momento de inercia

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Momento De Inércia De Uma Figura Plana
� INCORPORAR PBrush ���
Definição: (Murat, S.D.)
Seja uma figura plana qualquer, posicionada em relação a um par de eixos de referência. Define-se:
dIx = y2.da
dIy = x2.da
Considerado momento de 2ª ordem, momento de 1ª ordem é o estático.
Aplicando-se as definições acima para todos os da, e somando-os temos:
Ix = ((A) y2.da
Iy = ((A) x2.da
Pela análise dimensional dessas definições, teremos como unidades para o MOMENTO DE INÉRCIA: m4, cm4, pol4, etc.
Será adotada a unidade de m4 (metro a quarta).
Exercício Aplicativo para Cálculo do Momento Inércia:
Aplicar as definições acima para o Retângulo, posicionado em relação aos eixos, nas seguintes situações:
Situação 1:
� INCORPORAR PBrush ����
Situação 2:
� INCORPORAR PBrush ����
�
Cálculo:
Ix = ((A) y2.da (sendo da=B.dy
Ix = ((A) y2.B.dy
Ix = B.(y3/3)0(H
Ix = (B.H3)/3
Logo: Iy = (H.B3)/3�
Cálculo:�
�
�
Considerações:
Apesar de ser usado um par de eixos de referência (X e Y), o cálculo do Momento de Inércia (Ieixo) é feito em relação a cada um deles separadamente, Podendo os eixos serem quaisquer ou baricêntricos.
De acordo com a distribuição da área da figura plana ao redor do eixo de referência, o Momento de Inércia sempre resultará um número positivo.
Se, o eixo de referência for um eixo de simetria, o eixo será baricêntrico. O inverso não é verdadeiro.
À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da figura plana, o resultado do momento de inércia, em relação ao eixo de referência, aumenta.
Nomenclatura Utilizada:
Baricentro = G
Coordenadas de baricentro = xg e yg
Eixos de Referência = X e Y
Eixos baricêntricos = XG e YG
Momentos de Inércia para os eixos de referência = IX e IY
Momentos de Inércia para os eixos baricêntricos = IXG e IYG
Área da figura plana = A
Área infinitesimal = dA
�
MOMENTOS DE INÉRCIA DAS FIGURAS BÁSICAS
Figuras�
Áreas�
Mom. de Inércia�
�
Retângulo
� INCORPORAR PBrush ����
A = B.H�
Ix = B.H3/3
Iy = H.B3/3
Ixg = B.H3/12
Iyg = H.B3/12�
�
Triângulo Retângulo
� INCORPORAR PBrush ����
A = (B.H)/2�
Ix = B.H3/12
Iy = H.B3/12
Ixg = B.H3/36
Iyg = H.B3/36�
�
Quarto de Círculo
� INCORPORAR PBrush ����
A = ((.R2)/4�
Ix = (.R4/16
Iy = (.R4/16
Iyg = Ixg = Ix - A.(yg)2
Iyg = Ixg = 0,055.R4�
�
Semi Círculo
� INCORPORAR PBrush ����
A = ((.R2)/2�
Ix = (.R4/8
Iyg = Iy = (.R4/8
Ixg = Ix - A.(yg)2
Ixg = 0,1098.R4�
�
Círculo
� INCORPORAR PBrush ����
A = (.R2�
Iyg = Ixg = Ix = Iy
Ixg = (.R4/4�
�
(Miranda, 2000)
�
TEOREMA DE STEINER
Teorema da Translação de Eixos
Definição:(Murat, S.D.)
O momento de Inércia de uma Figura plana, em relação a um eixo qualquer, é igual à soma do momento de inércia da figura, em relação ao seu eixo baricêntrico paralelo ao eixo qualquer, com o produto da distância ao quadrado entre os eixos, pela área da figura.
I( = I( + d2.Afig
Demonstração:
Utilizaremos os resultados obtidos no cálculo do momento de inércia do retângulo para demonstrarmos este teorema:
Ou seja: IX - IXG = ?
Solução:
Ix = B.H3/3
Ixg = B.H3/12
Logo: [B.H3/3] - [B.H3/12] = [(4B.H3) - (B.H3)]/12
Desta Forma:
IX - IXG = B.H3/4
Reparar que, o valor encontrado pode ser decomposto em:
B.H3/4 = (H2/4).( B.H)
B.H3/4 = (yg)2.( A)
Analogamente:
IX = IXG + (yg)2.( A)
IY = IYG + (xg)2.( A)
�
Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas:
(P1 - 1º semestre, 1998)
Exemplo 15:
��
Resposta: IX ; IY ; IXG ; IYG�
�
Exemplo 16:
��
Resposta: IX ; IY ; IXG ; IYG�
�
�
Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas:
���Exemplo 17:
� INCORPORAR PBrush ���
Da aula anterior temos:
Área da Figura 1 (4º círculo) = 28,27 cm2
Área da Figura 2 (triângulo) = 13,5 cm2.
Coordenada yg2 = 4 cm
Área da Figura 3 (triângulo) = 13,5 cm2.
Coordenada yg3 = 2 cm
Coordenadas do Baricentro: G = (xg ; yg)
G = (0,16 ; 2,77) cm.
Área da Figura Total (AT)= 55,27 cm2.�
Resposta:
Cálculo de IX:
IX = IX1 + [IXG2 + A2.(yg2)2] + [IXG3 + A3.(yg3)2] =
IX = (.(6)4/16 + [9.(3)3/36 + 13,5.(4)2] + [9.(3)3/36 + 13,5.(2)2] = 537,97 cm4.
Cálculo de IXG (aplicando Steiner), temos:
IXG = IX - AT.(yg)2 = 
IXG = 537,97 - 55,27.(2,77)2 = 113,89 cm4.
Cálculo de IY: (as figuras tocam o eixo Y)
IY = IY1 + IY2 + IY3 =
IY = (.(6)4/16 + 3.(9)3/12 + 3.(9)3/12 =
IY = 618, 96 cm4.
Cálculo de IYG (aplicando Steiner), temos:
IYG = IY - AT.(xg)2 = 
IYG = 618, 96 - 55,27.(0,16)2 =
IYG = 617, 54 cm4.�
�
Exemplo 18
� INCORPORAR PBrush ����
Resposta:�
�
�
Exercício 18:
Calcular, para a figura plana abaixo, o Baricentro e os Momentos de Inércia para os eixos de referência (X eY), bem como, para os eixos baricêntricos. Posicionar o Ponto de Baricentro (G) na figura, indicando suas coordenadas no desenho e a posição dos eixos baricêntricos.
Utilizar as unidades no Sistema Internacional.
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Solução:
Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º ________ Data : _____/____/_____
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Página nº 
2 cm
7 cm
3 cm
9 cm
3 cm
3
2
1
3 x 10-2 m
5 x 10-2 m
X
Y