Exercícios Cálculo 3 Segunda Unidade

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Exercícios Cálculo 3 Segunda Unidade 
 
01. Considere o toro obtido ao girar a circunferência ( ) 
 , em torno do eixo . Se , vimos que uma parametrização para 
essa superfície é ( ) (( ) ( ) ), 
com . 
(a) Calcule o fluxo do campo ( ) ( ) através do toro, com vetor 
normal apontando para fora. 
(b) Use o item (a) e o Teorema da Divergência para calcular o volume 
desse toro. 
 
02. Considere a superfície S dada pela parte do cilindro que 
está abaixo do plano , com vetor normal apontando para fora do 
cilindro. 
(a) Obtenha uma parametrização para a borda de S. 
(b) Considere o campo vetorial ( ) ( ). Use o Teorema de 
Stokes para calcular o fluxo do rotacional de através de S. (É mais viável 
calcular uma integral de linha ou escolher outra superfície com esse 
mesmo bordo?) 
(c) Refaça os itens (a) e (b), mas para a interseção da esfera 
 com o plano 
03. Considere o campo ( ) (
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
( )
 
 
). 
(a) Calcule a divergência de . 
(b) Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície esférica 
 . Você pode usar o Teorema da Divergência para isso? 
(c) Calcule o fluxo do campo vetorial através de uma superfície esférica 
centrada no ponto ( ) e de raido . E agora, podemos usar o 
Teorema da Divergência? 
(d) Mostre que o fluxo desse campo através de uma superfície esférica 
centrada em ( ) mas de raio vale zero. 
 
04. Considere o sólido limitado inferiormente pelo cone ( )
 
 e superiormente pelo hemisfério , com 
campo normal apontando para fora, e o campo ( ) (
 
 
 
 
 
 
 
 
). 
(a) Calcule a divergência do campo . 
(b) Calcule o fluxo de através de 
(c) Use o Teorema da Divergência e as informaçoes coletadas nos itens 
anteriores para calcular o fluxo de sobre . 
 
05. Considere a superfície de equações paramétricas ( ) 
( ), . 
(a) Mostre que o ponto ( ) pertence à superfície. 
(b) Encontre uma equação para o plano tangente à superfície nesse ponto. 
(c) Encontre uma equação cartesiana para . 
(d) Calcule a área da superfície .