Distribuições Contínuas

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MOQ – 13
PROBABILIDADE E 
ESTATÍSTICA
Professor: Rodrigo A. Scarpel
rodrigo@ita.br
www.mec.ita.br/~rodrigo
Programa do curso:
Regressão linear simples e correlação.
Aplicações de modelos de regressão linear.15 e 16
Prova14
Feriado (4/6)13
Testes não-paramétricos (associação, independência e de aderência).12
Testes de Hipóteses. Inferência baseada em 2 amostras (entre parâmetros de populações distintas).11
Intervalos de confiança (estimação por intervalo). Tamanho da amostra. Princípios de testes de hipóteses.10
Estimador, estimativa e propriedades dos estimadores. Estimação pontual de parâmetros (Métodos dos 
momentos e da máxima verossimilhança).9
Princípios de estatística. Amostras aleatórias. Distribuições amostrais. Teorema do limite central.8
Prova7
Variáveis aleatórias conjuntas, função distribuição conjunta e marginal. Independência estatística. Covariância
e Coeficiente de Correlação.6
Feriado (2/4)5
Principais distribuições de probabilidade contínuas (Exponencial negativa e Normal).4
Valor esperado e variância. Momentos de uma variável aleatória. Função geradora de momentos. Principais
distribuições de probabilidade discretas (Bernoulli, Binomial e Poisson).3
Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. 
Funções massa, densidade, e distribuição acumulada. Funções de variáveis aleatórias.2
Introdução à probabilidade (eventos, espaço amostral, axiomas, propriedades, probabilidade condicional e 
independência).1
ConteúdoSemanas
MOQ – 13
PRINCIPAIS 
DISTRIBUIÇÕES 
CONTÍNUAS
Professor: Rodrigo A. Scarpel
rodrigo@ita.br
www.mec.ita.br/~rodrigo
Tipos de variáveis:
VARIÁVEL
QUALITATIVA
QUANTITATIVA
NOMINAL
ORDINAL
DISCRETA
CONTÍNUA
- UNIFORME
- NORMAL
- EXPONENCIAL
- OUTRAS1. f(x) ou P(x)
2. F(x)
3. E(x)
4. Var(x)
5. Utilidade
O QUE É ESTUDAR UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA?
Distribuição Uniforme [X~U(αααα,ββββ)]:
� Def: Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme se sua
função distribuição de probabilidade é dada por:



 ≤≤
=
contrário , 0
 , 
-
1
)(
caso
xse
xf βααβ






>
≤≤
<
=≤= 
, 1
 , 
-
-x
, 0
)()(
β
βα
αβ
α
α
x
x
x
xXPxF
E(X) = (α+β) / 2
Var(X) = (β -α)2 / 12
Distribuição Gamma [X~Gamma(αααα,ββββ)]:
∫
∞
−−
=Γ
0
1)( dxex xαα� Def - Função Gamma: α>1, Γ(α)=(α-1). Γ(α-1)
Para n inteiro e positivo, 
Γ(n)=(n-1)!
Γ(½) = pi½
� Def: Uma variável aleatória X tem distribuição gamma se sua
função distribuição de probabilidade é dada por:




>>
≥
Γ= 0,0, 
contrário , 0
0, e x
)(
1
)(
x-1-
βααβ
βα
α
caso
x
xf
Distribuição Gamma [X~Gamma(αααα,ββββ)]:
αααα
αααα
αααα
αααα
αααα
ββββ
ββββ
ββββ
ββββββββ




>>
≥
Γ= 0,0, 
contrário , 0
0, e x
)(
1
)(
x-1-
βααβ
βα
α
caso
x
xf
Família da Distribuição Gamma:
�Distribuição Exponencial: αααα= 1 e ββββ=1/λλλλ ,



 ≥
=
contrário ,0
0, e )(
x-
caso
x
xf
λλ
�Distribuição Chi-quadrado: αααα= νννν/2 e ββββ=2



 ≥
Γ=
contrário , 0
0, e x
)2(2
1
)(
2x-1-)2(
2
caso
x
xf
ν
ν ν
em que νννν é o número de graus de liberdade de X
Distribuição Normal [X~N(µµµµ,σσσσ2)]:
� Uma variável aleatória X tem distribuição Normal se sua f.d.p. é:
→ x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ
→ µµµµ ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ (-∞∞∞∞ < µµµµ < ∞∞∞∞)
→ σσσσ ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ+ (σσσσ > 0)
∞<<−∞=





 −
−
xexf
x
, 
2
1)(
2
2
1
σ
µ
σpi
� Propriedades:
µµµµ
σσσσ = ½
σσσσ = 1
σσσσ = 2
• Forma de sino centrado em µµµµ
• Simétrica
• Achatamento depende de σσσσ
• Há um único máximo global em x= µµµµ
• f(x) é crescente para x < µµµµ
• f(x) é decrescente para x > µµµµ
E [X] = µµµµ
Var [X] = σσσσ2
� Distribuição Normal Padronizada: Z~N(0,1): uma variável
aleatória Z tem distribuição Normal padronizada (ou reduzida) se 
sua f.d.p. pode ser escrita como:
Distribuição Normal [X~N(µµµµ,σσσσ2)]:
∞<<−∞=
−
zezf z , 
2
1)(
2
2
1
piσ
µ−
=
XZ
E[Z] =0
Var[Z]=1
� Tabulação da Distribuição Normal Padronizada
Distribuição Normal [X~N(µµµµ,σσσσ2)]:
�Se X~N(µµµµ,σσσσ2) e se Z=(X- µµµµ)/σ/σ/σ/σ então Z~N(0,1)
� Exemplo: Suponha que a demanda de energia em
megawatts/hora, em uma cidade, em um certo dia é uma
variável aleatória X~N(500,900). Qual a probabilidade do 
consumo ser superior a 530 megawatts/hora???? E entre 440 e 
560 megawatts/hora????
→ E[X] = µµµµ
→ Var[X] = σσσσ2∞<<−∞=





 −
−
xexf
x
, 
2
1)(
2
2
1
σ
µ
σpi
Aproximações da Distribuição Normal:
� Distribuição Binomial: Se X~Bin(n,p) em que n é relativamente
grande (n≥≥≥≥30) e n.p.(1-p)>5 pode ser aproximada à uma Normal 
com µµµµ = n.p e σσσσ2 =n.p.(1-p), ou seja, 
)1,0(~)1.(.
. N
ppn
pnx
−
−
� Distribuição de Poisson: Uma variável aleatória que segue uma
distribuição de Poisson com parâmetro λλλλ ≥≥≥≥ 5 pode ser 
aproximada à uma distribuição Normal com µµµµ = λλλλ e σσσσ = λλλλ½ , ou
seja,
)1,0(~ Nx
λ
λ−
Outras Distribuições:
�Distribuição Log-normal
�Distribuição Weibull
�Distribuição Beta
�Distribuição Erlang
�Distribuição Wald
�Distribuição Cauchy
�Distribuição Pareto
�Distribuição Rayleigh
Para casa:
• Lista de Exercícios 4 (site: www.mec.ita.br/~rodrigo/)
• Leitura: Devore – cap. 4: Variáveis aleatórias contínuas
Walpole et al. – cap. 6: Algumas dist. prob. contínuas