Antenas e Propagação - Lista 1 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC2440
Primeira Lista de Exercícios
 1. Determine a distribuição de cargas associada a cada uma das distribuições de corrente a 
seguir:
 a) J⃗ ( r⃗ ' )=I 0 ûzδ( x ' )δ ( y ' )Λ( z 'a )
 b) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π( x '2a )Π( z '2b )
 c) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π( x '2a )Λ ( z 'b )
 d) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π(√ x ' 2+ z ' 22a )
 2. Considere uma distribuição de corrente dada por J r ' =I 0 x '   y ' 
z '
2 h
 z , ou 
seja, é um fio de corrente elétrica uniforme de comprimento 2 h, na direção do eixo z, sendo 
h = λ.
 a) Trace o gráfico da função de diagrama ( F k  ), em função apenas de θ, 
correspondente a essa corrente, normalizado em relação ao seu máximo.
 b) Trace o diagrama de radiação de campo ( F k sen  ) bi-dimensional (em função 
apenas de θ) correspondente a essa corrente, normalizado em relação ao seu máximo.
 c) Quantos lóbulos laterais tem esse diagrama?
 d) Qual a abertura angular do lóbulo principal?
 e) Qual o valor eficaz de corrente necessário para se obter um campo elétrico de 15 μVef/m 
a 1 km de distância dessa antena?
 f) Se essa antena estiver a uma altura de 100 m do solo, na posição vertical, determine a 
defasagem a ser aplicada a essa distribuição de corrente para que o centro de seu lóbulo 
principal aponte exatamente para um ponto a 1 km de distância do seu eixo, sobre o solo, 
e calcule a defasagem entre os pontos em suas extremidades.
(Despreze o efeito do solo no diagrama de radiação).
 g) Nas condições do item anterior, determine a faixa de cobertura dessa antena (em km de 
distância ao seu eixo, no solo) como sendo a faixa coberta pelo seu lóbulo principal com 
um sinal de, no máximo, 14 dB abaixo do nível obtido a 1 km (valores mínimo e 
máximo da distância)
(Despreze o efeito do solo no diagrama de radiação).
 h) Repita os itens anteriores para h = 5 λ.
 3. Considere uma distribuição de corrente dada por 
J⃗ ( r⃗ ' )= I 0δ(x ' )δ ( y ' )Π(
z '
2h
)cos (k 0 z ') ẑ , ou seja, é um fio de corrente elétrica com 
variação senoidal em z, de comprimento 2 h, na direção do eixo z, sendo h = λ/4. Determine 
a expressão da função de diagrama ( F (k⃗ ) ), correspondente a essa corrente, e trace seu 
gráfico normalizado em relação ao seu máximo.
Em seguida, determine a expressão completa do campo elétrico distante produzido por essa 
corrente
 4. Repita o problema anterior para J⃗ ( r⃗ ' )= I 0δ(x ' )δ ( y ' )Π(
z '
2 h
)sen (k0∣z '∣) ẑ sendo 
h = λ/2
 5. Considere uma placa circular, de raio a, com densidade de corrente dada por: 
J r ' ={[1−/a 2]m}  y '   2 a  z sendo = x ' 2z ' 2
 a) Determine a expressão da função de diagrama ( F k  ), correspondente a essa 
corrente, em função de =k x2k z2=k sen2cos2cos2=k sen .
Dica: ∫
0
1
[1−2]m J 0 d =2
m m !
J m1 
m1
∫
0
2
e j cos d =2 J 0  
 b) Trace seu gráfico, em função de δ, normalizado em relação ao seu máximo, para os 
seguintes casos, com a=2 λ:
• α=1, β=0;
• α=0, β=1, m=1;
• α=0, β=1, m=2.
 c) Repita o item anterior para a=5 λ.
 d) Para a=2 λ, α=0, β=1, m=2, trace o diagrama de radiação tri-dimensional (em função de 
θ e Ф ) incluindo, portanto, o fator sen(θ).
Dica: utilize o script matlab abaixo, ou similar:
th=0:1:180;
ph=0:1:360;
[T,P]=meshgrid(th,ph);
T=T*pi/180;
P=P*pi/180;
kz=2*pi*cos(T);
kx=2*pi*sin(T).*cos(P);
F=alguma função de sqrt(kx.^2+kz.^2);
figure(1),
surf(th,ph,abs(F)); % este é o gráfico da função F
[X,Y,Z] = sph2cart(P,T-pi/2,abs(F.*sin(T)));
figure(2);
surf(X,Y,Z,abs(F.*sin(T))); axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
 6. Determine uma distribuição de corrente sobre uma placa quadrada, situada no plano x-z, de 
lado 2 a, a ser determinado, na frequência de 600 MHz, com as seguintes características:
• lóbulo principal apontando para uma direção que forma um ângulo de 30 graus com o eixo 
y, sobre o plano x-y;
• nível de lóbulos laterais abaixo de 26 dB;
• largura do lóbulo principal, no plano x-y e no outro plano ortogonal a esse que contém o 
lóbulo principal, menor ou igual a 11,5 graus;
• campo elétrico distante na direção θ, com intensidade de 0,1 mVef/m a 1 km de distância da 
antena.
 7. Repita o problema anterior para uma placa circular de raio a. Dica: utilize as tabelas de 
valores, p. 398, e de zeros, p. 409, das funções de Bessel no livro: “Handbook of 
Mathematical Functions”, M. Abramowitz e I.A. Stegun.; e/ou o gráfico do final da apostila, 
ou o Matlab.
 8. Quantifique como seriam alterados o lóbulo principal e os níveis de lóbulos laterais se fosse 
aberto um furo de 5 % do diâmetro da antena modelada pela distribuição de corrente da 
questão 5-d.
PTC2444
Gabarito Lista 1
 1. Determine a distribuição de cargas associada a cada uma das distribuições de corrente a 
seguir:
 a) J⃗ ( r⃗ ' )=I 0 ûzδ( x ' )δ ( y ' )Λ( z 'a ) ρl= I 0jωa [Π( z '−a /2a )−Π( z '+a/2a )] sobre o 
eixo z
 b) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π( x '2a )Π( z '2b ) ρl=±J Sjω Π( x '2 a ) sobre as retas 
(z '=±a ; y '=0)
 c) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π( x '2a )Λ ( z 'b ) ρs= J sjωb Π( x '2 a ) [Π( z '−a/2a )−Π( z '+a /2a )]
sobre o plano y '=0
 d) J⃗ ( r⃗ ' )= J S ûz δ( y ')Π(√ x ' 2+ z ' 22a ) ρl= J sjω sinφ sobre a circunferência de raio a, 
sobre o plano y'=0 com centro na origem.
 2.
 a) F (k⃗ )=2 h I 0 sinc(2 cos θh/ λ)=2 h I 0 sinc(2 cos θ)
 b)
 c) Ele tem 3 lóbulos, um principal e dois secundários para θ entre 0 e π.
 d) O lóbulo principal tem uma abertura de 60 graus.
 e) E⃗ (r ,θ)=F ( k⃗ )
jη0
2λ r
senθ e− j k r
∣Eθ(r ,π/2)∣=h I 0
η0
λ r
= I 0
η0
r
⇒ I 0=
15×10−3×1000
377
=40 mAef
 f) para 100 m de altura, o ângulo de visada a 100 m de distância será:
θ0=tan
−1( 1000
100
)=84,3 graus. Sendo θ=0 a direção para cima, devemos direcionar o 
feixe com um ângulo de 180-84,3 = 95,7 graus. 
Portanto, deve-se defasar a corrente de k cosθ0 , ou seja, ela deve ser multiplicada por 
e− j k z cosθ0=e j 0,1 k z ou seja, a defasagem entre a corrente na extremidade superior 
deverá estar adiantada de 0,1×2 πλ ×2h=72
o em relação à extremidade inferior.
 g) 14 dB → 5 vezes menor. Devemos então determinar a posição sobre o solo na qual o 
nível do sinal cai a 1/5 do nível a 1 km. O nível do sinal, agora é:
∣Eθ(r ,θ)∣=2h I 0 sinc(2cosθ−2 cosθ0)
η0
2λ r
sen θ= I 0 sinc(2cosθ−2cosθ0)
η0
r
sen θ
normalizando-se em relação ao sinal a 1 km:
∣Eθ(r ,θ)norm∣=sinc(2 cos θ−2 cosθ0)
√10002+1002
√R2+1002
sen θ
sen θ0
sendo θ=π−tan−1(
R
100
)
Precisamos determinar o valor de R para o campo cair ao valor 0,2.
Fazendo-se um gráfico desse valor em função de R, temos:
Rmax = 4,85 km; Rmin = 140 m; 
 h) Agora para h = 5 λ:
F (k⃗ )=2 h I 0 sinc(10 cosθ)
 normal zoom
o número de lóbulos agora é 19, sendo 1 principal.
O lóbulo principal tem uma largura de 11,5 graus
∣Eθ(r ,π/2)∣=h I 0
η0
λ r
=5 I 0
η0
r
⇒ I 0=
15×10−3×1000
377×5
=8 mAef
o ângulo de tilt é o mesmo, o que implica em uma defasagem entre extremidades, agora, de 360 
graus.
 ∣Eθ(r ,θ)norm∣=sinc(10cosθ−10cosθ0)
√10002+1002
√R2+1002
sen θ
sen θ0
Fazendo-se um gráfico desse valor em função de R, temos:
Rmax = 2,54 km; Rmin = 520 m; 
 3. Considere uma distribuição de corrente dada por 
J⃗ ( r⃗ ' )= I 0δ(x ' )δ ( y ' )Π(
z '
2 h
)cos (k 0 z ') ẑ , ou seja, é um fio de corrente elétrica com 
variação senoidal em z, de comprimento 2 h, na direção do eixo z, sendo h = λ/4. Determine 
a expressão da função de diagrama ( F k  ), correspondente a essa corrente, e trace seu 
gráfico normalizado em relação ao seu máximo.
Em seguida, determine a expressão completa do campo elétricodistante produzido por essa 
corrente 
F (k⃗ )=
4h I 0 cos (π2 cosθ)
πsen 2θ
Eθ=
j η0 I 0
2π r
e− j k0 r
cos ( π2 cos θ)
sen θ
 4. Repita o problema anterior para J⃗ ( r⃗ ' )= I 0δ(x ' )δ ( y ' )Π(
z '
2 h
)sen (k0∣z '∣) ẑ sendo 
h = λ/2
F (k⃗ )=
2h I 0 [cos (π cosθ )+1 ]
π sen2θ
Eθ=
j η0 I 0
2π r
e− j k0 r [cos (π cosθ )+1 ]
sen θ
 5. Considere uma placa circular, de raio a, com densidade de corrente dada por: 
J r ' ={[1−/a 2]m}  y '   2a  z sendo = x ' 2z ' 2
 a) Determine a expressão da função de diagrama ( F (k⃗ ) ), correspondente a essa 
corrente, em função de γ=√k x2+k z2=k √sen 2θcos2ϕ+cos2θ=k sen δ .
Dica: ∫
0
1
[1−(ρ)2]mρ J 0(σρ)d ρ=2
m m!
J m+1(σ)
σm+1
∫
0
2π
e jσ cos (ϕ)d ϕ=2π J 0(σ )
Gráficos das distribuições de corrente:
Para J⃗ ( r⃗ ' )={(α+β[1−(ρ/a)
2]m)}δ( y ' )Π ( ρ2 a ) ẑ temos que:
F (k⃗ )=∫
0
a
∫
0
2π
(α+β[1−(ρ ' /a)2]m)e j (k x x ' +k z z ' )ρ ' d ϕ dρ '=∫
0
a
∫
0
2π
(α+β[1−(ρ ' /a)2]m)e j k0 sin δρ '(cosϕ ' )ρ ' d ϕ d ρ '=
=∫
0
a
(α+β[1−(ρ ' /a)2]m)ρ ' 2 π J 0(k 0sin δρ ')d ρ '=2π∫
0
1
(α+β[1−(x)2]m)a2 x J 0(k 0sin δa x )dx=
=2π a2[α J 1(k 0 sinδa)(k0 sin δa) +β2m m! J m+1(k 0 sinδa)(k 0 sin δa)m+1 ]
 b) Trace seu gráfico, em função de δ, normalizado em relação ao seu máximo, para os 
seguintes casos, com a=2 λ:
• α=1, β=0;
• α=0, β=1, m=1;
• α=0, β=1, m=2.
 c) Repita o item anterior para a=5 λ.
• α=1, β=0;
• α=0, β=1, m=1;
• α=0, β=1, m=2.
 6. Determine uma distribuição de corrente sobre uma placa quadrada, situada no plano x-z, de 
lado 2 a, a ser determinado, na frequência de 600 MHz, com as seguintes características:
• lóbulo principal apontando para uma direção que forma um ângulo de 30 graus com o eixo 
y, sobre o plano x-y;
• nível de lóbulos laterais abaixo de 26 dB;
• largura do lóbulo principal, no plano x-y e no outro plano ortogonal a esse que contém o 
lóbulo principal, menor ou igual a 11,5 graus;
• campo elétrico distante na direção θ, com intensidade de 0,1 mVef/m a 1 km de distância da 
antena.
Para uma distribuição uniforme, na direção z, vimos que a relação entre o lóbulo principal e 
o primeiro lateral é aproximadamente dada por:
−20 log (sinc(1,5))=13,5dB e, portanto, não atende ao critério especificado. Porém, com 
uma distribuição do tipo:
J z=J sδ( y ' )Λ ( x 'a )Λ ( z 'a )
teremos uma transformada variando com sinc2(.) e, portanto, teremos um nível de lóbulos 
laterais 27 dB abaixo do principal, satisfazendo o critério especificado.
Para que o lóbulo principal aponte para a direção especificada, basta multiplicar essa 
distribuição pela defasagem:
e− j (k0 sinθ0 cosφ 0 x ' +k0 cosθ0 z ')
sendo θ0=90
o e φ0=60
o .
Com esses parâmetros teremos:
F (k⃗ )=J s a
2sinc2( aλ (sinθcos φ−cos π/3)) sinc2( aλ (cosθ))
a largura do lóbulo no plano ortogonal a xy, é dada por:
a
λ cosθ1=1⇒θ1=cos
−1 λ
a
; aλ cosθ2=−1⇒θ2=cos
−1−λ
a
;Δθ=θ2−θ1=2( π2−cos−1 λa )
Assim, para que essa largura seja menor que 11,5 graus, devemos ter:
a
λ≥9,98 .
Já no plano xy, tempos que os nulos adjacentes ao lóbulo lateral ocorrem para:
φ1=cos
−1(λa + 12 ); φ2=cos−1(−λa + 12 ) e sua distância será menor que 11,5 graus para 
a
λ≥11,54 . Podemos, então, adotar a=12λ=6m.
Dessa forma, a expressão final do campo será:
Eθ=
j 36 J sη0
r
e− j k0 r sinθsinc2 (12(sinθ cosφ−1 /2)) sinc2 (12 cosθ )
para r em metros e Js em A/m. Calculando-se o valor desse campo em 
(r=1000 m ,θ=90o ,φ=60o) temos:
∣Eθ∣=
36 J s 377
1000
=0,1mVef /m⇒ J s=7,37μ A/m
 7. Repita o problema anterior para uma placa circular de raio a. Dica: utilize as tabelas de 
valores, p. 398, e de zeros, p. 409, das funções de Bessel no livro: “Handbook of 
Mathematical Functions”, M. Abramowitz e I.A. Stegun.; e/ou o gráfico do final da apostila, 
ou o Matlab.
R – 
E= j
0
2 r
sen e− j k0 r F k  u
F k =∬
S
J zx ' , z ' e
− j k x x 'k z z 'dx ' dz '=∫
0
a
∫
0
2
 [1−  ' /a 2 ]m e j ' cos ' ' d  ' d  '
sendo =k x2k z2=k 0sen  , δ = ângulo entre direção de visada e o eixo y (
=902 ,=902 ).
F k =∫
0
a
[1− ' /a 2 ]m' 2 J 0' d '=2 a2∫
0
1
x 1−x2 m x J 0a x dx=
=2 a22m m!
J m1a
 am1
=2 a2 2m m!
J m1k 0 sen a 
k 0sen  a 
m1
nível de lóbulos secundários pelo menos 26 dB abaixo do lóbulo principal → lóbulo 
secundário < 0,05 lóbulo principal. Pelos gráficos ou tabelas → n >=3 ou m >=2. Usaremos 
m=2.
largura do lóbulo principal (distância angular entre dois mínimos) igual a 11,5 graus em 
elevação → k0 a sen 11,5
o/2=primeiro zero de J 3x / x=6,38⇒a≈5m
apontamento para 0=90
o ,0=60
o ou120o⇒ fator e− j k0 sen0 cos0 x 'cos0 z ' =e− j k0 ±0,5x '
Dessa forma: 
E=
j 0
2 r
sen e− j k 0 r 2a2 8
J 3  k0 a sen cos−1 /22cos2 
 k0 a sen cos−1/ 22cos2 
3
Para r = 1 km, 0=90
o ,0=60
o ou120o , λ = 0,5 m: 
E=
j 0
2 r
sen e− j k 0 r 2a2 8
J 3  k0 a sen cos−1 /22cos2 
 k0 a sen cos−1/ 22cos2 
3
∣E∣=
0
1000
 2 a2 8
J 3 0 
0 3
= 377
1000
 225×0,1667≈10 ⇒≈10 Aef/m
Portanto: J r ' =10 [1−/10m 2]2 y '   10 m e− j k0 ±0,5 x ' z Aef/m
 8. Quantifique como seriam alterados o lóbulo principal e os níveis de lóbulos laterais se fosse 
aberto um furo de 5 % do diâmetro da antena modelada pela distribuição de corrente da 
questão 5-d (Para a=2 λ, α=0, β=1, m=2)
Com esse furo, a nova distribuição de corrente ficaria igual a 
J z ( r⃗ ' )=[1−(ρ/a)
2]2δ ( y ' )[Π( ρ2a )−Π( ρ0,1a )]≈[1−(ρ/a)2]2δ ( y ' )Π( ρ2a )−δ( y ' )Π( ρ0,1a )
isso causaria dois efeitos principais:
1 – o nível do lóbulo principal, que é proporcional à área da distribuição de corrente 
diminuiria: originalmente a área era de πa2/3 e a área suprimida é aproximadamente 
igual a π (0,05a)2 , ou seja, representa cerca de 0,75 % da área original (mais de 42 dB 
abaixo do nível do lóbulo principal original). Dessa forma, vemos que esse efeito é quase 
desprezível.
2 - O nível dos lóbulos laterais seria alterado: Essencialmente, a nova função de diagrama 
seria a diferença entre a função original e a função de diagrama da parte suprimida, e como a 
parte suprimida tem um diâmetro muito menor que um comprimento de onda, o valor de sua 
função de diagrama é essencialmente constante ao longo de todo o espectro visível, ou seja, 
mais de 42 dB abaixo do nível do lóbulo principal. Porém, os lóbulos secundários tem níveis 
bem menores e, portanto, serão mais afetados ao se subtrair esse valor da função de 
diagrama original, como mostrado na figura abaixo.
Vemos que o nível do primeiro lóbulo lateral aumenta de 2 dB.
Apêndice 
 
Tabela de 2m m!
J m1x
x m1
x J1(x)/x 2×J2(x)/x2 8×J3(x)/x3 48×J4(x)/x4
0,0 0,5000 0,2500 0,1667 0,1250
0,1 0,4994 0,2498 0,1666 0,1249
0,2 0,4975 0,2492 0,1663 0,1248
0,3 0,4944 0,2481 0,1657 0,1244
0,4 0,4901 0,2467 0,1650 0,1240
0,5 0,4845 0,2448 0,1641 0,1234
0,6 0,4778 0,2426 0,1630 0,1228
0,7 0,4700 0,2399 0,1616 0,1220
0,8 0,4611 0,2369 0,1601 0,1211
0,9 0,4511 0,2335 0,1584 0,1200
1,0 0,4401 0,2298 0,1565 0,1189
1,1 0,4281 0,2257 0,1544 0,1176
1,2 0,4152 0,2213 0,1522 0,1163
1,3 0,4016 0,2166 0,1498 0,1148
1,4 0,3871 0,2116 0,1472 0,1132
1,5 0,3720 0,2063 0,1445 0,1116
1,6 0,3562 0,2008 0,1416 0,1098
1,7 0,3399 0,1950 0,1387 0,1080
1,8 0,3231 0,1890 0,1355 0,1061
1,9 0,3059 0,1828 0,1323 0,1041
2,0 0,2884 0,1764 0,1289 0,1020
2,1 0,2706 0,1699 0,1255 0,0998
2,2 0,2527 0,1632 0,1220 0,0976
2,3 0,2347 0,1565 0,1183 0,0954
2,4 0,2167 0,1496 0,1146 0,0930
2,5 0,1988 0,1427 0,1109 0,0907
2,6 0,1811 0,1358 0,1071 0,0882
2,7 0,1636 0,1288 0,1033 0,0858
2,8 0,1463 0,12190,0994 0,0833
2,9 0,1295 0,1149 0,0955 0,0808
3,0 0,1130 0,1080 0,0916 0,0782
3,1 0,0971 0,1012 0,0877 0,0757
3,2 0,0817 0,0944 0,0838 0,0731
3,3 0,0669 0,0878 0,0799 0,0705
3,4 0,0527 0,0813 0,0760 0,0680
3,5 0,0393 0,0749 0,0722 0,0654
3,6 0,0265 0,0686 0,0684 0,0628
3,7 0,0145 0,0626 0,0646 0,0603
3,8 0,0034 0,0567 0,0609 0,0577
3,9 -0,0070 0,0510 0,0573 0,0552
4,0 -0,0165 0,0455 0,0538 0,0527
4,1 -0,0252 0,0402 0,0503 0,0503
4,2 -0,0330 0,0352 0,0469 0,0478
4,3 -0,0400 0,0304 0,0436 0,0454
4,4 -0,0461 0,0258 0,0404 0,0431
4,5 -0,0513 0,0215 0,0373 0,0408
4,6 -0,0558 0,0174 0,0343 0,0385
4,7 -0,0594 0,0136 0,0314 0,0363
4,8 -0,0622 0,0101 0,0286 0,0342
4,9 -0,0642 0,0068 0,0259 0,0321
x J1(x)/x 2×J2(x)/x2 8×J3(x)/x3 48×J4(x)/x4
5,0 -0,0655 0,0037 0,0233 0,0300
5,1 -0,0661 0,0009 0,0209 0,0281
5,2 -0,0660 -0,0016 0,0186 0,0262
5,3 -0,0653 -0,0039 0,0164 0,0243
5,4 -0,0640 -0,0059 0,0143 0,0225
5,5 -0,0621 -0,0078 0,0123 0,0208
5,6 -0,0597 -0,0093 0,0105 0,0192
5,7 -0,0569 -0,0107 0,0087 0,0176
5,8 -0,0536 -0,0118 0,0071 0,0161
5,9 -0,0500 -0,0128 0,0056 0,0146
6,0 -0,0461 -0,0135 0,0043 0,0132
6,1 -0,0419 -0,0140 0,0030 0,0119
6,2 -0,0376 -0,0144 0,0018 0,0107
6,3 -0,0330 -0,0146 0,0008 0,0095
6,4 -0,0284 -0,0147 -0,0002 0,0084
6,5 -0,0237 -0,0146 -0,0010 0,0074
6,6 -0,0189 -0,0143 -0,0018 0,0064
6,7 -0,0142 -0,0140 -0,0024 0,0055
6,8 -0,0096 -0,0135 -0,0030 0,0047
6,9 -0,0051 -0,0129 -0,0035 0,0039
7,0 -0,0007 -0,0123 -0,0039 0,0032
7,1 0,0035 -0,0116 -0,0042 0,0025
7,2 0,0075 -0,0108 -0,0045 0,0019
7,3 0,0113 -0,0100 -0,0047 0,0013
7,4 0,0148 -0,0091 -0,0048 0,0008
7,5 0,0180 -0,0082 -0,0049 0,0004
7,6 0,0209 -0,0073 -0,0049 0,0000
7,7 0,0235 -0,0063 -0,0049 -0,0004
7,8 0,0258 -0,0054 -0,0048 -0,0007
7,9 0,0277 -0,0045 -0,0047 -0,0010
8,0 0,0293 -0,0035 -0,0045 -0,0012
8,1 0,0306 -0,0026 -0,0044 -0,0014
8,2 0,0315 -0,0018 -0,0042 -0,0016
8,3 0,0320 -0,0009 -0,0039 -0,0017
8,4 0,0322 -0,0001 -0,0037 -0,0018
8,5 0,0321 0,0006 -0,0034 -0,0019
8,6 0,0317 0,0013 -0,0031 -0,0020
8,7 0,0310 0,0020 -0,0029 -0,0020
8,8 0,0300 0,0026 -0,0026 -0,0020
8,9 0,0288 0,0031 -0,0023 -0,0020
9,0 0,0273 0,0036 -0,0020 -0,0019
9,1 0,0255 0,0040 -0,0017 -0,0019
9,2 0,0236 0,0043 -0,0014 -0,0018
9,3 0,0215 0,0046 -0,0011 -0,0018
9,4 0,0193 0,0049 -0,0009 -0,0017
9,5 0,0170 0,0050 -0,0006 -0,0016
9,6 0,0145 0,0052 -0,0004 -0,0015
9,7 0,0120 0,0052 -0,0001 -0,0014
9,8 0,0095 0,0052 0,0001 -0,0013
9,9 0,0069 0,0052 0,0003 -0,0012
10,0 0,0043 0,0051 0,0005 -0,0011
Tabela de zeros das funções de Bessel do primeiro tipo de ordem n
s j0,s j1,s j2,s j3,s j4,s
1 2,40482 3,83171 5,13562 6,38016 7,58834
2 5,52007 7,01559 8,41724 9,76102 11,06471
3 8,65372 10,17347 11,61984 13,01520 14,37254
4 11,79153 13,32369 14,79595 16,22347 17,61597
5 14,93091 16,47063 17,95982 19,40942 20,82693