Lista de exercícios para P1

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Lista.
Prof. Thiago
Limites.
1. Calcule os limites abaixo caso existam. Justifique sua resposta.
(a) lim
x→2
f(x), para a func¸a˜o
f(x) =

x− 2
|x− 2| , se x < 2
1− 3√4x, se x ≥ 2.
(b) lim
x→2
x2 − 4
|x2 − 5x+ 6|
2. Encontre o valor da constante a ∈ R de modo que exista o limite abaixo.
lim
x→4
x3 − ax2 − 5x+ a+ 1
x2 − 3x− 4
3. Encontre todas as ass´ıntotas verticais e horizontais das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) =
3x2 − 9x+ 6
4x2 − 20x+ 24
(b) f(x) =
√
x2 + 1−√x2 + 2x
4. Determine os valores de a, b ∈ R de modo que
lim
x→+∞
(
2x2 + bx+ 3
x+ 1
− ax
)
= 0.
Derivada.
1. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo
(a) f(x) = x3 sen(5x) (d) f(x) = e
√
x2+1.
(b) f(x) = ln(ln(x)) (e) f(x) =
1 + sen(x)
x+ cos(x)
(c) f(x) = 3 cos2(e−x) (f) f(x) = arctan( 3
√
x)
1
2. Considere f(x) = x4 − 4x e g(x) uma func¸a˜o tal que g(1) = a e g′(1) = 3.
Encontre a constante a de modo que
(f ◦ g)′(1) = 84.
3. Calcule o limite abaixo:
lim
x→4
ln
(
cos
(pi
x
))
− 1
2
ln
(
1
2
)
x− 4
4. Calcule a derivada da func¸a˜o
f(x) = x
√
x.
5. Considere a curva y2 = x3 + 3x2.
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (1,−2)
(b) Em que pontos da curva a reta tangente e´ horizontal?
(c) No site wolframalpha.com, use o comando:
implicitplot yˆ2 = xˆ3 + 3xˆ2.
para visualizar a curva. Verifique se todos em todos os pontos do item (b)
a reta tangente e´ mesmo horizontal.
6. Encontre todos os pontos da elipse x2 + 4y2 = 5 nos quais a reta tangente
corta o eixo x no ponto (−5, 0).
7. Seja l a reta tangente a` curva
x2/3 + y2/3 = 5,
no ponto (1, 8). Calcule a a´rea A do triaˆngulo formado por l e os eixos coorde-
nados.
Taxas relacionadas.
1. A a´rea de um quadrado esta´ crescendo a uma taxa de 6 cm2 por minuto.
Qual a velocidade com que o lado do quadrado cresce no instante em que sua
a´rea e´ 9 cm2.
2. Um cilindro circular reto esta´ inscrito numa esfera. Se o raio da esfera
cresce a uma taxa de 1 cm/s e raio da base do cilindro cresce a uma taxa de
3 cm/s, com que raza˜o esta´ variando a a´rea lateral no momento em que o raio
da esfera e´ 10 cm e o raio da base do cilindro e´ de 6 cm?
2
3. Uma pessoa medindo 1, 80m caminha em direc¸a˜o a um muro com velocidade
de 4m/s. Diretamente atra´s dela e a 40m do muro encontra-se uma fonte de luz
acima 3m do cha˜o. Qua˜o ra´pido o tamanho da sombra no muro estara´ variando
quando a pessoa estiver a meio caminho entre a luz e o muro? A sombra estara´
esticando ou diminuindo?
Gabarito
Limites
1.
(a) Os limites laterais existem e sa˜o ambos iguais a` −1. Portanto
lim
x→2
f(x) = −1.
(b) O limite na˜o existe, pois
4 = lim
x→2+
x2 − 4
|x2 − 5x+ 6| 6= limx→2−
x2 − 4
|x2 − 5x+ 6| = −4.
2. a = 3
3.
(a) A reta y = 34 e´ ass´ıntota horizontal, pois
lim
x→±∞ f(x) =
3
4
.
A reta x = 2 na˜o e´ ass´ıntota vertical pois
lim
x→2
f(x) = −3
4
.
A reta x = 3 e´ ass´ıntota vertical, pois
lim
x→3+
f(x) = +∞, lim
x→3−
f(x) = −∞.
3
(b) A func¸a˜o e´ cont´ınua em seu domı´nio Dom(f) = (−∞,−2) ∪ (0,+∞).
Ale´m disso, como
lim
x→−2−
f(x) =
√
5, lim
x→0+
f(x) = 1,
temos que na˜o existe ass´ıntota vertical. Como,
lim
x→+∞ f(x) = −2, limx→−∞ f(x) = 2,
temos que y = 2 e y = −2 sa˜o ass´ıntotas horizontais.
4. a = b = 2.
Derivada.
1.
(a) f ′(x) = 3x2 sen(5x) + 5x3 cos(5x) (d) f ′(x) =
2x√
x2 + 1
e
√
x2+1.
(b) f ′(x) =
1
x ln(x)
(e) f ′(x) =
x cos(x)
(x+ cos(x))2
(c) f ′(x) = 6 e−x cos(e−x) sen(e−x) (f) f ′(x) =
1
3 + 3x2/3
2. a = 2.
3. pi/16
4. f ′(x) = (ln(x) + 1)xx.
5.
(a) y = − 94x+ 14
(b) Os pontos sa˜o (−2, 2) e (−2,−2). No ponto (0, 0) na˜o existe reta tangente
como pode ser visto usando o item (c).
6. Os pontos sa˜o: (−1, 1) e (−1,−1).
7. A = 25.
Taxas relacionadas.
1. O lado cresce a uma taxa de 1 cm/min
2. A a´rea lateral esta´ crescendo a uma taxa de 72 cm2/s.
3. A sombra esta´ esticando a uma taxa de 1225 m/s.
4