aula 13 dia 05 10 2018 mOdulo v extensoes do modelo de regressao simples

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MÓDULO V-EXTENSÕES DO 
MODELO DE REGRESSÃO 
SIMPLES
AULA 13 
DIA 05-10-2018 
DISCIPLINA:ECONOMETRIA 1 
PROFª: Graciela Profeta
5- MÓDULO V- EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO SIMPLES
5.3- FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE REGRESSÃO
Uma importante premissa do MRLC é que os
modelos de regressão devem ser lineares nos
parâmetros, mas eles podem ou não ser lineares
nas variáveis: Neste módulo abordaremos os
seguintes pontos.
i) Modelo LOG-LINEAR;
ii) Modelos SEMILOGARÍTIMOS; e,
iii)Modelos RECÍPROCOS;
5.3- FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE REGRESSÃO
5.3.1- Modelo Log- Linear – (elasticidades)
Em que ln significa logaritmo natural (e) e (Log significa
logaritmo na base 10);
O modelo (137) é linear nos parâmetros (𝜶 e 𝜷𝟐), linear nos
logaritmos das variáveis Y e X e pode ser estimado por MQO;
Dado a linearidade, o modelo (137) também é chamado de:
log-log, duplo-log.
(137) ln que em ,lnln
(136) lnlnln
lexponencia modelo(135) 
12
21
1
2
βuXβY
uXββY
eXY
iii
iii
u
ii
i
=++=
++=
→=

 
5.3.1- Modelo Log- Linear e log-log –
(elasticidades)
Se as premissas do MRLC forem atendidas,
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 (137
′) pode ser estimado por
MQO, fazendo:
𝑌𝑖
∗ = 𝛼 + 𝛽2𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖 (138)
Os estimadores de MQO ( ො𝛼 e መ𝛽2) da equação (138)
serão BLUE.
5.3.1- Modelo Log- Linear ou Log-log- (elasticidades)
 O modelo Log-log tem grande aplicabilidade em estudos
econômicos, principalmente aqueles relacionados a
comportamentos de preços, demanda, oferta, etc.
Geralmente em estudos desta natureza, o pesquisador busca
informações sobre as elasticidades (preço, cruzada, renda). No
caso do modelo (137) o coeficiente de beta 2, mede justamente a
elasticidade de Y em relação a X;
 O beta 2 nos informa qual é a variação percentual de Y
correspondente a uma dada variação percentual (pequena) em
X.
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖
5.3.1- Modelo Log- Linear – (elasticidades)
O coeficiente de elasticidade (𝛽2) entre Y e X , permanece
constante. (Porque?)
5.3.1- Modelo Log- Linear – (elasticidades)
Vale lembrar que embora ො𝛼 e መ𝛽2 sejam estimativas não
tendenciosas de 𝛼 e 𝛽2 , 𝜷𝟏 (o parâmetro que entra no
modelo original), ao ser estimado como ෡𝜷𝟏 = 𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒐𝒈 (ෝ𝜶), é
um estimador tendencioso.
Contudo, dado que na prática, o interesse de pesquisa
não se concentra em saber a relação do intercepto com o
regressando, não é necessário se preocupar em obter um
estimativa não tendenciosa do 𝛽1.
(137) ln que em ,lnln
(136) lnlnln
lexponencia modelo(135) 
12
21
1
2
βuXβY
uXββY
eXY
iii
iii
u
ii
i
=++=
++=
→=

 
5.3.1- Modelo Log- Linear – (elasticidades)
 Exemplo: Suponha dados de despesas totais de
consumo (destotais) e despesas com bens duráveis
(desdur). Trata-se de dados trimestrais de 1993 a 1998
compreendendo 23 observações.
Suponha que desejamos encontrar a elasticidade das
despesas com bens duráveis em relação às despesas
totais.
Os resultados estimados foram:
5.3.1- Modelo Log- Linear – (elasticidades)
 ෣𝑙𝑛𝐷𝐸𝑆𝐷𝑈𝑅𝑡 = −9,6971 + 1,9056𝑙𝑛𝐷𝐸𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝐼𝑆𝑡
ep = (0,4341) (0,0514)
t= (-22,337)* (37,0962)* 𝑟2 = 0,9849
Nota: (*) significa um valor p extremamente baixo
Interpretação!
Rodar no Eviews ou gretl
Na próxima aula (11-10)
5.3.2- Modelos semilogarítimos - Log- Lin e Lin-Log
A) Modelo log-lin: medir taxa de crescimento
As vezes nos interessa conhecer as taxas de crescimento de
variáveis como: população, PIB, oferta e demanda por
moeda, taxa de juros, inflação, etc.
Suponha que desejamos conhecer a taxa de crescimento
das despesas pessoais em serviços no período t (Yt). Para
tanto, considere o seguinte modelo: ( ) (139) 10
t
t rYY +=
em que Y0 é a despesa inicial;
r é a taxa de crescimento 
geométrica
A) Modelo log-lin: medir taxa de crescimento
Tomando o logaritmo natural de (139), temos:
Observe que no modelo (141) os parâmetros (betas) são
lineares; o regressando é lnYt e o regressor é o tempo. Que
assumirá os valores 1, 2, 3....etc..
( )
 (141) ln
: temoserro, de termoo incluindo e 
r)(1ln
ln
 Fazendo
(140) )1(lnlnln 1
21
2
01
00
it
t
t
t
utY
Y
rtYYrYY
++=



+=
=
++=→+=



semilogarítmo
A) Modelo log-lin: medir taxa de crescimento
Algumas propriedades da equação (141) → 𝒍𝒏𝒀𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒕 + 𝒖𝒕
O coeficiente angular ( 𝜷𝟐 ) mede a variação proporcional (ou
relativa) constante em Y para dada variação absoluta no valor do
regressor (neste caso, t). Matematicamente:
Se multiplicarmos 𝜷𝟐 por 100, teremos a taxa de crescimento de Y
(regressando).
O resultado desta operação é conhecido por semi-elasticidade de Y
em relação a X (no caso t).
(142) 
regressor no absoluta variação
oregressand no relativa variação
2 =
Modelo de tendência linear
 Ás vezes o pesquisador esta interessado em estimar um
modelo de tendência e não um modelo de taxa de
crescimento:
Se o 𝛽2 do modelo (143) for positivo, então Y apresenta tendência
crescente (vice-versa);
Vimos que para o modelo (141’) é possível obter as taxas de
crescimento relativas, já no modelo de tendência as taxa de
crescimento (decrescimento) são absolutas.
 tendênciade modelo (143) 
 
 ocresciment de taxade modelo )(141' ln
21
21
→++=
→++=
it
it
utY
utY


 tendênciade modelo (143) 
 
 ocresciment de taxade modelo )(141' ln
21
21
→++=
→++=
it
it
utY
utY


Modelo de tendência linear
Exemplo: Suponha que desejamos estudar as despesas com serviços
e obtivemos os seguintes resultados:
Interpretação: entre o 1º trimestre de 1993 e o 3º trimestre de 1998, as
despesas com serviços aumentaram, em média, a uma taxa absoluta
de cerca de 20 bilhões de dólares por trimestre.
Qual modelo 
escolho (141) ou 
(143)?
Posso comparar o r2
do modelo (141) 
com o do modelo 
(143)?
෣𝑫𝑬𝑺𝑷𝑺𝑬𝑹𝑽𝒕 = 𝟐. 𝟒𝟎𝟓, 𝟖𝟒𝟖 + 𝟏𝟗, 𝟔𝟗𝟐𝟎𝒕
t = (322,9855) (36,22479) 𝒓𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟖
5.3.2- Modelos semilogarítimos - Log- Lin e Lin-Log
B) Modelo lin-log
No modelo Log-lin o interesse era conhecer o
crescimento percentual de Y dado uma variação
absoluta em X.
Já para os modelos Lin-log, o interesse é conhecer a
variação absoluta de Y dada uma variação
percentual em X.
Suponha o seguinte modelo:
𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 → log-lin
B) Modelo lin-log:
(145) 
:logo,
X de relativa variação
Y de variação
lnX de variação
Y de variação
log-lin modelo(144) ln
22
2
21





 
=→


=
==
→++=
X
X
Y
X
X
Y
uXY iii



A equação (145) nos diz que uma variação absoluta em Y é igual 
ao coeficiente angular multiplicado por uma variação relativa 
em X. 
B) Modelo lin-log:

Voltando ao modelo (144)→ 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖→ lin-log
Importante: Ao interpretarmos os resultados 
obtidos pela estimação da equação (144), 
devemos multiplicar o valor do coeficiente 
angular (𝜷𝟐) por 0,01, ou dividir por 100 (que 
é a mesma coisa).
B) Modelo lin-log:

 Exemplo: Suponha o estudo das despesas com
alimentação. Os resultados do modelo lin-log, foi:
෣𝐷𝐸𝑆𝑃𝐴𝐿𝑖 = −1,283,912 + 257,2700𝑙𝑛𝐷𝐸𝑆𝑇𝑂𝑇𝐴𝑙𝑖
t = (-4,3848)* (5,6625)* 𝑟2 = 0,37
Interpretação:o aumento de 1% da despesa total
implica em um amento de aproximadamente 2,57
(que é 257,27/100) unidades monetárias nas despesas
com alimentos das famílias estudadas.
5- MÓDULO V- EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO SIMPLES
5.3.3- Modelos Recíprocos
Observe que o modelo (146) a seguir é linear nos parâmetros (então é
um MRL) e não linear na variável X, pois X está representada de modo
inverso (ou recíproco).
Quando X (PIB) aumenta indefinidamente, o termo 𝛽2
1
𝑋𝑖
se aproxima
de zero (𝛽2 constante); e Y (mortalidade) se aproxima
assintoticamente de 𝛽1;
(146) 
1
21 u
X
Y i
i
i +





+= 
5- MÓDULO V- EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO SIMPLES
5.3.3- Modelos Recíprocos
Exemplo: Suponha que desejamos estudar a relação entre
PNB per capta e a mortalidade infantil de 64 países. O
resultado do modelo estimado é:
෢𝑴𝑰𝒊 = 𝟖𝟏, 𝟕𝟗 + 𝟐𝟕. 𝟐𝟕𝟑, 𝟏𝟕
𝟏
𝑷𝑵𝑩𝒑𝒄𝒊
t = (7,5511) (7,2535) 𝒓𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟓𝟗
 Interpretação! Na medida que o 𝑃𝑁𝐵𝑝𝑐𝑖 aumenta de forma
indefinida, a mortalidade infantil (𝑀𝑖 ) se aproxima de seu
valor assintótico de cerca de 82 óbitos por mil
5.3.3- Modelos Recíprocos
Modelo da Hipérbole logarítmica ou modelo logarítmico recíproco
Observe que inicialmente Y aumenta a uma taxa crescente
(isto é, a curva é inicialmente convexa) e a seguir aumenta a
uma taxa decrescente (isto é, a curva se torna côncava).
(147) 
1
ln 21 u
X
Y i
i
i +





+= 
Função de produção de curto 
prazo, com K constante
5- MÓDULO V- EXTENSÕES DO MODELO DE REGRESSÃO SIMPLES
5.3.4- Escolha da forma Funcional
Dado essas formas funcionais, a pergunta agora é: Qual devo
escolher?
No caso de duas variáveis apenas (Y e X) uma dica é “plotar”
essas variáveis em um gráfico e verificar qual o modelo é mais
adequado;
Confiar no know-how (experiência do pesquisador);
Existem teste para verificar se a especificação do modelo está
correta (Reset);
Por enquanto, segue orientações básicas e gerais.
5.3.4- Escolha da forma Funcional
1. A teoria pode sugerir a forma funcional:
✓ Curva de Philips;
2. As vezes para um mesmo conjunto de dados,
podemos ter duas ou mais formas funcionais que se
ajustam bem.
✓ Se isto ocorrer, pode-se “desempatar” pela
análise de r2, teste F, AIC e SIC, por exemplo.
5.3.4- Escolha da forma Funcional
Cuidado com o uso do r2:
✓Não podemos comparar modelos pelo r2 se
não se tratar da mesma variável dependente e
mesmo tamanho de amostra;
✓O r2 tende a ser maior quanto maior for o
número de regressores inseridos no modelo e
isto pode gerar problemas de
multicolinearidade;