2ª AULA PRESENCIAL PRE CALCULO 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL/CAPES
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM FÍSICA
COORDENADORA DA DISCIPLINA: ELYS RAQUEL
PRÉ-CÁLCULOPRÉ-CÁLCULO
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° 
GRAU
Quando duas equações do 1o grau estão relacionadas entre si, 
temos um sistema de equações do 1o grau com duas variáveis.
Exemplos:
⎧2 x − y = 5 
 ⎩ x + y = 10
Existem dois métodos para resolução dos sistemas de 
equações do 1o grau com duas variáveis: o método da 
substituição e o da adição.
 
Método da substituição exemplo:
Resolver o sistema:
 ⎧ x + y = 12 (1)
⎨
⎩x− y =4 (2)
1o passo: 
Escolhe-se uma das equações e isola-se uma das
variáveis; por exemplo, isolamos o x na equação (2).
x− y = 4
x = 4 + y
 
2o passo: 
Substitui-se o valor isolado na outra equação e encontra-se 
o valor da variável restante; no caso substituímos x na 
equação (1) pelo valor encontrado (x= 4 + y), e encontramos
o valor de y.
x + y = 12
(4 + y ) + y = 12
4 + y + y = 12
4 + 2 y = 12
2 y = 12 − 4
2y = 8
y = 4
3o passo:
 Substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das 
equações; no caso substituímos na equação (2).
 
x− y = 4
x−4 = 4
x = 4 + 4
x = 8
Portanto o conjunto solução é o par ordenado (8,4).
S = {(8,4)}
Método da adição
Aplicaremos o método no mesmo problema anterior.
Solução:
As duas equações apresentam termos opostos: y na primeira e 
–y na segunda.
1o passo:
 Ao somarmos as equações, cancelamos a variável y, 
encontrado o valor da variável x.
 
x + y = 12
x− y =4
2 x = 16
x=16/2
x=8
+_____________
Um outro caso:
 ⎧ 2 x + y = 11 (1)
⎨
 ⎩ x − 2 y = −2 (2)
Solução: Não adianta somar as equações, pois não há 
termos opostos. É necessário, portanto, usar um 
artifício.Multiplicamos a 1a equação por 2.
2 x + y = 11 (×2)
⎧4 x + 2 y = 22
 ⎨
 ⎩ x − 2 y = −2
 
Observe que agora, as duas equações apresentam termos
opostos (2y na 1a e -2y na 2a ).
4 x + 2 y = 22 
x − 2 y = −2 
5 x = 20
x=20/5
x = 4
+
_______________
Substituindo x = 4 na 2a equação temos:
x − 2 y = −2
4 − 2 y = −2
4 + 2 = 2y
6 = 2y
6/2 =y
y=3
Portanto, o par ordenado (4,3) é a solução do sistema.
S = {(4,3)}
 
Exercícios de Fixação
1. Resolva o sistema abaixo, usando o método da 
substituição:
 ⎧ x + 5 y = 26
 ⎩ 2x + y = 7
2. Resolva o sistema abaixo, usando o método da 
adição:
 ⎧ 2 x + y = −3
 ⎩ x − 3 y = −26
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Chamamos de equação do 2.° grau à equação do 
tipo:
ax2 + bx + c = 0
Com a, b, c R e a ≠ 0.
Sendo:
a = coeficiente de x2
b = coeficiente de x
c = termo independente
 
Exemplos:
a) Na equação x2 + 2x + 5 = 0, temos a = 1, b = 2 e 
c = 5.
b) Na equação 3x2 – 3x – 9 = 0, temos a = 3, b = -3 
e c = -9.
c) Na equação 2x + 3x2 + 1 = 0, temos a = 3, b = 2 
e c = 1.
Cuidado! Observe que a equação não está escrita 
na forma ax2 + bx + c = 0
Compare:
ax2 + bx + c = 0
2x + 3x2 + 1 = 0
 
Para encontrarmos as raízes (solução) da equação do 2ograu
completa, basta aplicarmos a fórmula de Báskara.
A expressão b2 – 4ac é representada pela letra grega ∆ (delta), 
e é chamada discriminante.
A existência ou não de raízes depende, exclusivamente, do
Discriminante.
Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes.
Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.
Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
 
1) Resolva a equação x2 + 4x + 4 = 0
Solução:
Sabemos que a = 1, b = 4 e c = 4
∆ = b2 – 4ac
∆ = 4 2 − 4 1 4⋅ ⋅
∆ = 16 − 16
∆=0
∆ = 0 → As duas raízes são reais e iguais.
Portanto, as duas raízes são iguais a -2; logo S = { -2}
 
RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAIZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2° GRAU
As raízes da equação ax2 + bx + c =0 são dadas por
Assim,
Soma (S = x1 + x2 ) das Raízes
Usando os resultados anteriores obtemos que
 
Produto (P = x1 · x2 ) das Raízes
Usando os resultados anteriores obtemos que
 
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
Uma inequação é uma desigualdade que se verifica para alguns valores 
atribuídos às variáveis.
Toda inequação que pode ser escrita numa das seguintes formas
0
0
0
0
ax b
ax b
ax b
ax b
+ >
+ <
+ ≥
+ ≤
Onde a e b são números reais quaisquer com a ≠ 0
 
INEQUAÇÃO PRODUTO
Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a 
> 0 crescente e a < 0 decrescente). 
y1 = 2x + 6 
2x + 6 = 0 
2x = – 6 
X = –3
 
y2 = – 3x + 12 
–3x + 12 = 0 
–3x = –12 
x = 4 
 (2x + 6) ( – 3x + 12) > 0. 
 
os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, 
positivo. 
x Є R / –3 < x < 4
 
INEQUAÇÃO QUOCIENTE
Resolver as funções y1 = x + 1 e y2 = 2x – 1, determinando a 
raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a 
< 0 decrescente). 
y1 = x + 1 
x + 1 = 0 
x = –1 
 
y2 = 2x – 1 
2x – 1 = 0 
2x = 1 
x = 1/2 
x Є R / –1 ≤ x < 1/2
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
É uma seqüência composta por números que estão 
dispostos em uma determinada ordem pré-estabelecida.
SEQUÊNCIA NUMÉRICA
 
Vale para qualquer sequência numérica:
 
Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter 
uma lei de formação da seqüência.
Por exemplo: an = 2n + 1, n E N*
Determine os cinco primeiros elementos dessa seqüência:
 
Termo Geral de uma P.A.
Fórmula do Termo Geral
 
EXEMPLO:
 
Propriedades da P.A
• Um termo qualquer, excetuando os extremos é a
média aritmética entre o termo anterior e o 
posterior.
 
• Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos 
é igual a a soma dos termos eqüidistantes dos 
extremos.
• Numa P.A. de quantidade de termos ímpar, o 
termo central é a média aritmética dos extremos e 
dos eqüidistantes aos extremos.
 
Soma de termos da P.A
exemplo: somar o números inteiros de 1 até 10:
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Toda sequência onde cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao anterior multiplicado por uma constante, não nula, 
denominada de razão (q) é chamada de PROGRESSÃO 
GEOMÉTRICA (PG).
EXEMPLOS
1) (2, 4, 8, 16, …) q = 2
2) (1, 5, 25, 125, …) q = 5
3) (- 2, 6, - 18, 54, …) q = - 3
4) (4, 4, 4, 4, …) q = 1 
Para determinar a razão de uma PG devemos dividir qualquer 
termo pelo seu antecedente.
Então q= anan−1
 
 CLASSIFICAÇÃO
 Para classificar uma PG verificamos o valor de q.
1) PG crescente: quando os valores dos termos vão crescendo. 
a1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, ... ) 
a1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (- 1 , - 1/2, - 1/4, ....)
 
2) PG decrescente: quando os valores dos termos vão 
diminuindo. 
a1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16, 8,... ) 
a1 < 0 e q > 1, por exemplo: (- 2, - 4, - 8,...) 
3) PG constante: são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a 
razão é igual a q = 1. 
Por exemplo: (5,5,5,5,...,5) 
4) PG alternante ou oscilante: é uma PG que os seus termos 
intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0. 
 Por exemplo: (- 2, 6, - 18, 54, ...)
 
 TERMO GERAL
 O termo de ordem n, denominado termo geral da PG é 
dado por: 
Propriedades de uma P.G
Tomando 3 termos consecutivos de uma PG, o termo do meio 
elevado do quadrado é igual ao produto dos outros dois termos.
 
Em uma PG podemos escrever 3 termos consecutivos da seguinte
 forma: x/q, x, x.q
O produto dos termos que se encontram nos extremos é igual ao 
produto de dois termos equidistantes dos extremos.
Produto de n Termos de uma P.G
 
Soma dos n primeiros termos de 
uma P.G.
● A soma dos n primeiros termos de uma 
PG é dadapor 
● Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros 
termos de uma PG de razão 3 e primeiro 
termo igual a 1.
( )
1
1
1
n
n
q
S a
q
−
=
−
( )9
9 1
3 1
3 1
S a
−
=
−
( )19683 1 196821. 9841
2 2n
S
−
= = =
 
CONJUNTO
representa uma coleção de objetos.
O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto de todos os números reais tal que 
x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Definição:
 
É um dos componentes de um conjunto.
• José da Silva é um elemento do conjunto dos 
brasileiros.
• 1 é um elemento do conjunto dos números 
naturais.
•-2 é um elemento do conjunto dos números reais 
que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado 
por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Elemento
 
Pertinência: 
É a característica associada a um elemento que faz parte de um 
conjunto.
· José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
· 
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
· 
 -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz a 
equação x²-4=0. 
Símbolo de pertinência:
 
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ∈ 
que se lê: "pertence".
 
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao 
conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 N∈
Para afirmar que Maria não é do conjunto dos homens ou não 
pertence ao conjunto dos homens, escrevemos:
0 N∉
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / 
traçada sobre o símbolo normal.
 
CONJUNTO VAZIO
O conjunto vazio (representado graficamente por Ø) é o único 
conjunto que não possui elementos
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio 
representado por {} ou Ø
Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto 
que não possui nenhum elemento, esse tipo de conjunto é 
chamado de conjunto vazio.
 
Indicamos um conjunto vazio por { } ou ∅ , nunca por {∅}. 
 CONJUNTO UNITÁRIO 
 
Por exemplo: 
A = { x | x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6} 
B = { x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro } ou B = {3} 
Os dois conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois 
possuem apenas um elemento. 
CONJUNTO UNITÁRIO 
 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, 
denotado por A ⊂ B, se todos os elementos de A também estão 
em B. 
SUBCONJUNTO
 
UNIÃO OU REUNIÃO
 Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses 
conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: 
 
Exemplos: 
• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4} 
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w} 
 
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos 
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições 
de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois 
candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos 
elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto 
nos leva à seguinte definição geral. 
 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B 
(ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido: 
 
Exemplos: 
 
INTERSEÇÃO
 
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos 
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições 
de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em 
Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. 
 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o 
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. 
 
Exemplos: 
• {a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b} 
• {a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b} 
• {a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø 
DIFERENÇA
 
COMPLEMENTO DE UM 
CONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por 
CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de 
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem 
ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x ∈ A e x B}∉
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado 
por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos 
trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente 
no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. 
 
 Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o 
número de elementos de B seja n(B). 
 Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com 
cardinal do conjunto. 
 Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o 
número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a 
seguinte fórmula: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
 
CONJUNTO DAS PARTES
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é 
chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência ) de A, 
denotado por P(A) ou 2A.
Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa 
de subconjuntos de S é:
{ } (conjunto vazio); 
{x}; 
{y}; 
{z}; 
{x, y}; 
{x, z}; 
{y, z}; 
{x, y, z}; 
e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 
elementos:
P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}. 
 
CONJUNTO NUMÉRICOS
Conjunto Numéricos
Conjuntos dos números reais ( R )
São todos os números que podem
ser representados em uma reta chamada, reta real
 
Intervalos
Os intervalos são uma forma de representação
bastante utilizada quando desejamos representar
“partes” da reta real
Podem ser:
abertos ( )
Fechados [ ]
Semi-abertos ( ] ou [ )
 
Intervalos
Intervalo fechado: [ a, b] = {x » | a ≤ x ≤ b}∈
 
Intervalo aberto:( a, b ) = {x » | a < x < b}∈
 
Intervalo fechado à esquerda:[ a, b ) = {x » | a ≤ x ∈
< b}
Intervalo aberto à esquerda : ( a, b] = {x » | a < x ≤ ∈
b}
 
Intervalos infinitos
[ a, +∞ ) = {x R | x ≥ a}∈
( a, +∞ ) = {x R | x > a}∈
( −∞, a ] = {x R | x ≤ a}∈
( −∞, a ) = {x R | x < a}∈
( −∞, +∞ ) = R
 
Elevar um número real a, a diferente de zero à potência n 
(pertencente a N* e n ≥ 2), significa multiplicar a por ele mesmo n 
vezes:
POTÊNCIAS E RAIZES DE 
NÚMEROS REAIS
an = a.a.a.....a (n fatores)
Por definição 
0 10 então 1 0 entãoa a e a a a≠ = ≠ =
0
0
0
6 1
( 3) 1
1 1
=
− =
=
Exemplo:
 
0a ≥Se , a raiz quadrada de a é o número positivo 
b tal que b2 = a. 
Raiz Quadrada
a b=
Observação:
( )
2
2
3 9
9 3
3 9
porém
= 
=
− = 
 
Se a e b são números positivos, então:
; ;2 4 2 4 2
2
a a a a a a
a b ab a a a a
a a
bb
= = =
× = ⇒ × = =
=
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