Apostila Cálculo Vetorial, Exercícios e Resoluções

Prévia do material em texto

ú :=::"9v_5i-1,:;l
"'illbe;' :
*,
"CALCULO ÚêTo BiAL
l&i:- |
CAPíTULO T VETORE§
L.1
,F
Segmlentos orielrtados
Consideremos ulrla reta r e sejam A e B dois pontos de r'
Ào segmento de reta AB, podemo§ associar um sentido : o sentido de A
para B, si1 o §entido de B para A. Escrevemos AB para repre§§ntar o
segmento de reta ÂB associádo to* ,* ,entido de A para B. Dizemos que
AB ó o segmento oricntado de origem À e extrennidade tr e ge e o
segÍnsffio orientâdo de origem B e extremídade A. ChamamolpA, oposto
de AB. Se A : B, dizemo§ qlre o-§egmento orientado AB = BA é 
_o
segmento nulc, e e§§revemgs a.i\ : O. Na reta r esta representado
graficamente AB
Fixada uma unidads de comprimento, a aada r.g*.rrto orientado, podemos
associar um número real não negatívo, seg comprimento, que é a-§uA
rttctliilri Êm rolfiÇfro àqtteln llnidacle' A medicla do segmento AB,
indicarnos por íncd(Ati), Os sügrnetltos tt*los tÔttr nrcditla igual a zcro' Íi
«;laro quc rncc!(AI3) - rrrccl(BA).
Dados dois segmentos orientados não nulo* gg u ep, dizemos que eles
têm mesma direç.áo, §e as retas suportes destes.segrnentos são paralela§ ou
coineidentes. Só podemos cornparar os sentidos de dois segmeutos
orientados, se elei têm a mesma direção. Dois segmentos orientados
opostos têm sentidos oontrários.
/
Exemplos:
Mesmo sentido
Mesmo sentido
K
i
I
i
I
t
IY
i
I
Senti
:
i
^I
I
I
I
I
i
dos contrários
0
c
e
0
e
e
ê
e
0
e
C
C
Ct
0
C
C
I
f
C
G
e
(
1.2 Equipolência
Definição: O segmento
orientado CD, se ambos são
mesmo sentido.
Sentidos contrários
orientado AB é equipolente ao segmento
segmentos nulos, ou se tqir ryesnla r4q4iÉa-e
lndicamos, Ag - CD.
Exemplos:
^^ 
- 
IIB i\B 
- 
CI)
I " -,/
ABCD
----4
Propriedades:
t. ae_aA.e3:flexiva).
2. Se AB- CD então CD - AB (simétrica).
3. Se AB-CD 
" 
C»-gp então ag - EF (transitiva).
,à
E 
---"-,' i
\n"/"
L; EF'- GH
:--
. ' 
*:*qr*
4. Dados um-seenpnlo orientado
D tal que AB^-CD.
5. Se AB-CDentão BA-DC-
6. Se AB-CD então AC-BD.
'-à
Dois vetores AB e
-+
Dado um vetor v
-)
indicamos por -AB
e um ponto C,§I§t-çj-m1rylc-9 ponto
1l
são iguais se, e somente se AB-CD. Um
AB
Essas propriedades são de fácil verificação'
1.3 Vetores
IleÍinição: Chamamos vetor determinado por um segmento orientado
AB, uo conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
-+
O vetor determinado por AB, it dica*os por AB '
-)
CD
mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos
orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos
equipoientes entre si. Em particular, os segmentos nulos são representantes
dá um único vetor, que chamamos vetor nulo, e indicamos por õ.
r.ê
-:AB, chamamos o vetor BA
ou -Í.
-)
onosto de AB el,
,...t,.:. ,.e ,,,..(,,/ . r.(r,,..
: t. /. I ao..' ,.--
, {, .t.. -.,\
-ú
Decorre da propriedade 6 de 1.2 a ímpiicação:
-+ 
-) -+ -+
Se AB : CD entâo AC : BD.
ry
cp
r+
C{
r1
dt
cttt
tI
I
I
í
(
I
.\
L'-
\
7
IIl
I
:i
.11
tj
.;
:l
,i
il
convencionamos que o vetor nulo é ortogonal 
a qualquer vetor do espaço'
tr.4 Sorrra de um Ponto §om um vetor
Defiriçãa:DadosumpontoÀeumvetorÍ'existeumúnicopontoBtal
-+
que AB=Í' 0 ponío B chanramos §oma do ponto A com o vetor ü'
Dadoumvetorü,todos0sseusrepresentântestêmamesmamedida.Essa
medida denominamã, ãoa,rro oo u.tor-t, e 
indicamos por iüi' Dizemos
-+ -)
que os vetores Ãg 
' 
Cb não nulos têm me§ma direção (mesmo
sentido), se Ari . cn têm mesma direção (mesmo 
sentido)'
um vetor ü ê unitário se iül : 1' Chamamos 
versor de um vetor não nulo
ü, o vetor unitario que tem me§mo '"*áo O* ú' e 
indicamos por ü" '
Dizemos que dois vetores não nulos são 
ortogonais' se
oodern ser repre§entados por segmentos orientadosil;;;;;i', à indi'amosPor ür v'
F,BÍ/ v 
,F
,,/ ./,///'^
^,
lnilir:rtrtttts rl ri()lllil A.+ ÇÍ) ' sitrtplesnrente ppr 
A 
- 
Í
'r '- \'-----
tr'ropriuladcs:
t. A+ô =L' i "
3. Se A * Ú =B + ü, então A:?'
+. S" e+í=A+Í ,er'Ii;c ü=Í'
-+/../
5. a+ &=g-( ")':''"''';"[: '''" ii t" i'" /- 1
Essas p ropriedades são verifi cadas facilmente'
)i
í /.tf
I
, aE.
". 0 tr.
1.5 Adição de Yetore§
DeÍinição: Consideremos dois vetores ü e Í, e
-)
Sejam B=A+ü e C=B+V. O vetor §=ACé
de ü e Í e indicamospor § =ü+ i-
um ponto qualquer A.
chamado rretor soma -
Observemos que o vetor B=ú+Ú
independe do ponto A. De fato, se
considerarmos outro Ponto A'
obteremos B'= A'+ ü e C'= B' + t.
-+ -+ -+ -+
Assi.m, AB = AB' e BC = B'C'. A'
Usando a propriedade i de 1.3 , concluímos que :
-+ -+ -+ -+ -à -+ -+ -+ú'- BB' e BB'= C{' .Dai, AÂ' = CC' e portanto AC = A,C'.
Propriedades:
l. ú + Í = Í + ú ( comutativa ).
z.(t+Í)+*=ü+(v+*)
( associativa )
3. ú+ õ= ü ( elemento neutro ).
;1, ii t ( ii ) "'' ú ( t'lcrltrrtllo ilpofilo ),
lndicamosovetor ü +(-V) por ü-v. Notemosque ü-ü*v-ü.
- .b§trffi;,â-. l*Effi-*-",-*&l*-
1.6 Froduto de um número real por um vetor
Definição: Dados ae R* e Í*õ, chamamos produto de a por Í, o
vetor * = a?, que satisfaz às condições abaixo:
1. lúl:iull"l.
2. A direção de ú ê amesmada Í'
3- 0 sentido de ü é igual ao de Í se a)0, e contrário ao de Í se
. a<0-
Se a :0 ou Í : ô, o produto aV é o vetor nulo'
Exemplos:
-3 v
Se a*0, oproduto-]-v e indicadopor I. Se ?*õ, éfacil mostrarqueaà
s
t
t
t
t
t
t
(
I
(
(
I
(
(
I
I
,í
,/'r-oy
3
u 
é o versor de Í, ou seja Í" =
lúi
Propricrlades:
1. a(uv)= (ab)Í.
2. a(u+Í):aú+aÍ'
3. (a+b)V=aV+b?.
4. 1ü: Í.
Nas propriedades acima,
números reais.
+ -portanto ç=lvlÇ'.lvl
ü e Í são vetores quaisquer, a e b são
I
i
Assim, ü
Note que,
fr/çÍ .
1.7 Cox"nbinação linear
Befinição L: Dados n vetore§ i1,i 2" "'Í' e n escalare§ a1' ã2' "''ã1'
chamamos o vetor Í=attt +a2Í2+ "'+ â'Ío' de combinação linear
dosvetoresÇ1,Ií2,"',iocorncoeficientesâ1'â2'"''ân'
Nosexemplosl,2esaseguir,escÍevemos.tiicomocombinaçãolinear
dos vetores dados.
Exemplo L:
Neste exemPlo, fr =21 '
ExemPlo 2: Como rÍ = õ = 0ú + 0Í, dizemos que
ô é combinação linear de ü € Ç'
com coeftcientes zeros'
0bservando a tigurl ilo
laclo, pclclcl)'t()§ cs§rever :)
r,1--:Í+0u.
aJ
2
e combinação linear de ü e Í, com coeficientes - 3 e
o vetor ú não pode ser ercrito como combinação linear
0.
de
.---'---
llxt rrttll* 3:
Ú 
.-Y ':t 2<>< \1.'
-/ .r''''.{
BxernPto 4:
Considerenros 
um paralelo grarno 
ABCD'
Observenros 
que o vetor
'à 
.l nnssú i
ffirfiv\
ü
é
r#
é
ú
ü
t,
)t
t
I
(
I
Í:;l'".p'u"n"ãs 
u'
diagonal au'
il *.t-"**;: til§f'%§l fr[ 
* *rZ
gÀp contérn a diagonal AC' Assirn' 
o 
^'Z- :
;í..:*:f,§:#'ffil"fi'x B
ÍnesÍ$a direçao '
BÀD ncnão possur a rne§rna direção da
- ,*\ip\, o vetor AL nau "":-..,- 
vetor que possua 
a
No caso de \ÀB\*\o1'^" 
,."^ conseguirrnos um 
vet
ll*:',:;T;::;::"* 
uio' bas'ia "marm's ' 
ve"r
-))+
n=,Oá'*IAD"tÉld
-+
t ABo
--.-§L
É*^!-'
";*Itloç
Exernplo 5:
Observando o paralelepípedo ao lado, podemos escrever:
-+
AG=AB+BC+CG
-)E
Dizernos então que ACé combinação linear dos
*> *> 
-) -+ 
-»
vetores AB, BC e CG . Como BC = AD e
-+ -+
CG = AE, podemos também Êscrever:
-)->-)+
AG = AB+ AD+ AE
Assim, podemos também dizer que iC e combinação linear dos vetores
,-à-+
AB, AD e AE.
Definição 2: Dizemos que os vetores it,ú2,...,Ío s& colineares
(p_arylelos), se possuem representantes sm uma mesme retq. Neste caso
indicamos Ç 1 ll í 2 lt i g,-.,11 i s.
No exemplo l, temos ú,/lür,; no exemplo 2 temos w//ü e'frr//ü,
embora ü e Í não sejamparalelos.
{91'o'
lift nennição 3: Dizemos queos vetores i1ri2,...,Ín são coplanares, seL posstrcm represcntantcs em urn mesmo plano.
Obscrvanttls rlu\.^ r sSLliUqillitL*lç dc vctorcs ú urn uaso purticulirr tll
coplanaridade de vetores/@ 1#rrcrÉo, Cefínre,trs rae Gpp1o.**a"r61 .
Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares.
Propriedades:
1. Os vetores ü e Í são paralelos se, e someflte se, podemos escrever
um deles como combinação linear do outro.
Prúa: r'=4r' Çs1nsçâremos considerando os seguintes casos:I) ü=õ=V;ü=tç,t€IR
2) rJ =õ e ú*o; ternos ü=0Í
ü*õ e
sentidq pode
temos
_ llil-.u=-. ,v.
tvl
10
temos ü0:*Ío. Daí,
Assim, se ü e ! !êmm§smo
ü e ? têm sentidos contrários
pelo ponlo C urna reta paralela ao vetor OB : ü,
que intercepta a reta 1" i Ponto 
P' Assim
podemos ʧÇrever: ú = OC = OP+ PC.
-> -+
e PC/i OB temos: ú =mÍ+nü, m,ne IR'
ú'" = tt = ttl do = t ü rül* tillüi rfr -=: ülfltÊt
-'O . 
-ô.
=l üollr-t
Por outro lado, suponhamos que podemos escrever ücomo combinação
linear de Í, o., ,á3u,.ü=tÍ.-Peia definição êe produto de um número
real por vetor, temos que ü e Í têm a àesma direção' logo são
paralelos.
)'2. Os vetores ü, ? e fr são coplanares se, e somente se' podemos
escrever1gp iqlqs-como combinação linear dos outros'
Prova: Supoúamos que Ú, ? e
seguintes casos:
\i/ são coplanares, temos então os
1) {Jm deles sendo o vetor nuio, digamos ú = o'
Podemos escrever: É=!Y:!Í.
2) Dois deles são paralelos, digamos ü // i e Í * õ '
Podemos escrever: ü =mÍ = mÇ + 0ü/, me IR'
3) Quaisqucr dois clesscs vetorcs não paralelos'
Vamos considcrar a figura ao lado,
onrle tx ó um Plano que contém
rcpr^csotttuttlcs tltls vcltltcs ti.{ c ú ,
Tomemos Tracemos
-+
-))-+
üÁ.=Í, OB=ü e OC=frl.
3. d+d
-(>
.lt =t
-+ 
-)
Como AP ll AA
Ã-n,*t.)Co uffÇ
.Jor#l 1;1 -- ,f.
lül
1Étüo* ü
tü\
1t
Por oufro lado, suponhamos que ú=mÍ+nü, n,mc lR' Assim' pela
definição de adição de vetores, temos que ü, Ç e fr são coplanares'
rLl / i \lr
1.8 Dependência linear
,y Definição 1: Dizemos que um vetor Í é Iinearmente dependente, seÍ=d.
f DeÍiniçâo 2: Dizemos que dois vetores ú e Í são linearmente
dependentes se eles são paralêlos'
- Definição 3: Dizemos que três vetores ü, Í e ú são linearmente
depe4dentes pe-ç [e5, taggqiltffi',{ g' H:_'f l'-Ê I 3 },"# -Tlx ;:ssãocoolanares ,r, d= ü.t*ôo.c-,'C ; t; *---c- ;, " u G -f ia' c-ortc\o{
,,D?h""i§6fia,'-frr"*os que mais de três vetores do espaço (IR3), são
§empre linearmente dePendentʧ.
Quando os vetores do espaço não são linearrnente dependentes (LD),
d]r.*ou que eles são linearrner,te independentes (LI)'
Exemplos:
Consiclerando o paralelepípedo de arestas AB, AD e AE, temos:
*) 
-) -+
1)AB é Li. 2)AB+BC+CA é LD.
3) AD e AE são LI.
*) 1-)
4)Ai-) e 
-All são LD.,n
rPq
»õ t, DL . -.-^íd:''o
cr^r\rlrflt tâ*
#=8.69*dío'
. §?"r
a -;-
-+
s) AB,
-)
+6) AE,
-)
*:; ae,
-)
I 8) AB,
-+ -+
AD e AE são L[.
-+ -+
AB e DC são LD.
-+ -+
AD e FF são LD.
-) -+ -)BF BC e AG são LD.
(,' (,
r ,'Úr
t2
Propriedades:
1. se um vetor Í é LI, então dado ü//Í, temos que existe um único
escalar m talque ü=mÍ.
P.ova: como v é.LI, temos pelaprovadapropriedade 1 de r.7,queü=mÍ e m éúnico.
2. se dois vetores Í1 e v2 são LI, então dado v coplanar comÍ1 e Í2, temos que 
.existe um único par de escalares (m, n), kl queÍ=m?1 *nv2.
Frova: Como V, üi e v2 são coplanares e, Í1 e Í2 são LI, temos
pela prova da propriedade 2 de 1.7, que Í = mül + nÇr .
Para mostrar que esses escâlares são únicos, vamos supor que existam
m'e n', tais que: V=m'V1 *o,?2. Então (m_m)V1 i1"i"1V2:a.
Se m-m't0, podemos escrever v, =-!:n-l i2. Daí, 111/i2, o(m-m.,
que contradiz o fato de Í1 e Í2 seÍern LI. Logo, m-m'=O, ou seja,
m=m'.
Analogamente podemos mostrrr Çue n = n/.
3- se três vetores ür, Í2 e ü3 são LI, entâo dado um vetor Í quarquer,
lcrrrtls (lLrL' cl.'iis{c t'rrriu, rcl rro tlc usctrltrr.cs (1,, ll, l)), tul (lucv = rnü 1 -i- nv2 í- Irü: .
Prova: Suponhamos que it, iZ e ü3 são LI, temos então os seguintes
casos:
1) V=õ.Podemosescrever: Í=0Ít +0t2 +0Í3.
2) Í paralelo a um dos vetores i-t, Í2 e i3, digamos i //ir. Então
podemos escreveí: ü = mÍ1 + 0i 2+ 0Í3.3) ú coplanar com dois dos vetores Ít, Í2 e V3, digamos V,V1 e V2
sâo copianares. Assim temos: ü= mül + nÇ 2=Írlül + ni2 + 0ü3.
I
I
{
I
(
I
l
(
(
I
(
{
§
e
e
e
t
c
§
a
G
a
e
G
e
t
I
e
ü
s
C
t
C
G
6ár-
.gi,
'. e -r-.
l3
4) i não é coplanar com qmisquer dois dos vetore, ür, ü2 e Í3.vamos considerar a figura a seguir, o*.,o é o prano paralelo ao plauooA1A2 passando pero poato a. i";" B é o p"*" ã. íi".r"çao da retaOA: com o piano «.
Temos entâo:
_) 
_+ 
_)
ü=04=OB+BA.
-+ __§Como OB l/i3 e BA é
coplanarcom i1 
" 
12, temos:
I
.-)
OB:pÍ3, BA=rnül +nÍ2.
Logo ü=müt +nü2 +pü:.
Para *ostrarrnos que esses escarares são úricos, vaÍlos supoÍ queÍ=m'?1 *n'Í2 +p,Í3. Entâoi"ão.,
(m-m)ür +(n _n)iz+fu_p)ü: 
=õ.
So m 
- 
m'* 0, podernos escrever:
ü,:_.11 -o' _- p_p,
'l--;;ri ,'l - 
,,,_i,.,, ,r., .
orr scj:r, tr ó c.l,rurr*r' 00r, ü2 u ú3. 0 tlUe co,trutriz o rato deü1, i2 e i: serem Ltr. Logo Ã_*,-=0, ouoju, *=*,.
Analogamente podemos mostrar que n =n, e p =p,.
1.9 Base 
- 
Coordenadas de vetor.
'r úfinição I: Dado um vetor ?
conjunto de vetores paralelos a
I,I, dizemos que {V} e uma base para oç.
,J,9"
I
;
t
t
t
t
t
I
I
t
{
{
(
t
§
f
t
t
{
§{
i
t
t
t
i
e
t
t
e
t
t
G
t
i
e
e
e
e
e
e
(
e
ç
C
€
(
€
(
I
t4
'l D€{i&ição 2: Dados dois vetores ü1 e Ç2 LI, dizemos que {Vr,V2} e
&ma base pars o csrlj$rÀte de vetores coplânâres cona Í1 e Í2
,- Definição 3: Dados três vetores ü1 , ü2 e ü3 LI, dizemos que
{ir,ir,o:} g urna base pâ.ra o cünjunto de vetores do espaço (IR3).
.. De{inição 4: Dizemos que uma base é ortogonal quando seus vetores
são dois a dois ortogonais.
'. Befirdção 5: Dizemos que uma base é ortonorraal, se ela for ortogonal
e seus vetores unitiírios. 
r
: Costumamos representar uma base ortonormal po, {í, j, É}.
( : 1: i' , , ' :';.t ) -. ,"ty't' 'r_J | ;.)
Fixada uma base {Vl,v2,V3} do espaço, pela propriedade 3 do 1.8, para
todo vetor Í, temos ?=mÍ1 +ni2+pÍ:, onde m, n e p são únicos.
Dizemos que rnÍ1,n?2 e pÍ3 são as componentes de Í na direção
dos vetones ü1 , Í2 e ü3 , respectivamente. Os escalares m, n e p
são as coordenadas de ? em relaçào àbase {tr,Í2,ü:}.
Geralmente, representamos o vetor Í através de suas coordenadas, ou
seja, V:(m,n,p).
§xernplo l:
Consideremos o cubo ao lado e fixemos a
-+ *) -+
lrusc lAl], A(-, Aljl. lrodcrrros csct'cvcr:
-+ 
-) -+ -+ -)1, AB = 1 AB+ 0 AC+ 0 AE, daí AB = (1,0,0).
-) -àAnaiogameate, AC:(0,10) e AE =(0,0,1).
Podemos concluir eutão que, dada urna base qualquer {Vr,Vr,V3}, as
coordenadas desses vetores em relação a esta base são:
Í1 =(1,0,0) , iz=(O,t,o) e V3=(O,O,t).
;/>,;+-;i,.(, l.i
/ / rl :
-(l = /,;', 't ,-- t 2t')
rtf( t,o,.: i
;"l-'(rt'11 /.lr+t1,;
.t" 10)/, i
\ ,: / (.')
í'-. !:,.t r I ,/
,:
Dj.........
.i/
q".
3it
15
-+ -+ -) -+ -+2. AF=1AB+0AC+1AE, daí AF=(1,0,1).
observamos que sc a base consíderada for {ô,Ê,,ü1, temos
-+
4p: (1,t,0).
-+ -+ -+ -à --)3. AG:0AB+1AC+14E, dai AG=(0,U).
Exemplo 2:
-+ 
-) -+
Consideremos Í=(-1,1,1) em relação base {AB,AC,AE} do exemplo
-+ 
-) -+ -+
anterior. Assim, V = - AB+ AC+ AE = AH .
lAnalogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço,
podemos fazer paru conjuntos de vetores coplanares e colineares.
Assím, um vetor mrm conjunto de vetores coplanares tem duas
ccordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma
coordenada.
I Propriedades:
Seja {Í1, iz, Í3} uma base do espaço. Consideremos osvetores
ú,Í e ú, representados através de suas coordenadas em relação a esta
base.
l. Se ü :( a1, à2,4:), Í= ( bt, b2, b3) e t€ IRentão:
a) ii: ? <+ al:bl, a?:bz ô Írj:b1.
l-r) ti -t- ü : (u1 r- b1 , àZ -t- bZ, a: -F b:).
c)t ü = (t al,t a2,t aj).
Frova:a)Como ü=atVt *a2i2 +a3Í3 e Í=b1V1 +bZilZ *b3Í3 
,
temos:
(ar 
- 
br)Ír + @z -b)iz + (a: - b3)Í3 = ô
Daí, õ = (ai *b1,ã2 
-bz,a: - b: ) .
Logo, â1 
-b1 =$, a2-b2=Q e a3-b: =0.
/ " ' ' 
L L - - --J - J
De maneira anáioga podemos mostrar os itens b) e c).
.u -, L1 : â 1 ü1 + o e ü e* ô 3ü3 r \:1'J 1 r h 1 u)1 * bqü5, (cr- r + b1 )ü; + (c' f + b1)'ls " Ca 3* b1).i3
l6
Observarnosqueosvetores ü: (0,0,0) e Ç: ( bt, bZ, b3) sãoLD,
visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço.
2. Sejam ü:( &1, a2, a3)e ?: ( bt,bz, b3) vetoresnãonulos. Os
vetores ü e Í são LD se, e somente se, existe um t e IR tal que :
àl: t bt
&Z: tbZ
â3: tb:
Prova: Se ü
escrever: [: t então tt //
âl: tbt
à2: t bZ
â3 : t b:,
e Í são LD,Í , ou seja,
Por outro lado, se existe t e IR, tal que
â1: t bt
' ã2: tbz
â3: tb:
então ü:tü.Logo n/l n e portanto üeüsãoLD.
3. Três
rliu l.l)
vetores ü = (at ,d2,&3), i = (bt, br, b: )
§c! tt l1ilillcillt_' §e 
,
lo, a) arl
o: lo, b; orl: u.
1., c2 ca I
Esta propriedades pode ser dernonstrada através
e fr, = (cl ,c2, c: )
de propriedades de
Concluímos qu? s:_+ãpp1i!ste pa_prqpríedade 2, ou se A é diferente de
_zero, na prgp$edad1f, temos que gs 
".t0.ó. .orriaã*ãã, *;rãipropriedades 
_são LL
b
ln
ri
,L
,t
1]
ij
t7
tr.l$ Sisternas de coordenadas cartesianas
DeÍinição I: um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é umconjunto formado por um ponto o e uma b; {Í";;,or} vvrs!'v v srl
Indicamos uq sistema de coordenadas cartesianas no espaço por{o, ç, , Í2, Ís }.
o ponto o é chamado origem do sistema e os eixos que passam por o etem as direções de Í1 , ?z 
. 
Ê Í3, respectivamente, são chamados de eixodas abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas.
consideremos um sistema de coordenadas cartesianas {o,Ít,vz,v:} *seja P um ponto arbikário do espaço. chamamos coordenadas do ponto
P em relação ao sistema {O, V, ,trzr,uz}, as coordenadas do vetor ôi,
ou seja, se S = {r, ,a2,ã3), então p(ur, az,a3). os númerosã1,,-2,&3 são denominados *bscissa, ordenada e cota do ponto p,respectivamente. et 2-: í13
Exemplo 1:
Na Íigura ao lado, temos:
-+1
1. OP=rrr+2i2+V3,
,ir .sc.j:r, 
";, - [j , ,, ,) c. criri, ,,(j ,,, , j
4. oo = (o,o,o), daí o(0,0,0).
r(Z+,t)-..',.*
Cf, ( 3 'i /., 
-, ,t.{ l, ,
'' 
oi :{*,z,oJ,aai, o[i,r,oJ
3. oã =(0,0, 
-i)daí, R =[0,0, Íj
'U_-Eixo das cotas
Eixo das abscissas
:l::
r:'
::i.!:
li,":.'.
,l*
, yi
". r P.*
?*t i t)
Prnnriarf qrfoo.r r vl,l À!usg!§.
Fixado um sistema de coordenadas {O, V1,Í2,Íl}i dados ü= (a,b,c),
P(xr, yt,zt) e Q{xz, yz,zz), temos as seguintes propriedades:
--->
1. QP = (xi - xz,yt - yZ,zt - zz).
2.P+ É=A(xt *ê,yl *b,21 *c).
/__
3' O ponlo méctio cle PQ é o ponto *[ Iljla,
D-^.,-.I lut4-
I. Para demonstrarmos esta propriedade,
i-+
escreyemos o vetoy' QP como combinação
linear dos vetore, & 
" 
õi, ou seia,
-+ 
-) 
-)
QP = -CQ+ OP = {-xz,-y z,-zz}* (xr,yr, zr) = (xr - íz,yt - yz,zt - zz)
2. Utilizando a definição Ce scrna de urn ponto
-+
com um vetor, ternos que PA = Ç. Assim, o
-+ -) -+
vetor 0A=OP+PA-(xr + a,yt*b,21 +c).
Logo, A(x1 + a, y.r * b, z1 + c).
3. llodcrnos deinonstrar u propricclatl* 3
--) -) ) _) I )
cscroveqdo (JM = (Je + eM = ()e + ;elt.
-)-+2
Representando os vetores OQ e QP através de
suas coordenadas, obtemos:
dio : (xe, yg, z2) +lt*, 
- 
xz,yr 
- 
yz,zt * zz).
z
Logo, vrfxr t*z ,Yr+Yz .'r+zz\\/'2'2)
l8
yr +yz z1+22\)'ri' )
o
.4\.
l9
Exemplo 2:
Consideremos o paraielogramo ABCD, onde A(1,0,2), B(1,-1,2),
c(ü,2,1) Desejamos determinar as coordenadas dos vetores
*+ 
->AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB.
Aplicando as propriedades anteriores
temos:
-+
AB = (1 - 1, - 1 - 0, 2 - Z)- (0,-1,0),
-+
BC = {_1,3,4),
-à-àA
D = A + AD = A + BC= {A3,-2) e o ponto
médio de AB é M(1, 
-l / 2,2).
í; 
', 
),t',,/:L,-é-D ', )=t'//Ú/
,./-/ :*/-.rt 
-. 
,) »-( o 3.- '/*- L i/-J-/t 
, 
2t \"/-l
-/rl,-+.)
I
(
'(
$:
i/
-:
Át
rit)
^-))o
ft. ..
')a
7o
7, 
,.
. / ;- I) )-t I - /. i -'í !
-t)
S.tZ )
:-/ :(c.- \ c)
-t
= 
(-J 
, 
3,,+ {)
(o,2,-z )*( qi- l.e )
ué 
- C- ô- fo, r,-z yc t,- s,t )
D.. c.+'6- c+,,5= c.{ís}! - (o, ?) i?.>
( ,-,," , z)
..8 Êr
'. 3 
'"*20
2.X Produto escalar
Definição l: Dados dois vetores ü e ü não
nulos, e escolhido um ponto O qualquer,podemosescrever: A=OiU e g=O+Í.
Chamamos â1Sul9 $e u e Í a medida do
^ânguio AOB determinado pelas semi_retasOA e OB,
CAPÍTU{-,O il PITODUTOS
bd&qq"_q A o B = (ü, ?_l onde 0 < (q.r)< 
".
Observemos que se (ü, v) = 0, os vetores ü e í(ü, Í) = ft, estes vetores têm sentidos contrários.
jgnnieao 2: Sejam ü e ü vetores não nulos.ü por Í, indicado por ü. V, é o núnero real
Se um dos vetores for nulo ternos ü . ú = 0.
têm mesmo sentido e se
O produto escalar deü.i=lüllÍlcos(ü,Í).
Exemplo I
considerando o quacrrado seguinte, cujo rado mecrc 2u, ter,os:
-§r7-_+i) AB. gC 
=l ABI I BC lcosg0"= 0.
-) -+ _+2) AB.AC=lABl
-+ -à 
-)3) AB.CD 
= I AB I
J
'11
I AC I cos45, = 2.2Ji' " : 4.
2
-+
ICD lcosl80u= 
-4.
I
I
(
{
í
:jÍ
ri!
:i
r9
,*,
.e
$it
.;ü
it
,l
;l
x sefinição 3: sejam ü um vetor não nulo e ü um vetor qualquer.
u<-__
4-
ü
2l
o vetor ? se exprime de maneira única na forma Í = Í1 + Í2,onde v1 é
paraieloa ü e V2 eortogonala ü.
Chamamos o vetor Ír, 4e
projeção de Í na direção de ü.
Indicamos proj6Í 
- Í1.
:i .InterpretaçÍio geométrica do produto escalar
se t é um vetor qualquer e ü ,m vetor unitário, entãoÍ1 =proj6Í=(ü.ü)ü. De'fato, como it//i, temos Ç1 =tü. Basta
mostra que Í . ü = t. Fara isso, consideremos os casos a seguir:
Em (1) o ângulo 0=(ü,Í) é agudo. Nesse
I caso, temos t I Q, e daí lVr l=ltllUl=1.
Por outro lado, como o triârngulo ABC é
retângulo em A, poderros escrever:
t =l Vr l=l ü jcosO=l ?ll ü J cos 0= V. ü.
A
Em @ o ângulo g=(ü,Í) e obtuso.
Nesse caso, temosl I_-s*+ e daí
lvr l=ltllrl:-t. Alóm disso, o ângulo
(u, Í) = r 
- 
0. Considerando então o
triângulo retângulo EFG, temos:
'lrt
.t,,
" i ... 
-, :),', ,
l'^t I
a) < r-i
zí?
c-
E
/ t =-l rr l=*l vlcos0=-l vll ü [cos0:l üll ülcos(n- 0)= ü. ü.
.'. tt 
.) ,..'1 , .-. 
_r_n 
...,. 
of t;.,,, ,i .;
,. t, ,
Se 0 *iü J, temos
medida algébrica
rned alg proj6 *.
Exemplo 2:
22
projiÍ=projüoú=(i.üo)üo. Chamamos ü.üo, a
da pnojeção de ü na direção de ü e indicamos
t
t
(
t
t
t
t
t
t
(
t
t
n
t
t
i
i
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
§
I
t
t
t
t
t
t
ç
t
e
e
e
€
6
G
ê
Dados ü* õ, lÍl=6 e (ü,Í)=60", temos que :
rnedalgprojuÍ: V'üo :lÍ lluo icos 60"= 6.i.
Daí, proj6t=3üo 
.
Exemplo 3:
Dados ã* õ, 16l = g e (ã, 6):tZO*,temosque :
med alg proju b = b . ão =i b I i ã" i cos 120" = 8 . I ( - !.]= -Ot 2)
Daí, proj5ü = -4á
Propriedades do produto escalar
1. Í.ü: ü.Í.
2. ü.ü:0<+ ü I v.
3. ú.ú-lü12. t,r,
4. t (V.ü): (t Í).ü : t(t ü).
5. ü.( t+fr/): ü.ü + ü.\i/
Nas propriedades acima, ü, Í e ri, são vetores quaisquer, e t é um
número real.
As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do
produto escalar. Faremos a seguir a prova da propriedade 5.
---*-;..}i"f_;*=fl *i : 
-'---'c..
;
23
Se um dos vetores for nulo, a L
verificação é imediata
;i::;**,x,s:ç1," 
"nuios e os pontos O, A, B e C :taisque: .-vv Ba
A:O+V, B:A+rire C:O+ü,
Inicialmente observamos que.:
medalg projr (Í + w) = med alg prd6ü + med alg projiw 
.
Ou seja, (ü+ ú).ü" : ?.üo+ fr/.ü".
Dai, (ü+ ú).(ülü"): Í.(ülü") + çü..(Íülü").
Então, (ü+rÍr).ü: Í.ü + \i/.ü.
Pelapropriedade l,temos; ü.(Í+lu): ü.V + [.1i/.
)' Expressão cartesiana do produto esçalar
Fixada urna base ortononnal { i, j, f, I e cra,Cos os vetores ü = (xt ,yt,zt) ei: {xZ,yZ,zZ), temos;
il .\i=(x1i r.yrjIz,iit,tx2i ryzJ rrz[)*
=(xíx zi{ .1+ (xryz.ri. J + (x4z1i. [ + (r,*rlJ. i * (yüzLJ. J+ (yFz)J. [ *
't lzg2;ri. i + (zszlri. j + {ztzz)k. k
como { i, J, [ 1 é urna base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações:
i.J=j.É=É.i=o e i.i=j.J=[.[=1.
Assim, a expressão acima se reduz a:/
kl
Hb:'
rffi
:ÍE
'ffi'
:h
h
hL
r,,
h
p
#à
p
ri
F
tr.v=x1x2 *y§Z*212,2
24
',t 
'11
. 
e 
,..J
(
{
{
I
{
(
(
t
í
I
I
t
t
I
I
I
t
I
I
I
I
I
t
I
I
t
{
I
I
I
I
I
í
I
I
I
I
I
t
I
I
I
I
Observamos então que:
1) lü12=ü'ü=*r2 + yt2 +rt|.Daí, lül=
2) ülV {+ ü- Í= x1x2 + ytyz *2122=0, ouseja,
üJ-Í (ã x1x2 + yfyZ * zlzy =A
t) /
t/:Lrit-t.. 
:" 
t i ','" . 
t ir-..>:, i
Daqur em diante, o sistema considerado será o ortonorÍnal, exceto quando
se explicitar o contrário.
" 
) ú' .- 
^ 
z ( r-r,) l' o' u'-- l,
\ tttt;1i
Exemplo 4:
Dados os vetoÍes É= {1,2,2) e Ç = (2,0,2), temos:
l) ü.i=2+0+4=6,
2) lül=^/i+4+4=f:3.
3) ü" = ü =!{r,r,r)=(1, i,i)
4) cos(ü, Í) =
- r-ú.v 6 42
, logo, (ü, i) = 45".'l _- r-
', í lü ll v | 3.zJz 2
L
i -:' ":
--l -í/) ú
.\) iiIrv, riurtlo iv..((),2, 2), puis ii,lü -{).
6) projiÍ = (v. ü")ú" = [tr,or) (;,;,;]](i,;,;J=
:,[1 ,1,1)=(i,+,:)
Z) mâdalgp§,,Í=2.
í
Cossenos diretores de um vetor
Fíxada uma base ortonormal {i,i,É}, chamamos co§§eno§ diretores de
um vetçr Ú+õ, o§ cos§eilos dos aryip+qwitogqg com o§ v-etg1qs
desta base. Lr",;1,-{*, ÁitÍ.n- " ( u, A, X)
Considerando Í = (x,y,z),q = 1?,1), Ê = (Í,rr, . Y= (Í,É;, temos:
V.i x ô Í'J Y ^,- V'É -zcosü =-=.-. cos[1 = -:--+-:* e cos"l=------=- =:---;.r=-l' I t-ll :ltvltlt tvl lvllrl lvl lÍllkl lvi
Como to = :v:,lvl
: '--l
segue daí que , 
_-?j : (co1u, cos $, cos y)- / ( 
-r'" )
Daí, cos2 o*"ou2 B+cos2 Y=L-
Chamamos u, F e 1 ângulo diretores de Í '
Exemplo 5:
Dados cos(?,i) =.o, *=+,cos(Í,J) =cosF = 0, (V,[) obtuso
I t l= s, temos:
1)
t;Vr"
cosY=-,2
2)
.or2 y= [ 
-cosf, o*.or] Ê = I - I -r=l . ru*u,
?:tÇ tt'=s(*,o,-+l= {*,0 5J''\t/ r'- z J-|., '"'- 2 )'
26
,t 
.
9-2.2 Px'oduto tr/etorial
Para definirmos o produto vetorial entredois vetores é indispensável Oirri"gui"rr"uo que são bases positivas 
.' b*r*,negativas. para isso, - considereÃs umablse do espaço iç, , çr,íri"^". urn
observador. Este observuOo.à."* estar comos pés em um plano que contémrePresentantes de úi e Í2 (os doisprimeiros veúores d1 base), ãe modo queÇ3 (o terceiro vetor Oa Uase), 
.rr.3uârigiOopaÍâ os seus. oihos. irleste plano, sejarn
,-)
OA=ü1 e OB=ür.
considerernor ugori a rotaÇão de menor furyro em torno de o, que torna otà : vv v, Yuç LUIIIa Offi veror Ír( o primeiro vetoi au Uasejffi COm rrtêeh^ n^-+ir- icom mesmo sentido do vetor Íe ( o
segundo vetor da base). S* *rt,
rotação for no sentido 
"onjnirio uo ããponteiros de um reiógio, d."*;;;;
a. base é posiriva. C;r;-;;n"JáH-dizemos que a base é ;;;ffi;:Assim, a base {Vt, Vz, Í3 }, if,Lt.uA"
t
t
t
t
Q
f
e
Observemos que as bases
ê
ao lado, é positiva.
7i z,i z, ü1 ) são negativas.
-l
{iZ,il,v:} e §t
3
tÊ
$
Ê
ê
ê
&(p
êt
Ê'l
F
Ç
Ç
)1
chamamos atenção especial do leitor para o fato de que nem sempre oobservador esta no mesmo semi-espaio que;;;. õ;requentemente, osentido da rotação que ele verá é contrário ao que nós vemos. para iluskareste fato, desenhe em uma folha de papel dois vetores LI com a mesmaorigem e considere uma rotação que torna um deles com mesmo sentido do
lutro' -.f f_oina de papel pode ser ionsiderad* 
"o*.r* fiurro, assim, a folhade papel divide o espaço em dois semi-espaç"r. ou-""í"mos então que, emum desses semi-espaços vemos esta rotação com um sentído. se mudarmosde serni-espaço vemos esta rotação com um sentido contrário ao anterior.
t observação anterior é útii rnidentificação de bases positivas e
negativas, quando o observador não está no
mesmo.semi-espaço que nós. por exemplo,
ao amalizarmos a base {iz,Ít,_Í:} vemos
a roüação ro sentido horário, porém o
observador, poÍ estar no semi*espaço
distinto do qual nos encontramos, vê esta
rotação no sentido anti_horário e portanto
esta base é positiva.
Exemplos
Consideremos o sistema {O, i, J, [] representado a seguir, temos que:
I. As bases {i, j, [], 1J, É, ii e
são positivas.
2, As bases {j, i, Ê}, {i, t, J} e 1Ê, J, i1
são negativas.
{k, i, i}
,,í
c-
i
í
J
J
28
DeÍirição: sejam ü e ü vetores não colineares. o produto vetorial deü pon Í, indicado ü x ü, é um vetor, tal que:
, l* +l r+lt-t ,* *.l. I uxvl=l u ll v lsen(ü,V);
2. A direção de üx Í é ortogonal a um plano que contém representantes
dosvetores ü e V;
3. A base {ü, ü, ü x V} é positiva.
Se ü e Í são coiineares então üxÍ=õ.
Exennplo 2
Sejam ü e i vetores com representantes no plano a,, onde
l,r l= 2, lV i= J5 e (ü, ü) = 30o. Temos:
| üx vi=l ü ll ül sen3oo= 2. Ji. 1= JJ)
e
| üxü I =l v ll ü | sen30o= 16 . 2..! = Ji2
Assim, jüxVl=lVxül
ilustra a figura.
, Dâs üxÍ e Íxü são vetores opostos, como
llxemplo 3
Dada a base ortonormal positiva {i, J, Ê}, temos :i. Ixl=J*J=[x[=ô
2. ixJ=É,J*É=1 e Éxi=l
3. jxi=-É, Éxj=-i * íxf,=-j
ü.
f41 ,.
*j*
4-;
@
@
4
€
€
@
%
@
€
€
€
@
@
6
@
w
@
@
@
@
@
@
€
i
ffi
{
F
H
i
HP
h
ffi
k
I
h
h
§§
â-Êá
x9
lo
w
I
I
iat7
L
i-!
1
§âF
7,4Yl
I
üt
&iíiã
Pih{
bt
h
ív
L
29
ãnterpretação geonaétrica do produto vetorial
Consideremos o paraielogramo ÀBCD, abaixo.
+-+-+-+
=l AB l.l AD lsen 0 =1 ABx AD I
Observamos também que a área T do triângulo ABD é:
Exemplo 4:
Consideremos o paralelogramo ao lado, onde
temos:
-+ 
--a
I ae 1 =1 (- r,0,2)l= J5 e I AD I =l (4,0,_2) l= zJi
.-i --) arl ail I 4cos(AB,AD)= 
=-.-
lAul IADI
\' Sabemos que a área
paralelogramo é:
S:basexaltura,
-+S:lABl,h.
Do triângulo AMD, temos:
h =l ,ó | .sen 0.
A(1,1,0), n(o,t,z) e c(4,1,0),
oll
Daí segue que,
sen(aÉ, Àôl: .h 
-16 = la = 1' ! 25 vZS 5'
Segue daí que a éxea S do paraielogramo ÂBCD é:
s = J5 .z"li .1= o u.o.)
-) -+
IAE(AD I
2
Propriedades do produto vetorial
I. üxV=_ (Vxü).
2. (t V)xü = üx(tq =t §xü).
3. üx (? + tÍ) = ü x t + üx rir.
Nas propriedades acima, ü, ü e ú são vetores quaisquer e t um número
real. As propriedades I e 2 decorrem diretamente da definição de produto
vetorial, e a prova da propriedade 3 seni feíta no parágrafo seguinte.
Expressão cartesiana do produto vetorial
Fixada uma base ortonormal positiva {i,J,[i e dados os vetores
ü = (x t,!1,21) e Í =(xZ,yZ,zZ), temos:
üxV= (x1i + yrj + z1k)x(x2i + y zj + z2k) =
= (x1x2) ixi+ (xiyz) ix J + {x41,Ji xÊ +
+ (yrxziJ*i + {yüzLJ * : + (ypzlJxk +
+ (z1xz)[*1 + {zg 2lÉ* j + (zp2ikxÉ.
Podemos então escrever:
rixv- \yi,2-'tay,lyi t \,r,ty,z* x1z2I jr (xryz-"Yrxz)[.
A cxprcssão aoitrtu podc sur tladu sub a lburra elc unr tlctonuiruurtc
"simbólico":
ll I Êll'lüx?=lxr yr 4llllxr Y.t z-tlt'
",c .. 
(
t
.l
t
t
I
I
t
t
I
t
I
t
t
t
I
I
I
I
t
t
I
{
q
I
t
I
t
I
I
{
t
I
I
I
I
I
I
-t.
:aa
3l
Exemplo 5
Dados os vetores fr-(1,2,3),
lil-l
r) u*v=11 2 3l=(4-3)
13tzl
Daí, üyg=(1,7,_5).
lilil2) u*ü=11 2 3i=(12-
lz46l
Daí, üxú=(0,0,0)=õ.
Exernplo 6
Consideremos, na figura
tr=(3,I,2) e 'Él=(2,4,6), temos:a seguir, os paralelograüros ABCD e ABC'C.
í-Q-e)j+(1-6)k,
12)i+(6-6)j+(+-4)[.
AI]
Se S c S' são as árcas dos puralclograluos ÂIICD c ALIC'C,
respectivamente. Temos:
-f -+ -))
S =| AB< AD l e S'=l AE{ AC l
Como
-) *+ I -l + -+, -à + -> -+ -+ + -'
I AB( AC I = | AB x (AB + BC) I =l AE< AB + AB x BC | =l õ + AE< AD [ = I AE( AD l,
/-)-)-à-,
podemos concluir que: S =lAE( AD l=l AI»( AC l=g'.
C
a
32
Considerando T a área do triângulo ÂBC ternos:
-+ -+ -+ -+ -+ -+
_ I Asxacl _ I ABXBCI _ I ACXBCI
22
Exernplo 7:
Considerando S a area o retângulo ao lado, onde
.-+
A(1,0,2), c{- z,l,l) e AB" = (- 1,0,0)
temos:
-+ 
-> -+§ =l ABxAC I e AC = 1* 33,1).
-) 
-) *+ -àír^-^ 
^D ID/-r +\-,urlrv r \-r-) -i i-rt,, i€íflos que ÀB = FÍOj -, AC = (- lrOrO) .
ê30
Daí S =1 (- 3,3,1)x (- :,0,0)l=i ( 0,-3,9 )l= {5 + 8l = 3.fiõ.
2.3 Produto Misto
Definição: Sejarn ü, Í e ri vetores quaisquer. 0 produto misto dos
vetores ü, Í e Ê , indicado pür [ü, Í, ]tl, é o núrnero real
[ü, V, l.yl= (üx V]. w.
Exemplo l:
Dados os vetores ü = (1,0,2),? = (-1,1,3) e ü = (0,3,-2), temos:
[ü, ç, ü,] = [( 1 ,0,2) x (- 1,1,3)] . (0,3,-2) = (-2,-5,1) . (0,3,-2) = 
-17
[.y-,ü, ú] =[(-1,i,3)x (i,0,2)].(0,3,-2) = (2,5,-l). (0,3,-2) 
-17 .
i90r
Ifl"
0I
&
I
&
&
@
ã
â
,,:lt
iê
â
#
p
g
B
#
I
p
I
a
ã
I
:.I
:p
)
1
1
)
à
b
3
à
',
il
I
I
I
)
I
,
)
I
Interpretação geométrica do produto misto
Seja o paralelepípedo de arestas AB,
AD e AE. Sabemos que o volume V
desse paralelepípedo é:
V = área da base x altura.
Considerando a altura h desse
paralelepípedo, em relação à base
ABCD e aplicando nossos
conhecimentos do cálculo vetorial
-)-):
Por outro lado, essa altura pode ser calculada como o módulo da projeção
-+ -+ -+
do vetor AE na direção do vetor ABxAD, pois a direção deste vetor é
ortogonal ao plano ABC. Assim podemos escrever:
-+-à+-+-)-+
h =l proj 
- 
--) AEI:lA_E,. (ABxAD)"i:ll AE{cosgl:lAEllcos0i,
(AB xAD)
-+ 
-) -à
onde 0 é o ângulo entre os vetores AE e ABx AD .
+--}-+
-) -+ -) --) --) --)Daí, V =l ABxADll AEllcosgl =l (ABxAD).AE l= I [AB,AD,AE]1, ou
seja,
-) -+ -+y 
=l[AB, AD, AE] 
I
Consideremos aqora o tetraedro de
arestas AB, AD e AE. Seja V1 o
volume desse tetraedro, assim,
,
Vr 
- 
lá.ea da base x altura.
J
Considerando a base ABD desse
tetraedro, obsenemos que a altura
relativa a essa base coincide com a
altura do paralelepípedo anterior.
ttl
t*
i
íAt =
t'.
;
I ,< ry* A » I
---.-a
ffi
34
Daí podemos escrever:
vr = i t , tot" ól tl AE ll cos0 | = il {es" AD ) . AE l= u i tee, AD, AEI I
Exemplo 2:
Consideremos o paralelepípedo de arestas OA, OB e OC, onde
++-)
OA = (1,0,2), OB = (1,1,3) e OC = (2,1,0). O volume V deste
paralelepípedo pode ser calculado como:
-+++-++-)y 
=l[OA,OB,OC]l :l (OAxOB)' OC l=l (-2,-1,-1)' (2,1,0) | = 5 u'v'
E a altura do mesmo em relação à base OABD sera:
I / EJ6
oô 1= I (2,1,0) 'l - ^*-l l\-r-r-l 
t 3, 6
h=l proj 
_ 
_+
OÂxOB
â
%
bq
frç
(Éü
ےq
@
%
Ça
Ç"
ç
@
%4
tÉr6
çe
€
vE
@
w
€
V
V
Ç
w
ei
é
e,H
Ç,
é
é
e44qe
éee
éd
G4
é
Cc
Gf
é
ê
J6 ), 5fi
-ul:6*'t'
Observação: Consideremos uma base
{Ír,ü2,Í3} do espaço. Pela definição do
produto vetorial a base {üt,ü2,i1 xÍ2}
é positiva. Assirrr, se Í3 estiver no
mesmo semi-espaço que ü1 x ?2, gffi
relação a um plano que contiver
representantes de tr1e12, a base
{Ít, Í2, ü3 } sera também positiva, já que
o observador não muda de posição. Caso
contrário a base {Í1, Í2, Í3 } será
negativa.
Podemos verifiçar se ü3 está, ou não, no mesmo semi-espaço que Í1 x Í2,
ern retação a um plano que contiver representantes de Í1 eÍ2, através do
Í1xÍ,
iv
üdàfl
+J
+
,tb
++++
+f+4
*p
++
+§#s
"à
-b#
+###
J@
-b####
,Jc
Jo
Jc
Jo
Jr
àJi
Jc
JrJi
Ji
JrI
lea
35
ângulo entre estes vetores. Ou seja, se este ângulo for agudo, então Í3 está
no mesmo semi-espaço que Í1 x ü2, caso contrário, não.
Por outro lado, para determinarmos se o ângulo entre dois vetores é agudo
ou obtuso, basta calcularmos o produto escalar entre eles. Assim,
(Vr xVz)' Í: >0, temos que o ângulo entre estes vetores é agudo, logo a
base {Í1, V2, Í3 } será positiva, caso contrário, a base será negativa.
Podemos então concluir que uma base {Í1 ,i 2,í3} é positiva se o produto
misto [Ír,i:,Í:] > 0 e será negativa se [ü1,Í2,Í3] < 0.
Propriedades do produto misto
1. [ü,Í,fr/]=0 <+ ü,Í e ü sãocoplanares.
2. [ü, Í,'fr/] = [V, ü, ü] = ['Ê, ü, V, ] .
3. [ü, Í, fr/] = - [ü, ú, ú].
4. (üxÍ).w=ü-(Vx,frz)
5. [úi + ü2, r-,rÍ] = [ür,Í,r]l + [ü2,Í,fr].
6. t [ü,V,fr/] : [t É Í,w] = [iUt Í,Ê] = [ü, Í,t fr].
Nas propriedades acima, ü, Í e * são vetores quaisquer, e t é um número
real. Faremos a seguir suas provas:
l. "9" Se [ü, Í, \i/] = 0 , então o volume do paralelepípedo cujas arestas são
representantes de ü, i e ü, é zero. Assim, esse paralelepípedo é
degenerado, e portanto, ü,Í e ú são coplanares.
er-r:1] imedíata.
2. Temos que l[u,Í,w]l=l[V,ü,,ü]i=llfr,ü,Í,]1, como volume de um
mesme paralelepípedo. Se ü,ü e ü são L D, então
l[ü, Í, w] l=í [V, ü, ü] i=l[fr, ü, ?,] l= 0
36
Se ú,Í e ú são L [, então as bases {ü,Í,ú},{V,fr,ü} e {ú,ü,V}
pertencem a mesma classe. Logo,
[ü, Í, \Í] = [Í, ü/, ü] = [ú, ü, Í, ]
Nas provas das propriedades seguintes, usaremos as propriedades dos
produtos escalar e vetorial já vistas.
3. [ü, V, fr/] = (ü x V) . ú = -(Í x ü) ' ü = {(V x ü) ' wl - - [V, ü, fi']
2. (üxV)' ç = (Vxü)'ü=ü' (Íxü)
Usaremos agora as propriedades acima para demonstril a distríbutividade
do produto vetorial em relação à adição de vetores, ou seja:
üx(Í+'í/)=üxÍ+üxi?-
Mostraremos que : üx (Í + ü) - (üx V) - (üxfr) = õ
Considerando ã = ü x (f + ri,) - (ú xÍ) - (ü x ú), temos:
á. á =ã . {üx (Í +,1/) - (ü x V) - (üx ú)}
= ã - [üx (V + ü/)] -ã' (üx Í) - ã' (üxw)
= (ãxü). (v + m) - @xú). r - (ãxü)' w
= (áxü). (Í + m) - (ãxü) - (Í + ü) = õ.
Portanto ã = õ.
5. [ür +tt2,t,ri,]={(üt +üz)xü}'m={ü1 xÍ+ü2 xü}'rÍ=
= (ü1 xÍ). ft + (üz xÍ). ú =[ü1,Í,,ft] + (ú2,Í,úl
6.[t ü, V,,ú] = (t úx Í)' ú = (ü xt V)' ú = [ü,t ü, ü].
Analogamente podemos obter as outras igualdades.
-ed
gra
(tE
cÉt
Gt!
@qj
@
eã
Vâ
4
w
@
%Êd
4
V
v
w
eí1
F
V
V
V
v
e4
w'
@MH
@
@
@d
é
Ç
CJ
F
ÇF
é
é
I(É"
*e
é
é
é
é
€
§.I_:'
37
341
4 ,1,=àl2x-101.
321
fl(p'-
#it
fl.'
ê
d
-"p
6
@
*:â
4t
,ip
l
*fil
@
@
ô
ô
ô
&
,&
@
@
@
4
@
@
@
@
@
-&
#
Ã
#
l
P
P
s
P
Ê&
&
ô
â
p
+t
,D
ü
?
§
ExpressÍlo cartesiana do produto misto
Fixada uma base oÍtornomal positiva {i, J, [] e dados os vetores
ü=(xt,!l,zt), Í= (xz,yz,zz) e frr=(x:,y3,23), temos:
[ú, ?, ü/] = (ü x Í) -ú
- 
(y1z * zty z, ztx2 - xrzz, xtY 2-Yrxz)' (x:,Yz,zz)
=(yqz -zryz)xr + (zéz-xgz)y: +(xryz -yéz)zz
Assim, podemos escrever:
[ü, ü, ii/] -(yqz -ztyz) xg + (4xz -xtzz) ys + (xüz -ysz)zz.
A expressão acima pode ser dada sob a forma do determinante:
l*r Yr ztl
-__--tt[u, v, wJ = lx2 y2 ,rl.lxs v3 4l
Exemplo 3:
Do tetraedro de arestas OA, OB, e OC, sabemos que :
-à -+ -)OA-(x,3,4), OB =(A,4,2) e OC={1,3,2).
Calcule o valor de x, para que o volume desse
tetraedro seja igual a 2 u. v.
Sabemos que o volume Vl do tetraedro e dado
por:
l-+-+-àVr = i i [Oa, OB, OC] Ió
Assim,
Ix
", 
= à,1?
Como Yr:2rr.v, temos, llZ*-l0l=2.6'
Logo,x:ll ou x--1.
É'...-...._ \
r
-1: t
I r'r'tt Í.
aI ir
,I'(rü
38
§
€
§
€
G
G
€
q
€
&
c
s
&
&
&
&
s
a
&
&
G
e
#
e
@
&
@
@
@
w
@
@
@
e
#
@
@
@
8F
G
e
Exercícios
Sequência I
1. Considerando o prisma abaixo, cuja base é um hexágono regular,
classifique em verdadeira ou falsa, as sentenças abaixo, justificando cadaresposta.
-+ 
-) 
-ôa)GA-DI é L.D. 6-dX DJ :> L-J
-+ -+ -+
b)til,IC,IB são L.I. Y.5, -fit 
'rF'* >ru*n
-+ 
-) ->
c)GM,Lf,FE são L.I. ü, cfzzad ' 6ti= Êe"*ott1
'=) Lü
--) -+ -) -+
d) BC + CI + IB e MF são L.D.. 4 ü,-u e,; -*
t:.1u,..c,o 
. :ê5 tD
e)AH,ED e MF são L.D. otJrlelr1 â;o
- 
LO. u- q.ot'..' §.o p!ore.".r 1-:)L 1
f)GM e 2ÂH são coplanares. ü&
&sçbva'$
F
-+ -+ -+
g)F&FE e FM são L.I. {'r-, *tutd: ç.ap!a1'**'r,n
-)h)FM pode^ser-escrito como combinação linear de
"t"^' f;?=fP* rt,eff
i)lviG pode seÍ esÊntü corÍio Çümbinaçãç linear de
-àj)F= E +LM úo Ê. e + iôrrJir, dr!
l) FA" = (2 JI)"=) tA' *r Jl
+ -+ --à -+
m) FE' + (2ML)' 
- 
(FE+ 2ML)' 5.-..^
:0ü,ü e frr L1 ig) ü,V,(1,2,3) e {2,1,4)
"n*aÀ-c
-+ -+ -+
FA, FE e GM.
+
GH. vi"o ?o,> 
=ãa LJ
L.§ : h) ü, V e (7,4,0). L-1)
. A So t*pht{.'ür
i.t;l,L) + (Ê:,b,-z )
Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores ú 
-2í -j+ZX,
v=5i+5J-2k e fr=:i1oJ.
2. Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
a)ü L: b)ü e Ç L5 c)o LD d) ü e õ LDe)ü e (4,1,4) LÍ)
G
G
G
é
G
GF
G
aÉ
,<.[*'.*',., , I ür-!r:q-r :; :'*1.:' iê1il;'"*-r' ;
39
3. Determine:
a) 2n-ç+ 3ú. e(2,-J,r)'[b,Õ,"t] -3(?'6'O)', c4'-c'd) - (6'6',-r) + (e', tb',o) =
(.B, ft.6 7 -+
b) as coordenadas do ponto B, onde §=(1,0,-2) e AB =ü.
c) as coordenadas {g ponto M, onde M é ponto médio do segmento AB ,
doitem(b). tl=N ry= @)= (4rr,tr"r-t ) = C., ilz,-J)
b
4. Escreva se possível:
a) ü comocombinaçãolinearde ã= (4,-2,4). ff- +d
b) ú comocombinaçãolinearde õ. 'ci{ ço'>^'r,.t
c) õ como combinação linear de ü. ÕF, o rf
d) ? como combinação linear de ü. vrir.' po=t, u^l
e) ü comocombinaçãolinearde ? e â={4,-2,4). ,1o - 
"t. àJ
+0 Í como cornbinação linearde ü e fi=(4,-2,4).=#o 1."&
tS) V como combinação linear de ü e fr. -"võ po dt
5. Determine:
a)ü.Í e ü.w b) lül e ü" c) (ü, v) e (ü, ú)
-oiQUmvetornão nulo ortogonal a "ú,
e) Aprojeção de ü na direção de V.
0 A projeção de ü na direção de ri.
g) A medida aigébrica da projeção de É na direção de ü.
h) O versor de 6 , onde É tt A.
D Um vetorparalelo a ü e de módulo 9.
J) O vetor d, sabendo que seus ângulos diretores são agudos, ondeg=60o, F=45o e [õl=lWl.
D Íxfr
y'$ U* vetor unitário ortogonal aos vetores ü e t.
Q4)Uma base ortonormal {ê1 ,é2,é3}, onde q // ú.
{o)Uma base positiva {f1,i2,f3 }, onde i, = V.
- 
", 
fu)O vetor ã, tal que ãxü = o e ã .í =-2.
-+ -+
q)A área do triângulo ABC, onde AB =ü e AC = V.
-.a:\0 [ú,vé/
s) O volume do paralelepípedo de arestas AB, AC e AD, onde
-)-)+
' AB=ü,AC=V e AD=r?.
t'4-v'
o 
-.-t+:4 4,..
t'&
eÍ
ê.
G
ÊÇ&
üC
{rÇ
e!
ei
êã
eEaa
w
V*
94,,
eI
Gr{
v,vu&
H
,e
v
wv
€íÉ
@
@
@
w
eF
€4
@
Fe
ée
Fe
ç
Ç
Ç
Ç
c)
Ç(p
Cs
é
é
Sequência II
1. Sabendo que A(0,0,0), BQ.,l,4) e C(0,0,5) são vértices de um
triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo
^interno BAC
22. Determine a resultante das forças em cada item a seguir:
,) lFt l= 80ksf
I Éz l= lSokgf
lF: l= lsokgf
b) iFr l=120kef
lÉz l=looksf
lÊsl=lzoksf
13. Exiba, se possível, os exemplos abaixo. Se impossível explique porque.
a) Uma base do espaço que contenha os vetores (1,1,3) e (-2,4,6) -
b) Três vetores L.I. que não formem uma base do espaço.
c) Um vetornão nulo, paralelo a ü = (1,0,2) e ortogonal a fr = (-1,2,3)'
/t//
el lr, '&"
eo-- -+(§W$-
d. t r.r.
d.ü= o
g.rJ *Ç
-,'4N/
-r'' 
",, 
?
,r'-) (üt
.l-)
_-_-,*_--.1/
ú
r .itl, I-','ff*nr
{= litltTL ffir,R, &;*
\ff,I= cnrs\ül fl-§}' 
-.. -i^ '-' L. /
.tl 
= 
tc,*\'J I ut" 17*/\tt
ç 
= 
C,," s) J" (lr"r ) *e.í)
lfl,r r,rfl r-** Q: ü'ü
-â@o -p
Wt*>o:'Éçri
i!
i'
:,,
&
&
&b
#
dpp
&b
&&
&
*ilpp
{o
1:
. 
o,g€J tí\ trr
qg'F' $í.' Y'/)
o, o 6-'., Jgp"g
4. Do cubo ao lado, sabemos que: A(2,1,0),8(2,4,0)
Determine as coordenadas:
-+
a) do vetor AC;
?b) do ponto E;
+ -+ r-)
c) do vetor AL, sabendo que FL = -ãEF
-+ [-+ + -+l
d) do vetor CG em relação à base { AB,AC,AE l;tJ
-c *.., ,= J, o *r1 ij" 
., (t" " :*' .p '::'Y )
CçrL I ut -, Á
t{'tl
+ \r!
e ADo - (0,0,1). i
',.1-n
/
5. De um losango ABCD sabemos que A(1,0 ,2), B(2,-1,2) e a diagonal AC
é paralela ao vetor ú = (-\2,2). Determine as coordenadas dos outros
vértices.
f6. Sabendo que I ü l= 2 ,l fr l= 4 
-" 
(ü, w) = 60o, calcule:
a)lu+wl b)lp'ojçül c)ü.(ü+ú)
4-2. Oetermine o vetor ? sabendo que I v F J: e que seus ângulos diretores
são agudos e congruentes.
+8. De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2), B(3J,1) e
a?' 
- 
(9,0,9.|. ,r,"*e a altura do triângulo ABC em relação à[2 " 2 )
base AC.
'g, De rim triângulo ABC, sabemos que: l Ê F z ,l at p 3 e
--à --)
AB . AC = 3^,6 . Determine a âreadeste triângulo.
+ 10. Sejam AB, AD, e AE arestas de um ,rtr"Otledo retângulo de volume
12 u.v. Sabemos que A(0,0,0), C(4,1,0) e AB " =l *,0,*.).'r/ [.2 2)
Determine: a) A área do base ABCD.
b) As coordenadas do vértice E.
,ieia
n6l"
rai L)Ç/?ii 7'
1
t r\ilrl r
'4
I
6.
11. Do paralelepípedo retângulo ao lado, temos:
-)
a) A(2,1,0), C(3,2,0) e I BE l= 3
b) Dois dos ângulos diretore, O" .ô go
g'-^{=45o 
'
Detennine o volume deste paralelepipedo.
12. De um tetraedro ABCD sabemos que:
C
q
cd
ed
eü
ef,
:tET
ɧ
"{et
3
eã
e{|
eã
Ê{
Cd
Éc
,*
eÇ
G,;
Gjd
@âH
H
c4,v
%
%
e'ã
e*H
e4v
€4
e.
sqHG'
C4
GJ
Ê1
GdH
e.â
eá
eé
Gd
é
é
é
42
A--g
--)
a) A(4, 0,3), B(-8, 4, l), D(3, 
- 
1, 0) e I AC l- ZJZ .
-+
b) Os ângulos diretores de AC sâo a = T = 45o -
Determine o volume deste tetraedro.
13. Dados os vetores ú= (1,y,2), óà = (2, 0, r) e dC = (0, 3,1),
determine o valor de y para que a altura do tetraedro OABC, em relação à
base OBC, seja igual u I u. ..
7
14. De umparalelepípedo de base ABCD sabemos que:
a) A(0 ,l ,l), BQ,A,l) e C(-1, 1,0) ;
-+
b) Os ângulos diretores de AEsão agudos e ü = 60o e Ê = 45o.
Determine as coordenadas de vértice E, para que o volume deste
paralelepípedo seja igual a 4:líu.v.
15. De um tetraedro ABCD, sabemos que:
-+ -+
a) A(0,0,0), D(1,5,t); t e IR e AR . ÂC = 8;
-> -) (t Jl \b) AB"=(1,0,0) e ACo=l ;,;,0 l;
\"L)
c) o fiângulo ABC é equilatero
Determine as coordenadas do vértíce D para que o volume deste tetraedro
. 8.6
seJalguala 
-u.v.
5
-{-
D
a
ff
43
3e É,b)
RESPOSTAS
Sequência I
5.a)le0
.)[*,*,-*)x,yeIR e x+0 ou y*0
c) arc cos J6
54
e 90"
,-i)
1 2\
__ _ I
3'3 )
2l
3'3i DÉ,-i,3)*(
d)[.'''*;')
0 (0,0,0) g)
r4J4Ss
485
s) 60 u.v.r) 15J485
2
Sequência II
,. { 2.1.1) re rR *
t3'3',3/
-+t-
z. a)p =(zsJí +soJ1,-5-
+
4. a) AC=(0,3,3) b) E(5,1,
'{; -1,1)",[3,-i,3)
6.9 zJl b) I c) 8
i) (6,-3,0 ou (-6,3,-o ,,[*,+,+) r) (r2,-6,1s)
( 8'Ja85 14J485 rs^Ã5 ) (alass
*, f 48s ' 485 '-;8s J"" [. * '
rsJ4ss )
_- I
'485)
p) {4,2,4} q) u,a.
so"lz)
-+
0) ic) CG= (0,0,1)
b) i =(ou6 -tzo, - 40)
-+
d)AL - (3,2,0)
4'.1
Q\'
w§
eÇ
eç
%
%ÊÇ
er
ۋ
ggi
eã
%
@
w
§É;HH
v-
wuk
G*
é
€
t#v
ú#
@Ea
sí
@
@
@e
é
é
é
C{
é
ée
é
i#
év
CJ
ü4
é
é
ê
*
7. ç-(I,1,1) f.h-@r.r. 9. S =1u.a.
r0. a) s: 6J2 u.a or u(- :,1,+) ". r(i-i,-i)
11. v =T r.r. rz. y=2 *.r. 13. y : 4 ou y : 5
u.n(2,2J1+L z) 15. D(1,5,2) ou D(1,5,-2)
.:I
:é,
brort
C*t---
;1t,.*- -
lY/oq / eool
üt.\-o-. R.S,,
r'\cu>\c.,iro
oJo*--
!r=riç\r--ê.-- 
-}|J.-^;t,.o. hl--i,.-- ft
?.?r-i-.r.^- J
Q,,r=f.'---d*=
a- pgu-r.o. , C\o.>>^+:nre tvn §r\d-€â{ü{o> G>\r_:.-t...Xo-
H
:ílê orr\t.>-í,n§ pk-O
a>
6LD
AD
:§tolo L
.;
r
?
à
bD Hl,Jç,JD e6o LJ ü'tctoàr\^s
toi) bAs t-cT,io
e) á*Hã
Z
4',
-.P
,fe a;ô LI f"t*
§ o'+-Íqo
âÔ5
HF
a;3
ú*
L O Po(" OC rlÍ,orr > Cotr ',ruo-"rr > t
\,
fr :ÃD LD ü*c{od*'t.a" fiqi),pocL'tt gb1t g6.nkr''cx'õ
\, *r'.-r do: .úrJa.L : dr, fft 'it l' ú-i
o
a1""
i
go'
{.) AH íÓ t H f f,6o L D §o L'I . fisi> 'Õ(b ,Jdo *'o
,),
I
l.l
1+) Gfr . e ffi ,.e Ggro.=a=t , 4ol* . ü60 =ác cophver" F.,,
orrrr>-ero do*
Q),ff.eê . Êfi. cÃ- Lf 'ü.,tclod-ctrÕ. §16' h"- FF,,.uit,'ctôâr oL
rrl
-1-- 
Çr" {r*.,o1 rofv*t c, lrrÍoY*>
.4-«:-;'
íü.íÊrÊê"d Í:*t,o
\^Âl>-rÍ\O glo"<*r
\i t&O \§â
fÕ^y. Cnv,.!f i ns-
fs?Gfl
€-ndo. LÊ )A fe
€aleo . fi'* fi'
â^) É'*ta rILl' = CÇ? * ertt.)" Jrt&Crir-o
( t* rrrL)'
"r") HG = GH 
-rE; 
lror. -J;- co?ivqo._1r>
.4+_,/ 
^Ld- 
./
Ã
J) Ê=e*G
995
Z J.u^çq," 1aá.s
o-) .il -, ..ás b)
L) [J u G,-2,4; LD
Ü, cA,o,d)
*rr.) ff,3 , Cv,4py
-ou = Lb,b,'e)
il, ü.t '.'áD
LD
42
tL L\) -r14s
,1]{a,'1, e)
â)
,Ú= af
d),? rd
-DJrÔ'"O
LD
d-=o. il
ti
J. Q.(rt.nir.r.
o,) cil-Ú+oi'- eC?/-J,e> - (b,n5,' à) *bt3,G, o)=
(?, tô,o; 
= 
(4-b*9r 
-e -b+ tB, 4+cto)
+IC) S , À=Cr,o,-Z) t r? b= À+ t
0= (t,o,e),(L,-J, u) = (q,'r,4;
(4,-2, 4) -{t,*9,-r) +
= 
(ô, lr,, â ) d. Bí+ tfret
(e,-tlzr3) c
LJ
, c) H,, gt'Jtia; Ê =.f H " f ] -! o-:L\-a
H --(r,1,-ll2, l )
-at4 1 
-t.-z/
-n 
-oÀI.\, -- J
-$ 
-O
uuJ --Ô
o*".r[á\
\b4 /
{. Çaal.xa- :r- for>iirr {
a,) ü- co*b a. d--Q,-a,4) ü . 
+.ü
to) ü c-o*.u. dL E= xf u çn:ao:rt
c) d G-.b- dL ,3, õ:-- o. [ü
d) J a"-"b. &. .il = *i u fo>:.'ürl
r) f qo'.ob. d.f .-e(q,-z,a; -- ü -- o.3* ddc
+)t co-nb.üiluê : nÁtlçu>ai::.rt
â> ü c"".\D- iü.ür -- ..r-ufsoasJrt
Ê. Dr,Íct*rr^:*r
o,)rffloil.ü
t tl= Cg,-J,L) Cb 5;a) =(o -b -4) = -t
b) Ldl uü'
lrt--'l.k'fu;
t. =C ,-lu,r,
c) G,,i) 
"cü,ilt)
rf"il= t,fl.I+lc.">Ct,f)
rür ={6.Çã*?='f64'
: j tül=g
--ôC) O LD,
+á) 
.É, ü, Cr,z,b) u C C,t! )
?6§ L. j
4" t+4
r-
co:CüSl=4-. .G-
r[ê -'' e3[ã 54
oeu
; =ZÍ'.,,:rG =í(e,-, ,z> (5-t= \r 
= 
ra\ u ..§T*=,à=({h'fr'H 
,f, =/tp- s - 4 r ./ â ,õ -r \-
1rr J,,r"r7= ü6tr (F tr ml(É ffi'G?r-
d) ô +o 
_L+
d.f .o ü"(xry,ê)
bX+bY-LQ =o =) $=
-)%$
lffl=tle t*C-l)an tt'- 3
É ,8ht
.ü= Cc,-J,a) fi = (arr,-t,u,
ü= 6 ,rr, Lu,-Ç)e a3rnT,.t
G. ( B,b,-a ) Cx,v,á)C 6p,-Z) :e
nx+5YT d--6,r,u*')
ni=,rurr (m'fr'É) = C'*' à)
+) ?*É 
.
{"jü-:);.'(:';''{á'fr '» ffi 'fu " )
r,Jr 0mt+a /
Itl =r[rT-- f4-ü u? = (,fu fr . "),(fu ,.fu .)
,il= 
" (fu fu, =(o, o,o Í,=
8) (t-É )
(jYS) 
= 
(0,6;2, (rru,.k ,+-?Ã=F =(L,+ e\
tfft \: b e/
',e)= (q â-â)= +
(üS)= ttb
Co,* p )
Çr) (= (t/a,''b,'rr)
1ov,'tr-o]vio a il
@
ü'* tz-r e''= {Ç41
. 
f iF
erG
t.
:L)
d t"t tt."o- $ 66'rü>:E.Íã -err,Tido
Fll 
-n
o.- rÚ- Ítrn err'Trdrf, d^yU$t
= 
(ro,-j, G )
: Qg, D,-6 )
tu3,1&l=?
d=tf , te'n
t--_?_. 3b
L> o ?A-
t at, cr-
d = ?(e,-J,a)
ó3=-3(c,-J,z)
c."o)
=J-a
4
r) d= : 9, d, y eáD t3-c{.. oc = Goo p =45' ,\dl= lt I
ldl= {AB
d= d ldt
d= -(,cor*, a, Or Co, s) = Co'60o, co> Qb", cos Ê ) = (
Gc(6oo+ co:t45"* c,o,ts= J =) +-r ? * CDte =J
'Ín)
+, %,
= 
C-o:"g
Ça>e a= != cê)e = à ír="-j G"= ( lr,V, t )
d='t-48( t,y,t)= (q,8, B) = (â*,}ot,U*)
il^t 
= bo
t= (a,5,-a) ,f,. (t,6,o)
Irarí
I n u -e l-- o -6f *tof-(ra{.+o -rz L) = lzf-aá'*.lbi' Ú= (rq-6,r8)
ltrol
üo rü, útG.t rm;fCr,<r
lL*n I
I e -t c I = Zu +{0J*O(- (-grí.-4d+rou) = -bil-ta}". rrf
\,s.b:e I d=il*#= c-ô, 14,rô) d= q = f @, r@, râ@,\
ldl- ümB ldl \ 4bn' oeb ' 4aa /
t)
Ê
r3v
oeE
ô:,(r/e,-lto,%) as Ca§,c.) ("*,;L), o :>(Jal=rL?=síz
#, 
= (!3 ya, *., #. ) = €, .+, % )
*' (\' -f, , %), t, (r2,.%,y
O)' U'.-* bo-ã,r o.t{oq5,1='o1 lq,, lzr+.r)
(-1 
,*s, +5) fl= f i t? ( o,b, c ) àa
l, 
-r z I
l; ; ; l= eoé-c^i eo-y -zclx Y A I 
-
Çao -
-Dó&;t r o..
tdl= a.oa L-6
'l-rT ,fa
l.) 6- 3, C:J
)O À=J rY=.arb:
4-l*z-2.:7
!b.*4.e 
-o d,
= 
lü *lÊ (
| .ru -',, Lt? l =
I v,ro tv.4 íclal
T'C \
-4
6 r,4, 1) 
=y
(vr 
'o '
üzlz)
?A-*+Ly-?x-Lv
ba>r [s>i-h',-E-
*t ( L,-J, z ) 17 ( t, t, t) 43 ú,o, z
:D _ '4 
-tt -f)-4»P)d=Z dxÚ=C ol.ü=-Z
dril f= tt tái t' rill
tii= tãflrülco)o = ld*l = -L.=
à, cô.'i> =t;.,C"iü? 'fb"3*
Grcco> (Éur) d='s (.,r,*)
Ç) Àr,^ a, A Abc dil=d, É-3
À' \ls* Àc I 
= 
\Éi-l ;
)t L (* ,o,
- 
.-oÕY-dr *t =ú
( r,Y,B)
'+ãa r :) A.-
+ê=7 bê -tx
, ll;: t
+ tou) :
l=
46,.1
!ao=. posil r''I2-
t= l4l = g=-e\Ú) e: '
-= '4r+?i4 d= (-4,e;4 )
L
f,= ce,-.1,e)
'Ljyr
Z.J Z
b b -e
Z
ü-- cvJ,5,-e)
'ôf + ,€*r6P
Ao.'l@
r.o
§{É
r) t {'.i, x]
I n'-t] t
/.-t L
lo a'a
loor
U=? A0.D
)
2-r z
Ê â -z
56o
i
l=
Ac
l=
,1,-e) - (o,o,o) = (e,1,-e)
,o,b) - Co,o,o): Ce,,o,6)
Ç) Ê'=(o,o,r)
, LurÇr)+ (o,o, t) = ( ?u
, 
terX'
=(e
=Co
le'
(s
[6
-)Ac
lo,to +o 
- 
( (».6 t o)= Jb
, 
AD , fr,-ú, flt=(, o3=i
[n].{*i 
= 
rt
= 
Gt'6O 
-to +?4 = 6o ur/
u-- ü-rTo.[ qr * T.*.at:ur'.ps êô-
tndl 
= 
c
lltl = a
§L
+60-lool
?t?r"*r;-- lt-
J. A(o,o,o)
\-
O+6+lão -C0O*o - ?4)
J=6ourl
, OCa,l,-z) C Co,o P) d.T.*.'o.,,.
o§c
hoarTtiqo
d-à.gI"
Ak\Ab
fro=,#=6'
-D -1) 
-O5^. Aâ"+Âc" 
= ,à,t)
d= t G,+,à)
?. lra.r(ãnL do> lr.tç.,
o-) *= ü-*q; = (ur4b"+ {co,eo-- tÊo
x= ?oüí * Ytü'g
r= ü, .. tT- ü = {,' 45t É,- firn?oo
Y-- ?oüt 
" 
ôo* Y6 : ?oYa +5
Q1l5o
L
= 
lao,E
Z
?. Go Y.1 varlS ) f * Go Ya+$f
oí.
§os
b) )«o.^tf^-I[.
f= fl, - {,=
-o =r) ÃO)(- [-1r - l'3:
( o."o"- f,.
n=Atrro>?o - FC=
j o) d ( r,-z,r )
d=dr8 lr
l,
t_l-z
, b (-z ,4,L)
= 
- lCu -6d +4rt- (* 4 n * oa +rCi)
d= Gcq r'lt,o )
o\\-/Oãr-
t( t,-,,?) , C-2,4,G), (14,-te,ô)J
J'*.1or=^'ür t
-od='
dad í"(t , o, L) ,3
= 
(-l*o+6)# o
(1 
, 
?,a
. l,#ff
,rY,f"o (il.3>+o t'-çotriS, I
A0'=lo,o,{;
/eB^ffi lràK I
=(ã't'o) Ioot \=orI,oel É
\[d
.-§
AE
ãop)
f, çeo §á - r*) -j - 4.S
d\t
-L9
4e
b)
e)
3.d=-c'
(ü. N) 
= 
(r,op)(-t,L,3)
d= tf ... ,fl-u.3= o =>
*4ô-l ACr,tg) pcc,1p)
o.) AL
Ã8.[B-ffi
S. o -x - (e,4,e) - Cr,t,o) = (o, g,o)
Àü=Ad. lÃül 
=
ladr ", tÃdl = g ÃB = (o,o, r) (e) _ ;-ü 
= Co,o,92
ifl=6o,e,a) + Co,ô,?) 
= ü= Co,?,3)
b) be
*o
â: À+ |e
e =(,t,t,o) * (
e=(6, I'o)
Jco!-too=(oo-loc=- 4o
L
tzoS-llo. ooVt-.[rcL
?.4{- ref *o f
+o +o -(o *o +o) = ?i
âC?,o,o )
\ . t [8F \ÉS\ = ] 
"' 
Ã3= (e'oP;
ô
,Ç
ôôÊ c) AT , çt={e}b
l,
EL= E- EF?
e-f = 3 (o,3,o)2,J
C = Co'c'o)
E
4--< a.
FL U
L= e t eL =(6'l,o) t (o,eP) =
Ãi = {a,t,o)-Ca,rp) 
= 
(?,e 
,o7
cã *"frts,É, ÊJ
d= o.Á$*o,,{t * t'ft=Co'o'J)
b. C. .'-.' to-.=',go Atco A C{'o'z; ' lb CL'-t 'z) É- n í=L-l'z'z>
à ü" tilfr" q,ii1';:i:,à, l',iJ"' rÀ?r='rá
i^gf "rrôr=I 6t'\'l&t-= 
tril
Í{=C r-r, et +J, aT)
(t,e,o)
Àü = (u,c,o)
d)
A b
t6ü\=ílt= §l ,{üZi f= a=(CTe+ertt)+(4rzt4r'r)*4ra)
l= :.L+dTa*6rz+ eT+4T+ttt = 
"r?* 
Ll =o fCqt+6)=o 1-- -Çr1=-t',
Tl=o;12'^-7/z
ü = t.rr- r , z.trr t,.,-.) =(ã ,-ry, - gr) = (OE- ,r,- ab)
o?= (-rz, ,-1r5, arr)
f " ho 6L = (1,-t,L) * (-4,'rrr\) =
'=(ub'- \,"e)
-'1 
,q ) "(ub,-â, ç")
D= Atboe.'= (r,o,e)-(rá,-Vzr4b)=( r;r ,'',",rá)= ( zro,'15,Çr)
D= Gbr'b,?r)
G. Í,tl=e 
, 
lfil 
= 
4 Cd,t ),Go
o->l^?+ffl Gr6,t'f)=íil, += # " fl'üf=4
I1"= !r-. + x? lÊl lüil 
r- L'
4=hLt J í /H.frd 16o.'í\"= * * (t'Íl**)etTo 
\il*'J[t* 'à* ( 4 *'I )L
\il*il,lt" ae lt*;Íl ' ?f,7
(%,
a
e o
Err r. 6. á
e ôob) 1P..-ô5 [= trÍl rr,i3l co> (ffn;= e.
c) il.Cil*t) = l,Ítt*,?.d . lrÍ\z +
]Í(il+t).8
Y) d=t \út=[í
v (o:".r-t co>Zor-*çor1L=J *r'u= 5 oo)oê =ià A5t'r{o + co} ôa= üt=(ü,ü,h) t=,r?ril 
= 
*(*,ür,à)= (r,,,r) f=(r,r,r)
8) Arac A(r,oF),bCg,çr) íL,=(Wr,o,Yrr.) wrr.
b ü= G,tl)-(r,o,L) = (2,1,-J) \Ãü\= rfá
i[-õ-e 
tÃôt = *o É =C^ê.ffi) =(e, r,-r) (q,o,EI = (trâo 
-E)= E
J.{ = JL
{= 4+ 4"b
ffi= q(q,",vâ) = (+,o,à)
ffi 
" 
eü* úB = Dô = Ad-ÀB = (2,1,-)) - ( l'a'o ,lr)= (ç ' r' '?) = ( e6' !''e/z)
a
Ç)
e
1o) Ao,tD tAe
fi (o,o,o)
o) ArrX,-
aflj6> d,, u-o pcr.totr-ttggrà.c 'ü-Íc^-ó'À-to rJ = lZrrrf'
c C4, r,o) l&ç %,o, Ér.)A 
.f,f 
.=C4, {,o)
At, lltsl#"= tía
I C.,o,L) x C4 rl,o)l 
=
bgt?rt-tt:c-a,a,z)
À -- lnrl xl c[ '
\l*:l=| 4t o t
(u1 
,o,V3 1=(z,o,c)
i** '=r"z= Gü'z tr c-
ú.:
,h)
oÔs
IZ
-t
É=1
broco [Él =v 6ra,rn?i
etaÃtrÊ = Ãt"a{'t,B,L)
,.
f ;l:fre'fr-'ffi)
'Ê=§z (,y,-E -L- \í v LZÍa'ãt' Er)
r*i - (* )'
=(9 
'o'Yê
(r-+,", U)=
L=L
4,-z)
,-t )
/ú 
' 
o,V-t 1\z z/
. t-q) 4
!LAÔ,TC
G
. J.-3
.168l=:
JI ?-uhtg,p.dc -aLY,6.^uc
q) ACz,tp),cc?,2,o)
u= l[ü^At l"lpêl
-o
AO
G:t 0.. t co§Y + G>zô- +to*o.,J a}g= J -J
co--b= o co>$e..6''iÍ
)
j L/Z
A*E" = (cor*, (or,ú,yCorK,
( 
'r'o ' 
Lr): Ú= E (€,o,vá ) .
. ü= lff^ffl,r#l
lràrl
| ,,. o rrt/= à' -lr r ol
F?r lr*#1. (r,r,o)
|(4,o,9)Ü b(-a,4,1)
D (8,-J,o)
lÉ I = z,Íz
pt,
o. 
= 
Y= 46'
ü" = tq,o,"+)
àfl- lr= (lr, Lr, Lr1 t= = E.3= ?_ú *,tZZ
Ad' (- tz,
ÀÚ=(-t, -:
ü. aYa
uÀô,o,
= Cz,o,a)
-Oa
,APJ = Ltuuu
-tz
L
-{
1z
oe
-t -9
3
a
e
e ..:.p
etÊ
\,"l)a't'
Y
?r. tL \- |r 7/ )t
I 
-'. zy: tz-)-J
7
l"?,í*^,.,
íB.Co? r Õ8
( r, Y,a , (*r, ,-
-9 + eY, lt?7?
=1
7
14) e nê-(1. ,tâ, L )
h.ào- tÉ [= U
ê.§.5 o?=&,q,»
ot.6o' 9- 4D'
co:ot . \l l-!.
o( 
= 
À{prto
i
Zpà
Éâ. Ce,-t,o)
Af . ('t,0, -JJ
r d( 
IL -l o | :
-,t o-l I
r= It6* lÚt
íat 
= 
4úa
3
a
!
a
broc» 
- \íi ^ í&l = l( t, z,-t) --,[í
t-f," ta= C t, ?,-!)
AbC êq,ri\otur o
h=(i,E'
'ã)(il''F."É)
l"+rla'r--T 
- 
af'eZL
h_ 
= 
.fá (t ,íit ,I \ ( L, z. , -J-\ -\u ' L Ll \tra ü-a Ya)-Í=-4 Lo6o Ãt = ( z, züq a)
16) rF- ACo,o,o) ffi'=(r,o,o) Co,(ffi,[8)=+^.ttqr>B DCt,5,r) At"=(1.,o+,") 
,-_,' 
\Ad, tÀ7 I
c p3 n?=a 
tFê) . \ür =\,ril ', = t,S,. \[6\=4
ôVr
a-
oO \,
trl
r I = aíl
-
a.J
T=fzIt
,
0
V 
= 
grÍ3
3
*,[ ?
ftava
\r\= z
a,
p (o, t,l)
DÚe ,o, t)
eC-J, \ro)
ü-_AúZur-t
4
h=lhod,n" 
-\= ÀiCABrÉ)I " CPD^rc) f
A? =(a,op)
Ê?= (z,zq,o )
â.f,"-e 0=(t,83) ou D=CJ,El-L)
{-a sfosTA\ i
t':ra& y 7,Ê,
á);
,) A(o,o, o)
B ( z, t,'z)
c(o,r,5)
là' (2,t,-z)
É . (o,o,S)
/.r (1,+ ,'*) r
tíàl: {41lraa =3
/ÃZl =t/;;;;Et-5
T-erE
T(o,o,t).r(3,+,
AG" .. (+, !,_ S)í"\ , (o, o, !)
Te lE
.) à í*tt tçV, +s) í-4 "€
*(q"o, -Çorz)
(o *+r{? r 1o{í, 
-A, * +s - t:.à)
(+srS t1o{^zt 
-S -toÊ)
r
I
t1 : (l,oG,4o)
ír_ 
= 
(t"v; ,-,ro) 
- 
(got?, éo) .= ( o, _JrÉ)
C t(-tzts, oS
.--p --? 
-)li r ç r il .= (e"r3 to -lzo, Go *tocs,r), fuut-tzo,-ku,
("4((, ^t8,cs{ , nsÇ í'cts)t:vn,)
".)
I ''!
!tJr/-.
b) tu
f<t,-,,
-)-)là xl
-L s ILttl
?oçsívaL
-r), {-2,4,ú),
-t
- lzi -,(éã t
.:)
L\
-)
,-)-)-)-)
.tk-lk 
-tLt ._6,1
t' , (,,o,7)-7-t,z,s)
-"(**,1 t*tgrtt)
= 
-l ll:S *O t,,ttêossr-rtL
€ lBl= s
( <r,,no)
,1 ) A (z,r'o)
a (z,q,o)
fr ' (P,o,t)
§B , (r, s,r)
iB 
= 
(o,o,)
Ã? r?@,r,o) x (o,o, r), (r,r,o)
íÊ =(t,o,o\
, 
--7 
-\ -) ,It á' kl
ío r o Il" ê 3 )
--2q; 
=(j,o,o)
(s, r,o)
t
*
-(t, 
c r-\r)
A d . o- íA r o. íZ + t- ;Z' Colà'*I)
6(z,t 'z)5)
( t,qt) A
;Z I (-r, z, z*)
t'3,(t,-t,ú) trtl=Q
l,til, lttl= /r,i)l , tn".b[.
lado
C-=
Q.: A
Ã' ,.u? 
- 
(l
C
LuStuÜO 
"
n7 - 6L lltt<
(:) 4 ,'l t lSt t,ti 7
^'^,LvLo 
Orl n ,
-+)-2/B<-=(
--:>8 r 6<-
á
.t- Éé .:
á) t,i{,2
l,õl=q(t;,,fr),ea''
= 
4.fl
B
isa,i,,
t fil<, hz n xz
\<-\? f !
h 
=3
^) L)*,b*o;lf --t;t.t,J,l.u-,,(Ã2.,i) 
= 
?,4 L = J
1 ) Lo,,d- , cu,'d r àn»zar =l
1u*ht : J -1
'r 
-r 
Vu
l,q"d--'a
t,» a":1,1?t u)^4o dJ
Í : - --\
, (.5, 5, ?)
(i, ,,-z)r, -,)
!Ê tfrl?. h
. -. -+/lI l-< l-tn/I 3 5
-) 2l IltÀ +tul =
'r7t'fr1 'n)"
+ (a rt)z
") ,Í. (i *,1) =áâ':)Ã'. Lr' + ú' .uú 
=
( r,
â-G
Z
ZB
,6&ud)' t+dz{i
J
,J'=lr1- ür,
..,
v
l,t), É., .YE),
,l/G(
rJ)
úJ
l
s) A ( t.o, z)
o(s,!,t)
í8 , (2, t. -t)
tfrl"'t?
tfrL 1*ó#l = (í3 -
fr , ráéI í3'
fua r(+,r,q). o;,
í;').-- (?,(,'t)'(
, (2.i9,o,G\2 \z z,/
.§
L*,o,9)'
= ( Lz, .,L)p
no : (2,
lo-i I .
,l)(t ,o
I d *.t.
Z
s
t
lintil- ZúV
-J- I\ r-1tt
.§T*i'Íiry'*!r'4
* r'rt*Íâ.8 *"à;'í 
^ 
ti{Ll'z
.é//-U / \- lQ-l=g
F * éu- { í5 --) 
-) .zt/+- {f AO Ac :>r->
tet(nÜrac[. )-1: . )2
z.S Z
..4 -a r í--Tl 
- 
Irun(tot Ác ). V ,-i = Z
5 a 5 I Ã3+i-à1, t.íà I " tíZt' ru-<"i' ;Z)
(-
\)O)a,- 
_ 
,I 
.' t/= lZ u,t/ 
-) /.,
-f 
n" .' / r t At'L'l'l'o)4 (o,,-,,c:)
c(tr,t,at) till. l*-a#lrCr,t,r) (8,,,+)=z(iiít-'($,",$\ Ã; = tí,l Ái- =.n(8,u,ú3)= (z.o,z)
*) sno.o. líl^ ÃZl= I (2,o,.1 ^ (4,J,a)l - {Ç;á,1;,í-r = [.t-V=6\Í7 ti.c.
- 
-? 
-rt
l: : ,*l= eí rzÊ -.? = (-?,8,2\la t {) I "
't 
,? I t,/ x) aa.riPr'ult't n = 1;!)D 9 oo.. " I ie I '= V Ü3s: {2'1'1^LçP' ?Çc
éu'l .t^êl= tz íl t' ^t? * ^Z
r^?l= .!-z- = tZ{z = íz ií rr ('-z'8'z) ii" ' (#'?à'-h)óú-c- tL í; , 
.{u 
_( _-i{, , .t* ,*)=[:,::,a])_l ;,
;Z -- 
-q{+ , -.8=., -_<_) 
=l ( + , _ f, _J\ I\qz ,-r, T.íZ ) L_-_:--. " _i)_ JH*__=-
J J ) p.Aatucr,íra r>r) er;rí*6uW
t ?, l 't c(t,zP) d = \ = .su íE'- =( g'"'ç')Ug 
-)t - La,tt.irt"nlç1r_.-Ly - IÂ $ r3Él=s ((Í).t(ott1,, (g)r.t
r--)j
v=l*,o,t)n(t,r,Qf , s tail , lr*^§l= (,,t,o).(8,,,g)=ry
ti i"? l 
-.i t )Ê .r 1, .-/- .\ r{à =tt;Jl ià' = E( $,,,*) -.G-,,,L)| : oo ,/z l= ! i , 1Ê L1' "(.1,1,)) .t^") tI 1 ,tl
V:114+tv1 tf y q I 3 =VT stZ :-c.Z
,r) ,,n-
PiT-
a\-\
Ác
4=Y'\So
a o^ a.estã
A (t1 ,o,t)
s(-s,q,) ô ' Gtz^ q''4
oLt,-t,o) Aà '(. t,'t, -=)
1aiJ, zv'z 
:Z = .G (+,",*)
aú 
= 
(z,u,t)
6*raioc i:" 
= 
(9 ,., 5)
V,.o. t f ov,d-z,oàJ, 
* =?,"o
-zl
., lt : lo -a+ Q -ztr + z,l , t-rl
-, J
I -tz q
,1., a
/-!-í
?
lv*J,,1 l= J-I Gr, oíz)l t
..§oa 
-(;Z ^ íZ)" =*
( t,/,r). /- 3 -z'"''\ 7'-+'í)-*
+z/
l3) 5oo.
l7) ílz-ol" 3
= +lrà^ozl'+"
"Ê, _,t l' e *'- si "-tí -(-s,-e,a)l./--i-) t V qrqnrV 
=7
-? t 
-) -)ld03. -LoG xoc) .+(t,r,,).(+,i,_{)=L
rt T
-3- t- zl 
- 
t, It "i- --:-* 
' 
J
\ e^tq) lJ- .l,/ ,/ta*- --.--.-..ÍU / t1(t't)'t) Ê"'(+'g'!) ^-4o" P=rs"
c (-t.t,a) lc,ta tÃê ) , r ,,.t' .,1[1- 1-{ = l,
rt.(7,1,o) v=\{ttr'y'' r'tiJ í7'(E'oi,t) 
k 
" 
,nl"-r,
dZ , (-1,u,-t)
ÇAo.D= l;à , 
,oZl 
= | ,,,r, -tl - tté l" f n*drflrr)l= * "AZ -ÊI
l, i, :l= ? -; ..i =(t'z'-t\ L,'({,n{,E)'t+,+",-à)l-r ô -t I
-, h =,Yí, (r, ry.,+ ) (*, k-,*) = r, ú.r o -! = tífz1/: I ao n ac l.
fz-rztttl-z- ,-.'f:4 to6o A? =( z,za,z\\
colo 
€,Ât/rÊ =(r),,,r)I (2,zra,t) [Ç= ,.a-'rf)
s) 9 l(o,ts,<;). A-6'o'(t'a'a) út'QtZ,r"1.)= 8r--'._-^ a(t,s,T) 8,,(1,r;.,r) t ,, tÀ?,nÁtzlL.8W Aa. {2, I t ai l. r^zl , t 62l z Tni, rràl ' Lr
Asc ePt w'roâ {i , (q,o,o)
$
a
.?
-rÉ-
7
8,G
-5
.LI
íZ , ( z, zr" ,o)
'ly ool,n ,ll : '+s rl
ll*{rl 'ry
lflrz f..LL úrurõ g.-(t,s',2) í)v o.(t,s,-e-)
â'
t
r