P3-2012 - Mecânica dos Fluidos para Engenharia Elétrica - POLI-USP

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LABORATÓRIO E APLICAÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2332) 
Gabarito Terceira Prova - 2012 
 
1. (5 pontos) Um líquido com massa específica 
3/680 mkg
 é bombeado de um grande tanque de 
armazenamento fechado e pressurizado para uma descarga de jato livre através de um tubo de 
comprimento total 
mL 450
 e diâmetro 
mmD 300
, como mostra a figura. A bomba P fornece um 
valor conhecido de potência para o líquido 
kWWP 10
. A pressão manométrica no manômetro no 
tanque fechado é 
kPap 1101 
. Assumir 
2/8,9 smg 
. Supondo um fator de atrito e coeficientes de 
perdas singulares constantes, com os seguintes valores de parâmetros 
015,0f
, 
5,0eK
 (entrada ao 
duto), 
26,0cK
 (cada cotovelo), 
2vK
 (cada válvula) e sabendo que os valores das cotas no tanque e 
na descarga são respectivamente 
mz 241 
 e 
mz 182 
: 
a) Determinar uma expressão analítica que permita calcular a vazão de descarga 
Q
. Que dificuldade 
surge para calcular explícitamente a vazão? (3,5 pontos) 
b) Calcular numericamente a vazão de descarga. (1,5 pontos) 
 
 
 
 
 
Conservação da energia: 
 perdasEmaqE HHHH 21
 ; 
z
g
V
g
p
H E 
2
2

 
Perda de carga singular: 
g
V
KH SS
2
2

 ; Perda de carga distribuída: 
g
V
D
L
fH d
2
2

 ; 
Potência para o líquido: 
PP HQgW 
 
 
Solução: 
a) Aplicando a equação de energia entre a superfície do tanque e a saída, considerando a pressão 
atmosférica como referência, resulta: 
2
2
12
2
1
1
22
23
Ag
Q
zH
Ag
Q
D
L
fKKKz
g
p
Pvce 






 
Qg
W
HHQgW PPPP  
 
2
4
1
DA 
 
Substituindo, resulta: 
 Kc 
g 
 
 
 Kv 
 Kc Kc 
0
8
231
42
3
21
1 












Dg
Q
D
L
fKKKQzz
g
p
g
W
vce
P 
 
A dificuldade para calcular explícitamente a vazão é que resulta uma equação de terceiro grau. 
 
b) Substituindo pelos valores numéricos, resulta: 
0/88,293507,22/5006,1 5234  msQmQsm
 
Por iterações, resulta 
smQ /305,0 3
. 
 
2. (5 pontos) Um líquido de massa específica 

 escoa do jato bidimensional horizontal de velocidade 
1V
 e 
espessura 
h e incide na placa plana que forma um ângulo  com a horizontal, como mostrado na figura. A 
placa se desloca com uma velocidade horizontal 
1VU 
 constante. Utilizando as leis de conservação, 
calcular as vazões mássicas por unidade de largura (medidas no sistema solidário à placa) 
2m
 e 
3m
, assim 
como o módulo da força exterior 
F por unidade de largura necessária para segurar a placa. Desprezar os 
efeitos de atrito e notar que, fora do sistema água-placa, temos a pressão atmosférica constante. Para resolver 
o problema: 
a) Definir o volume de controle utilizado para aplicar as leis de conservação. (0,5 pontos) 
b) Demonstrar que os módulos das velocidades relativas no sistema da placa são iguais e que a força é 
normal à placa. (1 ponto) 
c) Aplicando a conservação da massa e da quantidade de movimento, demonstrar que as vazões mássicas de 
saída e a força resultam: (3 pontos) 
   hUVm  12 cos1
2
1 
 
   hUVm  13 cos1
2
1 
 
   sen21 hUVF 
 
d) Discutir os resultados anteriores para os casos limite 
0
, 
2

 
 e 
 
, assim como para valores de 
U
 positivos ou negativos. (0,5 pontos) 
 
Dica: como é desprezado o atrito, a única força de interação entre o jato e a placa é a força de pressão. 
 
 
Bernoulli: 
cte
2
1 2  zgVp 
 ; Conservação da massa: 
 dA
A nV

.0 
 
h 
θ 
U 
Conservação da quantidade de movimento: 
 dA
A
ext  nVVF

.
 
Solução: 
a) Escolhemos o volume de controle da placa e o jato, com entrada horizontal e saídas tangenciais à placa. 
b) Aplicando Bernoulli no sistema de referência da placa e considerando que a pressão é constante na 
superfície libre do jato, assim como na superfícies de entrada e saídas, resulta: 
UVccccccc  1321
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1  
O módulo das velocidades relativas no sistema da placa é igual. Por outro lado, como é desprezado o 
atrito, a força de interação entre a placa e o fluido e de pressão, normal à placa; em consequência, não 
existe força resultante na direção tangencial à placa. A força resultante é normal. 
c) Aplicando a conservação da massa no sistema da placa, resulta: 
  3211 mmhUVm   
 
Aplicando a conservação da quantidade de movimento no sistema da placa, resulta: 
113322 cmcmcmF








 
Decompondo a força e os vectores de velocidade relativa nas direções tangencial e normal, obtemos: 
nFF


 
tcncc
  cossen1 
 
tcc

2
 
tcc

3
 
Daqui resultam: 
   sensen 211 hUVcmF   
cmcmcm 321 cos0   
 
Resolvendo as vazões mássicas, resultam finalmente: 
     hUVmm  112 cos1
2
1
cos1
2
1  
 
     hUVmm  113 cos1
2
1
cos1
2
1  
 
d) A força vale zero para a placa alinhada com o jato e tem um máximo para a placa perpendicular ao jato. 
A força vale zero para 
1VU 
 e varía com o quadrado da velocidade relativa para 
1VU 
. A vazão 
mássica de entrada se redistribui de maneira que uma fração menor é defletida para trás e uma fração 
maior é defletida para adiante. Para a placa alinhada, não tem jato defletido para trás; para a placa 
perpendicular, o jato se redistribui em partes iguais.