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Topolog´ıa general
[un primer curso]
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Topolog´ıa general
[un primer curso]
Gustavo N. Rubiano O.
Profesor titular
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogota´
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vi, 284 p. : 3 il. 00
ISBN 978-958-719-442-5
1. Topolog´ıa general
Gustavo N. Rubiano O.
Topolog´ıa general, 3a. edicio´n
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota´
Facultad de Ciencias, 2010
Mathematics Subject Classification 2000: 00–00.
c© Edicio´n en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Ortego´n
Universidad Nacional de Colombia.
Diagramacio´n y disen˜o interior en LATEX: Gustavo Rubiano
Tercera edicio´n, 2010
Impresio´n:
Editorial UN
Bogota´, D. C.
Colombia
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Contenido
Pro´logo IX
1. Conjuntos con topolog´ıa 1
1.1. Los reales —una inspiracio´n— . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) . . . . . . . . 8
1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22
2. Espacios me´tricos 28
2.1. Me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1. Caracterizacio´n de los espacios euclidianos . . . . . 42
2.3. Topolog´ıa para una me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1. Me´tricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Bases y numerabilidad 57
3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4. Funciones —comunicaciones entre espacios— 64
4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. La categor´ıa Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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vi CONTENIDO
5. Filtros, convergencia y continuidad 74
5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho– 89
6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2. Invariantes topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7. Espacios de identificacio´n –cociente– 102
7.1. Topolog´ıa cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1.1. Descomposicio´n cano´nica por una funcio´n . . . . . 105
8. La topolog´ıa producto 112
8.1. Definicio´n sinte´tica de producto entre conjuntos . . . . . . 112
8.2. La topolog´ıa producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113
8.3. La topolog´ıa producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115
8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5. La topolog´ıa producto —en los me´tricos— . . . . . . . . . 123
8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7. Topolog´ıas al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.1. La topolog´ıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.7.2. La topolog´ıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9. Posicio´n de un punto respecto a un conjunto 133
9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133
9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140
9.2. Puntos de acumulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
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CONTENIDO vii
9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.Compacidad 156
10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163
10.2.1. Compacidad v´ıa cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2.2. Compacidad v´ıa filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166
10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.6. Compacidad para me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.8.1. Compactacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.Espacios me´tricos y sucesiones —completez— 196
11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.3. Completez de un espacio me´trico . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
12.Los axiomas de separacio´n 210
12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
12.2. Regulares, T3, Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.2.1. Inmersio´n en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
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viii CONTENIDO
12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227
12.5. Tietze o extensio´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.Conexidad 238
13.1. La conexidad como invariante topolo´gico . . . . . . . . . . 238
13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Bibliograf´ıa 264
I´ndice alfabe´tico 266
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Pro´logo
El tema central de esta tercera edicio´n es presentar un texto que
sirva como gu´ıa para un primer curso formal en topolog´ıa general o de
conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate
de una nueva edicio´n y no de una simple reimpresio´n de la anterior.
La mayor´ıa de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio
de la topolog´ıa se agrupan en dos categor´ıas: invariantes topolo´gicos y
construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos.
En la parte de invariantes, el e´nfasis en los espacios 1-contable o es-
pacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios
para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topolog´ıa,
justifica la introduccio´n del concepto de filtro como una adecuada no-
cio´n de convergencia, que resulte conveniente para describir la topolog´ıa
en espacios ma´s generales; de paso, este concepto nos proporciona una
manera co´moda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en
cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de con-
strucciones.
Nuevos cap´ıtulos, secciones, demostraciones, gra´ficos y referencias
histo´ricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar
de manera activa una de las a´reas ma´s prol´ıficas de la matema´tica y la
ciencia.
Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del
autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios
cla´sicos sobre el tema o la introduccio´n de algunos ejemplos nuevos.
Agradezco a la Facultad de Ciencias de la UniversidadNacional de
Colombia, Sede Bogota´, el darme ese tiempo extra que siempre necesi-
tamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria.
Gustavo N. Rubiano O.
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x CONTENIDO
gnrubianoo@unal.edu.co
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1 Conjuntos con topolog´ıa
1.1. Los reales —una inspiracio´n—
No hay nada ma´s familiar a un estudiante de matema´ticas que el
conjunto R de los nu´meros reales y las funciones f : R −→ R. Si u´nica-
mente tuvie´ramos en cuenta la definicio´n usual de funcio´n de R en R,
es decir, una coleccio´n de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada
elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja
ordenada, estar´ıamos desperdiciando el concepto de intervalo que cono-
cemos para los nu´meros reales y, au´n ma´s, el hecho de que en R podemos
decir quie´nes son los vecinos de un punto x ∈ R.
En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un
ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo
(x−ε, x+ε) es la vecindad ba´sica de x con radio ε. Cuando a una funcio´n
de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad
ba´sica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definicio´n ε, δ de
continuidad empleada en el ca´lculo.
Revisemos esta definicio´n de continuidad. La funcio´n f : R −→ R se
dice continua en el punto c ∈ R si:
“Para cada nu´mero positivo ε, existe un nu´mero positivo δ tal que
|f(x)− f(c)| < ε siempre que |x− c| < δ”.
Pero |f(x)−f(c)| < ε significa f(x) ∈ (f(c)−ε, f(c)+ε); as´ı mismo,
|x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definicio´n entre comillas
la podemos reescribir como
“Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que
si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.
Hablando en te´rminos de los intervalos abiertos como las vecindades
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2 Conjuntos con topolog´ıa
f(c)
c
2δ
2ε g(c)
c
Figura 1.1: La continuidad en R.
ba´sicas, esta definicio´n es:
“Dada una vecindad ba´sica de radio ε alrededor de f(c), podemos
encontrar una vecindad ba´sica de c y con radio δ tal que
si x ∈ (c− δ, c+ δ) entonces f(x) ∈ (f(c)− ε, f(c) + ε)”.
Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f(c)
podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen
por f de esta u´ltima se encuentra dentro de la vecindad de f(c)”.
Informalmente decimos que:
Un cambio ‘pequen˜o’ en c produce un cambio ‘pequen˜o’ en f(c).K
Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R esta´ liga-
do esencialmente a la definicio´n que podamos hacer de ‘vecindad’ para
un punto y la relacio´n entre las ima´genes de las vecindades. Luego, si
quisie´ramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que
no sean nuestros nu´meros reales usuales, debemos remitirnos a obtener
de alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para
estos conjuntos.
Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unio´n
de intervalos abiertos —nuestras vecindades ba´sicas— es fa´cil verificar
que:
1. ∅ es abierto —la unio´n de una familia vac´ıa—.
2. R es abierto.
3. La unio´n de una coleccio´n de abiertos es un abierto.
4. La interseccio´n de un nu´mero finito de abiertos es un abierto.
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 3
Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definicio´n.
Definicio´n 1.1. Una topolog´ıa1 para un conjunto X es una familia
T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X
tal que:
1. ∅ ∈ T, X ∈ T.
2.
⋂
i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—.
3.
⋃
i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I.
Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para
la unio´n arbitraria como para la interseccio´n finita. La condicio´n 1 es
consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ı´ndices I = ∅.
Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X,T) es por defini-
cio´n un espacio topolo´gico. Brevemente lo notamos X cuando no es
necesario decir quie´n es T. Los elementos de X son los puntos del espa-
cio. Las condiciones en la definicio´n anterior se llaman los axiomas de
una estructura topolo´gica.
A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra 
espacio significara´ espacio topolo´gico. Los complementos de los conjuntos
abiertos se llaman conjuntos cerrados.
EJEMPLO 1.1
Ru. En R definimos una topolog´ıa T conocida como la usual (el espacio
es notado Ru) definiendo U ∈ T si U es unio´n de intervalos abiertos.
O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U
existe un intervalo (a, b) que contiene a x y esta´ contenido en U .
1Se le acun˜a la invencio´n de la palabra topolog´ıa al matema´tico alema´n de ascen-
dencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro
de escuela Mu¨ller.
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4 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.2
Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que
sea linealmente —totalmente— ordenado por una relacio´n ≤. Definimos
T≤ la topolog´ıa del orden o la topolog´ıa intervalo sobre (X,≤)
tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como
unio´n de intervalos de la forma
1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—.
2. (x,→) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—.
3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—.
En el caso en que X no posea elementos ma´ximo y mı´nimo, basta con-
siderar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por que´?—.
EJEMPLO 1.3
Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o
℘(X)—. Esta es la topolog´ıa discreta de X —permite que todo sea
abierto—. Es la topolog´ıa sobre X con la mayor cantidad posible de
abiertos.
Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T =
{∅, X}, conocida como la topolog´ıa grosera de X —pra´cticamente no
permite la presencia de abiertos—. Es la topolog´ıa con la menor cantidad
posible de abiertos.
No´tese que toda topolog´ıa T para X se encuentra entre la topolog´ıa
grosera y la topolog´ıa discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2X .
EJEMPLO 1.4
Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅.
La definicio´n de esta topolog´ıa se puede extender a cualquier A ⊆ X y
la notamos como IA.
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 5
EJEMPLO 1.5
Extensio´n cerrada de (X,T). La anterior topolog´ıa permite la siguiente
generalizacio´n. Dado un espacio (X,T) y p /∈ X, definimos la extensio´n
X∗ = X ∪ {p} y T∗ = {V ∪ {p} : V ∈ T} ∪ {∅}. (X∗,T∗) es un espacio y
los cerrados de X∗ coinciden con los de X.
El ejemplo 1.4 es la extensio´n Y ∗ para el caso (Y = X − {p}, 2Y ).
EJEMPLO 1.6
Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos
la topolog´ıa punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p /∈ U .
EJEMPLO 1.7
Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topolog´ıas:
1. J1 = {∅, X},
2. J2 = {∅, X, {0}},
3. J3 = {∅, X, {1}},
4. J4 = {∅, X, {0}, {1}, {0, 1}}.
•
•
•
•
J2
J1
J3
J4
El diagrama muestra co´mo es la contenencia entre estas cuatro topolog´ıas,
as´ı que J2 y J3 no son comparables. J2 = {∅, X, {0}} se conoce como la
topolog´ıa de Sierpinski2. Es el espacio ma´s pequen˜o que no es trivial
ni discreto.
2En honor al matema´tico polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920,
Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz,
fundaron una influyente revista matema´tica, Fundamenta Mathematica, especializada
en trabajos sobre teor´ıa de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajo´ sobre
todo en teor´ıa de conjuntos, pero tambie´n en topolog´ıa de conjuntos y funciones de
una variable real. Tambie´n trabajo´ en lo que se conoce actualmente como lacurva de
Sierpinski.
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6 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.8
Complementos finitosa. Dado un conjunto X, definimos la topolog´ıa
(T, cofinitos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es fini-
to, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos
se definan en te´rminos de cardinalidad— es interesante tener en cuen-
ta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o
infinito no contable.
aTambie´n conocida como la topolog´ıa de Zariski en honor al matema´tico bielorruso
Oscar Zariski (1899-1986).
EJEMPLO 1.9
Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topolo-
g´ıa (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es
enumerable o contable —finito o infinito—, adema´s del ∅, por supuesto.
EJEMPLO 1.10
Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos
U ∈ Eωp si U c es finito, o p /∈ U .
La coleccio´n Top(X) de todas las topolog´ıas sobre un conjunto X es un
conjunto parcialmente ordenado por la relacio´n de inclusio´n: T1 ≤ T2
si T1 ⊆ T2, caso en el cual decimos que T2 es ma´s fina que T1. Por
tanto, sobre Top(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos
relativos a conjuntos ordenados.
Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el
conjunto de topolog´ıas definibles sobre X. Una pregunta natural y for-
mulada desde el inicio de la topolog´ıa es: ¿cua´ntas topolog´ıas existen
sobre X? o ¿quie´n es el cardinal |T(n)|? La pregunta es dif´ıcil de con-
testar y por ello se trata de un problema abierto; ma´s au´n, para este
problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna fo´rmula cerrada ni
recursiva que de´ una solucio´n. Tampoco existe un algoritmo eficiente de
computacio´n que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N.
Para valores pequen˜os de n el ca´lculo de |T(n)| puede hacerse a mano;
por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento
de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, ex-
isten 261492535743634374805066126901117203 posibles topolog´ıas para
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1.1 Los reales —una inspiracio´n— 7
n Nu´mero de topolog´ıas en T(n)
1 1
2 4
3 29
4 355
5 6.942
6 209.527
7 9.535.241
8 642.779.354
9 63.260.289.423
10 8.977.053.873.043
11 1816846038736192
12 519355571065774021
13 207881393656668953041
14 115617051977054267807460
15 88736269118586244492485121
16 93411113411710039565210494095
17 134137950093337880672321868725846
18 261492535743634374805066126901117203
Cuadro 1.1: Nu´mero de topolog´ıas para un conjunto de n elementos.
un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el
mayor para el cual el nu´mero de topolog´ıas es conocido.
Ejercicios 1.1
1. ¿Co´mo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteri-
ores?
2. Construya todas las topolog´ıas para X = {a, b, c}.
3. Muestre que, para un conjunto X, la interseccio´n de topolog´ıas
sobre X es de nuevo una topolog´ıa.
4. Muestre que la unio´n de dos topolog´ıas sobre un conjunto X no
necesariamente es una topolog´ıa.
5. En cada uno de los ejemplos dados en esta seccio´n, revise la per-
tinencia de la cardinalidad del conjunto X.
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8 Conjuntos con topolog´ıa
•• • •• • •• •
•• • •• • •• •
•• •
6. Muestre que (Top(X),⊆) es un ret´ıculo completo. En particular,
para el caso de dos topolog´ıas T, I el sup ∨{T, I} esta´ formado por
todas las posibles uniones de conjuntos de la forma
{U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I}.
7. Revise el ejemplo 1.10 en te´rminos del ejercicio anterior.
1.2. Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas)
Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es im-
portante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o de-
scriben a los dema´s, i. e., toda la estructura topolo´gica puede ser recu-
perada a partir de una parte de ella.
Definicio´n 1.2. Si (X,T) es un espacio, una base para T es una sub-
familia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto
x ∈ U , existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U .
Cada abierto en T es unio´n de elementos en B.
EJEMPLO 1.11
Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topolog´ıa en
Ru. Revise la definicio´n de la topolog´ıa del orden.
Por supuesto, para un espacio (X,T), T en s´ı misma es una base de
manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 9
ma´s importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy
grande —espacio 2–contable—.
¿Co´mo reconocer que una coleccio´n B de subconjuntos de X pueda
ser base para alguna topolog´ıa? K
Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topolog´ıa
para X si y solo si se cumple que
1. X =
⋃{B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X.
2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con
x ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es unio´n de elementos de B para
todo par U, V de B.
No´tese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para
intersecciones finitas es una base.
Demostracio´n. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topolog´ıa T
de X. Veamos que X =
⋃{B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe
U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la
otra inclusio´n es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por
ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V esta´n en T, y
por tanto U ∩ V ∈ T—.
⇐) Construyamos una topolog´ıa T para la cual B es una base. Defin-
imos U ∈ T si U es unio´n de elementos de B. Por supuesto tanto X como
∅ esta´n en T —∅ por ser la unio´n de la familia vac´ıa—. Si tomamos la
unio´n de una familia en T, ella finalmente es unio´n de elementos de B.
Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la
definicio´n de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en
U y V respectivamente; por la condicio´n 2 sobre B, existe B tal que
x ∈ B ⊆ (BU ∩BV ) ⊆ U ∩ V .
La topolog´ıa dada por el teorema anterior se conoce como la topolog´ıa
generada por la base B y la notamos T = 〈B〉3.
EJEMPLO 1.12
Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topolog´ıa Ip del punto
incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}.
3Una misma topolog´ıa puede ser generada por bases diferentes.
G
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10 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.13
Particio´n. Dada una particio´n R sobre un conjunto X —o lo que es igual
una relacio´n de equivalencia R—, la coleccio´n R junto con el conjunto ∅ es
una base para una topolog´ıa sobre X. Un subconjunto de X es entonces
abierto si es unio´n de subconjuntos pertenecientes a la particio´n.
EJEMPLO 1.14
L´ınea de Khalinsky. En Z definimos la base
B = {{2n− 1, 2n, 2n+ 1} : n ∈ Z}
⋃
{{2n+ 1} : n ∈ Z}.
En la topolog´ıa generada, cada entero impar es abierto y cada entero
par es cerrado.
EJEMPLO 1.15
Topolog´ıa a derecha. Para un conjunto (X,≤) parcialmente ordenado, el
conjunto de las colas a derecha y cerradas
x ↑ := [x,→) := {t : x ≤ t},
es una base para una topolog´ıa ya que
[x,→) ∩ [y,→) =
⋃
z
[z,→) para z ∈ [x,→) ∩ [y,→).
La topolog´ıa generada se nota Td y se conoce como la topolog´ıa a
derecha —dualmente existe la topolog´ıa a izquierda—.
La anterior topolog´ıa es saturada o de Alexandroff4 en el sentido
que la interseccio´n arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. No´tese
que las colas abiertas son tambie´n abiertos para esta topolog´ıa.
(a,→) =
⋃
b>a
[b,→).
4En general una topolog´ıa se dice de Alexandroff o A–topolog´ıa si las intersec-
ciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas
inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. No´tese que toda topolog´ıa finita es de
Alexandroff.
G
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 11
EJEMPLO 1.16
Una topolog´ıa puede tenerdiferentes bases. En R2 definamos dos bases
B1,B2 que nos conducen a una misma topolog´ıa: la usual.
B1: U ∈ B1 si U = {(x, y) :
(
(x− u)2 + (y − v)2)1/2 < ε} para algu´n
ε > 0 y algu´n (u, v) en R2. U se acostumbra denotar como Bε((u, v))
—U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—.
B2: V ∈ B2 si V = {(x, y) : |x − u| + |y − v| < ε} para algu´n ε > 0 y
algu´n (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en
(u, v)—.
Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como unio´n de
elementos de B1, lo puedo expresar tambie´ncomo unio´n de elementos de 
B2, con lo cual las dos topolog´ıas generadas coinciden.
EJEMPLO 1.17
De manera ma´s general, en Rn definimos una base B de la manera si-
guiente:
B = {Bε(x) : ε > 0, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn}
donde,
Bε(x) =
(y1, . . . , yn) ∈ Rn
∣∣∣∣
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
)1/2
< ε
 .
Bε(x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topolog´ıa gen-
erada por esta base se conoce como topolog´ıa usual de Rn y notamos
Rnu.
No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente
estas bases satisfacen la condicio´n para serlo, y hacer los gra´ficos respec-
tivos para las bolas abiertas en Ru y R2u.
G
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12 Conjuntos con topolog´ıa
Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias de
partes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser base
para alguna topolog´ıa. Cuando dos bases generen una misma topolog´ıa
las vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’
acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras,
definimos una relacio´n de equivalencia y lo que llamamos equivalente
es esa ‘igualdad’ acomodada.
Definicio´n 1.4. Sean X un conjunto y B1, B2 dos bases como en la
definicio´n 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes—
si las topolog´ıas generadas son iguales, i. e., 〈B1〉 = 〈B2〉.
Proposicio´n 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existe
B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, con lo cual 〈B1〉 ⊆ 〈B2〉 y viceversa.
Demostracio´n. Ejercicio.
El lector debe verificar que esta relacio´n es de equivalencia sobre el
conjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. As´ı que,
dada una topolog´ıa sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia
que representa esta topolog´ıa, el elemento base que mejor se acomode a
nuestro intere´s —cano´nico—.
Dado un cubrimientoD de X, es posible crear la menor topolog´ıa sobre
X que tenga entre sus abiertos la coleccio´n D. Para ello, creamos a
partir de esta coleccio´n una base y luego generamos la topolog´ıa.K
Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una u´nica topolog´ıa
T para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topolog´ıa
H que contenga a D es ma´s fina que T, esto es, T ⊆ H.
Demostracio´n. Definimos la coleccio´n B como el conjunto de todas las
intersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B = ⋂ni=1Di
para Di ∈ D; B es una base de topolog´ıa y D ⊆ B.
Sea T = 〈B〉. En otras palabras, un elemento U de T es aquel que
podemos expresar como una reunio´n de intersecciones finitas de ele-
mentos de D. Si H es una topolog´ıa para X tal que D ⊆ H , es claro
que todo elemento de T tambie´n es elemento de H por la definicio´n de
topolog´ıa.
En general definimos una subbase de la manera siguiente.
G
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 13
Definicio´n 1.7. Sea (X,T) un espacio. Una subbase para la topolog´ıa
T es una subcoleccio´n D ⊆ T con la propiedad que la familia formada
por las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T.
EJEMPLO 1.18
Los intervalos de la forma (a,→), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbase
para la topolog´ıa usual. Generalice a la topolog´ıa del orden.
EJEMPLO 1.19
Para un conjunto X la coleccio´n D = {X−{x} : x ∈ X} es una subbase
para la topolog´ıa de los cofinitos.
Ejercicios 1.2
1. (R2, verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = {(x, y) : y ∈ R}.
Muestre que B = {Bx : x ∈ R} es base de una topolog´ıa para
R2 ¿Co´mo son los abiertos?
2. (R2, triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos la
regio´n comprendida entre dos rectas
Da,b,c = {(x, y) : y ≥ ax+ b y y ≥ −ax+ c} ⊆ R2.
Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R}. D es una coleccio´n de regiones
triangulares infinitas. Muestre que D es base para una topolog´ıa.
3. Cuando tenemos un conjunto (X,≤) totalmente ordenado y sin
elementos ma´ximo ni mı´nimo, es posible definir otras topolog´ıas
diferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes
familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata
de bases para nuevas topolog´ıas:
a) Bd = {x ↑= [x,→) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Td de las
colas a derecha y cerradas, o topolog´ıa a derecha (ver ejemplo
1.15).
b) Bi = {x ↓= (←, x] : x ∈ X} genera la topolog´ıa Ti de las
colas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta
topolog´ıa es de Alexandroff. Tambie´n se dice que la topolog´ıa
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14 Conjuntos con topolog´ıa
b •
c •
Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2.
es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos
dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener
una relacio´n de orden parcial en X.
Bi tambie´n genera los intervalos de la forma
(←, a) =
⋃
b<a
(←, b],
con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti.
c) Bad = {(x,→) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tad de las colas a
derecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existencia
del mı´nimo.
d) Bai = {(←, x) : x ∈ X} genera la topolog´ıa Tai de las colas
a izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia de
ma´ximos.
e) B+ = {[x, y) : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T+ de los in-
tervalos semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es
G
. R
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1.2 Abiertos ba´sicos (generacio´n de topolog´ıas) 15
llamada topolog´ıa de Sorgenfrey o del l´ımite inferior5.
B+ genera: (a, b) =
⋃
t>a
[t, b),
[a,→) =
⋃
a<b
[a, b),
(a,→) =
⋃
a<b
(a, b),
(←, b) =
⋃
a<b
(a, b).
5Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los nu´meros reales,
es una fuente de u´tiles contraejemplos.
G
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16 Conjuntos con topolog´ıa
f ) B− = {(x, y] : x, y ∈ X} genera la topolog´ıa T− de los inter-
valos semiabiertos a izquierda.
B− genera: (a, b) =
⋃
x<b
(a, x],
(←, a] =
⋃
b<a
(b, a],
(a,→) =
⋃
b<a
(a, b),
(←, b) =
⋃
a<b
(a, b).
Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relacio´n de con-
tenencia entre estas topolog´ıas y dice quie´nes no son compa-
rables.
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Ji
J−2X
J0
Jai Jad
J+
Jd
Figura 1.3: Contenencia entre topolog´ıas.
4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las intersecciones
finitas —propiedad de la interseccio´n finita PIF—. Muestre que B
es base para una topolog´ıa en X.
5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto
X = Mor(I, I) = {f | f : I −→ I}.
Por cada S ⊆ I, definimos
BS = {f ∈ X : f(x) = 0, para cada x ∈ S}.
La coleccio´n B = {BS}S⊆I es base para una topolog´ıa en X.
G
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1.3 Vecindades 17
1.3. Vecindades
En la motivacio´n de este cap´ıtulo utilizamos el te´rmino ‘vecindad’ en
el contexto de los nu´meros reales; hagamos la generalizacio´n a espacios
topolo´gicos de acuerdo con la siguiente definicio´n.
Definicio´n 1.8. Sea (X,T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecin-
dad6 de x ∈ X —la notamos Vx— si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx.
Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x).
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Vx
x•
y
U
•
Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatizacio´n de vecindad.
Proposicio´n 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x)
de vecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades:
1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V .
2. Si V ∈ V(x) y V ⊆W entonces W ∈ V(x).
3. Si V,W ∈ V(x) entonces V ∩W ∈ V(x).
4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y)
para todo y ∈ U .
Demostracio´n. La demostracio´n se deja como ejercicio.
6Fue el matema´tico alema´n Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la nocio´n
de espacio topolo´gico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914,
partiendo de una axiomatizacio´n del concepto de vecindad. Tambie´n trabajo´ en teor´ıa
de conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado.
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18 Conjuntos con topolog´ıa
En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es un
filtro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el cap´ıtulo 5,
pa´g. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que
Una vecindad de un punto x es tambie´n vecindad de los puntos sufi-
cientemente cercanos a x.
El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomati-
zacio´n de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo
ma´s tarde, la cual es nuestra definicio´n inicial de topolog´ıa.
Felix Hausdorff
Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X se
le asigna un conjunto V(x) no vac´ıo de subconjuntos de X que cumple
1, 2, 3 y 4 de la proposicio´n 1.9; entonces existe una u´nica topolog´ıa T
para X tal que para cada x ∈ X la coleccio´n V(x) es precisamente el
sistema de vecindades de x en el espacio (X,T).
Demostracio´n. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈
V(x) —U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efecto
T es una topolog´ıa. Por vacuidad, vac´ıo esta´ en T. Por hipo´tesis, V(x) es
7Un grupo de matema´ticos, en su mayor´ıa franceses, quienes bajo este seudo´nimo
comenzaron a reunirse en 1930 con la intencio´n de escribir de una manera unificada
la matema´tica existente.
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1.3 Vecindades 19
diferente de vac´ıo para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ V
donde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) ya que U, V ∈ V(x). Dada {Ui},
(i ∈ I) una familia en T y x ∈ U = ⋃{Ui : i ∈ I}, existe i ∈ I tal que
x ∈ Ui, y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x).
Veamos ahora que V(x) =W(x) donde W(x) es el sistema de vecin-
dades de x en (X,T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal que
x ∈ U ⊆ Vx. Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y as´ı Vx ∈ V(x).
Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimos
U = {y ∈ V : V ∈ V(y)}; claramente x ∈ U ⊆ V , as´ı que solo resta
mirar que U ∈ T. Por definicio´n, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por
4 existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo cual
W ⊆ U , y por 2, U esta´ en V(y), pero como esto se tiene para cada
y ∈ U , entonces U ∈ T por la definicio´n de T.
Es un ejercicio verificar que la topolog´ıa T es u´nica.
Definicio´n 1.11. En un espacio (X,T) un SFV sistema fundamental
de vecindades para un punto x ∈ X, es una familia W = {Wi}i
de vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con
Wi ⊆ Vx.
Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro
de cada vecindad.
Definicio´n 1.12. Un espacio (X,T) se dice T1 si dado cualquier par de
puntos x, y ∈ X existen Vx, Vy tales que y /∈ Vx y x /∈ Vy.
Definicio´n 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff,
T2, o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecin-
dades Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos por
medio de vecindades disyuntas.
El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de
haber sido F. Hausdorff8 quie´n la introdujo como un axioma adicional
a los de la proposicio´n 1.9.
8F. Hausdorff (1868-1962) crecio´ en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduo´ de
la Universidad de Leipzig y fue docente all´ı hasta 1910. Comenzo´ su carrera de genial
matema´tico como un astro´nomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno de
los padres de la topolog´ıa. Tambie´n escribio´ poes´ıa y filosof´ıa. En 1942 prefirio´ cometer
suicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentracio´n
nazi.
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20 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.20
En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru el
conjunto W(x) = {(x− 1n , x+ 1n)}n∈N es un SFV de x ∈ R.
Ejercicios 1.3
1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si es
vecindad de cada uno de sus puntos.
2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cer-
rados.
3. ¿Cua´les espacios de los que hemos definido son T1?
4. ¿Cua´les de los espacios topolo´gicos que hemos definido son Haus-
dorff?
5. B = {(a, b) : b− a ≤ 1} es base para la topolog´ıa usual de R.
6. ¿En (R2, verticales) quie´nes forman a V((0, 0))?
7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10.
8. Sea (X,T) un espacio. Muestre que la topolog´ıa T es de Alexandroff
o A–topolog´ıa si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindad
Ax mı´nima, i. e., Ax esta´ contenida en cualquier otra Vx.
9. Muestre que toda topolog´ıa finita es de Alexandroff.
10. Lexicogra´fico. En R2 definamos el orden lexicogra´fico de la man-
erasiguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = c
tenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) en
este espacio, resultan ser recta´ngulos infinitos hacia arriba y hacia
abajo, con parte de los lados verticales incluidos, segu´n sea el caso
(ver figura).
Luego un abierto para la topolog´ıa generada sera´ todo lo que logre-
mos expresar como unio´n de estos elementos ba´sicos. No´tese que
esta definicio´n puede extenderse a Rn y coincide con la manera
como ordenamos un diccionario.
G
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1.3 Vecindades 21
a c
b
d
a) Dibuje al menos tres vecindades del
punto (0, 0) para la topolog´ıa in-
ducida por este orden.
b) ¿Co´mo es geome´tricamente el in-
tervalo ((0, 0), (2, 3))?
c) ¿Que´ relacio´n existe entre la topo-
log´ıa usual y la topolog´ıa de orden
asociada al lexicogra´fico?
d) ¿Co´mo puede usted generalizar es-
ta topolog´ıa a cualquier conjunto
ordenado?
e) Trate de observar co´mo es esta topo-
log´ıa si el conjunto X es el cuadra-
do unidad I × I.
11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es tambie´n una base para
la topolog´ıa del orden lexicogra´fico.
12. La topolog´ıa del orden para N es la topolog´ıa discreta.
13. La topolog´ıa del orden para N×N con el orden lexicogra´fico no es
la topolog´ıa discreta.
14. La topolog´ıa del orden para Z× Z con el orden lexicogra´fico es la
topolog´ıa discreta.
15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para
cada x ∈ X un conjunto V(x). ¿En que´ casos la coleccio´n de las
V(x) constituye un sistema de vecindades? ¿Cua´l es la topolog´ıa
generada por este sistema?
a) V(x) = {A ⊆ X : x ∈ A}.
b) V(x) = {{x}}.
c) V(x) = {X}.
d) Sea X = N ∪ {ω} donde ω /∈ N. Por cada n ∈ N definamos
1) V(n) = {A ⊆ X : n ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito}.
e) Sea X = (N×N) ∪ {ω} donde ω /∈ N×N. Por cada (m,n) ∈
N× N definamos:
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22 Conjuntos con topolog´ıa
1) V((m,n)) = {A ⊆ X : (m,n) ∈ A},
2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los
puntos de casi todas las filas}.
En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos
nu´meros, y solo a un nu´mero finito de filas le pueden faltar
infinitos nu´meros. La fila k-e´sima es por definicio´n el subcon-
junto N×{k} la cual notamos Nk. A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existe
m ∈ N tal que Nk −A es finito para todo m < k.
La topolog´ıa generada es la de Arens-Fort9: un abierto con-
tiene a ω si u´nicamente un nu´mero finito de filas contienen
‘huecos significativos’. Revise el ejemplo 1.10.
1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio
Esta seccio´n presenta una ‘ma´quina’ de construccio´n para nuevos
espacios a partir de espacios ya conocidos.
Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topolo´gi-
ca TA de manera natural con respecto a T.
Proposicio´n 1.14. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. La coleccio´n
TA := {U ∩A | U ∈ T}
es una topolog´ıa sobre A.
TA se llama la topolog´ıa de subespacio inducida sobre A o la
topolog´ıa asociada al subespacio A.
Demostracio´n. Claramente ∅ = ∅∩A y A = X∩A son elementos de TA.
Si M,N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con lo
cual (U ∩A)∩ (V ∩A) = (U ∩ V )∩A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos que
M ∩ N ∈ TA. Por induccio´n esto es va´lido para cualquier interseccio´n
finita de elementos de TA.
Si {Mi}, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA, cada Mi = Vi∩A
para un Vi ∈ T. As´ı que M = ∪i∈IMi = ∪i∈I(Vi ∩A) = A ∩ (∪i∈IVi), y
como ∪i∈IVi ∈ T, tenemos M ∈ TA.
9Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matema´tico estadounidense. Los espacios Fort y
Arens-Fort son llamados en su honor.
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 23
Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A.
EJEMPLO 1.21
1. Sea X = R2u. Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser
visto como un espacio topolo´gico. En particular las figuras de la
geometr´ıa, como circunferencias, discos, pol´ıgonos, etc., pueden ser
ahora vistas como espacios.
Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x ∈ R} ⊆ R2.
La topolog´ıa de subespacio es la topolog´ıa usual de R. En efecto,
dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2. Luego
V = ∪i∈IBi, donde cada Bi es una bola abierta; entonces
M = R ∩ (∪i∈IBi) = ∪i∈I(R ∩Bi)
y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunio´n
de intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topolog´ıa usual.
2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topolog´ıa usual, cuando consid-
eramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topolog´ıa
a las esferas Sn.
La siguiente proposicio´n dice co´mo obtener una base para la topolog´ıa
inducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topolog´ıa en X.
Proposicio´n 1.15. Si B = {Bi}i∈I es una base para (X,T) entonces
D = {Bi ∩A : Bi ∈ B} es una base de TA.
Demostracio´n. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entonces
x ∈ Bi para algu´n i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈
(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A), existe Bk ⊆ Bi ∩Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩A) ⊆
(Bi ∩A) ∩ (Bj ∩A).
G
. R
UB
IA
NO
24 Conjuntos con topolog´ıa
Un subconjunto abierto en (A,TA) no tiene por que´ serlo en (X,T).
Un subespacio A ⊆ X cuya topolog´ıa de subespacio es la discreta se
llama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para
cada punto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya interseccio´n
con A es solo el punto a.
EJEMPLO 1.22
En Ru, la topolog´ıa inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es
ahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta
discrecio´n cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o
subespacios.
As´ı, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que
tambie´n lo es ya que entre cada par de racionales existe un nu´mero
irracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo
de un espacio con propiedades interesantes.
EJEMPLO 1.23
Sea A = [0, 2] ∪ [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topolog´ıa
inducida de Ru. El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en
Ru.
EJEMPLO 1.24
Si B = { 1n : n ≥ 1}, la topolog´ıa inducida de Ru es la discreta. Si
agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta.
EJEMPLO 1.25
En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig.
1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T esta´ formado por todas las
triplas de la forma
((a+ b · cosφ)cosθ, (a+ b · cosφ)senθ, b · senφ)
cuando φ, θ var´ıan en el intervalo [0, 2pi].
No´tese que la parte
(a+ b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ))
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 25
parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida lo
que hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de la
ecuacio´n (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ)
para cada φ. Los elementos de la base para la topolog´ıa de T inducida
por la usual de R3, sera´n las intersecciones de las esferas sin borde de
R3 con T (ver fig. 1.6).
Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente.
Figura 1.6: Un abierto ba´sico del toro.
EJEMPLO 1.26
Sea M3×3 o M3(R) el conjunto de todas las matrices reales de taman˜o
3×3. Usando las 9 entradas (ai,j) en cada matriz como coordenadas para
un vector, podemos identificarM3×3 con R9. El subconjunto GL(3,R) ⊆
R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topolog´ıa de subespacio
(ver ejemplo 2.7).
G
. R
UB
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NO
26 Conjuntos con topolog´ıa
EJEMPLO 1.27
Aunque en R la topolog´ıa inducida por el orden usual coincide con la
topolog´ıa usual, esto no sucede para los subespacios.
El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los nu´meros
y la topolog´ıa T≤ inducida por este orden es diferente a la topolog´ıa
‘usual’ TA inducida del ordenusual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9)∩A
es un abierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el orden
de A porque no corresponde a ningu´n ‘intervalo’ de A, pues no existe
8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9).
EJEMPLO 1.28
Sobre el cuadrado A = I × I = [0, 1] × [0, 1] podemos considerar y
comparar tres topolog´ıas:
La topolog´ıa TI×I inducida por la usual de R2.
La topolog´ıa T� inducida por su orden � lexicogra´fico.
La topolog´ıa T�I×I inducida del espacio (R
2,T�) donde T� es la
inducida por el orden � lexicogra´fico de R2.
(a) (b)
p
•
p
•
Figura 1.7: (a) un abierto en T�I×I , (b) un abierto en T�.
Estudie la contenencia entre estas tres topolog´ıas (ver fig. 1.7).
G
. R
UB
IA
NO
1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio 27
Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cua´ndo los
abiertos de un subespacio son tambie´n abiertos para el espacio?
Proposicio´n 1.16. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T
si y solo si A es abierto.
Demostracio´n. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. Como
A ∈ T tenemos V ∩A ∈ T.
Ejercicios 1.4
1. ¿Co´mo es la topolog´ıa de subespacio para S1 ⊆ R2?
2. En (R2, verticales), pa´g. 13 ej. 1, ¿co´mo son las topolog´ıas induci-
das sobre R× {0} y {0} × R?
3. En Ru ¿co´mo son las topolog´ıas heredadas para Q y para A =
{1/n | n ∈ N} ∪ {0}?
4. En (R2, lexicogra´fico) ¿co´mo es la topolog´ıa inducida sobre la recta
real y sobre I × I?
5. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerrado
en (A,TA) si y solo si F es la interseccio´n de A con un subconjunto
cerrado de X.
6. En X = {1, 2} × N con el lexicogra´fico, todo unitario es abierto
excepto uno; ¿de que´ punto se trata?
7. Y ⊆ (X,≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b el
intervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topolog´ıas T�Y y
TY� coinciden (ver ejemplo 1.28).
G
. R
UB
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NO
2 Espacios me´tricos
En este cap´ıtulo vemos los espacios me´tricos como una clase par-
ticular de espacios topolo´gicos. Por supuesto que los espacios me´tri-
cos, en s´ı mismos, son extremadamente importantes y dentro de la
matema´tica merecen su propio espacio y por supuesto su propio tex-
to. La presentacio´n que aqu´ı hacemos es con la finalidad de prepararnos
—motivarnos, dar ejemplos— para las futuras definiciones en topolog´ıa
concernientes a las nociones de cercan´ıa y l´ımite, pero no pretendemos
hacer una exposicio´n tan siquiera incompleta.
Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matema´tico
france´s Maurice Rene´ Fre´chet (1878–1973) en 1906 y constituyeron uno
de los pasos decisivos en la creacio´n de la Topolog´ıa general. Se trataba
de definir el concepto de ‘distancia’ de la manera ma´s general posible
para objetos matema´ticos de naturaleza no espec´ıfica —no necesaria-
mente puntos de Rn, curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones
(ver siguiente definicio´n) Fre´chet pudo introducir de nuevo todas las
nociones topolo´gicas introducidas hasta ese entonces para Rn, esto es,
l´ımites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, con-
juntos cerrados, puntos de acumulacio´n, compacidad, conexidad, etc.
2.1. Me´trica
Definicio´n 2.1. Una me´trica d para un conjunto X es una funcio´n
d : X × X −→ R≥0 = [0,∞) —toma valores en los nu´meros reales
positivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X:
1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y,
2. d(x, y) = d(y, x),
28
G
. R
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NO
2.1 Me´trica 29
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
El nu´mero d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llama
un espacio me´trico.
La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos re-
cuerda el hecho de que la distancia ma´s corta entre dos puntos es la
que se toma directamente entre ellos —claro que el sentido del te´rmino
distancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro
antojo—.
Una consecuencia inmediata de 3 es
|d(x, y)− d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1)
puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z)
e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y)− d(x, y) ≤
d(z, x), con lo cual
−d(x, z) ≤ d(x, y)− d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2)
Dados (X, d), x ∈ X y � > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < �
lo llamamos la bola abierta B�(x). (Ver definicio´n 2.8).
EJEMPLO 2.1
El conjunto R de los nu´meros reales, con la funcio´n d(x, y) = |x− y| es
un espacio me´trico. Este ejemplo incluye su curso de ca´lculo I en este
texto.
La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
Al reemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la cla´sica desigualdad
|a+ b| ≤ |a|+ |b|.
EJEMPLO 2.2
Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos
d(x, y) como la longitud del camino ma´s corto entre todas las rutas que
comunican a x con y, tenemos que d es una me´trica.
G
. R
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NO
30 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.3
Me´trica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la me´trica discreta
se define como: para x, y ∈ X
d(x, y) :=
{
1 si x 6= y,
0 si x = y.
EJEMPLO 2.4
Dados x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) dos puntos en Rn defin-
imos
d2(x,y) = |x−y| = ((x1−y1)2 +(x2−y2)2 + · · ·+(xn−yn)2)1/2. (2.3)
Esta me´trica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usu-
al—. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigual-
dades de:
Minkowski,(
n∑
i=1
(xi + yi)2
) 1
2
≤
(
n∑
i=1
xi
2
) 1
2
+
(
n∑
i=1
yi
2
) 1
2
(2.4)
Bunjakovski-Cauchy-Schwartz,
n∑
i=1
|xiyi| ≤
(
n∑
i=1
xi
2
) 1
2
(
n∑
i=1
yi
2
) 1
2
(2.5)
Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de
Minkowski:
d(x,y) + d(y, z) = |x− y|+ |y − z|
≥ |(x− y) + (y − z)| = |x− z|
= d(x, z).
Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una me´trica dp en Rn
para cada nu´mero real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemos
una coleccio´n infinita de me´tricas— (ver fig. 2.4).
G
. R
UB
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NO
2.1 Me´trica 31
dp(x,y) :=
(
n∑
i=1
|xi − yi|p
) 1
p
, p ≥ 1, (x,y ∈ Rn).
El espacio me´trico resultante es notado por algunos autores como lnp ,
de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en
Rn, notamos ln2 .
EJEMPLO 2.5
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjunto
de todas las sucesiones acotadas de nu´meros reales, i. e., las sucesiones
x = (x1, x2, ...) = (xn) tales que supn |xn| <∞. Si x = (xn), y = (yn) ∈
l∞, definimos la me´trica
d∞(x,y) = sup
n
|xn − yn|.
Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn) ∈ l∞, entonces
|xn − yn| ≤ |xn − zn|+ |zn − yn|
≤ sup
n
|xn − zn|+ sup
n
|zn − yn|
= d∞(x,y) + d∞(y, z).
Por tanto,
d∞(x,y) = sup
n
|xn − yn| ≤ d∞(x, z) + d∞(z,y).
EJEMPLO 2.6
Sea C([0, 1],R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en
R, y definamos la me´trica d2 como
d2(f, g) =
(∫ 1
0
(f(x)− g(x))2dx
) 1
2
.
Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente con-
tinuas, la fo´rmula anterior no define una me´trica ¿por que´?. K
G
. R
UB
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NO
32 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.7
Grupo lineal general GLn o GL(n,R). Denotemos por Mn(R) el con-
junto de las matrices de taman˜o n × n con entradas en R (ver ejemplo
1.26).
Si cada matriz A = (aij) se identifica con el punto
(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2
entonces GL(n,R) queda identificado con Rn2 y por tanto lo podemos
ver como un espacio me´trico.
Una matriz A es invertible (multiplicacio´n) si existe una matriz B
tal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera
equivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).
En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las
matricesinvertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general.
Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de
At son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cada matriz define una
funcio´n A : Rn → Rn como A(x) = Ax.
Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At, i.
e., AAt = I.
EJEMPLO 2.8
On o O(n,R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales,
se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales
de Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente
a las isometr´ıas de Rn que fijan el origen.
Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ {1,−1} puesto que
det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.
EJEMPLO 2.9
El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1
se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que
tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este
subconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen.
G
. R
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2.1 Me´trica 33
Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2. Dado un a´ngulo θ
definimos las matrices
Rθ =
(
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
)
Sθ =
(
cos θ sen θ
sen θ −cos θ
)
.
Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Por
tanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho ma´s, cualquier matriz
A ∈ SO2 es de la forma Rθ para algu´n θ y cualquier matriz A ∈ O2−SO2
es de la forma Sθ para algu´n θ.
Rθ representa una rotacio´n de medida θ en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
Sθ representa una reflexio´n por la l´ınea que pasa por el origen en
a´ngulo θ/2 con respecto al eje x.
Una isometr´ıa de Rn es una funcio´n f : Rn → Rn de la forma
f(x) = Ax+ a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algu´n vector a ∈
Rn. Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica
su nombre, una isometr´ıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) =
d(x, y) para todo x, y ∈ Rn. De manera rec´ıproca, para cualquier funcio´n
f : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que
f(x) = Ax+ a para todo x ∈ Rn.
Ejercicios 2.1
1. Dados (X, d),(Y,m) dos espacios me´tricos muestre que para
x = (x1, y1), y = (x2, y2) con x, y ∈ X × Y las siguientes fun-
ciones definen me´tricas sobre X × Y :
a)
d2(x, y) := (d(x1, x2)2 +m(y1, y2)2)
1
2 . (2.6)
Sugerencia: para la desigualdad triangular apo´yese en la sigu-
iente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son nu´meros reales no neg-
ativos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2)1/2 ≤
(b2 + y2)1/2 + (c2 + z2)1/2.
b)
d∞(x, y) := ma´x {d(x1, x2),m(y1, y2)}. (2.7)
G
. R
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34 Espacios me´tricos
c)
d(x, y) := d(x1, x2) +m(y1, y2). (2.8)
2. Generalice las me´tricas del ejemplo anterior para un producto fini-
to de espacios me´tricos.
3. La me´trica del mensajero. En el espacio euclidiano R2, defini-
mos la me´trica m del mensajero como m(p, q) := d2(0, p)+d2(0, q)
donde 0 = (0, 0), p, q ∈ R2. Si p = q definimos m(p, q) = 0.
El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nueva-
mente a repartir en q (figura 2.1). ¿Co´mo es B1(p), i.e., que´ puntos
pertenecen a esta bola?
p
q
•
•
•
Figura 2.1: La me´trica del mensajero.
4. Sea X un conjunto no vac´ıo. En XN definimos d, la me´trica
primeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1, x2, . . .),
y = (y1, y2, . . .) en X,
d(x,y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk.
Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos suce-
siones difieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x,y) = 0.
Muestre que (XN, d) es un espacio me´trico.
En el caso en que X = N obtenemos la coleccio´n de todas las sucesiones
de nu´meros naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y,
como curiosidad, este espacio no es ma´s que otra manera de describir
al conjunto de los nu´meros irracionales v´ıa ‘fracciones continuas’.
5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todas las
cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un
G
. R
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2.1 Me´trica 35
espacio me´trico. La distancia esta´ dada en te´rminos de la longitud
k del primer prefijo que comparten.
Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N la
distancia d(x,y) :=
1
2k
.
Veamos la desigualdad triangular para esta nueva me´trica. Sean
a, b, c sucesiones y mostremos que
d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)}.
Sea k la longitud del mayor prefijo comu´n entre a y c, y sea m la
longitud del mayor prefijo comu´n entre c y b. Si n = mı´n{k,m},
sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras
n letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las
primeras n letras de b. As´ı, las primeras n letras de a coinciden
con las primeras n letras de b. Luego, el prefijo comu´n entre a y
b tiene longitud al menos n.
Por tanto,
d(a, b) ≤ (1/2)n = (1/2)mı´n{k,m} (2.9)
= ma´x{(1/2)k, (1/2)m} (2.10)
= ma´x{d(a, c), d(c, b)}. (2.11)
Esta u´ltima ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular ya
que
ma´x{d(a, c), d(c, b)} ≤ d(a, c) + d(c, b).
6. Un espacio ultrame´trico X es un espacio me´trico (X, d) en el
cual la me´trica d satisface la ultra-desigualdad triangular:
d(x, z) ≤ ma´x{d(x, y), d(y, z)}.
a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de es-
pacios ultrame´tricos.
b) En un espacio ultrame´trico cualquier punto de una bola (ver
definicio´n 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε(x) entonces
Bε(x) = Bε(y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntas
son comparables por la inclusio´n.
c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. K
d) Una bola abierta es un conjunto cerrado.
G
. R
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36 Espacios me´tricos
7. Sean (X, d) un espacio me´trico y A ⊆ X. Muestre que la funcio´n
d restringida a A × A define una me´trica dA para A. Al espacio
(A, dA) lo llamamos subespacio me´trico.
8. En X = ℘(N) defina d(A,B) = 0 si A = B, de lo contrario defina
d(A,B) =
1
k
donde k = mı´n{n : n ∈ (A ∪B)− (A ∩B)}.
Sugerencia: d(A,B) <
1
m
si y solo si A ∩ [1,m] = B ∩ [1,m].
2.2. Espacios unitarios o euclidianos
Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual de
vectores y el producto por escalar no son ma´s que elementos cano´nicos
de espacios vectoriales normados de dimensio´n finita.
Definicio´n 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjunto
V no vac´ıo —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cual
esta´ definida una operacio´n binaria + llamada la adicio´n de vectores, y
una multiplicacio´n escalar —multiplicacio´n de un vector por un nu´mero
real— que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈
R tenemos
1. x+ y = y + x.
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z
3. Existe un u´nico 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 =
x para todo x.
4. A cada x corresponde un u´nico elemento −x ∈ V —llamado el
inverso aditivo de x— tal que x+ (−x) = 0.
Hasta aqu´ı, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo.
5. α(βx) = (αβ)x.
6. (α+ β)x = αx+ βx.
7. α(x+ y) = αx+ αy.
G
. R
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2.2 Espacios unitarios o euclidianos 37
8. 1x = x.
Definicio´n 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X es
una funcio´n ‖ ‖ : X −→ [0,∞) que a cada vector x le asocia el nu´mero
real positivo ‖x‖ con las siguientes propiedades:
1. ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0 —el vector mo´dulo—.
2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖, para todo x ∈ X, λ ∈ R—homogeneidad absoluta–
.
3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—.
Al par (X, ‖ ‖) lo llamamos espacio —vectorial— normado.
Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ ≤ ‖x− y‖,
al tomar
‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖
‖y‖ = ‖y − x+ x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖
con lo cual
−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖.
Teorema 2.4. Si (X, ‖ ‖) es un espacio vectorial normado, la fo´rmula
d(x, y) := ‖y − x‖
define una me´trica paraX.
Demostracio´n. 1, 2 y 3 de la definicio´n de me´trica son inmediatas. Para
la desigualdad triangular notemos que
d(x, y) + d(y, z) = ‖y − x‖+ ‖z − y‖
≥ ‖(y − x) + (z − y)‖ = ‖z − x‖ = d(x, z).
Decimos que la me´trica es inducida por una norma.
G
. R
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NO
38 Espacios me´tricos
Cada espacio normado es de manera intr´ınseca un espacio me´trico.
Esta me´trica es invariante por traslaciones, i. e.,
d(x, y) = d(a+ a, y + a) para todo vector x, y, a.
Por geometr´ıa, los vectores de Rn tambie´n poseen un producto escalar
o punto; es decir, no son ma´s que ejemplos de espacios vectoriales con
producto interior.
Definicio´n 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— para
un espacio vectorial real X es una funcio´n 〈 , 〉 : X × X −→ R que a
cada par (x, y) le asocia el nu´mero real 〈x, y〉 y satisface:
1. 〈x, x〉 ≥ 0, y 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—.
2. 〈x, y〉 = 〈y, x〉 —simetr´ıa—.
3. 〈λx+ µy, z〉 = λ〈x, z〉+ µ〈y, z〉, para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R.
Al par (X, 〈 , 〉) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espacio
pre-Hilbert.
Teorema 2.6. Sea (X, 〈 , 〉) un espacio unitario. La fo´rmula
‖x‖ :=
√
〈x, x〉
define una norma para X.
Demostracio´n. Para la demostracio´n basta verificar las siguientes dos
desigualdades cla´sicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz)
|〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉, (2.12)
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖. (2.13)
Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior.
EJEMPLO 2.10
En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas me´tricas inducidas:
G
. R
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NO
2.2 Espacios unitarios o euclidianos 39
1. La me´trica d1 conocida como me´trica del taxista y definida por
d1(x,y) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ · · ·+ |xn − yn|;
la norma en este caso es
‖x‖1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.
2. La me´trica euclidiana d2 inducida por la norma
‖x‖2 = (x21 + x22 + · · ·x2n)1/2,
la cual proviene del producto interior
〈x,y〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn,
con lo cual
d2(x,y) = ((x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2)1/2.
3. Los sub´ındices 1, 2 de las anteriores me´tricas d1, d2 no son en man-
era alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente defini-
cio´n ma´s general. Para cada nu´mero real p ≥ 1 definimos
‖x‖p := (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p.
Esta norma nos induce la me´trica dp definida por (ver definicio´n
de la pa´g. 31)
dp(x,y) :=
(
n∑
i=1
|xi − yi|p
) 1
p
, (x,y ∈ Rn).
4. La me´trica d∞ del sup definida como —¿por que´ el s´ımbolo ∞?—
d∞(x,y) = ma´x{|x1 − y1|, |x2 − y2|, . . . , |xn − yn|}
la cual es a su vez inducida por la norma
‖x‖∞ := ma´x{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.
G
. R
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IA
NO
40 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.11
El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es un
espacio vectorial con la suma usual (xn)n + (yn)n = (xn + yn)n y multi-
plicacio´n por escalar α(xn)n = (αxn)n. Si para x ∈ l∞ definimos
‖x‖ = sup
n
|xn|
entonces la me´trica d∞ es inducida por esta norma.
El siguiente espacio me´trico es un cla´sico de la topolog´ıa y del ana´lisis
funcional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada.
EJEMPLO 2.12
El espacio de Hilbert H, tambie´n notado como l2:
Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las
sucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y
multiplicacio´n por escalar— quisie´ramos definir una me´trica modelando
la me´trica euclidiana para el caso finito Rn, tendr´ıamos que dadas dos
sucesiones x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .), la suma infinita( ∞∑
i=1
(xi − yi)2
) 1
2
(2.14)
debe ser un nu´mero real y, por tanto, debemos restringirnos a un sub-
conjunto H de RN.
El espacio de Hilbert1 H esta´ formado por el conjunto de todas
las sucesiones x = (xn) de nu´meros reales tales que
∑∞
n=1 x
2
n < ∞.
H provisto de la adicio´n y del producto escalar para sucesiones es un
espacio vectorial real de dimensio´n infinita —subespacio de RN—.
1El nombre dado a estos espacios es en honor al matema´tico alema´n David Hilbert
(1862, Ko¨nigsbergl-1943, Go¨ttingen, Alemania), quien los utilizo´ en su estudio de
las ecuaciones integrales. Hilbert invito´ a Einstein a Go¨ttingen para que impartiera
una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su
teor´ıa de la gravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevo´ a la forma final de
las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert no
llegaron nunca a una disputa pu´blica sobre prioridad, ha habido discusio´n sobre a
quie´n corresponde el me´rito del descubrimiento de las ecuaciones de campo.
G
. R
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NO
2.2 Espacios unitarios o euclidianos 41
La funcio´n 〈 , 〉 : H×H −→ R definida para x = (xn),y = (yn) ∈ H
como
(x,y) 7→ 〈x,y〉 =
∞∑
k=1
xkyk (2.15)
es sime´trica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto inte-
rior sobreH. Para verificar la buena definicio´n, esto es, que efectivamente
la serie correspondiente a 〈x, y〉 es un nu´mero, basta tomar l´ımites en
la desigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente de-
sigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente
〈x,y〉 ≤
∞∑
k=1
|xk||yk| ≤
( ∞∑
k=1
x2k
)1/2( ∞∑
k=1
y2k
)1/2
. (2.16)
Por tanto, el par (H, 〈 , 〉) es un espacio euclidiano de dimensio´n infinita
—sera´ de Hilbert cuando demostremos que es completo—.
De otra parte, tenemos cano´nicamente asociada a este espacio una
me´trica d inducida por la norma asociada a este producto interior
d(x,y) = ‖x− y‖ =
( ∞∑
k=1
(xk − yk)2
)1/2
(2.17)
Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo,
separable y de dimensio´n infinita— en honor a David Hilbert; la uni-
cidad por cuanto este espacio es u´nico salvo isomorfismo. Este u´ltimo
hecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional
siempre es isomorfo a Rn, no es verdad que todo par de espacios eu-
clidianos infinito-dimensionales lo sea.
Por ejemplo, el espacio (C2([0, 1],R),m) con m definida como
m(f, g) :=
(∫ 1
0
[f(t)− g(t)]2dt
) 1
2
no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que el
segundo s´ı lo es.
G
. R
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42 Espacios me´tricos
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f − g
f + g
Figura 2.2: La ley del paralelogramo.
2.2.1. Caracterizacio´n de los espacios euclidianos
Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajo
que´ circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. En
otras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V
que nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto
escalar definido en V .
Teorema 2.7. Una condicio´n necesaria y suficiente para que un espacio
lineal normado V sea euclidiano es que
‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 2 (‖f‖2 + ‖g‖2) (2.18)
para cada f, g ∈ V .
Demostracio´n. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales del
paralelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser inter-
pretada como el ana´logo de la familiar propiedad del paralelogramo en el
plano: ‘la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo
es igual a la suma de los cuadrados de sus lados’.
La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces
‖f + g‖2 + ‖f − g‖2 = 〈f + g, f + g〉+ 〈f − g, f − g〉
= 〈f, f〉+ 2〈f, g〉+ 〈g, g〉+ 〈f, f〉 − 2〈f, g〉+ 〈g, g〉
= 2 (‖f‖2 + ‖g‖2). (2.19)
Para probar que (2.18) es suficiente, definamos
〈f, g〉 = 1
4
(‖f + g‖2 − ‖f − g‖2) (2.20)
G
. R
UB
IA
NO
2.2 Espacios unitarios o euclidianos 43
y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedades
de un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espacio
con producto interior y expresa el producto en te´rminos de la norma—.
Por (2.20) tenemos
〈f, f〉 = 1
4
(‖2f‖2 + ‖f − f‖2) = ‖f‖2 (2.21)
lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma.
De (2.20) y (2.21) tenemos que
1. 〈f, f〉 ≥ 0 donde 〈f, f〉 = 0 si y solo si f = 0,
2. 〈f, g〉 = 〈g, f〉.
La demostracio´n de las propiedades de linealidad 
〈f + g, h〉 = 〈f, h〉+ 〈g, h〉
〈αf, g〉 = α〈f, g〉
requiere de ma´s trabajo y se deja como ejercicio de consulta.
EJEMPLO 2.13
En C([0, 1],R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por
d∞(f, g) = sup {|f(x)− g(x)| : x ∈ I}.
Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma
‖f‖∞ = sup{|f(x)| : x ∈ I}.
d∞ es conocida como la distancia uniforme.
La desigualdad triangular
d∞(f, h) ≤ d∞(f, g) + d∞(g, h) (2.22)
se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)| (2.23)
G
. R
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NO
44 Espacios me´tricos
y por tanto,
sup
x
|f(x)− h(x)| ≤ sup
x
|f(x)− g(x)|+ sup
x
|g(x)− h(x)| (2.24)
ya que sup(A+B) ≤ supA+ supB.
EJEMPLO 2.14
C([0, pi/2],R) con la norma ‖ ‖∞ no es euclidiano. Consideremos el par
de funciones f(t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces
‖f‖∞ = ‖g‖∞ = 1,
‖f + g‖∞ = max0≤t≤pi/2 : cos(t) + sen(t) :=
√
2,
‖f − g‖∞ = max0≤t≤pi/2 : cos(t)− sen(t) :=
√
1,
con lo cual
‖f + g‖2∞ + ‖f − g‖2∞ 6= 2(‖f‖2∞ + ‖g‖2∞).
Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningu´n producto es-
calar. Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b],R) para cada a < b.
EJEMPLO 2.15
De manera ma´s general: sean (Y, d) un espacio me´trico con una me´trica
acotada d y J un conjunto cualquiera no vac´ıo. Sobre el conjunto Y J =
Hom(X,Y ) =
∏
j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la
me´trica uniforme d∞(f, g) = sup{d(f(j), g(j)) : j ∈ J}.
Ejercicios 2.2
1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como
{x : d2(a, x) + d2(x, b) = d2(a, b)}.
¿Co´mo luce esta definicio´n, i. e. este conjunto, si la me´trica involu-
crada es d1? Haga la misma reflexio´n con la definicio´n de circun-
ferencia, elipse, para´bola, etc.
2. Muestre que una me´trica d en un espacio vectorial real X proviene
de una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal del
espacio, esto es, si se satisface:
G
. R
UB
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NO
2.3 Topolog´ıa para una me´trica 45
a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianza
por traslacio´n).
b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad).
Sugerencia: Defina ‖x‖ = d(x, 0). Por supuesto no toda me´trica
en un espacio vectorial proviene de una norma; ¿por que´?
Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas ar-
bitrarias y los espacios me´tricos homoge´neos e invariantes por
traslacio´n, existe una correspondencia biun´ıvoca natural.
3. Rnp o lnp no es euclidiano si p 6= 2 —la norma no puede ser generada
por un producto escalar—.
Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v =
(1,−1, 0, . . . , 0).
4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea X
conjunto. La coleccio´n
E = {f | f : X −→ R, acotada}
es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de
funciones y multiplicacio´n por escalar. Para cada f ∈ E definimos
‖f‖ = sup
x∈X
|f(x)|. (2.25)
Muestre que en efecto se trata de una norma y de´ una genera-
lizacio´n.
5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp de
todas las sucesiones de nu´meros reales, x = (x1, x2, ...) = (xn)n
tales que la serie
∑∞
n=1 |xn|p < ∞. Si x,y ∈ lp, muestre que
x− y ∈ lp y que la funcio´n dp es una me´trica en lp, donde
dp(x,y) =
( ∞∑
n=1
|xn − yn|p
) 1
p
.
2.3. Topolog´ıa para una me´trica
Dado un espacio me´trico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes
de e´l, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la
G
. R
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46 Espacios me´tricos
distancia —grado de cercan´ıa— y que adema´s sera´n los encargados de
definirnos la topolog´ıa inherente a la me´trica.
Definicio´n 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un nu´mero real. Los conjuntos
Bε(x) = {y : d(x, y) < ε}, (2.26)
Bε(x) = {y : d(x, y) ≤ ε}, (2.27)
Sε(x) = {y : d(x, y) = ε} (2.28)
son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de
centro en x y de radio ε en el espacio (X, d).
• • •
Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2.
Figura 2.4: B1((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p.
EJEMPLO 2.16
En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero
esto esta´ bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras me´tricas
diferentes a la usual, como en R31 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puede
tener otras formas, pero al fin bolas.
G
. R
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2.3 Topolog´ıa para una me´trica 47
EJEMPLO 2.17
En el espacio (C([0, 1]), d∞) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas toman
una forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todos
los segmentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel al
trazarlos— i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I,R), la bola Bε(f) consiste
de todas las funciones que permanecen estrictamentedentro del a´rea
acotada por las funciones f − ε, f + ε.
f + ε
f − ε
f
Figura 2.5: Bola abierta en la me´trica d∞ para C([0, 1],R).
Contrario al caso anterior, para la me´trica
d1(f, g) =
∫ 1
0
|f(x)− g(x)|dx (2.29)
sobre [0, 1], las bolas son muy dif´ıciles de imaginar.
Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio me´trico, entonces el conjunto
B = {Bδ(x) : x ∈ X, δ > 0} (2.30)
de todas las bolas abiertas es base para una topolog´ıa en X.
Demostracio´n. Sean Bδ(x), Bε(y) dos bolas y p ∈ Bδ(x) ∩ Bε(y). Si
r > 0 es tal que r < m, donde m = mı´n{δ− d(p, x), ε− d(p, y)}, la bola
Br(p) esta´ contenida en la interseccio´n de las dos bolas dadas (fig. 2.6).
En efecto, veamos primero que Br(p) ⊆ Bδ(x); a partir de la desigualdad
triangular tenemos que si d(t, p) < r entonces
d(t, x) ≤ d(t, p) + d(p, x)
< r + d(p, x)
≤ δ − d(p, x) + d(p, x) ≤ δ.
G
. R
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48 Espacios me´tricos
•
•
•δ x
p•
εy
◦
Figura 2.6: Las bolas en un espacio me´trico forman una base.
De manera similar se muestra la otra contenencia.
Definicio´n 2.10. La topolog´ıa T asociada a la base formada por la to-
talidad de las bolas abiertas se llama topolog´ıa inducida o generada
por la me´trica d, y la notamos T = 〈d〉.
La definicio´n anterior nos permite crear una clase muy especial de
espacios topolo´gicos. Cuando un espacio topolo´gico (X,T) tiene una
topolog´ıa tal que T = 〈d〉 para alguna me´trica d, decimos que el espacio
(X,T) es metrizable, o que su topolog´ıa proviene de una me´trica.
Las preguntas obligadas son:
1. ¿Todo espacio topolo´gico es metrizable?
2. ¿Pueden me´tricas diferentes inducir la misma topolog´ıa?
3. ¿Co´mo saber cua´ndo un espacio es metrizable?
2.3.1. Me´tricas equivalentes
Una me´trica induce una base, as´ı que la pregunta 2 puesta en te´rmi-
nos de bases nos conduce a la siguiente definicio´n.
Definicio´n 2.11. Dos me´tricas d,m en un conjunto X se dicen topolo´-
G
. R
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NO
2.3 Topolog´ıa para una me´trica 49
gicamente equivalentes —notamos d ≡ m— si generan la misma
topolog´ıa; esto es, 〈d〉 = 〈m〉.
La primera contenencia 〈d〉 ⊆ 〈m〉 de la igualdad 〈d〉 = 〈m〉 implica
que cada bola en d se puede expresar como una unio´n de bolas en m, y
lo rec´ıproco para la otra contenencia.
ε
y
x
En te´rminos ma´s expl´ıcitos, dada Bdε (x)
—una bola ‘cuadrada’ en d— y un punto y
con y ∈ Bdε (x), es posible encontrar una bola
Bmδ (y) —‘redonda’ en m y de centro en y—
de tal manera que
y ∈ Bmδ (y) ⊆ Bdε (x).
Tambie´n debemos tener lo rec´ıproco para la otra contenencia. ¿Por
que´ podemos escoger la bola Bmδ (y) de suerte que resulte centrada en y?
Ma´s au´n, para la equivalencia topolo´gica entre dos me´tricas nos pode-
mos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo
punto; esto es, para cada x ∈ X dada Bdε (x) existe Bmδ (x) ⊆ Bdε (x) y
viceversa.
Definicio´n 2.12. Un espacio me´trico (X, d) es acotado si la funcio´n
d es acotada. De manera ma´s general, dado A ⊆ (X, d) definimos el
dia´metro de A como
diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
En caso que diam(A) <∞ decimos que A es acotado.
El dia´metro de A es la distancia entre los puntos ma´s distantes en A
(si tales puntos existen). Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su dia´metro es
1 sin que tales puntos de A existan.
G
. R
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50 Espacios me´tricos
EJEMPLO 2.18
Dado el espacio me´trico (X, d), definimos dos nuevas me´tricas:
1. e(x, y) := mı´n{1, d(x, y)}.
2. f(x, y) :=
d(x, y)
1 + d(x, y)
.
Tanto e como f son me´tricas acotadas por 1, y lo que es au´n ma´s intere-
sante, d ≡ e y d ≡ f . En efecto, dada la me´trica d y la me´trica asociada
e = mı´n{1, d} tenemos que para la bola Bdr (x) —radio r en la me´trica
d— al tomar s = mı´n{1, r} se satisface Bes(x) ⊆ Bdr (x). La otra inclusio´n
es obvia. Para el caso f =
d
1 + d
es fa´cil verificar que
Bf r
1+r
(x) ⊆ Bdr (x) y Bdr
1−r
(x) ⊆ Bfr (x), r < 1.
Por tanto, toda me´trica es topolo´gicamente equivalente a una
me´trica acotada.
El ejemplo anterior muestra que el espacio topolo´gico asociado a X
por medio de las me´tricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de aco-
tamiento es exclusivamente me´trica, que la perdemos cuando pasamos a
estructuras ma´s generales, como es el caso de la topolo´gica.
Definicio´n 2.13. Decimos que dos me´tricas d,m para un mismo conjun-
to X, son me´tricamente equivalentes o fuertemente equivalentes
(ver teorema 2.14) si existen dos nu´meros reales positivos s, t tales que
para todo par de puntos x, y ∈ X se satisface
d(x, y) ≤ sm(x, y) , m(x, y) ≤ t d(x, y). (2.31)
Teorema 2.14. Ser me´tricamente equivalentes implica ser topolo´gica-
mente equivalentes.
Demostracio´n. Sean d,m dos me´tricas que son me´tricamente equiva-
lentes; por lo tanto, existen dos nu´meros s, t que satisfacen la definici-
o´n 2.13. Dada la bola abierta Bdε (x) tenemos que B
m
ε/s(x) ⊆ Bdε (x) lo
cual muestra 〈d〉 ⊆ 〈m〉. Similarmente Bdε/t(x) ⊆ Bmε (x) y por tanto
〈m〉 ⊆ 〈d〉.
G
. R
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2.3 Topolog´ıa para una me´trica 51
EJEMPLO 2.19
El rec´ıproco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda me´tri-
ca d es topolo´gicamente equivalente a la me´trica e = mı´n{1, d}; pero
claramente d, e no tienen por que´ serlo me´tricamente. Por ejemplo, en el
caso de Rnu no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y)
para todo par de puntos x, y ∈ Rnu. Sin embargo, la me´trica e es me´trica-
mente equivalente a la me´trica f =
d
1 + d
pues tenemos la desigualdad
f ≤ e ≤ 2f .
Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado,
decimos que dos normas ‖ ‖1, ‖ ‖2 son topolo´gicamente o me´tricamente K
equivalentes si las respectivas me´tricas asociadas lo son. De otra parte,
decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que,
‖ ‖1 ≤ s‖ ‖2 y ‖ ‖2 ≤ t‖ ‖1 —las notamos ‖ ‖1 ≡ ‖ ‖2—.
En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distin-
guir, como pasaba en los espacios me´tricos, entre distintas formas de
equivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales,
con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equiv-
alentes. Ma´s au´n, es posible demostrar que en un espacio vectorial
normado de dimensio´n finita, todas las normas son equivalentes.
EJEMPLO 2.20
Las me´tricas ln1 , l
n
2 y l
n∞ son topolo´gicamente equivalentes. Para esto,
basta mostrar la desigualdad
B∞
r/
√
2
(x) ⊆ B1r (x) ⊆ B2r (x) ⊆ B∞r (x).
Para el caso del plano, al graficar las bolas B1((0, 0)) para cada una de
las me´tricas dp, obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p
crece, obtenemos una deformacio´n continua del rombo de d1 al cuadrado
de d∞, en que la circunferencia en d2 no es ma´s que un paso en el
camino.
La justificacio´n de la notacio´n d∞ para la me´trica del sup la obtenemos
del siguiente lema.
G
. R
UB
IA
NO
52 Espacios me´tricos
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Figura 2.7: B1((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p.

Lema 2.15. Para cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se tiene que
l´ım
p→∞ ‖x‖p = ma´x{|x1|, . . . , |xn|} = ‖x‖∞.
Demostracio´n. Es claro que
‖x‖p∞ ≤ |x1|p + · · ·+ |xn|p ≤ n‖x‖p∞. (2.32)
Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos
‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ n1/p‖x‖∞. (2.33)
Como n1/p → 1 cuando p→∞, tenemos nuestro l´ımite. Notemos que la
desigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma ‖ ‖p es equivalente
a ‖ ‖∞, con lo cual todas las ‖ ‖p son equivalentes en Rn, esto es, inducen
la misma topolog´ıa.
En la definicio´n de la me´trica dp para los espacios Rn (ver recuadro
pa´g. 30) la condicio´n p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en
el caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una
me´trica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangularno se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0)
pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1.
G
. R
UB
IA
NO
2.3 Topolog´ıa para una me´trica 53
EJEMPLO 2.21
Una ma´quina para construir me´tricas equivalentes. Dados un espacio
me´trico (X, d) y una funcio´n f : R+ → R+ estrictamente creciente, con
f(0) = 0 y f(u+ v) ≤ f(u) + f(v), la compuesta f ◦ d es una me´trica. Si
adema´s f es continua en 0, las dos me´tricas f y f ◦ d son topolo´gicamente
equivalentes.
Verifiquemos, antes de todo, que m = f ◦ d definida como m(x, y) =
f(d(x, y)) es una me´trica.
1. m(x, y) es positiva por la definicio´n de f . Por ser f creciente ten-
emos que f(d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y.
Para la rec´ıproca de e´sta afirmacio´n recordemos que f(0) = 0.
2. La simetr´ıa en m es consecuencia de la simetr´ıa en d.
3. La desigualdad triangular,
m(x, z) = f(d(x, z)) ≤ f(d(x, y) + d(y, z))
≤ f(d(x, y)) + f(d(y, z))
= m(x, y) +m(y, z)).
Para verificar que las dos me´tricas nos llevan a la misma topolog´ıa,
debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas.
Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implica
f(x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f(d(x, y)) < ε, lo cual
no es ma´s que contenencia entre bolas.
Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f(d(x, y)) < f(ε) entonces
d(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas.
A manera de ejemplo, notemos que las funciones
αu (para α > 0),
u
1 + u
, log(1 + u), mı´n{1, u}, arctanu
satisfacen las condiciones para f . ¿Que´ me´tricas son inducidas por estas
funciones?
G
. R
UB
IA
NO
54 Espacios me´tricos
1
x y
Para el caso X = R con la me´tri-
ca usual del valor absoluto, y la fun-
cio´n f(u) = arctanu tenemos que su
compuesta produce la me´trica
f(d(x, y)) = | arctanx− arctan y|.
Esta nueva me´trica mide el a´ngulo
(medido en radianes) entre las rec-
tas descritas por la figura —en este
caso se restan, pero si x y y tienen
diferente signo entonces se suman—. Es una me´trica acotada por pi, y
adema´s resulta ser topolo´gicamente equivalente con la usual ya que la
funcio´n f es continua en 0.
En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta u´ltima sec-
cio´n, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la
Topolog´ıa: dado un espacio topolo´gico (X, T) ¿existe una me´trica d para
X tal que la topolog´ıa T sea inducida por d? El estudio de la metriz-
abilidad, es decir, la bu´squeda de condiciones necesarias y/o suficientes
para que una topolog´ıa provenga de una me´trica, es un cap´ıtulo abierto
a la investigacio´n con sus propios teoremas, algunos de ellos cla´sicos en
la literatura matema´tica.
Ningu´n espacio topolo´gico (X,T) donde X es un conjunto finito y T no
es la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es me´trico
con X finito, siempre tenemos que 〈d〉 = discreta.
Ejercicios 2.3
1. Muestre que la relacio´n de equivalencia topolo´gica para las me´tri-
cas es en efecto una relacio´n de equivalencia.
2. ¿Co´mo son las bolas en la me´trica del mensajero? —ver pa´g. 34—.
3. A partir de la definicio´n de elipse en la me´trica usual, ¿co´mo es una
elipse, una circunferencia, una recta para la me´trica del taxista?
4. Dados dos espacios me´tricos (X,m), (Y, n) muestre que las me´tri-
cas d1, d2, d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes.
G
. R
UB
IA
NO
2.3 Topolog´ıa para una me´trica 55
Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica
d∞(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ 2d∞(x, y).
5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera
de espacios me´tricos.
6. Muestre que toda me´trica sobre un conjunto finito genera la topolog´ıa
discreta.
7. De´ un ejemplo de una me´trica sobre un conjunto enumerable que
no genera la topolog´ıa discreta.
8. Ya hemos definido la me´trica d∞ del sup para el conjunto de las
funciones continuas C([0, 1],R). Pero la notacio´n nos lleva a con-
jeturar la existencia de toda la gama de me´tricas dp para p ≥ 1
—notamos Cp[0, 1] = ((C[0, 1],R), dp)— que mide la distancia en-
tre dos funciones f, g asigna´ndoles el nu´mero
dp(f, g) :=
(∫ 1
0
|f(x)− g(x)|p
) 1
p
.
El estudio de estas me´tricas se sale de las pretensiones de este
texto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectiva-
mente se trata de me´tricas y que
a) 〈d∞〉 * 〈d2〉.
b) 〈d2〉 ⊆ 〈d∞〉.
c) 〈d1〉 * 〈d∞〉.
d) 〈d∞〉 * 〈d1〉.
Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apo´yese
en la desigualdad de Schwartz(∫ b
a
f(t)g(t)dt
)2
≤
∫ b
a
f2(t)dt
∫ b
a
g2(t)dt.
Para negar la contenencia considere la sucesio´n de funciones con-
tinuas {gn} —figura 1.5— definidas como
gn(x) =
{
1− nx si 0 ≤ x ≤ 1n
0 si 1n ≤ x ≤ 1
G
. R
UB
IA
NO
56 Espacios me´tricos
1
n
1
4
1
3
1
2
1
1 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
.............
............
x
y
Figura 2.8: Las funciones gn.
Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez
ma´s largo. Es fa´cil ver que
d2(0, gn) =
√
1
3n
mientras que d∞(0, gn) = 1. Luego la bola B1/2(0) en d∞ de centro
la funcio´n nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn, con lo
cual, no existe en d2 alguna bola centrada en la funcio´n nula, que
pueda estar contenida en B1/2(0) ya que 1/3n→ 0 cuando n→∞.
Sugerencia caso c: tome δ = ε.
Sugerencia caso d : considere la sucesio´n de funciones continuas
{gn} definidas como
gn(x) =
{
−4nx+ 4 si 0 ≤ x ≤ 12n
2 si 12n ≤ x ≤ 1.
Para la funcio´n constante f(x) = 2 verifique que cada gn ∈ B11
n
(f)
y gn /∈ B∞1 (f).
Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar fun-
ciones g tales que su integral (a´rea bajo la curva) sea tan pequen˜a
como queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga como
queramos.
G
. R
UB
IA
NO
3 Bases y numerabilidad
Un espacio (X,T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de
todas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinal-
idad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres
responden ma´s a un cara´cter histo´rico que descriptivo.
3.1. 2-contable
Definicio´n 3.1. Un espacio (X,T) se dice 2-contable si entre sus bases
existe alguna con un nu´mero enumerable —finito o infinito— de elemen-
tos.
Esta condicio´n impone una cota al nu´mero de abiertos en la topolog´ıa
(verejercicio 12 de la pa´g. 63). Tambie´n nos dice que la topolog´ıa
puede ser descrita en te´rminos de un nu´mero contable de piezas de
informacio´n.
EJEMPLO 3.1
Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalos
abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia
enumerable
B = {(p, q) : p < q, p, q ∈ Q}.
Esta subfamilia es de nuevo una base —verif´ıquelo!— y es enumerable
ya que su cardinal es el mismo de Q×Q.
EJEMPLO 3.2
(R, cofinitos) no es 2-contable.
57
G
. R
UB
IA
NO
58 Bases y numerabilidad
Supongamos que existiera una base enumerable B = {B1, B2, . . .}. Ca-
da Bn es un abierto y por tanto Bcn es finito, con lo cual
⋃
i=1B
c
n =
(
⋂
i=1Bn)
c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈⋂
n=1Bn y como R − {y} es un abierto, debe existir un j ∈ N para el
cual Bj esta´ contenido en e´l, pero esto es imposible ya que para todo
n ∈ N se tiene y ∈ Bn.
EJEMPLO 3.3
X = (RN, primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pa´g. 34).
Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento
inicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde
importa el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1, B2, . . .},
por cada n ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesio´n) tn = (tnk)∞k=1 ∈
Bn. As´ı, la sucesio´n {tn1}∞n=1 esta´ formada por la primera coordenada de
cada sucesio´n tn.
Construimos ahora una sucesio´n q = (qn) en la cual q1 6= tn1 para cada n,
con lo que la primera componente de q es diferente de la primera com-
ponente de cada una de las sucesiones tn, lo que implica tn /∈ B1/2(q)
para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya
esta´n lo ma´s lejanas posible, esto es d(q, tn) = 1. As´ı que ninguna Bn
de la base puede estar contenida en B1/2(q).
EJEMPLO 3.4
El espacio H de Hilbert es 2-contable.
Definimos una base B enumerable de la manera siguiente.
Sea D = ⋃Dn, (n ∈ N) donde
Dn := {(xn) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0}.
D esta´ constituido de todas las sucesiones en H formadas por nu´meros
racionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos
B := {Br(d) : d ∈ D, r ∈ Q}.
B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que
cualquier abierto U ⊆ H es reunio´n de bolas en B. En efecto, dado
G
. R
UB
IA
NO
3.2 1-contable 59
t = (tk) ∈ U existe una bola Bε(t) ⊆ U . Ahora veamos que podemos
encontrar una bola Br(q) (q ∈ D, r ∈ Q) con la propiedad que t ∈
Br(q) ⊆ Bε(t). Como t ∈ H, sabemos que
∑
k=1 t
2
k es convergente y por
tanto existe un te´rmino xN en la sucesio´n, a partir del cual la suma de
la serie es menor que ε2/9, esto es∑
k=N+1
t2k < ε
2/9.
De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk ∈ Q tal que
|qk − tk| < ε
2
9N
,
y por tanto q = {q1, q2, . . . , qN , 0, 0, 0, . . .} verifica que d(q, t) < ε/3.
No´tese que t ∈ B2ε/3(q) ⊆ Bε(t). Sea r ∈ Q con ε/3 < r < 2ε/3,
entonces t ∈ Br(q) ⊆ Bε(t), pues si d(z, q) < r entonces
d(z, t) ≤ d(z, q) + d(q, t) ≤ 2ε/3 + ε/3 = ε.
3.2. 1-contable
El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto
—tener una definicio´n local— de la manera siguiente.
Definicio´n 3.2. Sean (X,T) un espacio y x ∈ X. Decimos que Bx ⊆ T
es una base local para x si dado U ∈ T con x ∈ U , existe B ∈ Bx tal que
x ∈ B ⊆ U .
Los conceptos de base y base local esta´n relacionados por la siguiente
proposicio´n.
Proposicio´n 3.3. Sea (X,T) un espacio. B ⊆ T es una base si y solo
si para cada x ∈ X el conjunto Bx = {B ∈ B : x ∈ B} es base local en
x.
Demostracio´n. ⇒) Sea U ⊆ X un conjunto abierto con x ∈ U . Por la
definicio´n de base, existe B ∈ B con x ∈ B ⊆ U , pero por la definicio´n
de Bx tenemos B ∈ Bx.
⇐) B = ⋃x∈X Bx es una base.
G
. R
UB
IA
NO
60 Bases y numerabilidad
La clase de espacios topolo´gicos que a continuacio´n definimos es ma´s
amplia que la de los espacios me´tricos, y tendra´ un comportamiento
ideal cuando hagamos referencia a conceptos topolo´gicos en los cuales
intervenga la nocio´n de convergencia de sucesiones.
Y lo que es ma´s, en esta clase de espacios 1-contables las sucesiones
resultan ser adecuadas para describir la topolog´ıa.
Definicio´n 3.4. Un espacio (X,T) se dice 1-contable —o que satisface
el primer axioma de enumerabilidad1— si cada punto del espacio posee
una base local enumerable.
EJEMPLO 3.5
Todo espacio me´trico es 1-contable. Dado x ∈ X, la familia de las bolas
abiertas
Bx = {B 1
n
(x) : n ∈ N},
es una base local en el punto x.
EJEMPLO 3.6
Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B ⊆ T es una base enumerable
para un espacio (X,T) y p ∈ X, el conjunto Bx = {B ∈ B : p ∈ B} es
una base local y enumerable en p.
EJEMPLO 3.7
El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x ∈ R el conjunto
Bx = {[x, q) : q ∈ Q, q > x} es una base local enumerable. Muestre que
no es 2-contable.
EJEMPLO 3.8
El espacio Tpω del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base consti-
tuida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente
de {p}, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Este
espacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X un
conjunto no contable y p un elemento elegido en X. Esta topolog´ıa para
X no admite una base local enumerable en el punto p —prue´belo—.
1Esta clasificacio´n se debe al matema´tico estadounidense Robert L. Moore (Dallas,
Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la
topolog´ıa en una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual de
ensen˜ar con un me´todo llamado hoy por su nombre.
G
. R
UB
IA
NO
3.2 1-contable 61
Definicio´n 3.5. Dados un espacio (X,T) y un cubrimiento abierto U ⊆
T, decimos que D ⊆ U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo un
cubrimiento abierto de X. —Podemos descartar elementos en U—.
Teorema 3.6 (Lindelo¨f2). Sea (X,T) un espacio 2-contable. De cada
cubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable.
Demostracio´n. Sea B = {B1, B2, . . .} una base para X. En B consider-
amos el siguiente subconjunto de ı´ndices:
S = {n : Bn ⊆ U, algu´n U ∈ U}.
Sabemos que la coleccio´n enumerable C = {Bn : n ∈ S} cubre a X, pues
dado x ∈ X, existe U ∈ U con x ∈ U . Como B es base, existe Bk ∈ B
con x ∈ Bk ⊆ U , luego k ∈ S y por tanto Bk ∈ C y as´ı x ∈
⋃ C.
Por cada n ∈ S elegimos Un ∈ U tal que Bn ⊆ Un. Definimos D
—el subcubrimiento contable— como D := {Un : n ∈ S}. Claramente⋃ C ⊆ ⋃D y por tanto D es un cubrimiento de X y D ⊆ U .
Demos nombre a la propiedad anterior.
Definicio´n 3.7. Un espacio (X,T) se dice de Lindelo¨f o w-compacto
si cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable.
EJEMPLO 3.9
(R, coenumerables) es de Lindelo¨f y no es 2-contable.
EJEMPLO 3.10
(R, [a, b)) es de Lindelo¨f y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) con
q irracional, solo otro intervalo de la forma q ∈ [q, a) con a < s puede
contener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debe
tener un cardinal mayor o igual al cardinal de los nu´meros irracionales.
√
2 4
2Ernst Leonard Lindelo¨f (1870-1946), matema´tico finlande´s, nacido en Helsinki.
G
. R
UB
IA
NO
62 Bases y numerabilidad
Corolario 3.8. Si el espacio (X,T) es 2-contable, entonces es de Lin-
deloff.
Corolario 3.9. Sea (X,T) un espacio 2-contable. Entonces cualquier
base Q = {Qi : i ∈ I} se puede reducir a una base enumerable. Esto es,
no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquiera
se puede reducir a una enumerable.
Demostracio´n. Sea B = {B1, B2, . . .} una base para X. Por ser Q una
base, cada elemento Bn ∈ B se puede escribir como Bn =
⋃
i∈I Qi, (Qi ∈
Q) y esta coleccio´n se puede reducir a una contable para cada Bn, pues
dado x ∈ Bn existeQx ∈ Q tal que x ∈ Bx ⊆ Qx ⊆ Bn. Bx ∈ B y la
coleccio´n {Bx : x ∈ Bn} es claramente contable y por tanto tambie´n lo
es la coleccio´n Qn = {Qx : Bx ⊆ Qx}. Al variar n en Bn, obtenemos una
coleccio´n enumerable de enumerables Qn, la cual es una base.
Ejercicios 3.2
1. Muestre que Rnu es 2-contable.
2. Dada Bx = {B1, B2, . . .} una base local en x. Muestre que podemos
construir {B∗1 , B∗2 , . . .} base local en x, tal que B∗1 ⊇ B∗2 ⊇ · · · , esto
es, existe una base local encajada.
3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable.
4. Sean T1,T2 dos topolog´ıas para X tales que T1 ⊆ T2. Si T2 es
2-contable (Lindeloff) ¿puede inferirse que T1 lo sea?
5. Muestre que la topolog´ıa (X, cofinitos) en cualquier espacio me´tri-
co (X, d) es menos fina que la topolog´ıa inducida por la me´trica.
6. Muestre que la topolog´ıa (X, cofinitos) es la topolog´ıa menos fina
que es T1.
7. ¿(R2, lexicogra´fico) es 2-contable?
8. (I × I, lexicogra´fico) es 1-contable y no es 2-contable.
9. ¿(R, cofinitos) es 1-contable?
10. ¿(N, cofinitos) es 2-contable?
G
. R
UB
IA
NO
3.2 1-contable 63
11. ¿Cua´les de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 son
de Lindelo¨f?
12. Si (X,T) es 2-contable entonces |T| ≤ |R| = 2ℵ0 .
13. Si (X,T) es 2-contable y T0 entonces |X| ≤ |R| = 2ℵ0 .
14. Muestre que si el espacio (X,T) es 1-contable y |X| = ℵ0 entonces
el espacio es 2-contable.
15. El espacio de Arens-Fort (pa´g. 22, ejercicio 15 de 1.3) no es 1-
contable ya que no es 2-contable. Prue´belo!
16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son heredi-
tarias.
17. Muestre que en espacio me´trico (X, d) las propiedades de 2-contable
y Lindelo¨f son equivalentes.
Sugerencia: para cada n ∈ N, considere el cubrimiento abierto con-
sistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindelo¨f
dice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn. Muestre que
B = ∪nBn es una base enumerable.
18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contable
entonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que
(I × I, lexicogra´fico) no es 2-contable.
Sugerencia: considere A = {(x, y) : y = 1/2}.
G
. R
UB
IA
NO
4 Funciones —comunicaciones entre
espacios—
Hasta aqu´ı hemos definido y tenemos lo que podr´ıamos llamar los
objetos de nuestra teor´ıa, es decir, as´ı como en la teor´ıa de conjuntos
los objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existan
para que la teor´ıa sea valorada: necesitamos contar con un medio o una
manera de relacionar los conjuntos entre s´ı, esto es, requerimos las flechas
de las funciones, para que as´ı podamos llegar a conceptos como los de
cardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc.
Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicacio´n entre
nuestros espacios topolo´gicos. Como ellos primariamente son conjuntos,
nuestras flechas, en su base, sera´n funciones entre estos conjuntos. Pero
debemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructura
topolo´gica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos fun-
ciones con un adjetivo como lo da la siguiente definicio´n.
4.1. Funciones continuas
Definicio´n 4.1. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcio´n entre espacios.
Dado a ∈ X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf(a)
en Y existe una vecindad Ua en X tal que f(Ua) ⊆ Vf(a).
Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua.
EJEMPLO 4.1
La definicio´n de continuidad del ca´lculo coincide con esta definicio´n
cuando a los nu´meros reales les damos la topolog´ıa usual.
64
G
. R
UB
IA
NO
4.1 Funciones continuas 65
La anterior definicio´n —puntual— de continuidad es equivalente a la
siguiente definicio´n dada exclusivamente en te´rminos de abiertos.
Teorema 4.2. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si y solo si para cada
V ∈ H se tiene que f−1(V ) ∈ T, i. e., f−1(H) ⊆ T.
Demostracio´n. ⇒) Sea f continua y V un elemento de H; para ver
que f−1(V ) es abierto, lo expresaremos como una unio´n de abiertos.
Sea x ∈ f−1(V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f(Ux)
esta´ contenido en V , luego Ux ⊆ f−1(V ) y as´ı
f−1(V ) =
⋃
{Ux | x ∈ f−1(V )}.
⇐) Sean x ∈ X y V ∈ H tales que f(x) ∈ V . Como x ∈ f−1(V ) ∈
T y f(f−1(V )) ⊆ V , tenemos que f es continua en x, y como x fue
cualquiera, f es continua.
Para verificar la anterior caracterizacio´n de continuidad es suficiente
que verifiquemos la condicio´n f−1(B) ⊆ T para una base B cualquiera
¿por que´?; ma´s aun, f−1(S) ⊆ T de una subbase S cualquiera.
K
Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamente
de la funcio´n en s´ı; las topolog´ıas son determinantes como lo muestran
los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 4.2
1. Cualquier funcio´n f : (X, 2X) −→ (Y,H) es continua.
2. Cualquier funcio´n f : (X,T) −→ (Y, {∅, X}) es continua.
3. La funcio´n ide´ntica id : R −→ R, donde las topolog´ıas respecti-
vas son la usual y la de complementarios finitos es una funcio´n
continua, pero no lo es si invertimos las topolog´ıas.
4. La funcio´n ide´ntica idX : (X,T) −→ (X,H) es continua si y solo
si T es ma´s fina que H.
5. Toda funcio´n constante es continua.
6. La funcio´n f(x) = −x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)).
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. R
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66 Funciones —comunicaciones entre espacios—
Para el caso de los espacios me´tricos la definicio´n de continuidad adopta
la siguiente forma, ma´s familiar en te´rminos de distancias.
Sean (X, d), (Y,m) dos espacios me´tricos. f : X −→ Y es continua
en el punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que,
si x ∈ X satisface d(a, x) < δ entonces m(f(a), f(x)) < ε. En otras
palabras,
x ∈ Bdδ (a) implica f(x) ∈ Bmε (f(a)).
Un tipo de continuidad ma´s fuerte que la usual se define para los
espacios me´tricos de la manera siguiente.
Definicio´n 4.3. Sean (X, d), (Y,m) dos espacios me´tricos. Una funcio´n
f : X −→ Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0,
existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f(x), f(y)) < ε.
En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 —δ dependi-
endo u´nicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos
x ∈ X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquier
x ∈ X, f(Bδ(x)) ⊆ Bε(f(x)).
EJEMPLO 4.3
Sean (X, d), (Y,m) dos espacios me´tricos. f : (X, d) −→ (Y,m) se lla-
ma Lipschitziana con factor de contraccio´n k si para todo par de
puntos x, y ∈ X se tiene
m(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) con k > 0.
f es uniformemente continua. Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k. Para
d(x, y) < δ se tiene que m(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) < kδ < ε. Si k = 1,
esto es, m(f(x), f(y)) = d(x, y) decimos que f es una isometr´ıa —es
continua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f−1 es una isometr´ıa
con lo que los espacios resultan homeomorfos.
EJEMPLO 4.4
Por supuesto toda funcio´n uniformemente continua es continua. Pero lo
contrario no se tiene:
Una funcio´n tan simple como f : Ru −→ Ru definida por f(x) = x2 es
continua pero no lo es uniformemente. En efecto, para ε = 1 no existe
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4.1 Funciones continuas 67
δ tal que |x − y| < δ implique |x2 − y2| < 1 para todo par x, y; por
ejemplo para x =
1
δ
+
δ
2
, y =
1
δ
. Pero si x2 es restringida a un intervalo
cerrado y acotado [−A,A] entonces s´ı es uniformemente continua, pues
|x− y| < ε
2A+ 1
implica
|x2 − y2| = |x+ y||x− y| ≤ 2A ε
2A+ 1
< ε
para x, y ∈ [−A,A]. Contrario a la anterior funcio´n, las funciones x 7→
x+ 1 y x 7→ x
1 + x2
de R en R s´ı lo son.
La propiedad de ser uniformemente continua es me´trica —no topolo´-
gica— en el sentido de que cambiando la me´trica d sobre el espacio
(X, d) por una me´trica d∗ topolo´gicamente equivalente, podemos hacer
que una funcio´n continua f sea o no uniformemente continua.
De acuerdo con el ejercicio 9 de la pa´gina88, desde un punto de vista
estrictamente topolo´gico, todas las funciones continuas entre espacios
me´tricos resultan ser en un sentido uniformemente continuas. Aunque
parezca extran˜o, podemos cambiar la me´trica del espacio en el dominio
por una equivalente que nos produzca la uniformidad.
EJEMPLO 4.5
Sea A ⊆ (X, d). Dado x ∈ X, definimos la distancia d(x,A) de x a A
como
d(x,A) := ı´nf{d(x, a) : a ∈ A}.
La funcio´n f : X −→ R definida como f(x) = d(x,A) es uniformemente
continua.
En efecto, dado ε > 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces
|d(x,A)− d(y,A)| < ε. Para esto es suficiente probar que para cada par
de puntos x, y ∈ X se tiene |d(x,A) − d(y,A)| ≤ d(x, y), con lo cual
δ = ε satisface la condicio´n —tenemos una contraccio´n—.
d(x,A) = ı´nf{d(x, a) | a ∈ A}
≤ ı´nf{d(x, y) + d(y, a) | a ∈ A}
= d(x, y) + ı´nf{d(y, a) | a ∈ A}
= d(x, y) + d(y,A),
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68 Funciones —comunicaciones entre espacios—
invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y,A) ≤ d(x, y) + d(x,A)
con lo cual
d(x,A)− d(y,A) ≤ d(x, y) y d(y,A)− d(x,A) ≤ d(x, y)
lo que implica |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y).
EJEMPLO 4.6
Dado (X, d), la funcio´n d : X × X −→ R es uniformemente continua
cuando a X ×X lo dotamos de la me´trica
d∞(x, y) = ma´x{d(x1, y1), d(x2, y2)}
para x = (x1, x2), y = (y1, y2).
En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2. Si d∞(x, y) < δ esto implica
que d(x1, y1) < δ, d(x2, y2) < δ. Como d(x1, x2) ≤ d(x1, y1) +d(y1, y2) +
d(y2, x2) entonces
d(x1, x2)− d(y1, y2) ≤ d(x1, y1) + d(x2, y2) < 2d∞(x, y) < 2δ = ε.
Similarmente d(y1, y2)− d(x1, x2) < ε, con lo cual,
|d(x1, x2)− d(y1, y2)| < ε.
EJEMPLO 4.7
En (C(I,R), sup) la funcio´n
∫
I : C(I,R) −→ R definida por
∫
I(f) =∫ 1
0 f(t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la sigu-
iente desigualdad que muestra que tenemos una contraccio´n,∣∣∣∣∫
I
f −
∫
I
g
∣∣∣∣ ≤ ∫
I
|f − g| ≤
∫
I
‖f − g‖∞ = ‖f − g‖∞.
EJEMPLO 4.8
La funcio´n
f : (R, (a, b]) −→ (R, usual)
descrita en la figura es continua. Si en el
dominio tuvie´ramos la topolog´ıa usual,
ella es un cla´sico de no continuidad en
un punto.
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4.1 Funciones continuas 69
EJEMPLO 4.9
Me´tricas exo´ticas para R. Sean X un conjunto y (Y,m) un espacio
me´trico. Dada una funcio´n inyectiva f : X −→ Y , definimos una me´trica
d∗ llamada la me´trica inducida por la funcio´n f como
d∗(x, y) := m(f(x), f(y)),
la cual hace de f una isometr´ıa; si f es sobre entonces tanto f como f−1
resultan ser continuas.
Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos me´tricas exo´ticas
segu´n consideremos a f . Por ejemplo, d∗(x, y) =| arctag(x)− arctg(y) |,
| ex − ey |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x− 1/y |.
Pero ¿cua´les de estas me´tricas resultan equivalentes a la usual?
Si f : (X, d) −→ (Y,m) es un homeo-
morfismo —f es biyectiva y tanto f como
f−1 son continuas— entonces la me´trica
d∗(x, y) := m(f(x), f(y)) es equivalente a
la me´trica d. Para ello basta ver que la fun-
cio´n identidad idX : (X, d) −→ (X, d∗) es
un homeomorfismo —ejercicio 4 pa´g. 69—
.
(X, d) (Y,m)
(X, d∗)
-f
@
@
@
@
@R
idX
?
f−1
En el caso de la funcio´n tan : (−pi/2, pi/2) −→ R y su inversa
arctan, obtenemos que la me´trica usual es equivalente a la me´trica
d∗(x, y) = | arctan(x) − arctan(y) | (ver pa´gina 54). De manera simi-
lar para | ex − ey |.
Ejercicios 4.1
1. La compuesta de funciones continuas es continua.
2. Muestre que f : (X,T) −→ (Y,H) es continua si f−1(B) ⊆ T para
una base B ⊆ H.
3. En Ru muestre la continuidad de f : R −→ R, f(x) = x2 obser-
vando co´mo es f−1((a, b)).
4. Sean (X, d), (X,m) dos espacios me´tricos. Muestre que d y m son
topolo´gicamente equivalentes si y solo si las funciones identidad
idX : (X, d) −→ (X,m) y idX : (X,m) −→ (X, d) son continuas.
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70 Funciones —comunicaciones entre espacios—
5. Si X,Y tienen la topolog´ıa de los cofinitos, f : X −→ Y no con-
stante es continua si y solo si f tiene fibras finitas.
6. Si X,Y tienen la topolog´ıa del punto incluido, f : X −→ Y es
continua si y solo si f preserva los puntos incluidos.
7. Sea (X,J ) un espacio para el cual toda f : (X,J ) −→ Ru es
continua. Muestre que J es la discreta.
8. Decimos que una funcio´n f : X −→ Y entre espacios es abierta
(cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es
un abierto (cerrado) en Y . De´ ejemplos de funciones abiertas que
no sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas,
de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas ni
abiertas.
Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru.
9. Sean X,Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X −→ Y
estrictamente creciente —x < y implica f(x) < f(y)— y sobreyec-
tiva es continua.
4.2. La categor´ıa Top
Las definiciones de espacio topolo´gico y funcio´n continua satisfacen
los siguientes numerales:
1. Se definio´ una clase de objetos Top, llamada los espacios topolo´gi-
cos.
2. A cada par de objetos —espacios topolo´gicos— le hemos definido
un conjunto
Mor(X,Y ) = {f | f : (X,T) −→ (Y,H) es continua }
llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos
de X en Y .
3. Dados X,Y,W en Top existe una ley de composicio´n
Mor(X,Y )×Mor(Y,W ) −→Mor(X,W ) definida por (f, g) 7→ g◦f.
Adema´s 1, 2 y 3 satisfacen:
G
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4.2 La categor´ıa Top 71
4. h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f —asociatividad—.
5. Dado X en Top, existe la funcio´n ide´ntica idX ∈ Mor(X,X) la
cual es una flecha y satisface f ◦ idX = f, idX ◦ g = g cada vez
que las composiciones sean posibles.
Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de
categor´ıa.
Definicio´n 4.4. Una categor´ıa (O,M)consiste en una coleccio´n O K
llamada los objetos de la categor´ıa, y de una coleccio´n M de conjuntos
cuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categor´ıa, con
la propiedad que para cada par de objetos A,B ∈ O existe un conjunto
Mor(A,B) ∈M que satisface:
1. Para cada tr´ıo A,B,C de objetos existe la composicio´n de mor-
fismos denotada por ◦ tal que si f ∈ Mor(A,B), g ∈ Mor(B,C)
entonces g ◦ f ∈Mor(A,C).
2. Dados los morfismos f, g, h entonces h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f cada
vez que la composicio´n este´ definida.
3. Para cada objeto A ∈ O existe un morfismo identidad idA ∈
Mor(A,A) con la propiedad que es neutro para la operacio´n de
composicio´n.
EJEMPLO 4.10
1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es
una categor´ıa.
2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es
una categor´ıa.
3. Dado un conjunto X y un orden parcial ≺ sobre X, si tomamos
como objetos los elementos de X y como morfismos Mor(x, y) el
conjunto unitario, o el conjunto vac´ıo, segu´n sea que x este´ o no
relacionado con y, obtenemos una categor´ıa.
G
. R
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72 Funciones —comunicaciones entre espacios—
El concepto de categor´ıa puede ser visto como una abstraccio´n a las
propiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matema´ticas.
Ha llegado a ser tambie´n un a´rea de las matema´ticas puras con su
propio intere´s. Brevemente, una ‘categor´ıa’ es un campo del discurso
matema´tico, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto
su teor´ıa puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que
pueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matema´tica.
4.3. Propiedades heredables
Cuando una propiedad del espacio tambie´n pasa a los subespacios,
decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de
poseer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base
enumerable en un punto. Otro ejemplo de una propiedad que se hereda
a los subespacios es la metrizabilidad.
Proposicio´n 4.5. Si (X,T) es un espacio metrizable, entonces para
cadaA ⊆ X la topolog´ıa TA de subespacio es de nuevo metrizable.
Demostracio´n. Sea d : X×X −→ R una me´trica que genera la topolog´ıa
T; la restriccio´n d|A×A de d al subconjunto A×A es una me´trica. Para
ver que la topolog´ıa generada por d|A×A coincide con la topolog´ıa TA de
subespacio, basta notar que un abierto V de TA es de la forma V = U∩A
donde U es un abierto de T, esto es, U =
⋃
i∈I Bi donde cada Bi es una
bola para la me´trica d, con lo cual
U ∩A = (∪i∈IBi) ∩A = ∪i∈I(Bi ∩A).
Dado x ∈ Bε(y) ∩ A tomando δ = mı´n{d(x, y), ε − d(x, y)} tenemos
B
d|A×A
δ (x) ⊆ Bε(y)∩A; luego las bolas abiertas en d|A×A son base para
la topolog´ıa inducida TA.
EJEMPLO 4.11
SiX es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ⊆ X hereda
la discreta —grosera— como la topolog´ıa de subespacio, pues dado a ∈ A
el conjunto {a} = A ∩ {a} es un abierto de la topolog´ıa inducida.
G
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4.3 Propiedades heredables 73
EJEMPLO 4.12
Sea (X,T) un espacio y (A,TA) un subespacio de X. La funcio´n inclusio´n
i : A ↪→ X con i(x) = x es una funcio´n continua, pues claramente si U
es abierto de X, i−1(U) = U ∩ A que es la forma como hemos definido
los abiertos.
Nota. Parece que la topolog´ıa de subespacio de A fuese expresamente
definida para hacer la funcio´n inclusio´n cont´ınua de la mejor manera K
—¿por que´?—.
Ejercicios 4.3
1. ¿Cua´les de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto,
1-contable, 2-contable, T1, Hausdorff, convergencia trivial, conver-
gencia u´nica, Alexandroff?
2. Teorema del pegamiento. Sean (X,T) y A, B cerrados en X. Si
f : A −→ Y , g : B −→ Y son funciones continuas tales que
f |A∩B = g |A∩B entonces h : A ∪B −→ Y es continua.
G
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5 Filtros, convergencia y continuidad
Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio
de ramas de la matema´tica: teor´ıa de modelos, topolog´ıa, a´lgebra com-
binatoria, teor´ıa de conjuntos, lo´gica, etc. En esta seccio´n estudiamos su
relacio´n con la topolog´ıa y en especial con el concepto de convergencia.
5.1. Filtros
Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x
en un espacio (X,T) satisface las propiedades: 1) La interseccio´n de dos
vecindades es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) Si
Vx es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ⊆W
es de nuevo una vecindad —cerrado para superconjuntos—.
La siguiente definicio´n, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada en
el esp´ıritu de estas dos propiedades.
Definicio´n 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colec-
cio´n, no vac´ıa, de subconjuntos, no vac´ıos, de X tal que:
1. Si F1, F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F ,
2. Si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F .
Si permitimos que ∅ ∈ F obtenemos ℘(X) o el filtro impropio.
1Para el estudio de la convergencia en los espacios topolo´gicos en general, las
sucesiones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los nu´meros naturales) son de-
masiado restrictivas. Hoy en d´ıa existen dos generalizaciones, una es el concepto de
filtro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por
Moore y Smith. Las dos teor´ıas son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros,
estoy seguro que todo mundo estara´ de acuerdo que esta es de lejos la manera ma´s
natural y elegante de hacer las cosas.
74
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5.1 Filtros 75
EJEMPLO 5.1
Dados un espacio (X,T) y un punto x ∈ X, el conjunto V(x) de las
vecindades de x es un filtro para X.
5.1.1. Base de filtro
Definicio´n 5.2. Dado un filtro F decimos que B ⊂ F es una base de
filtro para F si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F .
Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus ele-
mentos, a partir de los cuales los dema´s pueden obtenerse por la con-
tenencia de la propiedad 2 de la definicio´n 5.1, i. e., los elementos del
filtro son los superconjuntos de los elementos de la base.
La definicio´n de base de filtro no es puntual, como en el caso de la
definicio´n de base para una topolog´ıa.
Teorema 5.3. B ⊆ 2X es una base para un u´nico filtro F de X si y
so´lo si satisface:
1. ∅ /∈ B y B 6= ∅,
2. Si B1, B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B con B3 ⊆ B1 ∩B2.
Al filtro F lo denotamos como F = 〈B〉 y lo llamamos el filtro gener-
ado por B. Es el filtro ma´s pequen˜o que contiene a B.
Demostracio´n. Definimos
F := {F ⊆ X | B ⊆ F para algu´n B ∈ B} = 〈B 〉.
F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. Que
F es un filtro es inmediato. Si G tambie´n tiene como base a B, entonces
es claro que G esta´ contenido en F . Para la otra contenencia notemos
que B ⊆ G. Luego dado F ∈ F sabemos que existe B ∈ B ⊆ G tal que
B ∈ F con lo cual F ∈ G por ser G un filtro.
La condicio´n 2 garantiza que la coleccio´n B cumple: la interseccio´n
finita de elementos de la familia nunca es vac´ıa —propiedad de la inter-
seccio´n finita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos
G
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76 Filtros, convergencia y continuidad
de X que satisface la PIF es por definicio´n una subbase para un filtro
F en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitas
de sus miembros forma una base de filtro.
Esta condicio´n dice tambie´n que una base de filtro con la relacio´n ⊇
es un conjunto dirigido2.
EJEMPLO 5.2
1. Sea A ⊆ X. B = {A} es una base de filtro. El filtro generado
F〈A〉 = 〈A 〉 se llama filtro principal asociado a A. El caso en
que A = {a} —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante.
2. Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abier-
tas es una base de filtro para el filtro V(x). No´tese que V(x) ⊆ 〈x〉.
3. Sea B ⊆ 2N el conjunto de las colas de N, esto es
B := {Sn | n ∈ N} con Sn := {n, n+ 1, . . .}.
El filtro generado se llama filtro de Fre`chet.
4. En un conjunto infinito X, Fc = {A ⊆ X | Ac es finito} es el filtro
de los complementos finitos.
5. En R la coleccio´n de las colas a derecha abiertas tiene la PIF.
Nota. Ana´logo a como sucede con las bases en los espacios topolo´gicos,
es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro;
en tal caso, tambie´n es u´til definir una relacio´n de equivalencia.
Definicio´n 5.4. Sean X 6= ∅ y B1, B2 dos bases de filtro en X. Decimos
que son equivalentes si 〈B1〉 = 〈B2〉 —las notamos B1 ≡ B2—.
El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espacio
topolo´gico el cual no puede ser de Hausdorff —¿por que´?—.
2Un conjunto dirigido (D,6) es un conjunto parcialmente ordenado con la
propiedad adicional que para cada par de puntos a, b ∈ D existe un elemento c ∈ D
que los supera, i. e., a 6 c y b 6 c. En particular, todo conjunto totalmente ordenado
es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto
de las vecindades de un punto x en un espacio topolo´gico, dotado de la relacio´n de
inclusio´n ⊇ donde un conjunto se dira´ ’mayor´ que otro si esta´ incluido en e´l.
Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al
concepto de red, una generalizacio´n al concepto de sucesio´n.
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5.2 Ultrafiltros 77
EJEMPLO 5.3
Dado un filtro F en X, T = F ∪ {∅} es una topolog´ıa —filtrosa—.
En general, si F ,G son dos filtros sobre X tales que F ⊆ G, decimos
que G es ma´s fino que F —este concepto corresponde al de subsucesio´n.
Esta relacio´n define un orden parcial sobre el conjunto Fil(X) de todos
los filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de
todas las definiciones conexas a un orden.
En particular Fil(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene una
cota superior —¿por que´?— luego sera´ posible ‘zornificar’ como en
el teorema 5.6. Si admitimos el filtro impropio ℘(X) (a los dema´s
filtros los llamamos propios) entonces Fil(X) resulta ser un ret´ıculo
completo.
5.2. UltrafiltrosDefinicio´n 5.5. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un
elemento maximal de Fil(X); esto es, ningu´n filtro es ma´s fino que U.
Teorema 5.6. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal
que F ⊆ U.
Demostracio´n. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P,≺) es un conjunto
parcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadena
es un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por ≺— tiene una
cota superior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea
M = {G | F ⊆ G y G un filtro en X}.
M se ordena por la inclusio´n. Sea H una cadena en M. Si definimos
H =
⋃M, i. e., H es la reunio´n de todos los filtros que esta´n en M,
vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando
el lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U es
maximal en el conjunto de los filtros que contienen a F , por tanto es un
ultrafiltro.
G
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78 Filtros, convergencia y continuidad
Si A ⊆ X con A = {a}, el filtro generado por A es un ultrafiltro
llamado principal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no princi-
pales o libres). Fuera de este ejemplo no conocemos ma´s ultrafiltros de
manera concreta; los dema´s tendra´n la garant´ıa de existir pero no los
conoceremos.
¿Co´mo podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro?
Proposicio´n 5.7. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado
A ⊆ X entonces A ∈ U o Ac ∈ U .
Demostracio´n. ⇐) Si F es un filtro tal que U ⊆ F , debemos mostrar
que U = F . Si existiera F ∈ F tal que F /∈ U entonces F c ∈ U y por
tanto F c ∈ F , lo cual implica que ∅ ∈ F .
⇒) Supongamos que existe A tal que A /∈ U y Ac /∈ U . La coleccio´n
B := {F ∩A | F ∈ U}
es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F ∩ A = ∅ para
algu´n F esto implica F ⊆ Ac y por tanto Ac ∈ U . El filtro G = 〈B〉
contiene a U y es ma´s fino ya que A ∈ G, lo cual contradice que U es un
ultrafiltro.
Proposicio´n 5.8. Sean U un ultrafiltro en X y A,B ⊆ X. Si A∪B ∈ U
entonces A ∈ U o B ∈ U .
Demostracio´n. Si B ∈ U hemos terminado. Supongamos entonces que
B /∈ U y veamos que necesariamente A ∈ U . Si sucede que A /∈ U ,
entonces
F := {M ⊆ X | A ∪M ∈ U}
es un filtro en X ma´s fino que U y estrictamente ma´s fino ya que B ∈
F .
La anterior demostracio´n nos indica una manera de crear nuevos
filtros a partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar unK
elemento que no este´ en e´l.
EJEMPLO 5.4
El filtro de Fre`chet en N no es un ultrafiltro, pues N = P∪ I —los pares
unidos con los impares— y tanto P como I no esta´n en Fre`chet.
G
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5.2 Ultrafiltros 79
Proposicio´n 5.9. Un filtro F en X es la interseccio´n de todos los ul-
trafiltros en X que lo contienen.
Demostracio´n. Sea D la coleccio´n de todos los ultrafiltros que contienen
a F . Dado A ∈ ∩D veamos que A ∈ F . Si A /∈ F entonces Ac ∩ F 6= ∅
para todo F ∈ F , luego existe un ultrafiltro D para el cual Ac ∈ D con
lo que A /∈ D, y esto contradice que A ∈ ∩D.
Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U es
no principal o libre. Lo interesante es anotar que este es el u´nico tipo
de ultrafiltro libre.
Teorema 5.10. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. En-
tonces Fc ⊆ U o U es principal.
Demostracio´n. Si no se tiene la contenencia, existe A /∈ U con A ∈ Fc.
Como Ac es finito y Ac ∈ U existe x ∈ Ac con {x} ∈ U y as´ı U es
principal.
Si U no es principal, para todo x ∈ X tenemos {x}c ∈ U. Dado
A ∈ Fc, la interseccio´n finita A =
⋂{{x}c : x ∈ Ac} esta´ en U.
Ejercicios 5.2
1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos
no vac´ıos de X que satisface la condicio´n
A ∩B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F .
2. Dado un conjunto ordenado (X,≺) las colas x ↑= {y : x � y} son
una base de filtro en X.
3. Dado un conjunto infinito X, sea X+ = X ∪{ω} con ω /∈ X. Dado
un filtro F sobre X muestre que
a) T(F) := 2X ∪ {F ∪ {ω} | F ∈ F} es una topolog´ıa para X+.
b) ¿Quie´n es V(x) para cada x ∈ X?
c) ¿Quie´n es V(ω)?
d) Muestre que si F1 ⊆ F2 entonces T(F1) ⊆ T(F2).
G
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NO
80 Filtros, convergencia y continuidad
4. ¿Tiene la anterior construccio´n alguna relacio´n con el espacio de
Arens-Fort? (Pa´g. 29).
5. Dados un conjunto X y p ∈ X, muestre que para cada ultrafiltro
U en X la siguiente familia de subconjuntos define una topolog´ıa
G(p,U) := 2X−{p} ∪ U .
6. Sea F un filtro sobre X y A ⊆ X. Muestre que la traza de X sobre
A, esto es,
F ∩A := {F ∩A | F ∈ F}
es una base de filtro en A si y solo si cada F ∩ A 6= ∅. ¿Co´mo
es la relacio´n de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos
filtros).
7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ⊆ X y T ∩ S 6= ∅
para todo S ∈ U entonces T ∈ U.
8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado en
finitas partes entonces una de las partes pertenece a U.
9. * Muestre que U ⊆ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo
si U es maximal en (2X ,⊆) con respecto a la PIF.
10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces
es principal.
11. Encuentre —construya— un filtro en N ma´s fino que el filtro de
Fre´chet.
12. * Consulte una demostracio´n de la afirmacio´n: existe un nu´mero
no contable de ultrafiltros ma´s finos que el filtro de Fre´chet en N.
13. Muestre que la interseccio´n de filtros es un filtro.
14. Sea f : X −→ Y una funcio´n sobreyectiva y F un filtro sobre Y .
Muestre que
f∗(F) := {f−1(A) : A ∈ F}
es un filtro sobre X.
G
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5.3 Sucesiones 81
5.3. Sucesiones
Recordemos que una funcio´n f : N −→ X se llama una sucesio´n en
X y la denotamos por (xn) donde xn = f(n).
Definicio´n 5.11. Sean X un espacio y (xn) una sucesio´n en X. La
sucesio´n converge a un punto x ∈ X, i. e., xn → x si dada cualquier
vecindad Vx, existe k ∈ N tal que si m ≥ k entonces xm ∈ Vx —a la larga
o finalmente todos los te´rminos de la sucesio´n esta´n en la vecindad—.
Si una sucesio´n converge a un punto x, cualquier vecindad del punto
es un superconjunto para alguna cola de la sucesio´n. Es como si las
colas fuesen una base para un filtro ma´s fino que las vecindades de x.
EJEMPLO 5.5
En R con la topolog´ıa cofinita casi todas las sucesiones convergen, las
u´nicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe
ma´s de un punto que se repite de manera infinita —existe ma´s de una
subsucesio´n constante—.
EJEMPLO 5.6
En (R2, lexi) la sucesio´n ( 1n ,
1
n2
) no converge al punto (0, 0). Para que una
sucesio´n converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical
que pase por (0, 0).
EJEMPLO 5.7
El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano de
Niemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1).
Sea P = {(x, y) | y > 0} ⊆ R2 dotado de la topolog´ıa T de subespacio.
Denotemos por L = {(x, 0) | x ∈ R} al eje real. Definimos una topolog´ıa
T∗ para X = P ∪ L an˜adiendo a T los conjuntos de la forma {a} ∪ D
donde a ∈ L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a L
justamente en el punto a. Notemos que (X,usual) ⊆ (X,T∗) donde la
usual es la de subespacio de R2.
La sucesio´n yn = ( 1n , 0), que en R
2
u es convergente al punto (0, 0) no lo
es en el semiplano de Niemytzki. Una sucesio´n para poder converger a
(0, 0) debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco.
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82 Filtros, convergencia y continuidad
•
Figura 5.1: La topolog´ıa del disco tangente.
Definicio´n 5.12. Decimos que el espacio X es de convergencia u´nica
si dada cualquier sucesio´n (xn) que converge, ella lo hace a un u´nico
punto.
Proposicio´n 5.13. Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es de
convergencia u´nica.
Demostracio´n. Si (xn) converge tanto a x como a y para x, y ∈ X, por
ser X de Hausdorff existen Vx, Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Pero de otra parte,
casi toda (xn) esta´ en Vx y casi toda (xn)esta´ en Vy, y esto no puede
suceder a menos que x = y.
El rec´ıproco de la proposicio´n anterior no se tiene —¿puede dar un
ejemplo?— a menos que el espacio sea 1-contable.
Proposicio´n 5.14. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de conver-
gencia u´nica entonces X es de Hausdorff.
Demostracio´n. Si X no es de Hausdorff existen x, y ∈ X tales que para
todo par Vx, Vy tenemos Vx∩Vy 6= ∅. En particular para las bases locales
enumerables Bx = {Bx1 , Bx2 , . . .}, By = {By1 , By2 , . . .} tenemos Bxn ∩Byn 6=
∅ para cada n. Por cada n ∈ N elegimos xn ∈ Bxn∩Byn (podemos suponer
que cada una de estas dos bases locales esta´ encajada —¿por que´?—) lo
cual nos produce una sucesio´n (xn) que converge tanto a x como a y, y
nos contradice la convergencia u´nica.
Definicio´n 5.15. Un espacio (X,T) se dice de convergencia trivial
si las u´nicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga con-
stantes; es decir, no convergen sino las inevitables.
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5.3 Sucesiones 83
EJEMPLO 5.8
Un espacio discreto es de convergencia trivial.
EJEMPLO 5.9
El espacio de Arens-Fort X = (N×N) ∪ {w} (pa´g. 22) es un espacio de
convergencia trivial:
1. Ninguna sucesio´n puede converger a un punto de N × N a menos
que a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntos
unitarios son abiertos.
2. Ninguna sucesio´n puede converger a w. Si xn → w entonces cada
fila contendra´, a lo ma´s, finitos te´rminos de la sucesio´n. Excluyendo
estos te´rminos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto
abierto que contiene a w y no contiene los te´rminos de la sucesio´n.
Por supuesto, este espacio no es discreto y adema´s no es 1-contable
precisamente en el punto w, pues de existir una base local Bw =
{B1, B2, . . .}, por cada i ∈ N existe xi = (mi, ni) ∈ Bi con mi, ni > i;
esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan a
la derecha de la diagonal como queramos. Luego el conjunto Uw =
(X − {xi | i ∈ N}) ∪ {w} es un abierto y por supuesto ningu´n Bn
satisface Bn ⊆ Uw.
Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergencia
en el sentido de la siguiente proposicio´n.
Proposicio´n 5.16. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcio´n continua
entre espacios. Si xn → x entonces f(xn)→ f(x).
Demostracio´n. Si (f(xn)) no converge a f(x), existe Vf(x) tal que para
infinitos n ∈ N, f(xn) /∈ Vf(x); luego no existir´ıa Vx tal que f(Vx) ⊆
Vf(x), puesto que cada Vx contiene a partir de algu´n xk todos los dema´s
te´rminos de la sucesio´n.
Cuando una funcio´n f satisface la propiedad de la proposicio´n anteri-
or se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones.
Para los espacios me´tricos tenemos la siguiente caracterizacio´n de la
continuidad.
G
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84 Filtros, convergencia y continuidad
Teorema 5.17. Una funcio´n f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios me´tri-
cos es continua si y solo si dada xn → x entonces f(xn)→ f(x).
Demostracio´n. Por el teorema anterior basta probar que si la condicio´n
se tiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existir´ıa
un punto x ∈ X y una vecindad Vf(x) de f(x) para la cual no existe
Vx con f(Vx) ⊆ Vf(x). En otras palabras, ninguna bola Bε(x) satisface
que f(Bε(x)) ⊆ Vf(x), luego para cada n ∈ N existe un elemento xn de
X tal que xn ∈ B1/n(x) y f(xn) /∈ Vf(x). Claramente, para la sucesio´n
as´ı definida tenemos que xn → x, y de otra parte Vf(x) no contiene a
ningu´n f(xn), lo que niega la propiedad.
En la demostracio´n anterior lo realmente ba´sico para esta caracteri-
zacio´n de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local
contable en cada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar el
teorema anterior.
Teorema 5.18. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial
es equivalente a la continuidad en general.
Demostracio´n. Como el espacio de dominio de la funcio´n es 1-contable,
por cada x ∈ X existe Bx = {B1, B2, . . .}, base local encajada para el
punto x. Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos
la sucesio´n (xn) conveniente.
EJEMPLO 5.10
La identidad idR : (R, coenumerables) −→ (R, usual) es secuencial-
mente continua pero no es continua. ¿Que´ sucesiones convergen en
(R, coenumerables)?
La siguiente definicio´n extiende la nocio´n de convergencia hasta el
concepto de filtro.
Definicio´n 5.19. Sea F un filtro en (X,T). Decimos que F converge
al punto x ∈ X si F es ma´s fino que el filtro de vecindades de x. Lo
notamos F → x.
G
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UB
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5.3 Sucesiones 85
EJEMPLO 5.11
1. Si X es un espacio y x ∈ X, el filtro principal Fx → x. Si X tiene
la topolog´ıa discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otro
punto.
2. En Ru el filtro Fcofinitos no converge, pues todo punto tiene vecin-
dades que no pertenecen al filtro.
Nota. En un espacio me´trico (X, d) la topolog´ıa generada por la me´trica
puede describirse completamente en te´rminos de la convergencia de suce-
siones; esto es, un subconjunto A ⊆ X es cerrado si y solo si, dada (xn) K
una sucesio´n de puntos en A con xn → x, entonces debemos tener que
x ∈ A. Este resultado no se generaliza a espacios topolo´gicos arbitrarios.
Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables)
y sin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesio´n en A que es
convergente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesiones
constantes—.
En los espacios topolo´gicos, en general, no podemos caracterizar el
ser de Hausdorff —al menos sobre los que no son 1-contable— en te´rmi-
nos de la convergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de un
mecanismo de convergencia no en te´rminos de sucesiones. Veremos que
los filtros nos proporcionan este mecanismo.
La razo´n por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomar
un punto xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzados
a hacer un nu´mero no contable de escogencias. Esto no ser´ıa necesario
si el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable las
sucesiones son adecuadas para describir la topolog´ıa, en particular para
los espacios me´tricos. Pero para espacios ma´s generales necesitamos
cambiar la palabra sucesio´n por filtro.
Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto de
todos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) son
ma´s finos que V(x) el filtro de vecindades de x, y como V(x) ∈ Conv(x),
tenemos que V(x) = ⋂F Conv(x). Esto significa que la topolog´ıa de un
espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros.
A cada sucesio´n en un espacio se le asocia de manera cano´nica un
filtro de la manera siguiente.
Definicio´n 5.20. Sea (xn) una sucesio´n en el espacio X y para cada
G
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86 Filtros, convergencia y continuidad
n ∈ N consideremos la cola Xn = {xn, xn+1, . . .}. Definimos F(xn) el
filtro asociado a la sucesio´n como
F(xn) := {A ⊆ X | Xn ⊆ A para algu´n n ∈ N}.
F(xn) esta´ constituido por todos los subconjuntos de X que contienen
a casi toda la sucesio´n.
Teorema 5.21. Sean X un espacio y (xn) una sucesio´n en X. xn → x
si y solo si F(xn)→ x.
Demostracio´n. ⇒) Si xn → x entonces dada Vx tenemos por la definicio´n
de convergencia de sucesiones que Vx esta´ en el filtro asociado.
⇐) Si cada vecindad esta´ contenida en el filtro asociado a la sucesio´n,
entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ⊆ Vx.
El hecho que el concepto de filtro sea ma´s general que las propiedades
de vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topolo´gi-
cos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en te´rminos de filtros,
as´ı como la caracterizamos en te´rminos de convergencia de sucesiones.
Proposicio´n 5.22. Sea f : X −→ Y una funcio´n entre conjuntos. Dado
un filtro F en X, la coleccio´n
f(F) := {f(F ) | F ∈ F}
es una base para un filtro en Y notado f∗(F). Si f es sobref(F) =
f∗(F). Adema´s f∗ preserva el orden –la contenencia– entre filtros.
Demostracio´n. Es claro que cada elemento de f(F) es no vac´ıo. Dados
G1, G2 elementos de f(F), existen F1, F2 ∈ F con f(F1) = G1, f(F2) =
G2. Como F1 ∩ F2 ∈ F tenemos f(F1 ∩ F2) ⊆ f(F1) ∩ f(F2).
Si f es sobre, veamos que f(F) es un filtro. Supongamos que H ⊆ Y
es tal que G ⊆ H para algu´n G ∈ f(F). Existe F ∈ F para el cual
f(F ) = G. Luego F ⊆ f−1(G) y f−1(G) ∈ F , as´ı pues, F ⊆ f−1(H)
y por tanto f−1(H) ∈ F . Pero f(f−1(H)) = H por ser f sobre y esto
muestra que H ∈ f(F).
Para mostrar que f∗ es mono´tona, es suficiente mostrar que para
todo filtro F se tiene A ∈ f∗(F) si y solo si f−1(A) ∈ F . (Ejercicio)
G
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5.3 Sucesiones 87
Teorema 5.23. f : (X,T) −→ (Y,H) es continua en el punto x ∈ X si
y solo si para cada filtro F de X tal que F → x el filtro 〈f(F)〉 → f(x).
Demostracio´n. ⇒) Supongamos que f es continua y que F → x. Dada
Vf(x) vecindad de f(x), existe Vx con f(Vx) ⊆ Vf(x). Como Vx ∈ F ,
tenemos que Vf(x) ∈ 〈f(F)〉.
⇐) Si f no fuera continua en el punto x existir´ıa Vf(x) para la cual
ninguna vecindad Vx satisface f(Vx) ⊆ Vf(x). Claramente el filtro V(x)
de las vecindades de x converge a x; luego, 〈f(F)〉 deber´ıa converger a
f(x) y esto no puede suceder ya que Vf(x) /∈ 〈f(V(x))〉.
Ejercicios 5.3
1. Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que converge
es de convergencia u´nica.
2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismo
tipo de convergencia de sucesiones.
3. Muestre que si (X,T) es de convergencia trivial entonces es T1. ¿Se
tiene el rec´ıproco?
4. Muestre que si (X,T) es ma´s fino que (X, coenumerables) entonces
es de convergencia trivial.
5. Muestre que (X,Tp) —punto elegido— es de convergencia u´nica
excepto para la sucesio´n constante a p.
6. Sea (X,�) un conjunto linealmente ordenado y considere la topolog´ıa
Tad. Si X tiene un elemento mı´nimo, entonces todo filtro es con-
vergente.
7. Muestre que en (R, cofinitos) todo ultrafiltro es convergente.
8. Sea F un ultrafiltro en N ma´s fino que el filtro de Fre`chet. En el
conjunto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente
relacio´n: (an) ≡ (bn) si y solo si {n | an = bn} ∈ F . Muestre
que ≡ es de equivalencia. El conjunto R∗ := RN/ ≡ de las clases
de equivalencia es un modelo de los nu´meros reales no esta´ndar.
Demuestre que esta relacio´n es consistente con las operaciones de
G
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88 Filtros, convergencia y continuidad
suma, multiplicacio´n y orden asociado a las sucesiones. R∗ es un
modelo de un cuerpo ordenado no completo.
9. Sea f : (X, d) −→ (Y,m) una funcio´n continua entre espacios
me´tricos. Si definimos
d∗(x, y) := d(x, y) +m(f(x), f(y))
muestre que d, d∗ son topolo´gicamente equivalentes y, adema´s,
d∗ hace de f una funcio´n uniformemente continua. Sugerencia:
muestre que d, d∗ son equivalentes si
xn → x en (X, d) si y solo si xn → x en (X, d∗).
G
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6 Homeomorfismos –o geometr´ıa del
caucho–
En teor´ıa de conjuntos, dos conjuntos A,B se definen equivalentes
—iguales en algu´n sentido y el sentido es precisamente la definicio´n de
la relacio´n de equivalencia— si ellos tienen el mismo cardinal, es decir,
si existe una biyeccio´n f : A −→ B. Que f sea una biyeccio´n tambie´n
se puede expresar diciendo que existe g tal que f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A.
Al querer generalizar este concepto a los espacios topolo´gicos, a
ma´s de la cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pedir
una relacio´n entre las topolog´ıas de los dos espacios. En una categor´ıa
cualquiera D dados dos objetos A,B decimos que son equivalentes iso-
morfos si existen f ∈Mor(A,B) y g ∈Mor(B,A) tales que f ◦ g = 1B
y g ◦ f = 1A. Modelando esta definicio´n para el caso de los espacios
topolo´gicos obtenemos la siguiente definicio´n.
6.1. Homeomorfismos
Definicio´n 6.1. Dados dos espacios (X,T), (Y,H) decimos que X es
homeomorfo a Y —o que X es topolo´gicamente equivalente a Y
y notamos X ≈ Y— si existe una biyeccio´n f : X −→ Y con f y f−1
continuas.
La funcio´n f se llama un homeomorfismo y
U ∈ T ⇐⇒ f(U) ∈ H.
Un homeomorfismo f no es tan solo una relacio´n biun´ıvoca entre los
elementos de los espacios, sino que tambie´n lo es entre los elementos
abiertos de las topolog´ıas respectivas.
89
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90 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
Por tanto, cualquier afirmacio´n sobre un espacio que se exprese solo
en te´rminos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones
entre estos, es cierta para (X,T) si y solo si lo es para (Y,H).
La relacio´n de homeomorfismo definida en la clase de todos los espa-
cios topolo´gicos es de equivalencia —demue´strelo—. Y el gran objetivo
de la topolog´ıa es determinar que´ espacios pertenecen a una misma clase
de equivalencia. A cambio de estudiar cada espacio de manera individ-
ual, estudiamos su clase de equivalencia.
EJEMPLO 6.1
La redondez —es una sensacio´n— no afec-
ta para nada el hecho que dos subespacios
topolo´gicos de Rn sean homeomorfos. Dado
el segmento de recta L y el arco de circunfer-
encia S, ellos son homeomorfos y el homeo-
morfismo f es definido como en el dibujo que
muestra la proyeccio´n desde p.
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.......p• L S
EJEMPLO 6.2
El taman˜o —es subjetivo— no interesa en topolog´ıa, por ejemplo el
intervalo (−1, 1) y R, cada uno con la topolog´ıa usual, son homeomorfos
mediante f : R −→ (−1, 1) definida como f(x) = x
1 + |x| , la cual es
un homeomorfismo. Note que f tiene como inversa a g : (−1, 1) −→ R
donde g(x) =
x
1− |x| .
Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente.
EJEMPLO 6.3
La proyeccio´n estereogra´fica de S2−{p} en R2, donde el punto p =
(0, 0, 1) es el polo norte.
La funcio´n F es un homeomorfismo de S2−{p} en R2,
F (x, y, z) =
(
x
1− z ,
y
1− z , 0
)
.
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6.1 Homeomorfismos 91
F tiene como inversa a
G(u, v, 0) =
(
2u
u2 + v2 + 1
,
2v
u2 + v2 + 1
,
u2 + v2 − 1
u2 + v2 + 1
)
.
La proyeccio´n estereogra´fica env´ıa a una circunferencia ‘paralela’ al
ecuador en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cada
vez ma´s cercana al polo su imagen sera´ cada vez ma´s grande en el plano.
Un meridiano se env´ıa en una l´ınea recta.
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◦
p
F (x, y, z)
R2
(x, y, z)
!
S2
◦
•
•
◦
...................................................
...............................................................
Figura 6.1: La proyeccio´n estereogra´fica
Hay que estar atentos a los espacios involucrados. La funcio´n
f : [0, 1) −→ S1 que ‘dobla’ al intervalo sobre la circunferencia —como si
fuesen de alambre— f(x) = (cos 2pix, sin 2pix) es biyecctiva y continua
pero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 12) no es un abierto en S
1.
G
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92 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o caucho
en el sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal de
no perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlos
de lugar, son tan solo una manera vulgar —en el sentido de vulgo— de
co´mo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado. El sentido
de homeomorfismo es mucho ma´s amplio y formal.
Por ejemplo, esta figura como sube-
spacio de R3 es homeomorfa al toro sin
que sea posible deformar la una en la otra
—a la manera del caucho—. Se trata sim-
plemente de un Toro enredado como una
manguera —no nos importa el nu´mero de
vueltas— donde la u´nica manera de de-
senredarlo ser´ıa cortando, lo que es inter-
pretado como un paso no continuo.
Otro ejemplo es pensar en la cinta de Mo¨bius1, una tira de papel
donde los bordes ma´s pequen˜os se pegan —identifican— despue´s de dar
un giro de media vuelta. (Ver ejemplo 7.2).
Figura 6.2: Cinta de Mo¨bius.
Dos cintas de Mo¨bius (ver fig. 6.3) son homeomorfas si ambas tienen
un nu´mero impar de giros. Ellas son homeomorfas aunque en este mundo
real —de tres dimensiones— nos sea imposible deformar la una en la otra
a menos de romperlas. Si el nu´mero de giros es par, obtenemos un espacio
no homeomorfo a la cinta de Mo¨bius; se trata en efecto de un cilindro.
1August Ferdinand Mo¨bius (1790-1868), matema´tico y astro´nomo alema´n. Hizo el
descubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig. El
nombre de Mo¨bius esta´ ligado con muchos objetos matema´ticos importantes, como la
funcio´n de Mo¨bius, que introdujo en su art´ıculo de 1831 U¨ber eine besondere Art von
Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la fo´rmula
de inversio´n de Mo¨bius.
G
. R
UB
IA
NO
6.1 Homeomorfismos 93
Figura 6.3: Cintas de Mo¨bius homeomorfas con diferente nu´mero de giros.
Claro que la posibilidad o no de deformacio´n manual en estos ejem-
plos tiene relacio´n directa con la dimensio´n del espacio en que los hemos
construido y el espacio 3-dimensional en que actuamos.
Figura 6.4: Anillos homeomorfos.
As´ı como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romper-
lo, es por ello que su representacio´n sobre una hoja de papel necesari-
amente da el sentido de autointerseccio´n, mientras que en tres dimen-
siones s´ı lo podemos desatar o su representacio´n no se intercepta, se-
guramente en un mundo de cuatro dimensiones podr´ıamos desdoblar la
cinta de Mo¨bius sin romperla para deformar una de tres giros a una de
tan solo un giro. Algunas veces los autores prefieren eliminar este prob-
lema de la dimensio´n y la realizacio´n, suponiendo que en un modelo 3-
dimensional la autointerseccio´n no existe, por ejemplo la representacio´n
de una botella de Klein (ver fig. 6.5). Es como si el grosor no existiese;
en efecto, son verdaderas superficies de espesor igual a cero y, la botella
pudiera pasar a trave´s de s´ı misma.
Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones,
su interseccio´n la representamos como pasar por encima un trazo de l´ınea
sobre el otro —uno de los dos es interrumpido—.
G
. R
UB
IA
NO
94 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
Figura 6.5: Botella de Klein.
Una de las construcciones ma´s famosas en cuatro dimensiones es el
hipercubo —algo como un cubo de cubos— el cual fue imaginado en tres
dimensiones —desdoblado— y utilizado por Salvador Dal´ı en su pintura
del an˜o 1954 Hipercubo de Cristo (figura 6.6).
EJEMPLO 6.4
La circunferencia se deforma en un cuadrado. Sean la circunferencia
S1 = {(x1, x2) : x21 +x22 = 1} y el rombo R = {(x1, x2) | |x1|+ |x2| = 1}.
Definimos f : S1 −→ R como f((x1, x2)) =
(
x1
|x1|+ |x2| ,
x2
|x1|+ |x2|
)
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f
la cual es una biyeccio´n continua, con
inversa tambie´n continua
f−1((x1, x2)) =(
x1
(x12 + x22)1/2
,
x2
(x12 + x22)1/2
)
.
Verifique que las compuestas de estas
dos funciones corresponden a la identidad respectiva.
G
. R
UB
IA
NO
6.1 Homeomorfismos 95
Figura 6.6: Hipercubo de Cristo.
EJEMPLO 6.5
El plano punteado se deforma en un cilindro infinito.
Sean el plano punteado X = R2 − {(0, 0)} y el cilindroinfinito
Y = {(x1, x2, x3) | x12 + x22 = 1}.
Definimos h : X −→ Y como
h((x1, x2)) =
(
x1
(x12 + x22)1/2
,
x2
(x12 + x22)1/2
,
1
2
log(x12 + x22)
)
donde
h−1((x1, x2, x3)) = (x1ex3 , x2ex3) .
G
. R
UB
IA
NO
96 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
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h
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Figura 6.7: Del plano punteado al cilindro infinito.
Ejercicios 6.1
1. En un espacio la funcio´n ide´ntica es un homeomorfismo.
2. La composicio´n de homeomorfismos es un homeomorfismo.
3. Una biyeccio´n f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo si
y solo si
a) Para cada x ∈ X, f transforma la coleccio´n V(x) exactamente
en la coleccio´n V(f(x)).
b) f env´ıa la coleccio´n de todos los conjuntos abiertos de X
exactamente en la coleccio´n de todos los conjuntos abiertos
en Y .
c) Si B es una base para la topolog´ıa en X entonces
f(B) := {f(B) | B ∈ B}
es una base para el espacio Y .
4. Muestre que toda isometr´ıa f —d(x, y) = m(f(x), f(y))— de un
espacio me´trico sobre otro es un homeomorfismo para las topolog´ıas
inducidas por las respectivas me´tricas.
5. Considere las veintinueve topolog´ıas posibles para X = {a, b, c}.
¿Cua´ntas clases de equivalencia existen en Top(X)? (ver pa´g. 8).
6. Para X = {0, 1, 2, 3} considere las topolog´ıas
a) U = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}}
G
. R
UB
IA
NO
6.2 Invariantes topolo´gicos 97
b) V = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}.
La funcio´n idX : (X,U) −→ (X,V) es biyectiva, continua, pero no
es un homeomorfismo.
7. Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si
tienen la misma cardinalidad.
8. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo y sea (A,TA) un
subespacio de X. Muestre que la restriccio´n
f |A : (A,TA) −→ (f(A),Hf(A))
es un homeomorfismo.
9. Sean (X,≤), (Y,E) espacios totalmente ordenados. Una biyeccio´n
f : (X,T≤) −→ (Y,TE) es un homeomorfismo si y solo si f es
estrictamente creciente.
6.2. Invariantes topolo´gicos
Algunos autores definen la topolog´ıa como el estudio de las propiedades
del espacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete a
homeomorfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topolo´gicos.
Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir el
plano en dos regiones —teorema de Jordan2— es un invariante topolo´gi-
co; si transformamos la circunferencia en una elipse, o en el per´ımetro
de un tria´ngulo, etc., esta propiedad se mantiene.
Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseer
en cada punto una u´nica recta tangente no es una propiedad topolo´gica,
pues el tria´ngulo no la posee en cualquiera de sus puntos ve´rtices, a
pesar de poderse obtener como una imagen homeomorfa del c´ırculo.
Definicio´n 6.2. Una propiedad P del espacio X se llama un invariante
topolo´gico si todo espacio Y ≈ X tambie´n satisface a P .
2Camille Jordan (Lyon 1838-Par´ıs 1922), matema´tico france´s, conjeturo´ y
creyo´ haber demostrado el teorema que llevar´ıa su nombre, pero dicha demostracio´n
era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murio´ sin haberlo demostrado rig-
urosamente. La primera demostracio´n satisfactoria del teorema de Jordan debio´ es-
perar hasta 1905, y se debe a O. Veblen. Ma´s tarde surgieron generalizaciones para
n dimensiones con E. J. Brower, demostradas por J. W. Alexander en 1922.
G
. R
UB
IA
NO
98 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
Cualquier propiedad que sea definida en te´rminos de los miembros del
espacio y de la topolog´ıa sera´ automa´ticamente un invariante topolo´gi-
co. Formalmente, la topolog´ıa es el estudio de los invariantes topolo´gi-
cos.
EJEMPLO 6.6
La propiedad de ser 2-contable es un invariante topolo´gico.
En efecto, sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y X 2-contable; si
h : X −→ Y es un homeomorfismo y B = {B1, B2, . . .} es una base para
X, veamos que h(B) = {h(B1), h(B2), . . .} es una base para Y . Sean
V un abierto de Y y y ∈ V , entonces existe U tal que h−1(y) ∈ U y
h(U) ⊆ V . Por ser B una base, existe Bi tal que h−1(y) ∈ Bi ⊆ U .
Luego y ∈ h(Bi) ⊆ h(U) ⊆ V .
Nota. La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topolo´gico, pero
au´n ma´s: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar la
invarianza topolo´gica —es decir, la imagen continua de un espacio de
Lindeloff es de nuevo de Lindeloff —. Sin embargo, este no siempre es el
caso, es decir, existen propiedades donde no es suficiente la continuidad
en un solo sentido; por ejemplo
idR : Ru −→ (R, grosera)
es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundo
no. Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topolo´gico.
La utilidad de los invariantes topolo´gicos es obvia en el sentido
que, si pretendemos saber cua´ndo dos espacios topolo´gicos son equiva-
lentes, basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de los
dos espacios la posea mientras que el otro no, lo cual establece que no
pertenecen a una misma clase.
Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respecto
a las propiedades que son invariantes:
¿Cua´ndo los subespacios heredan la propiedad?
¿Co´mose comportan las funciones continuas con respecto a la
propiedad?
G
. R
UB
IA
NO
6.2 Invariantes topolo´gicos 99
¿La propiedad se comporta de manera especial en los espacios
me´tricos?
¿La propiedad es productiva? —comportamiento en el producto
de espacios—.
El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos sus
espacios equivalentes tambie´n lo sean.
Teorema 6.3. Sean (X,T), (Y,H) espacios homeomorfos y h : X −→ Y
un homeomorfismo. Si X es metrizable entonces Y es metrizable.
Demostracio´n. Sea d una me´trica en X que genera la topolog´ıa T. Defin-
imos
d∗ : Y × Y −→ R, como d∗(y1, y2) := d(h−1(y1), h−1(y2)).
d∗ es una me´trica, ¡demue´strelo!. Veamos que si W = 〈d∗〉 entonces
W = H. Primero verifiquemos que H ⊆ W, i. e., que si V ∈ entonces V
se puede expresar como reunio´n de bolas en d. Sean V ∈ H y y ∈ V ; como
h−1(y) ∈ h−1(V ) ∈ T, existe Bdε
(
h−1(y)
) ⊆ h−1(V ) —una bola segu´n
d— y para este ε se tiene que Bd
∗
ε (y) ⊆ V , pues dado z ∈ Bd
∗
ε (y) —lo
que es igual a decir que d∗(y, z) < ε— tenemos d(h−1(z), h−1(y)) < ε,
lo que implica h−1(z) ∈ Bdε (h−1(y)) ⊆ h−1(V ), es decir z ∈ V .
Para ver que W ⊆ H tomemos W ∈ W y z ∈ W . Existe Bd∗ε (y) con
z ∈ Bd∗ε (y). Como h−1(z) ∈ Bdε
(
h−1(y)
)
tenemos z ∈ h (Bdε (h−1(y))).
Pero Bdε (h
−1(y)) ∈ T implica h(Bdε (h−1(y))) ∈ H pues h es homeo-
morfismo y adema´s h(Bdε (h
−1(y)) esta´ contenido en Bd∗ε (y); por tanto,
Bd
∗
ε (y) es unio´n de elementos de H y esto implica que W tambie´n es
unio´n de elementos de H.
La siguiente definicio´n da una propiedad invariante bajo homeomor-
fismo, la cual es tema central de muchos y diversos to´picos en matema´ticas.
Definicio´n 6.4. Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF si
cada funcio´n continua f : X −→ X deja al menos un punto fijo; esto es,
existe un x ∈ X tal que f(x) = x.
Encontrar una condicio´n necesaria y suficiente para que un espacio X
tenga la PPF no es fa´cil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidir
en algunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no.
G
. R
UB
IA
NO
100 Homeomorfismos –o geometr´ıa del caucho–
Teorema 6.5. La PPF es un invariante topolo´gico.
Demostracio´n. Sea h : X −→ Y un homeomorfismo entre espacios. Si X
tiene la PPF, veamos que Y tambie´n la tiene. Dada la funcio´n continua
f : Y −→ Y queremos encontrar un y ∈ Y tal que f(y) = y. La funcio´n
h−1 ◦ f ◦ h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a,
(h−1 ◦ f ◦ h)(a) = a, con lo que f(h(a)) = h(a); tomando y = h(a)
obtenemos el punto fijo para f .
EJEMPLO 6.7
El intervalo unidad I = [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio de los
reales tiene la PPF.
En efecto, dada f : I −→ I continua, definimos g : [0, 1] −→ R como
g(x) = f(x) − x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y
(x, f(x)). Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en algu´n punto
de [0, 1]. Si f(0) = 0 o f(1) = 1 ya lo hemos encontrado. Si f(0) > 0 y
f(1) < 1, tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0. Como g es continua, por el
teorema de Bolzano del ca´lculo elemental, existe x tal que g(x) = 0.
EJEMPLO 6.8
Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el se-
gundo no posee la PPF —¿por que´?—.
Uno de los teoremas del folklore de la teor´ıa de puntos fijos —su de-
mostracio´n usual utiliza te´cnicas de la topolog´ıa algebraica— conocido
como el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerrado
—homeomorfo al cuadrado [0, 1] × [0, 1]— tiene la PPF. Una manera
f´ısica de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza de
cafe´, revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el cafe´ de-
je de moverse. Cada part´ıcula de cafe´ tiene una posicio´n inicial y una
final. Como el movimiento fue suave, los puntos de la superficie, home-
omorfa a I×I, permanecen superficiales, de tal suerte que debe existir
un punto que regresa a la posicio´n inicial, esto es, su cafe´ no quedo´ bien
revuelto.
G
. R
UB
IA
NO
6.2 Invariantes topolo´gicos 101
Ejercicios 6.2
1. ¿S1 y (0, 1) con la topolog´ıa usual son homeomorfos?
2. Muestre que Sn no tiene la PPF para cada n ∈ N.
3. Sea X un espacio discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio.
Demuestre que Y ≈ X si y solo si Y es discreto (resp. indiscreta)
y X y Y tienen el mismo cardinal.
4. Muestre que en R, Tx ≈ Ty para todo x, y ∈ R.
5. Muestre que (R, [a,→)) y (R,Tx) no son homeomorfos.
6. * Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una biyeccio´n. Muestre que f es un
homeomorfismo si y solo si H es la topolog´ıa ma´s grande sobre Y
de las que hacen continua a f .
7. Considere en el producto N× [0, 1) el orden del diccionario o lexi-
cogra´fico y en R≥0 la topolog´ıa inducida por la usual de R. Pruebe
que estos espacios son homeomorfos.
G
. R
UB
IA
NO
7 Espacios de identificacio´n –cociente–
En un curso de a´lgebra se encuentran los conceptos de grupo cociente
o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al
conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados
en una relacio´n de equivalencia) dan una estructura algebraica a una
particio´n del grupo o del anillo.
En lo concerniente a la topolog´ıa, el concepto equivalente es el de es-
pacio cociente al dar una topolog´ıa a una particio´n del espacio donde
los elementos sera´n ahora las clases de equivalencia inherentes a la par-
ticio´n.
Si R es una relacio´n de equivalencia en el espacio X, ¿co´mo dar una
topolog´ıa al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia o
elementos de la particio´n) a partir de la topolog´ıa de X?
7.1. Topolog´ıa cociente
Dados un espacio (X,T) y una relacio´n R de equivalencia en el con-
junto X, queremos ante todo que la funcio´n cociente
q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x]
sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que
X/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua.
Definicio´n 7.1. Dados un espacio (X,T) y una relacio´n R definimos la
topolog´ıa cociente T/R para X/R como
T/R := {V ⊆ X/R : q−1(V ) es un abierto de X}.
102
G
. R
UB
IA
NO
7.1 Topolog´ıa cociente 103
Un subconjunto de X que es unio´n de elementos de una particio´n
se llama saturado. El conjunto saturado ma´s pequen˜o que contiene a
A ⊆ X se llama la saturacio´n de A. A es saturado si q−1(q(A)) = A, i.
e., A es igual a su saturacio´n.
V ⊆ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ⊆ X abierto y
saturado.
EJEMPLO 7.1
En el intervalo [0, 1] identificamos 0 ≡ 1. [0, 1]0≡1 ≈ S1. Tenemos que la
particio´n es {0, 1}⋃{{a} : a ∈ (0, 1)}.
Figura 7.1: Esquema para la construccio´n de S1.
EJEMPLO 7.2
Cinta de Mo¨biusa. Muchos espacios se construyen a trave´s de otro iden-
tificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de Mo¨bius.
aEsta superficie fue encontrada en 1858 por el matema´tico y astro´nomo alema´n,
August Mo¨bius (1790-1868). Mo¨bius fue estudiante y profesor de la Universidad de
Leipzig. Curiosamente, el escrito que Mo¨bius presento´ a la ‘Acade´mie des Sciences’ en
el cual discut´ıa las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado
despue´s de su muerte.
Figura 7.2: Esquema para la construccio´n de una cinta de Mo¨bius.
A partir del recta´ngulo X = [0, 3] × [0, 1] con la topolog´ıa T de sube-
spacio de R2 hacemos la identificacio´n R esquematizada por la figura
G
. R
UB
IA
NO
104 Espacios de identificacio´n –cociente–
7.2 (observe la orientacio´n de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 − y) y los
dema´s puntos so´lo se relacionan con s´ı mismos.
(0, y)
(3, 1− y)
Figura 7.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Mo¨bius.
La preimagen de un disco abierto en la cin-
ta es, o bien el conjunto formado por los
dos semidiscos abiertos, o un disco abier-
to interior al recta´ngulo. En todo caso se
trata de un abierto en X/Rpues su preim-
agen por q corresponde a un abierto en la
topolog´ıa del recta´ngulo (fig. 7.3).
La construccio´n anterior, hecha sobre una relacio´n de equivalencia,
puede ser tambie´n descrita en te´rminos de la particio´n.
Definicio´n 7.2. Sea (X,T) un espacio y sea R = {Ai} una particio´n
o descomposicio´n de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el es-
pacio identificacio´n o cociente, como sigue. Los puntos de Y son
los miembros de R y si q : X −→ Y es la funcio´n cociente q(x) 7→ Ai
si x ∈ Ai, la topolog´ıa para Y es la ma´s grande para la cual q es con-
tinua, es decir, U ⊆ Y es abierto si y solo si q−1(U) es abierto en X.
Esta topolog´ıa se llama identificacio´n o cociente para la particio´n R
y notamos T/R:
T/R := {U ⊆ Y : q−1(U) es un abierto de X}.
Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identifica-
dos a un solo punto por medio de R. Como cada particio´n R genera una
relacio´n de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y
tambie´n es notado como Y = X/R. De suerte que
U es abierto en X/R si y solo si q−1(U) =
⋃
[x]∈U [x] ∈ T.
G
. R
UB
IA
NO
7.1 Topolog´ıa cociente 105
La continuidad para estos espacios identificacio´n esta´ determinada
por la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teo-
rema de gran utilidad en topolog´ıa.
Teorema 7.3. Sean X/R un espacio identifi-
cacio´n, Z un espacio y f : X/R −→ Z. f es
continua si y solo si f ◦ q es continua –donde
q : X −→ X/R. (Si el domino es un cociente lo
podemos remplazar por el espacio).
X X/R
Z
-q
@
@
@
@R
f◦q
?
f
Demostracio´n. Si f es continua claramente f ◦q tambie´n lo es. En el otro
sentido, asumamos que f ◦ q es continua y sea U ⊆ Z con U ∈ T. Para
ver que f−1(U) es un abierto de X/R debemos tener que q−1(f−1(U))
sea abierto de X, es decir, (f ◦ q)−1(U) lo sea.
7.1.1. Descomposicio´n cano´nica por una funcio´n
Dada una funcio´n sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la
coleccio´n de las fibras Rf := {f−1(y)}y∈Y determina una particio´n en
X.
La funcio´n cociente q : X −→ X/Rf satis-
face q(x) = [x] = f−1(f(x)); luego la funcio´n
hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f(x)
o hf (f−1(y)) = y esta´ bien definida y es una
biyeccio´n.
X X/Rf
Y
-q
@
@
@
@R
f
?
hf
Teorema 7.4. Si X,Y son espacios y f : X −→ Y es continua, entonces
hf : X/Rf −→ Y es continua. (Como f = hf◦q decimos que el diagrama
representa la descomposicio´n cano´nica de f).
Demostracio´n. Dado U un abierto de Y , tenemos h−1f (U) = q(f
−1(U)),
con lo cual
q−1(h−1f (U)) = q
−1(q(f−1(U)) = f−1(U),
y como f−1(U) es abierto en X, tenemos que h−1f (U) es abierto en X/Rf
por la definicio´n de la topolog´ıa cociente.
G
. R
UB
IA
NO
106 Espacios de identificacio´n –cociente–
Podemos ahora preguntarnos que´ tanto se identifica, i. e., ¿cua´ndo
hf es un homeomorfismo? (teorema 7.5), esto es, ¿cua´ndo h−1f (y) =
f−1(y) es continua?
Teorema 7.5. Sean X,Y dos espacios y f : X → Y continua y so-
breyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf −→ Y es un
homeomorfismo.
Demostracio´n. Supongamos que f es abierta y veamos que hf tambie´n lo
es. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf , entonces hf (U) = f(q
−1(U))
el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostracio´n se deja
como ejercicio.
La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente
q : X −→ X/R.
Definicio´n 7.6. Sean (X,T) un espacio, Y un conjunto y f : X −→ Y
una funcio´n sobreyectiva. La topolog´ıa cociente o identificacio´n sobre
Y es la coleccio´n
T
f
Y = {V ⊆ Y | f−1(V ) ∈ T}.
La topolog´ıa cociente algunas veces se llama la topolog´ıa final con re-
specto a la funcio´n f .
La topolog´ıa TYf es mucho ma´s que requerir la continuidad, pues la
requiere de la ‘mejor’ manera (la ma´s fina sobre Y que hace que f
sea continua), por eso algunas veces se conoce como topolog´ıa de
continuidad fuerte. El siguiente teorema es la razo´n por la cual los
espacios de identificacio´n son tambie´n llamados cociente.
El siguiente teorema generaliza al teorema 7.3.
Teorema 7.7. Supongamos que Y tiene
la topolog´ıa cociente TfY para la funcio´n
f : (X,T) −→ Y . Entonces
1. f : X −→ Y es continua, y
2. Una funcio´n g : Y −→ Z es continua si y
solo si g ◦ f lo es.
X Y
Z
-f
@
@
@@R
g◦f
?
g
La topolog´ıa cociente es la u´nica topolog´ıa sobre Y con estas dos propiedades.
G
. R
UB
IA
NO
7.1 Topolog´ıa cociente 107
Demostracio´n. Por la definicio´n de TfY la continuidad de f es inmediata
pues f−1(TfY ) ⊆ T (teorema 4.2).
Si g es continua entonces lo es la compuesta g ◦f . En el otro sentido,
supongamos que g ◦ f es continua y tomemos un abierto U ⊆ Z, entonces
(g◦f)−1(U) = f−1(g−1(U)) es abierto pues g◦f es continua, con lo cual
g−1(U) es abierto por definicio´n de la topolog´ıa identificacio´n.
Finalmente, no´tese que la funcio´n ide´ntica idY : (Y,T
f
Y ) −→ (Y,H)
es un homeomorfismo si Y esta´ equipado de una topolog´ıa H con estas
propiedades.
Definicio´n 7.8. Una funcio´n sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es una
funcio´n cociente si la topolog´ıa sobre Y es la topolog´ıa cociente.
Esto significa que una funcio´n sobreyectiva f : (X,T) −→ Y es una
funcio´n cociente si y solo si para todo V ⊆ Y . K
f−1(V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y.
En este caso decimos que Y es un espacio de identificacio´n —la
razo´n para este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio
cociente, teorema 7.9—.
Teorema 7.9. Sean X,Y espacios y f : X −→ Y una funcio´n cociente.
Entonces Y ≈ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—.
Demostracio´n. Veamos que hf es abierta, esto
es, h−1f es continua. Sea U un subconjunto abier-
to de X/Rf . Como f es una funcio´n cociente,
basta mostrar que f−1(hf (U)) es abierto en X.
Pero f−1(hf (U)) = q−1(U) y como q es contin-
ua, tenemos que q−1(U) es abierto. Si observa-
mos que hf ◦ q = f obtenemos que h−1f ◦ f = q
es continua y como f es una cociente, por el
teorema anterior h−1f es continua.
X X/Rf
Y
-q
@
@
@
@R
f
?
≈hf
¿Co´mo podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo que´ condi-
ciones una topolog´ıa dada proviene de una funcio´n cociente? Parte de
la respuesta la da el siguiente teorema.
G
. R
UB
IA
NO
108 Espacios de identificacio´n –cociente–
Teorema 7.10. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si adema´s
f es abierta o cerrada, entonces f es una funcio´n cociente, i. e., H=
TYf .
Demostracio´n. Debemos ver que H = TfY . Claramente H ⊆ TfY por la
definicio´n de TfY .
Para la contenencia TfY ⊆ H tomemos U ∈ TfY ; como f−1(U) es
abierto entonces U = f(f−1(U)) es un abierto en H, puesto que la
funcio´n f es abierta y sobreyectiva.
Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’
por ‘cerrado’.
Corolario 7.11. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y sobre. Si adema´s
X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funcio´n cociente.
Demostracio´n. El concepto de compacto se define en el cap´ıtulo 7 donde
adema´s se muestra que con la hipo´tesis del corolario 7.11 f es cerrada.
EJEMPLO 7.3
Sean X = [0, 2pi] y Y = S1. f : X −→ Y definida como f(x) :=
(cos(x), sen(x)) es una identificacio´n, con lo cual S1 ≈ [0, 2pi]/R donde
R identifica los extremos, i. e., a 0 con 2pi.
EJEMPLO 7.4
El toro. Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topolog´ıa de subespacio usual de
R2. Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relacio´n
R (ver figura 7.4).
1. {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican.
2. {(x, 0), (x, 1)} para cada x ∈ (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior con
el borde superior.
3. {(0, y), (1, y)} para cada y ∈ (0, 1): ‘pegamos’ los lados.
4. {(x, y)} para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia.
G
. R
UB
IA
NO
7.1 Topolog´ıa cociente 109Figura 7.4: Una particio´n sobre I × I que conduce al Toro
El espacio T asociado a esta particio´n es el toro, tambie´n descrito
como T = S1 × S1, el producto de dos circunferencias.
Estas dos descripciones coinciden. Definimos
f : [0, 1]× [0, 1]→ S1 × S1
como f(x, y) =
(
e2piix, e2piiy
)
donde e2piix := (cos 2pix, sin 2pix) y e2piiy :=
(cos 2piy, sin 2piy). La relacio´n Rf en [0, 1]× [0, 1] definida por la funcio´n
f , es decir
Rf = {f−1(a) : a ∈ T}
es exactamente la particio´n inicial R; luego, por el corolario 7.11
[0, 1]× [0, 1]/Rf ≈ S1 × S1
ya que como [0, 1] × [0, 1] es compacto y S1 × S1 es de Hausdorff, f
resulta ser una identificacio´n.
Figura 7.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.
G
. R
UB
IA
NO
110 Espacios de identificacio´n –cociente–
EJEMPLO 7.5
Nuevamente en X = [0, 2pi] × [0, 2pi] —nuestra hoja de papel— consid-
eramos una relacio´n definida como en el esquema de la figura 7.6, donde
los lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales iden-
tifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —como
lo hab´ıamos hecho en la cinta de Mo¨bius— y es aqu´ı donde surge la im-
posibilidad de realizacio´n en tres dimensiones; y hablamos de botella ya
que esta construccio´n se conoce como botella de Klein
Figura 7.6: Botella de Klein.
Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una ca´ıda que pro-
dujera una rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendr´ıamos dos cintas
de Mo¨bius! Esto es, la botella de Klein es obtenible v´ıa sutura para los
dos bordes de dos cintas de Mo¨bius, pero el coser estos dos bordes es
imposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea
ma´s que una circunferencia —¡inte´ntelo!—
Ejercicios 7.1
1. Muestre que la topolog´ıa cociente es en efecto una topolog´ıa y que
es la ma´s fina para la cual la funcio´n proyeccio´n es continua.
2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topolog´ıa cociente
si es la imagen de un conjunto saturado y cerrado.
G
. R
UB
IA
NO
7.1 Topolog´ıa cociente 111
Figura 7.7: Botella de Klein partida por la mitad.
3. Sean ≡, ∼ relaciones de equivalencia sobre los espacios X,Y re-
spectivamente. Dada una funcio´n continua f : X −→ Y tal que
a ≡ b implica f(a) ∼ f(b) entonces f̂ : X/≡ −→ Y/∼ definida por
f̂([x]) = [f(x)] es una funcio´n bien definida y continua.
4. Sea f : X −→ Y una funcio´n cociente. Decimos que A ⊆ X es
f-saturado o f -inverso si f−1(f(A)) = A.
a) Muestre que A es f–saturado si existe B tal que A = f−1(B).
b) ¿Co´mo caracterizar los abiertos en una funcio´n cociente? Los
abiertos de Y son precisamente las ima´genes por f de los
subconjuntos abiertos f -saturados de X.
c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una funcio´n cociente?
5. ¿Es la composicio´n de funciones cociente una funcio´n cociente?
6. Sea f : X −→ Y sobreyectiva. Muestre que f es una funcio´n
cociente si para todo V ⊆ Y se tiene
f−1(V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y.
7. Muestre que una biyeccio´n continua es una funcio´n cociente si y
solo si es un homeomorfismo.
8. Muestre que la topolog´ıa TfY es la mejor —ma´s fina— que hace a
f continua.
G
. R
UB
IA
NO
8 La topolog´ıa producto
Dados dos conjuntos X,Y , una construc-
cio´n familiar es su producto cartesiano,
el cual se define —de manera anal´ıtica—
como X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.
Visto X × Y de otra manera — sinte´tica
y no anal´ıtica— tenemos lo siguiente.
C
X Y
X × Y
�����
f HHHHj
g
?
[f,g]
HH
HY
p
X
��
�*
p
Y
8.1. Definicio´n sinte´tica de producto entre conjuntos
Si tomamos a X,Y como objetos en la categor´ıa de los conjuntos,
este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera
natural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X × Y −→ X y
pY : X×Y −→ Y . La propiedad fundamental de este objeto X×Y y de
las flechas pX , pY que adema´s lo caracteriza es: si existe otro conjunto
C con dos funciones f : C −→ X, g : C −→ Y entonces estas funciones
las podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existe
una u´nica funcio´n [f, g] : C −→ X × Y tal que el diagrama conmuta, i.
e., f = pX ◦ [f, g] y g = pY ◦ [f, g].
Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del pro-K
ducto cartesiano. Su valor consiste en que no hace referencia a la parte
intr´ınseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus
flechas tienen dentro de la categor´ıa de los conjuntos —factoriza tanto
a f como a g— lo cual nos da una visio´n sinte´tica del concepto.
Otro ejemplo en esta l´ınea de pensamiento —no anal´ıtico— es el
de las funciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A,B
una funcio´n f : A −→ B notada como f ∈ Mor(A,B) es inyectiva si
112
G
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NO
8.2 La topolog´ıa producto –caso finito– 113
dados cualquier conjunto C y cualquier par de flechas m,n que satisfacen
f ◦m = f ◦ n podemos concluir m = n (cancelacio´n a izquierda).
La ventaja de mirar estos conceptos en te´rminos de flechas y dia-
gramas consiste en que los podemos generalizar a categor´ıas donde el
concepto no depende de la definicio´n puntual —por elementos— de un
conjunto.
8.2. La topolog´ıa producto –caso finito–
Una tarea importante en topolog´ıa es construir nuevos espacios a
partir de los ya conocidos. La seccio´n anterior motiva la definicio´n de
producto para dos espacios topolo´gicos, donde adema´s de mirar la parte
conjuntista debemos hacer intervenir la estructura topolo´gica; es decir,
dados (X,T), (Y,H) dos espacios topolo´gicos, el producto X × Y de los
dos espacios debe tener una topolog´ıa que haga que las dos proyecciones
sean morfismos topolo´gicos, es decir, las dos funciones pX : X×Y −→ X
y pY : X × Y −→ Y ‘deben’ ser continuas.
Como pX debe ser continua, dado un abierto U ⊆ X, p−1X (U) = U×Y
debe ser abierto en X×Y ; similarmente p−1Y (V ) = X×V debe ser abierto
si V lo es en Y . As´ı que tanto U × Y como X × V deben ser abiertos,
y puesto que queremos una topolog´ıa en X × Y la interseccio´n de los
abiertos tendra´ que ser un abierto, i. e., (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × V
debe ser un abierto de X × Y .
Proposicio´n 8.1. Dados (X,T), (Y,H) espacios, la coleccio´n
B = {U × V : U ∈ T, V ∈ H}
es base para una topolog´ıa en X × Y .
Demostracio´n. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1, B2 en B con
B1 = U1 × V1, B2 = U2 × V2. Dado (m,n) ∈ B1 ∩ B2 existe B3 =
(U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2) tal que (m,n) ∈ B3 ⊆ B1 ∩B2 con B3 ∈ B.
La topolog´ıa de la proposicio´n anterior se llama topolog´ıa produc-
to en X × Y para los espacios (X,T), (Y,H).
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114 La topolog´ıa producto
La topolog´ıa producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidad
posible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas,
o en otras palabras, la topolog´ıa producto es la interseccio´n de todas
las topolog´ıas en X × Y que hacen las proyecciones continuas.
Definimos la topolog´ıa producto para un nu´mero finito de espacios
topolo´gicos X1, . . . , Xn como la topolog´ıa generada por la subbase S
formada por la coleccio´n de las ima´genes inversas de abiertos por medio
de las proyecciones
S = {p−1i (Ui) : Ui abierto de Xi, i = 1, . . . , n}.
Los conjuntos
p−1i (Ui) = X1 ×X2 × · · · × Ui × · · · ×Xn = Ui ×
∏
j 6=i
Xj
se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de la
base generada (llamados cajas abiertas) son de la forma
B = U1 × U2 × · · · × Un. (8.1)
Ejercicios 8.2
1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero?
2. ¿Co´mo es la topolog´ıa para el producto de dos espacios, uno con
la topolog´ıa discreta y el otro con la topolog´ıa grosera?
3. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios topolo´gicos. Muestre que si BX ,
BY son bases para X, Y respectivamente, entonces
BX ×BY = {BX ×BY : BX ∈ BX , BY ∈ BY }es una base para el espacio producto.
4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base local
en el punto (x, y) ∈ X × Y a partir de bases locales para x y y
respectivamente?
5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio
2–contable.
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NO
8.3 La topolog´ıa producto —caso infinito— 115
6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entonces
A×B es cerrado en X × Y . ¿Se tiene la rec´ıproca?, i. e., ¿es todo
cerrado un producto de cerrados?
Sugerencia: (X × Y )/(A×B) = ((X/A)× Y ) ∪ (X × (Y/B)).
7. Muestre que X × Y es ‘cano´nicamente’ isomorfo a Y ×X.
8. Muestre que (R, usual)× (R, usual) = (R2, usual).
9. ¿Es pX : X×Y −→ X una funcio´n abierta? ¿Una funcio´n cerrada?
10. * Sean (X,<), (Y,<) dos conjuntos ordenados linealmente. Muestre
que si Y no tiene ma´ximo ni mı´nimo entonces la topolog´ıa del or-
den (X × Y )< es igual a la producto Xd × Y< donde Xd es X con
la topolog´ıa discreta y Y< es Y con la del orden. Esta topolog´ıa
(X × Y )< es ma´s fina que la producto X< × Y<.
Sugerencia: muestre que
(←, (a, b)) =
(⋃
x<a
{x} × Y
) ⋃
({a} × (←, b)) .
11. Cuando (X,<), (Y,<) son dos conjuntos ordenados linealmente
tenemos dos topolog´ıas para (X × Y ), la producto X< × Y< y
la del orden para el producto (X × Y )<, donde Y< es Y con la
del orden. Estas topolog´ıas en general no son iguales, ma´s au´n, ni
siquiera comparables.
Considere el caso de N con el orden usual.
8.3. La topolog´ıa producto —caso infinito—
Recordemos que para una familia indizada de conjuntos {Xi}, (i ∈ I)
su producto cartesiano
∏
Xi, (i ∈ I) se define como el conjunto de las
funciones {
x : I −→
⋃
i∈I
Xi
∣∣∣ x(i) ∈ Xi}
donde normalmente escribimos xi a cambio de x(i) y la llamamos la
coordenada i -e´sima de x = (xi)i∈I . El axioma de eleccio´n nos dice que
este conjunto producto es no vac´ıo si cada factor Xi no lo es.
G
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UB
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NO
116 La topolog´ıa producto
Este concepto conjuntista del producto se puede caracterizar en te´rmi-
nos sinte´ticos por medio de las funciones proyeccio´n ‘que seleccionan
una coordenada espec´ıfica de cada (xi)’.
pj :
∏
i∈I
Xi −→ Xj , pj((xi)) = xj para cada j ∈ I.
De manera ana´loga al caso finito, la topolog´ıa producto para una fa-
milia {(Xi,Ti)}, (i ∈ I) de espacios topolo´gicos debe garantizar que las
proyecciones sean continuas; es decir, dados i ∈ I y cualquier Ui abierto
de Xi el subconjunto p−1i (Ui) debe ser abierto en
∏
i∈I Xi.
As´ı que definimos como topolog´ıa producto la generada por la
subbase S conformada por los cilindros abiertos p−1i (Ui), exactamente
S = {p−1i (Ui) | Ui ∈ Ti, i ∈ I}.
De suerte que los abiertos U que conforman la base son las cajas
abiertas formadas por la interseccio´n de finitos cilindros, i. e., U =⋂n
k=1 p
−1
ik
(Uik) o, de manera equivalente,
U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×
∏
i∈I
Xi, i 6= i1, i2, . . . , in.
Esto es, U es un producto donde todos los espacios coordenados son
los Xi salvo para un nu´mero finito de ı´ndices ik donde tenemos abiertos
propios de cada uno de los espacios indizados. Finalmente, un abierto
de la topolog´ıa producto algunas veces llamada topolog´ıa producto de
Tychonoff1, sera´ todo lo que podamos expresar como unio´n de cajas
abiertas.
Una manera pra´ctica de visualizar los elementos de la subbase es
presentar cada espacio Xi como un segmento de recta —¿mirarlo de
lado?— y observar que p−1i (Ui) consiste de todas las funciones (xi) en
el producto que asignan a cada ı´ndice j 6= i un punto cualquiera de Xj
pero a la coordenada i le debe asignar un punto dentro del abierto Ui;
esto es, tenemos todas las funciones que pasan a trave´s del intervalo Ui
ubicado en la recta vertical que representa al espacio coordenado Xi.
(Ver fig. 8.2).
1Andrey Nikolayevich Tychonoff (1906-1993), matema´tico ruso, ce´lebre por intro-
ducir esta topolog´ıa en 1929 y demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual
tambie´n esta´ asociado a una clase de espacios.
G
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8.3 La topolog´ıa producto —caso infinito— 117
Figura 8.1: Andrei N. Tychonoff y Pavel S. Alexandroff.
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◦
◦
X1 X2 X3 Xi
· · · · · ·
Figura 8.2: Un elemento en la subbase de la topolog´ıa producto de Tychonoff.
EJEMPLO 8.1
Topolog´ıa caja. Para el caso infinito el producto arbitrario de abiertos
—cajas infinitas— no tiene por que´ ser un abierto en la topolog´ıa pro-
ducto de Tychonoff, pues solo para finitos ı´ndices estos factores abiertos
pueden ser diferentes del espacio. Si tomamos como base para una nueva
topolog´ıa los conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es,
definimos ×Ui una caja, como
×Ui :=
∏
i∈I
Ui, con Ui abierto en Xi
G
. R
UB
IA
NO
118 La topolog´ıa producto
obtenemos la llamada topolog´ıa caja2, la cual posee ma´s abiertos que
nuestra topolog´ıa producto y por tanto la contiene. Por supuesto, en el
caso de un nu´mero finito de ı´ndices, la topolog´ıa caja coincide con la
topolog´ıa producto.
A menos que se especifique otra cosa, cuando hablemos del espacio
producto
∏
i∈I Xi entendemos que la topolog´ıa involucrada es la produc-
to de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topolog´ıa caja adolece
de ciertos defectos como:
Posee demasiados abiertos si lo que queremos es hacer a las proyec-
ciones continuas.
No siempre el producto de espacios compactos es compacto.
No siempre el producto de espacios conexos es conexo.
La continuidad de una funcio´n que llega a un espacio producto
no puede ser caracterizada en te´rminos de la continuidad de las
funciones coordenadas.
Aun en el caso de productos enumerables no se garantiza que el
producto de espacios 1-contable es 1-contable.
La siguiente proposicio´n realza las propiedades de las funciones proyec-
cio´n.
Proposicio´n 8.2. Si
∏
i∈I Xi es un espacio producto, para cada i ∈ I
la proyeccio´n pi :
∏
i∈I Xi −→ Xi es continua, abierta y sobreyectiva.
Demostracio´n. Por la definicio´n de producto cartesiano es inmediato
que cada proyeccio´n es sobre. La continuidad se sigue de la definicio´n de
la topolog´ıa producto. Para mostrar que cada proyeccio´n pi es abierta
basta considerar los abiertos ba´sicos de X, puesto que para toda funcio´n
la imagen de la unio´n de una familia es la unio´n de la familia de las
ima´genes. Sea
U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×
∏
Xi, i 6= i1, i2, . . . , in
un abierto ba´sico; si i = ik entonces pi(U) = Uik ; si i 6= i1, i2, · · · , in
entonces pi(U) = Xi. En cualquier caso pi(U) es abierto en Xi.
2Introducida por H. Tietze en Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann.
88, 280-312, (1923), e histo´ricamente anterior a la introducida por Tychonoff.
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8.4 Propiedades productivas 119
8.4. Propiedades productivas
Las propiedades topolo´gicas pose´ıdas por un espacio producto de-
penden, por supuesto y en gran medida, de las propiedades pose´ıdas por
los espacios factores.
Definicio´n 8.3. Una propiedad P de un espacio se dice productiva
si un espacio producto X =
∏
i∈I Xi tiene a P cuando cada espacio
coordenado Xi tiene a P.
A continuacio´n veremos varios teoremas concernientes a propiedades
productivas.
Teorema 8.4. Un espacio producto
∏
i∈I Xi satisface la propiedad Tk
de separacio´n (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor Xi es un espacio Tk.
Demostracio´n. ⇒) Supongamos que Xj no es un espacio Tk para algu´n
j ∈ I. Existe entonces un par de puntos aj , bj ∈ Xj para los cuales
el axioma Tk no se tiene. Por cada ı´ndice i 6= j escojamos un punto
xi = ai = bi ∈ Xi, con lo que los puntos a = (ai), b = (bi) son ide´nticos
excepto por la coordenada j–e´sima. La propiedad Tk falla entonces para
el par de puntos a, b del producto ya que no los podemos separar.
⇐) Si a = (ai), b = (bi) son dos puntos diferentes existe al menos
un ı´ndice j ∈ J tal que aj 6= bj . Si Xj es T2 existen vecindades Vaj , Vbj
abiertas y disyuntas. Los abiertos Ua = p−1j (Vaj ) y Ub = p
−1
j (Vbj ) son
disyuntos en el producto y adema´s a ∈ Ua, b ∈ Ub; por tanto,
∏
i∈I Xi
es de Hausdorff. Si lo que tenemos en cada espacio factor es la propiedad
T0 o T1, procedemos de manera similar.
Si el conjunto de ı´ndices I es enumerable —finito o infinito—, la
propiedad 1–contable es productiva.
Teorema 8.5. Un espacio producto X =
∏
i∈I Xi es 1-contable si y solo
si cada factor Xi es 1-contable y, a excepcio´n de un nu´mero contable de
ı´ndices, todos los espacios tienen la topolog´ıa grosera.
An˜adir a un producto de espacios, nuevos factores con la topolog´ıa
grosera, es como an˜adir nada.
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120 La topolog´ıa producto
Demostracio´n. ⇒) Cada espacio factor Xi es 1-contable, ya que esta
propiedad se transmite por funciones continuas, abiertas y sobreyectivas,
como es el caso de las proyecciones.
Supongamos que existe J ⊆ I, J no enumerable para el cual la
topolog´ıa en cada Xj (j ∈ J) no es la grosera, i. e., existe una vecindad
abierta no trivial Vj 6= Xj . Definimos x = (xi) con la condicio´n que
para las coordenadas j ∈ J , xj ∈ Vj . Como X es 1–contable, existe una
Bx base local enumerable, y por cada Bn ∈ Bx tenemos pi(Bn) = Xi
excepto para finitos ı´ndices i, ya que Bn contiene a un elemento de la
base de la topolog´ıa.
Al variar n en los Bn, la unio´n enumerable de estos finitos ı´ndices
es enumerable, y como J no es enumerable, existe un ı´ndice j ∈ J para
el cual pj(Bn) = Xj para todo Bn ∈ Bx. Pero para este j sabemos que
existe Vj 6= Xj , luego p−1j (Vj) es una vecindad abierta de x para la cual
no existe algu´n Bn ⊆ p−1j (Vj) y esto contradice a Bx como base local.
⇐) Supongamos que cada espacio factor Xi es 1–enumerable y que
adema´s existe K ⊆ I subconjunto enumerable tal que si i ∈ I − K
entonces Xi es grosero. Dado x = (xi) ∈ X veamos que existe una base
local enumerable Bx de x. Por cada xi sea Bxi una base local enumerable
en Xi —claramente Bxi = {Xi} si i ∈ I −K—. Sea
B = {p−1i (U) | i ∈ I, U ∈ Bxi}
la coleccio´n de las preima´genesde todas las bases locales que hemos
considerado. B es enumerable ya que para i ∈ I −K tenemos p−1i (U) =
X. Definimos Bx como la familia de todas las intersecciones finitas de
elementos de B con lo cual Bx es enumerable y es base local en x.
Cuando en un producto
∏
i∈I Xi todos los factores Xi son iguales a un
mismo espacio A, i. e., Xi = A para todo I ∈ I, notamos
AI =
∏
i∈I
Xi = {f | f : I −→ A =
⋃
i∈I
Xi}.
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8.4 Propiedades productivas 121
EJEMPLO 8.2
El conjunto de las sucesiones de nu´meros reales con la topolog´ıa caja.
X = (RN, caja) =
(∏
i∈N
Ri, caja
)
donde cada Ri = (R, usual).
Cada factor Ri es 1–contable pero el espacio producto X no lo es. Pues
de existir una base local B0 = {B1, B2, . . .} en el punto 0 = (0)n —la
sucesio´n constante a cero— con cada Bn =
∏
i∈N(a
n
i , b
n
i ), se tiene que
para la vecindad
V0 =
∏
n∈N
(
ann
2
,
bnn
2
)
no existe Bn ⊆ V0.
El siguiente espacio producto —conjunto de las sucesiones digitales—
es toda una fuente de contraejemplos.
EJEMPLO 8.3
El producto infinito de espacios discretos no necesariamente es discreto.
Sean ({0, 1}, discreta) y X = {0, 1}N. Veamos que el conjunto unitario
B cuyo u´nico elemento es la sucesio´n constante a cero B = {0} = {(0)n}
no es un abierto en la topolog´ıa producto.
Como B es un conjunto unitario lo podemos expresar como
B =
∏
n∈NBn, con Bn = {0} para cada n. Pero por otra parte, si
B fuese de la base, los Bn podr´ıan ser unitarios u´nicamente para un
nu´mero finito de naturales.
EJEMPLO 8.4
El cubo X = [0, 1][0,1] no es 1-contable.
Dado y ∈ X, supongamos que tenemos una base local contable {B1, B2, . . .}
en el punto y. Como cada Bm es un abierto, pi(Bm) = I excepto para un
nu´mero finito de ı´ndices i ∈ I, digamos im1 , . . . , imk ; cuando m var´ıa en
los enteros positivos, obtenemos una coleccio´n enumerable de conjuntos
enumerables de nu´meros y como I no es enumerable, existe io tal que
pio(Bm) = I para todo m. As´ı, si U es una vecindad abierta de yio —la
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122 La topolog´ıa producto
coordenada io de y— con U 6= I, p−1io (U) es una vecindad abierta de y,
la cual no puede contener a ningu´n Bm puesto que en la coordenada io,
Bm tiene a I mientras que p−1io (U) tiene a U .
Ejercicios 8.4
1. Muestre que la topolog´ıa producto es en efecto ‘la mejor’ que hace
las funciones proyeccio´n continuas.
2. Muestre que la imagen por una funcio´n continua y abierta de un
espacio 1–contable es un espacio 1–contable.
3. Muestre que la imagen por una funcio´n continua y abierta de un
espacio 2–contable es un espacio 2–contable.
4. ¿Es el producto de espacios groseros un espacio grosero?
5. Muestre que el producto de espacios discretos es discreto si y solo
si el nu´mero de factores es finito.
6. Muestre que el producto de subespacios es un subespacio del es-
pacio producto.
Sugerencia: considere el espacio
∏
i(Xi,Ti). SiAi ⊆ Xi (i ∈ I) exis-
ten dos maneras de dar topolog´ıa a
∏
iAi. Una como la inducida de
la topolog´ıa producto en
∏
iXi y otra al tomar la topolog´ıa produc-
to de todas las topolog´ıas Ti|Ai . Muestre que estas dos topolog´ıas
coinciden.
7. SeaX =
∏
i∈I Xi un espacio producto. EntoncesX es 2–contable si
y solo si cada factor Xi es 2–contable y, a excepcio´n de un nu´mero
contable de ı´ndices, todos los espacios tienen la topolog´ıa grosera.
Sugerencia: muestre que si Bi = {Bin}n es una base enumerable
en Xi (para cada i), entonces las cajas de la forma
Ui1n1 × Ui2n2 × · · · × Uiknk ×
∏
i∈I
Xi, i 6= i1, i2, . . . , in
son una base enumerable en el espacio producto.
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8.5 La topolog´ıa producto —en los me´tricos— 123
8. Sean (Xi,Ti), (i ∈ I) una coleccio´n de espacios topolo´gicos y F un
filtro en el conjunto de ı´ndices I. Muestre que el conjunto de todas
las cajas ×Ui tales que {i | Ui = Xi} ∈ F forman una base para
una topolog´ıa en
∏
i∈I Xi llamada F-topolog´ıa (depende de F).
a) Si F = 2I es el filtro trivial entonces la F-topolog´ıa es la
topolog´ıa caja.
b) Si F es el filtro de los cofinitos para I, la F-topolog´ıa es la
topolog´ıa producto de Tychonoff.
c) Si F, G son filtros con F ⊆ G entonces la F-topolog´ıa esta´ con-
tenida en la G-topolog´ıa.
d) La U-topolog´ıa en el caso de un ultrafiltro U es una ultra-
topolog´ıa en el sentido que solo es superada por la discreta.
8.5. La topolog´ıa producto —en los me´tricos—
La topolog´ıa usual de los espacios euclidianos Rn es precisamente la
topolog´ıa producto cuando cada espacio coordenado es Ru.
Teorema 8.6. Sea H la topolog´ıa usual de Rn y sea T la topolog´ıa
producto para
∏n
i=1Ri, Ri = Ru para cada i. Entonces H = T.
Demostracio´n. Veamos que H ⊆ T. Sea U ∈ H un elemento de la base,
U = Bdε (x) donde x = (x1, x2, . . . , xn) y d es la me´trica usual. Por cada
coordenada xi tomemos
Ui =
{
y ∈ R : |xi − y| < ε√
n
}
= Bε/√n(xi) ⊆ R.
Es claro que x ∈ U1×U2×· · ·×Un y adema´s U1×U2×· · ·×Un ⊆ Bdε (x)
pues u = (u1, u2, . . . , un) ∈ U1 × U2 × · · · × Un implica
d(x, u) =
(
n∑
i=1
(xi − ui)2
)1/2
<
(
n
(
ε√
n
)2)1/2
= ε.
Para verificar T ⊆ H tomemos U1×U2×· · ·×Un un elemento de la base
de la topolog´ıa producto y x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U1 × U2 × · · · × Un.
Para cada xi existe Bεi(xi) ⊆ Ui donde Bεi(xi) es una bola de la me´trica
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124 La topolog´ıa producto
usual de Ri = R. Si ε = mı´n{ε1, ε2, . . . , εn}, veamos que Bdε (x) ⊆ U1 ×
U2 × · · · × Un. En efecto, si y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Bdε (x) entonces para
cada coordenada i tenemos
|xi − yi| ≤
(
n∑
i=1
|xi − yi|2
)1/2
< ε ≤ εi,
y por tanto cada yi ∈ Bdε (x) ⊆ Ui, es decir y ∈ U1 × U2 × · · · × Un.
El siguiente teorema muestra que el producto finito de espacios me´tri-
cos es de nuevo un espacio me´trico.
Teorema 8.7. Sean (X1, d1), (X2, d2), . . . , (Xn, dn) espacios me´tricos.
Entonces la topolog´ıa producto proviene de una me´trica en X =
∏n
i=1Xi.
Demostracio´n. Consideremos la me´trica d :
∏n
i=1Xi ×
∏n
i=1Xi −→ R
d(x, y) =
(
n∑
i=1
di(xi, yi)2
)1/2
donde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn). Procediendo como en el teore-
ma anterior se tiene el resultado.
En general la metrizabilidad no es una propiedad productiva, i. e.,
el producto de una familia infinita de espacios me´tricos no necesaria-
mente es metrizable, lo cual implica que en la categor´ıa de los espacios
me´tricos con las funciones continuas como morfismos, no siempre el
producto es de nuevo un objeto de la categor´ıa; pero cuando el con-
junto de ı´ndices es enumerable, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 8.8. Sea {(Xi, di)}, (i ∈ N) una familia enumerable de es-
pacios me´tricos. Entonces el espacio producto X =
∏
i=1Xi con la
topolog´ıa producto es metrizable.
Demostracio´n. Recordemos que dos me´tricas equivalentes generan la
misma topolog´ıa; as´ı que, podemos reemplazar cada me´trica di por la
me´trica acotada d∗i (x, y) = mı´n{1, di(x, y)}.
Definimos la funcio´n d :
∏
i=1Xi ×
∏
i=1Xi −→ R como
d(x, y) =
∞∑
i=1
d∗i (xi, yi)
2i
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8.5 La topolog´ıa producto —en los me´tricos— 125
donde x = (xn), y = (yn). Veamos que d es una me´trica:
1. Por cada i ∈ N tenemos
2−i mı´n{1, di(xi, yi)} = 2−i mı´n{1, di(yi, xi)} ≥ 0,
luego
d(x, y) = d(y, x) ≥ 0.
2. d(x, y) = 0 si y so´lo si 2−i mı´n{1, di(xi, yi)} = 0 para cada i ∈ N,
esto es, para cada i se tiene di(xi, yi) = 0 lo cual sucede si y solo
si xi = yi por cada i. En otras palabras, x = y.
3. Por cada i ∈ N tenemos
d∗i (xi, zi) ≤ d∗i (xi, yi) + d∗i (zi, yi),
luego
2−id∗i (xi, zi) ≤ 2−id∗i (xi, yi) + 2−id∗i (zi, yi),
lo que implica
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Notemos adema´s que d es una me´trica acotada
d(x,y) ≤
∞∑
i=0
1
2i
= 2.
Veamos ahora que la topolog´ıa generada por esta me´trica es la topolo-
g´ıa producto. Primero veamos que la topolog´ıa generada esta´ contenida
en la producto. Sea Bdε (x) un elemento de la base. Escojamos p ≥ 1 lo
suficientemente grande para satisfacer
∑∞
i=p 2
−i < ε/2. Para cada i ∈ N
definimos una bola abierta Bεi(xi) ⊆ Xi de la siguiente manera: si i ∈
{0, 1, 2, . . . , p− 1} entonces εi = ε/4; y si i ≥ p, tomamos Bεi(xi) = Xi.
El conjunto
V = Bε0(x0)×Bε1(x1)× · · · ×Bεp−1(xp−1)×Xp ×Xp+1 × · · ·
es un abierto de la topolog´ıa producto que contiene al punto x. Adema´s
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126 La topolog´ıa producto
V ⊆ Bdε (x) pues dado y ∈ V
d(x, y) =
∑
i≥0
2−idi(xi, yi)
≤
p−1∑
i=0
2−idi(xi, yi) +
∑
i≥p
2−i
<
p−1∑
i=0
2−i
ε
4
+
∑
i≥p
2−i
≤ 2
(ε
4
)
+
∑
i≥p
2−i <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Para la otra inclusio´n, consideremos un abierto ba´sico de la topolog´ıa
producto U =
∏
n∈N Un y un punto x ∈ U . Un = Xn excepto para finitos
ı´ndices n1, n2, . . . , nk donde
Uni = B
d∗ni
εi (xni) ⊆ Xni .
Para ε = mı´n{ε1/2, . . . , εk/2k} la bola Bdε (x) ⊆ U , pues si y es tal que
d(y, x) < ε entonces
d∗i (xi, yi) < 2
iε ≤ εi para cada i = 1, 2, . . . , k
y esto implica yni ∈ B
d∗ni
εi (xni) para cada i = 1, · · · , k; luego y ∈ U .
Corolario 8.9. Para cada n ∈ N sea In = [0, 1]. El producto
∏
n∈N In =
IN —llamado el cubo de Hilbert— es metrizable. Otra presentacio´n
del cubo de Hilbert es mostrarlo como el producto de intervalos cerrados
∏
n∈N
[
1
n
,− 1
n
]
.
EJEMPLO 8.5
Para Xi = ({0, 1}, discreta), (i ∈ R) el espacio
∏
i∈RXi no es metrizable.
Muestre que este espacio producto no es 1–contable, verificando que no
existe una base local contable en 0 = (xi), donde xi = 0 para cada i.
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8.6 Continuidad para el producto 127
8.6. Continuidad para el producto
Dada una funcio´n f : X −→∏i∈I Yi, usualmente f se nota f = (fi)
por medio de las funciones coordenadas fi = pi ◦ f : X −→
∏
i∈I Yi −→
Yi. La estrecha relacio´n entre la continuidad de f y la de las fi resulta
de la siguiente proposicio´n.
Proposicio´n 8.10. f : X −→ ∏i∈I Yi es continua si y solo si las
aplicaciones coordenadas fi son continuas.
Demostracio´n. ⇒) Si f es continua, claramente lo son las fi = pi ◦ f
para cada i ∈ I.
⇐) Si cada fi es continua, dado un abierto ba´sico V =
∏
i∈I Vi =⋂
i∈I p
−1
i (Vi) ⊆ Y tenemos que cada f−1i (Vi) es un abierto en X y por
tanto, f−1(V ) = f−1(
⋂
i∈I p
−1
i (Vi)) =
⋂
i∈I f
−1
i (Vi) es tambie´n un abier-
to —no´tese que casi todos los f−1i (Vi) son iguales a X excepto para fini-
tos ı´ndices i—. Como es suficiente este criterio sobre los abiertos ba´sicos,
tenemos que f es continua.
Los espacios coordenados heredan en general muchas propiedades
del espacio producto. Por el teorema 8.2, heredan cualquier propiedad
que sea invariante bajo sobreyecciones que sean continuas y abiertas.
Un problema ma´s dif´ıcil e importante es deducir informacio´n acerca del
espacio producto a partir de los espacios coordenados, como hemos visto
en los teoremas anteriores.
La siguiente proposicio´n nos dice au´n ma´s: cada espacio factor se puede
sumergir en el espacio producto sin alterar su topolog´ıa, de suerte que
cualquier propiedad que se hereda a los subespacios de un espacio, tam-
bie´n se hereda a los espacios coordenados cuando el espacio producto
la posea.
Proposicio´n 8.11. Sea X =
∏
i∈I Xi un espacio producto. Dados a =
(ai) ∈ X y un ı´ndice i ∈ I, existe un subespacio Xai ⊆ X tal que a ∈ Xai
con Xai homeomorfo a Xi.
Demostracio´n. Definimos Xai := {(xi) : xj = aj , si j 6= i}. Conside-
remos la funcio´n restriccio´n pi|Xai : Xai −→ Xi. Esta funcio´n es continua
y biyectiva. Resta ver que es abierta —ejercicio—.
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128 La topolog´ıa producto
EJEMPLO 8.6
Podemos identificar a R con el subespacio R× {0} de R2, etc.
Ejercicios 8.6
1. Sean {Xi}i∈I y {Yi}i∈I familias de espacios y fi : Xi → Yi una
funcio´n continua para cada i. Entonces la funcio´n
f =
∏
fi :
∏
Xi →
∏
Yi
definida por f((xi)) = (fi(xi)) es continua.
2. Si Xi ≈ Yi para cada i ∈ I (homeomorfos) entonces
∏
Xi ≈
∏
Yi.
3. Muestre el teorema 8.8 utilizando la me´trica
d((xn), (yn)) = sup{ 1
n
d∗n(xn, yn)}
4. Muestre que la proposicio´n 8.10 junto con el hecho que las proyec-
ciones son continuas caracteriza a la topolog´ıa producto.
8.7. Topolog´ıas al inicio y al final
En esta seccio´n generalizamos la construccio´n de las topolog´ıas pro-
ducto y cociente respectivamente.
8.7.1. La topolog´ıa inicial
Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X, la topolog´ıa de subespacio para
A se puede definir como la mejor topolog´ıa —con menos abiertos— que
hace de la inclusio´n i : A ↪→ X una funcio´n continua. Similarmente, dada
una familia de espacios topolo´gicos {Xi}, (i ∈ I), la topolog´ıa producto
para el conjunto
∏
i∈I Xi fue definida como la mejor —la solucio´n ma´s
eficiente— que hace cada una de las funciones proyeccio´n pi continua.
Si generalizamos el pa´rrafo anterior, queremos que dada una familia
de espacios {(Xi,Ti)}i∈I y un conjunto X junto con una coleccio´n de fun-
ciones G = {fi : X −→ Xi}i∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topolog´ıa
G
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8.7 Topolog´ıas al inicio y al final 129
X X1
X2
X3
X4
Xi
f1
f2
fi
...
Figura 8.3: Objeto inicial.
inicial para X que haga continuas las funciones fi (la topolog´ıa discreta
es una solucio´n, pero no es la mejor); esto es, la topolog´ıa menos fina
o ma´s gruesa —como se trata del dominio sera´ la menor en el orden
de inclusio´n, la que menos abiertos posea—. Lo que entonces queremos
es que cada f−1i (Vi) sea abierto cuando Vi lo sea en Xi; esta topolog´ıa
inicial TG (notada T si no hacemos referencia a la familia) es la generada
por la subbase
B = {f−1i (Vi) | Vi ∈ Ti, i ∈ I}.
TG tambie´n es conocida como la topolog´ıa de´bil, inducida por la colec-
cio´n de funciones G.
La topolog´ıa inicial nos sirve para caracterizar las funciones con-
tinuas que llegan a X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 8.12. Sea (X,T) un espacio donde T es la topolog´ıa inicial —
de´bil— inducida por la familia G = {fi : X → Xi | i ∈ I}. Una funcio´n
g : Y → X donde Y es un espacio, es continua si y solo si la compuesta
fi ◦ g : Y → X → Yi es continua para cada i ∈ I.
Demostracio´n. ⇒) Si g es continua claramente tambie´n lo son las fun-
ciones compuestas fi ◦ g.
⇐) Sea U un abierto en X; podemos asumir que U sea un abierto de
la subbase, esto es, U = f−1i (Vi) para algu´n i ∈ I con Vi abierto en Xi.
As´ı g−1(U) = g−1(f−1i (Vi)) = (fi ◦ g)−1(Vi) es abierto por hipo´tesis.
G
. R
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130 La topolog´ıa producto
La anterior propiedad de la topolog´ıa inicial de ninguna manera es
circunstancial; por el contrario, se llama universal en el sentido que
caracteriza la topolog´ıa inicial.
Proposicio´n 8.13. Sea X un conjunto y G = {fi : X −→ (Xi,Ti)}i∈I
una coleccio´n de funciones continuas. Una topolog´ıa H para X es igual
a la topolog´ıa inicial T = TG si y solo si H satisface las condiciones del
teorema anterior —propiedad universal—.
Demostracio´n. ⇒) Ya hemos demostrado que T satisface la propiedad
universal.
⇐) Supongamos entonces que H tambie´n satisface la propiedad uni-
versal y veamos que H = T. Al aplicar la propiedad de H para idX :
(X,H) −→ (X,T) tenemos que fi es una funcio´n continua fi = fi ◦
idX : (X,H) −→ (X,T) −→ (Xi,Ti); luego, si cada fi es continua,
T ⊆ H por definicio´n de T. Para la otra contenencia tomemos la funcio´n
idX : (X,T) −→ (X,H). Como cada fi ◦ idX = fi es continua, por la
propiedad de H tenemos que idX es continua, luego H ⊆ T.
EJEMPLO 8.7
Sean (X, d) un espaciome´trico y f : Y −→ X una biyeccio´n. La
topolog´ıa inicial para Y inducida por f se puede caracterizar como la
topolog´ıa inducida por la me´trica df : Y × Y −→ R donde df (m,n) :=
d(f(m), f(n)). Para la demostracio´n revise el teorema que muestra la
metrizabilidad como un invariante topolo´gico. df es conocida como la
me´trica inducida por f.
Ejercicios 8.7
1. Sea X un conjunto y G = {fi : X −→ (Xi,Ti)}i∈I una coleccio´n
de funciones continuas.
a) Muestre que TG —de la definicio´n de topolog´ıa de´bil— hace
cada fi continua y que en efecto es la ‘mejor’.
b) Una sucesio´n (xn)n → x en X si y solo si (fi(xn))n → fi(x)
para cada i.
c) Muestre que F → x si y solo si el filtro 〈fi(F)〉 → fi(x).
G
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8.7 Topolog´ıas al inicio y al final 131
2. Muestre que f : (X, J) −→ (Y,H) es continua si y solo si TG ⊆ J.
3. Dados (X, d) y a ∈ X, la funcio´n da : X −→ R definida como
da(x) = d(a, x) es continua. Muestre que la topolog´ıa inicial so-
bre X inducida por la coleccio´n {(da)}, (a ∈ X) es la topolog´ıa
inducida por d.
4. Dada una coleccio´n {(X,Ti)}i∈I de topolog´ıas, ¿co´mo se puede
expresar el ı´nf de estas topolog´ıas en te´rminos de la topolog´ıa
inicial?
5. Para la funcio´n f : R −→ Ru, f(x) = x2, ¿co´mo es la topolog´ıa
inicial?
Sugerencia. Los abiertos sera´n los abiertos en el sentido usual que
adema´s son sime´tricos con respecto al origen.
8.7.2. La topolog´ıa final
XX1
X2
X3
X4
Xi
f1
f2
fi
...
Figura 8.4: Objeto final.
De manera dual a la subseccio´n anterior, queremos que dado un
conjunto X junto con una coleccio´n de funciones G = {fi : (Xi,Ti) −→
X}i∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topolog´ıa final para X (la topolog´ıa
indiscreta {∅, X} es una solucio´n, pero no es la mejor); esto es, la
topolog´ıa ma´s fina o menos gruesa —como se trata del codominio sera´ la
mayor en el orden de inclusio´n, la que ma´s abiertos posea— que garantice
la continuidad de cada fi; lo que queremos entonces es que el conjunto
U sea abierto en X si para cada i se tiene que f−1i (U) es abierto en Xi.
G
. R
UB
IA
NO
132 La topolog´ıa producto
Esta topolog´ıa final TG se define como
TG = {U ⊆ X : f−1i (U) ∈ Ti, para cada i ∈ I}.
TG se conoce como la topolog´ıa final inducida por la coleccio´n G.
La topolog´ıa final nos sirve para caracterizar las funciones continuas
que salen de X; en efecto, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 8.14. Sea (X,T) un espacio donde T = TG es la topolog´ıa final
inducida por G = {fi : Xi −→ X}i∈I . Una funcio´n g : (X,T) −→ (Y,H)
es continua si y so´lo si g◦fi : (Xi,Ti) −→ (X,TG) −→ (Y,H) es continua
para cada i ∈ I.
Demostracio´n. ⇒) Si g es continua claramente tambie´n lo son las fun-
ciones compuestas g ◦ fi ya que TG hace cada fi continua.
⇐) Sea U un abierto en Y . Como f−1i (g−1i (U)) = (g ◦ fi)−1(U) es
abierto para cada i, entonces g−1(U) es un abierto en X.
Ejercicios 8.7
1. Dado un conjunto X junto con una coleccio´n de funciones G =
{fi : (Xi,Ti) −→ X}i∈I , muestre que:
a) TG es una topolog´ıa sobre X.
b) TG es la topolog´ıa ma´s fina sobre X que hace continua a cada
una de las fi : Xi −→ X.
c) Caracterice los cerrados en TG en te´rminos de la coleccio´n G.
2. Enuncie una proposicio´n para las topolog´ıas finales que sea dual a
la proposicio´n 8.13.
G
. R
UB
IA
NO
9 Posicio´n de un punto respecto a un
conjunto
Con conceptos relativamente simples como los de abierto y continui-
dad, hemos podido crear una gran variedad de espacios topolo´gicos y, a
partir de estos, otros espacios teniendo en mente algunas construcciones
conjuntistas. Para continuar desarrollando nuevos espacios y poderlos
analizar, es necesario que tengamos ma´s herramientas. En esta seccio´n
discutiremos otras maneras de dotar de una topolog´ıa a un conjunto,
entre ellas el operador de adherencia en el sentido de K. Kuratowski.
Tambie´n se podr´ıan usar otros operadores como interior, exterior, fron-
tera o derivado dado que cualquiera de ellos determina completamente
la topolog´ıa sobre el conjunto.
9.1. Conjuntos cerrados y adherencia
Definicio´n 9.1. Sean (X,T) un espacio y F ⊆ X. F se llama cerrado
si su complemento F c es abierto.
EJEMPLO 9.1
En Ru los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados.
Por supuesto un conjunto no tiene por que´ ser abierto o cerrado, por
ejemplo, el subconjunto N en (R, cofinitos). Tampoco estos adjetivos
son excluyentes, pues en un espacio discreto todo conjunto es simulta´nea-
mente abierto y cerrado, i. e., aberrado. En (R, Sorgenfrey) los miem-
bros de la base [a, b) son aberrados.
133
G
. R
UB
IA
NO
134 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
EJEMPLO 9.2
En un espacio (X,T), a partir de las leyes de De Morgan podemos inferir:
1. ∅ y X son cerrados.
2. Si {Ai}i∈I es una coleccio´n de cerrados entonces
⋂
iAi es cerrado.
3. Si {Aj}j∈J —J finito— es una coleccio´n de cerrados entonces⋃
j Aj es cerrado.
El concepto de topolog´ıa se puede introducir a partir del concepto de
cerrado. Dado un conjunto X y una familia C de subconjuntos cerrada
para intersecciones arbitrarias y uniones finitas, definimos la topolog´ıa
T como la coleccio´n de todos los Ac con A ∈ C.
Las funciones continuas se pueden caracterizar en te´rminos de los
conjuntos cerrados.
Proposicio´n 9.2. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f es
continua si y solo si la imagen inversa por f de un subconjunto cerrado
de Y es un subconjunto cerrado de X.
Demostracio´n. Es inmediata, si recordamos que para cualquier U sub-
conjunto de Y se tiene f−1(U c) = (f−1(U))c.
EJEMPLO 9.3
Los cerrados del subespacio A son las intersecciones de los cerrados de
X con A. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X donde A hereda la topolog´ıa
de subespacio. Un M ⊆ A es cerrado en A si M = F c para un F abierto
de A, esto es M = F c = (A ∩ U)c donde U es abierto de X; luego,
M = Ac ∪ U c y por tanto M ∩A = (Ac ∪ U c) ∩A = U c ∩A con lo cual
M = N ∩A donde N = U c es cerrado de X.
Definicio´n 9.3. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X
es un punto adherente o adherido a A, si b no puede ser separado
del conjunto A por ninguna de sus vecindades. Esto es, para toda Vb se
tiene Vb ∩A 6= ∅ —efectivamente b esta´ adherido a A—.
El conjunto de todos los puntos adherentes a A lo notamos A y lo
llamamos adherencia de A, i. e.,
A = {x : x es adherente a A}.
G
. R
UB
IA
NO
9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 135
Teorema 9.4. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A es el menor cerrado
que contiene a A, i. e.,
A =
⋂
{F : F es cerrado y A ⊆ F}.
Demostracio´n. Sea x ∈ ⋂{F : F es cerrado y A ⊆ F} y veamos que
x ∈ A. Dada Vx vecindad de x existe U abierto con x ∈ U ⊆ Vx. Si
Vx ∩A = ∅ entonces U ∩A = ∅ luego A ⊆ U c, as´ı que U c es un cerrado
que contiene a A y por hipo´tesis x ∈ U c, lo cual es una contradiccio´n.
As´ı que Vx ∩A 6= ∅ para toda Vx.
En el otro sentido, sea x ∈ A. Si x /∈ ⋂{F | F es cerrado y A ⊆ F}
existe F cerrado tal que A ⊆ F y x /∈ F . Luego x ∈ F c con F c abierto
y adema´s F c ∩A = ∅ lo cual contradice que x ∈ A.
Corolario 9.5. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. Entonces
1. ∅ = ∅.
2. A ⊆ A, para cada A ⊆ X.
3. A es cerrado.
4. A = A si y solo si A es cerrado.
5. A = A.
6. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B.
7. A ∪B = A ∪B.
8. A ∩B ⊆ A ∩B.
Demostracio´n. Se deja como ejercicio.
EJEMPLO 9.4
La propiedad 7 del corolario 9.5 no es verdad ma´s alla´ del caso finito,
au´n en el caso de una unio´n enumerable. Por ejemplo, si cada An = { 1n}
entonces{
1
n
: n ∈ N
}
=
⋃
n
An 6=
⋃
n
An = {0}
⋃{ 1
n
: n ∈ N
}
,
pues en R con la usual A = { 1n : n ∈ N} tiene como punto adherente, a
ma´s de los del propio A, el punto 0.
G
. R
UB
IA
NO
136 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
EJEMPLO 9.5
Si X es un espacio infinitocon la topolog´ıa de los cofinitos y A ⊆ X
entonces A = X si A es infinito.
EJEMPLO 9.6
La topolog´ıa para R determina la adherencia de [0, 1]. Por ejemplo,
cofinitos o coenumerables satisfacen [0, 1] = R.
EJEMPLO 9.7
En (I × I, lexi), la l´ınea A sobre el x-eje, i. e.,
A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0},
tiene como puntos adherentes, a ma´s del propio A, los que esta´n en la
l´ınea de la parte superior del cuadrado excepto la esquina (1, 1), esto es,
A = A ∪ {(x, y) : 0 ≤ x < 1, y = 1}.
Figura 9.1: Adherencia en la topolog´ıa del orden lexicogra´fico.
EJEMPLO 9.8
Sean T1, T2 dos topolog´ıas sobre un conjunto X con T1 ⊆ T2. Para
A ⊆ X notemos por Ai la clausura de A con respecto a Ti. Entonces
A
2 ⊆ A1.
En T1 hay menos abiertos y por tanto menos cerrados que en T2. Por
esta razo´n, la interseccio´n de todos los cerrados en T1 que contienen a
A no puede ser ma´s pequen˜a que la interseccio´n de todos los cerrados
en T2 que contienen a A.
G
. R
UB
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NO
9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 137
En los espacios me´tricos el concepto de punto adherente se puede car-
acterizar en te´rminos de la distancia.
Proposicio´n 9.6. Sean (X, d) un espacio me´trico y A ⊆ X. Para x ∈
X, x ∈ A si y solo si d(x,A) = 0.
Demostracio´n. ⇒) Si x ∈ A entonces B1/n(x)∩A 6= ∅ para cada n ∈ N.
Luego d(x,A) < 1/n para cada n, i. e., d(x,A) = 0.
⇐) Sea d(x,A) = 0 Si existe Vx con Vx ∩ A = ∅, entonces existe
n ∈ N tal que B1/n(x) ⊆ Vx –estas bolas forman una base local– y
as´ı B1/n(x) ∩A = ∅, lo cual contradice d(x,A) = 0.
Si el espacio es 1-contable, las sucesiones caracterizan la adherencia.
Proposicio´n 9.7 (Lema de las sucesiones). Sean (X,T) un espacio 1–
contable y A ⊆ (X,T). x ∈ A si y solo si existe una sucesio´n (xn),
(n ∈ N) con xn ∈ A tal que xn → x.
Demostracio´n. ⇒) Si x ∈ A por cada n ∈ N tomamos xn con xn ∈
Bn(x) ∩ A para {B1, B2, . . .} una base local en x —¡encajada! Es claro
que la sucesio´n as´ı definida satisface xn → x.
⇐) Si existe una sucesio´n (xn) en A con xn → x, entonces dada
cualquier vecindad Vx tenemos Vx ∩ A 6= ∅ pues por la convergencia
existen infinitos xn elementos de A con xn ∈ Vx ∩A.
EJEMPLO 9.9
Si el espacio no es 1-contable, la anterior caracterizacio´n de la adherencia
no siempre es cierta. Este es el caso para los nu´meros irracionales I si
consideramos a (R, coenumerables) —no es 1-contable— I = R pero no
existe una sucesio´n (xn) en I con xn → 2.
El siguiente ejemplo muestra la utilidad de la proposicio´n 9.7.
EJEMPLO 9.10
(RN, caja) no es metrizable ya que no se tiene el lema de las sucesiones.
En efecto, sea A = {(xn) : xn > 0, n ∈ N} el conjunto de las sucesiones
de te´rminos positivos. El punto 0 = (0) —la sucesio´n constante a cero—
G
. R
UB
IA
NO
138 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
pertenece a A, pero no existe una sucesio´n —de sucesiones— (xn) con
xn = (xmn )
∞
m=i convergente a 0. El producto de intervalos
U = (−x11, x11)× (−x22, x22)× (−x33, x33)× · · ·
es una vecindad abierta del punto 0 pero no contiene ningu´n elemento
de la sucesio´n.
9.1.1. Operadores de clausura
En 1922 el matema´tico polaco K. Kuratowski1 reconocio´ las propie-K
dades que ten´ıa la adherencia y las resumio´ en el siguiente operador
llamado de clausura. Para un conjunto X la adherencia es una funcio´n
K : 2X −→ 2X tal que para cada A ⊆ X, K(A) := A con las siguientes
propiedades:
1. K(∅) = ∅.
2. A ⊆ K(A) —expansio´n—.
3. K(A ∪B) = K(A) ∪ K(B).
4. K(K(A)) = K(A) —idempotente—.
Teorema 9.8. Cualquier funcio´n K : 2X −→ 2X que satisfaga 1, 2, 3,
4 del pa´rrafo anterior se llama un operador de clausura y determina
una u´nica topolog´ıa sobre X, en la cual los conjuntos cerrados son los
conjuntos para los cuales K(A) = A —puntos fijos del operador—.
Demostracio´n. Definimos la coleccio´n
T = {U ⊆ X | K(U c) = U c}.
Verifiquemos que T es topolog´ıa. Por 1, 2 tenemos ∅, X ∈ T.
1Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 1896-1980), matema´tico y lo´gico polaco. La
investigacio´n de Kuratowski se baso´ en estructuras abstractas topolo´gicas y me´tricas.
Junto con Alfred Tarski y Waclaw Sierpinski, construyo´ casi toda la teor´ıa de los
espacios polacos, as´ı llamados en honor a estos tres matema´ticos. En teor´ıa de grafos,
hizo la caracterizacio´n de los grafos planares llamada teorema de Kuratowski.
G
. R
UB
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NO
9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 139
Dada {Vi}, (i ∈ I) con Vi ∈ T, veamos que
⋃
i∈I Vi esta´ en T. No´tese
que A ⊆ B implica K(A) ⊆ K(B) y por tanto
K
((⋃
i∈I
Vi
)c)
= K
(⋂
i∈I
V ci
)
⊆ V ci para cada i,
con lo cual K (⋂i∈I V ci ) ⊆ ⋂i∈I K(V ci ) ⊆ ⋂i∈I V ci y esto junto con la
contenencia en 2 nos dice que K ((⋃i∈I Vi)c) = (⋃i∈I Vi)c.
Si U, V ∈ T, veamos que su interseccio´n es un abierto, es decir, su
complemento es un punto fijo.
K ((U ∩ V )c) = K(U c ∪ V c) = K(U c) ∪ K(V c) = U c ∪ V c = (U ∩ V )c.
La unicidad de T es clara, pues la definicio´n determina la unicidad de
los cerrados, que son aquellos para los cuales F = K(F ).
EJEMPLO 9.11
Sea X un conjunto con ma´s de un elemento. Dado p ∈ X definimos
K(A) = A∪{p}, K(∅) = ∅. K satisface los axiomas del teorema anterior.
¿Co´mo es la topolog´ıa generada?
El siguiente teorema nos muestra que la continuidad se puede caracteri-
zar en te´rminos de la adherencia.
Teorema 9.9. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y . f es con-
tinua si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f(A).
‘Si x es arbitrariamente cercano a A entonces f(x) lo es a f(A)’.
Demostracio´n. ⇒) Sean A ⊆ X, y ∈ f(A). Tomemos x ∈ A tal que
y = f(x). Dada cualquier Vy, existe Vx tal que f(Vx) ⊆ Vy —por la
continuidad—. Como x ∈ A, sea p ∈ Vx ∩A, con lo cual
f(p) ∈ f(Vx ∩A) ⊆ f(Vx) ∩ f(A) ⊆ V y ∩ f(A)
y por tanto y ∈ f(A).
⇐) Consideremos un cerrado C de Y y veamos que f−1(C) es un
cerrado. Como f
(
f−1(C)
)⊆ f(f−1(C)) ⊆ C, al aplicar f−1 obtenemos
f−1(C) ⊆ f−1(C) y como C = C tenemos f−1(C) ⊆ f−1(C), luego por
las propiedades de la adherencia f−1(C) = f−1(C), con lo cual f−1(C)
es un cerrado, es decir f es continua.
G
. R
UB
IA
NO
140 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
9.1.2. La adherencia es productiva
Teorema 9.10. Sean {(Xi,Ti)}i∈I una coleccio´n de espacios topolo´gicos
y Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏
i∈I
Ai =
∏
i∈I
Ai
Demostracio´n. Veamos que
∏
i∈I Ai ⊆
∏
i∈I Ai. Sea x ∈
∏
i∈I Ai y Vx
una vecindad abierta del punto x = (xi). Existe un abierto
∏
i∈I Ui de
la base de la topolog´ıa producto con x ∈ ∏i∈I Ui ⊆ Vx. Como xi ∈ Ai
tenemos Ui ∩Ai 6= ∅ para cada i y as´ı
Vx ∩
∏
i∈I
Ai ⊇
(∏
i∈I
Ui
)
∩
(∏
i∈I
Ai
)
=
∏
i∈I
(Ui ∩Ai) 6= ∅,
luego x ∈∏i∈I Ai.
.........
............
.....................
...................................................................................................................................................
..........
..............
.................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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..........................
...........................
..........................
...........................
...........................
...........................
..........
p1(A)
p2(A)
A
Figura 9.2: A ⊆∏i∈I pi(A).
Rec´ıprocamente, como cada proyeccio´n pi es continua,
pi
(∏
i∈I
Ai
)
⊆ pi
(∏
i∈I
Ai
)
= Ai
para cada i, luego
∏
i∈I Ai ⊆
∏
i∈I Ai pues si A ⊆
∏
i∈I Xi entonces
A ⊆∏i∈I pi(A) (ver fig. 9.2).
G
. R
UB
IA
NO
9.1 Conjuntos cerrados y adherencia 141
Corolario 9.11. Sean {(Xi,Ti)}i∈I una coleccio´n de espacios topolo´gi-
cos y Ai ⊆ Xi, Ai 6= ∅ para cada i. Entonces∏
i∈I
Ai es cerrado si y solo si cada Ai es cerrado. (9.1)
Demostracio´n. ⇒) Sea∏i∈I Ai un cerrado en el espacio producto. Como∏
i∈I
Ai =
∏
i∈I
Ai =
∏
i∈I
Ai (9.2)
tenemos Ai = Ai para cada i.
⇐) Como cada Ai = Ai entonces,∏
i∈I
Ai =
∏
i∈I
Ai =
∏
i∈I
Ai. (9.3)
Ejercicios 9.1
1. Dada Bε(x) en Rnu, ¿quie´n es su adherencia?
2. Dada Bε(x) en un espacio me´trico, muestre que su adherencia no
siempre coincide con la bola cerrada.
3. La adherencia se comporta respecto a los subespacios de la sigu-
iente manera. Si A ⊆ B ⊆ X entonces A como subespacio de B es
igual a la interseccio´n de A —como subespacio de X— con B, es
decir
AB = AX ∩B.
4. Sean (R2, verticales) y A = {(x, y) : x2 + y2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0}
—ver ejercicio 2 de 1.2— Calcule:
a) A con respecto a S1.
b) A con respecto a R2.
¿Que´ relacio´n existe entre estos dos conjuntos?
G
. R
UB
IA
NO
142 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
5. Muestre que en un espacio cualquiera el conjunto de puntos l´ımites
de una sucesio´n es cerrado.
6. * Sean X un espacio y A ⊆ X. Muestre que x ∈ A si y solo si
existe un filtro F en el espacio X con A ∈ F y F → x.
7. Una funcio´n f : X −→ Y entre espacios topolo´gicos es continua si
y solo si para cada B ⊆ Y se tiene f−1(B) ⊆ f−1 (B).
8. Una funcio´n f : X −→ Y entre espacios topolo´gicos es cerrada si
y solo si para todo A ⊆ X se tiene f(A) ⊆ f (A).
9. Una funcio´n inyectiva f : X −→ Y entre espacios es un homeo-
morfismo si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f (A) = f(A).
9.2. Puntos de acumulacio´n
Si A ⊆ (X,T) es claro que todo punto que esta´ en A es un punto
adherido a A. Pero ¿co´mo caracterizar aquellos puntos que esta´n ad-
heridos a A no solo por el hecho de pertenecer al conjunto? Estos son
puntos donde el conjunto A se acumula en el sentido de la siguiente
definicio´n.
Definicio´n 9.12. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X
es un punto de acumulacio´n de A (A se acumula en b) o que b
es un punto l´ımite del conjunto A, si para cualquier Vb se tiene
(Vb − {b}) ∩A 6= ∅. Es decir, cada vecindad del punto b contiene puntos
de A diferentes de b mismo, i. e., b ∈ A− {b}.
El conjunto de puntos de acumulacio´n de A lo notamos Aa y lo
llamamos derivado de A,
Aa = {x | x es un punto de acumulacio´n de A}.
Claramente todo punto de acumulacio´n de un conjunto es un punto
adherente del conjunto.
Teorema 9.13. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X entonces
A = A ∪Aa.
G
. R
UB
IA
NO
9.2 Puntos de acumulacio´n 143
Demostracio´n. Veamos que A ∪ Aa ⊆ A. Si x /∈ A, existe Vx tal que
Vx ∩A = ∅, es decir x /∈ A y x /∈ Aa.
Para la otra contenencia sea x tal que x /∈ A ∪ Aa; luego existe Vx
con (Vx−{x})∩A = ∅, y como x /∈ A podemos concluir que Vx∩A = ∅,
con lo cual x /∈ A.
Corolario 9.14. Sean (X,T) un espacio A ⊆ X. A es cerrado si y solo
si Aa ⊆ A.
Demostracio´n. A = A = A ∪Aa, lo que implica Aa ⊆ A.
EJEMPLO 9.12
1. En el subespacio A = (0, 2]∪{3} ⊆ Ru se tiene que 3 /∈ Aa aunque
este´ en A, mientras 0 ∈ Aa aunque no este´ en A.
2. En el ejemplo anterior 3 ∈ A − Aa es un punto ‘aislado’ de su
comunidad.
3. En (X, 2X) se tiene Xa = ∅.
4. En un espacio X el conjunto {a} es abierto si y solo si a /∈ Xa.
5. En general Aa no es conjunto cerrado. Para X = {x, y, z}, T =
{∅, X, {x, y}, {z}} y A = {x} tenemos Aa = {y}.
Aunque Aa no siempre es cerrado, en los espacios de Hausdorff si lo
podemos garantizar.
Proposicio´n 9.15. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff, entonces Aa
es cerrado para todo A subconjunto de X.
Demostracio´n. De acuerdo con el corolario 9.14 veamos que (Aa)a ⊆ Aa.
Sean x ∈ (Aa)a y Vx vecindad de x. No hay pe´rdida de generalidad si
tomamos Vx como abierta, ya que si no lo es, existe Ux abierto con
Ux ⊆ Vx y trabajamos con este Ux. Sea y ∈ (Vx−{x})∩Aa, luego y 6= x
con y ∈ Aa. Por tanto, Vx que es vecindad tanto de x como de y satisface
(Vx − y) ∩A 6= ∅ por estar y ∈ Aa.
De otra parte, Uy = (Vx − {x}) es un abierto que contiene a y —
puesto que {x} es cerrado—. Luego ((Vx − {x}) − {y}) ∩ A 6= ∅, y por
tanto podemos tomar z ∈ (Ux−{y})∩A; claramente z ∈ (Vx−{x})∩A
con lo que x ∈ Aa.
G
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NO
144 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
Las funciones continuas e inyectivas respetan los puntos de acumulacio´n.
Proposicio´n 9.16. Sean (X,T), (Y,H) espacios y f : X −→ Y con-
tinua e inyectiva. Si A ⊆ X y x ∈ Aa entonces f(x) ∈ f(A)a —
f(Aa) ⊆ f(A)a—.
Demostracio´n. Sea x ∈ Aa y veamos que f(x) ∈ f(A)a. Como f es
continua, dada Vf(x) existe un abierto Ux con f(Ux) ⊆ Vf(x). Luego
f(Ux − {x}) ⊆ Vf(x) − {f(x)} ya que f es 1-1 y no puede existir otro
punto distinto de x cuya imagen sea f(x). Por tanto
∅ 6= f((Ux − {x}) ∩A) ⊆ f(Ux − {x}) ∩ f(A) ⊆ (Vf(x) − {f(x)}) ∩ f(A)
con lo cual f(x) ∈ f(A)a.
9.2.1. Puntos aislados
Como Aa ⊆ A, ¿que´ podemos decir de los puntos en el otro espectro,
es decir, los puntos que esta´n en A−Aa? Estos son puntos x de A para
los cuales existe una Vx que no contiene puntos de A diferentes de x
mismo —puntos aislados—.
Definicio´n 9.17. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X
es un punto aislado de A si existe una vecindad Vb en X para la cual
Vb ∩A ⊆ {b}. Es decir, existe una vecindad del punto b que no contiene
puntos de A diferentes de b mismo.
EJEMPLO 9.13
En Ru consideremos:
1. El subconjunto Z. Si n ∈ Z entonces
{n} = Z ∩ (n− 1
2
, n+
1
2
).
Por tanto la topolog´ıa de subespacio para Z es la discreta.2. Los subconjuntos P = {1/n | n ∈ N} y P ∗ = P ∪ {0}. Como
cada punto en P es aislado, el subespacio es discreto; mientras
que, al agregarle un punto y obtener P ∗, el nuevo subespacio tiene
al punto 0 como punto de acumulacio´n, con lo cual deja de ser un
espacio discreto.
G
. R
UB
IA
NO
9.2 Puntos de acumulacio´n 145
Proposicio´n 9.18. Dado (X,T) un espacio y A ⊆ X. (A,TA) es dis-
creto si y solo si cada punto de A es aislado.
Demostracio´n. En el subespacio (A,TA) un punto a ∈ A es aislado si y
solo si {a} es abierto en la topolog´ıa del subespacio.
Ejercicios 9.2
1. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X, muestre que el conjunto deriva-
do posee las siguientes propiedades:
a) Si A ⊆ B entonces Aa ⊆ Ba.
b) (A)a = Aa para A ⊆ X.
c) (A ∪B)a = Aa ∪Ba para A,B ⊆ X.
d)
⋃
i∈I A
a
i ⊆ (
⋃
i∈I Ai)
a, Ai ⊆ X.
2. En contraposicio´n a la clausura, el segundo conjunto derivado no
tiene por que´ ser igual al original. De´ un ejemplo donde Aaa * Aa.
3. Demuestre el teorema 9.15 con la condicio´n que el espacio sea T1
a cambio de T2.
4. Sea R con la topolog´ıa generada por la base formada por las colas
(a,→). Muestre que {0}a no es cerrado.
5. Sea f : X −→ Y una funcio´n uno a uno entre espacios topolo´gicos;
f es continua si y solo si f(Aa) ⊆ f(A)a para todo A ⊆ X.
6. Sea f : X −→ Y una funcio´n entre espacios. f es un homeomor-
fismo si y solo si f(Aa) = f(A)a para todo A ⊆ X.
7. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacio´n de una unio´n de
conjuntos no es necesariamente la unio´n de puntos de acumulacio´n
de cada uno de los conjuntos.
8. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A ⊆ X. x ∈ Aa si y solo si
cada Vx contiene infinitos puntos de A.
9. Sean A ⊆ (X,T) y Ais(A) su conjunto de puntos aislados. Se tiene
entonces que:
G
. R
UB
IA
NO
146 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
a) Ais(A) ∩Aa = ∅.
b) Ais(A) ∪Aa = A.
c) Ais
(
A
) ⊆ Ais(A).
d) Ais(A) = ∅ si y solo si A ⊆ Aa.
10. * El filtro de las vecindades Vx es un ultrafiltro si y solo si el punto
x es un punto aislado de X.
9.3. Interior – exterior – frontera
Definicio´n 9.19. Sean (X,T) un espacio y
A ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un punto
interior de A si existe U ⊆ X abierto tal
que b ∈ U ⊆ A. Al conjunto de puntos inte-
riores de A lo llamamos el interior de A y
lo notamos A◦
A◦ = {x : x es interior a A}.
Proposicio´n 9.20. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A◦ es el mayor
abierto contenido en A.
Demostracio´n. Veamos que A◦ =
⋃A donde la familia
A = {Ui ⊆ X : Ui ⊆ A y Ui es abierto}.
Si x ∈ A◦, existe un abierto Ux con x ∈ Ux ⊆ A con lo cual Ux ∈ A
y as´ı x ∈ ⋃A.
Si x ∈ ⋃A existe i para el cual x ∈ Ui ⊆ A y por tanto x ∈ A◦.
Corolario 9.21. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. A ⊆ X es abierto si
y solo si A◦ = A.
Demostracio´n. Es equivalente a decir que A es abierto si y solo si A es
vecindad de cada uno de sus puntos.
Las propiedades del interior se describen en la siguiente proposicio´n,
la cual resume lo que llamamos un operador de interior.
G
. R
UB
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NO
9.3 Interior – exterior – frontera 147
Proposicio´n 9.22. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces
1. A◦ ⊆ A.
2. (A ∩B)◦ = A◦ ∩B◦.
3. (A◦)◦ = A.
4. X◦ = X.
5. A◦ ∪B◦ ⊆ (A ∪B)◦.
Demostracio´n. Se deja como ejercicio.
Cualquier operador I : 2X −→ 2X que satisface las propiedades de
la anterior proposicio´n genera una topolog´ıa G sobre X definida por
G = {A ⊆ X : I(A) = A}
y para esta topolog´ıa I(A) = A◦.
Dual al concepto de punto interior esta´ el concepto de punto exterior.
Definicio´n 9.23. Sean (X,T) un espacio, A ⊆ X y b ∈ X. Decimos que
b es un punto exterior a A si existe una vecindad Vb tal que Vb ⊆ Ac.
El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y
lo notamos Ext(A):
Ext(A) = {x | x es exterior a A}.
No´tese que Ext(A) es el interior de Ac. Un punto que no pertenece
al interior ni al exterior de un conjunto se llama punto frontera.
Definicio´n 9.24. Dados A ⊆ (X,T) y b ∈ X
decimos que b es un punto frontera de A si
para toda Vb se tiene Vb ∩A 6= ∅ 6= Vb ∩Ac.
El conjunto de los puntos frontera de A lo
notamos Fr(A):
Fr(A) := {x | x es un punto frontera para A}.
Un subconjunto A de un espacio genera una particio´n sobre el espacio
de la siguiente manera.
G
. R
UB
IA
NO
148 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
Proposicio´n 9.25. Sean (X,T) un espacio y A ⊆ X. X es la unio´n
disyunta
X = A◦ ∪ Fr(A) ∪ Ext(A).
Demostracio´n. Las definiciones son excluyentes.
EJEMPLO 9.14
Para Q como subconjunto de Ru se tiene Q◦ = ∅, Ext(Q) = ∅, Fr(Q) =
R. ¿Co´mo es la particio´n si tomamos a (R, cofinitos)?
Ejercicios 9.3
1. Continuidad en te´rminos del interior. Una funcio´n f : X −→ Y es
continua si y solo si f−1 (B◦) ⊆ (f−1(B))◦ para cada B ⊆ Y .
2. Muestre que:
a) A = Ext(A)c.
b) A = (X −M)◦.
c) A◦ = X − (X −A).
d) Fr(A) = A ∩Ac.
e) Fr(A) = Fr(Ac).
f ) Fr(A) ⊆ Fr(A).
g) Fr
(
A◦
) ⊆ Fr(A).
h) Fr(A ∪B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B).
i) Fr(A) = {x | x /∈ A◦ y x /∈ (Ac)◦} = (A◦ ∪ (Ac)◦)c.
3. Muestre que:
a) A es abierto si y solo si A ∩ Fr(A) = ∅.
b) A es cerrado si y solo si Fr(A) ⊆ A.
c) A es aberrado si y solo si Fr(A) = ∅.
4. Continuidad en te´rminos de la frontera. La funcio´n f : X −→ Y es
continua si y solo si Fr(f−1(B)) ⊆ f−1(Fr(B)) para cada B ⊆ Y .
G
. R
UB
IA
NO
9.4 Subconjuntos densos 149
5. Para (R2, verticales) y (R2, lexicogra´fico) ¿co´mo es la adherencia,
interior, frontera y exterior de los siguientes conjuntos?
a) {(0, 0)}.
b) {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
c) S1.
d) {(x, y) | y > 0}.
e) {(x, y) | x > 0}.
f ) {(0, y) | y > 0}.
g) R× {0}.
h) {0} × R.
6. Si (X,T) es un espacio y A,B ⊆ X entonces A◦×B◦ = (A×B)◦.
¿Que´ sucede si el conjunto de ı´ndices es arbitrario?
7. Muestre que Cl Int Cl Int A = Cl Int A, i. e.,
(
A◦
)◦ =A◦.
8. Problema de Kuratowski, 1922. Dado un subconjunto A de
un espacio, existen a lo ma´s 14 conjuntos diferentes que pueden
ser construidos aplicando cualquier permutacio´n de la clausura, el
interior y el complemento sobre A.
Sugerencia: recurra a la literatura. Muestre que en Ru el conjunto
A = [0, 1] ∪ (2, 3) ∪ [(4, 5) ∩ Q] ∪ [(6, 8) − {7}] ∪ {9} satisface el
problema.
9. Si (X,T) es un espacio y A ⊆ X, muestre que la funcio´n carac-
ter´ıstica Ξ|A : X −→ Ru es continua en el punto x si y solo si
x /∈ Fr(A).
9.4. Subconjuntos densos
Un subconjunto A que esta´ por todas partes del espacio (X,T) merece
un nombre especial.
Definicio´n 9.26. Sean (X,T) un espacio y A,B ⊆ X. A se llama denso
en B si B ⊆ A. Si A es denso en X, i. e., A = X, lo llamamos denso
en toda parte o simplemente denso —no hacemos referencia a ningu´n
subconjunto—. En otras palabras, A es denso si para cualquier Vx de
cualquier x ∈ X tenemos Vx ∩A 6= ∅.
G
. R
UB
IA
NO
150 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
EJEMPLO 9.15
Los nu´meros irracionales I son densos en R con la topolog´ıa usual.
EJEMPLO 9.16
Un espacio X es discreto si y solo si tiene un u´nico subconjunto denso.
⇒) Si el espacio es discreto, cada subconjunto es cerrado y por tanto el
u´nico denso es X.
⇐) Si X no fuera discreto, existe un punto x tal que {x} no es abierto,
y por tanto X − {x} es denso.
Si el conjunto denso no es muy grande, el espacio merece un adjetivo.
Definicio´n 9.27. Sea (X,T) un espacio. Decimos que X es separable
si existe A ⊆ X enumerable y denso.
EJEMPLO 9.17
Cada Rn es separable —basta considerar a Qn—.
Proposicio´n 9.28. Si X es 2-contable entonces X es separable.
Demostracio´n. Sea B = {B1, B2, . . .} una base enumerable. Por cada Bn
tomamos un xn ∈ Bn y formamos el conjunto D = {x1, x2, . . .}. D es
denso, pues dado cualquier abierto U , por ser B una base, existe Bi con
xi ∈ Bi ⊆ U .
El rec´ıproco de la proposicio´n anterior no es cierto en general como semuestra en el siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios me´tricos
s´ı se tiene la equivalencia entre los conceptos 2–contable y separable.
EJEMPLO 9.18
(R, cofinitos) es un espacio separable pues N = R, pero ya sabemos
que (R, cofinitos) no es 2-contable.
(R, coenumerables) no es separable. Si D ⊆ R fuera denso y enumerable,
entonces R−D es abierto, y por tanto para x ∈ R−D se tiene que x /∈ D.
G
. R
UB
IA
NO
9.4 Subconjuntos densos 151
Proposicio´n 9.29. Si (X, d) es un espacio me´trico y separable, entonces
es 2-contable.
Demostracio´n. Sea D = {d1, d2, . . .} un subconjunto denso en X. La
coleccio´n B = {B 1
n
(dm) : m,n ∈ N} es una base enumerable para la
topolog´ıa generada por d. Dado un abierto U y x ∈ U existe Bε(x) ⊆ U .
Sea dm ∈ D con dm ∈ B ε
4
(x). La bola B ε
2
(dm) satisface
x ∈ B ε
2
(dm) ⊆ Bε(x) ⊆ U
pues si t ∈ B ε
2
(dm) entonces d(t, x) ≤ d(t, dm) + d(dm, x) ≤ ε2 + ε4 .
La utilidad de la equivalencia de estos dos conceptos en los espacios
metrizables se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 9.19
(R, [a, b)) no es metrizable, ya que es separable pero no es 2-contable.
EJEMPLO 9.20
La propiedad de separabilidad no es hereditaria (no se hereda a los
subespacios); por ejemplo, en R2 la siguiente coleccio´n B de ‘cuadrados
semiabiertos’ forma una base
B = {[a, b)× [c, d) | a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R}.
Un abierto ba´sico para la topolog´ıa generada tiene la forma descrita por
la figura 9.3. Esta topolog´ıa, conocida como topolog´ıa de Sorgenfrey,
es separable pues Q×Q = R× R.
El subconjunto formado por la recta diagonal
L = {(x,−x) : x ∈ R}
es un subconjunto cerrado pues su complemento es abierto. La topolog´ıa
de subespacio es la discreta y, por lo tanto, L no es separable. Notemos
que el cubrimiento abierto de R2
{R2 − L}
⋃
{[−a, 1)× [a, 1) : a ∈ R}
no se puede reducir a uno enumerable y por tanto el espacio no es de
Lindeloff.
G
. R
UB
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NO
152 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
................................................................................................................
........
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.....................
......................
.....................
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.......
............
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.......
............
..................................................................
x
y
◦
◦.
.
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Figura 9.3: Un abierto en la topolog´ıa de Sorgenfrey.
En caso que el subespacio sea abierto la separabilidad s´ı se hereda.
Proposicio´n 9.30. Sean (X,T) un espacio separable y A ⊆ X con A
abierto. El subespacio (A,TA) es separable.
Demostracio´n. Si D es denso y contable en X, D ∩A lo es en TA.
La propiedad de separabilidad es productiva para una cantidad enu-
merable de factores.
Teorema 9.31. Si {(Xn,Tn)}, (n ∈ N) es una coleccio´n de espacios
separables, el espacio producto
∏
n∈NXn es separable.
Demostracio´n. Sea Dn un subconjunto denso en Xn, Dn = {xn0 , xn1 , . . .}.
Consideremos el conjuntoM de todos los subconjuntos finitos de N.M
es un conjunto contable. Para cada K ∈M definimos
SK = {f | f : K −→ N}.
SK es enumerable y por tanto F :=
⋃
K∈M SK es tambie´n enumerable.
Dada f ∈ F definimos xf ∈
∏
n∈NXn como
xf (n) =
{
xnf(n), si n esta´ en el dominio de f,
xf (n) = xno si n no esta´ en el dominio de f .
G
. R
UB
IA
NO
9.4 Subconjuntos densos 153
Sea
U = Un1 × · · · × Unj ×
∏
i 6=nj
Xn
un abierto ba´sico. Por cada ni escogemos mi tal que xnimi ∈ Uni (densidad
de Dni). Para f definida como f(ni) = mi, (i = 1, . . . , k) se tiene que
xf ∈ U . Luego D := {xf : f ∈ F} es denso.
EJEMPLO 9.21
El producto arbitrario de espacios separables no siempre es separable.
Para cada i sea Xi = ({0, 1}, discreta) donde I = 2R es el conjunto de
ı´ndices. Veamos que el producto
X = {0, 1}2R =
∏
i∈I
Xi
con la topolog´ıa producto no es separable.
Supongamos que existe D ⊆ X denso y enumerable. Por cada ı´ndice
i ∈ I consideramos el subconjunto Di := D ∩ p−1i (1). Para cada i 6= j
se verifica que Di 6= Dj . Esto define una funcio´n inyectiva h : I −→ 2D
dada por h(i) := Di; con lo cual el cardinal de I resulta menor o igual
que el cardinal de 2D.
Por supuesto, la separabilidad es un invariante topolo´gico.
Teorema 9.32. La separabilidad es un invariante topolo´gico.
Demostracio´n. Sean f : (X,T) −→ (Y,H) un homeomorfismo, D ⊆ X
denso y enumerable; veamos que f(D) es denso en Y . Dado V ∈ H, para
f−1(V ) existe d ∈ D con d ∈ f−1(V ) y as´ı f(d) ∈ V —solo utilizamos
que f es continua y sobre—.
Concluimos esta seccio´n con un teorema de unicidad, en el sentido
que solo hay una manera de extender una funcio´n continua a todo el
espacio una vez este´ definida sobre un subconjunto denso.
Teorema 9.33. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas, donde Y es de
Hausdorff. Si f(x) = g(x) para cada x ∈ D, D denso en X, entonces
f = g.
G
. R
UB
IA
NO
154 Posicio´n de un punto respecto a un conjunto
Demostracio´n. Si f 6= g sea z ∈ X para el cual f(z) 6= g(z). Tomamos
dos abiertos disyuntos U, V vecindades de f(z) y g(z) respectivamente.
Como z ∈ f−1(U) ∩ g−1(V ), que es un abierto que no corta a D, ten-
dr´ıamos que z /∈ D, lo cual contradice la densidad de D.
EJEMPLO 9.22
Ser 2–contable tiene consecuencias interesantes.
Por ejemplo, si (X,T) es 2–contable y de Hausdorff, la cantidad de
abiertos en X puede ser acotada; en efecto, el cardinal de T es a
lo ma´s el cardinal del continuo 2ℵ0 . Como cada U ∈ T es unio´n de
elementos de la base, hay tantos abiertos como uniones de elementos en
la base enumerable; esto es, tantos como subconjuntos de un conjunto
enumerable.
Tambie´n podemos acotar el nu´mero de elementos en X. Como X es de
Hausdorff, la funcio´n f : X −→ T con f(x) := X−{p} es inyectiva y por
tanto el cardinal del dominio es menor o igual al cardinal del codominio.
EJEMPLO 9.23
Si debilitamos au´n ma´s las hipo´tesis sobre los espacios del ejemplo
anterior, es decir, exigimos que (X,T) sea 1–contable, separable y
Hausdorff, 2ℵ0 = 2ω es todav´ıa una cota para la cardinalidad de X.
Como X es separable, sea S un subconjunto denso y contable de X.
Como X es 1-contable, para cada p ∈ X construimos una sucesio´n (sp)
en S que converge a p. Entonces, para p 6= q, el ser de Hausdorff implica
(sp) 6= (sq). El nu´mero de tales sucesiones es a lo ma´s SN = ωω = 2ω,
con lo cual #(X) ≤ 2ω.
El argumento anterior muestra que en un espacio X de Hausdorff, 1-
contable y con un subconjunto denso de cardinalidad menor o igual a
2ω, el conjunto X tiene cardinalidad menor o igual a 2ω puesto que
#(cN) = c.
Dado que #(X) ≤ 2ω y X es 1–contable, X tiene una base —la
unio´n de todas las bases locales— de cardinalidad menor o igual a
N · 2ω = #(N) · c = c = 2ω.
G
. R
UB
IA
NO
9.4 Subconjuntos densos 155
Luego el nu´mero de conjuntos abiertos en X es a lo ma´s 22
ω
. Adema´s,
22
ω
es la mejor cota sobre el nu´mero de conjuntos abiertos para estos
espacios. Por ejemplo R2 con la topolog´ıa de Sorgenfrey (ver ej. 9.20).
Si solo asumimos que (X,T) es un espacio de Hausdorff y separable,
la mejorcota para la cardinalidad de X es 22
ω
y la mejor cota para el
nu´mero de abiertos en X es 22
2ω
.
De otra parte, 2ω es una cota para el nu´mero de funciones continuas
de X en R. En efecto, sea S un subconjunto denso y contable de X.
El nu´mero de funciones de S en R es a lo ma´s (2ω)ω = 2ω. Si f, g son
funciones continuas de X en R, que coinciden sobre S, entonces f = g.
El hecho de que X sea de Hausdorff no se usa en este argumento.
Ejercicios 9.4
1. Muestre que A ⊆ X es denso si y solo si A intercepta a todo abierto
no vac´ıo de X.
2. Sean A,B subconjuntos densos en X,Y respectivamente. Muestre
que A×B es denso en X × Y .
3. Muestre que C([0, 1]) con la topolog´ıa 〈d∞〉 del sup es separable.
Sugerencia: Teorema de aproximacio´n de Weierstrass 1.885. Los
polinomios con coeficientes racionales forman un conjunto denso.
4. Muestre que en el espacio X+ = X ∪ {ω} generalizado de Arens-
Fort —ejercicio 4 de 5.3 pa´g. 94— X es denso en X+.
5. Para el caso de R+ = R∪{ω} con el filtro de Fre`chet, este espacio
no es separable pero s´ı es de Lindeloff.
6. Muestre que en (X,Tp) cada abierto no vac´ıo es denso.
7. ¿En (X,Tp) que´ subconjuntos son densos?
8. Dado un espacio (X,T), decimos que M ⊆ X es diseminado o
denso en ninguna parte si (M)◦ = ∅.
a) Muestre que Z es diseminado en (R, usual). ¿En (R, cofinitos)?
b) M es diseminado si y solo si (M)c es denso.
9. Muestre que (I × I, lexi) no es separable.
G
. R
UB
IA
NO
10 Compacidad
Iniciamos este cap´ıtulo recordando el ce´lebre teorema del ca´lculo
conocido con el nombre de Heine-Borel-Lebesgue1 el cual resalta una
propiedad importante (si no la ma´s) de los intervalos cerrados y acotados
de R que permite restringir el estudio de los cubrimientos abiertos de
estos intervalos a cubrimientos finitos; esto es, tenemos una condicio´n
sobre el cardinal.
Definicio´n 10.1. Dados un espacio (X,T) y A ⊆ X decimos que una
coleccio´n U = {Ui}i∈I de abiertos (cerrados) de X es un cubrimiento
abierto (cerrado) de A si
A ⊆
⋃
U =
⋃
i∈I
Ui.
Si existe J ⊆ I tal que {Uj}, (j ∈ J) es tambie´n cubrimiento de A, a la
familia {Uj}j∈J la llamamos un subcubrimiento de U .
Teorema 10.2 (Heine-Borel-Lebesgue). Un intervalo [a, b] ⊆ R tiene la
propiedad que cada cubrimiento abierto U de [a, b] admite un subcubrim-
iento finito.
Demostracio´n. Consideremos a [a, b] con la topolog´ıa usual inducida de
R y sea U un cubrimiento abierto de [a, b]. Definimos
M = {x ≤ b : [a, x] esta´ contenido en un subcubrimiento finito de U}.
1Introducido por el matema´tico alema´n Heinrich Heine (Berl´ın 1821-Halle 1881)
en 1872 (quien tambie´n formulo´ el concepto de la continuidad uniforme), modificado
por el matema´tico y pol´ıtico france´s Fe´lix Borel (Saint-Affrique 1871-Par´ıs 1956) en
1894 y por Henri Le´on Lebesgue (Beauvais 1875-Par´ıs 1941), matema´tico france´s que
formulo´ la teor´ıa de la medida en 1910.
156
G
. R
UB
IA
NO
10.1 Espacios compactos 157
M es no vac´ıo y esta´ acotado superiormente por b. As´ı, M admite una
mı´nima cota superior s. Veamos que s ∈M y s = b. Sea U un elemento
de U que contiene a s. Como U es abierto, existe ε > 0 tal que (s−ε, s] ⊆
U si s = b o para s < b tendr´ıamos (s − ε, s + ε) ⊆ U y por ser s un
sup existe δ > 0 tal que δ < ε y s− δ ∈M . Luego el intervalo [a, s− δ]
esta´ contenido en la unio´n de un subcubrimiento finito de U , llame´moslo
M. Por tanto M ∪ {U} es un recubrimiento finito de [a, s], es decir
s ∈M . Si s fuese menor que b entonces (∪M)∪U contendr´ıa a [a, s+ ε]
y contradice que s es sup de M .
Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la gene-
ralizamos a los espacios topolo´gicos y con la siguiente definicio´n2 le
damos nombre.
10.1. Espacios compactos
Definicio´n 10.3. Un espacio (X,T) se dice compacto si cada cubrim-
iento abierto de X admite un subcubrimiento finito.
A ⊆ X es compacto si A como subespacio de X es compacto; i. e.,
dado un cubrimiento abierto A ⊆ ⋃i∈I Vi —A = ⋃i∈I(Vi∩A) es reunio´n
de abiertos del subespacio—, existe una subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Vik
tal que A ⊆ ⋃ki=1 Vik ; esto implica A = ⋃nk=1(Vik ∩A).
La siguiente visualizacio´n de la compacidad s debe a John D. Baum:
Supongamos que una gran multitud de personas —posible-
mente infinitas— esta´n afuera bajo la lluvia, y que cada
una de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas per-
manecera´n sin mojarse. Pero por supuesto es posible que
ellas este´n juntas de manera tan compacta, que no sea nece-
sario sino que un nu´mero finito de ellas abran sus sombrillas
y todav´ıa permanezcan sin mojarse. En este caso pensamos
que ellas forman una especie de espacio compacto.
2Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera inde-
pendiente por el gran topo´logo ruso Pavel Alexandroff (1896-1982 Moscu´) y por el
matema´tico ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898–Francia 1924).
G
. R
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158 Compacidad
EJEMPLO 10.1
1. Si X es un conjunto finito toda topolog´ıa es compacta.
2. (R, cofinitos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U ,
tomemos U ∈ U ; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U
tan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento
abierto.
3. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la
coleccio´n (n − 1, n + 1) para n ∈ Z no tiene un subcubrimiento
finito.
4. Para un conjunto infinito X y a ∈ X, (X,Ta) es compacta mientras
(X,Ta) no lo es.
EJEMPLO 10.2
La compacidad no se hereda.
Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ⊆ [0, 1] no es compacto pues {(0, 1 −
1/n)}n∈N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir a
un subcubrimiento finito.
En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria.K
Teorema 10.4. Sean (X,T) un espacio compacto y A ⊆ X un cerrado,
entonces A es compacto.
Demostracio´n. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ⊆ ⋃U . Si
an˜adimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X.
Luego existen U1, . . . , Un en U tales que X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ Ac y
por tanto A ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un.
EJEMPLO 10.3
En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y
es un cerrado en [0, 1].
La compacidad es un invariante topolo´gico; ma´s au´n, es preservada por
las funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacio
es compacto: vie´ndolo como una imagen continua de un compacto.
G
. R
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10.1 Espacios compactos 159
Teorema 10.5. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) sobre y continua. Si X es
compacto entonces Y es compacto.
Demostracio´n. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia
f−1(U) = {f−1(U) : U ∈ U}
es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un sub-
cubrimiento {f−1(U1), . . . , f−1(Un)} de f−1(U) y por ser f sobre ten-
emos f(f−1(Uk)) = Uk para 1 ≤ k ≤ n. As´ı, Y = f(X) = U1 ∪ . . . ∪ Un
y por tanto U admite un subcubrimiento finito.
Corolario 10.6. No existe f : [0, 1] −→ (0, 1) continua que sea so-
breyectiva. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos.
Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen pro-
piedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en
general. Esta es una razo´n para que algunos autores llamen ‘compacto’
a lo que nosotros hemos definido, exigiendo adema´s que el espacio sea
de Hausdorff —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para
la escuela Bourbaki—.
Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de los
puntos que no contienen.
..........................................
..................
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..........................
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•
x
a
•
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........
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........
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................................
................ ........ ........ ......
...
.......
A
Uxa
Uax
Figura 10.1: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados.
Teorema 10.7. Sean (X,T) un espacio de Hausdorff y A un subespacio
compacto de X. Dado x ∈ X con x /∈ A, existen vecindades disyuntas
Vx, VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que A
es cerrado—.
G
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160 Compacidad
Demostracio´n. Sea a ∈ A. Como X es de Hausdorff, existen abiertos
disyuntos Uxa , U
a
x de a, x respectivamente. Cuando a var´ıa en A, obten-
emos un cubrimiento de A dado por U = {Uxa | a ∈ A} y de e´l extrae-
mos un subcubrimiento finito {Uxa1 , . . . , Uxan}. Si Ux =
⋂n
i=1 U
ai
x entonces
Ux ∩ (
⋃n
i=1 U
x
ai) = ∅ y adema´s A ⊆
⋃n
i=1 U
x
ai .
El hecho de que una funcio´n continua f sea una biyeccio´n asegura
la existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta u´ltima, i.
e., no podemos tener la certeza de que f sea una funcio´n abierta. El
teorema 10.8 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso
de los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funciones
abiertas.
En general compacidad y Hausdorff son una buena combinacio´n, de
hecho forman una propiedad o´ptima (realmente minimal, ejercicio 18).
Una topolog´ıa que es ma´s fina que una topolog´ıa de Hausdorff es de
Hausdorff, mientras que una topolog´ıa que es ma´s gruesa que una
topolog´ıa compacta es a su vez compacta.
Teorema 10.8. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y de
Hausdorff. Si f : X −→ Y es una biyeccio´n continua entonces f es un
homeomorfismo.
Demostracio´n. Solo nos resta verificar que f−1 es continua, i. e., f es
cerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto
f(C) es compacto en Y , y como Y es Hausdorff, f(C) es adema´s cerrado.
EJEMPLO 10.4
Un camino sobreyectivo f : [0, 1] −→ [0, 1]× [0, 1].
Estos caminos existen3 aunque la intuicio´n nos falle y se construyen
mediante un proceso iterativo como en la figura 10.2— no puede ser
inyectivo, i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo
contrario ser´ıa una biyeccio´n y por el teorema anterior un homeomorfis-
mo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos.K
3Fue el matema´tico italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Tur´ın 1932) el primero
en descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curva
de Peano que llena el espacio aparecio´ en 1890 como un contraejemplo que uso´ para
mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una regio´n arbitrariamente
pequen˜a. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.
G
. R
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10.1 Espacios compactos 161
Figura 10.2: Construccio´n de una curva de Peano.
Ejercicios 10.1
1. Sean (X,T), (Y,H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Si
f : X −→ Y es continua entonces f(A) = f(A) para todo A ⊆ X.
2. ¿Es la interseccio´n de espacios compactos un compacto?
Sugerencia: considere el espacio producto
X = (R, usual)× ({0, 1}, grosera).
Grafique los subespacios
a) A = [a, b]× {0} ⋃ (a, b)× {1},
b) B = (a, b)× {0} ⋃ [a, b]× {1}.
Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto
(a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A∩B = (a, b)×{0, 1}
no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es.
3. ¿Es la unio´n de espacios compactos un compacto?
4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto.
5. Considere a (0, 1) con la base {(0, 1/n)}n∈N. ¿Quie´n es la adheren-
cia de (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto?
6. Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es.
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162 Compacidad
7. Sea (X,T) un espacio 1-contable. X es de Hausdorff si y solo si
cada subconjunto compacto es cerrado.
8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la funcio´n e : X −→ S1
definida por e(t) = (cos 2pit, sen 2pit) —la restriccio´n de la funcio´n
exponencial— es una biyeccio´n continua que no es un homeomor-
fismo.
9. Muestre que el conjunto [0, 1]×[0, 1] como subespacio de (R2, lexico)
no es compacto.
10. Sea (X,≤) un conjunto parcialmente ordenado con un primer ele-
mento y dotado con la topolog´ıa de colas ↑ x a derecha (filtros de
orden principales). Muestre que X es compacto.
11. Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. La topolog´ıa del or-
den es compacta si y solo si X es un ret´ıculo completo. Revise la
demostracio´n del teorema 10.2.
12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito.
13. Sean T1, T2 dos topolog´ıas para X. Muestre que si T1 es compacta
y T2 ⊆ T1 entonces T2 es compacta.
14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Haus-
dorff y compacto, dado x ∈ X y cualquier vecindad Vx, existe una
vecindad abierta Ux tal que Ux ⊆ Ux ⊆ Vx.
15. No abundan los compactos. Si (X,T) es de Hausdorff y todos los
subconjuntos deX son compactos entonces la topolog´ıa es discreta.
16. Sea (X,T) un espacio. La familia
Gcompacto := {U ∈ G : U c es compacto} ∪ {∅}
es una topolog´ıa compacta para X.
17. Muestre que en un espacio me´trico todo subconjunto compacto es
cerrado y acotado. ¿Se tiene la rec´ıproca?
18. Muestre que compacto–Hausdorff es una propiedad minimal: si
X es compacto y de Hausdorff con respecto a una topolog´ıa T,
entonces cualquier otra topolog´ıa que sea estrictamente ma´s fina
que T es de Hausdorff pero no compacta, mientras que toda otra
topolog´ıa ma´s gruesa que T es compacta pero no de Hausdorff.
Sugerencia: aplique el teorema 10.8 a la funcio´n ide´ntica de X.
G
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10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 163
10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad
10.2.1. Compacidad v´ıa cerrados
Sean X un conjunto y A = {Ai}i∈I , una familia de subconjuntos de
X. A tiene la propiedad de la interseccio´n finita PIF si la intersec-
cio´n de cualquier subfamilia finita de A es no vac´ıa, i. e., si para todo
J ⊆ I finito se tiene ⋂j∈J Aj 6= ∅. El siguiente teorema da una caracter-
izacio´n de la compacidad en te´rminos de los subconjuntos cerrados del
espacio.
Teorema 10.9. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada colec-
cio´n C = {Ci}i∈I de cerrados que posee la PIF satisface que ∩C 6= ∅.
Demostracio´n. ⇒) Para cada i ∈ I, sea Ui = X − Ci. Si
⋂
i∈I Ci = ∅
entonces
⋃
i∈I Ui = X y por tanto {Ui}i∈I es un cubrimiento abierto de
X. ComoX es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin un subcubrimiento finito⋃n
k=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice
la PIF para C.
⇐) Si X no es compacto existe {Ui}i∈I cubrimiento abierto que no se
puede reducir a uno finito. Sea Ci = X−Ui para cada i ∈ I. Claramente
C = {Ci}i∈I tiene la PIF pero ∩C = ∅, lo que contradice la hipo´tesis.
Corolario 10.10 (Encaje de Cantor). Sea (X,T) un espacio compacto.
Si C = {Ci}, (i ∈ I) es una cadena descendente —encaje— de cerrados
no vac´ıos entonces ∩C 6= ∅.
Demostracio´n. C satisface la PIF.
EJEMPLO 10.5
Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados {[z,∞)}z∈R tiene la
PIF, y sin embargo la interseccio´n de todos los elementos de esta familia
es vac´ıa.
La siguienteproposicio´n generaliza el cla´sico teorema de B. Bolzano4
dado en 1830 en el contexto de los nu´meros reales: cada subconjunto
infinito y acotado de nu´meros reales tiene un punto de acumulacio´n.
4Matema´tico checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano libero´ de manera exitosa
al ca´lculo del concepto de infinitesimal. Tambie´n dio ejemplos de funciones 1-1 entre
elementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelanto´ a
G
. R
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164 Compacidad
Proposicio´n 10.11 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito
de un espacio compacto X tiene un punto de acumulacio´n.
Demostracio´n. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de
acumulacio´n, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acu-
mulacio´n, entonces para todo x ∈ X existe Vx tal que Vx ∩ A = ∅
o´ Vx ∩A = {x} en el caso que x ∈ A. La coleccio´n {Vx}, (x ∈ X) forma
un cubrimiento abierto de X (compacto) el cual admite un subcubrim-
iento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Claramente A ⊆
⋃n
i=1 Vxi = X y por tanto A
tiene a lo ma´s {x1, x2, . . . , xn} puntos.
En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de
acumulacio´n es finito, i. e., todo se acumula excepto lo finito.
Si el espacio compacto es adema´s de Hausdorff, el siguiente teorema
da condiciones para su cardinalidad.
Teorema 10.12. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con la
propiedad que cada uno de sus puntos es de acumulacio´n, i. e., no posee
puntos aislados. Entonces X es incontable.
Demostracio´n. Dado A = {a1, a2, . . .} ⊆ X mostremos que existe x ∈ X
tal que x /∈ A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerrados
no vac´ıos C1 ⊇ C2 ⊇ C3 ⊇ · · · con la propiedad que an /∈ Cn y como X
es compacto existe x ∈ ⋂∞n=1Cn.
Para la construccio´n de {Cn}n utilizamos de manera inductiva el
siguiente hecho: dados un abierto U 6= ∅ y b ∈ X, existe una vecindad
W contenida en U y tal que b /∈W (b puede estar o no en U). En efecto,
sea y ∈ U con y 6= b (si b ∈ U utilizamos que b es de acumulacio´n, si
b /∈ U tomamos y ∈ U pues U 6= ∅). Como el espacio es de Hausdorff,
existen vecindades V yb ∩ V by = ∅; luego, Wy = V by ∩ U satisface b /∈W .
La construccio´n: sea X el primer abierto y escojamos W1 ⊆ X con
a1 /∈ W1. Hagamos C1 = W1. Sea W2 ⊆ W1 con a2 /∈ W2 y C2 = W2.
los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de funcio´n continua y
en la demostracio´n de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y
en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus
escritos de ana´lisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros cient´ıficos, o por
permanecer ine´ditos, como su importante Teor´ıa de Funciones, que aparecio´ en 1930,
la influencia de sus ideas fue escasa. Definio´ lo que hoy se conoce como sucesiones de
cauchy.
G
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10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 165
Continuamos este proceso escogiendo Wn+1 ⊆ Wn con an+1 /∈ Wn+1 y
hacemos y Cn+1 = Wn+1. La interseccio´n
⋂∞
n=1Cn nos proporciona el
punto x /∈ A.
Corolario 10.13. R es incontable.
10.2.2. Compacidad v´ıa filtros
Definicio´n 10.14. Sea F un filtro en el espacio (X,T). Un punto x ∈ X
es adherente al filtro si para toda Vx y todo F ∈ F se tiene Vx∩F 6= ∅.
Es decir, V(x) ∩ F es una base de filtro.
Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos
que son adherentes al filtro; en particular
F =
⋂
{F | F ∈ F}.
Teorema 10.15. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en
X tiene un punto adherente.
Demostracio´n. ⇒) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que⋂{F | F ∈ F} 6= ∅. La coleccio´n C := {F | F ∈ F} posee la PIF, pues
dada F1, F2, . . . , Fn una subfamilia finita de C
n⋂
i=1
Fi ⊆
n⋂
i=1
Fi
y como F es un filtro tenemos ⋂ni=1 Fi 6= ∅, con lo cual ⋂ni=1 Fi 6= ∅. Por
tanto ∩C 6= ∅ y as´ı F = ∩C 6= ∅.
⇐) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de
cerrados con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjunto
M de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base de
filtro ya que
1. La interseccio´n no vac´ıa de dos elementos de M contiene a un
elemento de M.
2. M es no vac´ıo y el conjunto vac´ıo no es un elemento de M.
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166 Compacidad
Sea F el filtro generado por M, i. e.,
F := 〈M〉 = {F ⊆ X : M ⊆ F, algu´n M ∈M}.
Sabemos que F 6= ∅ y por tanto existe x ∈ X con x ∈ ⋂{F | F ∈ F} y
como C ⊆ F tenemos⋂
{F : F ∈ F} ⊆
⋂
{C : C ∈ C} =
⋂
{C : C ∈ C},
pues cada C es cerrado. De tal manera que x ∈ ⋂{C : C ∈ C}.
EJEMPLO 10.6
(R, cofinitos) es compacto (v´ıa los filtros).
Sea F un filtro en R y supongamos que a ∈ R satisface que a /∈ F , i. e.,
existen Va y F ∈ F para los cuales Va ∩ F = ∅. Luego F ⊆ X − Va y
como la topolog´ıa es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamos
F = {x1, x2, . . . , xn}.
Afirmamos que existe un ı´ndice i ∈ {1, 2, . . . , n} para el cual se satisface
que el punto xi esta´ en todos los elementos del filtro, pues en caso con-
trario existen F1, . . . , Fn ∈ F (uno por cada ı´ndice) tales que xk /∈ Fk,
(k = 1, . . . , n) y as´ı F ∩ (F1 ∩ . . . ∩ Fn) = ∅ lo cual no puede suceder.
Para este ı´ndice i se tiene entonces que xi ∈ F .
10.2.3. Compacidad v´ıa ultrafiltros
La compacidad tiene una definicio´n en te´rminos de los ultrafiltros.K
Teorema 10.16. Un espacio (X,T) es compacto si y solo si cada ultra-
filtro en X es convergente.
Demostracio´n. ⇒) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no es
convergente; para cada x ∈ X existe Vx abierta tal que Vx /∈ U , y como
U es un ultrafiltro entonces V cx ∈ U . Por supuesto {Vx}, (x ∈ X) es un
cubrimiento abierto de X y por la compacidad lo podemos reducir a un
subcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . As´ı, (
⋃n
i=1 Vxi)
c =
⋂n
i=1 V
c
xi = ∅,
con lo cual ∅ estar´ıa en U y esto no puede suceder.
⇐) Consideremos una familia C = {Ci}i∈I de cerrados en X con la
PIF y veamos que ∩C 6= ∅. C es una subbase de filtro, en el sentido que
G
. R
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10.3 Producto de dos compactos 167
la coleccio´n de las intersecciones finitas de elementos de C forman una
base de filtro.
Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase,
〈C〉 ⊆ U . Como U es convergente, sea p ∈ X tal que U → p. Tenemos
que p ∈ ∩C pues de lo contrario existe C ∈ C con p ∈ Cc, luego Cc ∈ U
por ser vecindad de p y tendr´ıamos que tanto C como Cc esta´n en U , lo
cual no puede suceder.
EJEMPLO 10.7
(R, cofinitos) es compacto (v´ıa los ultrafiltros).
Sea U un ultrafiltro en R y veamos que e´l es convergente. Si U es principal
entonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elemen-
tos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera se
tiene que Vx ∈ U pues de lo contrario V cx ∈ U , pero sabemos que U no
la admite por ser finita. Por tanto U converge a todo punto.
10.3. Producto de dos compactos
Teorema 10.17. Sean (X,T), (Y,H) dos espacios. La topolog´ıa pro-
ducto para X × Y es compacta si y solo si X y Y son compactos.
Demostracio´n. ⇒) Si X × Y es compacto, las proyecciones nos garanti-
zan que tanto X como Y tambie´n son compactos.
G
. R
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168 Compacidad
⇐) Sea O = {Oi}, (i ∈ I) un cubrimiento abierto de X × Y . Por
cada (x, y) ∈ X×Y existen abiertos V yx ⊆ X, V xy ⊆ Y tales que (x, y) ∈
V yx × V xy ⊆ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficiente
mostrar que los recta´ngulos ba´sicos V yx ×V xy construidos de esta manera
contienen una subfamilia finita que recubre a X × Y , ya que para cada
elemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene.
Dado y ∈ Y , consideremos la familia {V yx }x∈X , la cual es un cubrim-
iento abierto deX y por tanto existe un subcubrimiento V yx1 , V
y
x2 , . . . , V
y
xm
—m(y) es un entero que depende de y—. Por cadai = 1, . . . ,m(y) con-
sideremos el respectivo V xiy y construyamos Qy =
⋂m(y)
i=1 V
xi
y una vecin-
dad abierta de y. No´tese que
{V yx1 ×Qy, V yx2 ×Qy, . . . , V yxm(y) ×Qy}
es un cubrimiento abierto de X × Qy. Como este Qy fue construido
para un y dado, la familia {Qy}y∈Y es cubrimiento abierto de Y . Sea
Qy1 , . . . , Qyn un subcubrimiento finito; luego la familia
{V ytxk ×Qyt}t=1,2,...,nk=1,2,...,m(yt)
es un cubrimiento abierto y finito de X × Y . Como Qy ⊆ V xky la familia
{V yx × V xy }(x,y) , (x, y) ∈ X × Y
admite un subcubrimiento finito.
¿Co´mo caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos?
Teorema 10.18. A ⊆ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y aco-
tado.
Demostracio´n. ⇒) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para ver
que es acotado notemos que {Bn(0)}, (n ∈ N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) es
un cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, esta´ contenido en la
unio´n de un nu´mero finito de estas bolas, pero esta unio´n es precisamente
la bola de radio m para m el mayor de los radios.
⇐) SiA es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional,
i. e., existe un t ∈ N tal que
A ⊆ [−t, t]× [−t, t]× · · · × [−t, t] —n copias de [−t, t]—
y como cada [−t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenido
en un compacto, luego A es compacto.
G
. R
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10.3 Producto de dos compactos 169
EJEMPLO 10.8
Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.8) son compactos
por ser subconjuntos cerrados y acotados de Rn2 , mientras que GLn no
lo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por
cuanto es la unio´n disyunta de los abiertos formados por las matrices
con determinante positivo y negativo respectivamente.
EJEMPLO 10.9
El toro T y la cinta de Mo¨bius son compactos por ser cerrados y aco-
tados. Note que T tiene una representacio´n en R3 que equivale a pegar
en cada punto de S1 al mismo S1 algo ma´s reducido, luego lo podemos
ver como el producto S1 × S1 de dos compactos.
EJEMPLO 10.10
Una funcio´n nume´rica y continua sobre un espacio compacto es acotada
y tiene valores tanto ma´ximo como mı´nimo.
En otras palabras, si X es compacto y f : X −→ Ru es continua, en-
tonces existen a, b ∈ X tales que f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) para todo x ∈ X.
Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f(X) ⊆ R es
cerrado y acotado.
Proposicio´n 10.19. Sean (X,T), (Y,H) espacios topolo´gicos con Y
compacto. Si M ⊆ X × Y es un cerrado entonces la proyeccio´n pX(M)
es un cerrado en X —la funcio´n proyeccio´n pX es cerrada—.
Demostracio´n. Veamos que el complemento de pX(M) es un conjunto
abierto. Si a /∈ PX(M) entonces {a} × Y ⊆ M c. Por cada (a, y) existe
un abierto ba´sico V ya ×V ay ⊆M c. La coleccio´n {V ay }, (y ∈ Y ) cubre a Y
y la reducimos a una finita {V ayi}ni=1; entonces Va =
⋂n
i=1 V
yi
a satisface
Va ∩ PX(M) = ∅ y as´ı Va ⊆ PX(M)c.
EJEMPLO 10.11
En la proposicio´n 10.19, si Y no es compacto pX(M) no necesariamente
es cerrado; por ejemplo, si M = grafo(f) ⊆ R2u y f(x) = 1/x.
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170 Compacidad
Proposicio´n 10.20 (Wallace). Sea A × B un subespacio compacto de
un espacio producto X × Y . El conjunto
{V1 × V2 : V1 ∈ V(A), V2 ∈ V(B)}
es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A×B.
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◦
◦
◦ ◦
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A×B
W
U × V
B
A× {y}
A
V
U
Demostracio´n. Sea W un abierto con A × B ⊆ W . Por cada (x, y) ∈
A×B existe Uyx×V xy ⊆W . La coleccio´n {Uyx}, (x ∈ A) es un cubrimiento
de A × {y} el cual reducimos a uno finito {Uyxi}ni=1; consideremos la
vecindad Vy =
⋂n
i=1 V
xi
y .
Para los abiertos Uy =
⋃n
i=1 U
y
xi y Vy tenemos que A×{y} ⊆ Uy×Vy,
luego la coleccio´n {Vy}, (y ∈ B) es un cubrimiento abierto de B el cual
podemos reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; de suerte que U =
⋂n
i=1 V
yi ,
V =
⋃n
i=1 Vyi satisfacen A×B ⊆ U × V ⊆W .
EJEMPLO 10.12
Si A, o B no son compactos, la
proposicio´n 10.20 deja de ser ver-
dad; por ejemplo, en (R2, usual)
considere el subconjunto [1,∞) ×
[1, 2]. El abierto W es asinto´tico a
A × B y por tanto no podemos en-
contrar U × V ⊆W .
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10.4 Teorema de Tychonoff 171
Corolario 10.21 (Teorema del tubo). Considere el espacio producto
X × Y , donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a la
fibra {x0} × Y entonces W contiene un tubo Vx0 × Y .
Demostracio´n. {x0} × Y es un compacto en el espacio X × Y .
Ejercicios 10.3
1. Muestre que la caracterizacio´n en el teorema 10.18 no se puede
extender a los espacios me´tricos en general.
2. La distancia o me´trica de Hausdorff mide cuan lejos esta´n uno
de otro dos subconjuntos compactos de un espacio me´trico.
Sea (X, d) un espacio me´trico. En
H = {A ⊆ X | A es compacto}
definimos la distancia entre dos conjuntos como
dH(A,B) := ma´x{d(A,B), d(B,A)}
donde
d(a,B) := ı´nf{d(a, b) : b ∈ B}
d(A,B) := ma´x{d(a,B) : a ∈ A}.
Muestre que dH es una me´trica para H conocida como me´trica
o distancia de Hausdorff . En general d(A,B) 6= d(B,A) —en 
R2u considere dos discos, fig. 10.3—. Es la ma´xima distancia de un
conjunto al punto ma´s cercano en el otro conjunto.
3. Sean X,Y espacios de Hausdorff con Y compacto. f : X −→ Y es
continua si y solo si grafo(f) es cerrado en X × Y .
10.4. Teorema de Tychonoff
Los siguientes pa´rrafos esta´n encaminados a demostrar el resultado
que A. Tychonoff presento´ en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces
G
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NO
172 Compacidad
A B
d(B,A)
d(A,B)
Figura 10.3: Distancias d(A,B) 6= d(B,A) entre dos discos A y B.
como el resultado —individualmente— ma´s importante de la topolog´ıa
general. Lo que s´ı es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios
ma´s poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios cla´sicos
del Ana´lisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario
de espacios compactos5.
Figura 10.4: ....
5J. L. Kelley mostro´ en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma
de eleccio´n; no es de extran˜ar as´ı que toda demostracio´n de este teorema involucre al
Lema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de eleccio´n.
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10.4 Teorema de Tychonoff 173
Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesio´n en un
espacio producto en te´rminos de la convergencia de las proyecciones.
Veamos ahora co´mo caracterizar la convergencia para los filtros.
Lema 10.22. Sean X =
∏
i∈I Xi un espacio con la topolog´ıa producto,
x = (xi) un punto en X y F un filtro en X. F → x si y solo si para
cada i ∈ I el filtro —dado por la proyeccio´n— pi(F)→ xi en Xi.
Demostracio´n. ⇒) Como pi es continua y F → x entonces pi(F)→ xi.
⇐) Consideremos Vx ⊆ X una vecindad de x. No perdemos general-
idad si suponemos que Vx es un abierto ba´sico:
Vx = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin ×
∏
Xi, i 6= i1, . . . , in.
Luego pik(Vx) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyecciones
son abiertas. Como pik(F) → xik , pik(Vx) ∈ pik(F), y por tanto existe
F ∈ F tal que pik(F ) ⊆ pik(Vx), luego F ⊆ Uik ×
∏
i 6=ik Xi. Por ser F
un filtro tenemos que Uik ×
∏
i 6=ik Xi esta´ en F para cada k = 1, . . . , n.
Por tanto, la interseccio´n finita
n⋂
k=1
(Uik ×
∏
i 6=ik
Xi) = Vx ∈ F
lo que significa F → x.
Teorema 10.23 (Tychonoff 6). Sea X =
∏
i∈I Xi un espacio con la
topolog´ıa producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espacio
coordenado Xi es compacto.
Demostracio´n. ⇒) Si X es compacto, por ser cada proyeccio´n pi con-
tinua tenemos que cada Xi es compacto.
⇐) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que las
proyecciones son sobreyectivas, por cada i ∈ I, pi(U) es un ultrafiltro
en Xi y como cada Xi es compacto,pi(U)→ xi para algu´n xi ∈ Xi. Por
el lema 10.22, U converge al punto x = (xi), (i ∈ I) de X.
6El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lo
demostro´ para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enuncio´ de manera
ma´s general pero anotando que la demostracio´n en este caso discurr´ıa como en el caso
anterior. La primera demostracio´n publicada se debe a Eduard Cˇech en un art´ıculo
de 1937.
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174 Compacidad
La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, por
supuesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba con
las herramientas de los filtros —concepto que fue introducido para
estudiar la convergencia—, lo que hoy la hace tan sencilla.
Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes de
este teorema, una de ellas en te´rminos de subbases, Lema de Alexander,
y otra en te´rminos de la teor´ıa de convergencia de redes. Parece que
el teorema de Tychonoff marchara en contra del sentido comu´n, pues
compacidad es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos)
y no se esperar´ıa que una construccio´n involucrando infinitud de espacios
compactos fuese de nuevo compacta.
EJEMPLO 10.13
El cubo IN =
∏
i∈N[0, 1]i es compacto si lo dotamos de la topolog´ıa
producto.
EJEMPLO 10.14
Sean ({0, 1}, Sierpinski) y (X,T) un espacio topolo´gico cualquiera.
Consideremos el espacio producto
σ(X) =
∏
U∈T
{0, 1}U con {0, 1}U = {0, 1} para cada U ∈ T.
σ(X) con la topolog´ıa producto es compacto. Ahora definamos la funcio´n̂ : X −→ σ(X) como x 7→ x̂(U), donde x̂(U) = 0 si x ∈ U o x̂(U) = 1
si x /∈ U . Claramente ̂ es continua ya que as´ı lo son las funciones
proyeccio´n
(pU ◦ ̂)−1({0}) = {x ∈ X : x̂(U) = 0} = {x : x ∈ U} = U ;
o ma´s aun, ya que X tiene la topolog´ıa inicial dada por ̂. Adema´s ̂ es
abierta pues
Û = {x̂ : x ∈ U} = {x̂ : x̂U = 0} = p−1U ({0}) ∩ X̂.
En caso que X sea T0 tenemos que ̂ es inyectiva y por tanto un home-
omorfismo sobre X̂, i. e.,
X ≈ X̂ ⊆
∏
U∈T
{0, 1}U .
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10.5 Compacidad y sucesiones 175
10.5. Compacidad y sucesiones
Histo´ricamente la primera nocio´n de ‘compacidad’ se dio en te´rminos
de la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es impli-
cada por la nocio´n de compacidad que hemos definido en te´rminos de
cubrimientos abiertos. Veremos que esta nocio´n de compacidad es ma´s
fuerte que la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la
clase de los espacios 1-contable.
Definicio´n 10.24. Un espacio (X,T) se dice compacto por suce-
siones si cada sucesio´n en X contiene una subsucesio´n convergente.
EJEMPLO 10.15
1. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones
(la topolog´ıa de subespacio).
2. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio
(R, coenumerables). En ambos casos la sucesio´n (xn) = N no ad-
mite ninguna subsucesio´n convergente.
Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equiva-
lentes. En general existen espacios compactos que no son compactos por
sucesiones y viceversa, aunque como veremos unas l´ıneas adelante, los
ejemplos son ma´s bien esote´ricos. Claro esta´ que en el contexto de los
espacios me´tricos estos conceptos son equivalentes (seccio´n 10.6).
La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de
aqu´ı que sea un invariante topolo´gico.
Proposicio´n 10.25. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) una funcio´n continua y
sobre. Si X es compacto por sucesiones, tambie´n lo es Y .
Demostracio´n. Sea (yn) una sucesio´n en f(X). Definimos (xn) en X
tomando xn ∈ f−1(yn). Como X es compacto por sucesiones, existe una
subsucesio´n (xnk) y x0 ∈ X tal que xnk → x0. Por ser f continua, en
particular es secuencialmente continua y as´ı yn → f(x0).
G
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176 Compacidad
Una forma de compacidad ma´s de´bil que la compacidad usual y la com-
pacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos
que deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos con-
tables. Esta compacidad contable posee muchas de las propiedades
topolo´gicas que posee la compacidad; ma´s au´n, en el contexto de los
espacios metrizables o aun en espacios de Lindeloff ellas son equiva-
lentes.
Definicio´n 10.26. Un espacio (X,T) se dice compacto contable-
mente o ω–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X
admite un subcubrimiento finito.
Si recordamos que un espacio es de Lindelo¨f si cada cubrimiento
abierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios
compactos son los que son tanto de Lindelo¨f como ω–compacto
La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es
tan fina que pra´cticamente se necesita la opinio´n de un experto. Veamos
la implicacio´n de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 10.16
un refinado contraejemplo para la otra implicacio´n.
El corolario 10.32 muestra que en el marco de los espacios 1–
contable los dos conceptos son equivalentes.
Teorema 10.27. Si (X,T) es un espacio compacto por sucesiones en-
tonces X es compacto contablemente.
Demostracio´n. Si X no es contablemente compacto existe un cubrim-
iento abierto U = {U1, U2, . . .} con la propiedad que no se puede reducir
a un subcubrimiento finito, i. e., para cada n ∈ N existe xn ∈ (
⋃n
i=1 Ui)
c.
Sea (xnk) una subsucesio´n convergente de (xn) y sea x el punto de con-
vergencia. Tomemos Uj ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemos
que xm ∈ (
⋃m
i=1 Ui)
c =
⋂m
i=1 U
c
i luego xm ∈ U cj . As´ı que, para todos
los elementos xnk con nk > j se tiene xnk /∈ Uj , lo cual contradice la
convergencia de la subsucesio´n.
G
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10.5 Compacidad y sucesiones 177
EJEMPLO 10.16
El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablemente
compacto, pero no es compacto por sucesiones.
X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto de
todas las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesio´n de fun-
ciones (αn)n∈N con αn ∈ X de la manera siguiente: dado x ∈ I, αn(x) es
el n-e´simo d´ıgito en la expansio´n binaria de x. (αn)n∈N no tiene ninguna
subsucesio´n convergente; en efecto, si (αnk)nk∈N es una subsucesio´n que
converge al punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk(x) → α(x)
—recordemos que la convergencia en la topolog´ıa producto para X es
puntual—. Sea t ∈ I con la propiedad que αnk(t) = 0 si nk es impar,
αnk(t) = 1 si nk es par. La sucesio´n (αnk(t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .} no
puede converger.
En el ejemplo 8.4 mostramos que no es 1-contable.
EJEMPLO 10.17
(R, cofinitos) es contablemente compacto y adema´s compacto por suce-
siones.
EJEMPLO 10.18
(R, coenumerables) no es compacto por sucesiones.
El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser con-
tablemente compacto no se hereda a los subespacios.
EJEMPLO 10.19
[0, 1] con la topolog´ıa usual es compacto; luego en particular es contable-
mente compacto. Pero (0, 1) ⊆ [0, 1] no es contablemente compacto, ya
que el cubrimiento abierto {(0, 1 − 1/2n)}, (n ∈ N) no admite algu´n
subcubrimiento finito.
En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la
propiedad s´ı se hereda.Tambie´n se debe mostrar que ser contablemente K
compacto es un invariante por medio de las funciones continuas.
Con la ayuda del siguiente concepto, ma´s de´bil que el concepto de
punto l´ımite, podemos obtener una forma equivalente a la definicio´n de
compacidad contable; ver teorema 10.29.
G
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178 Compacidad
Definicio´n 10.28. Sean (X,T) un espacio y (xn) una sucesio´n en X.
Decimos que x ∈ X es un punto adherido, de adherencia o de acu-
mulacio´n de la sucesio´n (xn)n∈N si toda Vx tiene infinitos te´rminos
de la sucesio´n.
Si una sucesio´n (xn) tiene una subsucesio´n convergente entonces tiene
un punto adherido. Pero elhecho de que la sucesio´n posea un punto
de clausura no significa que posea una subsucesio´n convergente, como
lo muestra el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 10.20
El espacio X = (N×N)∪{(0, 0)} de Arens-Fort posee una sucesio´n que
tiene un punto de clausura y no tiene una subsucesio´n convergente.
Observemos que el conjunto X−{(0, 0)} es enumerable, i. e., existe una
biyeccio´n f : N −→ X−{(0, 0)}. f es una sucesio´n que tiene a (0, 0) como
punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos
te´rminos de la sucesio´n, pero ninguna subsucesio´n es convergente a (0, 0)
pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial.
Por supuesto que en los espacios me´tricos no tendr´ıamos este proble-
ma. Ma´s au´n, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es un
punto de acumulacio´n de (xn) y {B1, B2, . . .} es una base local encajada
para x, por cada k ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk ∈ Bk y
la subsucesio´n xnk → x.
EJEMPLO 10.21
Dados (X,T) un espacio y una sucesio´n (xn) en X, un punto x es un
punto de clausura para la sucesio´n si y solo si x es adherente al filtro
asociado a la sucesio´n.
EJEMPLO 10.22
En Ru, 0 es un punto de clausura para la sucesio´n {0, 1, 0, 1 . . .}.
Teorema 10.29. (X,T) es un espacio contablemente compacto si y solo
si cada sucesio´n tiene un punto adherido en X.
Demostracio´n. ⇒) Sea (an) una sucesio´n en X que no tiene un punto
de adherencia, es decir, para cada x ∈ X existen una vecindad abierta
G
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NO
10.5 Compacidad y sucesiones 179
Wx y un N ∈ N tales que Wx ∩ {aN+1, aN+2, . . .} = ∅. Por cada n ∈ N
definimos
Un =
⋃
{Wx : Wx ∩ {an+1, an+2, . . .} = ∅, x ∈ X}.
Cada Un es un conjunto abierto y la coleccio´n {Un}, (n ∈ N) es un
cubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de
lo contrario para X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uim y m = ma´x{i1, . . . , im} se tiene
que Um solamente puede tener finitos te´rminos de la sucesio´n que este´n
antes de am+1 y as´ı am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego
X no ser´ıa contablemente compacto.
⇐) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento
abierto {Un}, (n ∈ N) que no admite un subcubrimiento finito. Por cada
n ∈ N, el conjunto X − ⋃ni=1 Ui 6= ∅. Sea x1 ∈ X − U1. Definimos Un1
como el primer Ui donde x1 esta´. Ahora tomemos x2 ∈ X −
⋃n1
i=1 Ui.
Supongamos que xk ha sido escogido y xk ∈ Unk ; escogemos xk+1 ∈
X−⋃nki=1 Ui. Con estas definiciones, la sucesio´n (xk) de infinitos te´rminos
diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesio´n y adema´s
x ∈ Un para algu´n n ∈ N. Pero si N ∈ N es suficientemente grande,
digamos N > n, tenemos que xk /∈ Un para k > N . Luego Un ∈ V(x)
y contiene tan so´lo finitos te´rminos de la sucesio´n, es decir, x no es un
punto de clausura.
La siguiente nocio´n de punto de ω-acumulacio´n para un subconjunto
A —una clase particular de punto de acumulacio´n— fue introducida por
Hausdorff.
Definicio´n 10.30. Dado A ⊆ (X,T), decimos que a ∈ X es un punto
de ω-acumulacio´n para A y notamos Aaω si para toda vecindad Va se
tiene que Va ∩A es un conjunto infinito. No´tese que Aaω ⊆ Aa.
EJEMPLO 10.23
En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ⊆ X posee al
menos un punto de ω-acumulacio´n. Pues de lo contrario, por cada x ∈ X
podemos encontrar una Vx abierta con Vx ∩ A finito; esta coleccio´n de
vecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finito
Vx1 . . . Vxn . Por tanto
A = A ∩X = A ∩ (∪nk=1Vxk) = ∪nk=1(A ∩ Vxk)
ser´ıa finito.
G
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180 Compacidad
Corolario 10.31. Un espacio (X,T) es compacto contablemente si y
solo si para cada A subconjunto infinito se tiene Aaω 6= ∅.
Demostracio´n. ⇒) Sea A ⊆ X infinito que no admite un punto de ω-
acumulacio´n. Una sucesio´n (an) en A de te´rminos diferentes, no tiene
un punto adherido o de lo contrario A lo tendr´ıa.
⇐) Aplicamos literalmente el teorema 10.29.
EJEMPLO 10.24
En N consideremos la topolog´ıa generada por la base
{{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . .}.
En este espacio todo A ⊆ N posee un punto de acumulacio´n; pero,
por ejemplo, los nu´meros pares no poseen un punto de ω-acumulacio´n.
Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesio´n
{1, 2, 3, 4, . . .} no contiene ninguna subsucesio´n convergente y tampoco
admite un punto de clausura. Finalmente este espacio no es contable-
mente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que no
admite un subcubrimiento finito.
Corolario 10.32. En un espacio 1-contable, los conceptos de compaci-
dad contable y compacidad por sucesiones coinciden.
Demostracio´n. ⇒) Sea (xn) una sucesio´n en X. Si A = {xn : n ∈ N} es
finito existe una subsucesio´n constante convergente. Si A es infinito, por
el corolario 10.31 existe un punto a de ω-acumulacio´n, y al considerar
una base encajada obtenemos una subsucesio´n convergente al punto a.
⇐) Como en el teorema 10.29.
Ejercicios 10.5
1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria,
i. e., se hereda a los subespacios cerrados.
2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto por
sucesiones.
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NO
10.6 Compacidad para me´tricos 181
3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios
cerrados.
4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones
es de nuevo compacto por sucesiones.
5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topolo´gico.
6. De´ un ejemplo donde Aaω = A
a.
7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad,
compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.
8. Estudie los conceptos de compacidad para la l´ınea de Khalinsky
del ejemplo 1.14 (pa´gina 10).
10.6. Compacidad para me´tricos
El estudio de la compacidad en los espacios me´tricos se facilita dado
el gran nu´mero de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y
que no se dan para los espacios en general. No olvidemos que el concepto
primario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones de
subespacios de Rn en Rm.
El propo´sito principal de esta seccio´n es mostrar que en los espacios
me´tricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compaci-
dad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes.
Definicio´n 10.33. Un espacio me´trico (X, d) se dice totalmente aco-
tado si dado ε > 0 existe un subconjunto finito F = {x1, x2, . . . , xn}
—dependiendo de ε— llamado ε-red tal que X =
⋃n
i=1Bε(xi), (xi ∈ F ).
Lo de ε-red se justifica porque dado x ∈ X tenemos d(x, F ) < ε; esto es,
una bola de radio ε no pasa sin tocar a F .
Como el concepto de totalmente acotado depende de la funcio´n me´-
trica, es de esperarse que no sea una propiedad topolo´gica. En efecto
(0, 1) y (1,→) son homeomorfos por medio de f(x) := 1/x, pero el
segundo espacio no es totalmente acotado. ¿por que´?
El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los
espacios me´tricos en general; pero no todo espacio me´trico acotado es
necesariamente totalmente acotado.
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182 Compacidad
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ε
(1, 1)
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Figura 10.5: Un disco es totalmente acotado.
EJEMPLO 10.25
R con la me´trica d′(x, y) = ı´nf{1, |x − y|} no admite una ε-red finita
para ε < 1. En el caso de (Rn, usual) estos dos conceptos coinciden.
La compacidad por sucesiones en los espacios me´tricos, se relaciona con
la propiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema.
Teorema 10.34. Todo espacio me´trico (X, d) compacto por sucesiones
es totalmente acotado.
Demostracio´n. Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para el
cual no existe ninguna ε-red finita. Construimos de manera inductiva una
sucesio´n que no admite una subsucesio´n convergente. Sea x1 ∈ X, como
{x1} no es ε-red, existe x2 con d(x1, x2) ≥ ε. Supongamos que hemos
construido {x1, x2, . . . , xn} en X con la propiedad que d(xi, xj) ≥ ε para
todo i, j ≤ n, (i 6= j). Como {x1, x2, . . . , xn} no es una ε-red existe xn+1
con d(xi, xn+1) ≥ ε, (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesio´n (xn) no
admite una subsucesio´n convergente.
Corolario 10.35. Todo espacio me´trico (X, d) compacto por sucesiones
es 2-contable y separable.
Demostracio´n. Como X es totalmente acotado, para cada n existe una
familia de bolas abiertas B1/n(xn1), . . . , B1/n(xnk) que cubre a X, donde
Fn = {xn1 , . . . , xnk} es una 1n–red. La coleccio´n de todas estas bolas nos
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10.6 Compacidad para me´tricos 183
produce una base enumerable para X y la reunio´n D := ⋃n=1 Fn nos da
un subconjunto enumerable y denso en (X, d).
Para el caso de los espacios me´tricos ya ten´ıamos otra manera de
caracterizar la compacidad contable.
Corolario 10.36. Sea (X, d) un espacio me´trico. X es contablemente
compacto si y solo si es compacto por sucesiones.
Demostracio´n. Por el corolario 10.32.
Teorema 10.37. Todo espacio me´trico (X, d) compacto es 2-contable.
Demostracio´n. Para cada (n ∈ N) la coleccio´n Bn = {B1/n(x) : x ∈ X}
es un cubrimiento abierto el cual se puede reducir a uno finito An ⊆
Bn. La coleccio´n A :=
⋃
n=1An es contable. Dado un abierto U y x ∈
U tomemos Bε(x) ⊆ U y consideremos n tal que 1/n < ε/4. Existe
B1/n(y) ∈ An con x ∈ B1/n(y). Veamos que B1/n(y) ⊆ Bε(x). Si t ∈
B1/n(y) entonces
d(t, x) ≤ d(t, y) + d(y, x) ≤ 1/n+ 1/n < ε/4 + ε/4 = ε.
Nu´mero de Lebesgue
Dado un cubrimiento abierto {Uα}α de un espacio me´trico, el nu´mero
de Lebesgue para este cubrimiento es un nu´mero � > 0 tal que cada
bola B�(x) en X esta´ contenida en al menos un conjunto Uα del cubrim-
iento. Este nu´mero depende del cubrimiento que se tome y nos informa
que un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de
cierto dia´metro.
El siguiente teorema nos garantiza la existencia del nu´mero de Lebesgue
para los espacios me´tricos compactos.
Teorema 10.38. Sea U un cubrimiento abierto del espacio me´trico
(X, d) donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un δ > 0
—δ es el nu´mero de Lebesgue— tal que para cada x ∈ X existe
U ∈ U con la propiedad que Bδ(x) ⊆ U . Decimos que el cubrimiento
{Bδ(x)}x∈X es ma´s fino que U .
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184 Compacidad
Demostracio´n. Razonando por contradiccio´n, supongamos que para U
no existe tal nu´mero; es decir, por cada n ∈ N existe xn tal que B1/n(xn)
no esta´ contenida en ningu´n miembro de U . Como X es compacto por
sucesiones, la sucesio´n (xn) tiene un punto adherido x. Sea U ∈ U con
x ∈ U . Tomemos r = d(x, U c), as´ı r > 0 y escogemos N ∈ N el cual
satisfaga simulta´neamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estas
condiciones B1/N (xN ) ⊆ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y ∈ U
puesto que
d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) ≤ r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r
y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN .
Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las
diferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la cat-
egor´ıa de los espacios me´tricos.
Corolario 10.39. Sea (X, d) un espacio me´trico. X es compacto si y
solo si X es compacto por sucesiones.
Demostracio´n. ⇒) Si X es compacto, entonces lo es contablemente com-
pacto y as´ı, es compacto por sucesiones.
⇐) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abier-
to de X, sea δ el nu´mero de Lebesgue. Al ser X totalmente acotado
tomamos una δ-red ={x1, x2, . . . , xn} y por cada Bδ(xi) escogemos un
Ui ∈ U tal que Bδ(xi) ⊆ Ui. Luego {U1, U2, . . . , Un} es un subcubrim-
iento finito de U .
Corolario 10.40 (Continuidad para compactos). Una funcio´n continua
f : (X, d) −→ (Y,m) de un espacio me´trico compacto X a un espacio
me´trico Y es continua uniformemente.
Demostracio´n. Dado ε > 0, la coleccio´n {Bε/2(y)}y∈Y es un cubrimien-
to abierto de Y y por tanto {f−1(Bε/2(y))}y∈Y lo es para X. Si δ es
el nu´mero de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola Bδ(x)
satisface f(Bδ(x)) ⊆ Bε/2(y) para alguna bola Bε/2(y). Por tanto, si
d(x, a) < δ entonces
m(f(x), f(a)) ≤ m(f(x), y) +m(y, f(a)) < �/2 + �/2 = �.
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10.7 Ordinales como ejemplo 185
Ejercicios 10.6
1. Muestre que en un espacio me´trico los conceptos de compacidad,
compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes.
2. Muestre que en un espacio me´trico los conceptos de separable,
2-contable y Lindelo¨ff son equivalentes.
3. Muestre que un espacio me´trico compacto es Lindelo¨ff y por tanto
es 2-contable y separable.
4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindelo¨ff es de nuevo
Lindelo¨ff.
5. Muestre que un espacio me´trico (X, d) es separable si y solo si dado
ε > 0 existe D ⊆ X, D contable tal que X = ⋃Bε(d), (d ∈ D).
6. Sea (X,T) un espacio compacto. Dada una sucesio´n (xn) con un
u´nico punto de clausura, muestre que ella converge a este punto.7. Sea A ⊂ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es.
8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio me´trico (X, d), el nu´mero
δ de Lebesgue para U satisface: para cada A ⊆ X con diam(A) < δ
existe un elemento del cubrimiento que contiene a A.
9. Muestre que toda funcio´n continua de un espacio compacto en un
espacio me´trico es acotada.
10.7. Ordinales como ejemplo
Los nu´meros ordinales son la consecuencia inmediata al concepto
de conjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en los
cuales cada subconjunto no vac´ıo tiene un primer elemento— adjudican-
do a cada conjunto bien ordenado un nu´mero ordinal; dos conjuntos
A,B bien ordenados tienen el mismo nu´mero ordinal, i. e., son equiva-
lentes, si son isomo´rficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo
f en su categor´ıa: f : A −→ B biyectiva y a ≤ b si y solo si f(a) ≤ f(b).
Usualmente se utilizan las letras griegas minu´sculas α, β, γ, . . . para
denotar los nu´meros ordinales y la letra O para denotar la coleccio´n
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186 Compacidad
Figura 10.6: Nu´meros ordinales.
total. Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean α, β
nu´meros ordinales y A,B conjuntos bien ordenados que los representan;
escribimos α � β si A es isomorfo con un ideal7 I en B. Este orden
sobre O es total y adema´s cualquier subconjunto de O es bien ordenado.
El conjunto de los nu´meros ordinales es u´til en la construccio´n de
ejemplos en topolog´ıa. O es no contable y bien ordenado por �. El
conjunto (O,�) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: si
α ∈ O y α ≺ Ω entonces {β | β � α} es contable. Ω se llama primer
ordinal no contable. Por ω denotamos el primer elemento en O con
la propiedad que el conjunto {α | α ≺ ω} es contable pero no finito; ω
es llamado primer ordinal infinito.
Los nu´meros ordinales pueden representarse como
O = 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 3ω, . . .
. . . , ω2, ω2 + 1, . . . , ω3, . . . , ω4, . . . , ωω, ωω + 1, . . . ,Ω, . . .
7Recordemos que I ⊆ B es un ideal si dados x, y ∈ B con x ∈ I, y ≤ x implica
y ∈ I; es decir, para cualquier elemento y ∈ I se tiene ↓ y ⊆ I (todos los precedentes
a e´l tambie´n pertenecen a I).
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10.7 Ordinales como ejemplo 187
Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue e´l quien nos ensen˜o´ a
contar.
Note que ω, ω + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidad
es la misma de N—; adema´s ω = 0, 1, 2, . . . es diferente de
ω + 1 = ω ∪ {ω} = 0, 1, 2, . . . , ω
ya que el primero no tiene un u´ltimo elemento, mientrasque el segundo
s´ı.
En general llamamos a un nu´mero ordinal un ordinal l´ımite si
no tiene un predecesor8 inmediato. ω es el primer ordinal l´ımite, el se-
gundo ordinal l´ımite es 2ω = 0, 1, . . . , ω, ω + 1, . . . As´ı tambie´n lo son
3ω, . . . , ω2, . . . , ω3, .. y llegamos a ωω donde su cardinal no es NN=c, ¡e´l
todav´ıa es un ordinal contable —insomnio—! Si un nu´mero ordinal no 
es l´ımite lo llamamos ordinal sucesor.
Existe un significado natural para ωω
ω
, . . . y al final de esta hilera
arribamos a un ordinal el cual Cantor llamo´ ξ. ¡Este es todav´ıa un ordinal
contable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable.
Finalmente, y como curiosidad, sea
R = {x | x es un nu´mero ordinal}.
R es un nu´mero ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el u´nico
nu´mero ordinal que no es un conjunto.
La siguiente propiedad de los nu´meros ordinales nos sera´ u´til. K
Proposicio´n 10.41. Si A ⊆ O es contable y Ω /∈ A entonces
supA ≺ Ω.
Demostracio´n. Sea X = {β | β � α, para algu´n α ∈ A}; es decir, X
esta´ formado por los elementos de A o cualquier elemento de O que
preceda alguno de A. X es contable ya que por cada α ∈ A el conjunto
de sus predecesores es contable. Como O es bien ordenado, existe un
primer elemento µ de Xc. As´ı µ es una cota superior para X y adema´s
es la menor de las cotas superiores. Por otra parte, {δ | δ � µ} es
contable ya que si δ � µ entonces δ ∈ X. Por tanto µ no puede ser Ω;
es decir, supA ≺ µ ≺ Ω.
8Una justificacio´n para este nombre es que un ordinal l´ımite es en efecto un l´ımite
en el sentido topolo´gico de todos sus ordinales ma´s pequen˜os (respecto a la topolog´ıa
del orden).
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188 Compacidad
En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0,Ω) y Ω+1 = [0,Ω] son dotados
de la topolog´ıa del orden para la relacio´n de orden inducida.
Proposicio´n 10.42. [0,Ω] es compacto.
Demostracio´n. Esto es consecuencia de que [0,Ω] es completo, es decir,
cada subconjunto no vac´ıo posee tanto sup como inf —completez—. En
efecto, dado U un cubrimiento abierto de [0,Ω], sea A el subconjunto
formado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un sub-
cubrimiento finito de U . Sean α = sup A y U ∈ U tal que α ∈ U , por
tanto U ⊆ A —¿por que´?—. Luego existe (η, ζ) ⊆ U tal que α ∈ (η, ζ) (a
menos que α = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) = ∅,
luego ζ ∈ A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0,Ω].
Note que cada subespacio cerrado [0, β] ⊆ [0,Ω] es ahora compacto.
Proposicio´n 10.43. [0,Ω] no es 1-contable.
Demostracio´n. Por la proposicio´n 10.41 el punto Ω no posee una base
local contable, pues si (αn,Ω], (n ∈ N) es una base local, entonces para
β = sup{αn} tenemos β ≺ Ω, luego no existir´ıa ningu´n elemento de la
base contenido en (β + 1,Ω].
Proposicio´n 10.44. [0,Ω) es 1-contable.
Demostracio´n. Basta verificar que el u´nico punto en [0,Ω] que no posee
una base local contable es Ω.
Proposicio´n 10.45. [0,Ω) y [0,Ω] no son separables.
Demostracio´n. Demostremos que [0,Ω) no lo es. Dado un subconjunto
A contable, sea α = supA. Por 10.41, α ≺ Ω y por tanto existe un
intervalo (α+ 1,Ω) ⊆ Ac, con lo cual A no puede ser denso.
Proposicio´n 10.46. [0,Ω) no es compacto ni de Lindelo¨ff.
Demostracio´n. Sea U = {[0, ζ) : ζ ≺ Ω}. U es un cubrimiento abierto
donde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un
subcubrimiento finito o contable, pues si C ⊆ U es contable entonces ∪C
es contable y no puede contener a [0,Ω).
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10.7 Ordinales como ejemplo 189
Corolario 10.47. [0,Ω) no es compacto pero s´ı es contablemente com-
pacto y compacto por sucesiones.
Demostracio´n. Si no es contablemente compacto, existe U = {U1, U2, . . .}
un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito;
por tanto, para cada n existe xn /∈ U1∪ . . .∪Un. Si α = supn αn entonces
por el teorema 10.41, α ∈ [0,Ω) y ninguna subcoleccio´n finita de U cubre
al compacto [0,Ω].
Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones.
Ejercicios 10.7
1. Revise el argumento en la demostracio´n de la proposicio´n 10.42 y
el utilizado en el teor. 10.2 para mostrar que [0, 1] es compacto.
2. Sea (X,≺) un conjunto bien ordenado con la topolog´ıa del orden.
Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento max-
imal.
3. Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, y
ningu´n ordinal mayor que ellos es discreto.
4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulacio´n (o puntos l´ımite)
de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales l´ımite
menores que α.
5. El espacio [0, ω) es precisamente N con la topolog´ıa discreta, mien-
tras que [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N.
6. Muestre que [0,Ω] coincide con N ∪ {w} donde la topolog´ıa es
T(F) = 2N ∪ {F ∪ {w} : F ∈ F}
para F el filtro de Fre`chet en N.
7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α son
puntos aislados en α.
8. Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si α
es un ordinal sucesor.
9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto
abierto de cualquier ordinal mayor.
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190 Compacidad
10.8. Compacidad local
Aunque el espacio no sea compacto, el conceptode compacidad lo
podemos localizar en un punto.
Definicio´n 10.48. (i) Un espacio (X,T) es localmente compacto si cada
punto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x ∈ X
esta´ en el interior de un subconjunto compacto.
EJEMPLO 10.26
1. Todo espacio compacto es localmente compacto.
2. (Rn, usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son
compactas.
3. Si X es infinito, la topolog´ıa discreta es localmente compacta (para
cada x, {x} es una vecindad compacta) pero no es compacta.
4. Para X infinito, la topolog´ıa Ix del punto incluido es localmente
compacta (pero no compacta).
5. (R, (a,→)) no es localmente compacto.
Es comu´n en la literatura de este tema encontrar la siguiente definicio´n
de compacidad local, diferente a la def. 10.48.
Definicio´n 10.49. (ii) Dados un espacio (X,T) y x ∈ X, decimos que
X es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Ux
existe otra vecindad Vx abierta con V compacta que satisface
x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ Ux.
Esta definicio´n exige que para el punto x exista un sistema fundamental
de vecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto en
cada punto decimos que es localmente compacto.
EJEMPLO 10.27
(R, cofinitos) es localmente compacto segu´n (i) pero no lo es segu´n (ii)
pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R.
G
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10.8 Compacidad local 191
Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es de-
cir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura
la existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas
para el punto.
EJEMPLO 10.28
Sea X un espacio de Hausdorff. X es localmente compacto si, y solo si,
todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto.
⇒) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente a
x, por definicio´n toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces basta
tomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmente
compacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto.
⇐) Sea x un punto cualquiera de X. Como la coleccio´n de todas las
vecindades de x es un filtro que converge a x, por hipo´tesis debe contener
algu´n miembro compacto, as´ı que x posee una vecindad compacta Vx.
EJEMPLO 10.29
La topolog´ıa de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ⊆ R definimos
T = {(0, 1− 1n)}n (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto an˜adimos el ∅ y X.
Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definicio´n 10.48
pero no la definicio´n 10.49 puesto que la adherencia de cualquier vecin-
dad es todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en este
espacio el u´nico subespacio cerrado que es compacto es el vac´ıo y que
todo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo.
Proposicio´n 10.50. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto.
Demostracio´n. Dados x ∈ H y ε > 0 veamos que la bola cerrada Bε(x)
no es compacta. Sea x = (x1, x2, . . .) y por cada n ∈ N definimos
yn = (x1, x2, . . . , xn−1, xn + ε, xn+1, . . .).
yn ∈ Bε(x) y adema´s d(yi, yj) =
√
2ε para todo i, j ∈ N. As´ı, la suce-
sio´n (yn) no admite una subsucesio´n convergente; es decir, Bε(x) no es
compacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio me´trico
a decir que no es compacta.
G
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192 Compacidad
EJEMPLO 10.30
La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topolog´ıa de
subespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ninguna
vecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q
que contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no
reducible a uno finito; basta tomar t ∈ R−Q con p < t < q y considerar
la coleccio´n {[p, t−1/n)∪ (t+1/n, q]}, (n ∈ N) trazada con Q —algunas
intersecciones pueden resultar vac´ıas—.
Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cer-
rados, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demue´stre-
lo!).
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1
-0.5
0.5
1
Figura 10.7: Grafo de f(x) = sen(1/x).
EJEMPLO 10.31
Sea D el grafo de la funcio´n f(x) = sen(1/x) para 0 < x ≤ 1/pi. El
conjunto D∗ = D ∪ {(0, 0)} dotado de la topolog´ıa de subespacio de R2u
no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad
V de este punto contiene una sucesio´n de puntos —sobre una recta
paralela al x–eje que no posee un punto de acumulacio´n en V , i. e., V
no es cerrada.
G
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10.8 Compacidad local 193
EJEMPLO 10.32
La compacidad local no se preserva por funciones continuas en gener-
al. La funcio´n idQ : (Q, discreta) −→ (Q, usual) es continua pero no
preserva la compacidad local. Pero si f adema´s de continua es abierta
s´ı se preserva.
10.8.1. Compactacio´n
La esfera S2 es una compactacio´n del plano R2 ya que la proyeccio´n K
estereogra´fica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte es
removido).
Hemos identificado un espacio no compacto con uno que s´ı lo es al
an˜adirle un punto —S2 es compacto—.
Definicio´n 10.51. Sea (X,T) un espacio. Un espacio (Y,H) compacto
se llama un compactado de X si existe una funcio´n f : X −→ Y
continua e inyectiva tal que f : X −→ f(X) ⊆ Y es un homeomorfismo
con f(X) denso en Y .
En particular decimos que f realiza la compactacio´n de X. Si
adema´s Y − f(X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y
es un compactado de Alexandroff o compactado por un punto.
La siguiente construccio´n es un me´todo general de construir desde
X un espacio compacto X∗ = X ∪ {∞} que tenga a X como un espacio
inmerso.
Proposicio´n 10.52. Sean (X,T) un espacio y un punto ∞ /∈ X. Para
X∗ = X ∪{∞} definimos la topolog´ıa T∗ que tiene tanto a T como a los
W ⊆ X∗ tales que ∞ ∈W y W c es un cerrado y compacto en X.
El par (X∗,T∗) se llama compactado (por un punto) de Alexan-
droff de X.
Demostracio´n. Claramente ∅ y X∗ esta´n en T∗ pues ∅ es trivialmente
compacto. Veamos que T∗ es cerrada para la interseccio´n finita. Si U, V ∈
T∗ y ambos esta´n en T entonces U ∩ V ∈ T∗; si U ∈ T y ∞ ∈ V , V c es
cerrado y compacto en T luego V ∩ X es abierto en X y as´ı U ∩ V ∈
T ⊆ T∗. Si ∞ esta´ tanto en U como en V entonces U c, V c son cerrados
y compactos en X, luego (U ∩ V )c = U c ∪ V c tambie´n es cerrado y
compacto en X por ser unio´n de dos compactos, con lo que U ∩V ∈ T∗.
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194 Compacidad
Ahora examinemos la unio´n de una familia V = {Vi}i ⊆ T∗. Si ∞ /∈⋃V entonces ⋃V ∈ T ⊆ T∗. Pero si ∞ ∈ Vi ∈ V entonces (⋃V)c ⊆ V ci ;
como (
⋃V)c es cerrado y V ci es compacto tenemos que (⋃V)c es cerrado
y compacto, esto es
⋃V ∈ T∗.
Proposicio´n 10.53. El espacio (X∗,T∗) es compacto.
Demostracio´n. Sea U un cubrimiento abierto de X∗. Existe U0 ∈ U con
∞ ∈ U0 y U c0 compacto. Claramente U es tambie´n cubrimiento abierto
de U c0 , luego lo podemos reducir a un subcubrimiento finito U1, . . . , Un
y as´ı X∗ ⊆ ⋃ni=0 Ui.
Proposicio´n 10.54. X es denso en X∗ si y solo si X no es compacto.
Demostracio´n. ⇒) Si X = X∗ entonces X no es compacto, pues de lo
contrario X ser´ıa cerrado y compacto con lo cual {∞} ser´ıa un abierto
y {∞} ∩X = ∅, negando que ∞ ∈ X.
⇐) Basta ver que ∞ ∈ X. Sea V∞ una vecindad de ∞ en T∗. En-
tonces V c∞ es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c∞
no puede ser todo X, as´ı que V∞ ∩X 6= ∅, y por tanto ∞ ∈ X, lo que
implica X = X∗ en T∗.
En el caso de partir en la construccio´n desde un espacio de Hausdorff,
tenemos el siguiente teorema.
Teorema 10.55. (X,T) es Hausdorff y localmente compacto si y solo
si (X∗,T∗) es Hausdorff.
Demostracio´n. ⇒) Sea X localmente compacto y de Hausdorff. Dados
x, y ∈ X∗ veamos que los podemos separar. Si x, y ∈ X no hay nada
que demostrar puesto que X es T2. Si x = ∞, como X es localmente
compacto y Hausdorff, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego
∞ ∈ (X∗ − Vy) ∈ T∗ y (X∗ − Vy) ∩ Vy = ∅.
⇐) Supongamos que (X∗,T∗)es Hausdorff. X como subespacio de
X∗ es de nuevo Hausdorff. Veamos que X es localmente compacto. Sea
x ∈ X y encontremos una vecindad compacta. Existen Vx, V∞ abiertas
en T∗ con Vx ∩ V∞ = ∅, esto es, X∗/V∞ es un subconjunto cerrado y
compacto de X con Vx ⊆ X∗ − V∞; luego Vx ⊆ X∗ − V∞ y por ser Vx
un cerrado dentro de un compacto, es compacta.
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10.8 Compacidad local 195
Corolario 10.56. Cada espacio localmente compacto y Hausdorff es
homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff.
Demostracio´n. Basta considerar la inclusio´n i : X ↪→ X∗. Dado U ⊆ X,
U es abierto en x si y solo si lo es en X∗. Luego G∗ induce la topolog´ıa
original G de X. (X,T) no se pierde en (X∗,T∗).
En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema 10.57. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto.
Entonces i : X ↪→ X∗ —la inyeccio´n cano´nica— es una compactacio´n
de Alexandroff para X.
Ejercicios 10.8
1. Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local se
hereda a los subconjuntos cerrados o abiertos.
2. Muestre que la compacidad local es un invariante topolo´gico.
3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente com-
pacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto
y todos excepto un nu´mero finito de espacios coordenados son
compactos.
4. Sea X = Ru. Muestre que X∗ (la compactacio´n de Alexandroff)
es homeomorfo a S1 con la topolog´ıa usual.
Sugerencia: la funcio´n f : X∗ −→ S1 es un homeomorfismo si es
definida por
f(x) =

(
1− x2
1 + x2
,
2x
1 + x2
)
, x ∈ X
(−1, 0) x =∞.
5. Sea (X,T) un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si A ⊆ X
y x /∈ A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separar
puntos de cerrados—.
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11 Espacios me´tricos y sucesiones
—completez—
Una manera cla´sica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es el
menor espacio me´trico completo que contiene a Q como subespacio. El
sentido de ‘completo’ y su generalizacio´n es lo que estudiamos en este
cap´ıtulo. Intuitivamente un espacio me´trico es completo si cada sucesio´n
que ‘quiere’ converger realmente tiene a do´nde hacerlo.
11.1. Sucesiones de Cauchy
Definicio´n 11.1. Sea (X, d) un espacio me´trico. Una sucesio´n (xn) en X
se dice sucesio´n de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivo
N (depende de ε) tal que si m,n ≥ N entonces d(xm, xn) < ε —podemos
controlar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado y
controlarla tanto como queramos—.
Definicio´n 11.2. Un espacio me´trico (X, d) es completo si cada suce-
sio´n de Cauchy en X es convergente a algu´n punto de X. (Las sucesiones
que quieren converger encuentran a quie´n hacerlo).
Proposicio´n 11.3. En un espacio me´trico (X, d) una sucesio´n de Cauchy
es un conjunto acotado.
Demostracio´n. Existe N1 tal que para m,n ≥ N1, d(xm, xn) ≤ 1. En
particular para todo n ≥ N1 tenemos d(xn, xN1) ≤ 1, y tomando para los
te´rminos que esta´n anteriores a xN1 el ma´ximoM = ma´xk≤N1 d(xk, xN1),
tenemos que todo xn satisface d(xn, xN1) ≤ ma´x{M, 1}.
Proposicio´n 11.4. Si una sucesio´n de Cauchy en un espacio me´trico
(X, d) tiene una subsucesio´n convergente entonces la sucesio´n converge.
196
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11.1 Sucesiones de Cauchy 197
Demostracio´n. Sea (xn) una sucesio´n de Cauchy para la cual existe una
subsucesio´n xnk → l ∈ X. Para ε > 0 existen Nε y kε en N tales que
para todo m,n ≥ Nε, d(xm, xn) < ε2 y para todo k ≥ kε, d(xnk , l) < ε2 .
Si M = ma´x{Nε, nkε} entonces para n ≥M tenemos
d(xn, l) ≤ d(xn, xnkε ) + d(xnkε , l) ≤ ε, y as´ı xn → l.
Las proposiciones 11.3, 11.4 implican que los espacios me´tricos que son
compactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez de
espacios me´tricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru.
Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariante
topolo´gico. Por ejemplo Ru ≈ (0, 1) pero el segundo no es completo.
Como la definicio´n de sucesio´n de Cauchy no es una cualidad topolo´gi-
ca sino que depende de la me´trica usada en particular, podemos tener
la misma topolog´ıa proveniente en un caso de un espacio completo y
en otro de un espacio no completo —la nocio´n de sucesio´n de Cauchy
no es topolo´gica—.
Por ejemplo, si sobre R definimos la me´trica
d(x, y) =
∣∣∣∣ x1 + |x| − y1 + |y|
∣∣∣∣ ,
tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —me´tricas exo´ticas— pero la
sucesio´n (n)n∈N es de Cauchy en la me´trica d y no lo es en la usual.
Esta situacio´n, ma´s bien estresante, puede ser remediada de manera K
parcial con la introduccio´n del concepto de completez topolo´gica.
Definicio´n 11.5. Un espacio me´trico (X, d) es completo topolo´gica-
mente si existe una me´trica m equivalente a d y (X,m) es completo.
Por supuesto, los espacios me´tricos completos son completos topolo´gica-
mente. La pregunta es si todo espacio me´trico puede tener una me´trica
equivalente que lo haga completo topolo´gicamente. Aunque la respues-
ta es no, por ejemplo Q, veremos en la seccio´n 11.3 co´mo completar
cualquier espacio me´trico.
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198 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
EJEMPLO 11.1
(RN, d) con d la me´trica primeriza o de Baire (ver pa´g. 34) es completo.
Si x = (xn)n∈N es una sucesio´n de Cauchy en R con xn = (xkn)k y
donde xkn es la k-e´sima coordenada del te´rmino n-e´simo de la sucesio´n
x— entonces, por la definicio´n de la me´trica de Baire, para cada k la
sucesio´n (xkn)n es a la larga constante, digamos a x
k, pues dado � > 0
existe 1N con d(xn, xm) <
1
N para n,m > N , lo que implica que las
dos sucesiones se igualan a partir del ı´ndice N en adelante. Claramente
xn → (xk).
Esta es una me´trica que har´ıa de Q∩(0, 1) un espacio completo al tomar
cada racional en su expansio´n decimal.
11.1.1. Filtros de Cauchy
As´ı como para las sucesiones en un espacio me´trico, tambie´n existe
una versio´n de Cauchy para los filtros.
Definicio´n 11.6. Sea (X, d) un espacio me´trico y F un filtro en X. Se
dice que F es de Cauchy en X si para cada � > 0 existe un F ∈ F tal
que
F × F ⊆ {(x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < �}.
El filtro posee elementos con dia´metro tan pequen˜o como queramos.
Proposicio´n 11.7. Si una sucesio´n (xn)n∈N es de Cauchy, entonces el
filtro asociado tambie´n es de Cauchy.
Demostracio´n. Para abreviar, diremos que F ⊆ X es �–pequen˜o si sat-
isface la condicio´n del enunciado, a saber
F × F ⊆ {(x, y) ∈ X ×X : d(x, y) < �}.
El filtro asociado F(xn) tiene como base a las colas Sk = {xn : n ≥
k}. Fijado � > 0, como (xn) es de Cauchy existe r ∈ N tal que si n,m ≥ r
tenemos d(xn, xm) < �. As´ı pues la seccio´n Sr (y todas las Sk, con k < r)
son �–pequen˜as y por tanto F es de Cauchy.
Proposicio´n 11.8. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F
converge a cada uno de sus puntos adheridos.
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11.1 Sucesiones de Cauchy 199
Demostracio´n. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente
de F, es decir, x ∈ F para cada F ∈ F. Para ver la convergencia es
suficiente mostrar que las bolas abiertas B�(x) pertenecen al filtro. Pero
esto se tiene ya que dada B�(x) existe F ∈ F que es �/2–pequen˜o y esto
implica F ⊆ B�(x). En efecto, dado y ∈ F tomemos z ∈ B�/2(x) ∩ F y
como F es �/2–pequen˜o, tenemos d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < �.
En los espacios me´tricos completos los filtros de Cauchy caracterizan
a los filtros convergentes.
Proposicio´n 11.9. Sea (X, d) un espacio me´trico completo. Un filtro
F es convergente si y solo si es de Cauchy.
Demostracio´n. ⇒) Supongamos que F converge a x. Entonces B�/2(x) ∈
F y adema´s B�/2(x) es �–pequen˜a.
⇐) Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesio´n (xn) de Cauchy
y mostremos que F converge al punto que converge tal sucesio´n. Dado
n tomamos Fn que sea 1n–pequen˜o y elegimos xn ∈ F1 ∩ · · · ∩ Fn. La
sucesio´n(xn) as´ı definida es la que necesitamos.
EJEMPLO 11.2
La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesio´n de
Cauchy al ser acotada esta´ contenida dentro de un subespacio compacto
y por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una sub-
sucesio´n convergente y por 11.4 tenemos la completez.
En Q con la topolog´ıa de subespacio usual de R la sucesio´n
(1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere con-
verger a
√
2 que no esta´ en Q—.
Teorema 11.10. En un espacio me´trico completo (X, d), los subespacios
que son completos son los cerrados.
Demostracio´n. ⇒) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn)
de Cauchy en (A, dA), ella tambie´n lo es en (X, d) y su l´ımite pertenece
a A ya que A es cerrado.
⇐) Si (A, dA) es completo, todo punto b adherente a A admite una
sucesio´n (xn) en A que es convergente a b, pero como (xn) es de Cauchy
y A es completo, b ∈ A.
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200 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
La propiedad de completez es ma´s de´bil que la de compacidad; una ev-
idencia de esto son los espacios me´tricos Rn. Algo ma´s interesante au´n
es que, tomando separadamente la completez y la propiedad de total-
mente acotado, ellas no son propiedades topolo´gicas, pero al tomarlas
simulta´neamente dan un invariante topolo´gico que es la compacidad
(teorema 11.11). Ya vimos en la pa´gina 197 que la compacidad en un
espacio me´trico implica su completez. El siguiente teorema da condi-
ciones para garantizar la inversa.
Teorema 11.11. Sea (X, d) un espacio me´trico. X es compacto si y
solo si X es completo y totalmente acotado.
Demostracio´n. ⇒) Proposiciones 11.3, 11.4.
⇐) Sea (xn) en X. Si un te´rmino se repite un nu´mero infinito de
veces, ella contiene una subsucesio´n convergente —constante—. Si este
no es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesio´n con-
vergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para
nuestro caso me´trico es equivalente a compacidad.
Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento Bε
—finito— por bolas de radio ε. As´ı, para cada ε existe una bola Bε(tε) en
Bε —algu´n tε— que contiene infinitos te´rminos de la sucesio´n (xn). Sea
xn1 el primer te´rmino de la sucesio´n contenido en B1(t1). Similarmente
escogemos a xnj como el primer elemento de {xk : k > nj−1} contenido
en B1/j(t1/j). La subsucesio´n (xnj ) es de Cauchy y como X es completo
ella converge a algu´n x ∈ X.
La siguiente es una propiedad importante de los espacios me´tricos
completos. Es una generalizacio´n de la propiedad de Cantor en Rn.
Teorema 11.12 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio me´trico
completo. Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . es un encaje decreciente de subcon-
juntos cerrados de X con l´ım(diam(An)) = 0 (el l´ımite de los dia´metros
es cero) entonces
⋂
n∈NAn = {x} para algu´n x ∈ X.
Demostracio´n. Por cada entero positivo n seleccionamos un xn ∈ An.
Veamos que (xn) es de Cauchy y que su l´ımite es el punto en
⋂
n∈NAn.
Dado ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ε. Como
la sucesio´n {An}n es decreciente, para xm, xn con m,n > N tenemos
d(xm, xn) < ε, con lo cual (xn) es de Cauchy y convergente digamos
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11.2 Espacios de Baire 201
al punto x. Para cada j ∈ N, la sucesio´n (xj+i), (i = 1, 2, . . .) es una
sucesio´n en Aj con xj+i → x; as´ı, x ∈ Aj para cada j pues Aj es cerrado.
Si existiera otro punto y ∈ ⋂n∈NAn entonces diam(An) ≥ d(x, y) >
0.
11.2. Espacios de Baire
El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para los
nu´meros reales y por F. Hausdorff en 1914 para los espacios me´tricos
completos.
Teorema 11.13. Supongamos que (X, d) es un espacio me´trico com-
pleto y sea {Dn}n∈N una coleccio´n enumerable de conjuntos abiertos y
densos en X. Entonces
⋂
n∈NDn es densa en X.
Demostracio´n. Veamos que para cualquier abierto U se tiene
U ∩
(⋂
n∈N
Dn
)
6= ∅.
Como U ∩D1 6= ∅ entonces existe una bola abierta B1 con B1 ⊆ U ∩D1
y diam(B1) ≤ 1. De manera inductiva se puede construir una sucesio´n
(Bn)n∈N de bolas abiertas con la siguiente propiedad:
Bn ⊆ (Bn−1) ∩Dn y diam(Bn) ≤ 1/n, (n ∈ N).
Entonces ⋂
n∈N
Bn ⊆ U ∩
(⋂
n∈N
Dn
)
,
y como las Bn forman un encaje que satisface las condiciones del teorema
11.12 tenemos
⋂
n∈NBn 6= ∅ lo que implica U
⋂(⋂
n∈NDn
) 6= ∅.
La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios me´tricos comple-
tos, ma´s au´n, puede ser pose´ıda por espacios topolo´gicos no metriz-
ables. Los espacios que comparten esta propiedad se conocen como
espacios de Baire.
1Rene´-Louis Baire (Par´ıs, 1874-Chambe´ry, 1932) matema´tico france´s, notable por
sus trabajos sobre continuidad de funciones, los nu´meros irracionales y el concepto de
l´ımite. Su libro Lec¸ons sur les the´ories ge´ne´rales de l’analyse (1908) se convirtio´ en
un cla´sico de la dida´ctica del ana´lisis matema´tico.
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202 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
Definicio´n 11.14. Un espacio (X,T) se dice espacio de Baire si dada
una familia enumerable {Dn}n∈N de abiertos densos en X su interseccio´n
es densa en X.
Proposicio´n 11.15. Sea (X,T) un espacio de Baire. Si {Cn}n∈N es
un cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cn
contiene un conjunto abierto (tiene interior no vac´ıo).
Demostracio´n. Es una aplicacio´n de las leyes de De Morgan. Si X =⋃
n∈NCn tomando complementos se tiene
⋂
n∈NCn
c = ∅ y como el es-
pacio es de Baire, alguno de los Cn c no es denso, i.e., Cn contiene un
abierto.
En un espacio topolo´gico se puede pensar que los conjuntos cerra-
dos con interior vac´ıo son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiado
delgados para contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos ais-
lados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el
sentido que no puede construirse como una unio´n enumerable de estos
conjuntos ‘delgados’.
Por ejemplo en R2u cualquier coleccio´n enumerable de l´ıneas, sin
importar que l´ıneas escojamos, no pueden cubrir al espacio.
Los conjuntos del pa´rrafo anterior reciben un nombre especial.
Definicio´n 11.16. Sean (X,T) un espacio y M ⊆ X. Se dice que M es
magro, delgado o diseminado en X si
◦
M= ∅
EJEMPLO 11.3
Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru. Q no lo es.
Ejercicios 11.2
1. Muestre que (xn) es sucesio´n de Cauchy si
d(xn, xm)→ 0 cuando n,m→∞.
2. Muestre que la definicio´n de sucesio´n de Cauchy es equivalente a
decir que el filtro F generado por la sucesio´n (xn) satisface que,
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11.2 Espacios de Baire 203
dado ε > 0, existe F ∈ F tal que el dia´metro de F sea menor que
ε; esto es,
diam(F ) = sup d(F × F ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ F} < ε.
3. Muestre que en Rn una sucesio´n converge si y solo si es de Cauchy.
Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy
es la misma que la de las sucesiones convergentes. Pero en general
esto no es as´ı para los espacios me´tricos, y da origen a la definicio´n
de completez.
4. Muestre que el rec´ıproco del teorema 11.12 es cierto; es decir, si
tenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es
completo.
5. Sea (xn) una sucesio´n en el espacio me´trico (X, d). Muestre que
(xn) es de Cauchy si y solo si l´ımn→∞ diam(Xn) = 0 donde Xn =
{xn, xn+1, . . .}.
6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo.
Sugerencia: si (qm) es una sucesio´n de Cauchy en H con
qm = {qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .},
muestre que
a) Para cada j, (qmj )m∈N es una sucesio´n de Cauchy en los
reales. Luego existe su l´ımite zj .
b) z = (z1, z2, . . .) ∈ H.
c) qm → z.
7. Muestre que un espacio (X,T) de Hausdorff y localmente compacto
es de Baire.
8. Si (X,T) es un espacio de Baire entonces
a) La unio´n de cualquier familia numerable de subconjuntosdis-
eminados o densos en ninguna parte tiene interior vac´ıo.
b) X no se puede expresar como una unio´n enumerable de con-
juntos densos en ninguna parte.
c) Toda unio´n enumerable de subconjuntos cerrados con interior
vac´ıo, tiene interior vac´ıo.
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204 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
9. Si (X,T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire.
10. Si M es diseminado en (X,T) tambie´n lo es M .
11. Si M es diseminado en (X,T) entonces ext(M) es denso en X.
11.3. Completez de un espacio me´trico
Uno de los me´todos —introducido por Hausdorff en 1914— de con-
struir los nu´meros reales es a partir de los nu´meros racionales, us-
ando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los nu´meros
racionales.
Por supuesto, existen otros me´todos como el propuesto por Dedekind
utilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille
para conjuntos parcialmente ordenados.
Lo que haremos en esta seccio´n no es ma´s que resaltar la belleza
de la te´cnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formas
cla´sicas de abstraer en matema´ticas y de paso ‘completar’ un espacio
me´trico cualquiera.
Recordemos que una isometr´ıa es una clase particular de funcio´n
continua f : (X, d) −→ (Y,m) entre espacios me´tricos que, como su
nombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f(x), f(y)) = d(x, y)
para todo x, y ∈ X. Por ejemplo, R esta´ isome´tricamente inmerso en R2
a trave´s del eje ordenado x, precisamente f : R −→ R2 con f(x) = (x, 0).
En general decimos —cuando existe una isometr´ıa— que el espacio
me´trico X esta´ inmerso isome´tricamente en Y por medio de f . Lo que
mostraremos en estos pa´rrafos es: si nuestro espacio me´trico (X, d) no es
completo podemos obtener un espacio me´trico X∗ de tal modo que X∗
es completo y X esta´ inmerso en X∗ de una manera representativa; esto
es, la copia de X por medio de la isometr´ıa es un subconjunto denso en
X∗.
Teorema 11.17. Sea (X, d) un espacio me´trico. Existe un espacio me´tri-
co (X∗, d∗) completo y una isometr´ıa f : X −→ X∗ tal que f(X) es
denso en X∗. El par (f, (X∗, d∗)) se llama un completado del espacio
(X, d).
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11.3 Completez de un espacio me´trico 205
Demostracio´n. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de
Cauchy en X. Sobre S definimos la siguiente relacio´n:
(xi) ≈ (yi), si y solo si l´ım
i
d(xi, yi) = 0, (i ∈ N).
Es inmediato ver que ≈ es de equivalencia. Sea X∗ = S/ ≈ el conjunto
de todas las clases [(xi)] de equivalencia. Definimos una me´trica sobre
X∗ como
d∗([(xi)], [(yi)]) = l´ım
i
d(xi, yi), (i ∈ N).
Para ver que d∗ es una me´trica basta notar que si (xi), (yi) ∈ S entonces
(d(xi, yi)) es de Cauchy en R, por lo cual su l´ımite existe.
Cada elemento x ∈ X lo identificamos en X∗ con la sucesio´n x = (x)
constante al punto x, con lo cual f : (X, d) −→ (X∗, d∗) definida por
f(x) = x = [(x)] es una isometr´ıa con X := f(X).
Para verificar que X = f(X) es denso en X∗ consideremos (xn) ∈ S
y veamos que [(xn)] ∈X. Dado ε > 0, sea [xi] = [(xi, xi, . . .)] para cada
i —note que [xi] = f(xi) pertenece a f(X)—. Como (x1, x2, · · · ) es de
Cauchy, existe un entero N tal que d(xi, xj) < ε para cada i, j ≥ N .
Luego
d([(xn)], f(xN ) = limnd(xn, xN ) < ε,
as´ı, [(xn)] es un punto adherente a X (f(xN ) es un punto en f(X)),
luego X = f(X) es denso en X∗.
Finalmente revisemos la completez. Sea (xn) una sucesio´n de Cauchy
en X∗ donde xn = [(xn1 , xn2 , xn3 , . . .)]. Podemos asumir que el dia´metro
del conjunto {xni | i ∈ N} es menor que 1/n ya que para algu´n K,
d(xni , x
n
j ) < 1/n, para i, j ≥ K y as´ı (xn1 , xn2 , . . .) es equivalente a
(xnk , x
n
k+1, . . .) con lo cual (xn) puede ser representada por e´sta u´ltima
sucesio´n.
Veamos que x = (x11, x
2
2, x
3
3, . . . ) es una sucesio´n de Cauchy. Dado
ε > 0 existe N tal que d(xm,xn) = l´ımk d(xkn, x
k
m) < ε para m,n > N .
Luego para algu´n K fijo K ≥ N , tenemos d(xKn , xKm) < ε/3 para m,n >
N . Escojamos M tal que 1/M < ε/3. Entonces para m,n ≥ N tenemos
d(xmm, x
n
n) ≤ d(xmm, xKm) + d(xKm, xKn ) + d(xKn , xnn) < 3ε/3 = ε.
Como d(xm, [x]) = l´ımK d(xKn , x
K
K) < ε/3 para n ≥ N entonces (xn)→
[x], es decir X∗ es completo.
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206 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
Corolario 11.18. Un espacio me´trico X es completo si y solo si X ≈
X∗ —homeomorfos—.
Demostracio´n. ⇒) Si X ≈ X∗ entonces X es completo.
⇐) Si X es completo, dado x ∈ X∗ con x representado por la
sucesio´n de Cauchy (x1, x2, . . .) entonces (x1, x2, . . .) → x, (x ∈ X) y
as´ı (x1, x2, . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede represen-
tarse por (x, x, . . .) y por tanto x ∈ X.
11.4. Espacios de funciones
Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio me´tri-
co, sobre el conjunto B(X,Y ) de todas las funciones acotadas de X en
Y , definimos la me´trica d∞(f, g) = supx∈X{d(f(x), g(x))}. Esta me´trica
genera la topolog´ıa del sup o topolog´ıa de la convergencia uni-
forme.
Definicio´n 11.19. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio me´trico y
(fn)n∈N una sucesio´n de funciones fn : (X,T) −→ (Y, d). Supongamos
que para cada x ∈ X el l´ımn(fn(x)) existe. Si definimos f(x) como el
valor de este l´ımite, entonces f(x) define una f : (X,T) −→ (Y, d). En
este caso decimos que (fn) converge puntualmente a f .
Si suponemos en la definicio´n anterior que cada fn es continua, en
general no podemos esperar que f tambie´n sea continua. Necesitamos
entonces un tipo de convergencia ma´s fuerte para una sucesio´n de fun-
ciones —evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una funcio´n
f— de tal manera que la funcio´n l´ımite pueda heredar la continuidad a
partir de las fn.
Definicio´n 11.20. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio me´trico y
(fn) una sucesio´n de funciones con fn : (X,T) −→ (Y, d). Decimos que
(fn)n converge uniformemente a una funcio´n f si para cada ε > 0
existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces d(fn(x), f(x)) < ε para cada
x ∈ X.
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11.4 Espacios de funciones 207
Si (fn) → f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; es-
to es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia
puntual, pues el N de la definicio´n de convergencia uniforme depende
u´nicamente de ε mientras que en la puntual tambie´n debe depender
del punto x.
Teorema 11.21. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio me´trico y
(fn) con fn : (X,T) −→ (Y, d) una sucesio´n de funciones continuas. Si
fn → f uniformemente entonces f es continua.
Demostracio´n. Dados a ∈ X y ε > 0 veamos que existe una Va tal que
para cada x ∈ Va se tiene d(f(x), f(a)) < ε. Como fn → f , existe N ∈ N
tal que d(fN (x), f(x)) < ε/3 para todo x ∈ X. De otra parte,
d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fN (x)) + d((fN (x), f(N (a)) + d(fN (a), f(a))
< d(fN (x), fN (a)) + 2ε/3
y como fN es continua, existe Va tal que para x ∈ Va, d(fN (x), fN (a)) <
ε/3, con lo cual se satisface que, x ∈ Va implica d(f(x), f(a)) < ε.
La siguiente es la razo´n por la cual la me´trica d∞ sobre B(X,Y ) se
llama la distancia de la convergencia uniforme.
Teorema 11.22. Sean (X,T) un espacio, (Y, d) un espacio me´trico y
(fn) una sucesio´n en B(X,Y ). En (B(X,Y ), d∞), fn → f si y solo si
la convergencia es uniforme.
Demostracio´n. ⇒) Como fn → f en la topolog´ıa del sup, dado ε > 0
existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d∞(f, fn) < ε. Luego en
particular para cada x ∈ X tenemos que
d(f(x), fn(x)) ≤ sup
x
{d(fn(x), f(x))} = d∞(fn, f) < ε.
⇐) Dado ε > 0 existeN ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d(fn(x), f(x)) <
ε/2 para cada x ∈ X. Luego si n > N entonces supx{d(fn(x), f(x))} ≤
ε/2 < ε con lo cual d∞(f, fn) < ε para n > N .
Proposicio´n 11.23. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio me´trico
completo. El espacio B(X,Y ) de las funciones acotadas con la me´trica
d∞de la convergencia uniforme es completo.
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208 Espacios me´tricos y sucesiones —completez—
Demostracio´n. Sea (fn)n∈N una sucesio´n de Cauchy en B(X,Y ), i. e.,
dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que para m,n ≥ Nε se tiene
sup
x∈X
d(fn(x), fm(x)) ≤ ε.
En particular para un x fijo, la sucesio´n (fn(x))n es de Cauchy en el
espacio completo (Y, d) y por tanto existe su l´ımite, el cual notamos
como f(x) = l´ımn(fn(x)).
Hemos definido as´ı f : X −→ Y . Veamos que ella es acotada. Existe
N1 ∈ N tal que d∞(fN1 , fn) ≤ 1 para todo n ≥ N1. Sea a ∈ Y y notemos
por a la funcio´n a : X → Y constante a a. Para todo x ∈ X y n ≥ N1,
d(a, fn(x)) ≤ d(a, fN1(x)) + 1 ≤ d∞(a, fN1) + 1.
Fijando x y tomando el l´ımite cuando n→∞ obtenemos
d(a, f(x)) ≤ d∞(a, fN1) + 1
y como esto es independiente de x, tenemos que f ∈ B(X,Y ).
Veamos por u´ltimo que efectivamente fn → f . Para ε > 0 y x ∈ X
tenemos la desigualdad d(fn(x), fm(x)) ≤ ε si m,n ≥ Nε. Tomando el
l´ımite cuando m→∞ y fijando a x obtenemos d(fn(x), f(x)) ≤ ε para
todo x y n ≥ Nε. Como Nε no depende de x, tenemos d∞(fn, f) ≤ ε.
Por tanto, l´ımn→∞ d∞(fn, f) = 0 y as´ı fn → f .
Corolario 11.24. Sean (X,T) un espacio y (Y, d) un espacio me´trico
completo. El espacio CB(X,Y ) de las funciones continuas y acotadas
con la me´trica d∞ de la convergencia uniforme es completo.
Figura 11.1: La convergencia uniforme.
Demostracio´n. Sea (fn)n∈N una sucesio´n de Cauchy en CB(X,Y ). Solo
nos falta verificar que f de la demostracio´n del teorema 11.23 es continua.
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11.4 Espacios de funciones 209
Sea a ∈ X y veamos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un entero
N tal que d(fn(x), f(x)) < ε/3 para n ≥ N y cada x ∈ X. Como fn es
continua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x ∈ Ua,
d(fn(x), fn(a)) < ε/3. Luego
d(f(x), f(a)) ≤ d(f(x), fn(x))+d(fn(x), fn(a))+d(fn(a), f(a)) < 3ε3 = ε.
As´ı, f es continua en a. En particular, CB(X,Y ) es un subconjunto
cerrado de B(X,Y ).
Corolario 11.25. Sean (X,T) un espacio compacto y (Y, d) un espacio
me´trico completo. El espacio C(X,Y ) de las funciones continuas con la
me´trica d∞ de la convergencia uniforme es completo.
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12 Los axiomas de separacio´n
La definicio´n de espacio topolo´gico es en s´ı muy general: una colec-
cio´n de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la unio´n
y otra para la interseccio´n; por tanto, no muchos teoremas pueden de-
mostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar.
Para obtener estas clases espec´ıficas, debemos imponer condiciones de
suerte que, a ma´s condiciones, ma´s espec´ıfica sea la clase y entonces ma´s
teoremas —propiedades— puedan ser demostrados.
Hemos visto co´mo algunas propiedades topolo´gicas de un espacio
(X,T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardi-
nalidad de T o ma´s precisamente de la cardinalidad de sus bases, por
ejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la
cantidad de abiertos involucrados en el espacio.
Esta cardinalidad tambie´n afecta a la continuidad, en el sentido de
que, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibi-
lidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio.
12.1. T0, T1 y T2 o de Hausdorff
Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la man-
era como los abiertos esta´n ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separa-
ciones fueron estudiadas por Alexandroff y Hopf1, bajo la denominacio´n
de axiomas Tk, k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran ba´sicamente el
grado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse
por medio de conjuntos abiertos.
Este estudio surge en relacio´n con los problemas de seudometrizacio´n
1En un excelente libro sobre Topolog´ıa del an˜o 1932.
210
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12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 211
y metrizacio´n de un espacio topolo´gico. Pretend´ıan encontrar una condi-
cio´n de separacio´n, bajo la cual los espacios topolo´gicos resultaran metriz-
ables o bien seudometrizables.
Figura 12.1: P. Alexandroff y H. Hopf, Zu¨rich, 1931.
Al hablar de separacio´n en un espacio topolo´gico nos referimos a la sep-
aracio´n que podemos inducir entre los puntos del espacio valie´ndonos
de los conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta
separacio´n es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hal-
lar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestro
estudio se limitara´ a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de
existir esfuerzos en crear cada d´ıa otro Tk, k -racional, donde podr´ıa
pensarse que la separacio´n o´ptima la poseen los espacios me´tricos.
El axioma de separacio´n ma´s primitivo afirma que, dados dos puntos
del espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio
de un abierto2.
Definicio´n 12.1. Un espacio (X,T) es T0 o de Kolmogoroff3 si, dados
x, y ∈ X con x 6= y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contiene
2En 1935 se publico´ el libro Topologie I de Pavel S. Alexandroff y Heinz Hopf.
En e´ste se indica que el axioma de separacio´n ma´s de´bil fue introducido por Andrei
Kolmogoroff.
3Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Moscu´ 1987), matema´tico ruso que hizo pro-
gresos importantes en los campos de la teor´ıa de probabilidad y de la topolog´ıa. En
particular, desarrollo´ una base axioma´tica que supone el pilar ba´sico de la teor´ıa de
las probabilidades a partir de la teor´ıa de conjuntos. Trabajo´ al principio de su carrera
en lo´gica constructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teor´ıa de la
complejidad algor´ıtmica.
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212 Los axiomas de separacio´n
a y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x.
EJEMPLO 12.1
El espacio de Sierpinsky {0, 1} (pa´g. 13) es T0.
EJEMPLO 12.2
Dado un conjunto parcialmente ordenado (X,≤), el espacio (X,Td) con
la topolog´ıa generada por las colas a derecha cerradas es T0.
Ser T0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones:
1. Dados x 6= y, x /∈ {y} o´ y /∈ {x}.
2. Si x y y son puntos distintos de X entonces {x} 6= {y}.
EJEMPLO 12.3
1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 pues
todo abierto no vac´ıo contiene simulta´neamente a los puntos 110 ,
1
8 .
2. Dado un conjunto X y a, b ∈ X definimos
G := {A ⊆ X : {a, b} ⊆ A} ∪ {∅}.
En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” topolo´gi-
camente.
3. Si (X,T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto
X queda acotada por |X| ≤ 2ω. Si B := {B1, B2, . . .} es una base
la funcio´n f : X −→ 2B definida por f(x) = {B ∈ B : x ∈ B} es
inyectiva y por tanto |X| ≤ 2B ≤ 2ω.
Definicio´n 12.2. Un espacio (X,T) es T1 o accesible4 si, dados x, y ∈
X con x 6= y, existen vecindades abiertas Ux, Uy tales que y /∈ Ux y
x /∈ Uy. Este axioma algunas veces es referido como de Fre`chet o axioma
de separacio´n de Riesz.
4En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separacio´n T1.
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12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 213
EJEMPLO 12.4
(R, cofinitos) es un espacio T1.
Nota. La definicio´n de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario
{a} del espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de {a} es un
conjunto abierto, pues por cada x 6= a tomamos una vecindad abierta
V ax de x tal que a /∈ V ax , y as´ı {a}c =
⋃
x 6=a V
a
x .
El axioma de separacio´n ma´s conocido fue introducido por Haus-
dorff5 y es el que nosotros hemos exigido en la definicio´n de un espacio
de Hausdorff o T2. Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, que
no debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado comple-
tamente diferente.
Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la
cual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacioscom-
pactos. En los espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesio´n o
de un filtro, en caso de existir, es u´nica, lo que es uno de los requisitos
mı´nimos para desarrollar una teor´ıa de convergencia.
EJEMPLO 12.5
1. Todo espacio me´trico es de Hausdorff.
2. (R, cofinitos) es T1 pero no es T2.
3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff pueden
ser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’.
4. Por supuesto tenemos la implicacio´n T2 → T1 → T0.
Ejercicios 12.1
1. Muestre que, en un espacio T0, la relacio´n x ≤ y si x ∈ {y} es de
orden en el conjunto X.
K
2. Muestre que, un espacio (X,T) es T0 si y solo si para todo par
x, y ∈ X con x 6= y se tiene {x} 6= {y}.
5El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separacio´n T2 en su famoso libro
GrundzA¨uge der Mengenlehre.
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214 Los axiomas de separacio´n
3. Muestre que, en un espacio (X,T), ser T1 es equivalente a cada
una de las siguientes afirmaciones:
a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados.
b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados.
c) Para cada A ⊆ X la interseccio´n de todos los abiertos UA que
contienen a A es el propio A.
d) Para cada a ∈ X la interseccio´n de todos los abiertos Ua que
contienen al punto a es {a}.
e) Cada subconjunto de X es unio´n de subconjuntos cerrados.
f ) Cada subconjunto no vac´ıo contiene algu´n subconjunto ce-
rrado no vac´ıo.
g) Para cada x ∈ X el conjunto {x}a = ∅.
h) Para cada A ⊆ X, Aa = Aaω (definicio´n 10.30).
4. Un espacio (X,T) es TD si y solo si para todo x ∈ X el conjunto
{x}a es cerrado. Muestre que T1 implica TD.
5. Muestre que si (X,T) es T1 entonces Aa es cerrado para cada
A ⊆ X.
6. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es dis-
creto.
7. Muestre que la definicio´n de un espacio (X,T) de Hausdorff es
equivalente a:
a) Para cada a ∈ X la interseccio´n de todas las vecindades cer-
radas del punto a es el conjunto {a}.
b) La diagonal
∆X = {(x, x) : x ∈ X}
es cerrada en el espacio producto X ×X.
c) La convergencia de filtros es u´nica.
8. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedad
de la convergencia u´nica por sucesiones.
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12.1 T0, T1 y T2 o de Hausdorff 215
9. Sea f : (X,T) −→ (Y,H) continua y (Y,H) un espacio T2. En-
tonces el grafo de f ,
Gf := {(x, f(x)) | x ∈ X},
es cerrado en el espacio producto X × Y .
Sugerencia: considere la funcio´n
h = (f, idY ) : X × Y −→ Y × Y, (x, y) 7→ (f(x), y).
Entonces
h−1(∆Y ) = h−1 ({(y, y) | y ∈ Y })
= {(x, y) | f(x) = y, x ∈ X}
= {(x, f(x)) | x ∈ X} = Gf .
10. Sean f, g : (X,T) −→ (Y,H) continuas y (Y,H) un espacio T2.
Entonces el subconjunto de coincidencia
C(f, g) = {x ∈ X : f(x) = g(x)}
donde f y g coinciden, es cerrado.
Sugerencia: considere la funcio´n (f, g) : X −→ Y × Y .
11. ¿Las propiedades T0, T1, T2 son hereditarias?
12. Muestre que T0, T1, T2 son invariantes topolo´gicos.
13. Muestre que T0, T1, T2 son productivas, i. e., el espacio producto∏
i∈I(Xi,Ti) es T0, T1, T2 si y solo si cada espacio factor lo es.
14. Muestre que si f : (X,T) −→ (Y,H) es una funcio´n inyectiva y
continua con (Y,H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff.
15. (R, co-compacto). En R definimos C ⊆ R cerrado si C es cerrado
y acotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 pero
no es T2.
16. (X,T) es T2 1
2
o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser
separado por vecindades cerradas. Un espacio T2 1
2
es de Hausdorff.
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216 Los axiomas de separacio´n
12.2. Regulares, T3, Tychonoff
En esta seccio´n vemos la separacio´n entre puntos y conjuntos, con
un axioma introducido por Vietoris6 en 1921.
Definicio´n 12.3. Un espacio (X,T) es regular si, dados x ∈ X y
un cerrado F ⊆ X con x /∈ F , existen abiertos Vx, VF disyuntos que
contienen a x y a F respectivamente.
Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3.
EJEMPLO 12.6
Un espacio que es T2 pero no es regular.
En R definimos una subbase an˜adiendo a la topolog´ıa usual el conjunto
Q. La topolog´ıa generada T es T2, pues esta subbase es ma´s fina que la
usual. No´tese que hemos agregado los intervalos que constan u´nicamente
de nu´meros racionales o unio´n de los intervalos usuales con los intervalos
formados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los nu´meros
irracionales es cerrado en (R,T) pero no lo podemos separar del punto
x = 0, pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual a
R.
EJEMPLO 12.7
En R consideremos el conjunto A = {1/n | n ∈ N}. Definimos una
topolog´ıa T para R as´ı: V ∈ T si y solo si V = U ∩Bc donde U es abierto
de la topolog´ıa usual de R y B ⊆ A.
Esto es, los elementos de la topolog´ıa son los abiertos de la usual, con
el derecho a extraerles cualquier cantidad de nu´meros de la forma 1/n.
Note que la usual esta´ contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff. Sin
embargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado
A (A es cerrado ya que Ac = R ∩ Ac es abierto) no pueden separarse.
¿Por que´?
6Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002).
Vivio´ 110 an˜os (de hecho casi 111, murio´ menos de dos meses antes) en
tres siglos diferentes. Es conocido principalmente por sus estudios en topolog´ıa,
rama de las matema´ticas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores.
Tambie´n se intereso´ por la historia de las matema´ticas, la filosof´ıa y fue un gran
alpinista y esquiador. Durante toda su vida publico´ 80 trabajos en diversos campos,
el u´ltimo de ellos a los 104 an˜os.
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12.2 Regulares, T3, Tychonoff 217
La siguiente es una caracterizacio´n local de los espacios regulares y es
quiza´s la forma ma´s u´til de presentar este axioma.
Teorema 12.4. Un espacio (X,T) es regular si y solo si para cada
subconjunto abierto U y para cada x ∈ U existe un abierto Vx tal que
x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U.
Un espacio (X,T) es regular si para cada x ∈ X las vecindades cerradas
de x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cada
vecindad de x contiene una vecindad cerrada.
Demostracio´n. ⇒) Sean U abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existen
vecindades disyuntas abiertas V,W de x y U c respectivamente. As´ı, x ∈
V ⊆ W c y como W c ⊆ U tenemos x ∈ V ⊆ V ⊆ U ya que W c es
cerrado.
⇐) Dado un F cerrado y x /∈ F , el conjunto F c es una vecindad
abierta de x. As´ı que existe Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F c. Si tomamos
U =
(
Vx
)c entonces F ⊆ U y adema´s Vx ∩ U = ∅.
EJEMPLO 12.8
Bajo la anterior caracterizacio´n es claro que la topolog´ıa de los comple-
mentos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto
es cerrada.
No siempre es el caso que cada espacio regular implique los dema´s ax-
iomas de separacio´n T0, T1, T2. Por ejemplo (X, grosera) es regular pero 
no necesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerra-
do. Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente
definicio´n para que as´ı Ti implique Ti−1.
Definicio´n 12.5. Un espacio (X,T) que es regular y adema´s T1 se llama
un espacio T3. Esto es, adema´s de poder separar puntos de conjuntos
cerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados.
Proposicio´n 12.6. La propiedad de ser T3 es hereditaria.
Demostracio´n. Sea A ⊆ (X,T) donde X es T3. Basta notar que, para
x ∈ A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x
en (X,T) entonces
VA(x) = {V ∩A : V ∈ V(x)}
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218 Los axiomas de separacio´n
es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A,TA).
Proposicio´n 12.7. Un espacio producto X =
∏
i∈I Xi con la topolog´ıa
producto es regular si y solo si cada Xi es regular.
Demostracio´n. ⇒) Supongamos que para algu´n ı´ndice i0, Xi0 no es reg-
ular y veamos queentonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 ∈ Xi0
y un cerrado Ai0 ⊆ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no pueden
separarse. Definimos un punto x = (xi) ∈ X tomando a xi0 en la com-
ponente i0 y en las otras i–ordenadas elegimos un punto cualquiera xi
para cada i. Sea A = p−1i0 (Ai0) =
∏
i 6=i0 Xi×Ai0 —el cilindro—; consid-
eremos Ux =
∏
Uxi , (i ∈ I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier
vecindad abierta de A. Entonces
UAi0 := {yi0 | y = (yj) ∈ UA y yi = xi para cada i 6= i0}
—hemos elegido las coordenadas i–e´simas de estos puntos y = (yi)— es
un abierto en Xi0 con Ai0 ⊆ UAi0 , con lo cual Uxi0 y UAi0 tambie´n se
interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede ser
separado de A.
⇐) Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux =
∏
Uxi ,
(i ∈ I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemos
ba´sico—. Si Uxi = Xi definimos Vi = Xi. Si Uxi $ Xi escogemos Vi
abierto tal que x ∈ Vi ⊆ Vi ⊆ Uxi . Entonces V =
∏
Vi, (i ∈ I) es abierto
y
∏
Vi, (i ∈ I) es un cerrado con x ∈ V ⊆ V ⊆ Ux, es decir X es
regular.
Corolario 12.8. El espacio X =
∏
Xi, (i ∈ I) con la topolog´ıa producto
es T3 (regular y T1) si y solo si cada Xi es T3.
Demostracio´n. Muestre que un espacio producto es Ti, (i = 0, 1) si y
solo si cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1).
EJEMPLO 12.9
Sorgenfrey (R,J+) es T3. Dados U abierto y x ∈ U existe [a, b) tal que
x ∈ [a, b) ⊆ U . Recordemos que esta topolog´ıa es ma´s fina que la usual;
as´ı, los intervalos abiertos tambie´n son abiertos de esta topolog´ıa, con lo
cual los elementos [a, b) de la topolog´ıa son simulta´neamente abiertos y
cerrados. Por el teorema 12.4 tenemos la regularidad. Solo resta verificar
que el espacio es T1.
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12.2 Regulares, T3, Tychonoff 219
De manera ma´s general tenemos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 12.10
Sea (X,≤) un espacio totalmente ordenado. Entonces las topolog´ıas
J0, J+, J− son T3 (pa´g. 23).
1. J0. Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = {(a, b) :
a < x < b}. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x)
contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) ∈ V(x):
a) Si existen t, t′ tales que a < t < x y x < t′ < b entonces
x ∈ (t, t′) ⊆ [t, t′] ⊆ (a, b).
b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t′ con
x < t′ < b, con lo cual x ∈ (a, t′) ⊆ [a, t′] ⊆ (a, b), o bien no
existe t′ con x < t′ < b, con lo cual (a, b) = {x} es vecindad
cerrada de x.
c) Si no existe t′ tal que x < t′ < b, razonamos como en (b).
2. T+. Sabemos que es T2 y recordemos que los abiertos [x, y) son
igualmente cerrados pues
[x, y)c =
⋃
a<x
[a, x)
⋃ ⋃
y<b
[y, b).
3. T−. Como en (2).
12.2.1. Inmersio´n en cubos
La siguiente clase de espacios asegura la existencia de funciones –sobre
el espacio– continuas y no constantes con valores en los nu´meros reales.
Definicio´n 12.9. Un espacio (X,T) se dice completamente regular
si para cada cerrado F ⊆ X y cada x /∈ F existe una funcio´n continua
f : X −→ [0, 1] tal que f(x) = 0 y f(F ) = 1 —se dice que f distingue
puntos de cerrados—.
La razo´n del nombre para estos espacios es que son ma´s que regu-
lares; en efecto, los conjuntos f−1([0, 1/2)) y f−1((1/2, 1]) son vecindades
disyuntas de x y F respectivamente.
G
. R
UB
IA
NO
220 Los axiomas de separacio´n
Definicio´n 12.10. Un espacio (X,T) completamente regular y T1 se
llama espacio de Tychonoff o T31
2
—estos espacios esta´n entre los T3
y T4—. Fue Tychonoff quien en 1930 dio un ejemplo de un espacio T3
que no es completamente regular.
Recordemos que los productos de la forma [0, 1]I =
∏
i∈I [0, 1]i –donde
cada [0, 1]i es el intervalo unidad con la topolog´ıa usual– con la topolog´ıa
producto de Tychonoff son llamados cubos I-dimensionales. En par-
ticular, el cubo Iℵ0 se llama cubo de Hilbert.
Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y F = {f | f : X −→ [0, 1]} es
la familia de todas las funciones continuas, la funcio´n evaluacio´n
e : X −→
∏
f∈F
[0, 1]f
definida por e(x) := (f(x))f∈F es una funcio´n continua (ver teorema
8.10). e es inyectiva si y solo si la familia F es capaz de distinguir puntos;
en otras palabras, para cada par de puntos x, y ∈ X existe f ∈ F con
f(x) 6= f(y).
Si F distingue puntos de cerrados o X es completamente regular
entonces e es una funcio´n abierta de X en e(X). En efecto, dado un
abierto U ⊆ X veamos que e(U) es abierto en e(X). Sean q ∈ e(U) y
p ∈ U con e(p) = q. Como X − U es cerrado y p /∈ X − U existe g ∈ F
con g(p) /∈ g(X − U) —la adherencia tomada en g(X)—. El conjunto
V = {y ∈
∏
f∈F
[0, 1]f : g(y) /∈ g(X − U)},
es un abierto ba´sico de la topolog´ıa producto con lo que V ∩ e(X) es
un abierto ba´sico en e(X) para el cual q = g(p) ∈ V ∩ e(X) ⊆ e(U) y
as´ı e(U) es abierto en e(X). Por tanto X ≈ e(X) ⊆∏f∈F [0, 1]f . Hemos
demostrado el siguiente teorema.
Teorema 12.11. Cada espacio de Tychonoff puede ser inmerso en un
cubo.
Como e(X) es determinado completamente por la familia F , podemos
afirmar que las funciones continuas son adecuadas para describir la
topolog´ıa en X.
G
. R
UB
IA
NO
12.3 Normales, T4 221
Ejercicios 12.2
1. Sea (X,T) un espacio T3. Muestre que para cada F cerrado, F ⊆ X
tenemos F =
⋂{V | V ∈ V(F )}.
2. ¿Es la regularidad un invariante continuo?
3. Demuestre que regular, completamente regular y Tychonoff son
propiedades hereditarias.
4. En R considere la topolog´ıa J definida como el sup de la usual y
coenumerables. ¿Es (R,J ) un espacio T3?
Sugerencia: muestre que U es un abierto en J si y solo si U =
V − A donde V es un abierto de la usual y A es un subconjunto
enumerable.
5. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si T es la
topolog´ıa inicial para la familia de funciones continuas
F = {f | f : X −→ [0, 1]}.
6. Muestre que (X,T) es completamente regular si y solo si para cada
X ∈ X y cada Vx existe una funcio´n continua f : X −→ [0, 1] tal
que f(x) = 0 y f(X − Vx) = 1.
12.3. Normales, T4
La normalidad fue introducida por Tietze en 1923; veremos que en
algunos aspectos se comporta muy diferente a los otros axiomas de
separacio´n, ya que no es una propiedad hereditaria ni pasa al producto;
mas no por ello es menos importante.
Definicio´n 12.12. Un espacio (X,T) se dice normal si cada par de
subconjuntos cerrados y disyuntos F,G pueden separarse por abiertos;
es decir, existen abiertos disyuntos UF , UG conteniendo a F y G respec-
tivamente.
G
. R
UB
IA
NO
222 Los axiomas de separacio´n
EJEMPLO 12.11
Sean X = {a, b, c, d, e} y T = {X, ∅, {a, b, c, d}, {a, b, c}, {b, c, d, e},
{b, c, d}, {b, c}, {b}, {b, d, e}, {b, d}, {d, e}, {d}}. (X,T) es normal, pero
no es regular ya que {a, d, e} es un cerrado que no puede ser separado
del punto {c}, c /∈ {a, d, e}.
Lo anterior no se puede dar en el caso que los conjuntos unitarios sean
cerrados.
Definicio´n 12.13. Un espacio (X,T) que es normal y T1 se dice T4.
Proposicio´n 12.14. Si (X,T) es T4 entonces es T3.
Demostracio´n. Si X es T1, el conjunto {x} es cerrado para cada x ∈ X,
y ser regular es un caso particular de ser normal.
Teorema 12.15. Un espacio (X,T) es normal si y solo si para cada
abierto U y para cada cerrado F ⊆ U existe un abierto V tal que
F ⊆ V ⊆ V ⊆ U.
Demostracio´n. Como F y U c son cerrados disyuntos, por ser X normal
existen abiertos disyuntos M,N que los contienen respectivamente, y
as´ı F ⊆M ⊆M ⊆ N c ⊆ U . Para verificar la normalidad tomemos F,G
cerrados disyuntos; como F ⊆ Gc, existe una vecindad VF de F con
F ⊆ V ⊆ V ⊆ Gc y por tanto F ⊆ V y G ⊆ X − V .
El siguiente ejemplo muestra que los espacios normales son abun-
dantes.
EJEMPLO 12.12
Todo espacio me´trico (X, d) es normal. En efecto, dados dos cerrados
F,G disyuntos, por cada g ∈ G tomamos εg > 0 tal que Bεg(g) ∩ F = ∅
—recuerde que d(g, F ) >0 puesto que g no es adherente a F—. Entonces⋃
Bεg/2(g), (g ∈ G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F .
De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G.
Muestre que realmente estos abiertos no se cortan.
Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables.
G
. R
UB
IA
NO
12.3 Normales, T4 223
EJEMPLO 12.13
Sea R con la topolog´ıa T definida como: U ∈ T si U c es contable o 0 /∈ U .
La topolog´ıa T es de Hausdorff, pues dados x 6= y, uno de los dos,
digamos x, es diferente de 0; por tanto {x} y R− {x} son abiertos.
Para ver que (R,T) es normal tomemos F,G cerrados disyuntos no
vac´ıos; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F es
abierto y F c es tambie´n un abierto conteniendo a G.
De otra parte, no existe una base local enumerable para el punto 0
ya que si existiera {B1, B2, . . .} tenemos que
⋂
n=1Bn = {0} y de otra
parte
⋃
n=1B
c
n deber´ıa ser contable puesto que 0 ∈ Bn para cada n, y
como cada Bn es abierto, solo puede serlo si Bcn es contable.
¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construc-
cio´n en general?
EJEMPLO 12.14
El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.7 es un espacio que muestra
que ser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuacio´n
sus principales propiedades:
Para ver que (X,T∗) es regular utilicemos la caracterizacio´n local; es
decir, dado un abierto U y b ∈ U , existe Vb abierta tal que Vb ⊆ V b ⊆ U .
Sean U ∈ T∗ y b ∈ U . Si b ∈ P , como U es abierto existe una Bε(b) ⊆ U ,
luego para Vb = Bε/2(b) tenemos la condicio´n. Si b ∈ L, existe D un
disco tal que {b} ∪D ⊆ U , esto es (Bε((b, x)) ∪ {b}) ⊆ U —algu´n x—.
As´ı Bε/2((b, x/2)) satisface la condicio´n.
Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dos
subconjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ⊆ L, Ac es
abierto en T∗ con lo cual cada A ⊆ L es cerrado —diferente a decir
que todo A ⊆ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—.
Por tanto, los subconjuntos Q = {(x, 0) | x es racional}, I = {(x, 0) |
x es irracional} son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse
por abiertos.
Sean VQ, VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) ∈
I ⊆ VI existe un disco Dx ⊆ VI de radio rx y tangente a L en el punto
(x, 0). Sea Sn = {(x, 0) ∈ I | rx > 1/n}. As´ı, Sn ⊆ Sn+1 y la coleccio´n
{Sn} junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L.
G
. R
UB
IA
NO
224 Los axiomas de separacio´n
Veamos que en R sucede lo siguiente:
Si R es una unio´n contable de los subconjuntos {Sn} entonces por lo
menos uno de ellos contiene un intervalo abierto.
Supongamos que cada Sn tiene interior vac´ıo, esto es, dado cualquier
intervalo I ⊆ L, existe un subintervalo J ⊆ I tal que Sn ∩ J = ∅
(recuerde que Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior
de la adherencia de cada Sn es vac´ıo, es decir Sn es denso en ninguna
parte).
Como los racionales son enumerables, sea {q1, q2, . . .} una enumeracio´n
de ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 /∈ I1; as´ı, existe
J1 ⊆ I1 tal que J1∩S1 = ∅. Si q2 ∈ J1, tomamos un subintervalo I2 ⊆ J1
tal que q2 /∈ I2 y de e´ste extraemos J2 tal que J2 ∩ S2 = ∅ ; si q2 /∈ J1
tomamos un I2 ⊆ J1 tal que I2 ∩ S2 = ∅. De esta manera, construimos
inductivamente una sucesio´n de intervalos cerrados In tal que In+1 ⊆ In
con qn /∈ In y In ∩Sn = ∅. Por el principio de Cantor para los intervalos
encajados, existe un nu´mero t tal que t ∈ ⋂n∈NIn . Claramente t no es un
nu´mero racional y para algu´n n suficientemente grande tenemos t ∈ Sn,
pero esto contradice que In ∩ Sn = ∅.
Luego para algu´n nu´mero natural n se debe tener que existe un
intervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn.
As´ı que cada punto de I es un punto de acumulacio´n de Sn; en particular
existe un racional r con r ∈ San. Sea Bδ((r, 0)) ⊆ VQ. Para x1 ∈ Sn
suficientemente cercano a r, existe un disco Bε((x1, 0)) con Bδ((r, 0)) ∩
Bε((x1, 0)) 6= ∅, y esto contradice que VQ, VI son disyuntos.
En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto se
relacionan de acuerdo con el siguiente teorema.
Teorema 12.16. Si (X,T) es un espacio de Hausdorff y compacto en-
tonces X es normal.
Demostracio´n. Si F,G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es de
Hausdorff y es compacto ellos son compactos. Dado g ∈ G, lo podemos
separar de cada punto f ∈ F por medio de vecindades disyuntas V fg , V gf
de g y f respectivamente.
La coleccio´n {V gf | f ∈ F} es un cubrimiento abierto de F , el cual
lo podemos reducir a un subcubrimiento finito {V gfi}, (i = 1, 2, . . . , n).
Definimos Vg =
⋂n
i=1 V
fi
g —la interseccio´n de las vecindades de g corre-
G
. R
UB
IA
NO
12.3 Normales, T4 225
spondientes a estos fi— y definimos U
g
F =
⋃n
i=1 V
g
fi
. As´ı F ⊆ UgF . Repi-
tiendo el anterior proceso para cada g ∈ G, obtenemos un cubrimiento
{Vg | g ∈ G} de G el cual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm .
Finamente M :=
⋃m
i=1 Vgi y N :=
⋂m
i=1 U
gi
F son vecindades abiertas
disyuntas de G y F respectivamente.
EJEMPLO 12.15
Tablo´n de Tychonoff . Sea X = [0, ω]× [0,Ω]; cada factor es un espacio
compacto, pues cada una de sus topolog´ıas provienen de un orden com-
pleto. X es normal de acuerdo con el teorema 12.16. Definimos W el
tablo´n de Tychonoff como el espacio X menos el punto (ω,Ω), i. e.,
W = X − {(ω,Ω)} = [0, ω]× [0,Ω]− {(ω,Ω)}.
Probemos que el tablo´n no es normal con la topolog´ıa de subespacio,
negando as´ı que la normalidad sea hereditaria.
0 1 2 3 4 ω
0
1
2
3
4
ω
Ω
•
•
•
•
A
•
•
•
•
• • •
• B
•
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
•
•
•
•
· · ·
...
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
...
•
•
•
◦
•
•
•
•
•
•
• • • • •
• • • • • •
(ω,Ω).............
.........................................................................
.
...........................................................................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
Figura 12.2: El tablo´n de Tychonoff.
Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostre-
mos que es imposible separarlos. A = {(x,Ω) | x ∈ [0, ω)} la u´ltima fila
superior, B = {(ω, y) | y ∈ [0,Ω)} la u´ltima columna a la derecha. Son
cerrados en la topolog´ıa de subespacio de W ya que sus complementos
en W son claramente abiertos.
G
. R
UB
IA
NO
226 Los axiomas de separacio´n
Supongamos que existen UA, UB abiertos que separan. Entonces por
cada α ∈ [0, ω) sea βα el menor elemento en [0,Ω] tal que (α, β) ∈ UA
para β > βα. La coleccio´n S = {βα}, (α ∈ [0, ω)) es contable, luego
so = supS < Ω (proposicio´n 10.41) y por tanto {(α, β) | α < ω, β >
so} ⊆ UA. Notemos que para β con so < β < Ω se tiene que el punto
(ω, β) ∈ UB, luego puntos ‘cercanos’ a e´l, esta´n tanto en UA como en
UB.
Ejercicios 12.3
1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente
es normal, aun en el caso de un nu´mero finito de factores.
Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 9.20— con la topolog´ıa
de los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subcon-
juntos F , G en la diagonal, dados por los puntos con componentes
racionales y los puntos con componentes irracionales respectiva-
mente.
Este ejemplo muestra tambie´n que T3 no implica T4.
2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que
no es regular.
3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero
no es un invariante bajo continuidad. ¿Que´ sucede si f es continua,
cerrada y sobre?
4. Muestre que en el ejemplo 12.14, X es separable pero el subespacio
L no lo es.
5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada es-
pacio