gabarito da prova p2 1.2014

Prévia do material em texto

Nº sequencial 
 
DISC: NA 2311 PROVA P2A - 1º SEMESTRE DE 2014 DATA: 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: Tempo de Prova: 80 min. Fazer a prova legível e em ordem 
 
1 ª Questão ( 3,0 pontos):Determine o número mínimo de pontos para que ∫ ln(2𝑥)𝑑𝑥41 
calculada pela regra dos trapézios tenha erro de truncamento |𝐸𝑇| ≤ 0,005 
 
Dado: |𝐸𝑇| ≤ 𝑘. ℎ312 . max|𝑓′′(𝑥)|𝑥0≤𝑥≤𝑥𝑛 onde k é o número de intervalos 
 
𝑘 = 𝑛 − 1 𝑒 ℎ = 𝑏 − 𝑎
𝑛 − 1 = 4 − 1𝑛 − 1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (2𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 22𝑥 = 𝑥−1 → 𝑓′′(𝑥) = −𝑥−2 = −1𝑥2 max|𝑓′′(𝑥)| = |𝑓′′(1)| = 1 
 
 (𝑛 − 1). � 3𝑛−1�312 . 1 ≤ 0,005 1(𝑛 − 1)2 ≤ 0,005 × 12 ÷ 27 
 (𝑛 − 1)2 ≥ 10,005 × 12 ÷ 27 = 450 
 
𝑛 − 1 ≥ √450 = 21,21 
𝑛 ≥ 22,21 
 
 
Resposta: 𝑛 = 23 pontos. 
 
Nº 
 
2ªQuestão (3,0 pontos):Uma viga fixa perpendicularmente em uma parede vertical suporta 
cargas segundo a tabela abaixo. Determine a carga que esta viga suportará a 4 metros da 
parede. 
 
Distância da parede (m) 1 2 6 
Carga (kg) 80 40 20 
 
 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥1) . (𝑥 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥2) . 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) . (𝑥 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) .𝑓(𝑥1) + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥0) . (𝑥 − 𝑥1)(𝑥2 − 1) .𝑓(𝑥2) 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥 − 2)(1 − 2) . (𝑥 − 6)(1 − 6) . 80 + (𝑥 − 1)(2 − 1) . (𝑥 − 6)(2 − 6) . 40 + (𝑥 − 1)(6 − 1) . (𝑥 − 2)(6 − 2) . 20 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥2 − 8𝑥 + 12). 80(−1)(−5) + (𝑥2 − 7𝑥 + 6). 40(1)(−4) + (𝑥2 − 3𝑥 + 2). 20(5)(4) 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥2 − 8𝑥 + 12). 16 + (𝑥2 − 7𝑥 + 6). (−10) + (𝑥2 − 3𝑥 + 2). (1) 
 
𝑝2(𝑥) = 7𝑥2 − 61𝑥 + 134 
 
 
𝑝2(4) = 7(4)2 − 61(4) + 134 = 2 
 
 
 
Resposta: A viga suporta 2 kg de carga. 
3 ª Questão ( 3,0 pontos):Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na 
taxa constante de c𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛. É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a 
glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que 
modela esta situação é:𝑦′(𝑡) = 𝑐
𝑉
− 𝑘𝑦, onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, 
consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A 
mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento 
devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea 
pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção 
intravenosa permanente é 𝑐
𝑉
, e a taxa de mudança de concentração devida aos processos 
metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12 mg/min, V = 5l e k = 
0.12, como calcular, pelo método de Euler modificado, a concentração de glicose entre 10 e 14 
minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1? Cálculos com ponto flutuante e na tabela ponto fixo com três 
casas decimais. 
 
Fórmulas: 
),(1 yxfk = 
)
2
,
2
( 12 k
hyhxfk ++= 
 2.)()( khxyhxy +=+ 
 
4 ª Questão ( 1,0 ponto): 
COMPLETE À CANETA AS LACUNAS NAS LINHAS DE COMANDOS DO MATLAB: 
O programa em Matlab a seguir é correspondente ao seguinte enunciado: Determinar a expressão 
algébrica P(x) do polinômio interpolador de Lagrange para a tabela a seguir. Calcular P(1,15) e o 
valor de x tal que P(x)=1,4. Delimitar o erro de truncamento em d=1,15 supondo-se que f(t) = et+ 
ln(t). Mas o programa apresenta erros em quatro de suas linhas. Utilize o quadro de respostas para 
apontar as linhas em que os erros ocorrem (ordem crescente) e reescreva todo o conteúdo da linha de 
forma a corrigi-la, sem o comentário da linha. 
 
 
 
 
Erro de truncamento: |E|< ��x-x0��x-x1�.�x-x2�…..(x-xn)�(n+1)! max�f (n+1)(c)� 
 
1. x1=[1.0; 1.2; 1.5]; % valores de x da interpolação 
2. y1=[1.00 1.22 1.61]; % valores de y da interpolação 
3. symsx 
4. L0=((x-x1(2))*(x-x1(3)))/((x1(1)-x1(2))*(x1(1)-x1(3))); 
5. L1=((x-x1(1))*(x-x1(3)))/((x1(2)-x1(1))*(x1(2)-x1(3))); 
6. L2=((x-x1(1))*(x-x1(2)))/((x1(3)-x1(1))*(x1(3)-x1(2))); 
7. P=simplify(L0*y1(1)+L0*y1(2)+L0*y1(3)) % polinômio de Lagrange 
8. vint=eval(subs(P,1.15)) % retorna o valor para x = 1.15 
9. rx=solve(P-1.4); % retorna o valor de x para y = 1.4 
10. eval(rx) 
11. disp('erro de truncamento') 
12. symst 
13. d=1.15; 
14. f=exp(t)+log(t); 
15. d3f=deff(f,3); % 3ª derivada de f 
16. M=eval(abs(subs(d3f,x1))); 
17. num=abs((d-x1(1))*(d-x1(1))*(d-x1(1))); 
18. ETr=(num/factorial(3))*max(M) %fórmula do erro de truncamento 
 
 
Quadro de respostas 
número 
da linha linha corrigida 
1 x1=[1.0 1.2 1.5]; 
7 P=simplify(L0*y1(1)+L1*y1(2)+L2*y1(3)) 
15 d3f=diff(f,3); 
17 
 
num=abs((d-x1(1))*(d-x1(2))*(d-x1(3))); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 1,0 1,2 1,5 
f(x) 1,00 1,22 1,61 
 
Nº sequencial 
 
DISC: NA 2311 PROVA P2B - 1º SEMESTRE DE 2014 DATA: 
NOME: NOTA: 
ASS.: TURMA: 
Instruções Gerais: Tempo de Prova: 80 min.Fazer a prova legível e em ordem 
 
1 ª Questão:(3,0 pontos)Determine o número mínimo de pontos para que ∫ ln(3𝑥)𝑑𝑥41 
calculada pela regra dos trapézios tenha erro de truncamento |𝐸𝑇| ≤ 0,005 
 
Dado: |𝐸𝑇| ≤ 𝑘. ℎ312 . max|𝑓′′(𝑥)|𝑥0≤𝑥≤𝑥𝑛 onde k é o número de intervalos 
 
 = 𝑛 − 1 𝑒 ℎ = 𝑏 − 𝑎
𝑛 − 1 = 4 − 1𝑛 − 1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (3𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 33𝑥 = 𝑥−1 → 𝑓′′(𝑥) = −𝑥−2 = −1𝑥2 max|𝑓′′(𝑥)| = |𝑓′′(1)| = 1 
 
 (𝑛 − 1). � 3𝑛−1�312 . 1 ≤ 0,005 1(𝑛 − 1)2 ≤ 0,005 × 12 ÷ 27 
 (𝑛 − 1)2 ≥ 10,005 × 12 ÷ 27 = 450 
 
𝑛 − 1 ≥ √450 = 21,21 
𝑛 ≥ 22,21 
 
 
Resposta: 𝑛 = 23 pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº 
 
 
2ªQuestão (3,0 pontos):Uma viga fixa perpendicularmente em uma parede vertical suporta 
cargas segundo a tabela abaixo. Determine a carga que esta viga suportará a 5 metros da 
parede. 
Distância da parede (m) 1 2 6 
Carga (kg) 80 50 20 
 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥0 − 𝑥1) . (𝑥 − 𝑥2)(𝑥0 − 𝑥2) . 𝑓(𝑥0) + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) . (𝑥 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥2) .𝑓(𝑥1) + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥2 − 𝑥0) . (𝑥 − 𝑥1)(𝑥2 − 1) .𝑓(𝑥2) 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥 − 2)(1 − 2) . (𝑥 − 6)(1 − 6) . 80 + (𝑥 − 1)(2 − 1) . (𝑥 − 6)(2 − 6) . 50 + (𝑥 − 1)(6 − 1) . (𝑥 − 2)(6 − 2) . 20 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥2 − 8𝑥 + 12). 80(−1)(−5) + (𝑥2 − 7𝑥 + 6). 50(1)(−4) + (𝑥2 − 3𝑥 + 2). 20(5)(4) 
 
𝑝2(𝑥) = (𝑥2 − 8𝑥 + 12). 16 + (𝑥2 − 7𝑥 + 6). (−12,5) + (𝑥2 − 3𝑥 + 2). (1) 
 
𝑝2(𝑥) = 4,5𝑥2 − 43,5𝑥 + 119 
 
 
𝑝2(4) = 4,5(5)2 − 43,5(5) + 119 = 14 
 
 
 
Resposta: A viga suporta 14 kg de carga. 
 
 
3 ª Questão ( 3,0 pontos):Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na 
taxa constante de c𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛. É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a 
glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que 
modela esta situação é:𝑦′(𝑡) = 𝑐
𝑉
− 𝑘𝑦, onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, 
consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A 
mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento 
devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea 
pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção 
intravenosa permanente é 𝑐
𝑉
, e a taxa de mudança de concentração devida aos processos 
metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo 𝑐 = 15 𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛, V = 5l e k = 
0.18, como calcular, pelo método de Euler modificado, a concentração de glicose entre 10 e 14 
minutos com 𝑦0 = 10.5 𝑒 ℎ = 1? Cálculos com ponto flutuante e na tabela ponto fixo com três 
casas decimais. 
 
Fórmulas: 
),(1 yxfk = 
)
2
,
2
( 12 k
hyhxfk ++= 
2.)()( khxyhxy +=+ 
4 ª Questão ( 1,0 ponto): 
COMPLETE À CANETA AS LACUNAS NAS LINHAS DE COMANDOS DO MATLAB: 
O programa em Matlab a seguir é correspondente aoseguinte enunciado: Determinar a expressão 
algébrica P(x) do polinômio interpolador de Lagrange para a tabela a seguir. Calcular P(0,26) e o 
valor de x tal que P(x)=1,2. Delimitar o erro de truncamento em d=0,26 supondo-se que f(t) = t+et. 
Mas o programa apresenta erros em quatro de suas linhas. Utilize o quadro de respostas para 
apontar as linhas em que os erros ocorrem (ordem crescente) e reescreva todo o conteúdo da linha de 
forma a corrigi-la, sem o comentário da linha. 
 
 
 
 
Erro de truncamento: |E|< ��x-x0��x-x1�.�x-x2�…..(x-xn)�(n+1)! max�f (n+1)(c)� 
 
1. x1=[0.1; 0.3; 0.5]; % valores de x da interpolação 
2. y1=[2.08 1.64 0.97]; % valores de y da interpolação 
3. symsx 
4. L0=((x-x1(2))*(x-x1(3)))/((x1(1)-x1(2))*(x1(1)-x1(3))); 
5. L1=((x-x1(1))*(x-x1(3)))/((x1(2)-x1(1))*(x1(2)-x1(3))); 
6. L2=((x-x1(1))*(x-x1(2)))/((x1(3)-x1(1))*(x1(3)-x1(2))); 
7. P=simplify(L0*y1(1)+L1*y1(1)+L2*y1(1)) % polinômio de Lagrange 
8. vint=eval(subs(P,0.26)) % retorna o valor para x = 0.26 
9. rx=solve(P-1.2); % retorna o valor de x para y = 1.2 
10. eval(rx) 
11. disp('erro de truncamento') 
12. symst 
13. d=0.26; 
14. g=t+exp(t); 
15. d3g=deff(g,3); % 3ª derivada de f 
16. M=eval(abs(subs(d3g,x1))); 
17. num=abs((d-x1(1))*(d-x1(2))*(d-x1(3))); 
18. ETr=(num/factorial(3))*min(M) %fórmula do erro de truncamento 
 
Quadro de respostas 
número 
da linha linha corrigida 
1 x1=[0.1 0.3 0.5]; 
7 P=simplify(L0*y1(1)+L1*y1(2)+L2*y1(3)) 
15 d3g=diff(g,3); 
18 ETr=(num/factorial(3))*max(M) 
 
 
 
 
x 0,1 0,3 0,5 
f(x) 2,08 1,64 0,97 
	DISC: NA 2311
	NOTA:
	TURMA:
	DISC: NA 2311
	NOTA:
	TURMA: