CAP 8

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223 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
EXPERIMENTOS 
FATORIAIS 
 
 
Os experimentos estudados nos capítulos anteriores são denominados 
de experimentos simples, porque apresentam um grupo de tratamentos, 
permanecendo os demais grupos constantes. Por exemplo, quando estuda-se o 
comportamento de cultivares de milho numa determinada região, todos os 
demais grupos de tratamentos como época de plantio, espaçamento, adubação, 
tratos culturais, época de colheita, etc., são mantidos constantes, isto é, são os 
mesmos para todas as cultivares de milho estudadas. 
Existem, contudo, casos em que vários grupos de tratamentos são 
estudados simultaneamente para que possam conduzir a resultados de 
interesse, como por exemplo, o estudo de efeito de diferentes espaçamentos 
em cultivares de milho numa determinada região. Para tanto, utilizam-se dos 
experimentos fatoriais, que são aqueles que incluem todas as combinações 
possíveis entre dois ou mais grupos de tratamentos. 
Nos experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: fator e 
nível. Um fator é qualquer grupo de tratamentos avaliado, enquanto que nível 
é qualquer uma das subdivisões dentro do fator. Por exemplo: pode-se, num 
experimento fatorial, combinar cinco cultivares com dois espaçamentos; então, 
os fatores serão cultivares e espaçamentos, sendo que o fator cultivares ocorre 
em cinco níveis e o fator espaçamentos ocorre em dois níveis. Os tratamentos, 
nesse experimento, serão: 
 
C1 E1 C2 E1 C3 E1 C4 E1 C5 E1 
 
C1 E2 C2 E2 C3 E2 C4 E2 C5 E2 
 
que são todas as combinações possíveis dos dois fatores em seus diversos 
níveis. 
Dependendo da natureza dos fatores usados, os experimentos fatoriais 
podem ser: 
 
 
224 
 
 
 
 
a) qualitativo – quando tem-se, por exemplo, cultivares e tipos de 
poda, tipos de fungicidas e épocas de plantio, tipos de adubos e tipos de 
herbicidas, raças e tipos de rações, raças e tipos de vermífugos, tipos de 
vacinas e tipos de ambientes, etc.; 
b) quantitativo – quando tem-se, por exemplo, doses de adubos e 
níveis de herbicidas, doses de adubos e doses de fungicidas, doses de 
vermífugos e doses de vitaminas, níveis de inclusão de um alimento na ração e 
períodos de restrição alimentar, etc.; 
c) misto – quando se usa os dois tipos de tratamentos, como por 
exemplo, cultivares e doses de adubos, tipos de rações e doses de vermífugos, 
raças e níveis de inclusão de um alimento na ração, etc.. 
Quanto aos experimentos fatoriais quantitativos, têm-se especial valor, 
nos experimentos de adubação, os fatoriais da série 2
n 
e da série 3
n
, ou 
qualquer outra série semelhante. Nestes casos, a base representa o número de 
níveis de cada nutriente e o expoente n, indica o número de nutrientes a ser 
usado (fatores). Por exemplo, o 2
3
 = 2 x 2 x 2 poderia ser o estudo de N, P, K, 
nos níveis 0 e 1. Tem-se, então, 8 combinações ou tratamentos a saber: 
N0 P0 K0; N0 P0 K1; N0 P1 K0; N0 P1 K1; N1 P0 K0; N1 P0 K1; N1 P1 K0; N1 P1 K1. 
Contudo, os mais comuns são os da série: 3
3
 = 3 x 3 x 3, onde se usam três 
nutrientes (N, P, K) em três níveis (0, 1, 2), cada um. Tem-se, então, 27 
combinações ou tratamentos a saber: N0 P0 K0; N0 P0 K1; N0 P0 K2; N0 P1 K0; 
N0 P1 K1; N0 P1 K2; N0 P2 K0; N0 P2 K1; N0 P2 K2; N1 P0 K0; N1 P0 K1; N1 P0 K2; 
N1 P1 K0; N1 P1 K1; N1 P1 K2; N1 P2 K0; N1 P2 K1; N1 P2 K2; N2 P0 K0; N2 P0 K1; 
N2 P0 K2; N2 P1 K0; N2 P1 K1; N2 P1 K2; N2 P2 K0; N2 P2 K1; N2 P2 K2. 
Fato semelhante ocorre com os agroquímicos, que podem ser usados ou 
avaliados em doses diferentes. 
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento estatístico 
e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de 
tratamentos, e podem ser instalados em qualquer um dos delineamentos já 
estudados. 
As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos 
experimentos simples são as seguintes: 
a) Melhor utilização dos recursos dando maior eficiência – Os 
experimentos fatoriais utilizam melhor os recursos do que os experimentos 
simples, com mão-de-obra reduzida em função da redução da área 
experimental, além da redução do tempo e dos recursos financeiros 
empregados, proporcionando uma maior eficiência, tendo em vista que são 
estudados ao mesmo tempo dois ou mais fatores. Por exemplo, se fosse 
estudado em um experimento, só competição de cultivares, sem variação de 
espaçamentos, e, em outro experimento, só espaçamentos, com uma cultivar 
apenas, não seria permitido tirar conclusões mais abrangentes, tendo em vista 
 
 
225 
 
 
 
 
que no primeiro experimento podería-se chegar à conclusão que uma cultivar 
se destacou perante as outras somente para aquele tipo de espaçamento 
utilizado, e no outro experimento, que um tipo de espaçamento sobrepujou os 
demais com a utilização daquela cultivar. Se, por outro lado, fosse estudado 
através de um experimento fatorial, chegaría-se, sem sombra de dúvidas, a 
conclusões mais gerais a respeito destes grupos de tratamentos, pois tería-se 
condições de julgar o comportamento de todas as cultivares em todos os 
espaçamentos em um único experimento. 
b) Permitem estudar os efeitos principais dos fatores e os efeitos 
das interações entre os fatores – Como em tais experimentos dois ou mais 
fatores são estudados ao mesmo tempo, pode-se estudar o efeito principal de 
cada um dos fatores e o efeito da interação entre dois fatores. Por exemplo, se 
num experimento fatorial for estudado o comportamento de diversas cultivares 
de soja em diversas épocas de plantio e for analisado a produção de grãos 
(kg/parcela), pode-se avaliar, isoladamente, o efeito de cultivares e o efeito de 
épocas de plantio na produção de grãos de soja, bem como avaliar o efeito da 
interação cultivares x épocas de plantio na produção de grãos de soja, ou seja, 
se o comportamento das cultivares de soja é ou não o mesmo dentro dos níveis 
de épocas de plantio. Já nos experimentos simples isto é impossível. 
Apesar de largamente usados na pesquisa agropecuária, os 
experimentos fatoriais não podem ser aplicados indiscriminadamente, pois 
apresentam as seguintes desvantagens: 
a) A análise estatística é mais trabalhosa - Em tais experimentos, a 
análise estatística é mais trabalhosa do que os experimentos simples, tendo em 
vista que, além de se fazer a análise da variância preliminar, que é feita de 
acordo com o delineamento estatístico utilizado, faz-se o desdobramento dos 
graus de liberdade de tratamentos no esquema fatorial. Ainda, a interpretação 
dos resultados se torna mais difícil à medida que aumenta o número de fatores 
e/ou de níveis no experimento. 
b) O número de tratamentos ou combinações cresce rapidamente, 
dificultando a instalação do experimento – Quando cresce o número de 
fatores ou níveis, eleva-se muito o número de parcelas, como por exemplo, um 
ensaio fatorial de 6 x 4 x 2 com duas repetições, que dá um total de 96 
parcelas, trazendo, com isso, dificuldades na instalação do experimento. Estas 
dificuldades, como se sabe, dizem respeito a homogeneidade da área 
experimental, bem como da disponibilidade de material ou elemento humano. 
Para contornar esta desvantagem surgiram várias alternativas, tais 
como: 
(b.1) Uso de blocos incompletos – são aqueles que não contém todos 
os tratamentos, sendo os mais simples os blocos incompletos equilibrados, 
com análise intrablocos; 
 
 
226 
 
 
 
 
(b.2) Uso da técnica do confundimento – consiste em subdividir 
cada bloco em sub-blocos homogêneos, de modo que se possa confundir um 
ou mais efeitos de tratamentos (geralmenteinterações de menor interesse) com 
efeito de blocos. Se constitui na alternativa mais usada na prática; 
(b.3) Uso de fatoriais fracionários – são aqueles que usam uma 
fração ou uma parte de todas as possíveis combinações do fatorial. 
 
8.1 Instalação do Experimento 
 
Tendo em vista que os experimentos fatoriais podem se instalados em 
qualquer um dos delineamentos já estudados, em função dos mesmos não se 
constituírem num delineamento estatístico e sim, num esquema orientado de 
desdobramento de graus de liberdade de tratamentos, deve-se, então, definir, 
inicialmente, qual o delineamento estatístico que será utilizado; 
posteriormente, deve-se seguir à risca o que determina tal delineamento, no 
que se refere à instalação do experimento. 
 
8.2 Esquema da Análise da Variância 
 
Os experimentos fatoriais podem ser instalados em qualquer um dos 
delineamentos estatísticos já estudados. Em função disso, será feito uma 
abordagem apenas em torno do delineamento em blocos casualizados, por ser 
o mais utilizado na pesquisa agropecuária. Por outro lado, toda discussão feita 
é válida aos outros delineamentos. 
Considerando um experimento fatorial 3 x 2, onde combinam-se três 
tratamentos A (A0, A1, A2) e dois tratamentos B (B0, B1), e quatro repetições, 
então tem-se o seguinte quadro auxiliar da análise da variância: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
227 
 
 
 
 
Quadro Auxiliar da ANAVA 
 
 
 
Tratamentos 
 
 Blocos 
 
 
 
Totais de 
Tratamentos 
 
I 
 
II 
 
III 
 
IV 
 
 
A0 B0 
 
X (A0 B0) I 
 
X (A0 B0) II 
 
X (A0 B0) III 
 
X (A0 B0) IV 
 
T A0 B0 
 
 
A0 B1 
 
X (A0 B1) I 
 
X (A0 B1) II 
 
X (A0 B1) III 
 
X (A0 B1) IV 
 
T A0 B1 
 
 
A1 B0 
 
X (A1 B0) I 
 
X (A1 B0) II 
 
X (A1 B0) III 
 
X (A1 B0) IV 
 
T A1 B0 
 
 
A1 B1 
 
X (A1 B1) I 
 
X (A1 B1) II 
 
X (A1 B1) III 
 
X (A1 B1) IV 
 
T A1 B1 
 
 
A2 B0 
 
X (A2 B0) I 
 
X (A2 B0) II 
 
X (A2 B0) III 
 
X (A2 B0) IV 
 
T A2 B0 
 
 
A2 B1 
 
X (A2 B1) I 
 
X (A2 B1) II 
 
X (A2 B1) III 
 
X (A2 B1) IV 
 
T A2 B1 
 
 
Totais de Blocos 
 
BI 
 
BII 
 
BIII 
 
BIV 
 
 
 
O quadro auxiliar da análise de variância acima é utilizado para 
analisar a parte inferior do quadro da análise da variância do experimento 
fatorial, que na verdade corresponde a uma análise de variância do 
delineamento em blocos casualizados. Este procedimento é chamado de 
análise preliminar. 
A parte superior do quadro da análise da variância do experimento 
fatorial, que corresponde ao desdobramento dos graus de liberdade de 
tratamentos no esquema fatorial, é obtida a partir de uma análise efetuada 
numa tabela, proveniente do quadro auxiliar anterior, chamada de dupla 
entrada, conforme se verifica a seguir: 
 
Tabela de Dupla Entrada 
 
 
Tratamentos A 
 
Tratamentos B 
 
 
 
Totais de Tratamentos A 
 
B0 
 
B1 
 
 
A0 
 
T A0 B0 
 
T A0 B1 
 
T A0 
 
A1 
 
T A1 B0 
 
T A1 B1 
 
T A1 
 
A2 
 
 
T A2 B0 
 
T A2 B1 
 
T A2 
 
Totais de Tratamentos B 
 
T B0 
 
T B1 
 
 
 
 
 
228 
 
 
 
 
O esquema da análise da variância é dado por: 
 
Quadro da ANAVA 
 
Causa de 
Variação 
 
 
GL 
 
SQ 
 
QM 
 
F 
 
Tratamentos A 
 
tA – 1 
 
SQ 
Tratamentos A 
 
QM 
Tratamentos A 
 
QM Tratamentos A/ 
QM Resíduo 
 
 
Tratamentos B 
 
tB – 1 
 
SQ 
Tratamentos B 
 
QM 
Tratamentos B 
 
QM Tratamentos B/ 
QM Resíduo 
 
 
Interação (A x B) 
 
(tA –1) (tB – 1) 
 
SQ 
Interação (A x B) 
 
QM 
Interação (A x B) 
 
QM Interação (A x B )/ 
QM Resíduo 
 
 
Tratamentos 
 
t – 1 
 
SQ Tratamentos 
 
 
- 
 
- 
 
Blocos 
 
r – 1 
 
SQ Blocos 
 
 
- 
 
 
Resíduo 
 
(t –1 ) (r – 1) 
 
SQ Resíduo 
 
QM Resíduo 
 
 
 
Total 
 
t . r – 1 
 
 
 
onde: 
GL = número de graus de liberdade; 
SQ = soma de quadrados; 
QM = quadrado médio; 
F = valor calculado do teste F; 
t = número de tratamentos (combinações); 
r = número de repetições do experimento; 
tA = número de tratamentos A; 
tB = número de tratamentos B; 
 
SQ Total =  



2
2
 
 
onde: 
X = valor de cada observação; 
N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) 
multiplicado pelo número de repetições do experimento (r); 
 
SQ Tratamentos =    




22
r
 
 
 
229 
 
 
 
 
onde: 
T (AB) = total de cada combinação (AB); 
 
SQ Blocos =  




22
t
 
 
onde: 
B = total de cada bloco; 
 
SQ Resíduo = SQ Total – (SQ Tratamentos + SQ Blocos); 
 
SQ Tratamentos A =  



 
22
. Btr
T 
 
onde: 
TA = total de cada tratamento A; 
 
SQ Tratamentos B =  





22
.tr
 
 
onde: 
TB = total de cada tratamento B; 
 
SQ Interação (A x B) =    




22
r
 – 
 
(SQ Tratamentos A + SQ Tratamentos B); 
 
QM Resíduo = 
;
Re
Re
síduoGL
síduoSQ
 
 
QM Tratamentos A = 
;
AsTratamentoGL
AsTratamentoSQ
 
 
QM Tratamentos B = 
;
BsTratamentoGL
BsTratamentoSQ
 
 
 
 
230 
 
 
 
 
QM Interação (A x B) = 
 
 
;


xInteraçãoGL
xInteraçãoSQ
 
 
Vejam-se, a seguir, algumas considerações importantes a respeito da 
interpretação do teste F nos experimentos fatoriais: 
a) O teste F para tratamentos A irá dizer se eles diferem entre si, sem 
levar em conta os tratamentos B; 
b) O teste F para tratamentos B irá dizer se eles diferem entre si, sem 
levar em conta os tratamentos A; 
c) O teste F para a interação (A x B) irá dizer se o comportamento dos 
tratamentos A é influenciado pelo tipo de tratamento B ou de modo análogo, 
se os tratamentos B apresentam resultados diferentes conforme o tratamento A 
utilizado; 
d) A interação (A x B) apresentando F não significativo, indica que o 
comportamento dos tratamentos A independe dos tratamentos B e vice-versa; 
e) A interação (A x B) apresentando F significativo, indica que há 
influência dos tratamentos A sobre os tratamentos B. Neste caso, deve-se 
efetuar o desdobramento dos graus de liberdade da interação (A x B) sob uma 
das duas formas: 
e.1) Entre níveis de tratamentos A dentro de um mesmo nível de 
tratamento B: 
 
Quadro da ANAVA 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
 
Tratamentos B 
 
tB – 1 
 
 
Entre tratamentos A dentro do tratamento B0 
 
tA – 1 
 
 
Entre tratamentos A dentro do tratamento B1 
 
tA – 1 
 
 
(Tratamentos) 
 
(t – 1) 
 
 
Blocos 
 
r – 1 
 
 
Resíduo 
 
(t – 1) (r – 1) 
 
 
Total 
 
t . r – 1 
 
 
onde: 
 
 
 
231 
 
 
 
 
SQ Entre tratamentos A dentro do tratamento B0 
 
=  
;
.
2
0
2
0





trr
dedentro 
 
SQ Entre tratamentos A dentro do tratamento B1 
 
=  
;
.
2
1
2
1





trr
dedentro 
 
QM Entre tratamentos A dentro do tratamento B0 
 
= 
;
1
0
t
BtratamentododentroAstratamentoEntreSQ
 
 
QM Entre tratamentos A dentro do tratamentoB1 
 
= 
;
1
1
t
BtratamentododentroAstratamentoEntreSQ
 
 
F Calculado entre tratamentos A dentro do tratamento B0 
 
= 
síduoQM
BtratamentododentroAstratamentoEntreQM
Re
0
 
 
F Calculado entre tratamentos A dentro do tratamento B1 
 
= 
síduoQM
BtratamentododentroAstratamentoEntreQM
Re
1
 
 
e.2) Entre níveis de tratamentos B dentro de um mesmo nível de 
tratamento A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
232 
 
 
 
 
Quadro da ANAVA 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
 
Tratamentos A 
 
tA – 1 
 
 
Entre tratamentos B dentro do tratamento A0 
 
tB – 1 
 
 
Entre tratamentos B dentro do tratamento A1 
 
tB – 1 
 
 
Entre tratamentos B dentro do tratamento A2 
 
tB – 1 
 
 
(Tratamentos) 
 
(t – 1) 
 
 
Blocos 
 
r – 1 
 
 
Resíduo 
 
(t – 1) (r – 1) 
 
 
Total 
 
t . r – 1 
 
 
onde: 
 
SQ Entre tratamentos B dentro do tratamento A0 
 
=  2
.
0
2
0





trr
dedentro 
 
SQ Entre tratamentos B dentro do tratamento A1 
 
=  
;
.
2
1
2
1





trr
dedentro 
 
SQ Entre tratamentos B dentro do tratamento A2 
 
=  
;
.
2
2
2
2





trr
dedentro 
 
QM Entre tratamentos B dentro do tratamento A0 
 
 
 
233 
 
 
 
 
= 
;
1
0
Bt
AtratamentododentroBstratamentoEntreSQ
 
 
QM Entre tratamentos B dentro do tratamento A1 
 
= 
;
1
1
Bt
AtratamentododentroBstratamentoEntreSQ
 
 
QM Entre tratamentos B dentro do tratamento A2 
 
= 
;
1
2
Bt
AtratamentododentroBstratamentoEntreSQ
 
 
F Calculado entre tratamentos B dentro do tratamento A0 
 
= 
síduoQM
AtratamentododentroBstratamentoEntreQM
Re
0
 
 
F Calculado entre tratamentos B dentro do tratamento A1 
 
= 
síduoQM
AtratamentododentroBstratamentoEntreQM
Re
1
 
 
F Calculado entre tratamentos B dentro do tratamento A2 
 
= 
síduoQM
AtratamentododentroBstratamentoEntreQM
Re
2
 
 
8.3 Exemplo com Interação Não Significativa 
 
A fim de apresentar-se a análise de variância e a interpretação dos 
resultados de um experimento fatorial, será discutido, a seguir, um exemplo 
com interação não significativa. 
Exemplo 1: A partir dos dados da TABELA 8.1, pede-se: 
a) Fazer a análise da variância, inclusive o desdobramento do número 
de graus de liberdade de tratamentos no esquema fatorial de 11 x 3; 
b) Obter o coeficiente de variação; 
c) Aplicar, se necessário, o teste de Tukey a 5% de probabilidade na 
comparação de médias de cultivares e de épocas de plantio. 
 
 
234 
 
 
 
 
TABELA 8.1 – EFEITO DE ÉPOCAS DE PLANTIO NA RESISTÊNCIA DE 
CULTIVARES DE ALHO (Allium sativum L.) À Alternaria porri (Ell.) 
Cif., AGENTE CAUSAL DA MANCHA PÚRPURA, NO 
MUNICÍPIO DE VIÇOSA-AL 
 
 
Tratamentos * 
 
I 
 
II 
 
Totais de Tratamentos 
 
 
A1 B1 
 
 1,73205 ** 
 
1,73205 
 
3,46410 
 
 
A1 B2 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
3,46410 
 
 
A1 B3 
 
1,73205 
 
1,41421 
 
3,14626 
 
 
A2 B1 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A2 B2 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A2 B3 
 
2,00000 
 
1,73205 
 
3,73205 
 
 
A3 B1 
 
1,41421 
 
1,41421 
 
2,82842 
 
 
A3 B2 
 
1,41421 
 
1,41421 
 
2,82842 
 
 
A3 B3 
 
1,00000 
 
1,41421 
 
2,41421 
 
 
A4 B1 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A4 B2 
 
2,00000 
 
2,23606 
 
4,23606 
 
 
A4 B3 
 
2,00000 
 
1,73205 
 
3,73205 
 
 
A5 B1 
 
1,41421 
 
1,41421 
 
2,82842 
 
 
A5 B2 
 
1,41421 
 
1,73205 
 
3,14626 
 
 
A5 B3 
 
1,41421 
 
2,00000 
 
3,41241 
 
 
A6 B1 
 
2,00000 
 
2,23606 
 
4,23606 
 
 
A6 B2 
 
2,23606 
 
2,00000 
 
4,23606 
 
 
A6 B3 
 
2,00000 
 
1,73205 
 
3,73205 
 
 
A7 B1 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A7 B2 
 
2,00000 
 
2,00000 
 
4,00000 
 
 
A7 B3 
 
1,72205 
 
1,41421 
 
3,14626 
 
 
A8 B1 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A8 B2 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A8 B3 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
4,47212 
 
 
A9 B1 
 
 
2,00000 
 
 
2,23606 
 
 
4,23606 
 
 
A9 B2 
 
2,00000 
 
2,00000 
 
4,00000 
 
 
A9 B3 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
3,46410 
 
 
A10 B1 
 
2,00000 
 
2,00000 
 
4,00000 
 
 
A10B2 
 
2,23606 
 
1,73205 
 
3,96410 
 
 
A10B3 
 
1,41421 
 
1,73205 
 
3,14626 
 
 
A11 B1 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
3,46410 
 
 
A11 B2 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
3,46410 
 
 
A11 B3 
 
1,41421 
 
1,41421 
 
2,82842 
 
 
Totais de Blocos 
 
 61,14435 
 
 61,31262 
 
 122,45697 
 
 
FONTE: FERRREIRA e SILVA (1995). 
NOTAS: (*) Cultivares: A1 – CATETO ROXO; A2 – BRANCO MINEIRO; A3 – DOURADA; A4 – 
JURÉIA; A5 – CENTENÁRIO; A6 – GIGANTE ROXO; A7 – GIGANTE 
INCONFIDENTES; A8 – PERUANO; A9 – MEXICANO; A10 – CHINÊS; A11 – 
AMARANTE; Épocas de Plantio: B1 – 1ª Época (22/04/86); B2 – 2ª Época (06/05/86); 
B3 - 3ª Época (20/05/86). 
(**) Dados referentes a notas, variando de 0 (ausência da manchas) a 5 (murcha e enrugamento das 
folhas de 90 a 100%, com morte conseqüente), os quais foram transformados em 
.nota
 
 
 
235 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Análise da Variância: 
 

X = 1,73205 + 1,73205 + ... + 1,41421 = 122,45697 
 

X
2 
= (1,73205)
2
 + (1,73205)
2
 + ... + (1,41421)
2
 = 233,98121 
 
t = 33 
 
tA = 11 
 
tB = 3 
 
r = 2 
 
N = t . r = 33 . 2 = 66 
 
GL Tratamentos = t – 1 = 32 
 
GL Blocos = r – 1 = 2 – 1 = 1 
 
GL Resíduo = (t – 1) (r – 1) = (33 – 1) (2 – 1) = (32) (1) = 32 
 
GL Total = t . r – 1 = 33 . 2 – 1 = 66 – 1 = 65 
 
GL Cultivares = tA – 1 = 11 – 1 = 10 
 
GL Época de Plantio = tB – 1 = 3 – 1 = 2 
 
GL Interação (C x EP) = (tA – 1) (tB – 1) 
 
= (11 – 1) (3 – 1) = (10) (2) = 20 
 
SQ Total =  



2
2
 
 
=  

66
45697,122
98121,233
2 
 
 
 
236 
 
 
 
 
233,98121 – 

66
71,995.14
 
 
233,98121 – 227,20772 = 6,77349 
 
SQ Tratamentos =  




22
r
 
 
=        
66
45697,122
2
82842,2...46410,346410,3
2222

 
 
= 

66
71,995.149
2
35532,466
 
 
233,17766 – 227,20772 = 5,96994 
 
SQ Blocos =  




22
t
 
 
=      
66
45697,122
33
31262,6114435,61
222

 
 
= 
66
71,9995.14
33
8689,497.7

 
 
= 227,20815 – 227,20772 = 0,000428 
 
SQ Resíduo = SQ Total – (SQ Tratamentos + SQ Blocos) 
 
= 6,77349 – (5,96994 + 0,000428) 
 
= 6,77349 – 5,970368 = 0,803122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
237 
 
 
 
 
Tabela de Dupla Entrada 
 
 
 
Cultivares 
 
 Épocas de Plantio 
 
 
 
Totais de Cultivares 
 
 
B1 
 
B2B3 
 
 
A1 
 
 3,46410 
(2)
 
 
3,46410 
 
3,14626 
 
 10,07446 
(6)
 
 
 
A2 
 
4,47212 
 
4,47212 
 
3,73205 
 
12,67629 
 
 
A3 
 
2,82842 
 
2,82842 
 
2,41421 
 
 8,07105 
 
 
A4 
 
4,47212 
 
4,23606 
 
3,73205 
 
12,44023 
 
 
A5 
 
2,82842 
 
3,14626 
 
3,41421 
 
 9,38889 
 
 
A6 
 
4,23606 
 
4,23606 
 
3,73205 
 
12,20417 
 
 
A7 
 
4,47212 
 
4,00000 
 
3,14626 
 
11,61838 
 
 
A8 
 
4,47212 
 
4,47212 
 
4,47212 
 
13,41636 
 
 
A9 
 
4,23606 
 
4,00000 
 
3,46410 
 
11,70016 
 
 
A10 
 
4,00000 
 
3,96410 
 
3,14626 
 
11,11036 
 
 
A11 
 
3,46410 
 
3,46410 
 
2,82842 
 
 9,75662 
 
 
Totais de Épocas 
de Plantio 
 
 
 42,94564 
(22) 
 
 42,28334 
 
 37,22799 
 
 122,45697 
 
 
SQ Cultivares =  






22
.tr
T
 
 
=        
66
45697,122
3.2
75662,9...67629,1207446,10
2222


 
 
= 
20772,2276147,231
66
71,995.14
6
6882,389.1

 = 4,40698 
 
SQ Épocas de Plantio =  






22
.tr
T
 
 
 
 
238 
 
 
 
 
=        
66
45697,122
11.2
22799,3728334,4294564,42
2222


 
 
= 
 20772,22709691,228
66
71,995.14
22
1321,018.5
 0,8891936 
 
SQ Interação (C x EP) =  



 
22
r
T
 – 
 
(SQ Cultivares + SQ Épocas de Plantio) 
 
= 5,96994 – (4,40698 + 0,8891936) 
 
= 5,96994 – 5,2961736 = 0,6737664 
 
QM Resíduo = 
síduoGL
síduoSQ
Re
Re
 
 
= 

32
803122,0
 0,025097 
 
QM Cultivares = 
esCultiGL
esCultiSQ
var
var
 
 
= 

10
40698,4
 0,440698 
 
QM Épocas de Plantio = 
PlantiodeÉpocasGL
PlantiodeÉpocasSQ
 
 
 = 

2
8891936,0
 0,4445968 
 
QM Interação (C x EP) = 
)(
)(
EPxCInteraçãoGL
EPxCInteraçãoSQ
 
 
= 

20
6737664,0
 0,0336883 
 
 
 
239 
 
 
 
 
F Calculado para Cultivares = 
síduoQM
esCultiQM
Re
var
 
 
= 

025097,0
440698,0
 17,56 
 
F Calculado para Épocas de Plantio = 
síduoQM
PlantiodeÉpocasQM
Re
 
 
= 

025097,0
4445968,0
 17,72 
 
F Calculado para Interação (C x EP) = 
síduoQM
EPxCInteraçãoQM
Re
)(
 
 
= 

025097,0
0336883,0
 1,34 
 
F Tabelado (1%) para Cultivares = 2,944 
 
F Tabelado (5%) para Cultivares = 2,144 
 
F Tabelado (1%) para Épocas de Plantio = 5,348 
 
F Tabelado (5%) para Épocas de Plantio = 3,302 
 
F Tabelado (1%) para Interação (C x EP) = 2,514 
 
F Tabelado (5%) para Interação (C x EP) = 1,912 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
240 
 
 
 
 
TABELA 8.2 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA DO EFEITO DE ÉPOCAS DE PLANTIO 
NA RESISTÊNCIA DE CULTIVARES DE ALHO (Allium sativum L.) À 
Alternaria porri (Ell.) Cif., AGENTE CASUAL DA MANCHA 
PÚRPURA, NO MUNICÍPIO DE VIÇOSA-AL, AVALIADO ATRAVÉS 
DE UMA ESCALA DE NOTAS, VARIANDO DE 0 (AUSÊNCIA 
DE MANCHAS) A 5 (MURCHA E ENRUGAMENTO DAS FOLHAS 
DE 90 A 100%, COM MORTE CONSEQÜENTE). DADOS 
TRANSFORMADOS EM 
.nota
 MACEIÓ –AL, 1995 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
SQ 
 
QM 
 
F 
 
 
Cultivares (C) 
 
10 
 
4,4069800 
 
0,4406980 
 
17,56 ** 
 
 
Épocas de Plantio (EP) 
 
 2 
 
0,8891936 
 
0,4445968 
 
17,72 ** 
 
 
Interação (C x EP) 
 
20 
 
0,6737664 
 
0,0336883 
 
1,34 ns 
 
 
(Tratamentos) 
 
(32) 
 
(5,9699400) 
 
- 
 
- 
 
 
Blocos 
 
 1 
 
0,0004280 
 
- 
 
 
- 
 
Resíduo 
 
32 
 
0,8031220 
 
0,0250970 
 
 
 
Total 
 
65 
 
6,7734900 
 
 
 
NOTAS: (ns) Não significativo no nível de 5% de probabilidade. 
(**) Significativo no nível de 1% de probabilidade. 
 
De acordo com o teste F, tem-se: 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as cultivares de alho em relação à resistência a Alternaria porri (Ell.) Cif., 
agente causal da mancha púrpura. 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as épocas de plantio quanto à incidência de A. porri em alho. 
Não houve diferença significativa, no nível de 5% de probabilidade, 
para a interação (C x ED), indicando que a resistência das cultivares de alho à 
A. porri independente das épocas de plantio. 
b) Coeficiente de Variação: 
 
mˆ
 =  



66
45697,122
 1,8554086 
 
 0250970,0Re síduoQMs
 0,15842 
 
 
 
241 
 
 
 
 
CV = 

8554086,1
15842,0.100
ˆ
.100
m
s
 8,54% 
 
O coeficiente de variação foi 8,54%, indicando uma ótima precisão 
experimental. 
c) Teste de Tukey: 
Cultivares: 
 
mˆ 1 = 1,6790767 
 
mˆ 7 = 1,9363967 
mˆ 2 = 2,1127150 
 
mˆ 8 = 2,2360600 
mˆ 3 = 1,3451750 
 
mˆ 9 = 1,9500267 
mˆ 4 = 2,0733717 
 
mˆ 10 = 1,8517267 
mˆ 5 = 1,5648150 
 
mˆ 11 = 1,6261033 
mˆ 6 = 2,0340283 
 
 
 
  
4494897,2
776258,0
6
15842,0.9,4
%5
r
s
q
 0,31690 
 
Épocas de Plantio: 
 
mˆ 1 = 1,9520746 
 
mˆ 3 = 1,6921814 
mˆ 2 = 1,9219700 
 
 
 

6904158,4
5513016,0
22
15842,0.48,3
%5
r
s
q
 0,1175379 
 
Pode-se estruturar uma tabela ilustrativa única contendo as 
comparações entre médias de cultivares e entre médias de épocas de plantio, 
conforme se verifica a seguir: 
 
 
 
 
 
242 
 
 
 
 
TABELA 8.3 – EFEITO DE ÉPOCAS DE PLANTIO NA RESISTÊNCIA DE 
CULTIVARES DE ALHO (Allium sativum L.) À Alternaria porri (Ell.) 
Cif., AGENTE CAUSAL DA MANCHA PÚRPURA, NO MUNICÍPIO 
DE VIÇOSA-AL. MACEIÓ-AL, 1995 
 
 
 
Cultivares 
 
 Épocas de Plantio 
 
 
 
Médias de 
Cultivares 
3/ 
 
1ª Época 
(22/04/86) 
 
2ª Época 
(06/05/86) 
 
3ª Época 
(20/05/86) 
 
 
DOURADA 
 
 1,41421 
1/
 
 
1,41421 
 
1,207105 
 
 1,3451750 
a 
 
 
CENTENÁRIO 
 
1,41421 
 
1,57313 
 
1,707105 
 
 1,5648150 
ab 
 
 
AMARANTE 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
1,414210 
 
 1,6561033 
abc 
 
 
CATETO ROXO 
 
1,73205 
 
1,73205 
 
1,573130 
 
 1,6790767 
bcd 
 
 
CHINÊS 
 
2,00000 
 
1,98205 
 
1,573130 
 
1,8517267 
bcde 
 
 
GIGANTE INCONFIDENTES 
 
2,23606 
 
2,00000 
 
1,573130 
 
1,9363967 
cdef 
 
 
MEXICANO 
 
2,11803 
 
2,00000 
 
1,732050 
 
 1,9500267 
def 
 
 
GIGANTE ROXO 
 
2,11803 
 
2,11803 
 
1,866025 
 
 2,0340283 
ef 
 
 
JURÉIA 
 
2,23606 
 
2,11803 
 
1,866025 
 
 2,0340283 
ef 
 
 
BRANCO MINEIRO 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
1,866025 
 
 2,1127150 
ef 
 
 
PERUANO 
 
2,23606 
 
2,23606 
 
2,236060 
 
 2,2360600 
f 
 
 
Médias de Épocas de Plantio 
2/ 
 
 
 1,952075 
a 
 
 1,921970 
a 
 
 1,692181 
b 
 
NOTAS: (1/) Dados transformados em 
x
referentes a notas, variando de 0 (ausência de 
manchas) a 5 (murcha e enrugamento das folhas de 90 a 100% com morte 
conseqüente). 
(2/) As médiasde épocas de plantio com a mesma letra não diferem entre si pelo teste de 
Tukey no nível de 5% de probabilidade. 
(3/) As médias de cultivares seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si 
pelo teste de Tukey no nível de 5% de probabilidade. 
 
De acordo com o teste de Tukey, no nível de 5% de probabilidade, 
tem-se: 
c.1) Com relação às cultivares de alho: 
 
 
 
243 
 
 
 
 
A cultivar DOURADA, apesar de não diferir estatisticamente das 
cultivares CENTENÁRIO e AMARANTE, apresentou o maior nível de 
resistência à Alternaria porri. 
As cultivares PERUANO, BRANCO MINEIRO, JURÉIA e 
GIGANTE ROXO, apesar de não diferirem estatisticamente das cultivares 
MEXICANO e GIGANTE INCONFIDENTES, apresentaram os menores 
índices de resistência à A. porri. 
As cultivares CATETO ROXO e CHINÊS apresentaram um nível de 
resistência à A. porri intermediário entre todas as outras cultivares avaliadas. 
c.2) Com relação às épocas de plantio: 
A 3ª época de plantio (22/05/86) diferiu estatisticamente das outras 
épocas de plantio, e apresentou a menor incidência de mancha púrpura em 
alho no município de Viçosa-AL. 
A 1ª época de plantio (22/04/86) não diferiu estatisticamente da 2ª 
época de plantio (06/05/86), e ambas apresentaram uma maior incidência de 
mancha púrpura em alho no município de Viçosa-AL. 
É conveniente substituir-se os valores transformados em 
x
 da 
TABELA 8.3 pelos valores biológicos, mantendo-se as diferenças 
significativas detectadas pelo teste de Tukey, no nível de 5% de probabilidade, 
com os valores transformados, conforme se verifica a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
244 
 
 
 
 
TABELA 8.3 – EFEITO DE ÉPOCAS DE PLANTIO NA RESISTÊNCIA DE 
CULTIVARES DE ALHO (Allium sativum L.) À Alternaria porri (Ell.) 
Cif., AGENTE CAUSAL DA MANCHA PÚRPURA, NO 
MUNICÍPIO DE VIÇOSA-AL MACEIÓ-AL,1995 
 
 
Cultivares 
 
Épocas de Plantio 
 
 
 
Médias de 
Cultivares 
3/ 
 
1ª Época 
(22/04/86) 
 
2ª Época 
(06/05/86) 
 
3ª Época 
(20/05/86) 
 
 
DOURADA 
 
 2,0 
1/
 
 
2,0 
 
1,5 
 
1,83 
a 
 
 
CENTENÁRIO 
 
2,0 
 
2,5 
 
3,0 
 
 2,50
 ab 
 
 
AMARANTE 
 
3,0 
 
3,0 
 
2,0 
 
 2,67 
abc 
 
 
CATETO ROXO 
 
3,0 
 
3,0 
 
2,5 
 
 2,83 
bcd 
 
 
CHINÊS 
 
4,0 
 
4,0 
 
2,5 
 
 3,50 
bcde 
 
 
GIGANTE INCONFIDENTES 
 
5,0 
 
4,0 
 
2,5 
 
 3,83 
cdef 
 
 
MEXICANO 
 
4,5 
 
4,0 
 
3,0 
 
 3,83 
def 
 
 
GIGANTE ROXO 
 
4,5 
 
4,5 
 
3,5 
 
 4,17 
ef 
 
 
JURÉIA 
 
5,0 
 
4,5 
 
3,5 
 
 4,33 
ef 
 
 
BRANCO MINEIRO 
 
5,0 
 
5,0 
 
3,5 
 
 4,50 
ef 
 
 
PERUANO 
 
5,0 
 
5,0 
 
5,0 
 
 5,00 
f 
 
 
Médias de Épocas de Plantio 
2/ 
 
 3,91 
a
 
 
 3,77 
a
 
 
 2,95 
b
 
 
 
 
NOTAS: (1/) Dados referentes a notas, variando de 0 (ausência de manchas) a 5 (murcha e 
enrugamento das folhas de 90 a 100% com morte conseqüente). 
(2/) As médias de épocas de plantio com a mesma letra não diferem entre si pelo teste de 
Tukey no nível de 5% de probabilidade com os dados transformados. 
(3/) As médias de cultivares seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si 
pelo teste de Tukey no nível de 5% de probabilidade com os dados transformados. 
 
Observa-se que desta forma fica mais fácil de analisar-se os dados. 
 
 
 
 
 
 
 
245 
 
 
 
 
8.4 Exemplo com Interação Significativa 
 
Agora, apresentar-se-á, para discussão, a análise da variância e a 
interpretação dos resultados de um experimento fatorial com interação 
significativa. 
Exemplo 2: A partir dos dados da TABELA 8.4, pede-se: 
a) Fazer a análise da variância, inclusive o desdobramento do número 
de graus de liberdade de tratamentos no esquema fatorial de 6 x 5; 
b) Obter o coeficiente de variação; 
c) Aplicar, se necessário, o teste de Tukey a 5% de probabilidade na 
comparação de médias de cultivares e de concentrações; 
d) Se a interação cultivares x concentrações for significativa, fazer o 
desdobramento do número de graus de liberdade de cultivares mais o da 
interação cultivares x concentração; 
e) Aplicar, se necessário, o teste de Tukey a 5% de probabilidade na 
comparação de médias de cultivares dentro de concentrações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
246 
 
 
 
 
TABELA 8.4 – EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE ÁCIDO SULFÚRICO NA REAÇÃO 
DE CULTIVARES DE CEBOLA (Allium cepa L.) DOS GRUPOS 
CEROSO E NÃO CEROSO. DADOS MÉDIOS REFERENTES A NOTAS, 
VARIANDO DE 0 (AUSÊNCIA DE INJÚRIAS FOLIARES) A 5 (90 – 100 
% DE QUEIMA DAS FOLHAS). PLANTAS AVALIADAS AOS 46 DIAS 
APÓS A SEMEADURA 
 
Tratamentos * 
 
I 
 
II 
 
III 
 
IV 
 
Totais de Tratamentos 
 
 
A1 B1 
 
1,7 
 
2,0 
 
1,9 
 
2,0 
 
 7,6 
 
 
A1 B2 
 
2,9 
 
2,7 
 
3,2 
 
3,3 
 
12,1 
 
 
A1 B3 
 
2,0 
 
2,0 
 
2,6 
 
3,0 
 
 9,6 
 
 
A1 B4 
 
3,0 
 
2,7 
 
3,1 
 
3,3 
 
12,1 
 
 
A1 B5 
 
4,9 
 
4,4 
 
4,2 
 
4,7 
 
18,2 
 
 
A2 B1 
 
2,4 
 
2,0 
 
2,0 
 
1,9 
 
 8,3 
 
 
A2 B2 
 
2,2 
 
2,2 
 
2,0 
 
3,0 
 
 9,4 
 
 
A2 B3 
 
3,1 
 
2,5 
 
2,3 
 
2,4 
 
10,3 
 
 
A2 B4 
 
4,0 
 
3,9 
 
3,6 
 
3,4 
 
14,9 
 
 
A2 B5 
 
4,0 
 
3,8 
 
4,3 
 
4,6 
 
16,7 
 
 
A3 B1 
 
1,8 
 
1,8 
 
2,0 
 
1,4 
 
 7,0 
 
 
A3 B2 
 
2,5 
 
2,3 
 
2,8 
 
2,5 
 
10,1 
 
 
A3 B3 
 
2,9 
 
2,3 
 
2,0 
 
1,4 
 
 8,6 
 
 
A3 B4 
 
4,0 
 
4,0 
 
3,6 
 
4,0 
 
15,6 
 
 
A3 B5 
 
4,6 
 
4,9 
 
4,2 
 
5,0 
 
18,7 
 
 
A4 B1 
 
2,4 
 
3,4 
 
3,3 
 
3,3 
 
12,4 
 
 
A4 B2 
 
4,0 
 
3,8 
 
4,2 
 
4,4 
 
16,4 
 
 
A4 B3 
 
3,7 
 
4,1 
 
2,9 
 
5,0 
 
15,7 
 
 
A4 B4 
 
4,8 
 
5,0 
 
5,0 
 
5,0 
 
19,8 
 
 
A4 B5 
 
5,0 
 
5,0 
 
5,0 
 
5,0 
 
20,0 
 
 
A5 B1 
 
2,6 
 
2,3 
 
2,4 
 
2,0 
 
 9,3 
 
 
A5 B2 
 
2,9 
 
3,6 
 
3,6 
 
3,4 
 
13,5 
 
 
A5 B3 
 
3,3 
 
4,0 
 
3,4 
 
4,0 
 
14,7 
 
 
A5 B4 
 
4,4 
 
4,8 
 
4,9 
 
4,4 
 
18,5 
 
 
A5 B5 
 
4,6 
 
5,0 
 
5,0 
 
5,0 
 
19,6 
 
 
A6 B1 
 
1,9 
 
1,7 
 
2,3 
 
2,1 
 
 8,0 
 
 
A6 B2 
 
3,5 
 
2,8 
 
3,3 
 
3,3 
 
12,9 
 
 
A6 B3 
 
3,7 
 
3,8 
 
4,0 
 
3,6 
 
15,1 
 
 
A6 B4 
 
4,0 
 
4,6 
 
4,1 
 
4,4 
 
17,1 
 
 
A6 B5 
 
4,9 
 
5,0 
 
4,3 
 
4,9 
 
19,1 
 
 
FONTE: FERREIRA (1983). 
NOTA: (*) Cultivares: A1 – BARREIRO SMP – IV (Grupo Ceroso); A2 – BAIA DO CEDO 
SMP – V (Grupo Ceroso); A3 – BAIA x BARREIRO (F1) (Grupo Ceroso); A4 – 
EXCEL BERMUDAS 986 (Grupo Não Ceroso); A5 – GRANEX (Grupo Não 
Ceroso); A6 – TEXAS GRANO (Grupo Não Ceroso); Concentrações: B1 – 
0,5%; B2 – 1%; B3 – 2%; B4 – 5%; B5 – 10%. 
 
Resolução:a) Análise da Variância: 
 
 
 
247 
 
 
 
 

X = 1,7 + 2,0 + ... + 4,9 = 411,3 
 

X 
2 
= (1,7) 
2
 + (2,0) 
2
 + ... + (4,9) 
2
 = 1.546,83 
 
t = 30 
 
tA = 6 
 
tB = 5 
 
r = 4 
 
N = t . r = 30 . 4 = 120 
 
GL Tratamentos = t – 1 = 30 – 1 = 29 
 
GL Resíduo = t (r – 1) = 30 ( 4 – 1) = 30 (3) = 90 
 
GL Total = t . r – 1 = 30 . 4 – 1 = 120 – 1 = 119 
 
GL Cultivares = tA – 1 = 6 – 1 = 5 
 
GL Concentrações = tB – 1 = 5 – 1 = 4 
 
GL Interação (C x Con.) = (tA – 1) (tB – 1) 
 
= (6 – 1) (5 – 1) = (5) (4) = 20 
 
SQ Total =  



2
2
 
 
=    




120
3,411
83,546.1
22
2
 
 
1.546,83 – 

120
69,167.169
 
 
 1.546,83 – 1.409,7308 = 137,0992 
 
 
 
248 
 
 
 
 
SQ Tratamentos =  





22
r
 
 
       


120
3,411
4
1,19...1,126,7
2222 
 

120
69,167.169
4
37,144.6
 
 
1.536,0925 – 1.409,7308 = 126,3617 
 
SQ Resíduo = SQ Total – SQ Tratamentos 
 
= 137,0992 – 126,3617 = 10,7375 
 
Tabela de Dupla Entrada 
 
 
 
Cultivares 
 
 Concentrações 
 
 
 
Totais de 
Cultivares 
 
B1 
 
B2 
 
B3 
 
B4 
 
B5 
 
 
 A1 
 
 7,6 
(4)
 
 
12,1 
 
 9,6 
 
12,1 
 
18,2 
 
 59,6 
(20) 
 
 
 A2 
 
8,3 
 
 9,4 
 
10,3 
 
14,9 
 
16,7 
 
59,6 
 
 
 A3 
 
7,0 
 
10,1 
 
 8,6 
 
15,6 
 
18,7 
 
60,0 
 
 
 A4 
 
 12,4 
 
16,4 
 
15,7 
 
19,8 
 
20,0 
 
84,3 
 
 
 A5 
 
9,3 
 
13,5 
 
14,7 
 
18,5 
 
19,6 
 
75,6 
 
 
 A6 
 
8,0 
 
12,9 
 
15,1 
 
17,1 
 
19,1 
 
72,2 
 
 
Totais de 
Concentrações 
 
 
 52,6 
(24)
 
 
 
 74,4 
 
 74,0 
 
 98,0 
 
 112,3 
 
 411,3 
 
 
SQ Cultivares =  







22
.tr
T
 
 
       


120
3,411
5.4
2,72...6,596,59
2222 
 
 
249 
 
 
 
 

120
69,167.169
20
01,739.28
 
 
1.436,9505 – 1.409,7308 = 27,2197 
 
SQ Concentrações =  






22
.tr
T
 
 
=        
120
3,411
6.4
3,112...4,746,52
2222


 
 
= 
24
41,993.35
 – 
120
69,167.169
 
 
= 
7308,409.17254,499.1 
 = 89,99462 
 
SQ Interação (C x Con.) =  



 
22
r
T
 – 
 
(SQ Cultivares + SQ Concentrações) 
 
= SQ Tratamentos – (SQ Cultivares + SQ Concentrações) 
 
= 126,3617 – (27,2197 + 89,99462) 
 
= 126,3617 – 117,21432 = 9,14738 
 
QM Resíduo = 
síduoGL
síduoSQ
Re
Re
 
 
= 

90
7375,10
 0,11930 
 
QM Cultivares = 
esCultiGL
esCultiSQ
var
var
 
 
= 

5
2197,27
 5,44394 
 
 
 
250 
 
 
 
 
QM Concentrações = 

õesConcentraçGL
õesConcentraçSQ
 
 

4
99462,89
 22,498655 
 
QM Interação (C x Con.) = 
.)(
.)(
ConxCInteraçãoGL
ConxCInteraçãoSQ
 
 
= 

20
14738,9
 0,457369 
 
F Calculado para Cultivares = 
síduoQM
esCultiQM
Re
var
 
 
= 

1193,0
44394,5
 45,63 
 
F Calculado para Concentrações = 
síduoQM
õesConcentraçQM
Re
 
 
= 

1193,0
498655,22
 188,59 
 
F Calculado para Interação (C x Con.) = 
síduoQM
ConxCInteraçãoQM
Re
.)(
 
 
= 

1193,0
457369,0
 3,83 
 
F Tabelado (1%) para Cultivares = 3,255 
 
F Tabelado (5%) para Cultivares = 2,33 
 
F Tabelado (1%) para Concentrações = 3,565 
 
F Tabelado (5%) para Concentrações = 2,49 
 
F Tabelado (1%) para Interação (C x Con.) = 2,115 
 
 
251 
 
 
 
 
F Tabelado (5%) para Interação (C x Con.) = 1,705 
 
TABELA 8.5 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA DO EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE 
ÁCIDO SULFÚRICO NA REAÇÃO DE CULTIVARES DE CEBOLA 
(Allium cepa L.) DOS GRUPOS CEROSO E NÃO CEROSO. PLANTAS 
AVALIADAS AOS 46 DIAS APÓS A SEMEADURA. PIRACICABA-
SP,1983 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
SQ 
 
QM 
 
F 
 
 
Cultivares (C) 
 
5 
 
27,21970 
 
5,443940 
 
45,63 ** 
 
 
Concentrações (Con.) 
 
4 
 
89,99462 
 
 22,498655 
 
188,59 ** 
 
 
Interação (C x Con.) 
 
 20 
 
 9,14738 
 
0,457369 
 
 3,83 ** 
 
 
(Tratamentos) 
 
 (29) 
 
 (126,36170) 
 
- 
 
- 
 
 
Resíduo 
 
 90 
 
10,73750 
 
0,119300 
 
 
 
Total 
 
 119 
 
 137,09920 
 
 
 
NOTA: (**) Significativo no nível de 1% de probabilidade. 
 
De acordo com o teste F, tem-se: 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as cultivares de cebola em relação à porcentagem de queima das folhas, 
provocada pelo ácido sulfúrico; 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as concentrações de ácido sulfúrico em relação à porcentagem de queima das 
folhas em cebola. 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, para a 
interação (C x Con.), indicando que a reação das cultivares de cebola dos 
grupos ceroso e não ceroso depende da concentração de ácido sulfúrico. 
b) Coeficiente de Variação: 
 
mˆ
 =  



120
3,411
 3,4275 
 
 1193,0Re síduoQMs
 0,34539 
 
CV = 

4275,3
34539,0.100
ˆ
.100
m
s
 10,08% 
 
 
252 
 
 
 
 
O coeficiente de variação foi 10,08%, indicando uma boa precisão 
experimental. 
c) Teste de Tukey: 
Cultivares: 
 
mˆ 1 = 2,98 
 
mˆ 4 = 4,22 
mˆ 2 = 2,98 
 
mˆ 5 = 3,78 
mˆ 3 = 3,00 
 
mˆ 6 = 3,61 
 
 
472136,4
4264607,1
20
34539,0.13,4
%5 
r
s
q
  0,32 
 
Concentrações: 
 
mˆ 1 = 2,19 mˆ 4 = 4,08 
mˆ 2 = 3,10 mˆ 5 = 4,68 
mˆ 3 = 3,08 
 
 
8989795,4
3642905,1
24
34539,0.95,3
%5 
r
s
q
  0,28 
 
Como no exemplo anterior, pode-se estruturar uma tabela ilustrativa 
única contendo as comparações entre médias de cultivares e entre médias de 
concentrações, conforme se verifica a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
253 
 
 
 
 
TABELA 8.6 – EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE ÁCIDO SULFÚRICO NA REAÇÃO 
DE CULTIVARES DE CEBOLA (Allium cepa L.) DOS GRUPOS 
CEROSO E NÃO CEROSO. PLANTAS AVALIADAS AOS 46 DIAS 
APÓS A SEMEADURA, ATRAVÉS DE UM ESCALA DE NOTAS 
VARIANDO DE 0 (AUSÊNCIA DE INJÚRIAS FOLIARES) A 5 (90 – 
100% DE QUEIMA DAS FOLHAS). PIRACICABA-SP, 1983 
 
 
 
Cultivares * 
 
 Concentrações (%) 
 
 
 
Médias de 
Cultivares 
1/ 
 
0,5 
 
1,0 
 
2,0 
 
5,0 
 
10,0 
 
 
BARREIRO SMP – IV 
 
1,90 
 
3,03 
 
2,40 
 
3,03 
 
4,55 
 
2,98 
a 
 
 
BAIA DO CEDO SMP – V 
 
2,08 
 
2,35 
 
2,58 
 
3,73 
 
4,18 
 
2,98 
a 
 
 
BAIA X BARREIRO (F1) 
 
1,75 
 
2,53 
 
2,15 
 
3,90 
 
4,68 
 
3,00
 a 
 
 
EXCEL BERMUDAS 986 
 
3,10 
 
4,10 
 
3,93 
 
4,95 
 
5,00 
 
4,22 
c 
 
 
GRANEX2,33 
 
3,38 
 
3,68 
 
4,63 
 
4,90 
 
3,78 
b 
 
 
TEXAS GRANO 
 
2,00 
 
3,23 
 
3,78 
 
4,28 
 
4,78 
 
3,61 
b 
 
 
Médias de Concentrações 
2/
 
 
 2,19 
a
 
 
 3,10 
b
 
 
 3,08 
b
 
 
 4,08 
c
 
 
 4,68 
d 
 
 
 
NOTAS: (1/) As médias de cultivares com a mesma letra não diferem entre si pelo teste de 
Tukey, no nível de 5% de probabilidade. 
(2/) As médias de concentrações com a mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey, 
no nível de 5% de probabilidade. 
(*) As três primeiras cultivares são do grupo ceroso e as três últimas são do grupo não 
ceroso. 
 
De acordo com o teste de Tukey, no nível de 5% de probabilidade, 
tem-se: 
c.1) Com relação às cultivares de cebola: 
As cultivares do grupo ceroso BARREIRO SMP – IV, BAIA DO 
CEDO SMP – V e BAIA x BARREIRO (F1) não diferiram estatisticamente 
entre si, e apresentaram os menores índices de injúrias foliares. 
A cultivar EXCEL BERMUDAS 986, pertencente ao grupo não 
ceroso, diferiu estatisticamente de todas as cultivares avaliadas, e apresentou o 
maior índice de injúrias foliares. 
As cultivares TEXAS GRANO e GRANEX, pertencentes ao grupo 
não ceroso, não diferiram estatisticamente entre si, e apresentaram um índice 
de injúrias foliares intermediário entre EXCEL BERMUDAS 986 e as 
cultivares do grupo ceroso. 
 
 
254 
 
 
 
 
c.2) Com relação às concentrações de ácido sulfúrico: 
A concentração de 0,5% proporcionou o menor índice de injúrias 
foliares em cebola, e diferiu estatisticamente de todas as outras concentrações. 
As concentrações de 1,0 e 2,0% não diferiram estatisticamente entre 
si, e proporcionam o segundo menor índice de injúrias foliares em cebola. 
A concentração de 10,0% proporcionou o maior índice de injúrias 
foliares em cebola, e diferiu estatisticamente de todas as outras concentrações. 
A concentração de 5,0% apresentou um índice de injúrias foliares 
intermediário entre as concentrações de 10,00% e 1,0 e 2,0%. 
d) Desdobramento do Número de Graus de Liberdade de Cultivares 
Mais o da Interação Cultivares x Concentrações: 
 
SQ Cultivares dentro da concentração 0,5% 
 
=  






trr
dedentro
.
2
1
2
1
 
 
     
4
0,8...3,86,7
222
 – 
 
 

24
76,766.2
4
9,479
6.4
6,52
2 
 
119,975 – 115,28167 = 4,69333 
 
SQ Cultivares dentro da concentração 1,0% 
 
=  






trr
dedentro
.
2
2
2
2
 
 
     
4
9,12...4,91,12
222
 – 
 
 

24
36,535.5
4
4,954
6.4
4,74
2 
 
238,6 – 230,64 = 7,96 
 
 
 
255 
 
 
 
 
SQ Cultivares dentro da concentração 2,0% 
 
=  

 

trr
dedentro
.
2
3
2
3
 
 
=      
4
1,15...3,106,9
222
 – 
 
 

24
0,476.5
4
8,962
6.4
0,74
2 
 
240,7 – 228,16667 = 12,53333 
 
SQ Cultivares dentro da concentração 5,0% 
 
=  






trr
dedentro
.
2
4
2
4
 
 
     
4
1,17...9,141,12
222
 – 
 
 

24
0,604.9
4
48,638.1
6.4
0,98
2 
 
409,62 – 400,16667 = 9,45333 
 
SQ Cultivares dentro da concentração 10,0% 
 
=  






trr
dedentro
.
2
5
2
5
 
 
     
4
1,19...7,162,18
222
 –  

6.4
3,112
2 
 47042,5251975,527
24
29,611.12
4
79,108.2
 1,72708 
 
QM Cultivares dentro da concentração 0,5% 
 
 
256 
 
 
 
 
= 

 1
%5,0var
t
ãoConcentraçdadentroesCultiSQ
 
 

16
69333,4
 
5
69333,4
= 0,938666 
 
QM Cultivares dentro da concentração 1,0% 
 
= 

 1
%0,1var
t
ãoConcentraçdadentroesCultiSQ
 
 
5
96,7
16
96,7


= 1,592000 
 
QM Cultivares dentro da concentração 2,0% 
 
= 

 1
%0,2var
t
ãoConcentraçdadentroesCultiSQ
 
 
16
53333,12

 = 
5
53333,12
= 2,506666 
 
QM Cultivares dentro da concentração 5,0% 
 
= 

 1
%0,5var
t
ãoConcentraçdadentroesCultiSQ
 
 
16
45333,9

 = 
5
45333,9
= 1,890666 
 
QM Cultivares dentro da concentração 10,0% 
 
= 

 1
%0,10var
t
ãoConcentraçdadentroesCultiSQ
 
 
16
72708,1

 = 
5
72708,1
= 0,345416 
 
F Calculado para Cultivares dentro da concentração 0,5% 
 
 
257 
 
 
 
 
= 

síduoQM
ãoConcentraçdadentroesCultiQM
Re
%5,0var
 
 

1193,0
938666,0
 7,87 
 
F Calculado para Cultivares dentro da concentração 1,0% 
 
= 

síduoQM
ãoConcentraçdadentroesCultiQM
Re
%0,1var
 
 

1193,0
592,1
 13,34 
 
F Calculado para Cultivares dentro da concentração 2,0% 
 
= 

síduoQM
ãoConcentraçdadentroesCultiQM
Re
%0,2var
 
 

1193,0
506666,2
 21,01 
 
F Calculado para Cultivares dentro da concentração 5,0% 
 
= 

síduoQM
ãoConcentraçdadentroesCultiQM
Re
%0,5var
 
 

1193,0
890666,1
 15,85 
 
F Calculado para Cultivares dentro da concentração 10,0% 
 
= 

síduoQM
ãoConcentraçdadentroesCultiQM
Re
%0,10var
 
 

1193,0
345416,0
 2,90 
 
F Tabelado (1%) para cultivares dentro da concentrações = 3,255 
 
 
258 
 
 
 
 
F Tabelado (5%) para cultivares dentro da concentrações = 2,33 
 
Agora, a TABELA 8.5 fica da seguinte maneira: 
 
TABELA 8.5 – ANÁLISE DA VARIÂNCIA DO EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE 
ÁCIDO SULFÚRICO NA REAÇÃO DE CULTIVARES DE CEBOLA 
(Allium cepa L.) DOS GRUPOS CEROSO E NÃO CEROSO. PLANTAS 
AVALIADAS AOS 46 DIAS APÓS A SEMEADURA. PIRACICABA-
SP,1983 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
SQ 
 
QM 
 
F 
 
 
Concentrações 
 
4 
 
89,99462 
 
22,498655 
 
 188,59 ** 
 
 
Cultivares dentro da Concentração 0,5% 
 
5 
 
 4,69333 
 
0,938666 
 
 7,87 ** 
 
 
Cultivares dentro da Concentração 1,0% 
 
5 
 
 7,96000 
 
1,592000 
 
 13,34 ** 
 
 
Cultivares dentro da Concentração 2,0% 
 
5 
 
12,53333 
 
2,506666 
 
 21,01 ** 
 
 
Cultivares dentro da Concentração 5,0% 
 
5 
 
 9,45333 
 
1,890666 
 
 15,85 ** 
 
 
Cultivares dentro da Concentração 10,0% 
 
5 
 
 1,72708 
 
0,345416 
 
 2,90 * 
 
 
(Tratamentos) 
 
 (29) 
 
(126,36170) 
 
- 
 
 - 
 
 
Resíduo 
 
 90 
 
 10,73750 
 
0,119300 
 
 
 
Total 
 
119 
 
137,09920 
 
 
 
NOTAS: (*) Significativo no nível de 5% de probabilidade. 
(**) Significativo no nível de 1% de probabilidade. 
 
De acordo com o teste F, tem-se: 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as concentrações de ácido sulfúrico em relação à porcentagem de queima das 
folhas em cebola. 
Houve diferença significativa, no nível de 1% de probabilidade, entre 
as cultivares de cebola dentro das concentrações de 0,5, 1,0, 2,0 e 5,0% em 
relação à porcentagem de queima das folhas. 
Houve diferença significativa, no nível de 5% de probabilidade, entre 
as cultivares de cebola dentro da concentração de 10,0% em relação à 
porcentagem de queima das folhas. 
 
 
 
 
259 
 
 
 
 
e) Teste de Tukey: 
Cultivares dentro da concentração 0,5%:mˆ 1 = 1,90 
 
mˆ 4 = 3,10 
mˆ 2 = 2,08 
 
mˆ 5 = 2,33 
mˆ 3 = 1,75 
 
mˆ 6 = 2,00 
 
Cultivares dentro da concentração 1,0%: 
 
mˆ 1 = 3,03 
 
mˆ 4 = 4,10 
mˆ 2 = 2,35 
 
mˆ 5 = 3,38 
mˆ 3 = 2,53 
 
mˆ 6 = 3,23 
 
Cultivares dentro da concentração 2,0%: 
 
mˆ 1 = 2,40 
 
mˆ 4 = 3,93 
mˆ 2 = 2,58 
 
mˆ 5 = 3,68 
mˆ 3 = 2,15 
 
mˆ 6 = 3,78 
 
Cultivares dentro da concentração 5,0%: 
 
mˆ 1 = 3,03 
 
mˆ 4 = 4,95 
mˆ 2 = 3,73 
 
mˆ 5 = 4,63 
mˆ 3 = 3,90 
 
mˆ 6 = 4,28 
 
Cultivares dentro da concentração 10,0%: 
 
mˆ 1 = 4,55 
 
mˆ 4 = 5,00 
 
 
260 
 
 
 
 
mˆ 2 = 4,18 
 
mˆ 5 = 4,90 
mˆ 3 = 4,68 
 
mˆ 6 = 4,78 
 
  
2
4264607,1
4
34539,0.13,4
%5
r
s
q
0,71 
 
Agora, a TABELA 8.6 fica da seguinte maneira: 
 
TABELA 8.6 – EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE ÁCIDO SULFÚRICO NA REAÇÃO 
DE CULTIVARES DE CEBOLA (Allium cepa L.) DOS GRUPOS 
CEROSO E NÃO CEROSO. PLANTAS AVALIADAS AOS 46 DIAS 
APÓS A SEMEADURA, ATRAVÉS DE UM ESCALA DE NOTAS 
VARIANDO DE 0 (AUSÊNCIA DE INJÚRIAS FOLIARES) A 5 (90-100 
% DE QUEIMA DAS FOLHAS). PIRACICABA-SP, 1983 
 
 
Cultivares * 
 
 Concentrações (%) 
 
 
Médias de 
Cultivares 
 
 
0,5 
 
1,0 
 
2,0 
 
5,0 
 
10,0 
 
 
BARREIRO SMP – IV 
 
1,90 
a
 
 
 3,03 
ab
 
 
2,40 
a
 
 
3,03 
a
 
 
 4,55 
ab
 
 
2,98 
 
 
BAIA DO CEDO SMP – V 
 
2,08 
a
 
 
2,35 
a
 
 
2,58 
a
 
 
 3,73 
ab
 
 
4,18 
a
 
 
2,98 
 
 
BAIA X BARREIRO (F1) 
 
1,75
 a
 
 
 2,53 
ab
 
 
2,15 
a
 
 
3,90 
b
 
 
4,68 
a
 
 
3,00 
 
 
EXCEL BERMUDAS 986 
 
3,10 
b
 
 
4,10 
d
 
 
3,93 
b
 
 
4,95 
c
 
 
5,00 
b
 
 
4,22 
 
 
GRANEX 
 
2,33 
a
 
 
3,38 
c
 
 
3,68 
b
 
 
4,63 
c
 
 
4,90 
b
 
 
3,78 
 
 
TEXAS GRANO 
 
2,00 
a
 
 
3,23 
c
 
 
3,78 
b
 
 
4,28 
c
 
 
 4,78 
ab
 
 
3,61 
 
 
Médias de Concentrações 
1/
 
 
2,19 
a
 
 
3,10 
b
 
 
3,08 
b
 
 
4,08 
c
 
 
4,64 
d 
 
 
 
NOTAS: (*) As três primeiras cultivares são do grupo ceroso e as três últimas são do grupo 
não ceroso. 
(1/) As médias de concentrações com a mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey, 
no nível de 5% de probabilidade. 
(2/) Nas colunas, as médias de cultivares dentro de concentração seguidas de pelo menos 
uma mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey, no nível de 5% de 
probabilidade. 
 
De acordo com o teste de Tukey, no nível de 5% de probabilidade, 
tem-se: 
 
 
261 
 
 
 
 
e.1) Com relação às concentrações de ácido sulfúrico: 
A concentração de 0,5% proporcionou o menor índice de injúrias 
foliares em cebola, e diferiu estatisticamente de todas as outras concentrações. 
As concentrações de 1,0 e 2,0% não diferiram estatisticamente entre 
si, e proporcionaram o segundo menor índice de injúrias foliares em cebola. 
A concentração de 10,0% proporcionou o maior índice de injúrias 
foliares em cebola, e diferiu estatisticamente de todas as outras concentrações. 
A concentração de 5,0% apresentou um índice de injúrias foliares 
intermediário entre as concentrações 10,0% e 1,0 e 2,0%. 
e.2) Com relação às cultivares dentro das concentrações: 
Na concentração de 0,5% de ácido sulfúrico, a cultivar do grupo não 
ceroso EXCEL BERMUDAS 986 apresentou o maior índice de injúrias 
foliares, e diferiu estatisticamente das demais cultivares de cebola avaliadas. 
Nesta mesma concentração, o híbrido BAIA x BARREIRO apresentou o 
menor índice de injúrias foliares, apesar de não diferir estatisticamente das 
cultivares do grupo ceroso BARREIRO SMP – IV e BAIA DO CEDO SMP – 
V e das cultivares do grupo não ceroso GRANEX e TEXAS GRANO. 
Na concentração de 1,0% de ácido sulfúrico, a cultivar do grupo não 
ceroso EXCEL BERMUDAS 986 apresentou o maior índice de injúrias 
foliares, e diferiu estatisticamente das demais cultivares de cebola avaliadas. 
Nesta mesma concentração, a cultivar do grupo ceroso BAIA DO CEDO SMP 
– V apresentou o menor índice de injúrias foliares, apesar de não diferir das 
outras cultivares do grupo ceroso. Ainda, a cultivar GRANEX, pertence ao 
grupo não ceroso, apresentou o segundo maior índice de injúrias foliares, 
apesar de não diferir estatisticamente da cultivar TEXAS GRANO, que se 
encontra numa posição intermediária entre as cultivares de cebola avaliadas. 
Na concentração de 2,0% de ácido sulfúrico, as cultivares de cebola 
do grupo ceroso apresentaram os menores índice de injúrias foliares, e 
diferiram estatisticamente das cultivares do grupo não ceroso. 
Na concentração de 5,0% de ácido sulfúrico, a cultivar BARREIRO 
SMP – IV apresentou o menor índice de injúrias foliares, apesar de não diferir 
estatisticamente da cultivar BAIA DO CEDO SMP – V, enquanto que a 
cultivar EXCEL BERMUDAS 986 apresentou o maior índice de injúrias 
foliares, apesar de não diferir estatisticamente das cultivares GRANEX e 
TEXAS GRANO. Nesta mesma concentração, a cultivar BAIA x BARREIRO 
(F1), pertencente ao grupo ceroso, apresentou um índice de injúrias foliares 
intermediário entre as cultivares de cebola do grupo ceroso. 
Na concentração de 10,0% de ácido sulfúrico, as cultivares BAIA DO 
CEDO SMP – V e BAIA x BARREIRO apresentaram os menores índices de 
injurias foliares, enquanto que as cultivares EXCEL BERMUDAS 986 e 
GRANEX apresentaram os maiores índices. As demais cultivares se situaram 
 
 
262 
 
 
 
 
numa posição intermediária, quanto ao índice de injúrias foliares, e não 
diferiram estatisticamente das cultivares que apresentaram os maiores e 
menores índices de injúrias foliares. 
 
8.5 Técnica do Confundimento 
 
Já foi visto que a técnica do confundimento é a alternativa mais usada 
nos experimentos fatoriais para se contornar a desvantagem do grande número 
de tratamentos, em função do aumento do número de fatores e/ou níveis. 
Esta técnica consiste em subdividir o bloco (repetição) em dois ou 
mais sub-blocos visando com isso obter áreas homogêneas para os 
tratamentos, o que, geralmente, não ocorre em áreas maiores. 
A distribuição dos tratamentos pelos sub-blocos é feita de forma 
orientada e, em geral, confundem-se as interações de maior ordem (tripla, 
quádrupla, etc.) com o efeito de blocos. Nunca se devem confundir os efeitos 
principais dos fatores, nem também, sempre que possível, as interações duplas, 
que são as mais importantes, com o efeito de blocos. 
COCHRAN e COX (1957) apresentam com detalhe a composição dos 
blocos em numerosos casos de experimentos fatoriais com confundimento. 
Deve-se ressaltar, contudo, que a utilização desta técnica proporciona uma 
redução do número de graus de liberdade do resíduo e, em conseqüência, um 
aumento da variância do erro experimental. Em função disso, não é 
aconselhável utilizá-la quando o número de tratamento avaliados for pequeno. 
A fim de ilustrar esta técnica, veja-se o caso mais comum e mais 
importante de confundimento, que é o do fatorial de 3
3
, introduzido por 
YATES (1937). Nele são confundidos dois graus de modos distintos de se 
fazer o confundimento, designados por W, X, Y e Z, para repartir os 27 
tratamentos em três blocos de nove tratamentos, como vê-se no quadro a 
seguir:263 
 
 
 
 
 
 GRUPO W 
 
 GRUPO X 
 
 
1º Bloco 
 
2º Bloco 
 
3º Bloco 
 
1º Bloco 
 
2º Bloco 
 
3º Bloco 
 
 
000 
 
001 
 
002 
 
000 
 
001 
 
002 
 
 
012 
 
010 
 
011 
 
011 
 
012 
 
010 
 
 
021 
 
022 
 
020 
 
022 
 
020 
 
021 
 
 
101 
 
102 
 
100 
 
102 
 
100 
 
101 
 
 
110 
 
111 
 
112 
 
110 
 
111 
 
112 
 
 
122 
 
120 
 
121 
 
121 
 
122 
 
120 
 
 
202 
 
200 
 
201 
 
201 
 
202 
 
200 
 
 
211 
 
212 
 
210 
 
212 
 
210 
 
211 
 
 
220 
 
221 
 
222 
 
220 
 
221 
 
222 
 
 
 GRUPO Y 
 
 GRUPO Z 
 
 
1º Bloco 
 
2º Bloco 
 
3º Bloco 
 
1º Bloco 
 
2º Bloco 
 
3º Bloco 
 
 
000 
 
001 
 
002 
 
000 
 
001 
 
002 
 
 
011 
 
012 
 
010 
 
012 
 
010 
 
011 
 
 
022 
 
020 
 
021 
 
021 
 
022 
 
020 
 
 
101 
 
102 
 
100 
 
102 
 
100 
 
101 
 
 
112 
 
110 
 
111 
 
111 
 
112 
 
110 
 
 
120 
 
121 
 
122 
 
120 
 
121 
 
122 
 
 
202 
 
200 
 
201 
 
201 
 
202 
 
200 
 
 
210 
 
211 
 
212 
 
210 
 
211 
 
212 
 
 
221 
 
222 
 
220 
 
222 
 
220 
 
221 
 
 
 
 
 
264 
 
 
 
 
Qualquer um dos grupos pode ser usado, indiferentemente. Contudo, 
independente do grupo escolhido, deve-se fazer o sorteio desses tratamentos 
dentro de cada bloco (sub-bloco) e em cada repetição. 
A análise da variância é feita do modo usual, com algumas pequenas 
alterações. Então, veja-se: 
Considere-se, para fins de estabelecimento de esquema de análise, um 
ensaio fatorial 3
3
, de adubação: N, P, K, com duas repetições. 
O quadro auxiliar da análise de variância e as tabelas de dupla entrada 
ficam da seguinte maneira: 
 
 
 
265 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro Auxiliar da Análise da Variância (Grupo W) 
 
 
Trata- 
mentos 
 
I 
 
II 
 
Totais de 
Tratamentos 
 
Trata- 
Mentos 
 
I 
 
II 
 
Totais de 
Tratamentos 
 
Trata- 
mentos 
 
I 
 
II 
 
Totais de 
Tratamentos 
 
 
N0 P0 K0 
 
X (N0 P0 K0 ) 
 
X(N0 P0 K0) 
 
TN0 P0 K0 
 
N0 P0 K1 
 
X (N0 P0 K1 ) 
 
X (N0 P0 K1 ) 
 
TN0 P0 K1 
 
N0 P0 K2 
 
X (N0 P0 K2 ) 
 
X (N0 P0 K2 ) 
 
TN0 P0 K2 
 
 
N0 P1 K2 
 
X (N0 P1 K2) 
 
X (N0 P1 K2) 
 
TN0 P1 K2 
 
N0 P1 K0 
 
X (N0 P1 K0) 
 
X (N0 P1 K0) 
 
TN0 P1 K0 
 
N0 P1 K1 
 
X (N0 P1 K1) 
 
X (N0 P1 K1) 
 
TN0 P1 K1 
 
 
N0 P2 K1 
 
X (N0 P2 K1) 
 
X (N0 P2 K1) 
 
TN0 P2 K1 
 
N0 P2 K2 
 
X (N0 P2 K2) 
 
X (N0 P2 K2) 
 
TN0 P2 K2 
 
N0 P2 K0 
 
X (N0 P2 K0) 
 
X (N0 P2 K0) 
 
TN0 P2 K0 
 
 
N1 P0 K1 
 
X (N1 P0 K1) 
 
X (N1 P0 K1) 
 
TN1 P0 K1 
 
N1 P0 K2 
 
X (N1 P0 K2) 
 
X (N1 P0 K2) 
 
TN1 P0 K2 
 
N1 P0 K0 
 
X (N1 P0 K0) 
 
X (N1 P0 K0) 
 
TN1 P0 K0 
 
 
N1 P1 K0 
 
X (N1 P1 K0) 
 
X (N1 P1 K0) 
 
TN1 P1 K0 
 
N1 P1 K1 
 
X (N1 P1 K1) 
 
X (N1 P1 K1) 
 
TN1 P1 K1 
 
N1 P1 K2 
 
X (N1 P1 K2) 
 
X (N1 P1 K2) 
 
TN1 P1 K2 
 
 
N1 P2 K2 
 
X (N1 P2 K2) 
 
X (N1 P2 K2) 
 
TN1 P2 K2 
 
N1 P2 K0 
 
X (N1 P2 K0) 
 
X (N1 P2 K0) 
 
TN1 P2 K0 
 
N1 P2 K1 
 
X (N1 P2 K1) 
 
X (N1 P2 K1) 
 
TN1 P2 K1 
 
 
N2 P0 K2 
 
X (N2 P0 K2) 
 
X (N2 P0 K2) 
 
TN2 P0 K2 
 
N2 P0 K0 
 
X (N2 P0 K0) 
 
X (N2 P0 K0) 
 
TN2 P0 K0 
 
N2 P0 K1 
 
X (N2 P0 K1) 
 
X (N2 P0 K1) 
 
TN2 P0 K1 
 
 
N2 P1 K1 
 
X (N2 P1 K1) 
 
X (N2 P1 K1) 
 
TN2 P1 K1 
 
N2 P1 K2 
 
X (N2 P1 K2) 
 
X (N2 P1 K2) 
 
TN2 P1 K2 
 
N2 P1 K0 
 
X (N2 P1 K0) 
 
X (N2 P1 K0) 
 
TN2 P1 K0 
 
 
N2 P2 K0 
 
X (N2 P2 K0) 
 
X (N2 P2 K0) 
 
TN2 P2 K0 
 
N2 P2 K1 
 
X (N2 P2 K1) 
 
X (N2 P2 K1) 
 
TN2 P2 K1 
 
N2 P2 K2 
 
X (N2 P2 K2) 
 
X (N2 P2 K2) 
 
TN2 P2 K2 
 
 
Totais de 
Blocos 
 
BI 
(1) 
 
BII 
(1) 
 
TG 
(1) 
 
Totais de 
Blocos 
 
BI 
(2) 
 
BII 
(2) 
 
TG 
(2) 
 
Totais de 
Blocos 
 
BI 
(3) 
 
BII 
(3) 
 
TG 
(3) 
 
 
 
 
 
266 
 
 
 
 
Tabela de Dupla Entrada para a Interação N x P 
 
 
Tratamentos 
 
P0 
 
P1 
 
P2 
 
Totais de N 
 
 
N0 
 
TN0 P0 
 
TN0P1 
 
TN0 P2 
 
TN0 
 
 
N1 
 
TN1P0 
 
TN1P1 
 
TN1 P2 
 
TN1 
 
 
N2 
 
TN2P0 
 
TN2 P1 
 
TN2 P 2 
 
TN2 
 
 
Totais de P 
 
TP0 
 
TP1 
 
TP2 
 
 
 
Tabela de Dupla Entrada para a Interação N x K 
 
 
Tratamentos 
 
K0 
 
K1 
 
K2 
 
Totais de N 
 
 
N0 
 
TN0 K0 
 
TN0K1 
 
TN0 K2 
 
TN0 
 
 
N1 
 
TN1K0 
 
TN1K1 
 
TN1 K2 
 
TN1 
 
 
N2 
 
TN2K0 
 
TN2 K1 
 
TN2 K 2 
 
TN2 
 
 
Totais de K 
 
TK0 
 
TK1 
 
TK2 
 
 
 
Tabela de Dupla Entrada para a Interação P x K 
 
 
Tratamentos 
 
K0 
 
K1 
 
K2 
 
Totais de P 
 
 
P0 
 
TP0 K0 
 
TP0K1 
 
TP0 K2 
 
TP0 
 
 
P1 
 
TP1K0 
 
TP1K1 
 
TP1 K2 
 
TP1 
 
 
P2 
 
TP2K0 
 
TP2 K1 
 
TP2 K 2 
 
TP2 
 
 
Totais de K 
 
TK0 
 
TK1 
 
TK2 
 
 
 
O esquema da análise da variância é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
267 
 
 
 
 
Quadro da Análise da Variância 
 
 
Causa de Variação 
 
GL 
 
SQ 
 
QM 
 
F 
 
 
Efeito de Nitrogênio (N) 
 
tN – 1 
 
SQN 
 
QMN 
 
QMN/QM Resíduo 
 
 
Efeito de Fósforo (P) 
 
tP – 1 
 
SQP 
 
QMP 
 
QMP/QM Resíduo 
 
 
Efeito de Potássio (K) 
 
tK – 1 
 
SQK 
 
QMK 
 
QMK/QM Resíduo 
 
 
Interação (N x P) 
 
(tN – 1) (tP – 1) 
 
SQ Interação (N x P) 
 
QM Interação (N x P) 
 
QM Interação (N x P)/ 
QM Resíduo 
 
 
Interação (N x K) 
 
(tN – 1) (tK – 1) 
 
SQ Interação (N x K) 
 
QM Interação (N x K) 
 
QM Interação (N x K)/ 
QM Resíduo 
 
 
Interação (P x K) 
 
(tP – 1) (tK – 1) 
 
SQ Interação (P x K) 
 
QM Interação ( P x K) 
 
QM Interação (P x K)/ 
QM Resíduo 
 
 
Interação (N x P x K) 
(parte não confundida) 
 
(tN – 1) (tP –1) (tK – 1) 
– 2 confundido 
 
SQ Interação (N x P x K) 
 
QM Interação (N x P x K) 
 
QM Interação (N x P x K)/ 
QM Resíduo 
 
 
(Tratamentos Não 
Confundidos) 
 
 
t – 1 – 2 confundido 
 
SQ Tratamentos 
 
- 
 
- 
 
 
Blocos 
 
r . b – 1 
 
SQ Blocos 
 
 
- 
 
- 
 
Resíduo 
 
(t – 1)(r – 1) – 2 
 
SQ Resíduo 
 
QM Resíduo 
 
 
 
Total 
 
t . r – 1 
 
SQ Total 
 
 
 
 
268 
 
 
 
 
onde: 
GL = número de graus de liberdade; 
SQ = soma de quadrados; 
QM = quadrado médio; 
F = valor calculado do teste F; 
t = número de tratamentos (combinações); 
r= número de repetições do experimento; 
b = número de sub-blocos; 
tN = número de tratamentos N; 
tP = número de tratamentos P; 
tK =número de tratamentos K; 
 
SQ Total =  



2
2
 
 
onde: 
X = valor de cada observação; 
N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) 
multiplicado pelo número de repetições do experimento (r); 
 
SQ Tratamentos Não Confundidos 
 
=      















2222
g
G
r
 
 
onde: 
T(NPK) = total de cada combinação (NPK); 
TG = total geral de cada sub-bloco, que corresponde ao somatório do total de 
cada combinação (NPK) do sub-bloco; 
g = número de tratamentos (combinações) do sub-bloco (t’) multiplicado pelo 
número de repetições do experimento (r); 
 
SQ Blocos =  




22
't
 
 
onde: 
B = total de cada bloco; 
 
SQ Resíduo = SQ Total – (SQ Tratamentos Não Confundidos + SQ Blocos) 
 
 
 
269 
 
 
 
 
SQ Tratamentos N =  




22
.. KP ttr
N
 
 
onde: 
TN = total de cada tratamento N; 
 
SQ Tratamentos P =  




22
.. KN ttr
P
 
 
onde: 
TP = total de cada tratamento P; 
 
SQ Tratamentos K =  




22
.. PN ttr
 
 
onde: 
TK = total de cada tratamento K; 
 
SQ Interação (N x P) =    




22
. Ktr
 – 
 
(SQ Tratamentos N + SQ Tratamentos P) 
 
onde: 
T(NP) = total de cada combinação (NP); 
 
SQ Interação (N x K) =    




22
. Ptr
 – 
 
(SQ Tratamentos N + SQ Tratamentos K) 
 
onde: 
T(NK) = total de cada combinação (NK); 
 
SQ Interação (P x K) =    




22
. Ntr
P
 – 
 
(SQ Tratamentos P + SQ Tratamentos K) 
 
 
270 
 
 
 
 
onde: 
T(PK) = total de cada combinação (PK); 
 
SQ Interação (N x P x K) = SQ Tratamentos Não Confundidos – 
 
[SQ Tratamentos N + SQ Tratamentos P + SQ Tratamentos K + 
 
SQ Interação (N x P) + SQ Interação (N x K) + SQ Interação (P x K)] 
 
QM Resíduo = 
síduoGL
síduoSQ
Re
´Re
 
 
QM Tratamentos N = 
NsTratamentoGL
NTramentosSQ
 
 
QM Tratamentos P = 
PsTratamentoGL
PTramentosSQ
 
 
QM Tratamentos K = 
KsTratamentoGL
KTramentosSQ
 
 
QM Interação (N x P) = 
 
 PxNInterçãoGL
PxNInteraçãoSQ
 
 
QM Interação (N x K) = 
 
 KxNInterçãoGL
KxNInteraçãoSQ
 
 
QM Interação (P x K) = 
 
 KxPInterçãoGL
KxPInteraçãoSQ
 
 
QM Interação (N x P x K) = 
 
 KxPxNInterçãoGL
KxPxNInteraçãoSQ
 
 
Pode-se, também, realizar um experimento desta natureza com uma só 
repetição, utilizando-se a interação tripla (N x P x K) como resíduo. No 
entanto, é mais conveniente utilizar mais de uma repetição (em geral, utilizam-
se duas repetições) para se obter uma maior precisão experimental. 
 
 
 
 
271 
 
 
 
 
8.6 Exemplo de um Experimento Fatorial 3
3
 com Confundimento 
 
Apresentar-se-á a seguir a análise da variância e a interpretação dos 
resultados de um experimento fatorial 3
3 
com confundimento. 
Exemplo 3: A partir dos dados da TABELA 8.7, pede-se: 
a) Fazer a análise da variância, inclusive o desdobramento do número 
de graus de liberdade de tratamentos no esquema fatorial 3
3
 com 
confundimento; 
b) Obter o coeficiente de variação; 
c) Aplicar, se necessário, o teste de Tukey a 5% de probabilidade na 
comparação de médias de nitrogênio, de fósforo e de potássio. 
 
TABELA 8.7 – DADOS DE PRODUÇÃO DE ALGODÃO HERBÁCEO (Gossypium 
hirsutum L.) (kg/ha) DE UM ENSAIO DE ADUBAÇÃO NPK
1/
, 3
3
, COM 
CONFUNDIMENTO (GRUPO W), COM DUAS REPETIÇÕES 
 
 
Trat. 
 
1º Rep. 
 
2º Rep. 
 
Totais 
 
Trat. 
 
1º Rep. 
 
2º Rep. 
 
Totais 
 
Trat. 
 
1º Rep. 
 
2º Rep. 
 
Totais 
 
 
000 
 
182 
 
 78 
 
260 
 
001 
 
273 
 
143 
 
416 
 
002 
 
 52 
 
 69 
 
121 
 
 
012 
 
365 
 
208 
 
573 
 
010 
 
 78 
 
339 
 
417 
 
001 
 
130 
 
195 
 
325 
 
 
021 
 
221 
 
469 
 
690 
 
022 
 
182 
 
208 
 
390 
 
020 
 
117 
 
299 
 
416 
 
 
101 
 
781 
 
286 
 
1.067 
 
102 
 
820 
 
404 
 
 1.224 
 
100 
 
169 
 
339 
 
508 
 
 
110 
 
469 
 
417 
 
886 
 
111 
 
586 
 
417 
 
 1.003 
 
112 
 
365 
 
378 
 
743 
 
 
122 
 
1.016 
 
573 
 
1.589 
 
120 
 
547 
 
260 
 
807 
 
121 
 
260 
 
547 
 
807 
 
 
202 
 
247 
 
326 
 
573 
 
200 
 
352 
 
130 
 
482 
 
201 
 
195 
 
443 
 
638 
 
 
211 
 
396 
 
534 
 
930 
 
212 
 
898 
 
690 
 
 1.588 
 
210 
 
278 
 
508 
 
786 
 
 
220 
 
278 
 
443 
 
721 
 
221 
 
768 
 
143 
 
911 
 
222 
 
625 
 
599 
 
 1.224 
 
 
 
 
 3.955 
 
3.334 
 
7.289 
 
 4.504 
 
 2.734 
 
7.238 
 
 2.191 
 
 3.377 
 
 5.568 
 
 
FONTE: CAVALCANTI (1977). 
NOTA: (1/) Dosagens usadas (kg/ha): N: 0 – 40 – 80; P205 : 0 – 60 – 120; K20 : 0 – 60 – 120. 
 
Resolução: 
a) Análise da Variância: 
 
 X = 182 + 78 + ... + 599 = 20.095,0 
 
 
 
272 
 
 
 
 
 X2 = (182)2 + (78)2 + ... + (599)2 = 10.130.071,0 
 
t = 27 
 
tN = 3 
 
tP = 3 
 
tK = 3 
 
r = 2 
 
b = 3 
 
N = t . r = 27 . 2 = 54 
 
GL Tratamentos Não Confundidos = t – 1 – 2 confundido 
 
= 27 – 1 – 2 = 24 
 
GL Blocos = r . b – 1 
 
= 2 . 3 – 1 
 
= 6 – 1 = 5 
 
GL Resíduo = (t – 1) (r – 1) – 2 
 
= (27 – 1) (2 – 1) – 2 
 
= (26) (1) – 2 
 
= 26 – 2 = 24 
 
GL Total = t . r – 1 
 
= 27 . 2 – 1 
 
= 54 – 1 = 53 
 
GL Tratamentos N = tN – 1 
 
 
273 
 
 
 
 
= 3 – 1 = 2 
 
GL Tratamentos P = tP – 1 
 
= 3 – 1 = 2 
 
GL Tratamentos K = tK – 1 
 
= 3 – 1 = 2 
 
GL Interação (N x P) = (tN – 1) (tP – 1) 
 
= (3 – 1) (3 – 1) 
 
= (2) (2) = 4 
 
GL Interação (N x K) = (tN – 1) (tK – 1) 
 
= (3 – 1) (3 – 1) 
 
= (2) (2) = 4 
 
GL Interação (P x K) = (tP – 1) (tK – 1) 
 
= (3 – 1) (3 – 1) 
 
= (2) (2) = 4 
 
GL Interação (N x P x K) = (tN – 1) (tP – 1) (tK – 1) – 2 confundido 
 
= (3 – 1) (3 – 1) (3 – 1) – 2 
 
= (2) (2) (2) – 2 
 
= 8 – 2 = 4 
 
SQ Total =    




54
0,095.20
0,071.130.10
22
2
 
 
10.130.071,0 – 

54
0,000.800.403
 
 
 
274 
 
 
 
 
10.130.071,0 – 7.477.944,9 = 2.652.126,1 
 
SQ Tratamentos Não Confundidos =  
r
2
 –  


2 – 
 
 










22
g
G
 = 
       
54
0,095.20
2
0,224.1...0,5730,260
2222


 – 
 








54
)0,095.20(
2.9
)0,568.5()0,238.7()0,289.7( 2222
 
 
= 
54
0,000.800.403
18
0,000.520.136
54
0,000.800.403
2
0,673.549.18

 
 
= 9.274.836,5 – 7.584.488,3 = 1.690.348,2 
 
SQ Blocos =  

