Estruturas com Apoios Elásticos

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Estruturas com Apoios Elásticos 
1. Definição: 
 Apoio em mola (equivalente ao apoio do 1 gênero): 
 Suponhamos uma viga apoiada em um apoio A, do 2 
gênero, e em um ponto B de outra viga CD. O ponto B 
será um apoio elástico, pois absorve uma reação de 
apoio em função de um deslocamento na direção da 
força absorvida. O esquema estrutural da viga AB é: 
A mola fica definida pela constante k que representa a 
razão entre a força aplicada na mola e o deslocamento nela 
produzido pela força, razão que é constante, já que 
estamos no regime elástico. Para conhecermos a 
constante, basta aplicarmos na estrutura que funciona 
como apoio, no caso a viga CD, uma força F no ponto B e 
calcularmos seu deslocamento  neste ponto. A constante 
de mola vale: k = F / . 
 
 Engaste elástico: 
 Suponhamos uma viga sobre colunas. Se a rigidez das 
 colunas for baixa, ela tenderá a funcionar mais como bi- 
 apoiada, mas, se a rigidez de uma das colunas tender a 
 uma rigidez infinita, ela funcionará como apoiada e 
 engastada. 
Se a rigidez do apoio se situar entre os dois limites dos 
exemplos anteriores, o apoio oferecerá algum impedimento 
à livre rotação, aparecendo uma reação M, associada a 
uma rotação , tendo em vista que não existe rigidez 
suficiente para impedir totalmente a rotação. Esse vínculo é 
chamado engaste elástico e é definido pela constante K de 
engastamento elástico, que vale: K = M / . 
 
Por exemplo, para o cálculo da haste AB do quadro da 
figura seguinte, podemos analisá-la isoladamente a partir 
do esquema estático dela resultante, sendo a constante K 
de engastamento elástico obtida pela razão entre o 
momento M aplicado na estrutura e a rotação que ele 
provoca no nó B. 
Observação: O apoio elástico equivalente ao apoio do 2 
gênero é resultante da associação de duas molas 
consideradas em direções perpendiculares. 
2. Trabalho virtual de deformação dos apoios elásticos: 
 Mola: 
 W virtual mola = F .  = F . F / k 
 Como nas aplicações usuais, os trabalhos virtuais de 
 deformação vêm multiplicados por EJbásico. 
 Assim: 
 EJb W virtual mola = EJb . F . F / k 
 
 Engaste elástico: 
 W virtual engaste = M .  = M . M / K 
 EJb W virtual engaste = EJb . M . M / K 
3. Cálculo de deslocamentos em estruturas 
 isostáticas com apoios elásticos: 
 Para calcular deslocamentos, basta acrescentar aos 
 termos até aqui considerados, no cálculo dos EJb , 
 tantas vezes as parcelas EJb . F . F / k e EJb . M . M / K 
 quantas forem as molas e engastes elásticos da 
 estrutura. 
 
 Exemplo: 
 Calcular a rotação relativa das tangentes à elástica em B, 
 o deslocamento vertical de C e a rotação da tangente à 
 elástica em A. Considerar EJ=105 kNm2; K=105 mkN/rad 
e k = 104 kN/m. 
O sistema estático equivalente é: 
a) Cálculo da rotação relativa em B: 
EJb .  =  M . M ds + EJb . F . F / k + EJb . M . M / K 
EJb .  = (1/3) x 4 x 40 x 1 – (1/6) x 6 x 240 x (5 + 1) + 
 + (105/104) x 40 x (1/4) - (105/105) x 240 x 2,5 = 
 = -1887,0 
  = -18,87 x 10-3 radianos (aqui não tem sentido a 
 ser indicado) 
b) Cálculo do deslocamento vertical de C: 
 C = FC/k = 40 / 10
4 = 0,004 m = 0,4 mm (para baixo) 
 
c) Cálculo da rotação de A: 
 A = FA/K = 240 / 10
5 = 2,4 x 10-3 rad (sentido horário) 
 
4. Resolução de estruturas hiperestáticas: 
 Vamos aplicar o conceito de cálculo de deslocamentos 
em estruturas isostáticas com apoios elásticos para 
resolver estruturas hiperestáticas. 
 
 Exemplo 1: 
 Obter o DMF para a viga da figura seguinte. 
 Dados: EJb = 106 kNm2; K = 105 mkN/rad; k = 105 kN/m 
O sistema estático equivalente é: 
Adotaremos o seguinte Sistema Principal: 
Diagramas M0 e M1 no Sistema Principal 
Cálculo dos termos EJb.: 
EJb10 = -(1/3) x 8 x 80 x 1 –(106/105) x 40 x (1/8) = -263,3 
EJb11 = (1/3) x 8 x 1 x 1 + (106/105) x (1/8) x (1/8) + 
 + (106/105) x 1 x 1 = 12,83 
Equação de compatibilidade: 
-263,3 + 12,83 X1 = 0 
Assim: X1 = 263,3 / 12,83 = 20,5 
Diagrama de Momentos Fletores Final: 
Observação: A partir das expressões k = F/ e K = M/, 
podemos calcular o VA = 37,4 / 10
5 = 0,374 mm (para 
baixo) e a rotação da tangente B = 20,5 / 10
5 = 2,05 x 
10-4 radianos (sentido anti-horário). 
 Exemplo 2: 
 Uma viga de fundação de um edifício alto apresenta o 
 esquema estrutural e os carregamentos indicados na 
 figura. Determinar os diagramas de momentos fletores e 
 de esforços cortantes, bem como os recalques nos 
pontos A, B e C. Dados: EJ = 1,35 x 105 kNm2; 
 K = 105 mkN/rad; k1=k3=k4= 1,5 x 105 kN/m; 
 k2 =1,2 x 105 kN/m 
Solução: 
Sistema Principal e Hiperestáticos: 
Diagramas M0, M1 e M2 no Sistema Principal: 
Cálculos dos termos EJb.: 
EJb.ij =  Mi . Mj ds + EJb . Ri . Rj / k + EJb . Mi . Mj / K 
 
EJb.10 = -(1/3) x 3 x 22,5 x 1 – (1/3) x 4 x 40 x 1 – 
 - (1,35x105/(1,5x105)) x (630 x (1/3) + 440 x (1/4)) + 
 + (1,35x105/(1,2x105)) x 770 x (7/12) = 141,48 
 
EJb.20 = -(1/3) x 4 x 40 x 1 - (1,35x105/(1,2x105)) x 770 x 
 x (1/4) + (1,35x105/(1,5x105)) x 440 x (1/4) = -170,90 
 
EJb.11 = (1/3) x 3 x 1 x 1 + (1/3) x 4 x 1 x 1 + 
 + (1,35x105/(1,5x105)) x ((1/3)x(1/3) + (1/4)x(1/4)) + 
 + (1,35x105/(1,2x105)) x (7/12) x (7/12) 
EJb.12 = EJb.21 = (1/6) x 4 x 1 x 1 – (1.35/1,2) x (7/12) 
 x (1/4) – (1.35/1,5) x (1/4) x (1/4) = 0,45 
 
EJb.22 = (1/3) x 4 x 1 x 1 + (1,35/1,2) x (1/4) x (1/4) + 
 + (1.35/1,5) x (1/4) x (1/4) + (1,35/1,0) x 1 x 1 = 2,81 
 
Cálculo dos hiperestáticos: 
141,48 + 2,87X1 + 0,45X2 = 0 
-179,90 + 0,45X1 + 2,81X2 = 0 
 
Resolvendo: 
X1 = -60,35 kNm 
X2 = 70,50 kNm 
Diagramas de Momento Fletor e de Esforço Cortante Finais: 
Recalques em A, B e C: 
A = 650,1 / (1,5 x 105) = 0,0043 m = 4,3 mm () 
B = 717,2 / (1,2 x 105) = 0,0060 m = 6,0 mm () 
C= 472,7 / (1,5 x 105) = 0,0032 m = 3,2 mm () 
 
Representação dos Recalques: 
Exemplo 3: 
Determinar os esforços normais nas barras da treliça da 
figura, considerando A = 68,75 cm2 e E = 2,1 x 108 kN/m2 
em todas as barras e k = 2,4 x 105 kN/m. 
 
O Sistema Principal e os estados E0 e E1 são representados 
Na figura seguinte. Os cálculos intermediários para a 
determinação dos coeficientes ij estão apresentados numa 
tabela que resume as operações necessárias. 
EA = 2,1 x 108 x 68,75 x 10-4 = 1,444 x 106 kN 
10 =(-240 – 1202 )/1,444 x 106 = -2,838 x 10-4 m 
11 =(1/2,4 x 105) + (9 + 62 )/1,444 x 106 = 1,628 x 10-5 
A equação para cálculo de X1 é: 
1,628 x 10-5 X1 = 2,838 x 10-4 m 
X1 = 17,434 kN. 
Os esforços finais estão mostrados em negrito na tabela. 
Cálculo de deslocamentos em estruturas hiperestáticas: 
 Caso de carregamento externo: 
 Seja a estrutura da figura, para a qual desejamos, por 
 exemplo, calcular o deslocamento da seção m na direção 
 . A aplicação do PTV fornece: 
A partir de um sistema principal qualquer, podemos 
escrever: 
Analisando os coeficientes de X1 e X2: 
Os coeficientes de X1 e X2 são iguais a 0, por serem 
equações do sistema de compatibilidade elástica para 
determinação dos hiperestáticos X1 e X2. 
A expressão anterior se reduz para: 
Na expressão anterior, M, N e Q são os esforços atuantes 
na estrutura hiperestática provocados pelo carregamento 
externo e M0, N0 e Q0 são os esforçosatuantes no sistema 
principal isostático quando aplicamos um carregamento 
virtual P =1. 
Por meio de um tratamento algébrico análogo ao adotado, 
poderíamos também obter: 
Na expressão, M, N e Q são os esforços atuantes na 
estrutura hiperestática provocados pelo carregamento virtual 
e M0, N0 e Q0 são os esforços atuantes no sistema principal 
isostático quando aplicamos o carregamento externo. 
Peter Pasternak anunciou o teorema da redução: 
“Para se calcular deslocamentos em estruturas hiperestáticas 
empregando-se o PTV, um dos carregamentos deve se 
tomado na estrutura hiperestática, podendo o outro ser 
tomado num sistema principal isostático qualquer que dela 
se obtenha.” 
Obs: Podemos verificar diagramas solicitantes obtidos para 
uma estrutura hiperestática, pois basta considerar o 
diagrama obtido do carregamento externo e aplicar o 
carregamento virtual num sistema principal isostático 
necessário à obtenção de um deslocamento cujo valor 
conhecemos a priori, como por exemplo a rotação num 
engaste ou o deslocamento linear de um apoio do 2 gênero, 
valores que sabemos serem nulos. 
Exemplo 1: Calcular o deslocamento vertical na seção 
central da viga bi-engastada. 
EJ  = -(1/2) x l x l/4 x (ql2/12) + (1/3) x l x (1+0,5x0,5) x 
 x (l/4) x (ql2/8) = ql4/384 
Resposta: 
 = ql4/(384EJ) 
Para a atuação do carregamento virtual, poderíamos ter, 
indiferentemente, trabalhado com qualquer um dos 
sistemas principais da figura abaixo: 
Exemplo 2: 
Calcular o deslocamento horizontal da barra CD do 
pórtico da figura seguinte. 
Dado: EJC = 10
4 kNm2 
EJC CD = (1/3) x 3 x 3 x (-0,82 + 3,27/2) = 2,45 
CD = 2,45 x 10
-4 m = 0,245 mm 
Se trabalhássemos com qualquer outro sistema principal, 
chegaríamos evidentemente ao mesmo resultado. 
Suponhamos o sistema principal da figura abaixo: 
EJC CD = (1/3) x 3 x 3 x (4,09 + 3,27/2) – (1/3) x 3 x 3 x 
 x 9 + (1/3) x 3 x 3 x 4,09 = 2,45 
CD = 0,245 mm 
Exemplo 3: 
Verificar a correção do DMF devido ao carregamento 
externo representado na figura do exemplo 2. 
Calculemos, por exemplo, o deslocamento 
horizontal do engaste A, que sabemos a priori ser 
nulo. Sendo M o diagrama na estrutura hiperestática 
indicado no problema 2 e o diagrama M0 no SP 
escolhido o indicado na figura abaixo, temos: 
EJC  =(1/3)x3x3x(3,27 – 0,82/2) + (1/2)x3x3x(3,27 + 4,09) 
 - (2/3)x3x3x9 + (1/3)x3x3x4,09 = 8,58 +33,12 – 54,00 
 + 12,27 = -0,03   = -0.000003 m  0 
 Caso de variação de temperatura: 
 Se a estrutura de figura estiver submetida à variação de 
temperatura indicada, o deslocamento da seção m na 
direção , por ela provocado, valerá: 
A partir de desenvolvimento apresentado no item anterior, 
temos: 
Como, para uma variação de temperatura temos M0 = N0 = 
= Q0 = 0, a expressão se reduz para: 
Podemos calcular deslocamentos em estruturas hiperestáticas 
sem ser necessário conhecer os diagramas solicitantes que 
esta variação de temperatura introduz na estrutura dada. 
Podemos, também, trabalhar com o carregamento virtual 
atuando na estrutura isostática, o que é útil quando já 
conhecemos os diagramas solicitantes na estrutura 
hiperestática devidos à variação de temperatura. 
Partindo da equação I e levando em conta que: 
Obtemos: 
Identificados os coeficientes de X1 e X2 como as duas 
equações de compatibilidade elástica para resolução da 
estrutura hiperestática, seus valores serão nulos e ficamos 
com: 
A expressão anterior permite calcular deslocamentos, 
devidos a variações de temperatura, trabalhando com o 
carregamento virtual num sistema principal isostático e 
com as variações de temperatura na estrutura hiperestática. 
Exemplo 1: 
Calcular a rotação da tangente à elástica em B devida a 
uma diminuição uniforme de temperatura de 30 C. 
Supondo que o diagrama na estrutura hiperestática já é 
conhecido, consideraremos o carregamento virtual num 
sistema principal isostático. Desprezando a contribuição do 
esforço cortante e do esforço normal (quadro plano) e 
sabendo que ti = te = tg, temos: 
Diagrama M 
(já conhecido) 
Exemplo 2: 
Calcular o deslocamento vertical da seção central da 
estrutura da próxima figura, que tem  = 10-5/C e cuja 
seção transversal, constante, é um retângulo de 0,4 m de 
altura, se suas fibras externas forem resfriadas de 10 C e 
as internas aquecidas de 30 C em relação à temperatura 
do dia de sua execução. 
Aqui vamos trabalhar com o carregamento virtual na 
estrutura hiperestática, já que não conhecemos os diagramas 
solicitantes devidos à variação de temperatura. 
Resposta: A seção central sobe, então, 0,98 cm 
 
 Caso de recalques de apoio: 
 Seja a estrutura da figura submetida aos recalques de 
apoio indicados, para a qual queremos calcular, por 
exemplo, o deslocamento da seção m na direção . 
A partir do carregamento virtual representado na figura 
anterior, temos, empregando o PTV: 
Por procedimento análogo ao adotado para a variação de 
temperatura, podemos mostrar que o segundo membro da 
igualdade acima é nulo e ficamos, então, com: 
Esta última expressão permite calcular deslocamentos em 
estruturas hiperestáticas, trabalhando com o carregamento 
virtual na estrutura hiperestática, sendo necessário calcular 
as reações de apoio R. 
Podemos, também, trabalhar com o carregamento virtual 
num sistema principal isostático, ficando a ação dos 
recalques na estrutura hiperestática, obtendo-se, de forma 
análoga à adotada no caso de variação de temperatura: 
Na expressão acima, os termos com barra superior se 
referem a um sistema isostático e M, N e Q são esforços 
na estrutura hiperestática dada provocados pelos recalques. 
Esta última expressão pode verificar diagramas obtidos em 
estruturas hiperestáticas para recalques de apoio, sendo o 
procedimento igual ao adotado nos casos de carregamento 
externo e de variação de temperatura. 
Exemplo 1: 
Calcular, para o quadro abaixo, o deslocamento vertical da 
seção central provocado pelos recalques indicados dos 
apoios A e B. 
 
Como as reações de apoio para o carregamento virtual, 
tomado na estrutura hiperestática, já são conhecidas 
(exemplo 2 de variação de temperatura), podemos escrever: 
1 x  - 0,5 x 0,02 – (3/16) x 0,01 – (3/16) x 0,03 = 0 
 = 0,0175 m = 1,75 cm () 
Exercício proposto: Calcular o deslocamento horizontal do 
ponto D para: a) o carregamento dado; b) uma variação de 
temperatura de ti = +20 C e te = -20 C; c) um recalque 
vertical de 2 cm no apoio A(). Considerar: a) hiperestático(s) 
em B; b) H = 40 cm (altura da seção retangular); c) EJ = 2,0 
x 105 kN/m2. 
Respostas: 
a) 0,3 cm (); 
b) 0,156 cm (); 
c) 0,75 cm (). 
 
Considerar primeiro o carregamento 
virtual na estrutura hiperestática e 
depois o carregamento real na 
estrutura hiperestática.