Apostila Completa Mecânica dos Fluídos

Prévia do material em texto

Introdução à 
Mecânica dos Fluidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Cristiano Agenor 
 
Fonte da figura da capa: http://www.aerospaceweb.org/question/planes/f18/f18-lex-
cfd2.jpg 
 
 
 
Sistema Internacional de Unidades 
Unidades básicas: 
 
http://1.bp.blogspot.com/-PiTj4HDHjnQ/T0F3KJI6URI/AAAAAAAAAmk/NuZ3r8mgIHA/s1600/Imagem1.png 
Unidades derivadas: 
 
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/mef.pdf 
Múltiplos e Submúltiplos 
 
http://www.agracadaquimica.com.br/imagens/artigos/CONVERSOES.jpg 
 
Conversão de Unidades 
Faça a conversão dos seguintes valores: 
a) 26 milhas/hora para ft/s 
b) 300 J/min para Hp 
c) 30 ft3/min2 para in3/s2 
 
O número de Reynolds é um importante adimensional, dado por: 
 
onde: 
• d é o diâmetro do tubo; 
• v é a velocidade do fluido dentro do tubo; 
• ρ é a densidade do fluido que estou dentro da tubulação; 
• µ é a viscosidade dinâmica do fluido que escoa pela tubulação. 
 
Calcule o número de Reynolds para os seguintes para os 3 casos seguintes: 
 
 
 
Caracterização de um fluido 
Na mecânica dos fluidos temos: 
 
O que é fluido? 
Substância que não possui forma própria (assume o formato do recipiente) e que, 
se em repouso, não resiste a tensões de cisalhamento e se deforma continuamente. 

..
Re
vd

Por que estudar a mecânica dos fluidos? 
O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da 
mecânica dos fluidos são essenciais para a análise de qualquer sistema no qual um 
fluido é o meio operante. 
Exemplos: 
Projetos dos meios de transportes: 
 Aeronaves: voos sub e supersônicos; 
 Aircrafts; 
 Submarinos; 
 Automóveis; 
 Sistema de propulsão: Foguetes. 
Forças aerodinâmicas atuando em edifícios e estruturas: 
 Arranha céus; 
 Estádios; 
 Chaminés; 
 Shopping centers. 
Máquinas de fluxos: 
 Bombas; 
 Ventiladores; 
 Sopradores; 
 Compressores; 
 Turbinas. 
Sistema de lubrificação: 
 Aquecimento e ventilação de residências; 
 Sistemas de tubulação. 
 
Tensão de Cisalhamento: É a razão entre o módulo da componente tangencial da força e 
a área da superfície sobre a qual a força está sendo aplicada. 
 
 
 
 
 
 
A
Ft
A
F
P n
A
F
A


  0lim
A experiência das placas 
 
As moléculas de um fluido apresentam mobilidade relativa não apresentando posição 
relativa no corpo do fluido (temos vibração, rotação e translação). Enquanto no sólido 
elas só podem vibrar e girar em torno da sua posição. 
 A distinção entre fluido e sólido se manifesta claramente quando analisamos 
seus comportamentos face às forças externas como, por exemplo, as forças normais e de 
cisalhamento. 
 
 Sob a ação de uma força de cisalhamento o sólido sofre uma deformação finita. 
Para a borracha, após a deformação, ela volta à configuração inicial, 100% de memória, 
já o mesmo não acontece para os fluidos, o qual não possui memória e se deforma 
continuamente. 
Grandezas físicas e de campo 
Tipos de grandezas físicas: 
1) Grandeza escalar: precisa de um único valor para se descrita. Ex.: ρ (x, y, z, t), T 
e P. 
2) Grandezas Vetoriais: dependem do módulo, direção e sentido. Ex.: velocidade v 
= v(x, y, z, t) 
 
Cada uma dessas variáveis de “v” podem variar com x, y, z e t. 
kvjvivv zyx 
 
3) Grandezas tensoriais: precisa de 9 componente para ser descrita. Ex.: 

 
 
Nomenclatura: 
τij – onde “i” é a direção normal ao plano de atuação da força (x, y, z) e “j” a direção da força. 
τ é a tensão cisalhante e δ é a tensão normal. 
 A tensão em um ponto é especificada pelas nove componentes da matriz 
tensorial abaixo. 
 
Se: 
 Se i=j a tensão é normal; 
 se i≠j a tensão é cisalhante. 
 
Natureza da grandeza Ordem N° de componentes 
Escalar 0 3
0 
Vetorial 1 3
1 
Tensorial 2 3
2 
.... .... .....
 
Tensorial superior i 3
i 
 
Forças de campo: não precisa estar em contato com o corpo para atuar. E.: força 
gravitacional. 
Forças de superfície: precisa estar em contato para atuar. Ex.: Força cisalhante. 
Volume específico: por definição, é o volume ocupado pela unidade de massa de uma 
substância, ou seja, é o inverso da massa específica, sendo dado por: 
𝑣 =
1
𝜌
 
O peso específico de uma substância é o seu peso por unidade de volume, com módulo 
dado por: 
𝛾 = 𝜌. 𝑔 
A densidade relativa “d” de uma substância A expressa o quociente entre a massa 
específica dessa substância A e a massa específica de outra substância B, tomada como 
referência. Por definição, a densidade relativa é dada por: 
𝑑 =
𝜌𝐴
𝜌𝐵
 
Geralmente a substância de referência para o caso dos líquidos é a água e, para o caso 
dos gases, é o ar. A densidade relativa é adimensional. 
 
Propriedades dos fluidos 
a) densidade (ρ): Representa a relação entre a massa de uma determinada 
substância e o volume ocupado por ela. 
 
onde, ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela 
ocupado. 
- No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o 
volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³. 
v
m

- Líquidos: a densidade dos líquidos é pouco influenciada pela pressão. A 
influência da temperatura é mais significativa sendo que quanto maior a 
temperatura, menor será a densidade. 
- Gases: a densidade dos gases sofre grande influência da temperatura e da 
pressão. 
Gases ideais: P.V = n.R.T sendo 𝑛 =
𝑚
𝑀𝑀
 e 𝜌 =
𝑚
𝑣
 logo: 𝜌 =
𝑃.𝑀𝑀
𝑅.𝑇
 
- Para gases não-ideais: P.V = z.n.R.T, onde z é o fator de compressibilidade, que 
é função de T e P. 
- Portanto, 
 
b) Viscosidade absoluta ou dinâmica (µ): os fluidos são geralmente caracterizados 
pelo comportamento da viscosidade da seguinte forma: 
 
Fluido ideal ou perfeito (µ = 0): escoa sem atrito (NÃO EXISTE!) 
Fluido real (µ ≠ 0): voltando ao caso das placas, quando o perfil de velocidade é 
atingido, um perfil de velocidade é atingido, vx = vx (y). 
 
Observou-se que 𝜏𝑦𝑥 ≈
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
 
Onde, o tensor 𝜏𝑦𝑥 representa o fluxo de quantidade de movimento na direção y devido 
à atuação de uma força na direção x. 
Obs.: essa força é normal em relação ao plano de aplicação da mesma. 
A constante de proporcionalidade é o coeficiente de viscosidade, de forma que: 
 
 Onde: 
𝜌 =
𝑃. 𝑀𝑀
𝑧. 𝑅. 𝑇
 
𝜏𝑦𝑥 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
 λ = |
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
| 
 
 Os fluidos que apresentam uma relação linear entre τ e λ e que passa pela origem 
são ditos newtonianos. Entre eles estão os gases e a maioria dos líquidos simples (água, 
solventes orgânicos, glicerina, etc...). 
 Do ponto de vista físico, a viscosidade é interpretada como um coeficiente de 
resistência do fluido a deformação provocada por forças cisalhantes. 
 
Efeito da temperatura e pressão 
Líquidos: praticamente são independe da pressão. Quanto maior for a temperatura, 
menor será a viscosidade. 
Gases: quanto maior a temperatura, maior será a viscosidade; quanto maior for a pressão 
maior também será a viscosidade. 
 
Figura: viscosidade reduzida em função da temperatura reduzida para vários valores de 
pressão reduzidas (fonte: Bird, et al. 2002) 
 
Fluidos não-newtonianos 
Todo fluido cuja relação entre τ e λ não é linear ou requer uma τmínima para escoar 
(iniciar a deformação), a uma dada temperatura e pressão é denominado não-
newtoniano. Estes fluidos, geralmente, são divididos em três grandes grupos. 
1) Fluido independentes do tempo ou puramente viscosos: as propriedadesreológicas independem do tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. 
Pertencem a este grupo, os fluidos que apresentam taxas de deformação num 
ponto dependente apenas da tensão cisalhante instantânea aplicada nesse mesmo 
ponto. São eles: pseudoplásticos, dilatante, Bingham. 
 
2) Fluidos dependentes do tempo: apresentam mudança na viscosidade dependendo 
do tempo de aplicação da tensão de cisalhamento. São aqueles que apresentam 
viscosidade aparente dependente do tempo de aplicação da tensão de 
cisalhamento. Esses fluidos são classificados em reopéticos e tixotrópicos. 
 Tixotrópicos: apresentam diminuição da viscosidade aparente (µap) com 
o tempo de atuação de uma tensão de cisalhamento constante até 
alcançar um equilíbrio. Ex.: tinta. 
 Reopéticos: tem comportamento oposto. A viscosidade aparente aumenta 
com o tempo de cisalhamento constante. Ex.: clara de ovo. 
 
3) Fluidos viscoelásticos: são fluidos que apresentam propriedades viscosas e 
elásticas simultaneamente. Ex.: borracha (sólido elástico com 100% de 
memória), silicone, etc... 
 
 
Figura: representação esquemática dos diversos tipos de fluidos 
(fonte: curso básico de mecânica dos fluidos, DEQ/UFRRJ) 
 
 Há modelos matemáticos que representam a relação entre τ e λ, como os que 
seguem abaixo. 
 
(curso básico de mecânica dos fluidos, DEQ/UFRRJ) 
 
 Dentre os diversos modelos capazes de representar as propriedades reológicas 
dos fluidos, o modelo Power-Law se destaca. Este modelo também chamado de 
Ostwald-de-Waele, embora empírico, é muito utilizado, pois a maior parte dos fluidos 
não-newtonianos independentes do tempo com aplicabilidade na indústria apresenta 
comportamento de potência, numa larga faixa de taxa de deformação. Neste modelo, τ é 
a tensão cisalhante aplicada ao fluido e λ é a taxa de deformação, enquanto k e n são os 
índices de consistência e comportamento do fluido, respectivamente. O valor de n entre 
0 e 1 caracteriza os fluidos do tipo pseudoplásticos. Quando n > 1, o fluido é 
denominado dilatante. Os fluidos newtonianos apresentam n = 1. Neste caso, k é a 
viscosidade dinâmica. As curvas que exemplificam estes comportamentos podem ser 
observadas na figura a seguir. 
 
Figura: curvas de comportamento para fluidos puramente viscosos e independentes do 
tempo. 
 
Fluido compressível e incompressível 
 Compressível: a variação da densidade do fluido é importante. ρ = ρ(x, y, z, t) 
 Incompressível: a variação da densidade do fluido é desprezível. ρ = constante 
Na prática, consideram-se líquidos como incompressíveis e os gases como 
compressíveis. Dependendo do nível de pressão a que estão submetidos no escoamento, 
os gases também podem se comportar como fluidos incompressíveis. O número de 
Mach é um adimensional característico dos escoamentos compressíveis. 
𝑀𝑎 =
𝑣
𝑐
 
onde, v é a velocidade do fluido e c é a velocidade do som no fluido. 
 Para Ma < 0,3 as variações de densidade do fluido são da ordem de 2%, ou seja, 
o fluido é praticamente incompressível. 
 
Escoamento de um fluido real incompressível 
 A natureza viscosa de um fluido conduz a características diferentes de 
escoamento. Quando um fluido viscoso escoa em um tubo, por ex., podemos verificar a 
existência de três regimes de escoamento. 
 Laminar; 
 Transição; 
 Turbulento. 
O experimento de Reynolds 
Reynolds foi o primeiro a demonstrar as diferenças quantitativas entre esses 
escoamentos. 
 
Ele observou que: 
 Regime laminar: Re ≤ 2100 
 
 Regime de transição: 2100 < Re < 4000 
 
 
 Regime turbulento: Re ≥ 4000 
 
 
Um exemplo dos perfis de velocidade formados em regime laminar e turbulento. 
 
Figura: perfil parabólico para a distribuição de velocidade em escoamento laminar. 
(Livro: Celso Pulmman Livi, Fenômenos de Transporte, 2004; Figura: Laboratório de 
Fenômenos de Transporte do DHS/EE/UFRJ) 
 
 
Figura: perfil de velocidade para a distribuição de velocidade em escoamento 
turbulento. (Livro: Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004; Figura: 
Laboratório de Fenômenos de Transporte do DHS/EE/UFRJ) 
 
 
 
Avaliação da velocidade em um ponto 
 Em termos de velocidade num dado ponto em regime permanente, as figuras 
abaixo ilustram o escoamento laminar e turbulento dentro de um tubo vz = vz (t). 
 
Num dado instante, para o escoamento temos 
zzz vvv '
 onde, vz é a 
decomposição de Reynolds, sendo 
zv
 a velocidade média temporal e 
zv'
a flutuação da 
velocidade. 
 
Volume de controle e superfície de controle. 
 Volume de controle (VC): é o volume arbitrário onde, através de suas fronteiras, 
pode haver troca de quantidade de movimento, massa e calor. 
 Superfície de controle (SC): é a superfície, ou a parte envoltória, do volume de 
controle. 
A superfície e o volume de controle são escolhidos de acordo com o sistema de 
coordenadas adotado: 
 Cartesianas ou retangulares; 
 Cilíndricas; 
 Esféricas. 
 
Estática de Fluidos 
Dedução da equação geral. 
 Um fluido é considerado estático quando não existem tensões cisalhantes sobre 
ele, só atuam tensões normais. Estática de fluido é a parte da mecânica dos fluidos que 
estuda o comportamento de fluidos que se encontram em repouso em relação às 
superfícies que o limitam. 
 Vamos inicialmente deduzir a equação básica da estática de fluidos. Para tanto, 
efetuaremos um balanço de forças que agem num elemento de fluido. O volume 
elementar é o próprio volume de controle em coordenadas cartesianas. 
 
Figura: Volume de controle isolado de um fluido em repouso (fonte: Celso Pohlmann 
Livi, Fenômenos de Transporte, 2004). 
 
Sabendo que F = P.A, então vamos aplicar o balanço de forças: 
Direção x: 
0... 

zyPzyP
xxx
 
Direção y: 
0... 

zxPzxP
yyy
 
Direção z: 
0..... 

zyxgyxPyxP
zzz
 
 
Se dividirmos as equações acima para as três direções por ΔxΔyΔz, teremos: 
Direção x: 
0



x
PP
xxx
 
Direção y: 
0



y
PP
yyy
 
Direção z: 
0. 


 g
z
PP
zzz 
 
Se aplicarmos o limite quando Δx0, Δy 0 e Δz0, resultará em: 
Direção x: 
0



x
P
 
Direção y: 
0



y
P
 
Direção z: 
g
x
P
.



 
Esta é a definição da derivada, que também pode ser escrito como: 
Direção x: 
0


x
P
 
Direção y: 
0


y
P
 
Direção z: 
g
x
P
.


 
Na forma vetorial fica: 
gP .
 
onde o subscrito denota a descrição vetorial e 
kgjig ..0.0 
 
Podemos também escrever: 
)..0.0.(... kgjik
z
P
j
y
P
i
x
P








 
 
que por igualdade de vetores, resulta: 
g
z
P
.


 
Assim, 
g
dz
dP
.
 
 
Exemplo (1): Determine a pressão hidrostática no fundo da piscina considerando que o 
fluido é incompressível. (obs: refaça o exemplo considerando agora que o eixo de 
coordenadas tenha sua origem no fundo da piscina. Compare as respostas.) 
 
(fonte: Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004). 
Resposta: 
g
dz
dP
.
  
dzgdP
P
Po
h
.
0 

 
  
)0(  hgPoP 
  
ghPoP 
 
 
Exemplo (2): Refaça o exemplo considerando agora que o eixo de coordenadas tenha 
sua origem no fundo da piscina. Compare as respostas. 
 
Exemplo (3): O recipiente abaixo está pressurizado de forma que a água sobe uma altura 
de 2 m no tubo manométrico. Sendo Patm = 101,3 kPa e ρH2O = 1 g/cm
3
, determine a 
pressãono ponto A. 
 
Resposta: Pa = 120,9 kPa (adaptado de: Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de 
Transporte, 2004) 
 
Medidas de Pressão 
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma determinada pressão de 
referência. Usualmente, adota-se como referência a pressão nula existente no vácuo 
absoluto ou a pressão atmosfera local. Chama-se pressão absoluta aquela que é medida 
em relação á pressão nula do vácuo absoluto. Já a pressão relativa ou manométrica é 
aquela que é medida em relação à pressão atmosférica local. A figura abaixo ilustra a 
medida de pressão em relação ao nível zero do vácuo absoluto e em relação à pressão 
atmosférica local (Patm). 
 
 Geralmente os instrumentos medidores de pressão, os manômetros, indicam a 
diferença entre a pressão medida e a pressão atmosférica local, ou seja, medem a 
pressão relativa, que pode ser positiva ou negativa. As pressões relativas negativas, 
também chamadas de pressões de vácuo, são aquelas menores que a pressão atmosférica 
local. Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada é a absoluta 
dada por: 
Pabsoluta=Patmosférica+Prelativa 
 
A pressão atmosférica local pode ser medida por um barômetro. O mais simples 
barômetro de mercúrio é constituído basicamente em um tubo de vidro cheio de 
mercúrio com sua extremidade aberta imersa num recipiente com mercúrio. 
 
 
 
Este primeiro barômetro foi construído por Torricelli e sua experiência foi feita ao 
nível do mar. De acordo com Stevin, a pressão no ponto A é a mesma no ponto B, logo: 
 
PA = PB 
Patmosférica = Pvácuo+ρHg.g.h 
 
Como a temperatura o qual o mercúrio começa a ir para a fase vapor é muito alta a 
pressão ambiente, praticamente o que existe resta acima da coluna de fluido é apenas 
vácuo, ou seja, pressão igual à zero. Portanto: 
 
PA = ρHg . g . h 
 
Como: 
 ρHg = 13.600 kg/m
3
; 
 g = 9,8 m/s2 e 
 H = 0,76 m (altura da coluna de Hg que Torricelli verificou com referência 
ao ponto A); 
 
é possível calcular a pressão no ponto A (que é a pressão que está sendo exercida pela 
atmosfera sobre a cuba de Hg), ou Patm, que resulta em 101.320 N/m
2
. 
 
Os instrumentos medidores de pressão são chamados de manômetro. Estudaremos os 
manômetros de tubo em U, cujo princípio de funcionamento é baseado no equilíbrio de 
uma coluna de líquido, chamado de fluido manométrico. 
Também é importante apresentarmos os manômetros de Bourdon devido a sua ampla 
utilização industrial. São encontrados em laboratórios de pesquisa, hospitais, residências 
e indústrias que utilizam gás, e etc... Sua utilização é devido à simplicidade, baixo custo 
e precisão moderada nas medidas. A figura a seguir mostra um manômetro de Bourdon 
encontrado comercialmente para venda e também o seu esquema de funcionamento. 
 
 
É importante lembrar que os manômetros de Bourdon fazem medidas de pressão 
relativa, pois a sua medida não leva em consideração a pressão atmosférica local. Isso 
também pode ser notado na figura anterior e também no momento da compra do 
manômetro, que indica a pressão de 0 atm para um ambiente que, ao nível do mar, é 1 
atm. Se quisermos saber a pressão absoluta, basta somarmos ao resultado que aparece 
no manômetro, o valor da pressão atmosférica local. 
Os instrumentos medidores de pressão são chamados de manômetros. Estudaremos 
os nanômetros de tubo em U, cujo princípio de funcionamento está no equilíbrio de uma 
coluna de líquido, chamado de fluido manométrico, confinado em um tubo, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
Figura: Representação esquemática de um manômetro de tubo em U. 
As pressões nos pontos M e N são iguais, pois se trata da mesma altura e do mesmo 
fluido. Logo, 
PM = Pn 
PA + ρfluido P . g . d = Patm + ρmanometrico . g . h 
PA = Patm + ρmanometrico . g . h – ρfluido P . g . d 
Se o fluido P for um gás, é possível, por uma aproximação, dizer que a força que a 
coluna manométrica do fluido P exerce sobre o ponto M é muito pequena, de maneira 
que podemos desprezá-la sem prejuízo no cálculo final. Isso é devido à densidade dos 
gases apresentarem valores bem menores que as dos líquidos. Por exemplo, a densidade 
do Ar é de cerca de 1 kg.m
-3
, que se comparada com a da água (1000 kg.m
-3
) possui um 
valor bastante inferior. 
Queda de pressão 
Para a determinação da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 é necessário que se 
aplique o teorema de Stevin nos pontos 3 e 4 da figura a seguir. 
 
P3 = P4 
P1 + ρfluido . g . (h2+h) = P2 + ρfluido . g . (h1+h2) + ρmanometrico . g . h 
P1 - P2 = ρfluido . g . (h1+h2) + ρmanometrico . g . h - ρfluido . g . (h2+h) 
P1 - P2 = ρfluido . g . h1 + ρfluido . g . h2 + ρmanometrico . g . h – [ρfluido . g . h2 + ρfluido . g . h] 
P1 - P2 = ρfluido . g . h1 + ρfluido . g . h2 + ρmanometrico . g . h – ρfluido . g . h2 - ρfluido . g . h 
P1 - P2 = ρfluido . g . h1 + ρmanometrico . g . h - ρfluido . g . h 
P1 - P2 = ρfluido . g . h1 + (ρmanometrico - ρfluido) . g . h 
 
 
Empuxo 
Um corpo que está imerso num fluido ou flutuando na superfície livre de um líquido 
está submetido a uma força resultante devido à distribuição de pressões ao redor do 
corpo, chamada de força de empuxo. 
A força de empuxo num corpo submerso é dada pela diferença entre a componente 
vertical da força devido à distribuição de pressões que atua na sua parte inferior e a 
componente vertical da força devida á distribuição de pressões que atua na sua parte 
superior. 
 
Figura: Corpo imerso num fluido em repouso 
(fonte: Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004). 
 
FE = (P1 – P2). A onde, P1 – P2 = ρfluido . g . h 
Logo, FE = ρfluido . g . h . A 
Mas o volume do corpo submerso é dado por V = h . A  A = V/h, que substituindo 
resulta em: 
FE = ρfluido . g . h . V/h Logo: FE = ρfluido . g . V 
Esta última equação é uma expressão matemática do princípio de Arquimedes, que 
diz que um corpo submerso está submetido a uma força de sustentação, chamada de 
força de empuxo, com módulo igual ao peso do fluido deslocado. 
 
Campo de velocidade de escoamento 
Pode-se descrever o movimento de um fluido através de dois métodos diferentes: as 
representações de Lagrange e de Euler. A diferença entre estas duas representações está 
na maneira em que a posição é especificada no campo de escoamento. 
O método de Euler consiste no estabelecimento de equações que determinam a 
velocidade e as grandezas características correspondentes às partículas de fluido em 
cada ponto do escoamento, tendo como parâmetro, o tempo. Na abordagem Euleriana, a 
dispersão é estudada em termos de uma equação diferencial parcial para a conservação 
da massa da substância considerada, sendo resolvida em uma malha fixa no espaço. Ela 
fornece valores médios de concentração, para as partículas consideradas, em um ponto 
no espaço. 
Em resumo podemos escrever: 
 C=C(x, y, z, t) (x, y, z) ϵ V.C. e (t) ϵ [ti , tf] 
onde, V.C. é o volume de controle. 
O método de Lagrange consiste no estabelecimento de equações que determinam a 
posição e as grandezas características correspondentes a cada partícula em escoamento, 
em função do tempo, tendo como parâmetro a sua posição inicial em um instante 
arbitrário, ou seja, 
 C=C [ x(t), y(t), z(t)] t ϵ [ti , tf] 
O elemento partícula de um fluido é um pequeno volume de controle que viaja na 
velocidade local do meio fluido e, portanto, a solução do escoamento turbulento que 
transporta estas partículas deve ser conhecida. As partículas movem-se seguindo os 
vórtices turbulentos e descrevendo trajetórias aleatórias. 
Para a fluidodinâmica computacional, a metodologia de Euler requer mais recursocomputacional do que a de Lagrange, porém, produz resultados mais precisos. 
A aceleração das partículas fluidas é obtida determinando-se a taxa de variação do 
campo de velocidade de escoamento. 
 ttztytx
dt
vd
a ),(),(),(



 (1) 
De forma que: 
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
a














...
 (2) 
Mas: 
dt
dz
dt
dy
dt
dx
,,
 são as componentes escalares da velocidade das partículas, 
designadas por vx, vy e vz, respectivamente. Reescrevendo, fica: 
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va zyx



















...
 (3) 
Esta é uma equação vetorial, de forma que ela pode ser decomposta em três equações 
escalares que, em relação a um sistema de coordenadas retangulares, são dadas por: 
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va xxz
x
y
x
xx
















 ...
 (4) 
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
yy
z
y
y
y
xy
















 ...
 (5) 
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va zzz
z
y
z
xz
















 ...
 (6) 
que pode ser escrita como: 
localconvectiva aaa


 















z
v
v
y
v
v
x
v
va zyxconvectiva

...
 
t
v
alocal



 
A aceleração convectiva é a taxa de variação da velocidade das partículas fluidas em 
função da mudança de posição no campo de escoamento. 
A aceleração local é a taxa de variação da velocidade das partículas fluidas em um 
ponto do campo do escoamento. 
A diferenciação em relação ao tempo na equação (1) é chamada de derivada material 
ou substantiva. 
tz
v
y
v
x
v
Dt
D
zyx


















...
 
onde, 

 é a variável que está sendo estudada, no nosso caso, a velocidade. 
 
Equações básicas na mecânica dos fluidos 
Grandezas conservativas; 
 Massa; 
 Energia; 
 Quantidade de movimento. 
Balanço de uma grandeza conservativa: 



































































grandeza
da
acúmulo
de
taxa
grandeza
da
geração
de
taxa
grandeza
da
saída
de
taxa
grandeza
da
entrada
de
taxa
 
 
 
 
 
Lei Equação 
Conservação da massa 
(Lavoisier) 
 
Continuidade 
Conservação da quantidade de movimento 
(2° lei de Newton) 
 
Movimento 
Conservação da energia 
(1° lei da termodinâmica) 
Energia 
 
Além das equações fundamentais, muitas vezes são necessárias as equações 
constitutivas. 
Exemplo: “Lei” de Newton da viscosidade 
 
 P.V = N.R.T Equação de Clapeyron 
 
Equação da continuidade 
No caso de um sistema sem reação química temos o balanço de massa dado por: 


















































grandeza
da
acúmulo
de
taxa
grandeza
da
saída
de
taxa
grandeza
da
entrada
de
taxa
 
Forma Integral 
Tomando um volume de controle (VC) dado pela figura a seguir e limitado por uma 
superfície de controle (SC), situado num campo de velocidade dado por 
),,,( tzyxvv


teremos: 
 
A taxa de massa que atravessa dS na superfície de controle na direção 
v
 é dada por: 
𝜏𝑦𝑥 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
 
dsv
dt
dm
.


 
onde: 
 
v


é o vetor fluxo de massa 






TL
M
2
 
 
zyx vvv
  ,,
 
ds
é o elemento de área, sendo 
dsnds .


 
Integrando em toda superfície de controle teremos a taxa líquida de massa. 





















dsnv
VC
no
massa
de
liquida
taxa

.
 
Termos de acúmulo: 
 
dt
dV
dV
tt
dV 





 
 (regra da cadeia) 
Obs: dV é o volume do V.C, que é fixo, logo: 
0

dt
dV
 
Se integrado em todo o volume de controle resulta: 
dV
t
VC
no
massa
de
acumulo
de
taxa
 

























 
Portanto, se somarmos a taxa líquida e a taxa de acúmulo de massa no VC resultará 
na equação da continuidade mássica. 
0


 SCVC dsnvdVt

 
Esta é equação da continuidade na forma integral aplicada a um volume de controle 
(VC). 
Vamos analisar algumas situações. 
a) Escoamento incompressível 
∬ �⃗�
𝑆𝐶
�⃗⃗�𝑑𝑠 = 0 
 
Onde A1 e A2 são as respectivas áreas. Considerando a velocidade média, v, em cada 
seção: 
v1.A1= v2.A2 
e se o fluido for compressível em regime permanente: 
∬ 𝜌�⃗�
𝑆𝐶
�⃗⃗�𝑑𝑠 = 0 
 
ρ1.v1.A1= ρ2. v2.A2 
lembre-se que v.A = vazão volumétrica (Q), logo: 
Q = v . A 
Onde v é a velocidade média e A é a área da seção transversal ao escoamento. 
 
b) Se há um número finito de entradas e saídas: 
 
Se o fluido for compressível, fica: 
∑(𝜌𝑖𝑣𝑖𝐴𝑖)𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎
𝑛
𝑖=1
− ∑(𝜌𝑗𝑣𝑗𝐴𝑗)𝑠𝑎𝑖 = ∭
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑣
𝑗
𝑗=1
 
 
 
Equação da continuidade na forma derivada 
Para o caso da equação da continuidade mássica, faremos um balanço em um V.C 
arbitrário em coordenadas cartesianas. 



































































grandeza
da
acúmulo
de
taxa
grandeza
da
geração
de
taxa
grandeza
da
saída
de
taxa
grandeza
da
entrada
de
taxa
 
Onde a nossa grandeza é a massa que entra, sai, que é gerada e que se acumula em 
um elemento de volume dV. 
 
O balanço de massa, representado por massa por tempo [
𝑀
𝑇
], pode ser observado na 
expressão a seguir, desconsiderando o termo de taxa de geração de massa, devido à 
ausência de reações químicas ou nucleares. 
     
dt
dm
yxvvzxvvzyvv zzzzzyyyyyxxxxx   ...  (1) 
Se dividirmos toda a equação por unidade de volume (ΔxΔyΔz), resulta em: 
     
dt
d
z
vv
y
vv
x
vv zzzzzyyyyyxxxxx  







 
 (2) 
Por definição, a primeira parte da equação (2) é a definição da derivada, logo, podemos 
reescrever a equação (2) da seguinte maneira: 
tz
v
y
v
x
v zyx












 ou 
tz
v
y
v
x
v zyx










  (3) 
Que também pode ser escrito como: 
0


v
t

 (4) Equação da continuidade! 
Podemos também reescrever a equação (4) de maneira a explicitar a derivada material. 
0


vv
t
Dt
D




 (5) 
Portanto, a equação da continuidade mássica também pode ser escrita como: 
0 v
Dt
D 
 (6) Equação da continuidade. 
Para escoamento incompressíveis (ρ = constante), fica: 
0 v
 que resultaem: 
0 v
 
 
Análise diferencial do movimento de fluidos 
Equação da quantidade de movimento 
A equação que descreve o movimento de um fluido pode ser obtida aplicando a 
segunda lei de Newton a uma partícula. 
Forças que atuam sobre uma partícula fluida: 
 Forças de inercia (Fi); 
 Forças de pressão (FP); 
 Forças viscosas (Fv); 
 Forças de campo (FC). 
De maneira que: Fi = FP + Fv + FC por unidade de volume (p.u.v). 
a) Forças de inercia (p.u.v): 
Fi = m.a , que por unidade de volume resulta em: 
v
am
Fi
.

 mas 
v
m

, logo: 
aFi .
 , mas se 
Dt
vD
a 
, o resultado das forças de inércia será: 
Dt
vD
Fi 
 
 
b) Forças de pressão (p.u.v): 
A
F
P 
 , logo: 
AFP .
 
 
 
 (fonte: adaptado de Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004). 
 
Aplicando o balanço de forças (p.u.v) em todo o volume de controle, temos os seguinte 
resultado: 
k
zyx
yxPyxP
j
zyx
zxPzxP
i
zyx
zyPzyP
F zzz
yyyxxx
P








 

......... 
k
z
PP
j
y
PP
i
x
PP
F zzz
yyyxxx
P








 

 
Aplicando os limites quando Δx0, Δy0 e Δz0, resulta em: 














 k
x
P
j
x
P
i
x
P
F P
 , que também pode ser escrito como: 
PF P 
 
c) Forças viscosas (p.u.v): 
Vamos fazer uma análise dos termos de tensão apenas para a direção z no 
volume de controle em coordenadas retangulares da figura a seguir. 
 
Figura: componentes do tensor tensão. 
(fonte: adaptado de Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004). 
 
     
k
zyx
yx
j
zyx
zx
i
zyx
zy
F zzzzzzz
zzyzzyzzzxzzxz
zv








 
 |||||||
 
     
k
z
j
y
i
x
F zzzzzzz
zzyzzyzzzxzzxz
zv








 
 |||||||
 
Aplicando os limites quando Δx0, Δy0 e Δz0, resulta em: 














 k
z
j
y
i
x
F zz
yzxz
zv

|
, generalizando fica: 
j
F
ji
iv




|
 
Portanto, conclui-se que para as três direções: 
vF
 
d) Forças de campo (p.u.v) 
gFC .
 
Se juntarmos todos os termos de forças descritos pelos itens de a), b), c) e d), a equação 
do movimento fica: 
gP
Dt
vD  
 
Válida para escoamento compressível ou incompressível, fluido newtoniano ou não-
newtoniano, escoamento laminar ou turbulento e tridimensional. 
 
Condições de contorno 
a) Interface sólido-líquido: a velocidade do fluido na superfície é igual à 
velocidade da placa. Condição de não-deslizamento. 
 
b) Interface líquido-gás: não há transferência de quantidade de movimento. 
Assume-se que as componentes do tensor tensão vale zero desde que o 
gradiente de velocidade no lado do gás não seja muito grande. 
 
c) Interface líquido-líquido: as componentes tangenciais de velocidade são 
contínuas através da interface, assim como também as componentes do tensor 
tensão. Logo, Va=Vb e τa = τb. 
 
 
2° parte da matéria para a disciplina de mecânica dos fluidos 2015/I 
 
Transporte de Fluidos 
Equação da energia mecânica - Princípio de conservação para fluidos perfeitos (ideais). 
 
 
 
 
 
 
 
a) Energia potencial (EP) 
- de posição: 
 
 
EPPo=m.g.h, mas G=m.g 
Logo: EPPo=G.z
 
- de pressão: 
 
P=ρ.g.h 
P=γ.h 
h=P/γ 
EPPr=G(P/γ)
Energia Mecânica 
Potencial 
Cinética 
Posição 
Pressão 
 
A energia potencial será: EP = EPPo + EPPr logo: EP = G.z + G(P/γ) 
 
b) Energia cinética (EC) 
𝐸𝐶 =
𝑚𝑣2
2
 𝑚𝑎𝑠, 𝐺 = 𝑚. 𝑔 → 𝐸𝐶 = 𝐺.
𝑣2
2𝑔
 
 
Energia Total (ET): ET = EP + EC 
𝐸𝑇 = 𝐺𝑧 + 𝐺
𝑃
𝛾
+ 𝐺
𝑣2
2𝑔
 
 
Princípio da conservação da energia mecânica: Energia ≈ constante 
Exemplo: 
 
𝐸1 = 𝐸2 
𝐺𝑧 =
𝑚𝑣2
2
 
𝑣 = √2𝑔𝑧 (Torricelli) 
Equação de Bernoulli para fluido perfeito, incompressível em regime permanente. 
 
𝐸1 = 𝐸𝑃1 + 𝐸𝐶1 
𝐸1 = 𝐸𝑃𝑃𝑜 + 𝐸𝑃𝑃𝑟 + 𝐸𝐶1 
𝐸1 = 𝐺𝑧1 + 𝐺
𝑃1
𝛾
+ 𝐺
𝑣1
2
2𝑔
 , por analogia: 𝐸2 = 𝐺𝑧2 + 𝐺
𝑃2
𝛾
+ 𝐺
𝑣2
2
2𝑔
 
 Pelo princípio da conservação da energia, 𝐸1 = 𝐸2 
𝐺𝑧1 + 𝐺
𝑃1
𝛾
+ 𝐺
𝑣1
2
2𝑔
= 𝐺𝑧2 + 𝐺
𝑃2
𝛾
+ 𝐺
𝑣2
2
2𝑔
 
 Se dividirmos toda a equação por unidade de peso (G), resultará em: 
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
 Equação de Bernoulli 
Que também pode ser escrita como: 𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
“No escoamento de um fluido incompressível em regime permanente a energia total do fluido 
por unidade de peso permanece constante.” 
onde: 
𝑧1𝑒 𝑧2 são as energias potenciais de posição por unidade de peso (carga de posição); 
𝑃1
𝜌𝑔
𝑒
𝑃2
𝜌𝑔
 são as energias potenciais de pressão por unidade de peso (carga de pressão); 
𝑣1
2
2𝑔
𝑒
𝑣2
2
2𝑔
 são as energias cinéticas por unidade de peso (cargas cinéticas); 
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2𝑔
𝑒 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2𝑔
 são as energias totais por unidade de peso (cargas totais = H). 
 
Observação: 
Carga de pressão = energia de pressão por unidade de peso; 
Carga de posição = energia de posição por unidade de peso; 
Carga cinética = energia cinética por unidade de peso; 
Carga total (H) = energia total por unidade de peso; 
Unidade da carga = comprimento [L]. Exemplo: metro, centímetro, milímetro, etc... 
 
EXEMPLO 
Determinar a vazão de água descarregada no reservatório abaixo. 
 
Bernoulli entre (1) e (2): 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
5 =
𝑣2
2
2.10
 
𝑣2 = 10
𝑚
𝑠
 
Mas, 𝑄 = 𝑣. 𝐴 
𝑄 = 10
𝑚
𝑠
. 10𝑐𝑚2.
1𝑚2
10.000𝑐𝑚2
 
𝑄 = 0,01 
𝑚3
𝑠
 
 
Aplicações da equação de Bernoulli 
-Medidores de vazão 
a) Venturi: 
 
Considerando a densidade constante e aplicando Bernoulli entre (1) e (2), resulta em: 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
 
multiplicando todos os termos por ρg, fica: 
𝜌𝑣1
2
2
+ 𝑃1 + 𝜌𝑔ℎ1 = 
𝜌𝑣2
2
2
+ 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ2 
 
 
 
(IP)1 +
𝜌𝑣1
2
2
= (IP)2 +
𝜌𝑣2
2
2
 (A) 
Com a equação da continuidade mássica, a vazão na seção (1) é igual a vazão na seção (2) 
(Q1=Q2). 
Se 𝑄 = 𝑣. 𝐴 , logo: 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 
𝑣1
𝜋𝐷1
2
4
= 𝑣2
𝜋𝐷2
2
4
  𝑣1 = (
𝐷2
𝐷1
)
2
𝑣2 
Fazendo 𝛽 =
𝐷2
𝐷1
 , substituindo em (A): 
(IP)1 +
𝜌 (𝛽
2
𝑣2)
2
2
= (IP)2 +
𝜌(𝑣2)2
2
 
(IP)1 +
𝜌(𝑣2)2
2
𝛽
4
= (IP)2 +
𝜌(𝑣2)2
2
 
𝑣2 = √
2(IP1−IP2)
𝜌(1−𝛽4)
 Equação do Venturi 
Com 𝑄2 = 𝑣2. 𝐴2 
(IP1 − IP2) calculado com o ρ do fluido manométrico. 
E o ρ que aparece na equação do venturi é a densidade do fluido que passa pela garganta. 
Para fluido real e incompressível: 
𝑄2 = 𝑐. 𝑦. 𝐴2√
2(IP1 − IP2)
𝜌(1 − 𝛽4)
 
onde c é o coeficiente de descarga ou coeficiente do venturi (adimensional). 
𝑐 = 𝑐(𝑅𝑒) 
Pressão piezométrica 
(IP1)
Digite a equação aqui.1) 
Pressão 
piezométrica (IP2) 
Para valores de Re > 200.000, c vale aproximadamente 0,98. 
y é o coeficiente de expansão (adimensional). Para líquido, y = 1. 
 
b) Bocal e placa de orifício 
 
Figura: Placade orifício. 
 
 
Figura: Bocal. 
 
Mesmo equacionamento do venturi, sendo: 
𝑄2 = 𝐶𝑣. 𝐶𝑐. 𝐴2√
2(IP1 − IP2)
𝜌(1 − 𝛽4)
 
Em que, 
Cv = coeficiente de velocidade; 
Cc = coeficiente de contração. 
 
𝑄2 = 
𝐶𝑣. 𝐶𝑐
(1 − 𝛽4)
. 𝐴2√
2(IP1 − IP2)
𝜌
 
Sendo 
𝐶𝑣.𝐶𝑐
(1−𝛽4)
 o coeficiente de descarga Cd. 
𝑄2 = 𝐶𝑑. 𝐴2√
2(IP1 − IP2)
𝜌
 
onde 𝐶𝑑 = 𝐶𝑑(𝑅𝑒, 𝛽) 
 
c) Tubo de Pitot (lê velocidade e não vazão!) 
 
Figura: Tubo de Pitot. 
Bernoulli entre (1) e (2): 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
𝑃2
𝜌𝑔
=
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
 
Isolando v1 resulta em: 𝑣1 = √
2(𝑃2−𝑃1)
𝜌
 
Como estou interessado na vazão, coloco o tubo de Pitot no centro do tubo e faço a leitura de 
velocidade máxima (vmax). 
Se 𝑅𝑒 ≥ 6. 103 
𝑣
𝑣𝑚𝑎𝑥
= 0,8 
Como Q = v.A, logo: Q = 0,8 . vmax . A 
 
Equação da energia mecânica para fluidos reais 
Ganhos e perdas de energia: 
 Energia dissipada por atrito viscoso: ht (exemplo: trecho de tubulação reta e 
acidentes). 
 Energia retirada na forma de trabalho: hr (exemplo: turbina). 
 Energia fornecida na foram de trabalho: hf (exemplo: bomba). 
 
Logo, 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 − ℎ𝑟 − ℎ𝑡 = 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
Esta é a equação da energia mecânica para fluidos reais (Bernoulli modificada). 
obs: Fluido incompressível, regime permanente e escoamento sobre linha de corrente. 
 
Perda de carga em tubulações (ht) 
Existem 2 tipos de perda de carga em tubulações: 
- Perda de carga distribuída (hd): diz respeito ao trecho reto da tubulação; 
- Perda de carga localizada ou singular (hs): diz respeito ao trecho de acidentes. Sendo ht=hd + 
hs. 
a) perda de carga distribuída (hd): está ligada ao atrito exercido pelas paredes do tubo. A perda 
de carga distribuída pode ser calculada pela equação de Darcy. 
ℎ𝑑 = 𝑓 (
𝐿
𝐷
)
𝑣2
2𝑔
 
Onde: 
g é a gravidade (9,8 m s
-1
); 
f é o fator de atrito (adimensional); 
D é o diâmetro da tubulação; 
v é a velocidade média do fluido no tubo. 
 As equações para f foram obtidas a partir de ajustes de dados experimentais, sendo que 
f pode ser obtido a partir de diagramas. 
 
Diagrama de Moody (1944) 
A análise dimensional determina que f = f (Re, ε/D) 
Onde ε/D é a rugosidade relativa e está tabelada de acordo com o material e o diâmetro da 
tubulação. 
Assim, a partir de dados experimentais tem-se: 
 
Figura: Diagrama de Moody. 
 
b) Perda de carga localizada ou singular dos coeficientes 
Neste caso a perda de carga é calulada por: 
ℎ𝑠 =
∑ 𝑘𝑖𝑣
2
𝑖
2𝑔
 
Onde k é o coeficiente de perda (tabelado!) 
𝑘 = 𝑘(𝑅𝑒, 𝐷) 
Exemplo: 
 Joelho 90° = 0,75 
 Válvula globo aberta = 6,0 
 Válvula pé = 45,0 
 
Observações 
 A perda de carga distribuída está ligada ao atrito exercido pelas paredes do tubo. 
Seja F a força que o fluido escoando exerce sobre uma superfície, definimos fator de atrito, f, 
como: 
F = A k f 
Onde: 
A = área característica do escoamento; 
k = (energia cinética característica / volume do fluido); 
f = fator de atrito. 
Para escoarmos em dutos, A= 2πr L, e k é definido por: 
𝑘 =
𝜌𝑣2
2
 (Fanning) 
𝑘 =
𝜌𝑣2
8
 (Darcy) 
Darcy: 𝑓 =
8𝑓
𝜌𝑣2𝜋𝐷𝐿
 
Fanning: 𝑓′ =
2𝑓
𝜌𝑣2𝜋𝐷𝐿
 
Uma vez definido o fator de atrito a perda de carga distribuída pode ser calculada pela 
equação de Darcy como já vimos. 
ℎ𝑑 = 𝑓 (
𝐿
𝐷
)
𝑣2
2𝑔
 
No caso de usar o fator de atrito de Fanning teremos: 
ℎ𝑑 = 4𝑓
′ (
𝐿
𝐷
)
𝑣2
2𝑔
 
Para o regime laminar a perda de carga distribuída pode ser calculada da seguinte maneira: 
 
 
 
Temos que: 
𝑧1 +
𝑃0
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 − ℎ𝑟 − ℎ𝑡 = 𝑧2 +
𝑃𝐿
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
Onde z1=z2; v1=v2; hr=0; hf=0; ht=hd. 
Logo: 
f = 4 f ’ 
Po PL 
ℎ𝑑 =
𝑃0 − 𝑃𝐿
𝜌𝑔
 
Para escoamento em duto já vimos que: 
𝑄 =
𝜋∆𝑃𝐷4
128𝜇𝐿
 (Hagen-Poiseuille) 
Isolando ∆P, fica: ∆𝑃 =
128𝜇𝐿𝑄
𝜋𝐷4
 
Mas: 𝑄 = 𝑣
𝜋𝐷2
4
 que substituído na equação anterior resulta: 
∆𝑃 =
128𝜇𝐿𝑣𝜋𝐷2
4𝜋𝐷4
 
∆𝑃 =
32𝜇𝐿𝑣
𝐷2
 
Ou então: 
∆𝑃 = 32
𝜇𝑣
𝐷
𝐿
𝐷
 
Substituindo na equação de hd, resulta em: 
ℎ𝑑 = 32
𝜇𝑣
𝐷
𝐿
𝐷
1
𝜌𝑔
 
ℎ𝑑 = 32
𝐿
𝐷
𝜇𝑣
𝜌𝐷𝑔
 
ℎ𝑑 =
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
(
64𝜇
𝐷𝑣𝜌
) 
Mas, 𝑅𝑒 =
𝜇
𝐷𝑣𝜌
 
ℎ𝑑 =
64
𝑅𝑒
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 
Logo, 𝑓 =
64
𝑅𝑒
 
Válido para escoamento laminar em dutos. 
No regime turbulento, as equações para f foram obtidas de ajustes de dados 
experimentais sendo que f pode ser obtido a partir de diagramas. Ex.: Moody. 
 
Exemplo de interpretação do diagrama de Moody 
A partir do diagrama de Moody, determine os fatores de atrito abaixo. 
a) ε/D=0,001 e Re=2.104; 
b) ε/D=0,004 e Re=8.103; 
c) ε/D=0,003 e Re=4.106; 
d) ε/D=0,02 e Re=1,5.103; 
O diagrama de Moody permite o cálculo de f e de hd, conhecido a vazão (Q) e o diâmetro (D). 
 
Exercício: Determine a altura do nível de óleo que escoa do tanque A para o tanque B, com 
uma vazão de 0,028 m
3
 s
-1
 em um tubo liso de 6” de diâmetro. Dados: ρ=900 kg m3 e µ=0,036 
kg m
-1
 s
-1
. 
 
Resposta: hd=2,66 m; hs=0,34 m; h=3 m. 
 
Exercício 2: Refazer o exercício anterior usando: D=0,667’; Q=0,04 m3 s; Ferro fundido. 
 
 
Diagrama de Von-Karman 
 
Figura: Diagrama de Von Karman. 
 
Em muitas instalações, a perda de carga singular é desprezível em relação à 
distribuída. É o caso, por exemplo, de instalações longas com poucas singularidades. O caso 
contrário também acontece. Nas instalações residenciais, por exemplo, devido ao grande 
número de singularidades, as perdas distribuídas são desprezíveis comparativamente às 
singulares. 
Sejam os problemas em que são envolvidas as variáveis comprimento (L), diâmetro (D), 
vazão (Q), viscosidade (µ), densidade (ρ) e perda de carga distribuída (hd). Podem observar 3 
casos importantes: 
1) Dados: L, D, Q, µ, ρ e ε, procura-se hd; 
2) Dados: L, D, hd, µ, ρ e ε, procura-se Q; 
3) Dados: L, Q, hd, µ, ρ e ε, procura-se D; 
 
BOMBAS 
São máquinas que conferem energia ao fluido com a finalidade de transportá-lo de um 
lugar para o outro. As bombas requerem energia de uma fonte motora qualquer e cedem parte 
desta energia sob a forma de pressão, energia cinética ou ambas. O rendimento de uma boba é 
a razão entre a energia cedida ao fluido e a energia que foi recebida pela fonte motora. 
Classificação das bombas 
- Centrífugas; 
- Deslocamento positivo  que se divide em alternativas e rotativas. 
Obs.: no caso de gases temos: 
 Ventilador: ∆P≈1,0 Psi; 
 Soprador: 1,0 < ∆P < 40 Psi; 
 Compressor: ∆P>40 Psi. 
 
a) Bombas de deslocamento positivo 
São bombas que não admitem recirculação interna, ou seja, sempre deslocam fluido da 
entrada para a saída. As bombas de deslocamento positivo também podem ser chamadas de 
bombas volumétricas. 
Bombas de deslocamento positivo se dividem em dois grupos: bobas alternativas e 
rotativas. 
- alternativas: 
1- Pistão: envolvem um movimento de vai-e-vem de um pistão num cilindro. O órgão que 
produz o movimento do líquido é um pistão que se desloca, com movimento alternativo, 
dentro de um cilindro. 
 
Figura: Exemplo de uma bomba alternativa de pistão. 
 
2- Diafragma: mesmo princípio do pistão, porém, o órgão que produz o movimento do líquido 
é uma membrana acionadapor uma haste com movimento alternativo (no lugar do pistão é 
um diafragma). 
 
(A) 
 
(B) 
Figura: Bomba de diafragma aspirando (A) e posteriormente impulsionando (B). 
 
- Rotativas: isolam um volume de fluido e transportam de uma zona de baixa pressão para 
uma zona de alta pressão. A característica comum é o acionamento por meio de um eixo que 
gira. 
 
Figura: Bomba de lóbulo. 
 
 
Figura: Bomba de engrenagem. 
 
 
Figura: Bomba peristáltica. 
 
Principais características de operação das bombas de deslocamento positivo: 
 Trabalha com qualquer fluido; 
 Não precisa trabalhar escorvada (o cabeçote não precisa estar cheio); 
 Adequadas para baixas vazões e altas perdas de carga. 
 
b) Bombas centrífugas 
O movimento do rotor (giro) no interior da bomba aumenta a força centrífuga e 
transfere energia ao fluido provocando aumento de pressão. 
 
Figura: Princípio de operação da bomba centrífuga. 
 
Características de operação das bombas centrífugas: 
 Ideais para fluido de baixa viscosidade; 
 Tem que trabalhar escorvada; 
 Operam com altas vazões e baixas perdas de carga. 
 
Cavitação: quando a pressão absoluta na entrada da bomba atingir a pressão de vapor do 
líquido naquela temperatura, haverá formação de vapor. As bolhas de vapor sofrem implosão 
quando alcançam regiões de elevada pressão no interior da bomba. Esse fenômeno é 
conhecido como cavitação. 
 
Curvas características de bombas 
 
Figura: Curva característica da bomba. 
 
Como calcular a curva característica de uma bomba? 
 
Figura: Esquema para a determinação da curva característica de bombas. 
Bernoulli entre (1) e (2): 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 − ℎ𝑟 − ℎ𝑡 = 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
ℎ𝑓 =
𝑃2−𝑃1
𝜌𝑔
 que fornece a curva característica da bomba. 
Para cada vazão eu tenho um ∆P na entrada e saída da bomba. 
 
Logo: 
Q (m
3
 s
-1
) ∆P (Pa) hf (m) 
Qmax ∆Pmax hf, min 
Q2 ∆P2 hf, 2 
Q3 ∆P3 hf, 3 
Qmin ∆Pmin hf, max 
 
 
Figura: Curva característica da bomba. 
 
A curva característica da bomba, juntamente com a curva de um determinado sistema 
fornece o ponto de operação da bomba. O ponto de operação indica qual a vazão de operação 
e a carga de operação da bomba. 
 Como calcular a curva característica de um sistema? 
Seja o sistema a seguir: 
 
Bernoulli entre (1) e (2): 
𝑧1 +
𝑃1
𝜌𝑔
+
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ𝑓 − ℎ𝑟 − ℎ𝑡 = 𝑧2 +
𝑃2
𝜌𝑔
+
𝑣2
2
2𝑔
 
ℎ𝑓 = 𝑧2 − 𝑧1 + ℎ𝑡 
ℎ𝑓 = ∆𝑧 + ℎ𝑡 
Mas, ℎ𝑡 = ℎ𝑑 + ℎ𝑠 onde: ℎ𝑑 = 𝑓 (
𝐿
𝐷
)
𝑣2
2𝑔
 e ℎ𝑠 =
∑ 𝑘𝑖𝑣
2
𝑖
2𝑔
 
Para cada vazão, determina-se a velocidade e, por conseguinte, o hf. 
 
Figura: Determinação do ponto de operação. 
 
Potência de bombeamento 
𝑃𝑜𝑡 =
∇𝑃.𝑄
𝜂
 onde: Δ𝑃 = 𝜌𝑔ℎ𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜 
Em que: 
- η é o rendimento da bomba. 
 
Exercício: Determine o ponto de operação para a instalação a seguir constituída de aço 
comercial 40S para elevação de água do reservatório subterrâneo ao tanque. Dados: D=1” , 
µ=1cP e ρ=1 g cm-3. Aproveite para determinar também a potência da bomba supondo um 
rendimento de 70%. 
Q (L min
-1
) H (m) 
0 21,5 
50 21,3 
100 21,0 
150 19,5 
200 17,5 
250 13,0 
300 10,5 
 
 
Resposta: Hoperação = 20 m; Qoperação = 1,4.10
-3
 m
3
 s
-1
; Potência = 0,52 HP. 
 
Exercício: Na instalação a seguir, determinar a potência da bomba necessária para produzir 
vazão de 10 L s
-1
, supondo um rendimento de 70%. Dados: Drecalque=2,5”; Dsuccão=4”; Tubo 
em aço comercial; υ=10-6 m2 s-1; γ=104 N m-3. 
 
Resposta: Pot = 5463 W 
 
 
 
 
 
Referências 
 
An Album of Fluid Motion, Springer, 1988. 
 
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson, 2005. 410 p. 
 
Bird, R. Byron, Lightfoot, Edwin N., Stewart, Warrem E.; Fenômenos de 
Transporte. 2ª Ed. 2002, LTC. 
 
Celso Pohlmann Livi, Fenômenos de Transporte, 2004, LTC. 
 
Curso básico de mecânica dos fluidos, DEQ/UFRRJ. 
 
FOX, Robert W.; Mcdonald, Alan T.; Introdução à mecânica dos fluidos. 4. ed. 
Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c1998. 662 p. 
 
Notas de aulas do curso de mecânica dos fluidos do DEQ/UFRRJ 
 
Sites da web utilizados acessados no primeiro semestre de 2015: 
http://www.aerospaceweb.org/question/planes/f18/f18-lex-cfd2.jpg 
http://www.proceedings.scielo.br/img/eventos/agrener/n4v1/018f02.gif 
http://1.bp.blogspot.com/PiTj4HDHjnQ/T0F3KJI6URI/AAAAAAAAAmk/NuZ3r8m
gIHA/s1600/Imagem1.png 
http://www.engbrasil.eng.br/pp/mf/mef.pdf 
http://www.agracadaquimica.com.br/imagens/artigos/CONVERSOES.jpg 
www.hidro.ufcg.edu.br