Aula 4 - Flexão Simples - Lajes ABNT NBR 6118/2014

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Lajes
Aula 4
Prof. Carlos Henrique
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Lajes
INTRODUÇÃO
Na teoria das estruturas, consideram-se elementos de superfície aqueles em que
uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face
das demais, podendo receber as seguintes denominações :
- placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais ao
seu plano;
- cascas: elementos de superfície não plana; e
- chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas
em seu plano.
As lajes maciças de concreto armado constituem estruturas laminares, tipo placa.
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Lajes
14.7.2.2 Vãos efetivos de lajes ou placas
Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à
translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:
lef = l0 + a1 + a2
Os valores de a1 e a2, em cada extremidade do vão, podem ser determinados pelos
valores apropriados de ai definidos na Figura 14.5.
Com
onde:
lef vão efetivo da laje;
l0 distância entre faces de dois apoios
(vigas) consecutivos;
t comprimento do apoio paralelo ao vão
da laje analisada;
h espessura da laje.
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Conhecidos os vãos teóricos considera-se lx o menor vão, ly o maior e 
 = ly /lx . De acordo com o valor de é usual a seguinte classificação: 
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Classificação das Lajes
As lajes maciças de concreto armado podem apresentar:
− curvatura em uma só direção (Lajes armadas em uma só direção)
− curvaturas em duas direções ortogonais (Lajes armadas em duas direções).
Quando a laje apresenta curvatura em uma só direção, seu comportamento é
idêntico ao de uma viga de larga base e pouca altura. As lajes com curvaturas em
duas direções ortogonais têm comportamento de placa.
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Lajes
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Lajes
Vinculação das lajes
As lajes apresentam as seguintes condições de continuidade:
• Apoio simples, onde a extremidade da laje é considerada rotulada,
transmitindo à viga suporte somente cargas verticais (reação de apoio);
• Apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transmitem somente cargas
verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e
• Borda livre, onde a extremidade da laje é considerada em balanço.
Convenção.
• A borda livre é representada por uma linha tracejada.
• O apoio simples é representado por uma linha contínua.
• O engaste é representado pela hachura.
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Vinculação das lajes
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Lajes
Quando sobre um apoio comum, duas lajes contíguas apresentarem diferentes 
dimensões, considera-se o engaste no vão maior se este for igual ou superior 
a 2/3 do vão menor.
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13.2.4.1 Lajes maciças
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a 
espessura:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem 
considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional n, de acordo com o 
indicado na Tabela 13.2.
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13.2.4.1 Lajes maciças
ESTIMATIVA DA ALTURA DA LAJE
Para o cálculo das lajes é necessário estimar inicialmente a sua altura útil. Existem 
vários e diferentes processos para essa estimativa, sendo um deles dado pela equação 
seguinte:
d ≅ (2,5 − 0,1 n)l* 
onde: d = altura útil da laje (cm);
n = número de bordas engastadas da laje;
l* = dimensão da laje assumida da seguinte forma:
𝑙∗ ≤ 
𝑙𝑥
0,7𝑙𝑦
com lx ≤ ly e l*, lx e ly em metro.
Com a altura útil calculada fica simples determinar a altura h da laje:
h = d + l/2 + c 
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Lajes Cargas Permanentes
Piso
O piso é o revestimento final na superfície superior da laje, assentado sobre a
argamassa de regularização. Para a sua correta quantificação é necessário
definir o tipo ou material do qual o piso é composto, o que normalmente é feito
com auxílio do projeto arquitetônico, que define o tipo de piso de cada
ambiente da construção. Os tipos mais comuns são os de madeira, de
cerâmica, carpetes ou forrações, e de rochas, como granito e mármore.
A Tabela 1 da NBR 6120/80 fornece os pesos específicos de diversos
materiais, valores estes que auxiliam no cálculo da carga do piso por metro
quadrado de área de laje.
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Lajes Cargas Permanentes
Contrapiso
A camada de argamassa colocada logo acima do concreto da superfície
superior das lajes recebe o nome de contrapiso ou argamassa de
regularização. A sua função é de nivelar e diminuir a rugosidade da laje,
preparando-a para receber o revestimento de piso final.
A espessura do contrapiso deve ser cuidadosamente avaliada. Recomenda-se
adotar espessura não inferior a 3 cm. A argamassa do contrapiso tem
comumente o traço 1:3 (em volume), sendo considerado o peso específico
(contr ) de 21 kN/m3.
A ação permanente do contrapiso é função da espessura (e) do contrapiso:
gcontr = contr . e = 21 . e (kN/m2);
e = espessura do contrapiso (m).
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Lajes Cargas Permanentes
Peso Próprio
O peso próprio da laje é o peso do concreto armado que forma a laje maciça.
Para o peso específico do concreto armado (conc) a NBR 6118/2014 indica o
valor de 25 kN/m3. O peso próprio para lajes com espessura constante é
uniformemente distribuído na área da laje, e para um metro quadrado de laje
pode ser calculado como:
gpp = conc. h = 25 . H (kN/m2);
h = altura da laje (m).
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Revestimento do Teto
Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento inferior) é padrão executar-
se uma camada de revestimento de argamassa, sobreposta à camada fina de
chapisco. Para essa argamassa, menos rica em cimento, pode-se considerar o
peso específico (rev ) de 19 kN/m3.
De modo geral, este revestimento tem pequena espessura, mas recomenda-se
adotar espessura não inferior a 1,5 ou 2 cm. Para o revestimento de teto a
ação permanente é:
grev. teto = rev . e = 19 . e (kN/m2);
e = espessura do revestimento (m).
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Lajes
Exercício: Determinar o carregamento em uma laje de edifício comercial. A laje
terá de 10 cm de espessura, contra-piso (argamassa de cimento e areia) de 1
cm, acabamento superior com tacos e acabamento inferior com forro de gesso
com 1 cm de espessura.
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Paredes
A carga das paredes sobre as lajes maciças deve ser determinada em função
da laje ser armada em uma ou em duas direções. É necessário conhecer o tipo
de unidade de alvenaria (tijolo, bloco, etc.), que compõe a parede, ou o peso
específico da parede, a espessura e a altura da parede, bem como a sua
disposição e extensão sobre a laje.
O peso específico da parede pode ser dado em função do peso total da
parede, composta pela unidade de alvenaria e pelas argamassas de
assentamento e de revestimento, ou pelos pesos específicos individuais dos
materiais que a compõe.
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Lajes Cargas Permanentes
Laje Armada em Duas Direções
Para as lajes armadas em duas direções considera-se simplificadamente a carga da
parede uniformemente distribuída na área da laje, de forma que a carga é o peso total
da parede dividido pela
área da laje, isto é:
com: alv = peso específico da unidade de alvenaria que compõe a parede (kN/m3);
gpar = carga uniforme da parede (kN/m2);
e = espessura total da parede (m);
h = altura da parede (m);
l = comprimento da parede sobre a laje (m);
Alaje = área da laje (m2) = lx . ly
Para blocos cerâmicos furados a NBR 6120/80 recomenda o peso específico (γalv) de 
13 kN/m3 e para tijolos maciços cerâmicos 18 kN/m3.
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Lajes CargasPermanentes
Não se conhecendo o peso específico global da parede pode-se determinar a sua carga
com os pesos específicos individuais da parede, calculando-se a carga da parede por
metro quadrado de área:
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O peso por unidade de área de uma parede rebocada em
ambas as faces pode ser representado por:
ppar = alv ealv + 2 arg earg
Onde
•γpar = peso específico da parede (kN/m2);
•γalv = peso específico da unidade de alvenaria (kN/m3);
•ealv = espessura da unidade de alvenaria que resulta na
espessura da parede (m);
Lajes Cargas Permanentes
Para materiais componentes de parede, podem ser usados os seguintes
valores:
tijolo de furado.................................................................................. 12 kN/m³
tijolo de maciço ................................................................................. 16 kN/m³
reboco ................................................................................................ 20 kN/m³
A Tabela abaixo mostra alguns valores de peso de parede. Nela foi 
considerado reboco de 2,5 cm de espessura por face.
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Tijolo 
(cm)
Tijolo 
furado 
(kN/m²)
Tijolo 
maciço 
(kN/m²)
Parede 
(cm)
Tijolo 
furado 
(kN/m²)
Tijolo 
maciço 
(kN/m²)
10 1,2 1,6 15 2,2 2,6
12 1,44 1,92 17 2,44 2,92
15 1,8 2,4 20 2,8 3,4
20 2,4 3,2 25 3,4 4,2
Lajes Cargas Permanentes
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onde:
gpar carga uniformemente
distribuída, devida à parede, por
unidade de área, atuando em
toda laje, geralmente em kN/m²;
ppar peso da parede por unidade
de área, geralmente em kN/m²;
lpar largura da parede, em metro;
hpar altura da parede, em metro;
Lajes Cargas Permanentes
Cargas de paredes em lajes armadas em uma só direção
As cargas de paredes apoiadas em lajes de uma só curvatura se situam em
duas condições:
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• Paredes paralelas ao lado maior da laje;
• Paredes paralelas ao lado menor da laje.
A carga de parede paralela ao lado maior é considerada
como uma carga linear uniformemente distribuída ao longo
de sua largura, cujo valor é dado por:
P = alv . e . h .1
P = alv . e . h 
com: P = força concentrada representativa da parede (kN);
γalv = peso específico da parede (kN/m3);
e = espessura da parede (m);
h = altura da parede (m).
Lajes Cargas Permanentes
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• Paredes paralelas ao lado maior da laje;
• Paredes paralelas ao lado menor da
laje.
A carga de parede paralela ao lado maior é
considerada como uma carga linear
uniformemente distribuída ao longo de sua
largura, cujo valor é dado por:
gpar = ppar × hpar
Lajes Cargas Permanentes
Exercícios
Determinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura 
das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 10 cm, 
reboco de 1,5 cm em cada face.
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Lajes Cargas Permanentes
Exercícios
Determinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A 
altura das paredes corresponde a 2,7 m e são constituídas de tijolo furado de 
12 cm, reboco de 1,5 cm em cada face.
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Lajes Cargas Variáveis
A ação variável nas lajes é tratada pela NBR 6120/80 (item 2.2) como “carga
acidental”. Na prática costumam chamar também de “sobrecarga”. A carga
acidental é definida pela NBR 6120 como
“toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do
seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, etc.). As cargas
verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além das que
se aplicam em caráter especial, referem-se a carregamentos devidos a
pessoas, móveis, utensílios materiais diversos e veículos, e são supostas
uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na Tabela 2”.
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Lajes Cargas Variáveis
Parapeitos e balcões
Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma
carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e
uma carga vertical mínima de 2 kN/m (ABNT NBR 6120, item 2.2.15).
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Lajes Cargas Variáveis
Redução de cargas acidentais em pilares e fundações
No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios,
residências e casas comerciais não destinadas a depósitos, as cargas
acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela
abaixo (ABNT NBR 6120, item 2.2.1.8).
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Lajes
Determinação de esforços em lajes
Para a determinação dos esforços em lajes maciças de concreto armado, duas
simplificações são admitidas:
• Existe uma separação virtual entre as lajes e as vigas que suportam o
painel de lajes;
• A reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de forma
uniformemente distribuída.
Embora concretadas de forma monolítica, admite-se que as lajes e vigas
sejam separadas virtualmente, de tal forma que possam ser projetadas
individualmente. As vigas suporte das lajes são consideradas como apoios
indeslocáveis.
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Lajes
Uma vez que as vigas suportes das lajes são consideradas como 
indeslocáveis, pode-se admitir que as reações de apoio existentes nas 
interfaces lajes/vigas sejam consideradas como uniformemente distribuídas
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Lajes
Reações de apoio
Segundo a ABNT NBR 6118/07, item 14.7.6.1, as reações de apoio das lajes
maciças retangulares com carga uniformemente distribuída, em cada apoio,
são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios
determinados por retas inclinadas, a partir dos
vértices com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado; e
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
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Lajes
Para o calculo das reações de apoio, podemos nos basear em tabelas para
determinação de quinhões de lajes isoladas com carga distribuída uniforme,
como será visto a seguir;
• Em Lajes armadas em duas direções,
• Em Lajes armadas em uma direção,
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Exercício: Determinar os esquemas de carregamento das vigas do painel
abaixo representado. Determinar, também, os carregamentos nos pilares.
Dados:
- carga permanente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kN/m2;
- carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kN/m2;
- paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 cm, reboco
de 1,5 cm e 2,5 m de altura): 4,5 kN/m; e
- peso próprio das vigas (20 cm x 50 cm): 2,5 kN/m.
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Lajes isoladas
A determinação dos esforços em lajes isoladas pode ser feita por processos
aproximados. O processo a ser desenvolvido nesta disciplina será o de Czerny.
As tabelas de CZERNY foram confeccionadas para varias condições de contorno e
carga.
Os momentos fletores são dados pelas seguintes expressões:
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onde:
lx menor vao;
ly maior vao;
mx momento fletor positivo na direção x;
my momento fletor positivo na direção y;
m’x momento fletor negativo (borda) na direção x;
M'y momento fletor negativo (borda) na direção y;
p carga uniformemente distribuída em toda laje;
x coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção x;
y coeficiente para definição do momento fletor positivo na direção y;
x coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direcao x;
e
y coeficiente para definição do momento fletor negativo (borda) na direção y.
Se a carga uniformemente distribuída corresponder a um valor característico
(pk = gk + qk) os momentos fletores resultarão característicos (mk). Se a carga
corresponder a um valor de calculo (pd = g gk + q qk), os momentos fletores
resultarão de calculo (md).
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Determinar os momentos fletores de calculo atuantes no painel de lajesabaixo
indicado. Considerar:
• Estado limite ultimo, combinações ultimas normais (g = 1,4 e q = 1,4);
• Carga permanente uniformemente distribuída (gk): 4 kN/m2: e
• Carga acidental uniformemente distribuída (qk): 2 kN/m2.
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