Exercicios de Jogos Simultaneos

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Teoria dos Jogos 2o Semestre/2018
2a Lista de Exerc´ıcios DECON - UFPE
Prof. Paulo Melo Filho
Data de Entrega: 09/10/2018
1. Maria e Antoˆnio teˆm que decidir para onde va˜o viajar de fe´rias. Eles decidiram que
viajara˜o juntos, e teˆm treˆs opc¸o˜es de destino: Argentina (A), Bol´ıvia (B) ou Coloˆmbia
(C). Diante da indecisa˜o, eles resolveram usar o seguinte mecanismo de decisa˜o. Primeiro,
Maria escolhe um dos lugares para vetar. Em seguida, apo´s conhecer o lugar vetado por
Maria, Antoˆnio decide entre os dois lugares restantes. Maria prefere A a B, e B a C;
enquanto Antoˆnio prefere C a B e B a A.
a) Represente o jogo na forma extensiva e na forma normal.
b) Ache o(s) equil´ıbrio(s) de Nash em estrate´gias puras.
c) Qual dos equil´ıbrios achados no item b e´ um equil´ıbrio de Nash perfeito em subjogos?
2. Considere o seguinte jogo, em sua forma extensiva (chamaremos esse jogo de Jogo
A):
RALA
A
LB RB LB RB
3
6-201
4 0 -2
B
a) Represente o Jogo A na forma normal, e ache todos os equil´ıbrios de Nash.
b) Considere agora o Jogo B, cuja forma extensiva e´ quase igual a` do Jogo A, com
a diferenc¸a que o jogador B observa a escolha do jogador A, antes de tomar sua
decisa˜o. Ache os equil´ıbrios de Nash em estrate´gias puras do Jogo B. Algum desses
e´ um equil´ıbrio perfeito em subjogos?
c) Considere agora o Jogo C, que consiste do seguinte. O jogador A decide entre α
e β. Se escolher α, o jogo termina, e os ganhos sa˜o 2 e 5 para ele e o jogador B
respectivamente. Se escolher β, eles jogara˜o o Jogo A. Represente a forma extensiva
do Jogo C. Quantos subjogos ha´ no Jogo C ? E quantos conjuntos de informac¸a˜o para
cada um dos jogadores? Ache todos os equil´ıbrios de Nash perfeitos em subjogos
(puros e mistos).
3. Carlos e Nata´lia enfrentam o seguinte jogo. Nata´lia tem que escolher entre duas ac¸o˜es
dispon´ıveis: S para parar, ou C para continuar. Se parar, ela tem um ganho igual a y. Se
continuar, jogara´ um jogo simultaˆneo com Carlos, onde ela tera´ que escolher entre U e D,
enquanto Carlos escolhe entre L e R. Os ganhos do jogo simultaˆneo esta˜o representados
na seguinte matrix:
L R
U 3, 1 2,−1
D 1, 0 4, 5
a) Ache os equil´ıbrios de Nash do jogo simultaˆneo apo´s Nata´lia escolher C.
b) Ache os ganhos de Nata´lia em cada um dos equil´ıbrios de Nash encontrados no item
a.
c) Ache os valores de y para que a primeira ac¸a˜o de Nata´lia seja C, em todos os
equil´ıbrios de Nash perfeitos em subjogos.
4. As empresas Andesa e Bertola (A e B) sera˜o as u´nicas empresas geradoras de energia
na Ilha do Ferro, a partir de junho de 2014. Em fevereiro de 2014, elas tera˜o que decidir
simultaneamente, qual tecnologia adotara˜o, entre as duas dispon´ıveis no mercado. A
gerac¸a˜o nuclear tem custo marginal nulo, com custos fixos de $ 2500. A gerac¸a˜o de
ciclo combinado, tem custos fixos de $ 1000, pore´m com um custo marginal de $ 30.
Suas escolhas sera˜o divulgadas em maio de 2014, e a partir de junho, elas competira˜o a la
Cournot, num mercado cuja demanda e´ dada por P (Q) = 180−Q, ondeQ = qA+qB.
a) Ache todos os equil´ıbrios de Nash perfeitos em subjogos, em estrate´gias puras, do
jogo descrito acima.
b) Que pol´ıtica poderia ser adotada pelo governo, se este estiver interessado em pro-
mover a diversidade tecnolo´gica (i.e., se o governo desejar que ambas tecnologias
sejam adotadas)?
5. Considere a seguinte situac¸a˜o de barganha. Uma empresa (E) e um sindicato (S) teˆm
que dividir os ganhos gerados pela atividade econoˆmica desempenhada na empresa, em
um total de 2 milho˜es de reais. A barganha se da´ em treˆs rodadas. Em cada rodada, uma
das partes oferta uma determinada divisa˜o, e a outra parte, apo´s conhecer a oferta, decide
se aceita ou rejeita a proposta. Se a proposta for aceita, a mesma sera´ implementada.
Caso seja rejeitada, a barganha avanc¸a a` rodada seguinte, onde nova proposta devera´
ser apresentada pela parte que rejeitou a oferta anterior (assumimos que, em caso de
indiferenc¸a, a parte aceitara´ a proposta). Se apo´s as treˆs rodadas na˜o houver acordo, a
relac¸a˜o entre as partes sera´ terminada, e ambas partes tera˜o um ganho igual a zero. Na
primeira rodada, cabera´ a empresa propor a divisa˜o.
a) Qual sera´ o acordo de equil´ıbrio, e em que rodada o mesmo se dara´, se o fator de
desconto para cada rodada de espera for δ = 1/4?
b) Qual sera´ o acordo de equil´ıbrio, e em que rodada o mesmo se dara´, se a empresa
tiver fator de desconto δE = 1/4, e o sindicato tiver fator de desconto δS = 1/2?
c) Compare os dois resultados, e discuta o porqueˆ da diferenc¸a observada.
6. Treˆs empresas operam em um mercado com demanda inversa P (Q) = 150 − Q, onde
Q = q1 + q2 + q3. A func¸a˜o de custo das empresas e´ dada por Ci(qi) = 30qi, i = 1, 2, 3. A
empresa 1 atua como l´ıder, fixando sua quantidade antes das demais. Apo´s conhecerem
a quantidade escolhida pela empresa 1, as empresas 2 e 3 escolhem suas quantidades de
maneira simultaˆnea.
a) Ache as func¸o˜es de reac¸a˜o das empresas 2 e 3 (i.e., q2(q1, q3) e q3(q1, q2)).
b) Ache o equil´ıbrio do jogo simultaˆneo jogado entre as empresas 2 e 3, i.e., do subjogo
que ocorre apo´s a escolha de q1. (Note que em tal equil´ıbrio, temos q2 e q3 em
func¸a˜o de q1.
c) Ache a escolha o´tima da l´ıder, bem como as quantidades produzidas pelas seguidoras
no equil´ıbrio.