponto sobre 𝐶 e 𝑃′ , 𝑄′ são as projeções de 𝑃, Q sobre o plano 𝑥𝑦, então o vetor 
𝑃′𝑄′ é paralelo a 𝐮, e portanto 
𝑃′𝑄′ = 𝑕𝐮 = 𝑕𝑎,𝑕𝑏 
Para algum valor do escalar 𝑕. Dessa forma, 𝑥 − 𝑥0 = 𝑕𝑎, 𝑦 − 𝑦0 = 𝑕𝑏, logo 𝑥 = 𝑥0 + 𝑕𝑎, 𝑦 = 𝑦0 +
𝑕𝑏, e 
Δ𝑧
𝑕
=
𝑧 − 𝑧0
𝑕
=
𝑓 𝑥0 + 𝑕𝑎,𝑦0 + 𝑕𝑏 −𝑓 𝑥0,𝑦0 
𝑕
 
Se tomarmos o limite quando 𝑕 → 0, obteremos a taxa de variação de 𝑧 (em relação à distância) na 
direção e sentido de 𝐮, que é chamada derivada direcional de 𝑓 na direção e sentido de 𝐮. 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑢𝑓 𝑥0,𝑦0 = lim
𝑕→0
𝑓 𝑥0 + 𝑕𝑎,𝑦0 + 𝑕𝑏 −𝑓 𝑥0,𝑦0 
𝑕
 
𝐷𝑢𝑓 𝑥0, 𝑦0 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑥0,𝑦0 
A derivada direcional de 𝑓 em 𝑥0,𝑦0 na direção e sentido do vetor unitário 𝐮 = 𝑎, 𝑏 é 
Se esse limite existir. A derivada direcional também pode ser escrita como 
Definição 
 
 
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Comparando a definição acima com as derivadas parciais 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 , vemos que, se 𝐮 = 𝐢 = 1,0 , então 
𝐷𝑖𝑓 = 𝑓𝑥 e se 𝐮 = 𝐣 = 0,1 , então 𝐷𝑗𝑓 = 𝑓𝑦 . Em outras palavras, as derivadas parciais de 𝑓 com relação 
a 𝑥 e 𝑦 são casos particulares da derivada direcional. 
EXEMPLO 1. Calcular a derivada direcional usando a definição, do campo escalar 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2, 
em 𝑃 2,1 , na direção de 𝑣 = −𝑖 + 2𝑗. 
Resolução no caderno 
 
 
EXEMPLO 2. Calcular a derivada direcional usando a definição, do campo escalar 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥2 +
𝑦2 − 2𝑧2, em 𝑃 1,2, 2 , na direção de 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘. 
Resolução no caderno 
 
EXEMPLO 1. Utilize o mapa meteorológico da figura abaixo para estimar o valor da derivada 
direcional da função temperatura em Reno na direção sudeste. 
 
Solução. O versor na direção sudeste é dado por 𝐮 =
𝐢−𝐣
 2
 , mas não necessitamos dessa expressão. Em 
vez disso, inicialmente traçamos uma reta que passa por Reno na direção sudeste. 
Aproximadamente a derivada direcional 𝐷𝑢𝑇 pela taxa máxima de variação de temperatura entre os 
pontos onde a reta traçada intercepta isotérmicas 𝑇 = 50 e 𝑇 = 60. A temperatura no ponto a sudeste de 
Reno é 𝑇 = 60°𝐹, e a temperatura no ponto a noroeste de Reno é 𝑇 = 50°𝐹. A distância aproximada 
desses pontos é de 75 milhas. Logo a taxa de variação da temperatura na direção sudeste é 
𝐷𝑢𝑇 ≅
60 − 50
75
=
10
75
= 0,13°𝐹/𝑚𝑖𝑛 
 
 
10 
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Quando computamos a derivada direcional de uma função definida por uma fórmula, geralmente 
usamos o seguinte teorema. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO2. Determine a derivada direcional 𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 se 
𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦2 
E 𝐮 é o versor dado pelo ângulo 𝜃 =
𝜋
6
. Qual será 𝐷𝑢𝑓 1,2 ? 
Solução 
Temos que o versor é 𝐮 = cos 
𝜋
6
 , sin 
𝜋
6
 
𝐷𝑢𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥,𝑦 cos 
𝜋
6
 + 𝑓𝑦 𝑥,𝑦 sin 
𝜋
6
 
= 3𝑥2 − 3𝑦 
 3
2
+ −3𝑥 + 8𝑦 
1
2
 
=
1
2
 3 3𝑥2 − 3𝑥 + 8 − 3 3 𝑦 
Portanto 
𝐷𝑢𝑓 1,2 =
1
2
 3 3 1 2 − 3 1 + 8 − 3 3 2 =
13 − 3 3
2
 
CAMPOS GRADIENTES 
Se 𝑓 é uma função escalar de duas variáveis, sabemos que seu gradiente ∇𝑓 (ou grad 𝑓) é definido por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, ∇𝑓 é realmente um campo vetorial em ℝ2 e é denominado campo do vetor gradiente. Da 
mesma forma, se 𝑓 for uma função escalar de três variáveis, seu gradiente é um campo vetorial em ℝ3 
dado por 
𝐷𝑢𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 ,𝑓𝑦 ∙ 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑥 𝑥,𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥,𝑦 𝑏 
Se 𝑓 é umafunção diferenciável em 𝑥 e 𝑦 , então 𝑓 tem derivada direcional na direção e sentido 
de qualquer versor 𝐮 = 𝑎, 𝑏 é 
Teorema 
∇𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 ,𝑓𝑦 𝑥,𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝐢 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑥
𝐣 
Se 𝑓 é uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦, o gradiente de 𝑓 é a função vetorial ∇𝑓 definida por 
Definição 
 
 
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∇𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝒊 + 𝑓𝑦 𝑥,𝑦, 𝑧 𝒋 + 𝑓𝑧 𝑥,𝑦, 𝑧 𝒌 
 
Observe que usando a notação do vetor gradiente, podemos reescrever a derivada direcional como 
 
 
 
 
 
Que expressa a derivada direcional na direção e sentido de 𝐮 como a projeção escalar do vetor gradiente 
sobre 𝐮. 
 
EXEMPLO. Se 𝑓 𝑥,𝑦 = sin 𝑥 + 𝑒𝑥𝑦 , então 
∇𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑓𝑥 ,𝑓𝑦 = cos 𝑥 + 𝑦𝑒
𝑥𝑦 , 𝑥𝑒𝑥𝑦 
E portanto ∇𝑓 0,1 = 2,0 
 
EXEMPLO. Determine a derivada direcional da função 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2𝑦3 − 4𝑦 no ponto 2,−1 na 
direção do vetor 𝑣 = 2𝑖 + 5𝑗. 
 
EXEMPLO. Determine o vetor gradiente de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2𝑦 − 𝑦3. Desenhe o campo de vetores 
gradientes juntamente com um mapa de contorno de 𝑓. Como estão relacionados? 
Solução 
O campo de vetor gradiente é dado por 
 
∇𝑓 𝑥,𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝒋 = 2𝑥𝑦𝒊 + 𝑥2 − 3𝑦2 𝒋 
 A figura mostra o mapa de contorno de 𝑓 com o campo de vetor gradiente. Note que os vetores 
gradientes são perpendiculares às curvas de nível. Note também que os vetores gradientes são mais 
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = ∇𝑓 𝑥,𝑦 ∙ 𝐮 
 
 
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longos onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras e mais curtos quando elas estão 
mais distantes entre si. Isso se deve ao fator de o comprimento do vetor gradiente ser o valor da derivada 
direcional de 𝑓 e a proximidade das curvas de nível indicar uma grande inclinação do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um campo vetorial 𝑭 é dito ser um campo vetorial conservativo se ele é o gradiente de alguma 
função escalar, ou seja, se existe uma função escalar, ou seja, se existe uma função 𝑓 tal que 𝑭 = 𝛁𝒇. 
Nessa situação 𝑓 é dita ser uma função potencial de 𝐅. 
 Nem todos os campos vetoriais são conservativos, mas aparecem frequentemente em física. Por 
exemplo: o campo gravitacional 𝑭 do exemplo 4 é conservativo pois, se definimos 
 
𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = −
𝑚𝑀𝐺
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
Então 
 ∇𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝒊 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝒋 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝒌 
=
−𝑚𝑀𝐺𝑥
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
3
2 
𝒊 +
−𝑚𝑀𝐺𝑦
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
3
2 
𝒋 +
−𝑚𝑀𝐺𝑧
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
3
2 
𝒌 
 = 𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 
EXEMPLO. Encontrar o gradiente dos campos escalares 
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 𝑏) 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑒𝑦 
Resolução no caderno 
 
 
 
 
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EXEMPLO. Em uma esfera metálica de raio 3 𝑐𝑚, a temperatura 𝑇 𝑥,𝑦, 𝑧 em cada ponto é 
proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera, sendo 1 o coeficiente de proporcionalidade. 
Representar geometricamente o campo Gradiente gerado por 𝑇 𝑥,𝑦, 𝑧 . 
Resolução 
A distância de um ponto 𝑃 𝑥,𝑦, 𝑧 é 𝑑 = 𝑥 − 0 2 + 𝑦 − 0 2 + 𝑧 − 0 2 
𝑑 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Como a temperatura em cada ponto é proporcional à distância do Ponto 𝑃 𝑥,𝑦, 𝑧 até a superfície, então 
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3 − 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Portanto o gradiente é 
∇𝑇 = 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
,
𝜕𝑇
𝜕𝑦
,
𝜕𝑇
𝜕𝑧
 
∇𝑇 = −
𝑥
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,−
𝑦
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
,−
𝑧
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
O campo gradiente está representado na figura abaixo. 
 
 
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Propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação Geométrica do Gradiente 
Consideremos uma função escalar 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 e suponhamos que, para cada constante 𝑘, em um intervalo 
𝐼, a equação 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑘 representa uma superfície no espaço. Fazendo 𝑘 tomar todos os valores, 
obtemos uma família de superfícies, que são as superfícies de nível da função 𝑓. 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções escalares tais que existam ∇𝑓 e ∇𝑔 e seja 𝑐 uma constante. Então: 
 ∇ 𝑐𝑓 = 𝑐∇𝑓 
 
 ∇ 𝑓 + 𝑔 = ∇𝑓 + ∇𝑔 
 
 ∇ 𝑓𝑔 = 𝑔∇𝑓 + 𝑓∇𝑔 
 
 ∇ 
𝑓
𝑔
 =
𝑔∇𝑓−𝑓∇g
g2
 
Seja 𝑓 uma função escalar tal que, por um ponto 𝑃 do espaço, passa uma superfície de nível 𝑆 de 
𝑓. Se ∇𝑓 ≠ 0 em 𝑃, então ∇𝑓 é normal a 𝑆 em 𝑃. 
Proposição 
 
 
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Demonstração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO. Determinar um vetor normal à superfície 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 no ponto 𝑃 1,0,1 . 
 
 
 
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑖 + 𝑦 𝑡 𝑗 + 𝑧 𝑡 𝑘 
𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 = 𝑘 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 ∙ 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 = 0 
∇𝑓 ∙
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
= 0 
Seja 𝐶 uma curva nos espaço que passa por 𝑃 e esteja contida na superfície de nível 𝑆 de 𝑓. 
Representamos 𝐶 por 
Como 𝐶 está contida em 𝑆, temos que 
Derivando em relação a 𝑡, temos 
Como 
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
 é tangente à curva 𝐶 em 𝑃, segue que ∇𝑓 é normal à curva 𝐶 em 𝑃. 
Como 𝐶 é uma curva qualquer de 𝑆, concluímos que ∇𝑓 é normal à superfície 𝑆 
 
 
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EXEMPLO. Determinar um vetor perpendicular à circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 no ponto 𝑃 2, 5 . 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DA DERIVADA DIRECIONAL USANDO GRADIENTE 
 
EXEMPLO. Determinar a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 𝑧, no ponto 𝑃 −1,1,0 , na 
direção do vetor 𝑣 = 2𝑖 − 5𝑗 + 2𝑘. 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA-Cálculo Vetorial Prof. Antônio João – anttoniojoao@gmail.com 
EXEMPLO. Determinar a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, no ponto 𝑃 −1, 2,
1
2
 , na 
direção do vetor que une 𝑃 a 𝑄 −2,0,
1
2
 .