apostila SE - Madeira e Metálica UNIP

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MÓDULO 1 – Metálicas: Material aço 
 
 
1. MATERIAIS METÁLICOS – São materiais compostos por metais, como por exemplo, o ferro. 
Esses materiais que tem o ferro em sua composição são chamados de metais ferrosos. 
 O aço, o ferro fundido e o ferro laminado são as formas mais usuais de metais ferrosos. 
 
1.1 – Aço 
 
O aço é um dos mais importantes materiais metálicos usados na indústria mecânica. É usado 
na fabricação de peças em geral. 
 
a) Processo de fabricação: 
• O ferro não é encontrado puro na natureza. Encontra-se geralmente combinado com 
outros elementos formando rochas as quais se dá o nome de MINÉRIO. 
• O Minério de Ferro é retirado de subsolos ou também de montanhas. Para retirar as 
impurezas, o minério é lavado, partido em pedaços menores e em seguida levado para a 
usina siderúrgica. Na Sinterização o minério de ferro é aglutinado a fim de conferir-lhes 
granulometria. 
• Na Coqueria o carvão mineral é transformado em coque siderúrgico (carvão coque). 
• No Alto Forno, já bastante aquecido, o minério de ferro é depositado em camadas 
sucessivas, intercaladas com carvão coque (combustível) e calcário (fundente). 
• Estando o Alto Forno carregado, por meio de dispositivo especial injeta-se ar em seu 
interior. O ar ajuda a queima do carvão coque, que ao atingir 1200 °C derrete o minério. 
• O ferro ao derreter-se se deposita no fundo do Alto Forno, e é denominado de ferro-gusa. 
• As impurezas ou escórias por serem mais leves, flutuam sobre o ferro-gusa derretido. 
• Através de duas aberturas especiais, em alturas diferentes são retiradas, primeiro a 
escória e em seguida uma liga ferro_carbono chamada de ferro fundido ou gusa, que é 
despejado em panelas e depois em formas denominadas lingoteiras (geralmente com 
formato de barras com seção retangular). 
• Depois de resfriada, o ferro-gusa é retirado da lingoteira recebendo o nome de LINGOTE 
DE FERRO GUSA. A seguir são armazenadas para receberem novos tratamentos, pois 
este tipo de liga de ferro, com alto teor de carbono e diversas impurezas é usado apenas 
na confecção de peças que não passarão por processos de usinagem. 
• O refinamento do ferro-gusa para transformá-lo em aço é realizado no conversor de 
oxigênio, onde é feita a retirada de carbono do gusa, por meio de injeção de oxigênio puro, 
e também para reduzir a quantidade de impurezas a limites prefixados. Esse processo é 
realizado na Aciaria. 
• O carbono aumenta a resistência do aço, porém o torna mais frágil. Os aços com baixo 
teor de carbono têm menor resistência à tração, porém são mais dúcteis, ou seja, 
deformam-se mais, e também podem ser soldados. 
• Portanto, aço é uma liga de ferro carbono que contem de 0,008% até 2,11% de carbono, e 
também outros elementos adicionais como silício, manganês, fósforo, enxofre, etc. Os 
aços carbono são divididos em baixo carbono (C < 0,29%), médio carbono (0,30% < C < 
0,59%) e alto carbono (0,60% < C < 2,0%). A construção civil se utiliza mais comumente 
dos aços de baixo carbono. 
 
b) Processo de laminação: 
É o processo pelo qual o aço é transformado nos principais produtos siderúrgicos utilizados 
pela indústria da construção (chapas e perfis laminados). 
• Do conversor de oxigênio (quando as reações estão acabadas) o aço é colocado em 
panelas, o aço líquido ainda é tratado através de um processo de resfriamento, para se 
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evitar que os gases expelidos no processo formem grandes vazios no aço prejudicando as 
características mecânicas do aço. Esse processo chama-se desgaseificação. 
• Os óxidos insolúveis formados durante o processo de desgaseificação são retirados num 
processo de refinamento. 
• Da panela o aço fundido é descarregado nas lingoteiras, que são fôrmas metálicas no 
formato de placas ou tarugos (barras). As placas ou tarugos são laminados a quente 
formando os perfis laminados ou laminadas a frio formando os perfis soldados ou formados 
a frio. 
 
b1) Laminação a quente 
• Os lingotes são inicialmente aquecidos ao rubro e introduzidos em laminadores 
desbastadores, nos quais dois rolos giratórios comprimem o lingote, reduzindo sua 
seção e aumentando seu comprimento. 
• São necessárias diversas passagens no laminador nas quais a distância entre os 
rolos é progressivamente reduzida. 
• Os laminadores dos produtos acabados têm seus rolos com as superfícies cortadas 
nas formas adequadas do perfil em questão. 
 
b2) Laminação a frio 
• Os lingotes são cortados e soldados formando os perfis soldados ou dobradas 
formando os perfis formados a frio. 
 
c) Tratamento térmico: 
São recursos auxiliares utilizados para melhorar as propriedades dos aços. Dividem em 
dois grupos: 
• Tratamentos destinados principalmente a reduzir tensões internas provocadas por 
laminação, etc. 
• Tratamentos destinados a modificar a estrutura cristalina, com alteração da resistência e 
de outras propriedades. 
 
1.2 – Ferro Fundido 
• É obtido diminuindo-se a porcentagem de carbono do ferro gusa (utilizando-se de fornos 
apropriados – segunda fusão). 
• É uma liga de ferro-carbono que contém de 2% a 4,3% de carbono e pequena 
porcentagem de silício, manganês, enxofre, fósforo, etc. 
 
Destacam-se duas modalidades principais de ferro fundido denominadas pela cor da fratura: 
a) Ferro-cinza (fácil de ser fundido e moldado em peças ideal para corpos de máquinas). 
b) Ferro branco (difícil de ser fundido e de ser usinado, muito duro, ideal pra peças que exijam 
muita resistência ao desgaste). 
 
1.3 – Ferro Laminado ou Maleável 
• É praticamente um aço de baixo carbono, inferior a 0,12%. 
 
 
2. TIPOS DE AÇOS ESTRUTURAIS 
 Os tipos de aço estruturais são especificados em normas brasileiras e internacionais ou em 
normas elaboradas pelas próprias siderurgias. 
 
2.1 Aços-carbono 
 São aqueles que não contêm elementos de liga. 
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• Baixo carbono => C < 0,29% (mais adequados a construção civil e podem ser 
soldados sem precauções especiais) 
• Médio carbono => 0,30% < C < 0,59% 
• Alto carbono => 0,6% < C < 2,0% 
 
Exemplo de um tipo de aço-carbono utilizado em estruturas, segundo os padrões do ASTM 
(“American Society for Testing and Materials”): 
Especificação ASTM A36 
Teor de Carbono 0,25-0,29% 
Limite de Escoamento fy = 250MPa (N/mm²) 
Resistência a Ruptura fu = 400-500 MPa (N/mm²) 
 
2.2 Aços de Baixa Liga 
 
São aços-carbono acrescidos de elementos de liga os quais melhoram algumas das 
propriedades mecânicas. 
 
Exemplo de um tipo de aço de baixa liga utilizado em estruturas, segundo os padrões do ASTM 
(“American Society for Testing and Materials”): 
Especificação ASTM 572 Gr. 50 
Principais elementos de liga C < 0,23% e Mn < 1,35% 
Limite de Escoamento fy = 345MPa (N/mm²) 
Resistência a Ruptura fu = 450 MPa (N/mm²) 
 
 
3. PRODUTOS SIDERURGICOS ESTRUTURAIS 
 
3.1 – Produtos Laminados: 
a) chapas 
 
 
b) barras 
 
c) perfis 
 
d) tubo quadrado 
 
e) tubo redondo 
 
f) trilho 
 
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a) Barras – são produtos laminados nos quais duas dimensões (da seção transversal) são 
pequenas em relação à terceira (comprimento). 
 
b) Chapas – são produtos laminados, nos quais uma dimensão (a espessura) é muito menor que 
as outras duas (largura e comprimento). 
 
Dividem-se em duas categorias: 
 
Chapas Fabricação Espessuras Utilização em Construção 
Grossas A quente > 5,0m Estruturas metálicas em geral 
Finas A quente 1,2 – 5,0mm Perfis de chapa dobradas* A frio 0,3 – 2,65mmm Acessórios: calhas, rufos, etc. 
 
*As chapas metálicas dúcteis podem ser dobradas a frio, transformando-se em perfis de chapas 
dobradas – NormaPrópria Brasileira. (Recomenda-se a utilização de espessura > 3,0mm para 
evitar problemas de instabilidade). 
 
c) Perfis 
• Um perfil laminado pode ser designado pelas suas dimensões. Ex: I 254 x 40,9: 
perfil I de altura igual a 254mm massa 40,9 kg/m. 
As seções transversais dos perfis laminados são limitadas pela capacidade dos 
laminadores. 
No Brasil os perfis laminados são fabricados segundo os padrões americanos: 
 
 
Perfil laminado de abas com faces paralelas de padrão europeu: 
 
 
• Perfis soldados (Formados pela associação de chapas ou de perfis laminados 
simples). 
Utilizam processos automatizados de solda (São mais caros). 
 
 
A Norma Brasileira NBR 5884/80 padronizam três séries de perfis soldados 
Perfis CS (colunas soldadas) 
Perfis VS (vigas soldadas) 
Perfis CVS (colunas e vigas soldadas) 
 
• Perfis de chapa dobrada 
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4 – PRODUTOS METALÚRGICOS 
 
Os produtos metalúrgicos podem ser churrasqueiras, moinhos, portões, ferramentas, pára-
choque, máquina de solda, etc. 
 
 
5. PROPRIEDADES DOS AÇOS 
 
a) Constantes físicas do Aço: podem ser adotadas em todos os tipos de aço estrutural 
(NBR8800/08, item 4.5.2) 
• Módulo de elasticidade => E = Ea = 200.000 MPa (N/mm²); 
• Coeficiente de Poisson => ν=0,3; 
• Módulo de elasticidade transversal => G = 77000MPa; 
• Coeficiente de dilatação térmica => βa = 1,2 x 10-5 oC-1; 
• Massa específica => ρa = 7850 kg/m3; 
 
b) Ductilidade – É a capacidade de o material se deformar sob a ação de cargas. 
 
c) Fragilidade – É o oposto da ductilidade. Os aços podem se tornar frágeis pela ação de 
diversos agentes: baixas temperaturas ambientes, efeitos térmicos locais (solda) e se rompem 
bruscamente, sem aviso prévio. 
 
d) Resiliência e Tenacidade – Estas duas propriedades se relacionam com a capacidade do 
metal de absorver energia mecânica. 
 
e) Dureza – É a resistência ao risco ou abrasão. 
 
f) Fadiga – Quando as peças metálicas trabalham sob efeito de esforços repetidos em grande 
número, pode haver ruptura em tensões inferiores às obtidas em ensaios estáticos. Esse efeito 
denomina-se fadiga do material. 
 
g) Efeito de Temperatura Elevada – As temperaturas elevadas modificam as propriedades 
físicas dos aços. 
 
h) Corrosão – O processo de reação do aço com alguns elementos presentes no ambiente em 
que se encontra exposto. A corrosão promove a perda de seção das peças de aço, podendo se 
constituir em causa principal de colapso. Formas de proteção: 
• Pintura => as peças metálicas recebem uma ou duas demãos de tinta de fundo (primer) 
após a limpeza e antes da fabricação, e após uma ou duas demão de tinta. 
• Galvanização => É a adição de uma camada de zinco por imersão. 
 
 
6. PADRONIZAÇÃO 
 
6.1 – Padronização ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). 
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Segundo a especificação EB 558/NBR 7007 - “Aços para perfis laminados para uso 
estrutural” os aços podem ser enquadradros nas seguintes categorias: 
• MR250 – Aço de média resistência (fy = 250 MPa; fu = 400 MPa) corresponde ao aço 
ASTM A36 
• AR350 – Aço de alta resistência (fy = 350 MPa; fu = 450 MPa) 
• AR–COR415 - Aço de alta resistência (fy = 415 MPa; fu = 520 MPa) resistente a corrosão. 
 
6.2 – Nomenclatura SAE 
Para aços mais utilizados na indústria mecânica emprega-se com freqüência a 
nomenclatura SAE (Society of Automotive Engineirs SAE) a qual se baseia em quatro dígitos. 
 
• Aço SAE 1020 (aço carbono, com 0,20% de carbono) 
1 dígito – representa o elementos de liga => 1 = aço-carbono; 
2 dígito – representam a porcentagem aproximada do elemento de liga predominante; 
3 e 4 dígitos – representam uma porcentagem de carbono em 0,01%; 
 
• Aço SAE 2320 (aço níquel, com 3,5% de níquel e 0,20% de carbono) 
 
 
7. DIAGRAMA TENSÃO x DEFORMAÇÃO DO AÇO 
 
7.1 Ensaio de Tração Simples 
O ensaio de tração simples é utilizado para medir as propriedades mecânicas dos aços. As 
mesmas propriedades são obtidas para compressão (sem flambagem). 
A máquina de ensaio prende as hastes metálicas do corpo de prova, fabricado segundo a 
ASTM, submetendo-o a valores crescentes de esforços de tração, medindo em cada estágio de 
carga o alongamento ΔL de um trecho de comprimento Lo. 
 Seja uma barra de seção circular submetida a um esforço de tração F. 
 
F F
A
L + Lo
o
 
 
Lo – comprimento marcado arbitrariamente na haste sem tensão; 
Lo + ΔL – comprimento alongado com tensão; 
Ao – Área inicial 
• Denomina-se alongamento unitário ε, deformação, a relação: 
oL
L∆
=ε 
• A tensão convencional é dada por: 
oA
F
=σ 
• A tensão real é dada por: 
A
F
=σ 
Onde A é a área em cada estágio do carregamento. 
 
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Pela Lei de Hooke, dentro do regime elástico as σ são proporcionais às ε. O coeficiente 
de proporcionalidade E, denomina-se módulo de deformação longitudinal ou módulo de 
elasticidade ou ainda módulo de Young: 
 
ε⋅=σ E 
 
O E é praticamente igual para todos os tipos de aço. 
 
7.2 Diagrama 
 
Os resultados do ensaio de tração podem ser apresentados em um gráfico chamado de 
diagrama de tensão x deformação. Esse diagrama pode ser analisado em quatro fases. 
 
Diagrama tensão-deformação convencional e real para material dúctil (aço) 
(sem escala). 
Fonte: HIBBELER (2004), p 64. 
1ª Fase – Região elástica 
• Diagrama se comporta como uma reta as tensões são proporcionais às deformações - Lei 
de Hooke. Este fato ocorre até a tensão limite de proporcionalidade σlp. O módulo de 
elasticidade longitudinal do aço é definido nesta fase e vale: 
lp
lptanE
ε
=α=
σ
 
 
 
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2ª Fase - Escoamento 
• Escoamento é um aumento de deformação com tensão constante. Essa tensão que produz 
o escoamento chama-se tensão de escoamento do material σE ou mais comumente σy ou 
fy. 
 
3ª Fase – Endurecimento por deformação 
• Após o término do escoamento um incremento de força adicional resulta um diagrama que 
cresce continuamente até o limite de resistência σr. ou mais comumente σu ou fu Essa 
parte da curva do diagrama é conhecida por endurecimento por deformação. 
 
4ª Fase – Estricção 
• Após esse limite a área da seção transversal começa a diminuir em uma região localizada 
(estricção), até se romper quando atinge a tensão de ruptura σrup. 
 
Obs: Existem aços que não apresentam patamar de escoamento bem definido. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
PFEIL, W., PFEIL, M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático de Acordo com a NBR 
8800:2008, Editora LTC, Rio de Janeiro, 8a ed., 2009. 
 
SILVA, V. P., FRUCHTENGARTEN, J. Estruturas metálicas e de madeira – Dimensionamento 
de estruturas de aço. São Paulo, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – USP, 
Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica, 2008. 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, Editora Prentice Hall, São Paulo, 5ª. Ed., 2004. 
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MÓDULO 1 – Madeira: Material madeira 
 
1. MADEIRA DE CONSTRUÇÃO 
 
1.1 Introdução 
 A madeira é um material de construção empregado pelo homem desde épocas pré-
históricas. Somente na primeira metade do século XX foram estabelecidas teorias técnicas 
aplicadas às estruturas de madeira. Atualmente a utilização da madeira como material de 
construção competitivo economicamente e ao mesmo tempo aceitável em termos ecológicos, se 
baseia nas modernas técnicas de reflorestamento, aliadas ao desenvolvimento de produtos 
industrializados de madeira com minimização de perdas. 
 
1.2 Aspectos favoráveis 
 A madeira apresenta:• Uma excelente relação resistência/peso quando comparado ao aço e ao concreto; 
• Facilidade de fabricação de diversos produtos industrializados; 
• Bom isolamento térmico; 
• Possibilidade de reaproveitamento; 
• Grande durabilidade (em condições adequadas de manutenção); 
• Etc... 
 
1.3 Aspectos desfavoráveis 
 A madeira esta sujeita: 
• A degradação biológica por ataque de microorganismos, fungos, insetos, brocas, etc; 
• A ação do fogo; 
• A sensibilidade às variações de umidade que provoca contrações, inchamentos e trincas; 
• Por ser um material natural esta sujeito a inúmeros defeitos, como nós e fendas, que 
interferem nas propriedades mecânicas; 
Se a madeira for convenientemente tratada com o uso de produtos industriais esses 
aspectos são superados. Hoje existe uma evolução dos tratamentos que a cada dia são 
melhorados. 
 
1.4 Classificações das Madeiras de Construção 
 As madeiras de construção obtidas dos troncos das árvores são classificadas em duas 
categorias principais dependendo da estrutura celular dos troncos: 
• Madeiras duras são provenientes das árvores frondosas, de crescimento lento como, por 
exemplo: ipê, carvalho, peroba, aroeira, cedro, jacarandá, eucalipto, etc. 
Pertence a classe da Angiosperma, dentro do grupo das Dicotiledôneas, com folhas 
achatadas e largas. 
As de melhor qualidade são também chamadas de “madeiras de lei”. 
Os eucaliptos são utilizados como postes, estacas, dormentes, etc, e também na 
fabricação de papel e chapas de fibras de madeiras, etc. 
 
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Aroeira 
 
• Madeiras macias, moles ou brancas são provenientes das árvores pinheiros, de 
crescimento rápido como, por exemplo: pinheirinhos ou pinheiro-do-paraná, pinheiro-bravo, 
pinheiros europeus, norte-americanos, etc. 
Pertence a classe da Gimnosperma, dentro do grupo das Coníferas, com folhas em forma 
de agulhas ou escamas, e sementes agrupadas em forma de cones. 
Os pinheiros-do-paraná possuem uma grande variedade de aplicações como formas, 
andaimes, obras provisórias, embarcações, móveis, compensados para a indústria 
aeronáutica, etc. 
 
 Pinheiro-do-paraná 
 
Obs: Existem alguns pinheiros mais resistentes que algumas árvores frondosas. 
 
1.5 A árvore 
 As árvores utilizadas como madeira de construção crescem pela adição de camadas 
externas, sob a casca. A seguir é mostrada a seção transversal de um tronco de árvore. 
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Casca
Alburno ou branco
Câmbio ou liberMedula
Cerne ou durâmen
Anéis de crescimento anual
Raios medulares
 
 
 
 
 
 Seção transversal de um tronco. 
 
Os elementos da seção transversal são: 
• Casca é uma proteção externa formada por uma camada externa morta, de espessura 
variável com a espécie e idade da árvore, e uma fina camada de tecido vivo e macio que 
conduz o alimento preparado nas folhas para as partes em crescimento; 
• Alburno ou branco é uma camada de 3 a 5 cm, variável conforme a espécie, formada por 
células vivas que conduzem a seiva das raízes para as folhas; 
• Cerne ou durâmen são células inativas do alburno formadas com o crescimento da árvore. 
Possuem coloração mais escura e tem a função de sustentar o tronco. As madeiras de 
construção devem ser retiradas preferencialmente do cerne; 
• Medula é um tecido macio no centro do tronco em torno do qual se verifica o crescimento 
da madeira pela adição de anéis; 
• Raios medulares têm a função de armazenar e distribuir o alimento; 
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• Câmbio ou líber é uma camada microscópica situada sob a casca responsável pela 
produção de células da casca e pela formação dos anéis de crescimento. 
• Anéis de crescimento anuais são gerados por divisões celulares no câmbio. A idade da 
árvore e definida pelo número de anéis; 
 
1.6 Microestruturas da madeira 
 As células da madeira, também chamada de fibras, são como tubos de paredes finas 
colados entre si e alinhados na direção normal à seção transversal do tronco. 
 
 
 
1.7 Propriedades físicas das madeiras 
 
• Material anisotrópico e não homogêneo – Devido à orientação das células a madeira 
apresenta propriedades diferentes conforme a direção e também varia dentro de uma mesma 
direção. São três direções principais: longitudinal (L), radial (R) e tangencial (T). 
L
R
T
 
 
 
• Umidade – Define-se grau de umidade U como: 
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100
P
PP(%)U
s
si
⋅
−
= 
Onde: Pi é o peso inicial da madeira; 
 Ps é o peso da madeira seca em estufa; 
 
 Ponto de saturação das fibras é o ponto no qual a madeira posta a secar evapora 
a água contida nas células ocas (30%), então, ela é denominada “meio seca”. 
 
Madeira “seca ao ar” é quando a madeira posta a secar ultrapassa o ponto de 
saturação das fibras atingindo um ponto de equilíbrio com o ar, entre 10 e 20%. 
 
A umidade da madeira tem grande influência sobre as outras propriedades, por isso, 
é comum associá-las a certa umidade denominada de padrão. No Brasil é adotada 
umidade padrão de 12%. 
 
• Retração ou inchamento da madeira – ocorre para variação de umidade entre 0% e o 
ponto de saturação das fibras de 30%. Por volta de 19% ou menos diz-se que as fibras da 
madeiras estão secas, e por volta de 28% ou mais as fibras estão saturadas. 
 
• Dilatação linear – varia para cada direção. 
 
• Deterioração da madeira – pode ocorrer por diversas origens, destacando-se o ataque 
biológico por fungos, cupins, etc, e pela ação do fogo. 
 
1.8 Defeitos das madeiras 
Os defeitos encontrados nas madeiras podem ser originados na constituição do tronco ou 
do processo de preparação das peças. Eles podem prejudicar a sua resistência, seu aspecto 
estético ou até mesmo a sua durabilidade. Destacam-se: 
• Nós - São imperfeições nos pontos do tronco onde existiam galhos: 
Nós firmes – galhos ainda vivos na época do abate; 
Nós soltos – galhos mortos na época do abate (eles se soltam durante o corte 
com serra); 
• Fendas - São aberturas nas extremidades das peças provocadas pela secagem mais 
rápida da superfície (pode ser evitada através de uma secagem lenta e uniforme); 
• Gretas ou ventas - É a separação entre os anéis de crescimento devido a tensões 
internas (provocada pelo crescimento lateral do tronco) ou por ações externas (provocada 
pela força do vento); 
• Abaulamento – É o encurtamento na direção da largura da peça; 
• Arqueadura - É o encurtamento na direção longitudinal da peça (comprimento); 
• Fibras reversas – São fibras não paralelas ao eixo da peça (provocadas pelos nós ou pela 
serragem em planos inadequados); 
• Esmoada ou quina morta – São cantos arredondado, formado pela curvatura natural do 
tronco; 
 
1.9 Tipos de madeiras de construção – Produtos comerciais 
 Elas podem se classificar em duas categorias: 
a) Madeira maciça 
• Madeira bruta ou roliça – É a madeira empregada em forma bruta do tronco. Pode 
ser utilizada para estacas, escoramentos, postes, colunas, ou construções 
provisórias, etc; 
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• Madeira falquejada – Tem as faces laterais aparadas a machado, formando seções 
maciças, quadradas ou retangulares. Podem ser utilizadas para estacas, pontes, 
etc; 
• Madeira serrada – É a mais utilizada. As árvores devem ser abatidas de 
preferência ao atingir a maturidade, ou seja, quando o cerne ocupa maior 
percentagem do tronco, período que pode durar até cem anos dependendo da 
espécie. O tronco deve ser abatido preferencialmente na estação da seca, quando o 
tronco tem pouca umidade. O desdobramento do tronco em peças deve ser 
realizado o mais breve possível. Nas serrarias o tronco é cortado em pranchas 
paralelasou de forma radial, esse último resulta num material mais homogêneo, 
porém mais oneroso. As espessuras devem obedecer a dimensões padronizadas e 
o comprimento é limitado pelo tipo de transporte. Antes de se utilizar a madeira 
serrada ela deve passar por um período de secagem. 
 
Desdobramento em
pranchas paralelas
Desdobramento
 radial
 
 
As espessuras e áreas mínimas são mostradas na tabela abaixo: 
 
Espessura mínima 
cm 
Área mínima 
cm2 
Seção mínima 
cm x cm 
Peças principais de 
seções simples 5 50 5 x 10 
Peças componentes de 
seções múltiplas 2,5 35 2,5 x 14 
Peças secundárias de 
seções simples 2,5 18 2,5 x 7,5 
 
b) Madeira industrializada 
Surge para ampliar o uso da madeira na construção já que a madeira, além dos 
problemas oriundos dos seus defeitos naturais, ela enfrenta limitações em seu 
comprimento e dimensões das seções transversais. 
• Madeira compensada – é o produto mais antigo formado pela colagem de lâminas 
finas, com as direções das fibras alternadas ortogonalmente, com três, cinco ou mais 
camadas, sempre em número impar. As chapas de compensado têm suas dimensões 
são padronizadas de 2,50 x 1,25 m e espessura variando entre 4 e 30mm; 
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• Madeira laminada e colada – É um produto estrutural de madeira muito utilizado na 
Europa e América do norte. Ele é formado por madeira selecionada que são coladas 
sobre pressão, formando grandes vigas, em geral de seção retangular, sobre rígidos 
padrões de segurança, portanto seu custo é elevado; 
• Madeira recomposta – São produtos confeccionados na forma de placas 
desenvolvidos a partir de resíduos de madeira colados sobre pressão. Em geral, não 
são considerados materiais estruturais devido à baixa resistência e a durabilidade, 
sendo muito utilizados na indústria de móveis; 
 
 
2. PROPRIEDADES MECÂNICAS – ENSAIOS - BASES DE CÁLCULO 
 
2.1 Propriedades físicas e mecânicas das madeiras 
 São determinadas por meio de ensaios padronizados em amostras sem defeitos. O 
ANEXO B da NBR 7190/97 define os métodos de ensaios para determinação de propriedades 
das madeiras para projeto de estruturas de madeiras. 
 Para caracterização completa da madeira para uso em estruturas devem-se determinar 
através dos ensaios as seguintes propriedades: 
a) Resistência à compressão paralela às fibras fc; 
b) Resistência à compressão normal às fibras fcn; 
c) Resistência à tração paralela às fibras ft; 
d) Resistência à tração normal às fibras ftn; 
e) Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras fv; 
f) Resistência ao embutimento fe paralelo às fibras (pressão de apoio em ligações com 
conectores); 
g) Resistência ao embutimento fen normal às fibras; 
h) Módulo de elasticidade na compressão paralela às fibras Ec; 
i) Módulo de elasticidade na compressão normal às fibras Ecn; 
j) Densidade básica ρbas (massa específica definida pela razão entre a massa seca em estufa 
e o volume saturado submerso em água); 
k) Densidade aparente ρaparente (massa do corpo-de-prova a 12% de umidade); 
 
2.2 Ensaios padronizados 
 Utiliza-se de um número mínimo de seis corpos isentos de defeitos para a determinação de 
cada propriedade, em geral ela possuem seção transversal quadrada de 5 x 5 cm. 
 
a) Ensaio de compressão paralela às fibras (fc ou fc0 ou fwc0) 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 16 
 
5cm
Lo 15 cm
N
α
σ50%
σ10%
 fcel
 fc
σc = N
A
=
N
A
u
αtg =Ec =
σ50% σ10%
∆ε
∆ε ε=
∆L
Lo
 
 
Através deste ensaio determina-se o diagrama de tensão-deformação σc x ε. Utilizando 
extensômetros mecânicos ou transdutores de deslocamentos obtêm-se as medidas do 
encurtamento ∆L. Até fcel o trecho é linear no qual o comportamento da madeira é elástico. 
Neste trecho é calculado Ec ou Ec0 ou Ewc0 (módulo de elasticidade) com os valores de tensão 
e deformação correspondente a 10% e 50% da carga de ruptura, esse valor é estimado em 
um ensaio destrutivo realizado inicialmente. A partir de fcel o comportamento é não linear, 
então surge a flambagem das fibras da madeira. A tensão de ruptura ou resistência à 
compressão paralela às fibras é calculada dividindo-se a carga de ruptura, Nu, pela área da 
seção transversal inicial A do corpo de prova. 
 
b) Ensaio de compressão normal às fibras (fcn ou fc90 ou fwc90) 
5cm
10 cm
N
α
σ50%
σ10%
 fcn
σcn
αtg =Ecn
ε εr= 2%
=
σ50% σ10%
∆ε
 
 
Através deste ensaio determina-se o diagrama de tensão-deformação σcn x ε. Quando as 
fibras são comprimidas transversalmente elas ficam achatadas, por serem constituídas por 
células ocas apresentam grandes deformações, por isso o patamar quase horizontal no final 
do diagrama. A resistência à compressão normal as fibras fcn é definida por um critério de 
deformação excessiva sendo igual à tensão correspondente a uma deformação residual εr = 
2%. O módulo de elasticidade Ecn ou Ec90 ou Ewc90 é determinado de forma semelhante ao Ec. 
A resistência fcn é aproximadamente ¼ da fc. 
 
c) Ensaio de tração paralelo às fibras (ft ou ft0 ou fwt0) 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 17 
 
Lo >15 cm
F
σ50%
σ10%
 fc
σt = F
A
Et =
σ50% σ10%
∆ε
∆ε ε=
∆L
Lo
A A
d>2cm
CORTE A-A
 ft
Compressão
Tração
 
 
Através deste ensaio determina-se o diagrama de tensão-deformação σt x ε. Este ensaio 
apresenta regime linear até tensões bem próxima às tensões de ruptura ft e sofre pequenas 
deformações. A resistência a compressão fc é menor que ft. O módulo de elasticidade a tração 
paralelo às fibras Et ou Et0 ou Ewt0 é igual ao Ec. 
 
d) Ensaio de tração normal às fibras (ftn ou ft90 ou fwt90) 
A tração perpendicular às fibras é de rara ocorrência em estruturas. 
 
2.3 Correlação entre propriedades 
Quando não forem realizados ensaios específicos pode-se adotar que: 
• O módulo de elasticidade a compressão paralelo às fibras Ewc0 é igual ao módulo de 
elasticidade a tração paralelo às fibras Ewt0. 
0wt0wc EE = 
• Módulo de elasticidade na flexão EM 
0wcM E85,0E = para coníferas 
0wcM E90,0E = para dicotiledôneas 
• Módulo de elasticidade 
0w90w E20
1E = 
• Módulo de elasticidade transversal com o valor efetivo 
20
E
G ef,0wcef = 
 
2.4 Bases de cálculo 
Através dos ensaios padronizados são obtidas as resistências características dos corpos-
de-prova sem defeitos referidos à umidade padrão de 12%. Como a madeira serrada a ser 
utilizada nos projetos de estruturas de madeiras pode apresentar defeitos, pode ter diferentes 
teores de umidade e o carregamento pode apresentar tempo de duração incerto essas 
propriedades não representam as propriedades mecânicas. Os valores das resistências para 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 18 
 
serem utilizados nos dimensionamentos dos projetos devem levar em consideração esses 
fatores. Isso é feito através dos coeficientes de modificação Kmod. 
 Com a utilização dos Kmod obtêm-se os valores de cálculo a serem utilizados nos 
dimensionamentos. Assim os valores de cálculo da resistência são dados por: 
w
wk
modwd
fKf
γ
= 
Onde: 
 Fwd => Resistência de cálculo da madeira 
 Kmod => Coeficiente de modificação 
 fwk => Resistência característica da madeira 
 γw => Coeficiente de minoração das propriedades da madeira (Tabela **) 
 
2.5 Coeficiente de modificação Kmod 
• Kmod,1 => Leva em consideração o tipo de madeira empregada e o tempo de duração da 
carga (Tabela 10 - NBR7190/97); 
• Kmod,2 => Leva em consideração o efeito da umidade (Tabela 11 - NBR7190/97) 
• Kmod,3 => Leva em consideração a classificação da qualidade da madeira (Tabela *) 
Lote de 1a. categoria – quando todas as peças do lote são isentas de defeitos 
verificado através de umainspeção visual normalizada e a homogeneidade da 
rigidez é verificada por uma classificação mecânica. 
Lote de 2a. categoria – caso contrário. 
 
 
3mod,2mod,1mod,mod KKKK ⋅⋅= 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
 
PFEIL, W., PFEIL, M. Estruturas de Madeira, Editora LTC, Rio de Janeiro, 6a ed., 2008. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
 
Exercício 1 
Para um aço com patamar de escoamento bem definido desenhar o diagrama de tensão-
deformação, obtido em um ensaio de tração. Descrever cada fase do diagrama. 
Resposta: 
O diagrama de tensão-deformação: 
 
Fonte: HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 5. Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2004 – adaptado. 
Definição das fases: 
1ª Fase – Região elástica 
• Diagrama se comporta como uma reta as tensões são proporcionais à deformações - 
Lei de Hooke. Este fato ocorre até a tensão limite de proporcionalidade σlp. 
2ª Fase - Escoamento 
• Escoamento é um aumento de deformação com tensão constante. Essa tensão que 
produz o escoamento chama-se tensão de escoamento do material σy. 
3ª Fase – Endurecimento por deformação 
• Após o termino do escoamento um incremento de força adicional resulta um diagrama 
que cresce continuamente até o limite de resistência σr. Essa parte da curva do 
diagrama é conhecida por endurecimento por deformação. 
4ª Fase – Estricção 
• Após esse limite a área da seção transversal começa a diminuir em uma região 
localizada (estricção), até se romper quando atinge a tensão de ruptura σrup. 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
 
Exercício 2 
Segundo a classificação da madeira de construção, quais as suas duas categorias 
principais? Explique cada uma delas? 
Resposta: 
As madeiras de construção obtidas dos troncos das árvores são classificadas em duas 
categorias principais dependendo da estrutura celular dos troncos: 
• Madeiras duras são provenientes das árvores frondosas, de crescimento lento como, 
por exemplo: ipê, carvalho, peroba, aroeira, cedro, jacarandá, eucalipto, etc. 
Pertence a classe da Angiosperma, dentro do grupo das Dicotiledôneas, com folhas 
achatadas e largas. 
As de melhor qualidade são também chamadas de “madeiras de lei”. 
Os eucaliptos são utilizados como postes, estacas, dormentes, etc, e também na 
fabricação de papel e chapas de fibras de madeiras, etc. 
• Madeiras macias, moles ou brancas são provenientes das árvores pinheiros, de 
crescimento rápido como, por exemplo: pinheirinhos ou pinheiro-do-paraná, pinheiro-
bravo, pinheiros europeus, norte-americanos, etc. Mostrada na Figura 2. 
Pertence a classe da Gimnosperma, dentro do grupo das Coníferas, com folhas em 
forma de agulhas ou escamas, e sementes agrupadas em forma de cones. 
Os pinheiros-do-paraná possuem uma grande variedade de aplicações como formas, 
andaimes, obras provisórias, embarcações, móveis, compensados para a indústria 
aeronáutica, etc. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
MÓDULO 2 – Metálicas: Estados Limites, Ações e Combinações 
 
1. SEGURANÇA DE UMA ESTRUTURA 
 A segurança de uma estrutura esta associada à capacidade que a mesma apresenta 
de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante sua vida útil, preenchendo as 
condições funcionais para as quais a edificação foi destinada. 
RESISTÊNCIA (Rd) AÇÕES (Sd)
Ações e seus efeitosResistência da estrutura
em relação às ações
CONDIÇÃO DE SEGURANÇA
Rd Sd
SEGURANÇA
 
 A finalidade do cálculo é garantir uma segurança apropriada contra a ruína da estrutura 
e de seus elementos construtivos e assegurar a utilização normal durante sua vida útil. 
 Destaca-se a impossibilidade de se construir uma estrutura 100% segura, ou seja, a 
possibilidade de ocorrência de acidentes nunca é zero. 
 
2. MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES 
Estado limite é quando uma estrutura ou uma das suas partes torna-se imprópria para 
o uso normal, porque deixa de cumprir suas funções ou não satisfaz mais as condições para 
as quais ela foi concedida. Este método é classificado em duas categorias: 
 
2.1 Estado limite último: aqueles correspondentes ao valor máximo da capacidade portante 
de uma estrutura. Sua simples ocorrência determina a participação no todo ou em parte do 
uso da construção. Por exemplo: 
• Perda de equilíbrio global ou parcial, admitida a estrutura como corpo rígido; 
• Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
• Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático; 
• Instabilidade por deformação; 
• Instabilidade dinâmica; 
 
2.2 Estado limites de serviço (ou de utilização): estados que por sua ocorrência, repetição 
ou duração causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o 
uso normal da construção ou que são indícios de comprometimento da sua durabilidade. Por 
exemplo: 
• Danos ligeiros ou localizados que comprometem a estética ou a durabilidade; 
• Deformações excessivas que afetam a utilização normal ou a estética; 
• Vibração excessiva ou desconfortável; 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
 
3. Valor característico 
Valor característico é um valor associado a uma determinada probabilidade de não ser 
ultrapassado no sentido mais desfavorável pelos elementos de um dado lote de material. 
 
RESISTÊNCIA
De
n
sid
a
de
 
de
pr
o
ba
bi
lid
a
de
fk
5%
AÇÕES
De
n
sid
a
de
 
de
pr
o
ba
bi
lid
a
de
F
25 a 35% - Ação Variável
50% - Ação Permanente
k
 
 
4. Ações 
4.1 Definições 
Ação é toda influência exercida sobre um corpo capaz de produzir um estado de 
tensão ou modificar um estado de tensão já existente. 
Solicitação: esforço ou conjunto de esforços (N, M, V, MT, R) que devido às ações atua 
sobre a estrutura. 
Resistência: capacidade resistente ou o limite do nível e de solicitação além do qual 
surgem desempenhos inaceitáveis. 
 
4.2 Classificação das Ações segundo a NBR8681 
a) ações permanentes são as que ocorrem com valores constantes ou pequena variação em 
torno de sua média, durante praticamente toda a vida da construção. 
• Ações permanentes diretas: peso próprio da estrutura, pesos próprios dos elementos 
construtivos permanentes, pesos dos equipamentos fixos, etc... 
• Ações permanentes indiretas: recalques de apoio, protensão e a retração dos 
materiais. 
 
b) ações variáveis são as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas 
em torno de sua média, durante a vida da construção. Consideram-se como ações variáveis 
as cargas acidentais (ou sobrecargas atuam nas construções em função de seu uso: pessoas, 
móveis, materiais diversos, veículos - NBR 6120) das construções, os efeitos do vento, das 
variações de temperatura, etc. 
• Ações variáveis normais: são as que têm probabilidade de ocorrência suficientemente 
grande para que sejam obrigatoriamente consideradas no projeto das estruturas de um 
dado tipo de construção. 
• Ações variáveis especiais: são ações sísmicas (abalos, tremores) ou cargas acidentais 
de natureza ou de intensidade especial. 
 
c) Ações excepcionais são as que possuem duração extremamente curta e probabilidade 
muito baixa de ocorrência durante a vida da construção, mas devem ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas. Ex: explosões, choques de veículos, incêndios, 
enchentes e sismos excepcionais. (Normas Brasileiras Especificas). 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3 
 
5. Valores de cálculo das Ações 
 
kfd FF ⋅γ= 
 
Fd => Valor de cálculo da ação; 
Fk => Valor característico da ação; 
γf => Coeficiente de ponderações das ações 321f γ⋅γ⋅γ=γ 
• γ1 considera a variabilidade das ações; 
• γ2(= ψo) leva em conta o fato de ser muito baixa a probabilidade de ocorrência de 
duas ações variáveissimultaneamente (Tabela 2 NBR 8800/08); 
• γ3 leva em conta todas as imperfeições de execução ou de cálculo; 
 
O produto ( 31 γ⋅γ ) é representado por gγ para ações permanentes e qγ para ações 
variáveis (Tabela 1 NBR 8800/08). 
 
OBS: No caso de estados limites de serviço γf = 1, salvo exigência ao contrário. 
 
6. Valores de cálculo das resistências 
 
m
k
d
ff
γ
= 
 
fd => Valor de cálculo da resistência; 
fk => Valor característico da resistência; 
γm => Coeficiente de ponderações das resistências (Tabela 3 NBR 8800/08) 
 
7. Combinações de Ações 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidade não 
desprezáveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período. 
7.1 Combinações últimas podem ser: 
• Normais => decorrem do uso previsto para a edificação, deve ser considerada sempre. 
• Especiais => quando tiver ações variáveis de natureza ou intensidade especial; 
• De construção => ELU já durante a fase de construção; 
• Excepcionais => quando tiver ações excepcionais; 
 
EQUAÇÕES 
• Combinações últimas normais 
 
)F(F)F(F k,jQj0
n
2j
jqk,1Q1qk,Gi
m
1i
gid ψγ+γ+γ= ∑∑
==
 
 
• Combinações últimas especiais ou de construção 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 4 
)F(F)F(F k,jQef,j0
n
2j
jqk,1Q1qk,Gi
m
1i
gid ψγ+γ+γ= ∑∑
==
 
• Combinações últimas excepcionais 
 
)F(F)F(F k,jQef,j0
n
1j
jqexc,Qk,Gi
m
1i
gid ψγ++γ= ∑∑
==
 
 
7.2 Combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na 
estrutura. 
• Quase permanentes => atuam durante grande parte do período de vida da estrutura; 
• Freqüentes => se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura; 
• Raras => atuam no máximo algumas horas durante o período de vida da estrutura; 
 
EQUAÇÕES 
• Combinações quase permanentes de serviço 
 
)F(FF k,jQj2
n
1j
m
1i
k,Giser ψ+= ∑∑
==
 
 
• Combinações freqüentes de serviço 
 
)F(FFF k,jQj2
n
2j
k,1Q1
m
1i
k,Giser ψ+ψ+= ∑∑
==
 
 
• Combinações raras de serviço 
 
)F(FFF k,jQj1
n
2j
k,1Q
m
1i
k,Giser ψ++= ∑∑
==
 
 
OBS: No anexo C da NBR 8800/08 “Deslocamentos Máximos” para verificação dos 
deslocamentos máximos em terças de cobertura (L/180) deve se considerar combinações 
raras de serviço. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 8800: Projeto de estruturas de 
aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008. 
______. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980. 
______. NBR 8681: Ação e segurança nas estruturas - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 5 
MÓDULO 2 – Madeira: Critério de dimensionamento à 
compressão paralela às fibras (λ ≤ 40) - Madeiras 
 
1. MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
1.1 Compressão paralela às fibras 
O critério de dimensionamento depende diretamente do índice de esbeltez (λ) 
 
 
 
 
Onde: 
Lo=Lfl=L → para extremidades indeslocáveis por flexão; 
 Lo=Lfl=2.L → para uma extremidade engastada e outra livre; 
 rmin ou imin → raio de giração mínimo de sua seção transversal; 
I → momento de inércia; 
 A → área da seção transversal; 
 
Para peças curtas λ ≤ 40 (sem flambagem) 
 
Condição de Segurança: 
 
 
Onde: 
σco,d → tensão de compressão paralela às fibras solicitante de cálculo; 
 Fd → força axial de compressão paralela às fibras solicitante de cálculo; 
 A → área da seção transversal; 
 fco,d → resistência à compressão paralela às fibras resistente de cálculo; 
 fco,k → resistência à compressão paralela às fibras característica de cálculo; 
 kmod → coeficiente de modificação; 
 γwc → coeficiente de minoração da resistência à compressão paralela às fibras; 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 7190: Cálculo e execução de 
estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 2004. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
Exercício 1 
Determinar a combinação última normal mais crítica para um edifício industrial 
em estruturas metálicas sujeitas a seguintes ações: 
• Peso próprio → 100kN 
• Equipamentos → 30kN 
• Sobrecarga → 40kN 
• Vento (pressão) → 50kN 
• Vento (sucção) → -100kN 
Resolução: 
 
Devem-se identificar as ações classificadas como permanentes e como 
variáveis. Deve se também definir os coeficientes de ponderação dessas ações 
segundo as tabelas da NBR 8681:2003. Esses dados são mostrados na tabela 
abaixo: 
Ações Valor(kN) Classificação γg(Desfavorável) γg(Favorável) γq ψ0 
Peso próprio 100 perm 1,25 1,0 
Equipamento 30 perm 1,5 1,0 
Sobrecarga 40 var 1,5 0,7 
Vento+ 50 var 1,4 0,6 
Vento- -100 var 1,4 0,6 
 Tabela1 Tabela1 Tabela4 Tabela6 
 
Fazem-se tantas combinações quanto necessário para definir a situação mais 
crítica: 
1ª Combinação: Sobrecarga como ação variável principal 
Fd1 = 1,25 · 100 + 1,50 · 30 + 1,5 · 40 + 1,40 · 0,6 · 50 = 272kN 
 
2ª Combinação: Vento pressão como ação variável principal 
Fd2 = 1,25 · 100 + 1,50 · 30 + 1,4 · 50 + 1,50 · 0,7 · 40 = 282kN 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
3ª Combinação: Vento sucção alivia as demais ações, podendo inverter o 
comportamento da estrutura (usar gγ relativo a efeitos favoráveis) 
Fd3 = 1,0 · 100 + 1,0 · 30 + 1,40 · (-100) = -10kN 
 
Nesse caso as combinações críticas são: 
Fdcr+ = +282kN 
Fdcr- = -10kN 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
Exercício 2 
Um palco de madeira de peso de 1000kN e sobrecarga 200kN será suportada por 4 pilares de 
madeira. Dimensione a área quadrada do pilar e seu comprimento máximo (sem flambagem) 
considerando que o esforço é paralelo às fibras e a madeira tem as seguintes características: 
Será utilizada madeira serrada, dicotiledônea, classe C60, de 1a. categoria e o local da 
construção tem umidade relativa do ambiente igual a 50%. 
Considere a carga permanente de pequena variabilidade. 
 
Resolução: 
a) Combinação das Ações 
• Combinações últimas normais 
 
)F(F)F(F k,jQj0
n
2j
jqk,1Q1qk,Gi
m
1i
gid ψγ+γ+γ= ∑∑
==
 
 
γg=1,3 →ação permanente de pequena variabilidade (Tabela 3-NBR 7190:1997); 
γq=1,4 →ação variável sobrecarga (Tabela 6-NBR 7190:1997); 
 
Fd=1,3∙1000+1,4∙200=1580kN 
 
b) Força de cálculo em cada pilar 
 
Fd
Pilar� = 15804 =395kN 
c) Coeficiente de modificação 
kmod,1=0,70 → Classe de carregamento de longa duração para carregamento normal (item 
 5.2.1); Madeira serrada (Tabela 10-NBR 7190:1997); 
kmod,2=1,0 → Classe 1(umidade ≤ 65%); Madeira serrada (Tabela 11-NBR 7190:1997); 
kmod,3=1,0 → Madeira de 1a. categoria (Item 6.4.4-NBR 7190:1997); 
 
kmod=Kmod,1∙kmod,2∙kmod,3 
 
kmod=0,7∙1,0∙1,0=0,7 
 
d) Resistência à compressão paralela às fibras resistente de cálculo 
fco,k=60MPa=6kN/cm2 → Classe C60 Dicotiledôneas (Tabela 9-NBR 7190:1997); 
γwc=1,4 → para compressão paralela às fibras (Item 6.4.5-NBR 7190:1997) 
 
fco,d = kmod ∙
fco,k
γwc
=0,7∙
6
1,4 =3kN/cm
2
 
e) Tensão de compressão paralela às fibras solicitante de cálculo 
 
σco,d = FdA = 395a∙a ≤ 3 → a ≥ 11,475 cm ≅ 11,5 cm 
 
Onde “a” é um lado da seção transversal quadrada; 
 
• Raio de giração 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
rmin=� IA =� a∙a
3
12∙a∙a =
a√12 = 11,5√12 
 
• Índice de esbeltez (λ) 
Lfl=L → admitindo extremidades indeslocáveis por flexão (Item 7.5.1-NBR 7190:1997); 
 
λ=
Lfl
rmin
 ≤ 40 → L ≤ 11,5∙40√12 ≤ 132,8 cm 
 
RESPOSTA: Cada pilar do palco deverá ter seção transversalquadrada de lado igual a 11,5 cm e 
comprimento menor que 132,8 cm. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
MÓDULO 3 – Metálicas: Forças devidas ao vento em edificações 
 
Para se determinar as ações devidas ao vento que agem nas estruturas podem-se organizar 
uma série de etapas baseadas na norma NBR 6123 (Forças devidas ao vento em 
edificações). 
 
1. VELOCIDADE CARACTERÍSTICA (Vk) 
 
Baseado nos dados do projeto e das características da região em que se localiza a 
estrutura pode-se determinar a velocidade característica, Vk, onde: 
 
Vk=Vo.S1.S2.S3 (NBR 6123→Pg. 04) 
 
• Sendo, Vo a velocidade básica (rajada de 3s, excedida em média 1 vez em 50 anos, a 
10m acima do terreno em campo aberto e plano - determinada pelo gráfico das 
Isopletas). (NBR 6123→Pg. 06) 
• S1, S2 e S3 são fatores relacionados à topografia, rugosidade do terreno e estatística de 
segurança, respectivamente. 
 
a) Velocidade Básica vo 
Pelo gráfico das Isopletas obtém Vo (NBR 6123→Pg.6). A determinação da velocidade 
básica deve ser tomada como o maior valor entre duas Isopletas. 
 
b) Fator S1 
O fator S1 é determinado pela topografia da região próxima a edificação, no caso de 
terreno plano S1=1,0. (NBR 6123→Pg.05) 
 
c) Fator S2 
O fator S2 considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação de 
velocidade do vento com a altura da edificação e das dimensões da estrutura. 
Pelo item 5.3.1 da NBR6123 adota-se uma Categoria dependendo da rugosidade do terreno.
 (NBR 6123→Pg.08) 
A Figura 1 apresenta a superfície frontal para VENTO 0o e VENTO 90o. 
 
 
Figura 1 
 
 
 Pelo item 5.3.2 da NBR6123 adota-se uma Classe dependendo das dimensões da 
estrutura. (NBR 6123→Pg.09) 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
 
d) Fator S3 
Já o fator estatístico, S3, será definido pela Tabela 3 - Valores mínimos do fator 
estatístico S3. (NBR 6123→Pg.10) 
 
e) Velocidade Característica Vk 
Tem-se agora condições de calcular a velocidade característica (Vk): 
 
Vk=Vo.S1.S2.S3 (NBR 6123→Pg. 04) 
 
 
2. PRESSÃO DE OBSTRUÇÃO (q) 
 
A velocidade característica do vento permite determinar a pressão dinâmica pela 
expressão: 
 
q=0,613.Vk² (Pg.04) 
 
 
 
3. COEFICIENTES DE PRESSÃO E FORMA EXTERNOS (Ce) 
 
3.1. Paredes 
De acordo com a Tabela 04 - Coeficientes de pressão e de forma, para paredes de 
edificações de planta retangular, tem-se os coeficientes de pressão e forma externos. 
 (NBR 6123→Pg.14) 
 
Determinam-se os coeficientes de pressão e forma externos considerando a ação do 
vento em diferentes direções (VENTO 0º e VENTO 90º). 
 
3.2 Cobertura 
 
De acordo com a Tabela 5 - Coeficientes de pressão e forma, externos, para telhados 
com duas águas, simétricos, em edificações de planta retangular (NBR6123), tem-se 
coeficientes de pressão e forma externos. 
 
4. COEFICIENTES DE PRESSÃO INTERNA (Ci) 
Para edificações com paredes internas permeáveis (que permitem a passagem do 
vento), a pressão interna pode ser considerada uniforme. Neste caso, devem ser adotados os 
seguintes valores para Ci: 
 
a) Duas faces opostas “igualmente” permeáveis; as outras faces impermeáveis 
(essa situação ocorre quando os portões da fachada frontal estiverem fechados): 
 
 
b) Quatro faces “igualmente” permeáveis (essa situação ocorre quando os portões 
da fachada frontal estiverem abertos) 
 
c) Abertura dominante em uma face; as outras faces de “igual” permeabilidade. 
 
c1) Abertura dominante na face de barlavento. 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3 
 
Proporção entre a área de todas as aberturas na face de barlavento e a área total das 
aberturas em todas as faces submetidas a sucção externa (Situação crítica fechando as 
saídas). 
 
 
 
c2) Abertura dominante na face de sotavento. 
 
De acordo com a NBR6123, deve-se adotar o valor do coeficiente de forma externo, 
Ce, correspondente a esta face (ver Tabela 4) como o valor do Ci. 
Ci=Ce=-0,5 
 
c3) Abertura dominante em uma face paralela ao vento. 
c3.1) Abertura dominante em uma face paralela ao vento, não situada em zona de alta 
sucção externa. 
 
 
c3.2) Abertura dominante em uma face paralela ao vento, situada em zona de alta 
sucção externa. 
 
 
5. COMBINAÇÕES DOS COEFICIENTES Ce e Ci: 
 
Combinação dos coeficientes Ce e Ci nas situações mais críticas para a edificação (Ce-Ci) 
 
Os CARREGAMENTOS (I), (II), (III) e (IV) adotados são os mais críticos. 
 
6. AÇÕES DEVIDAS AO VENTO 
 
As ações devidas ao vento são dadas pela expressão abaixo: 
 
F=(Ce - Ci) . q . L (Pg.4) 
 
Onde: q => Pressão de obstrução (calculadas no item 2) 
(Ce - Ci) => Correção pelos coeficientes de pressão 
L = 5m => Largura de influência (Distância entre pilares) 
 
 
 
OBS: 
Barlavento é a face da edificação onde bate o vento. 
Sotavento é a face da edificação oposta à face onde o vento bate. 
 
 
Referência Bibliográfica: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 6123: Forças devidas ao 
vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988. 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 4 
MÓDULO 3 – Madeira: Critério de dimensionamento à 
compressão normal às fibras 
 
1. MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
1.1 Compressão normal às fibras 
No critério de dimensionamento deve ser levado em conta a extensão do carregamento 
medido paralelamente à direção das fibras. 
 a'm
 
 
Para 
 
 
Condição de Segurança: 
 
 
Onde: 
σc90,d → tensão de compressão normal às fibras solicitante de cálculo; 
 Fd → força axial de compressão normal às fibras solicitante de cálculo; 
 A → área de compressão; 
fc90,d → resistência à compressão normal às fibras resistente de cálculo; 
 fco,d → resistência à compressão paralela às fibras resistente de cálculo; 
 αn → coeficiente de majoração da resistência à compressão normal às fibras; 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 7190: Cálculo e execução de 
estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 2004. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 1
 
EXERCÍCIO 1) Para o edifício industrial com telhado duas águas da Figura 1 determinar as 
ações devidas ao vento que agem na estrutura, com a finalidade de projeto. 
Dados: Inclinação do telhado θ =200; 
Localização da estrutura: Cuiabá-MT; 
Terreno plano; 
Altura das obstruções consideradas 1,0m; 
Indústria com baixo fator de ocupação. 
Figura 1 
Resolução: 
 
Para se determinar as ações devidas ao vento que agem na estrutura acima 
podemos organizar uma série de etapas baseadas na norma NBR 6123 (Forças devidas ao 
vento em edificações). 
 
1. VELOCIDADE CARACTERÍSTICA (Vk) 
 
Baseado nos dados do projeto e das características da região em que se localiza a 
estrutura pode-se determinar a velocidade característica, Vk, onde: 
 
Vk=Vo.S1.S2.S3 (Pg. 04) 
 
• Sendo, Vo a velocidade básica (rajada de 3s, excedida em média 1 vez em 50 anos, a 
10m acima do terreno em campo aberto e plano - determinada pelo gráfico das 
Isopletas). (Pg. 06) 
• S1, S2 e S3 são fatores relacionados à topografia, rugosidade do terreno e estatística 
de segurança, respectivamente. 
 
a) Velocidade Básica vo 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 2
Pelo gráfico das Isopletas (NBR 6123) a região de Cuiabá-MT (ANEXO C – NO11 – 
Pg.46) está localizada entre as velocidades de 30m/s e 35m/s. A determinação da 
velocidade básica fica a critério do calculista. Adotamos Vo=35m/s (Hipótese crítica). 
 
b) Fator S1 
O fator S1 é determinado pela topografia da região próxima a edificação, no caso 
para terreno plano S1=1,0. (Pg.05) 
 
c) Fator S2 
O fator S2 considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, davariação de 
velocidade do vento com a altura da edificação e das dimensões da estrutura. 
Neste exemplo numérico temos a altura das obstruções = 1m, logo, pelo item 5.3.1 da 
NBR6123 estamos trabalhando na Categoria II. (Pg.08) 
A Figura 2 apresenta a superfície frontal para VENTO 0o e VENTO 90o. 
 
 
Figura 2 
 
Onde: a=30m; b=10m; H=Altura da parede + b/2 . tag 20o=5+5tag 20o= 6,82m. 
VENTO 0o => Como a maior dimensão L horizontal ou vertical da superfície frontal (L=10m) 
não excede 20m, pelo item 5.3.2 da NBR6123 temos a Classe A. (Pg.09) 
VENTO 90o => Como a maior dimensão L horizontal ou vertical (L=30m) esta entre 20 m e 
50 m, pelo item 5.3.2 da NBR6123 temos a Classe B. (Pg.09) 
 
Através da Figura 1 têm-se os valores de Za=5,0m (paredes) e Zb=6,82m (cobertura) 
que serão utilizados com os dados anteriores na Tabela 2 - Fator S2 (NBR6123), onde 
chegaremos aos valores de S2. (Pg.10) 
 
VENTO 0o 
S2 (Za)=0,94 => Categoria II, Classe A 
S2 (Zb)=0,962 (por interpolação linear) => Categoria II, Classe A 
 
Interpolação linear para S2 (Zb): 
 
Z=5m ___S2=0,94 
Zb=6,82m ___S2=? 
Z=10m ___S2=1,0 
 
962,0S
510
582,6
94,00,1
94,0S
2
2
==>
−
−
=
−
−
 
 
VENTO 90o 
S2 (Za)=0,92 => Categoria II, Classe B 
S2 (Zb)=0,942 (por interpolação linear) => Categoria II, Classe B 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 3
 
Interpolação linear para S2 (Zb): 
 
Z=5m ___S2=0,92 
Zb=6,82m ___S2=? 
Z=10m ___S2=0,98 
 
942,0S
510
582,6
92,098,0
92,0S
2
2
==>
−
−
=
−
−
 
 
d) Fator S3 
Já o fator estatístico, S3, será definido pelo baixo fator de ocupação, na Tabela 3 - 
Valores mínimos do fator estatístico S3 (NBR6123), onde temos S3=0,95 (note que houve 
uma minoração no fator pela baixa ocupação da edificação). (Pg.10) 
 
e) Velocidade Característica Vk 
Temos agora condições de calcular a velocidade característica (Vk): 
 
Vk=Vo.S1.S2.S3 (Pg. 04) 
 
VENTO 0o 
Vka= 35. 1,0 . 0,94 . 0,95 = 31,255 m/s (para paredes) 
Vkb= 35. 1,0 . 0,962 . 0,95 = 31,987 m/s (para cobertura) 
 
VENTO 90o 
Vka= 35. 1,0 . 0,92 . 0,95 = 30,590 m/s (para paredes) 
Vkb= 35. 1,0 . 0,942 . 0,95 = 31,322 m/s (para cobertura) 
 
 
2. PRESSÃO DE OBSTRUÇÃO (q) 
 
A velocidade característica do vento permite determinar a pressão dinâmica pela 
expressão: 
 
q=0,613.Vk² (Pg.04) 
 
VENTO 0o 
qa=0,613.(31,255)²= 598,82 N/m²=0,60 kN/m² (para paredes) 
qb=0,613.(31,987)²= 627,20 N/m²=0,63 kN/m² (para cobertura) 
 
VENTO 90o 
qa=0,613.(30,590)²= 573,61 N/m²=0,57 kN/m² (para paredes) 
qb=0,613.(31,322)²= 601,39 N/m²=0,60 kN/m² (para cobertura) 
 
 
 
3. COEFICIENTES DE PRESSÃO E FORMA EXTERNOS (Ce) 
 
3.1. Paredes 
De acordo com a Tabela 04 - Coeficientes de pressão e de forma, para paredes de 
edificações de planta retangular (NBR6123), tem-se: (Pg.14) 
h=5m; b=10m; a=30m 
h/b=5/10=1/2 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 4
a/b=30/10=3 
 
Onde: h= altura da parede; 
a=comprimento da edificação; 
b=largura da edificação. 
 
Determina-se os coeficientes de pressão e forma externos considerando a ação do 
vento em diferentes direções (VENTO 0º e VENTO 90º). 
 
Vento a 0º Vento a 90º 
 
A1 e B1: Ce=-0,8 A: Ce=+0,7 
A2 e B2: Ce=-0,4 B: Ce=-0,5 
A3 e B3: Ce=-0,2* C1 e D1: Ce=-0,9 
C: Ce=+0,7 C2 e D2: Ce=-0,5 
D: Ce=-0,3 
 
*Nota b) Para a/b ≥ 2: Ce=-0,2 (base retangular). 
 
 
Ilustração dos coeficientes Ce, nas paredes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 5
3.2 Cobertura 
 
De acordo com a Tabela 5 - Coeficientes de pressão e forma, externos, para telhados 
com duas águas, simétricos, em edificações de planta retangular (NBR6123), tem-se:
 (Pg.15) 
h/b=1/2 
θ =20º 
 
Vento a 0º Vento a 90º 
E e G: Ce=-0,7 E, F e I : Ce=-0,4 
F e H: Ce=-0,6 G, H e J: Ce=-0,4 
I e J : Ce=-0,2* 
 
*Nota d) Para a/b ≥ 2: Ce=-0,2 (base retangular). 
 
Ilustração dos coeficientes Ce, na parede e na cobertura: 
 
 Corte AA(0º) Corte BB(0º) Corte CC(0º) Corte DD(90º) 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 6
4. COEFICIENTES DE PRESSÃO INTERNA (Ci) 
Para edificações com paredes internas permeáveis (que permitem a passagem do 
vento), a pressão interna pode ser considerada uniforme. Neste caso, devem ser adotados 
os seguintes valores para Ci: 
 
a) Duas faces opostas “igualmente” permeáveis; as outras faces impermeáveis 
(essa situação ocorre quando os portões da fachada frontal estiverem fechados): 
 
 
Im
pe
rm
e
áv
e
l
Im
pe
rm
e
áv
e
l
Im
pe
rm
e
áv
e
l
Im
pe
rm
e
áv
e
l
Face permeável
Ci= + 0,2 Ci= -0,3
 
 
 
 
Vento perpendicular à Vento perpendicular à 
uma face permeável uma face impermeável 
VENTO 90o VENTO 0o 
 
b) Quatro faces “igualmente” permeáveis (essa situação ocorre quando os 
portões da fachada frontal estiverem abertos) 
Ci=-0,3 e Ci=0 para VENTO 0o e VENTO 90o 
 
c) Abertura dominante em uma face; as outras faces de “igual” permeabilidade. 
 
c1) Abertura dominante na face de barlavento. 
 
Proporção entre a área de todas as aberturas na face de barlavento e a área total das 
aberturas em todas as faces submetidas a sucção externa (Situação crítica fechando as 
saídas). 
 
VENTO 0o 
0,1333,0
2.)30.1(
4.5
A
A
A
)fechadotudocomfacesdemais(Saída
)abertotudocombarlaventoface(Entrada
Dom <=== 
 
Portanto, não há abertura dominante 
 
VENTO 90o 
0,1333,2)30.1(
2.)4.5()30.1(
A
A
A
)fechadotudocomfacesdemais(Saída
)abertotudocombarlaventoface(Entrada
Dom >=
+
== 
 
Portanto, há abertura dominante 
 
Pelo item 6.2.5c da NBR6123, tem-se Ci=+0,533 (por interpolação linear) (Pg.13) 
 
Interpolação linear para Ci: 
 
ADom=2 ___ Ci=+0,5 
ADom=2,333 ___ Ci=? 
90º 
0º 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 7
ADom=3 ___ Ci=+0,6 
 
533,0Ci
23
2333,2
5,06,0
5,0Ci
+==>
−
−
=
−
−
 
 
c2) Abertura dominante na face de sotavento. 
 
VENTO 0o 
0,1)inito(inf
0
4.5
A
A
A
)fechadotudocombarlaventoface(Entrada
)abertotudocomsotaventoface(Saída
Dom >>>∞=== 
 
Portanto, há abertura dominante 
 
De acordo com a NBR6123, deve-se adotar o valor do coeficiente de forma externo, 
Ce, correspondente a esta face (ver Tabela 4) como o valor do Ci. 
Ci=Ce=-0,3 
 
VENTO 90o 
0,1333,2)30.1(
2.)4.5()30.1(
A
A
A
)fechadotudocombarlaventoface(Entrada
)abertotudocomsotaventoface(Saída
Dom >=
+
== 
 
Portanto, há abertura dominante 
 
De acordo com a NBR6123, deve-se adotar o valor do coeficiente de forma externo, 
Ce, correspondente a esta face (ver Tabela 4) como o valor do Ci. 
Ci=Ce=-0,5 
 
c3) Abertura dominante em uma face paralela ao vento. 
c3.1) Abertura dominante em uma face paralela ao vento, não situada em zona de 
alta sucção externa. 
 
VENTO 0o 
0,1)inito(inf
0
))4.5(.230.1(.2
A
A
A
)fechadotudocombarlaventoface(Entrada
)abertotudocomparalelasfaces(Saída
Dom >>>∞=
+
==
 
 
Portanto, há abertura dominante 
 
De acordo com a NBR6123, deve-se adotar o valor do coeficiente de forma externo, 
Ce, correspondente a esta face (ver Tabela 4) como o valor do Ci. 
 
4,0
4
)2,0()2,0()4,0()8,0(CeCi −=−+−+−+−== 
 
VENTO 90o 
0,1333,1)30.1(
2.)4.5(
A
A
A
)fechadotudocombarlaventoface(Entrada
)abertotudocomparalelasfaces(Saída
Dom >=== 
 
Portanto, há abertura dominante 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 8De acordo com a NBR6123, deve-se adotar o valor do coeficiente de forma externo, 
Ce, correspondente a esta face (ver Tabela 4) como o valor do Ci. 
 
7,0
2
)5,0()9,0(CeCi −=−+−== 
 
c3.2) Abertura dominante em uma face paralela ao vento, situada em zona de alta 
sucção externa. 
 
OBS.: Não se tem abertura dominante nesta condição, portanto não enquadramos neste 
item. 
 
Resumo dos Ci encontrados: 
 
VENTO 0o 
Ci=-0,3 
Ci=0 (CRÍTICO) 
Ci=-0,4 (CRÍTICO) 
 
VENTO 90o 
Ci=+0,2 
Ci=0 
Ci=-0,3 
Ci=+0,533 (CRÍTICO) 
Ci=-0,5 
C-=-0,7 (CRÍTICO) 
 
5. COMBINAÇÕES DOS COEFICIENTES Ce e Ci: 
 
Combinação dos coeficientes Ce e Ci nas situações mais críticas para a edificação: 
 
VENTO 0o 
Ci=0 (CRÍTICO) 
 
 CARREGAMENTO (I) 
 
 Corte AA Corte BB Corte CC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 9
Ci=- 0,4 (CRÍTICO) 
 
 CARREGAMENTO (II) 
 
 Corte AA Corte BB Corte CC 
 
 
 
VENTO 90o 
 Ci=- 0,7 (CRÍTICO) Ci=+0,533 (CRÍTICO) 
 
 CARREGAMENTO (III) CARREGAMENTO (IV) 
 
 Corte DD Corte DD 
 
Os CARREGAMENTOS (I), (II), (III) e (IV) adotados são os mais críticos. 
 
6. AÇÕES DEVIDAS AO VENTO 
 
As ações devidas ao vento são dadas pela expressão abaixo: 
 
F=(Ce - Ci) . q . L (Pg.4) 
 
Onde: q => Pressão de obstrução (calculadas no item 2) 
(Ce - Ci) => Correção pelos coeficientes de pressão 
L = 5m => Largura de influência (Distância entre pilares) 
 
VENTO 0o 
CARREGAMENTO (I) 
FIP=(-0,8) . 0,60 . 5 = -2,4 kN/m (Parede => Sucção) 
FIC=(-0,7) . 0,63 . 5 = -2,205 kN/m (Cobertura => Sucção) 
 
CARREGAMENTO (II) 
FIIP=(+0,2) . 0,60 . 5 = +0,6 kN/m (Parede => Sobrepressão) 
FIIC=(+0,2) . 0,63 . 5 = +0,63 kN/m (Cobertura => Sobrepressão) 
 
 
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 10
VENTO 90o 
CARREGAMENTO (III) 
FIIIP(ESQ)=(+1,4) . 0,57 . 5 = +3,99 kN/m (Parede => Sobrepressão) 
FIIIP(DIR)=(+0,2) . 0,57 . 5 = +0,57 kN/m (Parede => Sobrepressão) 
FIIIC=(+0,3) . 0,60 . 5 = +0,90 kN/m (Cobertura => Sobrepressão) 
 
CARREGAMENTO (IV) 
FIVP(ESQ)=(+0,167) . 0,57 . 5 = +0,476 kN/m (Parede => Sobrepressão) 
FIVP(DIR)=(-1,033) . 0,57 . 5 = -2,944 kN/m (Parede => Sucção) 
FIVC=(-0,933) . 0,60 . 5 = -2,799 kN/m (Cobertura => Sucção) 
 
 
 
 
 
 
Ilustração dos carregamentos finais, na edificação para finalidade de projeto 
estrutural do pórtico transversal: 
 
VENTO 0o 
 CARREGAMENTO (I) CARREGAMENTO (II) 
 
 kN/m kN/m 
 
VENTO 90o 
 CARREGAMENTO (III) CARREGAMENTO (IV) 
 
 
 kN/m kN/m 
 
 
OBS: 
Barlavento é a face da edificação onde bate o vento. 
Sotavento é a face da edificação oposta à face onde o vento bate. 
 Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
Exercício 2 
Qual o valor da força Pk da figura abaixo? Dados: Madeira Dicotiledônea C60 (1a. 
categoria), umidade classe 2, carga acidental de longa duração, madeira serrada. Utilizar 
combinação última normal. (Não é necessário descontar o furo da arruela). 
 
 
Resolução: 
a) Determinação do coeficiente αn (Tabela 13-NBR 7190:1997) 
 
Para m=10 cm 
 a’=15 cm 
 Tabela 13 → αn = 1,0 
 
b) Coeficiente de modificação 
kmod,1=0,70 → Classe de carregamento de longa duração; Madeira serrada (Tabela 10-
NBR 7190:1997); 
kmod,2=1,0 → Classe 2; Madeira serrada (Tabela 11-NBR 7190:1997); 
kmod,3=1,0 → Madeira de 1a. categoria (Item 6.4.4-NBR 7190:1997); 
 
kmod=Kmod,1∙kmod,2∙kmod,3 
 
kmod=0,7∙1,0∙1,0=0,7 
 
c) Resistência à compressão paralela às fibras resistente de cálculo 
fco,k=60MPa=6kN/cm2 → Classe C60 Dicotiledônea (Tabela 9-NBR 7190:1997); 
γwc=1,4 → para compressão paralela às fibras (Item 6.4.5-NBR 7190:1997) 
 
fco,d = kmod ∙
fco,k
γwc
=0,7∙
6
1,4 =3,0kN/cm
2
 
d) Tensão de compressão normal às fibras resistente de cálculo 
 
fc90,d =0,25∙fco,d∙αn=0,25∙3∙1,0=0,75kN/cm2 
 
e) Cálculo da força de compressão Pk solicitante de cálculo 
γq=1,4 →ação variável sobrecarga – carga acidental (Tabela 6-NBR 7190:1997); 
cotas cm
Pk=?
 Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
 
σc90,d = 
Fd
A =
1,4∙Pk
15∙15 ≤ fc90,d=0,75 
 
Portanto: Pk ≤ 120,54 kN/cm2 
 
RESPOSTA: A máxima força Pk que poderá ser aplicada é 120,54 kN/cm2. 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
MÓDULO 4 – Metálicas: Barras Tracionadas 
 
1. Barras tracionadas 
 
As barras tracionadas podem ser barras de treliças, tirantes, contraventamentos, etc. 
 
Tipos de Perfis utilizados: barra redonda, chata, perfis cantoneiras, L, U, I, etc... 
 
Áreas de cálculo: 
• Ag – área bruta da seção transversal da barra; 
• An – área líquida da seção transversal da barra; 
• Ae – área líquida efetiva; 
 
1.1 Área bruta (Ag) – soma dos produtos da espessura pela largura bruta de cada 
elemento. 
 
Exemplo: Calcular a área bruta do perfil abaixo. 
b1
b2
t
 
 
Linha do esqueleto= tbb
2
t
2
tbb 2121 −+=−−+ 
 
Área bruta é ( ) ttbbA 21g ⋅−+= 
 
1.2 Área líquida (An) – Em regiões com furos An é a soma dos produtos da espessura 
pela largura líquida de cada elemento, como segue: 
 
• Diâmetro do furo-padrão é sempre maior que o diâmetro do parafuso 
(db): 
 
mm5,1ddd bpadrãofurof +== 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 2 
Diâmetro
do
parafuso
 
 
• Diâmetro do furo de cálculo (dc) é: 
 
mm5,3dmm2mm5,1dmm2dd bbfc +=++=+= 
 
OBS: Não havendo furo An = Ag. 
 
 O furo reduz a seção bruta do perfil antecipando o escoamento. 
 
• Área líquida de uma cantoneira com um furo. 
Nt,Sd
 
td1AA cgn ⋅⋅−= 
 
• Área líquida de uma cantoneira com dois furos. 
b1
b2
A
B
C
D
E
F
s
g Nt,Sd
Nt,Sd
b1
t
2
b2
t
2
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 3 
Linha de ruptura ABCD: td1AA cgn ⋅⋅−= 
Linha de ruptura ABEF: t
g4
s1td2AA
2
cgn ⋅
⋅
⋅+⋅⋅−= 
 
A área líquida mais crítica é a obtida pela linha de ruptura que produz a menor 
área líquida. 
 
s – espaçamento longitudinal dos parafusos (direção de força); 
g – espaçamento transversal dos parafusos (perpendicular a força); 
 
Quando a ruptura se dá por ziguezague tem-se um aumento da resistência 
que é expresso como um aumento da área líquida dado por t
g4
s2
⋅
⋅
 para cada 
componente em diagonal, essa expressão é deduzida experimentalmente. 
 
Generalizando: ( ) ∑∑ ⋅
⋅
+⋅−= t
g4
stdAA
2
cgn 
 
1.3 Área líquida efetiva (Ae) 
 
nte ACA ⋅= 
 
Ct – é um coeficiente de redução da área líquida. 
 
 Quando a força de tração é transmitida por todos os segmentos da seção 
transversal a seção participa integralmente da transferência dos esforços Ct=1,0. 
No caso da cantoneira a transferência dos esforços se dá através de uma aba. As 
tensões se concentram no segmento ligado e não mais se distribui em toda a seção. 
Esse efeito é levado em consideração utilizando a área líquida efetiva. 
N t,Sd
 
 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 4 
O coeficiente de redução da área líquida, Ct, tem os seguintes valores: 
 
a) Quando a força de tração for transmitida diretamente por cada um dos elementos 
da seção transversal da barra, por soldas ou parafusos: 
0,1Ct = 
b) Quando a força de tração for transmitida somente por soldas transversais: 
g
c
t A
AC = 
Onde Ac é a área da seção transversal dos elementos conectados. 
Ac
Solda
 
c) Nas barras com seções transversais abertas, quando a força de traçãofor 
transmitida somente por parafusos ou somente por soldas longitudinais... : 
 
c
c
t
e1C
l
−= 
 
ec – é a excentricidade da ligação, igual à distancia do centro geométrico da 
seção da barra G ao plano de cisalhamento da ligação. 
 
lc – é o comprimento efetivo da ligação. 
 
Nas ligações soldadas lc é igual ao comprimento da solda na direção da força 
axial. 
Nas ligações parafusadas lc é igual à distância do primeiro ao último parafuso na 
linha de furação com maior nº de parafusos, na direção da força axial. 
 
 Para cantoneira: 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 5 
ec
G
 
 
 
d) Nas chapas planas, quando a força de tração for transmitida somente por soldas 
longitudinais ao longo de ambas as suas bordas: 
Nt,Sd Nt,Sd
Solda
b
l w
 
 
Ct = 1,0 para lw ≥ 2b 
Ct = 0,87 para 2b > lw ≥ 1,5b 
Ct = 0,75 para 1,5 > lw ≥ b 
 
1.4 Critérios de Dimensionamento - Estado limite último 
 
Rd,tSd,t NN ≤ 
 
Onde: Nt,Sd – é a força axial de tração solicitante de cálculo; 
Nt,Rd – é a força axial de tração resistente de cálculo; 
 
a) Para escoamento da seção bruta 
1a
yg
Rd,tSd,t
fA
NN
γ
=≤ 
 
b) Para ruptura da seção líquida 
 
2a
ue
Rd,tSd,t
fANN
γ
=≤ 
 
Onde: Ag – é a área bruta da seção transversal da barra; 
 Ae – é a área líquida efetiva da seção transversal da barra; 
fy – é a resistência ao escoamento do aço; 
fu – é a resistência à ruptura do aço; 
γa – é o coeficiente de ponderação das resistências γm, dado na Tabela 3; 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 6 
 
c) Limitação devido aos estados limites de utilização 
 
Para evitar problemas de vibração das barras na utilização da estrutura 
provocados por impactos, ventos, etc. 
 
300
rmin
max ≤=λ
l
 
Onde: l – comprimento destravado; 
rmin – raio de geração mínimo; 
 
 
 
Recomendações: 
• Não se deve fazer ligações com 1 parafuso; 
• Não se deve fazer ligações com conjunto (fileira) de parafusos na direção 
normal a força; 
• Não se deve em projetos usar cantoneira cuja aba seja menor que 1 ½” 
(38mm); 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 8800: Projeto de 
estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 
2008. 
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 7 
MÓDULO 4 – Madeira: Critério de dimensionamento à tração paralela às fibras 
 
1. MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
1.1 Tração paralela às fibras 
A tração paralela às fibras é a propriedade mecânica onde a madeira apresenta 
melhores valores. 
 
Condição de Segurança: 
 
 
Onde: 
σto,d → tensão de tração paralela às fibras solicitante de cálculo; 
 Fd → força axial de tração paralela às fibras solicitante de cálculo; 
 A → área da seção transversal; 
 Fto,d → resistência à tração paralela às fibras resistente de cálculo; 
 Fto,k → resistência à tração paralela às fibras característica de cálculo; 
 kmod → coeficiente de modificação; 
 γwt → coeficiente de minoração da resistência à tração paralela às fibras; 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 7190: Cálculo e 
execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 2004. 
 
 
 Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira Página 1 
Exercício 2 
Qual a máxima carga que o tirante suporta? Dados: Madeira Conífera C25, umidade classe 
2, madeira serrada, carga acidental de longa duração. 
 
 
Resolução: 
a) Coeficiente de modificação 
kmod,1=0,70 → Classe de carregamento de longa duração; Madeira serrada (Tabela 10-
NBR 7190:1997); 
kmod,2=1,0 → Classe 2; Madeira serrada (Tabela 11-NBR 7190:1997); 
kmod,3=0,8 → Madeira de 2a. categoria (Item 6.4.4-NBR 7190:1997); 
 
kmod=Kmod,1∙kmod,2∙kmod,3 
 
kmod=0,7∙1,0∙0,8=0,56 
 
b) Resistência à tração paralela às fibras resistente de cálculo 
fco,k=25MPa=2,5kN/cm2 → Classe C25 Conífera (Tabela 8-NBR 7190:1997); 
γwt=1,8 → Para tração paralela às fibras (Item 6.4.5-NBR 7190:1997) 
fco,k
fto,k
=0,77 → Relação entre resistência (Item 6.3.3-NBR 7190:1997) 
 
Portanto: 
fto,k=
fco,k
0,77 =
2,5
0,77 =3,25 kN/cm
2
 
Assim tem-se que: 
 
fto,d = kmod ∙
fto,k
γwt
=0,56∙
3,25
1,8 =1,01 kN/cm
2
 
 
c) Cálculo da força de tração Pk solicitante de cálculo 
γq=1,4 →ação variável sobrecarga – carga acidental (Tabela 6-NBR 7190:1997); 
 
σto,d = 
Fd
A =
1,4∙Pk
10∙(20 - 5) ≤ fto,d = 1,01 
 
Portanto: Pk ≤ 108,21 kN 
 
RESPOSTA: A máxima força Pk que poderá ser aplicada é 108,21 kN. 
Pk =?
cotas cm
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Exercício 1 – Barras Tracionadas - Metálicas 
 
 
 
 
 
 
Dimensionar a dupla cantoneira de abas iguais laminada MR250 (ASTM A36) para 
uma barra tracionada parafusada apenas em uma aba em linha única com comprimento 
de 5500mm. 
Dados: 
db=19mm => Diâmetro do parafuso (Considerar 3 furos); 
Esforços nas barras: Ngk=120 kN (permanente - peso próprio da estrutura metálica); 
 Nqk=200 kN (Sobrecarga); 
 Nvk=150 kN (Vento); 
MR 250 => fy=250 MPa (N/mm2) = 25 kN/cm2; 
 fu=400 MPa (N/mm2) = 40 kN/cm2; 
 
Chapa de ligação #3/8'' 
 
Obs: Considerar Estados Limites Últimos - Combinações últimas normais. 
 
Resolução: Unidades de comprimento ''cm'' e força ''kN''. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaçamento entre furos 3.db: 
 
 
L 550:= cm db 1.9:= cm fy 25:=
kN
cm
2
df db 0.15+:= df 2.05= cm
fu 40:=
kN
cm
2dc df 0.2+:= dc 2.25= cm
3 db⋅ 5.7= cm
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a) Combinações últimas normais 
 
 
 
 
 
 
 
1a. combinação => Sobrecarga como ação variável principal 
 
 
 
2a. combinação => Vento como ação variável principal 
 
 
 + CRÍTICO 
b) Condição de segurança 
 
 
 
 NtSd = Fd2 
• Para escoamento da seção bruta 
 
Ngk1 120:= γg1 1.25:= γa1 1.1:= γa2 1.35:=
Nqk1 200:= γq1 1.5:= ψo1 0.8:=
Nqk2 150:= γq2 1.4:= ψo2 0.6:=
Fd1 γg1 Ngk1⋅ γq1 Nqk1⋅+ γq2 ψo2⋅ Nqk2⋅+:=
Fd1 576= kN
Fd2 γg1 Ngk1⋅ γq2 Nqk2⋅+ γq1 ψo1⋅ Nqk1⋅+:=
Fd2 600= kN
NtSd NtRd1≤ e NtSd NtRd2≤
NtSd 600:= kN
NtRd1
Ag fy⋅
γa1
:=
Ag
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NtRd2=
Ae·fu
γa2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Para ruptura da seção líquida efetiva 
c) Escolha do perfil 
• Para escoamento da seção bruta 
 
 
 
 
 => Para cantoneira dupla 
• Para ruptura da seção líquida efetiva 
 
 
 
 
 => Para cantoneira dupla 
NtSd
Ag fy⋅
γa1
≤ Ag
NtSd γa1⋅
fy
:=
Ag
NtSd γa1⋅
fy
≥ Ag 26.4= cm
2
Ag_necessário 26.4≥ cm2
NtSd
Ae fu⋅
γa2
≤ Ae
NtSd γa2⋅
fu
:=
Ae
NtSd γa2⋅
fu
≥ Ae 20.25= cm
2
Ae_necessário 20.25≥ cm2
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df = 20.5mm 
dfmax (17~23mm) Tabela OK! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 x 3 #3/8 Peso = 21.42 kg/m 
 
PERFIL ADOTADO 
7.62cm x 7.62cm # 0.952cm 
 > Ag_necessário = 26.4 cm2 
 
 
 
 
Lc => é a distância do primeiro ao último parafuso da linha de furação... 
Lc = 2 . 3.db 
 
 
 
 
 
An1 = Ag - Σdc.t + Σ(s2 /4.g).t 
 
=> 2 porque são duas cantoneiras 
 
 
 
Ag_adot1 27.22:= cm
2
y1 2.26:= cm ec( )
ec1 2.26:= cm
t1 0.952:= cm
Lc 2 5.7⋅:=
Lc 11.4=