Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat´ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerc´ıcios: Varia´veis Aleato´rias Discretas
1. A distribuic¸a˜o de probabilidade de X, o nu´mero de imperfeic¸o˜es a cada dez metros de um tecido
sinte´tico produzido em rolos cont´ınuos de largura uniforme, e´ dada por:
x 0 1 2 3 4
f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
(a) Determine o nu´mero me´dio de imperfeic¸o˜es por dez metros de tecido.
(b) Determine a variaˆncia e o desvio padra˜o do nu´mero de imperfeic¸o˜es.
2. O retrospecto mostra que um jogador de basquete tem uma probabilidade de 0,75 de acertar um
lance livre. Se este jogador vai arremessar 5 lances livres, qual a probabilidade de acertar:
(a) todos;
(b) nenhum;
(c) pelo menos 3.
3. Se a probabilidade de uma laˆmpada fluorescente ter vida u´til de pelo menos 800 horas e´ de 0,9,
determine a probabilidade de que, entre 20 laˆmpadas,
(a) exatamente 18 tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas;
(b) pelo menos 15 tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas;
(c) pelo menos duas na˜o tera˜o vida u´til de pelo menos 800 horas.
4. Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletroˆnico de um fabricante. O
fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito e´ de 3%.
(a) O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual e´ a probabilidade de que
haja pelo menos um item defeituoso entre esses 20?
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(b) Suponha que a rede varejista receba dez carregamentos por meˆs e o inspetor selecione alea-
toriamente 20 equipamentos de cada carregamento. Qual e´ a probabilidade de que haja treˆs
carregamentos com pelo menos um item com defeito?
5. Suponha que se saiba, com base em um grande nu´mero de dados histo´ricos, que X, o nu´mero de
carros que chegam a uma intersec¸a˜o espec´ıfica durante um per´ıodo de tempo de 20 segundos, e´
caracterizado pela seguinte func¸a˜o de probabilidade discreta
f(x) = e
−6.6x
x! , x = 0, 1, 2, · · ·
(a) Determine a probabilidade de que, em um per´ıodo espec´ıfico de 20 segundos, mais de oito
carros cheguem a` intersec¸a˜o;
(b) Determine a probabilidade de que apenas dois carros cheguem.
6. Certo cruzamento resulta em treˆs acidentes por meˆs em me´dia. Qual e´ a probabilidade de que
em certo meˆs nesse cruzamento ocorram
(a) exatamente cinco acidentes?
(b) menos de treˆs acidentes?
(c) pelo menos dois acidentes?
7. Uma indu´stria de automo´veis esta´ preocupada com uma falha no mecanismo dos freios de de-
terminado modelo. Essa falha pode, em raras ocasio˜es, causar uma cata´strofe em uma rodovia.
A distribuic¸a˜o do nu´mero de carros, por ano, que sofrera˜o essa falha e´ uma varia´vel aleato´ria de
Poisson com λ = 5.
(a) Qual e´ a probabilidade de que no ma´ximo treˆs carros por ano experimentem essa cata´strofe?
(b) Qual e´ a probabilidade de que mais de um carro por ano experimente essa cata´strofe?
8. Em certo fio de cobre, sabe-se que, em me´dia, ocorre 1,5 falha por mil´ımetro. Assumindo que o
nu´mero de falhas seja uma varia´vel aleato´ria de Poisson.
(a) Qual e´ o nu´mero me´dio de falhas em uma porc¸a˜o de extensa˜o de cinco mil´ımetros?
(b) Qual e´ a probabilidade de que na˜o ocorram falhas em certa porc¸a˜o de fio com comprimento
de cinco mil´ımetros?
9. Assumimos que o nu´mero de clientes que chegam a cada hora em certo posto de servic¸os auto-
mobil´ısticos segue uma distribuic¸a˜o de Poisson com me´dia de λ = 7.
(a) Qual e´ o nu´mero me´dio de chegadas durante o per´ıodo de duas horas?
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(b) Calcule a probabilidade de que mais de um cliente chegue em um per´ıodo de duas horas?
RESPOSTAS
1. (a) 0,88;
(b) 0,8456; 0,9196.
2. (a) 0,2373;
(b) 0,001;
(c) 0,8965.
3. (a) 0,2852;
(b) 0,9887;
(c) 0,6083.
4. (a) 0,4562;
(b) 0,1602.
5. (a) 0,1528;
(b) 0,0446.
6. (a) 0,1008;
(b) 0,4232;
(c) 0,8009.
7. (a) 0,265;
(b) 0,9596.
8. (a) 7,5;
(b) 5, 53 × 10−4.
9. (a) 14;
(b) 0,9999.
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