Equações de Lagrange

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19/8/2014 Equações de Lagrange
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Fig 01
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Equações de Lagrange
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Lagrangiana e equação do movimento |
Exemplo 01: pêndulo |
Exemplo 02: pêndulo e mola |
 
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Por enquanto, o conteúdo desta página é apenas uma breve introdução às equações de Lagrange no estudo dos movimentos.
Lagrangiana e equação do movimento Topo | Fim
A lagrangiana L de um sistema mecânico é dada pela relação:
L = T − U #A.1#. Onde:
T: energia cinética.
U: energia potencial.
A formulação de Lagrange usa o conceito de coordenada generalizada, isto é, um vetor de posição q (em geral convenientemente escolhido para
facilitar a análise) e sua derivada em relação ao tempo (velocidade representada na notação de praxe em vez de dq/dt).
E a equação do movimento é dada de forma genérica: d ( ∂L/∂ ) / dt = ∂L / ∂q #B.1#.
Naturalmente, essa equação pode ser demonstrada, mas aqui não é feito porque o propósito é somente uma abordagem resumida. Se q for igual a
um vetor de posição em coordenadas cartesianas, o desenvolvimento das derivações resultará na segunda lei de Newton.
Exemplo 01: pêndulo Topo | Fim
A formulação de Lagrange para o movimento é genérica, mas, em conformidade com os propósitos desta página, analisa-se um caso particular de
pêndulo plano simples conforme Figura 01.
No estudo clássico com as leis de Newton, há necessidade de um vetor de posição r com duas coordenadas rx e ry. Entretanto, o ângulo θ que a
haste do pêndulo faz com a vertical define perfeitamente a posição do mesmo, uma vez que o comprimento ℓ é supostamente constante.
Portanto θ e (velocidade angular) são as coordenadas generalizadas para este caso,
equivalentes a q e do tópico anterior.
A energia cinética é dada por:
T = (1/2) m (ℓ )2 #A.1#.
A energia potencial é
U = − m g ℓ cos θ #B.1#. 
Então a lagrangiana do pêndulo é dada por L = (1/2) m (ℓ )2 + m g ℓ cos θ #C.1#. Assim,
∂L / ∂ = m ℓ2 .
∂L / ∂θ = − m g ℓ sen θ.
Usando #B.1# do tópico anterior, d (m ℓ2 ) / dt = − m g ℓ sen θ. Portanto, m ℓ2 = − m g ℓ sen θ. Simplificando e reagrupando, chega-se à
equação final do movimento do pêndulo simples:
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Fig 01
 + (g / ℓ) sen θ = 0 #D.1#.
Exemplo 02: pêndulo e mola
Topo | Fim
No exemplo da Figura 01 deste tópico, o pivô P de um pêndulo simples está em um bloco de massa desprezível que pode deslizar sem atrito sob
ação de uma mola ideal de constante k.
A expressão grau de liberdade pode ser definida como o número de variáveis independentes necessário para especificar a posição (não o
movimento) de todas as partes do sistema. No exemplo anterior há apenas um grau de liberdade e, neste, há dois: a coordenada x do ponto P e o
ângulo θ da haste do pêndulo com a vertical.
As coordenadas x' da massa m é dada por x' = x + ℓ sen θ. E a sua coordenada vertical y = − ℓ cos θ.
As velocidades da massa m são v
x
 = + ℓ cos θ. v
y
 = ℓ sen θ.
A energia cinética do pêndulo é T = (1/2) m (v
x
2
 + v
y
2
) = (1/2) m (
2
 + ℓ
2
 
2
 + 2 ℓ cos θ ).
A energia potencial é dada por: U = (1/2) k x
2
 − m g ℓ cos θ.
A primeira parcela se refere à energia potencial da mola e a segunda parcela é a energia potencial da massa m conforme exemplo anterior.
A lagrangiana é calculada por:
L(x, θ, , ) = T − U = (1/2) m (
2
 + ℓ
2
 
2
 + 2 ℓ cos θ ) − (1/2) k x
2
 + m g ℓ cos θ.
Observar que, neste exemplo, ela é função de 4 coordenadas (x, θ, , ) em vez das duas (θ, ) do exemplo anterior.
Para x, ∂L/∂ = m ( + ℓ cos θ ).
d(∂L/∂ ) dt = m + m ℓ ( cos θ − 
2
 sen θ).
∂L/∂x = − k x.
Para θ, ∂L/∂ = m ℓ (ℓ + cos θ).
d(∂L/∂ ) dt = m ℓ
2
 + m ℓ ( cos θ − sen θ).
∂L/∂θ = − m ℓ sen θ − m g ℓ sen θ.
Obs: lembrar a regra geral para derivação de seno e co-seno: d(sen u)/dx = cos u du/dx. Também d(cos u)/dx = −sen u du/dx.
Fazendo as igualdades conforme #B.1# do tópico Lagrangiana e equação do movimento para cada par de variáveis nos resultados anteriores,
obtém-se:
m + k x = m ℓ (
2
 sen θ − cos θ) #A.1#.
 + (g/ℓ) sen θ = − ( /ℓ) cos θ #B.1#.
Portanto, o método é significativamente mais simples do que o uso direto das leis de Newton e coordenadas cartesianas. E o resultado pode ser
confirmado pela introdução de restrições adequadas:
• Se o pêndulo é fixo, θ = constante e = = 0 e a equação #A.1# é o movimento harmônico de um sistema massa e mola.
• Se o ponto P não se move, x = constante e = = 0 e a igualdade #B.1# é o movimento do pêndulo simples conforme tópico anterior.
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