Multilpicadores de Lagrange

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Abaixo enunciaremos um teorema necessario na demostração do Método
dos Multiplicadores de Lagrange que é o Teorema da Função Implicita ou,
talvez, uma de suas formas equivalentes.
Teorema 0.1. Seja g : Rn → Rm uma função continuamente diferenciavel
tal que sua derivada no ponto x0, dg(x0) : Rn → Rm, seja sobrejetora, com
n > m, então existem abertos U ⊂ Rn−m e V ∈ Rn e uma função h :
U → V ∩ g−1({x0}) que é bijeção continuamente diferenciavel com derivada
injetiva em cada ponto de U e h(x′) = x0 para algum x′ ∈ U .
Abaixo faremos a demonstração simples e direta do Método dos Multi-
plicadores de Lagrange.
Proposição 0.2. Seja f : Rn → R e g : Rn → Rm funções diferenciaveis com
g continuamente diferenciavel com derivada sobrejetora em cada ponto do
conjunto g−1(x0), então se x∗ é um minimizador ou maximizador da função
f∗ : g−1({g(x0)}) → R tal que f ∗ (x) = f(x) para todo x ∈ g−1({g(x0)}),
então existe y ∈ Rm tal que (df(x∗))T = (dg(x∗))T (y), onde (dg(x∗))T é a
transposta da derivada de g.
Demonstração. Seja x∗ minimizador ou maximizador de f∗, então como x∗
é tal que dg(x∗) é sobrejetora, pela hipotese, então temos que existem sub-
conjuntos abertos U ⊂ Rn−m e V ⊂ Rn e uma função com derivada injetora
em seu domínio h : U → V ∩ g−1(g(x0)) com h(x′) = x∗. Assim, como
g(h(x)) = g(x0) para todo x ∈ U e h(x′) = x∗, então x′ é maximizador ou
minimizador de f ◦h. Assim, d(f ◦h)(x′)(u) = df(h(x′))◦dh(x′)(x) = 0 para
todo x ∈ Rn−m. Além disso, como g(h(x)) = g(x0), então d(g ◦ h)(x′)(x) =
dg(h(x′)) ◦ dh(x′)(x) = 0 para todo x ∈ Rn−m. Assim, dado z ∈ Rn,
temos que 〈z, dg(h(x′)) ◦ dh(x′)(x)〉 = 0 e 〈z, df(h(x′)) ◦ dh(x′)(x)〉. As-
sim, 〈(dh(x′))T (dg(h(x′)))T (z), x〉 = 0 e 〈(dh(x′))Tdf(h(x′))T (z), x〉 = 0,
para todo x ∈ Rn−m e z ∈ Rn. Desse modo, (dh(x′))T (df(h(x′)))T = 0 e
(dh(x′))T (dg(h(x′)))T = 0, portanto Img(dg(h(x′)))T ⊂ Kern(dh(x′))T , mas
pelo Teorema Nucleo Imagem e pelo fato do operador transposição não alte-
rar a dimensão do operador linear temos
Dim Img (dg(h(x′)))T = Dim Img dg(h(x′)) = m.
Além disso,
Dim Kern(dh(x′))T = n−Dim Img (dh(x′))T =
n−Dim Img dh(x′) = n− (n−m−Dim Kern dh(x′)) = m.
Assim, Img(dg(h(x′)))T = Kern(dh(x′))T . Mas temos que (dh(x′))T (df(h(x′)))T =
0, assim como df(h(x′))T , um vetor coluna, está no nucleo de (dh(x′))T ,
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então está também em Img(dg(h(x′)))T , portanto, existe y ∈ m tal que
(df(h(x′))T = (dg(h(x′)))T (y), mas x∗ = h(x′), então reescrevendo, (df(x∗))T =
(dg(x∗))T (y).
O sistema de equações (df(x∗))T = (dg(x∗))T (y) quer dizer resumida-
mente que df(x∗), um vetor linha, é combinação linear das linhas de dg(x∗).
Alem disso, temos que as incognitas são x∗ ∈ Rn e y ∈ Rm, portanto, m+ n
incognitas e temos uma quantidade de n linhas/equações. Falta portanto
mais m equações para se poder resolver e elas podem ser obtidas fazendo
g(x∗) = g(x0) e temos mais m equações. Assim, a fim de encontrar os ma-
ximos ou minimos de f∗ devemos resolver o sistema não linear em m + n
incognitas: {
(df(x∗))T = (dg(x∗))T (y)
g(x∗) = g(x0)
.
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