Cálculo Diferencial de uma Variável-Unidade III

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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Unidade III
DERIVADAS, SUAS APLICAÇÕES E APLICAÇÕES GERAIS
7 DERIVADAS
Inicialmente, veremos a interpretação geométrica da derivada.
Consideremos uma função f e dois pontos A (x, y) e B (x + ∆x, y + ∆y) do seu gráfico.
Por esses pontos, temos uma reta r1 secante ao gráfico de f (isto é, corta o gráfico em dois pontos).
O coeficiente angular da reta r1 é a
y
x
= ∆
∆ e a sua equação é y = a x + b.
y
x
r1
ƒ(x)
∆y
A
B
∆x
x + ∆x
y + ∆y
x
y
Observe a figura abaixo. Quando diminuímos o acréscimo ∆x, o ponto B se aproxima de A e as retas 
secantes r1, r2, r3, [...]. se aproximam da reta t, tangente ao gráfico de f, no ponto A:
y
x
r1
ƒ(x)
∆y1
A
B1
∆x1
x + ∆x1
y + ∆y
x
y
r2
r3
t
1
B2
B3
O coeficiente angular da reta r1 tende para um número que chamamos de derivada de f e escrevemos 
f ’(x), assim:
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∆
∆
∆x
y
x
f x
→




=
0
lim ’( )
Podemos também utilizar h para indicar o acréscimo dado em x, no lugar da notação de ∆x, nesse 
caso, temos a definição de derivada dada pelo limite:
h
f x h f x
h
f x
 →
+ −



=
0
lim
( ) ( )
’( )
 Lembrete
Você pode usar qualquer uma das formas, trabalhe com a que se 
adaptou melhor.
Reta tangente ao gráfico de f:
A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto A = (x0, y0) tem equação:
y – y0 = f ‘(x0) (x – x0).
 Observação
Note que você vai primeiro calcular a derivada em x e só depois substituir 
o valor x0.
Nem sempre será possível determinar a reta tangente ao gráfico de uma função em qualquer ponto, 
veja os gráficos a seguir:
P
R
P
R
Observando os dois gráficos, temos que em ambos não é possível encontrar a reta tangente ao 
gráfico no ponto P, nesse ponto, o gráfico apresenta um “bico” e então teríamos duas tangentes. Porém, 
é possível encontrar a reta tangente no ponto R e nesses exemplos existe a reta tangente em todos os 
outros pontos também.
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
7.1 Notações de derivada
Dada uma função y = f(x), podemos escrever a sua derivada em um ponto qualquer:
y ou f’ ’(x) ou 
dy
dx
 ou 
df(x)
dx
Quando queremos escrever a derivada da função em um ponto particular x0, escrevemos:
y x ou f’( )0 ’(x ) ou 
dy
dx
(x ) ou 
df(x )
dx0 0
0
Exemplos:
1) Sendo f(x) = x2, calcular pela definição:
a) f ’(x) b) f ’(0) c) f ’(1)
a) Para calcular a derivada da função pela definição, você deve, inicialmente, encontrar ∆y. Para 
isso, vamos substituir f(x) por y e determinar y + ∆y, assim:
 y+∆y=(x+∆x)2 e como y = x2, temos: 
x2+∆y=(x+∆x)2 ⇒ ∆y=x2+2x ∆x+(∆x)2–x2 ⇒ ∆y=2x ∆x+(∆x)2
 Substituindo no limite da definição de derivada, ficamos com:
f x
y
x
x x
xx x
’( ) lim lim=




=
+ ( )





→ →∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆0 0
22x 
 Note que o limite, quando ∆x → 0, é uma indeterminação, logo, para resolver, você deve 
eliminar a indeterminação.
 Nesse caso, basta colocar ∆x em evidência, simplificar e calcular o limite da expressão que 
sobrou, assim:
f x
x x
x
x x
xx x
’( )
( )
lim lim=
+ ( )




 =
+



=
→ →∆ ∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
∆0
2
0
2 2x x
∆∆
∆
x
x x
→
+( ) =
0
2 2lim x
 Logo, f ’(x) = 2x.
b) Para determinar o valor da derivada em x = 0, você deve substituir o valor de x por 0 na 
expressão da derivada, isto é, f ’ (0) = 2. 0 = 0. Logo, f ‘(2) = 0.
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c) O mesmo deve ser feito agora em x = 1, assim, substituindo x por 1 na expressão da derivada, 
encontramos f ’ (1) = 2. 1 = 2. Logo, f ’(1) = 2.
2) Sendo f(x) = 3x, calcular pela definição:
a) f ’ (x) b) f ’ (–1) c) f ’ (2)
a) Para calcular a derivada pela definição, inicialmente encontre ∆y, para isso, vamos substituir 
f(x) por y e determinar y + ∆y, assim:
 y+∆y–3(x+∆x), como y = 3x, temos:
 3x+∆y=3(x+∆x)
 ∆y – 3x+∆x – 3x
 ∆y=3∆x
 Substituindo no limite da definição de derivada, temos:
f x
y
x
x
xx x
’( ) lim lim=




= 


→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
3 
 Note que, se você calcular o limite da função tal como ela está, você encontrará uma 
indeterminação.
 Antes de calcular o limite, simplifique a fração. Teremos:
f x
y
x
x
xx x x
’( ) lim lim lim=




= 



= =
→ → →∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0 0
3
3 3
 
 Logo, f ’ (x) = 3.
b) Para calcular a derivada em x = –1, substitua o valor de x na expressão da derivada, assim, você 
encontrará f ’ (–1) = 3.
c) Faça o mesmo agora para x = 2, assim, f ’ (2) = 3.
3) Queremos agora encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 em x0 = –2.
Como vimos no exemplo 1, a derivada da função f(x) = x2 é f ’ (x) = 2x, assim, temos que o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico de f em x0 = –2 é dado por a = f ’ (–2) = (–2)
2 = 4.
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Sabemos também que a reta tangente passa pelo ponto de tangência, (x0, y0), isto é, passa pelo 
ponto de coordenadas (–2, f(–2)) = (–2, 4).
A equação da reta tangente é:
y – y0 = a (x – x0), isto é:
y – 4 = – 4 (x – (–2))
Logo, y = – 4x – 4 representa a reta tangente.
Para entender melhor, vamos representar graficamente a função e sua reta tangente:
-2
y
x0 2
4
f(x)=x2
O gráfico da função f(x) = x2 é uma parábola com concavidade para cima, com vértice no ponto (0, 
0).
A reta tangente tem equação y = –4x – 4 e passa por T(–2, 4), ponto de tangência. Precisamos 
encontrar mais um ponto da reta, por exemplo:
-2
y
x0 2
t
4
-1
f(x)=–4x –4
 x y
 2 4
–1 0
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Unindo os dois gráficos, temos:
-2
y
x0 2
4
f(x)=x2
t
Nem sempre será possível calcular a derivada da função em qualquer ponto, vejamos o próximo 
exemplo:
4) A função f(x) = |x – 1| não é derivável em x = 1.
Para verificar esta informação, vamos calcular a derivada pela definição, assim:
f x
f x h f x
h
x h x
hh h
’( )
( ) ( ) | | | |
lim lim=
+ +



= − + − −
→ → 0 0
1 1



A derivada no ponto x = 1 é igual a:
f
h
h
h
hh h
’( )
| | | | | |
lim lim1
1 1 1 1
0 0
= − + − −



= 


→ → 
, quando h tende para zero, temos uma 
 
indeterminação.
Vamos observar o gráfico da função para decidir qual o valor do limite.
Utilizando a definição de módulo, temos g(x) =
| |
,
,
h
h
h
h
h
h
=
≥
− <







 se h 0
 se h 0
, isto é, 
| |
,
,
h
h
=
≥
− <




1
1
 se h 0
 se h 0
O gráfico deverá ser feito em duas partes, assim:
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g
1
1
h
Calculando os limites laterais, notamos que:
f x
h
h
h h
’( )
| |
lim lim=




= =
→ + → + 0 0
1 1
f x
h
h
h h
’( )
| |
lim lim=




= − = −
→ − → − 0 0
1 1
Como os limites laterais são diferentes, temosque não existe o limite e, portanto, a função não é 
derivável em x = 1.
4) Do mesmo modo que o exemplo anterior f(x) = |x| não é derivável em x = 0, porém é derivável em 
qualquer outro valor de x.
Observe o gráfico da função f(x) = |x|, em x = 0 tem um “bico”, assim não é derivável em x = 0, porém, 
no restante do gráfico, não temos problemas e a função será derivável em todos os outros pontos:
y
1
1 x
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 Observação
Algumas funções são deriváveis em todos os pontos e outras podem 
não ser deriváveis em determinados pontos.
 Saiba mais
Para exemplos de taxa de variação, acesse:
<http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/derivadasaplicacoes.pdf>
7.2 Regras de derivação
Não é prático calcular derivadas utilizando a definição. Para agilizar o cálculo, usaremos as regras de 
derivação, a seguir, veremos algumas1:
1) y=c ⇒ y’ =0, c é constante
Exemplos:
a) y=4 ⇒ y’=0
b) f(x) = a + 1
Note que f é função de x, então (a + 1) é constante e a derivada de f(x) = a + 1 deve ser calcula pela regra 1:
f ’ (x) = 0
2) y=x ⇒ y’=1
 y=kx ⇒ y’=k
Exemplos:
a) y = 2x
A função é formada por uma constante multiplicada pela variável, assim, a sua derivada será igual 
a constante, logo:
y ’ = 2
1 Outras regras são encontradas nas tabelas gerais nos livros indicados na bibliografia.
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b) y = –4x
Novamente, a função é formada por uma constante multiplicada pela variável, assim, a sua derivada 
será igual a constante, logo:
y’ = –4
c) y = 2x
A função é formada por uma constante multiplicada pela variável, assim, a sua derivada será igual 
a constante, logo:
y ’ = 1
2 
3) y=c xn ⇒ y’=c.n.xn–1, c é constante
Exemplos:
a) y=x2 ⇒ y’=2x2–1=2.x
b) y=–3x4 ⇒ y’=–3.4.x4–1=–12x3
c) y=5x–3 ⇒ y’=5.(–3).x–3–1=–15x–4
d) f(x)=(a–2)x3
Note que f é função de x, então o termo (a – 2) é constante e deverá ser considerado como o c da 
regra 3, assim, a derivada de f(x) = (a – 2) x3 será
f ‘(x) = (a – 2). 3. x3 – 1 = 3 (a – 2) x2.
 Observação
Esta regra, muitas vezes, é chamada de regra do tombo, pois “derrubamos 
o expoente”.
4) y=ex ⇒ y’=ex
 y=c ex ⇒ y’=c ex, c constante
 y=ax, a ≠ 0 ⇒ y’=ax In a
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Exemplos:
a) y=3ex
A função é formada por uma constante e pela exponencial, teremos, então, que sua derivada será 
igual a:
y’ = 3. (ex)’ = 3 . ex
b) y = 2x
Temos agora a derivada de uma função exponencial e como a base não é igual a e, você deve utilizar 
a 2ª regra da exponencial, assim, a derivada da função será igual a:
y’= 2x. ln 2
c) y = 2. 3x
Novamente, a função é uma exponencial como base diferente de e, agora multiplicada por uma 
constante. Vamos utilizar a 2ª regra da exponencial, assim, a derivada será a constante multiplicada pela 
derivada da exponencial, isto é:
y’= 2. (3x)’ = 2 . 3x . ln 3
5) y y
x
= ⇒ =ln x ’ 1
Exemplos:
a) y = 3 ln x
A função é formada por uma constante multiplicada pelo ln x, assim, a derivada da função será a 
constante multiplicada pela derivada do ln x, isto é:
y’ 3.(ln x)’ 3.
1
x
= =
b) y = –5 ln x
A função é formada por uma constante multiplicada pelo ln x, assim, a derivada da função será a 
constante multiplicada pela derivada do ln x, isto é:
y
x
’ 5.(ln x)’ 5.
1
x
= = = −5
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6) derivada da soma e da diferença
y=f(x)+g(x) ⇒ y’=f’(x)+g(x)
y=f(x)–g(x) ⇒ y’=f’(x)–g’(x)
 Observação
Esta regra pode ser generalizada para um número qualquer de parcelas, 
bastando calcular a derivada de cada parcela e depois efetuar a soma ou 
subtração dos resultados.
Exemplos:
a) y=x2+5x
A função é formada pela soma de duas outras, f(x) = x2 e g(x) = 5x. Você vai encontrar a derivada 
de y utilizando a regra apropriada para cada parcela. Em nosso exemplo, a regra 3) para f(x) e a regra 2) 
para g(x).
Assim:
y’=(x2)’+(5x)’=2x+5
b) y=–3x4+7x–2–ex
A função é formada pela soma de 3 outras:
f(x)=–3x4, g(x)=7x–2 e h(x)=–ex.
Você vai encontrar a derivada de y utilizando a regra apropriada para cada parcela.
Nesse exemplo usaremos a regra 3) para f(x) e g(x) e a regra 4) para h(x).
Assim:
y‘=–3x4+7x–2–ex
y‘=–3.4x4 – 1+7.(–2)x–2–1–ex
y‘=–12x3–14x–3–ex
c) y=4x2+x–1
Novamente temos a função formada pela soma de outras duas, f(x) = 4x2 e g(x) = x –1, utilizando a 
regra 3) para f e g, temos:
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y‘=(4x2)’+(x–1)’
y‘=4.2.x2–1+(–1)x–1–1
y‘=8.x–x–2
7) derivada do produto
y=f(x).g(x) ⇒ y’=f’(x).g(x)+f(x).g’(x)
ou
y=u.v ⇒ y’=u’.v+u.v’
Exemplos:
a) y=(x+3x2).(2x–4)
Queremos calcular a derivada do produto das funções: u (x) = (x + 3x2) e v (x) = (2x – 4). Para isso, 
vamos calcular as derivadas separadamente e depois substituímos na regra 7).
Calculando a derivada das funções u e v, temos:
u’(x)=1+3.2.x=1+6x
v‘(x)=2–0=2
Substituindo na regra, temos:
y u x x x x
y
’ .v)’ u’.v u. v’ ) .(2x-4) ).(2x-4)’= = + = + + +
= +
( ( ’ (
’ (
3 3
1
2 2
66x) ).(2x-4) (x 3x .(2)2+ +
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
y‘=18x2–20x– 4
b) y=(3x+5x2).(x+2)
Queremos calcular a derivada do produto das funções u(x)=(3x+5x2) e v(x)=(x+2). Para isso, vamos 
calcular as derivadas separadamente e depois substituímos na regra 7).
Calculando a derivada das funções u e v, temos:
u‘(x)=3+5.2.x=3+10x
v‘(x)=1+0=1
Substituindo na regra, temos:
y u x x x x
y
’ .v)’ u’.v u.v’ ) .(x 2) ).(x 2)’= = + = + + + + +
= +
( ( ’ (
’ (
3 5 3 5
3 1
2 2
00x) ).(x 2) (3x 5 x .(1)2+ + +
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
y‘=15x2+26x+6
8) derivada do quociente
y
f x
g x
y
f f= ⇒ = −
( )
( )
( )
. .
 ’
’(x) g(x) (x) g’(x)
g(x) 2
Exemplos:
a) y
x x
x
=
+
2 3-
( 2)
A nossa função é o quociente de duas funções: u(x)=x2–3x e v(x)=x+2. Podemos calcular as derivadas 
de u e v separadamente e depois substituir na regra do quociente, assim:
u(x)=x2–3x ⇒ u‘(x)=2x–3
v(x)=x+2 ⇒ v‘(x)=1+0=1
Substituindo na regra, temos:
y
u u x
’
’ v v’
v
.(x 2) (x 3x).1
(x 2)
2
2=
−
( )
= − + − −
+
. . ( )
2
2 3
b) y
x x x
x
= − +
−
3 2
2
2
1( )
A nossa função é o quociente de duas funções: u(x)=x3–2x2+x e v(x)=x2–1.
Vamos calcular as derivadas de u e v separadamente e depois substituir na regra do quociente, 
assim:
u(x)=x3–2x2+x ⇒ u‘(x)=3x2–2x+1
v(x)=x2–1 ⇒ v‘(x)=2x–1
Substituindo na regra, temos:
y
u u x x x
’
’ v v’
v
 .(x 1) (x 2x ).(2x 1)
(x 1
2 3 2
2=
−
( )
= − + − − − + −
−
. . ( )
2
23 2 1
))2
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Utilizando a propriedade distributiva, temos:
y
x x
’
 6x 3x
(x 1)
2
2 2=
+ − + −
−
4 33 1
9) derivada da função composta (ou regra da cadeia)
h f(y), y g(x) e h f(g(x)) h’ f’(g(x)).g’(x)= = = ⇒ =
Exemplos:a) y (2x 5)
y’ 3(2x 5) .(2x 5)’ 3(2x 5) .2 6(2x 5)
3
2 2 2
= +
= + + = + = +
b) y y’ (x (2x) x
2 x2 x2= ⇒ = =e e e. )’ .2
c) y 4x 1 ou y (4x 1)
y’
1
2
(4x 1) .(4x 1)’
1
2
(4x 1) .
1
2
-1
2
-1
2
= − = −
= − − = − =4 22(4x 1)
-1
2−
7.3 Derivadas de ordem superior
Temos várias aplicações na qual precisamos derivar a função mais de uma vez, isto é, precisamos 
calcular as derivadas de ordem superior.
Em Física, temos o conceito de velocidade instantânea, que é a taxa de variação do espaço pelo 
tempo, isto é, a velocidade instantânea é calculada pela derivada da função espaço. Temos também a 
aceleração instantânea, que é a taxa de variação da velocidade pelo tempo, logo, a aceleração é dada 
pela derivada da velocidade.
Mas se a velocidade é a derivada do espaço, podemos dizer que a aceleração é a derivada de 2ª 
ordem do espaço.
Quando falamos em derivadas de ordem superior ou derivadas sucessivas, estamos nos 
referindo a derivar a função mais de uma vez; as notações mais comuns para indicar estas 
derivadas são:
f ’, f ”, f ’’’, f iv,.... ou 
df
dx
d f
dx
d f
dx
, , .... , 
2
2
3
3
Vejamos alguns exemplos de derivadas sucessivas.
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Exemplos:
1) Determinar as derivadas de 1ª, 2ª e 3ª ordens das funções:
a) f(x)=3x5+2x3–10x2+6x
Resolução:
Calculando a derivada de 1ª ordem:
f’(x)=3.5.x4+2.3.2–10.2.x+6
f’(x)=15x4+6x2–20x+6
Para calcular a derivada de 2ª ordem, devemos derivar f‘(x), assim:
f”(x)=15.4x3+6.2x–20
f”(x)=60x3+12x–20
Agora devemos derivar f”(x) para determinar f’”(x), logo:
f’”(x)=60.3x2+12
f’”(x)=180x2+12
 Observação
O polinômio com expoentes positivos, quando derivado muitas vezes, 
em algum momento será constante e, daí para frente, suas próximas 
derivadas serão nulas.
b) f(x)=x3+cos x
Resolução:
Calculando a derivada de 1ª ordem:
f’(x)=3.x2–sen x
f’(x)=3x2–sen x 
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Para calcular a derivada de 2ª ordem, devemos derivar f‘(x), assim:
f”(x)=6x–cos x
f”(x)=6x–cos x
Agora devemos derivar f”(x) para determinar f’”(x), logo:
f’”(x)=6+sen x
f’”(x)=6+sen x
 Observação
Com a função trigonométrica podemos calcular as derivadas sucessivas 
indefinidamente, sem que fique constante.
c) f(x)=3Lnx
Resolução:
Calculando a derivada de 1ª ordem:
f’(x)=3.1/xouf’(x)=3.x–1
f’(x)=3.x–1
Para calcular a derivada de 2ª ordem, devemos derivar f‘(x) utilizando a expressão com 
expoente negativo, a derivada é mais simples, do contrário, você deve utilizar a regra do 
quociente, assim:
f”(x)=3(–1)x–2
f”(x)=–3x–2
Agora devemos derivar f”(x) para determinar f’”(x), logo:
f’”(x)=(–3).(–2)x–3
f’”(x)=6x–3
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
 Lembrete
Nesse caso, o expoente é negativo e também podemos calcular as 
derivadas sucessivas indefinidamente, sem que o resultado seja igual a 
zero.
2) Um móvel tem equação horária dada por S(t)=16t2–2t+10, com S em metros e t em segundos, 
determine:
a) A velocidade instantânea em função do tempo.
b) A velocidade instantânea para t=2s.
c) A aceleração instantânea.
d) A aceleração instantânea para t=2s.
Resolução:
a) Para encontrar a velocidade instantânea, vamos calcular a derivada de S, assim:
S‘(t)=16.2.t–2
Logo, V (t) = S ‘ (t) = 32t – 2
b) Como queremos a velocidade no instante t = 2, vamos substituir o valor de t na expressão de V(t). 
Temos:
V(2)=32.2–2=64–2=62m/s
A aceleração instantânea é calculada pela derivada da velocidade, assim:
a(t)=V’(t)=32
d) Como a função é constante, o valor será o mesmo para qualquer valor de t, assim:
a(t)=32m/s2
7.4 Alguns teoremas
A seguir, teremos alguns teoremas sobre continuidade e derivadas. As demonstrações podem ser 
encontradas nos textos indicados na bibliografia.
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•	 Teorema de Bolzano
“f é uma função contínua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe, pelo menos, um 
ponto c de ]a, b[, tal que f(c) = 0.”
a b
Observando o exemplo, notamos que f(a) > 0 e f(b) < 0, (sinais diferentes) e existem valores em ]a, 
b[, no qual f(c) = 0.
Exemplo:
A velocidade de um móvel é dada por v(t)=t3–3t–1. Mostre que no intervalo [0, 2] existe um instante 
em que a velocidade é nula.
Vamos calcular o valor da função nos extremos t=0 e t=2:
v(0)=03–3.0–1=–1<0
v(2)=23–3.2–1=8–6–1=1>0
Assim, pelo teorema de Bolzano, existe um valor entre 0 e 2, para o qual a velocidade é zero.
•	 Teorema de Weierstras
“f é contínua em [a, b], então f tem máximo e mínimo em [a, b].”
Observe agora os gráficos de algumas funções contínuas em [a, b]:
y
a b
f(a)=Vmáx
f(b)=Vmin
x
y
a b
Vmáx
Vmin x
Xmin Xmáx
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Nesses dois exemplos, temos funções contínuas no intervalo fechado e temos valores máximos e 
mínimos da função.
 Lembrete
Caso a função não seja contínua ou o intervalo não seja fechado, 
poderemos ter ou não a existência de máximo e mínimo, isto é, se a 
hipótese do teorema não vale, não podemos garantir a existência dos 
valores extremos.
•	 Teorema do valor médio ou teorema de Lagrange
“f é contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então existe c em ]a, b[, tal que f’(c)
f(b) f(a)
b-a
= :
f(x)
f(b)
f(a)
0 b x
•	 Teorema de Rolle
“f é contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e f(a)=f(b) ⇒ existe c em ]a, b[, tal que f’(c)=0.”
f(x)
0 b xa c
f(a)=f(b)
 Lembrete
Esse teorema é um caso particular do teorema do valor médio.
A partir desses teoremas, podemos concluir vários resultados úteis em nossos estudos, como os 
critérios da derivada para crescimento da função e para a concavidade da função que estudaremos mais 
adiante. Temos também outras aplicações que não veremos nesse texto, por exemplo, a fórmula do valor 
médio de Cauchy e a fórmula de Taylor, com resto de Lagrange.
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A seguir, resumimos as principais regras de derivação:
Tabela de derivada:
1) y c y’=0,= ⇒
2) y x y’=1
y kx y’ k 
= ⇒
= ⇒ =
3) y cx y’ c.n.x
n n-1= ⇒ = c é constante
4) y e y
y c e y
y a y
x
x
x
= ⇒ =
= ⇒ =
= ≠ ⇒ =
 
 
’ e
 ’ c e
 a 0 ’ a ln a
x
x
x
,
,
 c constante 
5) y y
x
= ⇒ =ln x ’ 1
6) derivada da soma e da diferença
 
y f x g x y f
y f x g x y f
= + ⇒ = +
= ⇒ =
( ) ( )
( ) ( )
’ ’(x) g’(x)
’ ’(x) g’(x)
7) derivada do produto
 
y f x g x y f f= ⇒ = +
= ⇒ +
( ). ( ) . .’ ’(x) g(x) (x) g’(x)
ou
y u.v y’= u’.v u.v’
8) derivada do quociente
 
y
f x
g x
y
f f= ⇒ = −
( )
( )
( )
. .
’
’(x) g(x) (x) g’(x)
g(x) 2
9) derivada da função composta (ou regra da cadeia)
 h f(y), y g(x) e h f(g(x)) h’ f’(g(x)).g’(x)= = = ⇒ =
 Lembrete
Você encontrará nos livros indicados na bibliografia tabelas completas 
com outras regras de derivação.
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Vamos agora reescrever a nossa tabela de derivadas, utilizando a notação de função composta para 
facilitar a derivada destas funções.
Tabela de derivadas utilizando a regra da cadeia, considerando u (x) função composta:
1) y k.u y’ k.n.u .u’ n n - 1= ⇒ =
2) y e y
y c e y
u
u
= ⇒ =
= ⇒ =
’ u’.e
 ’ c.u’.e 
u
u, c constante
7.5 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x4–x3+3x, no ponto xo=1
Resolução:
A equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto xo é dada por
y–yo=f‘(xo)(x–xo).
Devemos então calcular a derivada da função e substituir o valor de x0, assim:
f(x)=x4–x3+3x
f‘(x)=4x3–3x2+3
Então, f‘(1)=4.13–3.12+3=4–3+3=4
Falta, ainda, determinar o valor de f(1) substituindo x=1 na expressão que define a função:
yo=f(1)=1
4–13+3.1=1–1+3=3
yo=3
Substituindo os dados na equação da reta, temos:
y–yo=f‘(xo)(x–xo)
y–3=4(x–1)
y=4x–1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto xo=1.
2) Calcular a derivada da função y=2x –3+x2
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Resolução:
Para calcular a derivada da função, devemos observar que temos a soma de duas funções e será 
necessário verificar qual a regra conveniente para cada caso.
Assim:
y=2x–3+x2
y‘=(2x–3)‘+(x2)‘=2.(–3)x–4+2x
Logo, y‘=–6x–4+2x.
3) Calcular a derivada da função y
x x
x
= +
−
3 5
2
2
2
Resolução:
Nesse caso, temos que utilizar a regra do quociente para encontrar a derivada da função.
Assim:
y
x x
x
= +
−
3 5
2
2
2
y
x x x x x x
x
’
’ . ) . )
( )
=
+( ) − − +( ) −
−
3 5 2 3 5 2
2
2 2 2 2
2
( ( ’
2
y
x x x x x
x
’
. .
=
+( ) −( ) − +( ) ( )
−( )
6 5 2 3 5
2
2 2
2
2
2
y
x x x x x
x
’
. .
=
+( ) −( ) − +( ) ( )
−( )
6 5 2 3 5
2
2 2
2
2
2
Simplificando, temos:
y
x x
x
’ = − − −
−( )
5 12 10
2
2
2 2
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4) Calcular a derivada da função y e= +3 x
2
 5xcos
Resolução:
Temos agora a soma de duas funções, uma exponencial e outra trigonométrica. Devemos, então, 
utilizar as regras apropriadas. Note que ambas são funções compostas.
Assim:
y e= +3 x
2
 5xcos
y e x’ ’ ( 5x)’ 
2
= +( ) cos3
y’ 6xe 5( sen 5x)3x
2
= +( )
Logo:
y’ x e 5 sen 5x3 x
2
= −6
5) Calcular a derivada da função y = Ln (x4 + 3x2)
Resolução:
Temos, novamente, uma função composta, portanto, a derivada será:
y=Ln(x4+3x2)
y’=(Ln(x4+3x2))’
y
x
x’
x
x4
3=
+
+1
3
4 62 .( )
Simplificando, temos:
y
x
x x
’
x
x(x
x
 (x
2
3
2
3=
+
+
= +
+
2 2 3
3
2 2 3
3
( )
)
.( )
)
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Logo:
y
x
’
x
 (x
2
3=
+
+
2 2 3
3
.( )
)
8 APLICAÇÕES
A seguir, veremos algumas aplicações dos assuntos tratados nos módulos anteriores. Dependendo 
da área de interesse de seus educandos, você pode se aprofundar mais nos assuntos relacionados a 
ela.
A utilização de aplicações facilita o entendimento do assunto e reduz os questionamentos do tipo 
“onde uso isso?”, “para que estou aprendendo esse assunto?”.
8.1 Variação aproximada – diferencial
Sabemos que derivada é uma taxa de variação, baseado nisso, vamos utilizar derivadas para 
determinação de valores aproximados.
Observe a figura:
a
ay
xx+∆xx
t
y+∆y
∆y
A
B
D
f
dy
y
Notamos que no triângulo ADC, temos tg
dy
x
=
∆
, isto é, f’(x)
dy
x
=
∆
.
O acréscimo dy é uma aproximação para ∆y quando ∆x→0.
Assim:
f x x f x f x( )0 0 0+ ≅ ( ) + ( )∆ ∆’ . x
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
 Lembrete
Inicialmente, os valores de dy e de ∆y são distantes, porém, quando 
fazemos ∆x se aproximar de zero, os valores de dy e ∆y vão ficando cada 
vez mais próximos.
Exemplo:
Calcular o valor aproximado de 13 , utilizando diferencial:
A função do exercício é f(x) = x , o ponto x0 é um valor conhecido da função próximo ao que se 
quer calcular.
Podemos utilizar x0=16oux0=9, para encontrar a melhor aproximação, devemos escolher para x0 o 
valor mais próximo de 13.
Logo, x0 = 16 e ∆x = −3 .
Assim:
f x f(x) x ’(x)
1
2
x
 x
-1/2= = ⇒ = =1 2 1
2
/
f
f f
(x ) f(16) 16
’(x ) ’(16)
16 .4
0
0
= = =
= = = =
4
1
2
1
2
1
8
Substituindo na expressão:
f x x f x f x( )0 0 0+ ≅ ( ) + ( )∆ ∆’ . x
13 16 16≅ ( ) + ( ) ( )f f’ . -3
13 4
1
8
4 0 375 3 625≅ + = = − =. 3) 4 3
8
( , ,
13 3 625≅ ,
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Na calculadora, encontramos o resultado: 13 3 605551275= , . Comparando com o valor encontrado 
no exemplo, temos um erro de 0,019 que pode ser considerado aceitável.
 Observação
Refaça o exemplo, agora, tomando x0 = 9 e compare com os resultados 
obtidos no exemplo. Quem forneceu a melhor aproximação, isto é, quem 
chegou mais próximo do resultado obtido pela calculadora?
8.2 Sinais da 1ª derivada – crescimento da função
Seja f uma função real definida num domínio D e derivável em D. Por meio do sinal da 1ª derivada 
de f, podemos saber em qual lugar a função é crescente ou decrescente.
Vejamos o quadro a seguir:
f’(x) > 0, em um intervalo ⇒ f é crescente neste intervalo
f’(x) < 0, em um intervalo ⇒ f é decrescente neste intervalo
Os pontos nos quais f ’(x) = 0 são possíveis pontos de máximo ou de mínimo, dependendo do sinal 
da derivada antes e depois do ponto. Esses pontos são chamados pontos críticos:
f’(x) > 0 f’(x)=0 f’(x) < 0
crescente decrescente
ponto máximo
f’(x) < 0 f’(x) = 0 f’(x) > 0
crescentedecrescente
ponto mínimo
Se f’ não muda de sinal antes e depois do ponto crítico, então f não tem ponto de máximo ou de 
mínimo.
Exemplos:
1) Determinar os pontos críticos da função, identificando se são de máximo ou mínimo:
a) f(x) = x2 –2x
Calculando a derivada de f, temos f’(x) = 2x – 2.
Igualando a zero e resolvendo a equação f’(x) = 0
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2x–2=0 ⇒ x=1.
Logo, x = 1 é o ponto crítico da função, fazendo o estudo de sinal, temos:
O ponto (1,12–2.1)=(1,–1) é ponto de mínimo local da função.
1
crescentedecrescente
ponto mínimo
1
b) f(x)=x3–12x
Você deve inicialmente determinar a derivada da função, então:
f(x)=x3–12x ⇒ f‘(x)=3x2–12
Igualando a derivada a zero, você vai determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da 
função:
f’(x)=0 ⇔ 3x2–12=0 ⇔ x= ±2 (pontos críticos):
crescente decrescente
ponto máximo ponto mínimo
2 crescente–2
2–2
Então:
Para x = –2, temos f(x)=(–2)3–12.(–2)=–8+24=16, isto é, (–2, 16) é ponto de máximo local.
Para x = 2, temos f(x)=(2)3–12.(2)=8–24=–16, isto é, (2, –16) é ponto de mínimo local.
2) Dona Cotinha comprou um sítio e deseja fazer uma horta, para isso ela quer separar uma parte do 
terreno que faz divisa com o Sr. Totó.
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Figura 1
Ela tem 52m de tela para cercar a área retangular ondeserá a sua horta. Sabendo que ela que 
aproveitar um dos lados com a cerca do Sr. Totó, determine as dimensões da região a ser cercada para 
que a área seja a maior possível.
Modelo matemático
y
x x
Figura 2
Resolução:
Dona Cotinha tem 52m de tela para cercar os três lados do terreno, como no modelo matemático, 
temos 2x + y = 52.
Como queremos a maior área possível, devemos determinar o ponto de máximo da função área 
usando, para isso, a derivada da função.
A área da região é dada por A = x. y.
Assim:
2 52x y
A x y A x
+ = ⇒ =
= ⇒ = =




y 52-2x
.(52-2x) 52 x 2x2.
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Calculando a derivada da função área, temos:
A‘(x)=52–4x
Igualando a zero:
52–4x=0 ⇒ x=13
Estudando o sinal da derivada, vem:
sinal de A’
13
crescimento de A’
Logo, teremos a área máxima para x = 13m e y = 26m.
8.3 Concavidade da função – sinais da 2ª derivada
Seja f uma função real definida num domínio D e derivável em D. Por meio do sinal da 2ª derivada 
de f, podemos saber a concavidade da função, para cima ou para baixo.
Vejamos o quadro a seguir:
f”(x) > 0, em um intervalo ⇒ f tem concavidade para cima, neste intervalo
f”(x) < 0, em um intervalo ⇒ f tem concavidade para baixo, neste intervalo
Os pontos nos quais f ”(x) = 0 são os possíveis pontos de inflexão, dependendo de o sinal da derivada 
ser diferente antes e depois do ponto. Ponto de inflexão é o ponto em que a curva muda de concavidade.
ponto de inflexão
f”(x) < 0 f”(x)= 0 f”(x) > 0
ponto de inflexão
f”(x) > 0 f”(x)= 0 f”(x) < 0
Notemos que se f não muda de concavidade, então não teremos ponto de inflexão.
Exemplos:
Determinar os pontos de inflexão e a concavidade das funções:
a) f(x)=x3–12x
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Calculando as derivadas de 1ª e de 2ª ordem de f, temos:
f(x)=x3–12x ⇒ f’(x)=3x2–12 ⇒ f”(x)=6x.
Igualando a zero e resolvendo a equação f ”(x) = 0, temos:
6x=0 ⇒ x=0.
Logo, x = 0 é um possível ponto de inflexão da função. Fazendo o estudo de sinal, temos:
ponto de inflexão
f”(x) < 0 0 f”(x) > 0
Ponto de inflexão (0, 0).
b) f(x)=x4+x3
Calculando as derivadas de 1ª e de 2ª ordem de f, temos:
f(x)=x4+x3 ⇒ f’(x)=4x3+3x2 ⇒ f”(x)=12x2+6x.
Igualando a zero e resolvendo a equação f ”(x) = 0:
12 6 0 6 1
2
2x x x
x
+ = ⇒ + = ⇒
=
+ =



⇒
=
= −




.(2x 1) 0
x 0 
2x 1 0
x 0 
Logo, x = 0 e x = –1/2 são possíveis pontos de inflexão da função, fazendo o estudo de sinal, 
temos:
sinal de f”
ponto de inflexão
–1/2
concavidade de f
0
–1/2 0
ponto de inflexão
Pontos de inflexão (0, 0) e (–1/2, –1/16).
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
c) y = x
Calculando as derivadas de 1ª e de 2ª ordem de y, temos:
y = x4 ⇒ f ’(x) = 4x3 ⇒ f ”(x) = 12x2.
Igualando a zero e resolvendo a equação f ”(x) = 0, temos:
12 x2 = 0 ⇒ x = 0
Logo, x = 0 é um possível ponto de inflexão da função, fazendo o estudo de sinal, temos:
Como a 2ª derivada não muda de sinal, x = 0 não é ponto de inflexão, então:
sinal de f”
concavidade de f
0
8.4 Construção de gráficos
Sempre podemos construir gráficos de funções utilizando tabela de pontos, porém, nem sempre 
esse é o meio mais rápido e mais preciso de se fazer um gráfico. Podemos também utilizar softwares 
matemáticos para essas construções.
Nesse item, faremos gráficos baseados na teoria estudada até agora. Para isso, vamos seguir o 
seguinte roteiro:
a) Determinar o domínio da função.
b) Cortes nos eixos (ou interceptos).
c) Calcular a 1ª derivada para determinar pontos críticos e crescimento.
d) Calcular a 2ª derivada para determinar os pontos de inflexão e concavidade.
e) Calcular os limites: limx
y
 → + ∞ e 
lim
x
y
 → − ∞ , para verificar o comportamento da função para 
valores muito grandes (x → + ∞) e muito pequenos (x → – ∞).
Exemplo:
Construir o gráfico de y = x3 – 9x
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Vamos seguir os itens do roteiro:
a) Dom f = IR.
b) Corte nos eixos:
— eixo y: vamos verificar qual o valor de y quando x = 0
x = 0 ⇒ y = 0
— eixo x: vamos verificar qual o valor de x quando y = 0
y 0 x x 3 ou x3= ⇒ − = ⇒ = = = −9 0 0 3x x ou
c) Pontos críticos (máximo e mínimo): devemos calcular a derivada da função e igualar a zero, para 
determinar os pontos críticos:
y x y’ 3x
y’ 3x 0
3 2
2
= − ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = ±
9 9
0 9 3
x
x
Estudando o sinal da derivada e o crescimento de f, temos:
crescente decrescente
ponto máximo ponto mínimo
crescente
3– 3
sinal de f’
crescimento de f
Assim:
Ponto de máximo (–1.73, 10.39).
Ponto de mínimo (1.73, –10.39).
d) Pontos de inflexão: devemos agora calcular a derivada de 2ª ordem de f e igualar a zero para 
determinar os possíveis pontos de inflexão:
y x y’ 3 x
y" 6 x 0
3 2= − ⇒ = − ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
9 9 6
0 0
x y x
x
"
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Estudando o sinal da 2ª derivada, temos:
sinal de f”
concavidade de f
0
ponto de inflexão
Assim, o ponto de inflexão será (0, 0).
e) Calculando os limites: para x → + ∞ e para x → – ∞, temos:
x x
x x x
x → + ∞ → + ∞
−( ) = −  = +∞lim lim3 3 29 1
9
x x
x x x
x → − ∞ → − ∞
−( ) = −  = −∞lim lim3 3 29 1
9
Notamos, então, que quanto maior o valor de x maior será o valor de f(x) e quanto menor o valor 
de x menor será o valor de f(x).
Substituindo todos os valores encontrados em nosso roteiro, encontramos o gráfico de f:
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
–10 – 9 –8 –7 –6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
y
10,39
–10,39
1,73
–1,73
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8.4.1 Assíntota horizontal
Na construção do gráfico de uma função, devemos verificar se ele possui assíntotas. Para isso, vamos 
calcular o limite da função, quando x tende a +∞ e a –∞.
Se 
x
f x b
→ + ∞
=
 
lim ( ) e 
x
f x b
→ ∞
=
 - 
lim ( ) , então a reta y = b é assíntota horizontal de f(x).
Exemplos:
a) Vamos determinar se a função racional f x
x x
x
( ) = +
−
2
2 5
 tem assíntota horizontal. Para isso, devemos 
calcular os limites para infinito.
Calculando os limites, temos:
x
x x
x→ + ∞
+
−
=
 
lim
2
2 5
1e 
x
x x
x→ − ∞
+
−
=
 
lim
2
2 5
1
Logo, a reta y = 1 é assíntota de f(x).
Se você construir o gráfico da função, encontrará a seguinte representação:
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
–10 – 9 –8 –7 –6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
y
assíntota horizontal
 Observação
Nesse caso, a função tem assíntota horizontal em y = 1 e duas assíntotas 
verticais em x = 5 e em x = − 5 .
b) Verificar se f(x) = x3 – 27x tem assíntota horizontal.
Calculando os limites para infinito, temos:
x→ + ∞
− = +∞
 
3x 27 xlim
 x→ − ∞
− = −∞
 
3x 27xlim
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Logo, f(x) não tem assíntota horizontal.
Esboçando o gráfico de f, temos:
-50
x
5,2
-40
-30
-20
-10
10
20
30
40
50
3
–5,2
–3
-10-20 2010
y
Observando o gráfico, notamos que não existem assíntotas, a função tem máximo em x = –3 e tem 
mínimo em x = 3.
8.5 Regras de L’Hospital
São regras utilizando derivadas que facilitam o cálculo de limites indeterminados, do tipo 
0
0
 e 
∞
∞
.
Tomemos duas funções f e g deriváveis em um intervalo aberto I, podendo ser não deriváveis em um 
ponto a desse intervalo. Suponhamos que g(x) ≠ 0 para todo x ≠ a.
x a x a x a x
f x g x
f x
g x
L
→ → → →
= = = ⇒
 
 e 
 ’
 ’lim lim lim( ) ( )
( )
( )
0
aa x a
x a x a
f x
g x
f x
g x
L
f x g
lim lim
lim lim
( )
( )
( )
( )
( ) (
 
 
 ’
 ’ 
 
= =
=
→
→ →
xx
f x
g x
L
f x
g xx a x a x a
)
( )
( )
( )
( )lim lim l= ∞ = ⇒ =→ → →
 e 
 ’
 ’
 
 
iim
( )
( )
f x
g x
L
 ’
 ’
=
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 Saiba mais
Você pode saber um pouco mais sobre Bernoulli e a regra de L´Hospital, 
acessando: <http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/regras_lhospital/
regras_lhospital.htm>.
Exemplos:
Calcular os limites:
a) 
x
x
x 3
lim
→
−
−




2 9
3
O limite é do tipo 0/0, assim, aplicando a regra de L’Hospital, temos:
x x
x
x
x
 3 3
lim lim
 
.3 6
→ →
−
−




= 



= =
2 9
3
2
1
2
b) 
x
x x
x x 
lim
 
→ ∞
− −
+




5 2 10
3
2
4 3
O limite é do tipo 
∞
∞
 assim, aplicando a regra de L’Hospital, temos:
x x
x x
x x
x
x x 
lim lim
 
→ ∞ → ∞
− −
+




= −
+


5 2 10
3
10 2
4 9
2
4 3 3 2 
Como o limite continua do mesmo tipo, ∞
∞
, aplicamos a regra novamente:
x x
x
x x x x→∞ →∞
−
+




=
+




=lim lim
 
2 
10 2
4 9
10
1 18
03 2 2
Problemas envolvendo aplicações gerais.
8.6 Logaritmo e exponencial
Encontramos exemplos de aplicações de funções logarítmicas e exponenciais em várias áreas, 
veremos a seguir algumas delas.
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1) Capitalização
Sabemos que a expressão que indica a capitalização constante de um certo capital inicial (C0), com 
taxa anual i e tempo (n) em anos, é dada pela expressão:
Cn = C0. e
i n.
Se você investir R$ 1.500,00 com juros de 9% ao ano, após quanto tempo terá triplicado o seu 
investimento?
Resolução:
Como C0 = 1.500 e i = 0,09, teremos Ct = 1.500. e
 0,09. n.
Como queremos triplicar o valor investido, teremos Ct = 3. 1.500 = 4.500, então 4.500 = 1.500. e 
0,09.t.
Para calcular o valor de t,vamos dividir a expressão por 1.500.
Assim:
3 = e 0,09.t.
Utilizando o logaritmo natural (Ln) na expressão, encontramos Ln 3 = Ln(e0,09t). Pelas propriedades de 
logaritmo, podemos escrever Ln 3 = 0,09t, então:
t
Ln= = 
0,09
 anos
3
12 20,
Portanto, após 12,20 anos, seu investimento terá triplicado.
2) Taxa de crescimento
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 2% ao ano, aproximadamente. 
Em quantos anos a população desta cidade irá triplicar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
Resolução:
População do ano-base: Po 
População após um ano: P1 = Po. (1,02) 
População após dois anos: P2 = Po. (1,02)
2 
População após x anos: Px = Po. (1,02)
x
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Vamos supor que a população triplicará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos: 
Px = 3. Po, e daí: 
Po. (1,02)
x = 3. Po,
Dividindo ambos os lados por Po, encontramos: 1,02
x = 3.
Aplicando logaritmo (base 10) em ambos os lados da igualdade:
log 1,02x = log 3.
Pelas propriedades de logaritmo, temos: x. log 1,02 = log3, usamos uma calculadora para obtermos 
os resultados dos logaritmos na base 10 e encontramos x. 0,0086 ≅ 0,4771, logo:
x ≅ =0 4771 55 4781, ,
0,0086
 anos
.
A população triplicará em aproximadamente 55,4781 anos. 
3) Taxa de decaimento
Determine o tempo que leva para que 2.000g de certa substância radioativa, que se desintegra à 
taxa de 1% ao ano, se reduza a 100g. Utilize a expressão: Q = Q0 * e
–rt:
•	 Q é a massa da substância;
•	 Q0 é a massa inicial;
•	 	r	é	a	taxa;
•	 t	é	o	tempo	em	anos.
Resolução:
Substituindo os valores do problema na expressão Q = Q0 * e
–r t, temos: 100 = 2000 * e–0,01t
e− =0 01 100, t
2000
Logo: e–0,01t = 0,05 (aplicando Ln nos dois lados da igualdade).
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Temos:
Ln(e)–0,01t = Ln0,05 da propriedade do expoente de um logaritmo e de Ln e = 1:
–0,01t = Ln 0,05
Usamos uma calculadora para calcular ln 0,05, encontramos –0,01t = – 2,99573, multiplicando por 
(–1) e dividindo por 0,01, vem:
t = ≅2 99573 299 573, ,
0,01
 anos
A substância levará 299,573 anos para se reduzir a 100g.
4) Taxa de decaimento e assíntotas
Certa substância radioativa decai exponencialmente. Sabendo que inicialmente temos 600g e que, 
após 40 anos, temos 200g, se pede:
a) Expressão que mostra a quantidade após t anos.
b) Gráfico da função encontrada no item a).
Utilize a expressão: Q = Q0 * e
–rt,
•	 Q	é	a	massa	da	substância;
•	 Q0 é a massa inicial;
•	 	r	é	a	taxa;
•	 	t	é	o	tempo	em	anos.
Figura 3
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Resolução:
a) Inicialmente, devemos determinar o valor da constante r para esta substância.
Pelo enunciado, temos: Q = 200, Q0 = 600 e t = 40, substituindo os dados do problema na expressão 
Q = Q0 * e
–rt, temos:
200 = 600 * e– 40 r
Calculando o valor de r, temos:
e e− −= ⇔ =40 200 1 r 40 r
600 3
(aplicando Ln nos dois lados da igualdade)
Ln(e)–40 r = Ln0,33, da propriedade do expoente de um logaritmo e de Ln e = 1.
Temos: – 40 r = Ln 0,33.
Usamos uma calculadora para calcular ln 0,33 e encontramos: – 40 r = –1,099, multiplicando por 
(–1) e dividindo por 40, vem:
r = 0,027
A constante para esta substância é r = 0,027.
Logo, a expressão que relaciona as quantidades é: Q = 600 * e– 0,027 t
Encontrar o gráfico da função Q = 600 * e– 0,027 t
t (anos) Q (quantidade)
0 600
40 203,75
100 40,32
200 2,71
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Q
600
200
40
2,71
0 40 100 200 t(anos)
Note que os valores de Q tendem a zero, assíntota da função, porém, não teremos Q = 0.
5) Capitalização
Em certo país, a taxa mensal de correção do fundo de garantia dos trabalhadores é igual em todos 
os meses, mas no final de um ano se verificou que os saldos dobraram. Qual é a taxa mensal de correção 
do fundo de garantia nesse país?
Figura 4
Resolução:
Seja i a taxa mensal de correção do fundo de garantia (FGTS) e x o saldo atual do FGTS, assim:
•	 saldo	inicial:	x;
•	 após	1	mês	o	saldo	será:	x(1+i);
•	 após	dois	meses	o	saldo	será:	x(1+i)2, e assim sucessivamente;
•	 no	final	de	12	meses,	esse	saldo	será:	x(1+i)12.
Como o saldo em doze meses será o dobro do saldo inicial, temos:
x(1+i)12 = 2x ou (1+i)12 = 2 
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Para calcular o valor da taxa mensal (i) de correção do FGTS, aplicamos o logaritmo aos dois lados 
da igualdade.
Assim:
log(1+i)12 = log2 ou 12log(1+i) = 0,301, pois log2 é aproximadamente 0,301;
log(1+i) = 0,301/12 ⇒ log(1+i) = 0,025, aplicando a base 10 (antilogaritmo) em ambos os lados da 
igualdade, temos:
10log(1+i) = 100,0251 ⇒ 1+i = 1,0595 ⇒ i = 0,0595, ou seja, aproximadamente 6%.
6) Datação por carbono
Podemos determinar a idade de fósseis e artefatos utilizando vários métodos, dentre eles, temos 
a datação por carbono. Essa técnica, descoberta por W. L. Libby, prêmio Nobel de 1960, utiliza a razão 
entre as massas do isótopo radioativo carbono 14 (14C) e do isótopo estável carbono 12 (12C).
Figura 5
Todas as plantas absorvem dióxido de carbono presente no ar, que contém 14C e 12C, assim, a razão entre 
as massas de carbono 14 e 12 das plantas e dos animais que se alimentem delas será a mesma que do ar.
Com a morte da planta ou do animal, não há mais absorção de dióxido de carbono, a massa de 12C 
continua a mesma, porém a massa de 14C diminui exponencialmente (decaimento radioativo), assim a 
razão entre estas massas diminui.
A razão entre as massas de carbono em uma amostra é dada pela função:
Rt = R0 e
–k t
•	 R0 é a razão das massas de carbono no ar;
•	 Rt é a razão das massas na amostra;
•	 t	é	a	idade	da	amostra;
•	 k	constante	positiva	que	mede	a	taxa	de	decaimento	do	material	radioativo.
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Comparando os valores de Rt e R0, se pode estimar a idade da amostra.
Baseado nisso, determine a idade aproximada de uma amostra encontrada para a qual a razão entre 
as massas de 14C e 12C seja ¼ da razão observada no ar, sabendo-se que o valor da constante k para o 
carbono 14 é 0,000121.
Resolução:
Devemos determinar o valor de t tal que Rt = ¼ R0, isto é, ¼ R0 = R0 e
–k t.
Dividindo por R0, temos:
1
4
= −e k t
Calculando o logaritmo natural nos dois lados:
Ln Ln e Ln kk
1
4
1
4
= ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ =− t t -Ln 1/4 
k
t
Ln 4 
k
t
Ln 4 
0,0001
 t .
221
≅ 11 457.
Assim, a idade aproximada da amostra é de 11.450 anos.
8.7 Derivadas
1) Usando o fato de que a velocidade escalar é uma taxa de variação (derivada), determine a 
velocidade no instante t de uma bola que é jogada para cima, a partir do solo, sendo sua altura 
dada por S(t) = – t2 + 6 t. Altura em metros e o tempo em segundos.
Qual a sua velocidade no instante t = 1 s?
Resolução:
Devemos calcular a derivada de S para determinar a velocidade, assim:
V(t) = ds
dt
 = s’(t) = – 2 t + 6 (m/s)
V(1) = – 2 (1) + 6 = 4 (m/s)
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2) Em economia, se define custo marginal como a variação do custo para uma pequena 
variação na quantidade produzida, isto é, é aproximadamente o custo de produção de uma 
unidade adicional e se determina o custo marginal, calculando a derivada da função custo 
total.
Determine o custo marginal de um produto, sabendo que a sua função custo total é dada por: 
Ct(x)=x
2+2x+3. 
Resolução:
Assim, para se calcular o custo marginal de um produto, se deve derivar a função custo total.
Derivando a função custo total, temos:
Cmg(x) = 
dC x
dx
t( ) = Cmg’(x)=2x+2
3) Uma bola é jogada para cima, a partir do solo e sua altura é dada pela função S(t)=–t2+10t. 
Determine:
a) Velocidade da bola no instante t.
b) A altura máxima atingida pela bola.
c) A sua velocidade no instante em que a bola atinge a altura máxima.
Resolução:
a) Para encontrar a velocidade, devemos calcular a derivada da função S, assim:
V(t) = dS
dt
 ⇒ S’(t) = – 2 t + 10 (m/s)
b) Para determinar a altura máxima, devemos calcular o vértice da parábola ou o ponto de máximo 
da função, isto é, o valor de t, no qual a derivada é igual a zero.
–2t+10=0⇒–2t=–10⇒t=5s
Para t=5s, temos a altura S(5)=–52+10.5=–25+50=25m
c) No instante t=5s, temos V(5)=–2.5+10=0, isto é, V(5)=0m/s.
4) (Enade 2008 – com adaptações) A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua 
administração, é dada pela fórmula:
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y t
t
t
( )
( )
,=
+
>10
1
02 y
Se uma pessoa tomou esse remédio às 8 horas, determinar a que horas terá o máximo de concentração 
do produto no sangue.
Resolução:
Devemos determinar o crescimento da função e seu ponto de máximo.
Vamos calcular a derivada de y:
y t
t t t
t
’( )
( ) [ .( )]
( )
= + − +
+
= + +
+
=10 1 10 2 1
1
2
4
10(t 1) [t 1-2t]
(t 1)
1
4
00(t 1) [-t 1]
(t 1)
10[-t 1]
(t 1)4 3
+ +
+
= +
+
Devemos agora igualar a função a zero para determinar os pontos críticos.
Como o denominador não pode ser zero, vamos igualar somente o numerador a zero. Temos 
–10t+10=0, isto é,t=1.
Estudando o sinal da derivada e o crescimento da função, encontramos:
sinal de y’
1
crescimento de y
1
Máx.
Assim, o valor máximo ocorre para t=1. Logo, se a pessoa tomou o remédio às 8 horas, o máximo 
de concentração do produto no sangue ocorrerá às 9 horas, isto é, 1 hora após a ingestão do 
produto.
5) Uma epidemia atinge uma cidade e as autoridades sanitárias estimam que o número aproximado 
de pessoas atingidas depois de t dias, a partir do primeiro dia da epidemia, seja dado pela função 
f(t)=30t–t3.
Baseado nisso, se pede:
a) Qual é a taxa da expansão da epidemia, após 3 dias?
b) Qual é o número de pessoas atingidas, durante o 3º dia?
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Resolução:
a) Para determinar a taxa de expansão da epidemia, devemos calcular a taxa de variação da função 
f, em relação ao tempo.
Assim:
f’(t)=30–3t2
Após 3 dias, isto é, para t = 3, temos:
f’(3)=30–3.32=30–27=3
Logo, a epidemia se alastrará a uma taxa de 3 pessoas por dia.
b) Para determinar o número de pessoas atingidas durante o 3º dia, devemos calcular f(3) – f(2).
Então, calculando f(2) e f(3), teremos:
f(2) = 30 . 2 – 23 = 52
f(3) = 30 . 3 – 33 = 90 – 27 = 63
Logo, 63 – 52 = 11 pessoas atingidas pela epidemia durante o 3º dia.
6) Determinar dois números positivos, tais que sua soma seja 30 e o seu produto o maior possível.
Resolução:
Sejam x e y os números positivos, segundo o enunciado, temos que x + y = 30. Queremos o maior 
produto possível, devemos, então, determinar o ponto de máximo da função P(x), função produto.
Temos as condições:
x + y = 30
P = x . y
Da primeira condição vem y = 30 – x
Substituindo na expressão de P, teremos, P(x) = x . y = x . (30 – x)
Logo, P(x) = 30x – x2
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Derivando a função vem
P‘ (x) = 30 – 2x, igualando a zero encontramos x = 15.
Devemos estudar o sinal da função para confirmar se esse ponto é de máximo, assim:
sinal de P’
15
crescimento de P
1
Máx.
7) Uma empresa deseja embalar seus produtos em caixas de forma cilíndrica. Para saber o custo 
da embalagem, encomendou um orçamento para a sua fornecedora de embalagens. A empresa 
avisou que o material utilizado na confecção da lateral custa R$ 0,05 o cm2 e o material da base 
custa R$ 0,20 o cm2. Determine as dimensões que tornammínimo o custo do material, se a 
embalagem deve ter a capacidade de 200π. Determine o valor do custo mínimo.
Resolução:
Inicialmente, vamos fazer a planificação da embalagem. O cilindro sem tampa é formado por um 
retângulo e por um círculo, conforme a figura abaixo:
h
2πr
Alateral=2πrh
r
Afundo=πr
2
Para determinar o custo mínimo do material, precisamos montar a função custo, que será formada 
pelo custo da lateral mais o custo do fundo.
Assim:
C(r)=Alateral.0,05+Afundo.0,20.
Como o volume deve ser igual a 200π, temos:
Vcilindro=πr
2h=200π, isolando h, vem h
r
= 2002 
.
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Substituindo na área lateral, temos:
A . .r.
200
r 
lateral 2= 2 π
A
400. 
r lateral
= π
Substituindo na função custo, vem:
C(r) A .0,05 A . 0,20 lateral fundo= +
C(r)
400. 
r 
.0,05 r .0,202= +π π
C(r)
20. 
r 
r .0,202= +π π ou C(r) 20. r r .0,20
-1 2= +π π.
Derivando a função para determinar o ponto de mínimo, temos:
C’(r) 20. r 2 r.0,202= − +π π.( )1
C’(r)
20. 
r 
r.0,402= +
π π
Igualando a zero, vem:
–20. 
r 
r.0,40 02
π π+ =
–20. r .0,403π π+ =
r2
0
–20. r .0,403π π+ = 0
π πr .0,40 20.3 =
r
20.
0,40 
3 = π
π.
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r
20
 0,40 
3 = = 50
r
20
 0,40 
3 50= =
Logo, as dimensões, para o mínimo custo, serão: r ,68cm e h
200
3,68
cm2= = =3 14 77,
O mínimo custo será:
C(r)
20. 
r 
r .0,20
20. 
3,68 
3,68 .0,202 2= + = +π π π π
C(r)
20. 
3,68 
3,68 .0,20 25,582= + =π π reais.
8.8 Ampliando seu leque de exemplos
1) Utilizando a regra da 1ª derivada, determine o intervalo no qual a função:
f:IR→IR,f(x)=x3–3x é decrescente.
Resolução:
Pelo critério da 1ª derivada, devemos calcular a derivada da função, igualar a zero e estudar o sinal 
da derivada.
Calculando a derivada da função, temos:
f(x)=x3–3x
f‘(x)=3x2–3
Igualando a zero:
3x2–3=0⇒2=1⇒x=±1
Estudando os sinais da derivada e o crescimento da função, temos:
–1
sinal de f’
crescimento de f1
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Observando o crescimento da função, temos que f é decrescente no intervalo [–1, 1].
2) Usando diferencial, determinar o valor aproximado de 42 .
Resolução:
A função do exercício é f(x) = x , o ponto x0 é um valor conhecido da função próximo ao que se 
quer calcular.
Assim, podemos utilizar x0 = 49 ou x0 = 36 para encontrar a melhor aproximação, devemos escolher 
para x0 o valor mais próximo de 42.
Logo, x0 = 36 e ∆x=6.
Então:
f x f( /x) x ’(x)
1
2
x
x
-1/2= = ⇒ = =1 2 1
2
f
f f
(x ) f(36) 36
’(x ) ’(36)
36 .6
0
0
= = =
= = = =
6
1
2
1
2
1
12
Substituindo na expressão:
f x x f x f x( )0 0 0+ ≅ ( ) + ( )∆ ∆’ . x
42 36 36≅ ( ) + ( ) ( )f f’ . 6
42 6
1
12
6 5≅ + = + =. 6) 6 1
2
( ,
42 6 5≅ ,
Na calculadora, encontramos o resultado: 42 6 480740698= , , temos uma boa aproximação 
utilizando diferencial.
3) Utilizando a derivada da função, determine o ponto críticos da função:
y=2x3+3x2–12x.
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Resolução:
Para determinar os pontos de máximo ou de mínimo, devemos calcular a derivada da função, igualar 
a zero para determinar os pontos críticos, estudar o sinal da derivada e o crescimento da função.
Derivando, temos:
y=2x3+3x2–12x
y‘=2.3.x2+3.2x–12
y‘=6.x2+6x–12
Igualando a zero:
6.x2+6x–12=0, as raízes de f ‘ serão x1=–2ex2=1
Estudando o sinal da derivada e o crescimento de f, temos:
–2
sinal de f’
crescimento de f1
ponto máximo ponto mínimo
Assim, as coordenadas dos pontos críticos serão:
Ponto de máximo (–2, 20).
Ponto de mínimo (1, –7).
4) Utilizando a regra da 2ª derivada, determinar o ponto de inflexão da função y=2x3+3x2–12x.
Resolução:
Devemos determinar a derivada de 2ª ordem da função e estudar o seu sinal, para encontrarmos os 
possíveis pontos de inflexão.
Calculando as derivadas:
y=2x3+3x2–12x
y‘=6.x2+6x–12
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Unidade III
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y”=12.x+6
Igualando a zero, temos:
12 x + 6 = 0, daí a raíz de f “ será x = –1/2
Estudando o sinal da 2ª derivada e a concavidade de f, temos:
sinal de f”
concavidade de f
ponto de inflexão
1/2
Assim, as coordenadas do ponto de inflexão serão:
Ponto de inflexão (–1/2, 6.5).
 Lembrete
Para determinar as coordenadas do ponto de inflexão, você deve 
substituir o valor de x na função f e não em suas derivadas.
5) Um corpo se movimenta sobre uma trajetória retilínea, obedecendo a função horária S(t)=3t2+2t+1, 
S em metros e t em segundos. Lembrando que v(t)=s’(t), determinar a velocidade do corpo no 
instante t = 4s.
Resolução:
Como já sabemos, para determinar a velocidade precisamos derivar a função, assim:
S(t)=3t2+2t+1
S‘(t)=3.2.t+2
Como queremos a velocidade no instante t = 4 s, devemos substituir o valor de t na expressão da 
derivada, então:
S‘(4) = 3 . 2 . 4 + 2 = 24 + 2 = 26
Logo, V(4) = 26m/s.
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
6) Determinar os números cuja soma é 20 e o produto é o maior possível.
Resolução:
Para determinar o maior produto possível, vamos utilizar derivada para encontrar o ponto de 
máximo.
Devemos montar as equações relacionadas ao problema, sejam x e y os números procurados.
A primeira informação do enunciado é que a soma dos números é 20, isto é, x + y = 20.
Como queremos o maior produto possível, devemos utilizar a função P = x . y.
Temos o sistema:
x y
P x y
y x
P x
+ =
=



⇒
= −
=



20 20
. .(20 x)
Derivando a função P, temos:
P(x) = 20x – x2
P‘(x) = 20 – 2x
Igualando a zero, temos:
20 – 2x = 0
x = 10 (ponto crítico)
Devemos conferir se o ponto é de máximo estudando o sinal da derivada. Temos:
–2
sinal de f’
crescimento de f1
ponto máximo
Logo, o produto é máximo para x = y = 10.
7) Estudando os limites da função para x tendendo a+∞ e a–∞, verificar o comportamento da 
função y
x
x
= −
−
4
3
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Resolução:
Calculando os limites da função, temos:
lim
x
x
x 
1
→ +∞
−
−
=4
3
lim
x
x
x 
1
→ − ∞
−
−
=4
3
Assim, a função tem assíntota horizontal em y = –1.
8) Determine a concavidade da função y = x2 – 3x.
Resolução:
Para determinar a concavidade da função, vamos utilizar a 2ª derivada.
Assim:
y = x2 – 3x
y‘ = 2 . x–3
y“ = 6
daí, y“≠0, para todo x
Logo, não tem ponto de inflexão.
9) Estudando o domínio da função, determine a assíntota vertical de y
x
=
+
1
10
Resolução:
Para determinar o domínio da função, devemos observar se há alguma restrição para os valores 
de x.
Como temos x no denominador, devemos ter x+10 ≠ 0 e daí x ≠ –10.
A função terá, então, assíntota vertical em x = –10.
10) Usando a regra de L’Hospital, determinar o valor do limite lim
.
x
xe
x 0→
−



2 2
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Resolução:
Para usar a regra de L´Hospital, devemos derivar o numerador e o denominador sem utilizar a regra 
do quociente:
lim
.
lim
.
.
x
x
x
xe
x
e
e
 0 0→ →
−



=




= =2 2 2
1
2 20
 Resumo
Nessa unidade, estudamos o conceito de derivadas e suas aplicações. 
Vamos listas alguns itens importantes sobre derivadas.
Definição:
∆
∆
∆x
y
x
f x
→




=
0
lim ’( ) ou 
h
f x h f x
h
f x
 →
+ −



=
0
lim
( ) ( )
’( )
Equação da reta tangente:
y–y0=f‘(x0)(x–x0)
Algumas regras de derivação:
y c y’ 0,= ⇒ = c é constante
2) y x y’ 1
y=kx y’=k
= ⇒ =
⇒
3) y cx y’ c.n.xn n-1= ⇒ = , c é constante
4) y e y
y c e y
y a y
x
x
x
= ⇒ =
= ⇒ =
= ≠ ⇒
’ e
 ’ c e
 a 0 ’= a ln a
x
x
x
,
,
 c é constante
5) y y
x
= ⇒ =ln x ’ 1
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6) devivada da soma e da diferença
 
y f x g x y f
y f x g x y f
= + ⇒ = +
= ⇒ =
( ) ( )
( ) ( )
’ ’(x) g’(x)
’ ’(x) g’(x)
7) derivada do produto
 
y f x g x y f f= ⇒ = +
= ⇒ = +
( ). ( ) . .’ ’(x) g(x) (x) g’(x)
ou
y u.v y’ u’.v u.v’
8) derivada do quociente
 
y
f x
g x
y
f f= ⇒ = −
( )
( )
( )
. .
’
’(x) g(x) (x) g’(x)
g(x) 2
9) derivada da função composta (ou regra da cadeia)
 h f(y), y g(x) e h f(g(x)) h’ ’(g(x)).g’(x)= = = ⇒ = f
Para facilitar a derivada de funções compostas, as regras anteriores 
serão reescritas:
1) y k.u y’ k.n.u .u’ 
n n 1= ⇒ =
2) y e y
y c e y
u
u
= ⇒ =
= ⇒ =
’ u’.e
 ’ c.u’.e
u
u, c é constante
3) y y
u
u
= ⇒ =ln ’ u ’
4) y sen y u u= ⇒ = u ’ ’ .cos
5) y y u sen u= ⇒ = −cos ’. u ’ 
Vimos também aplicações de derivadas em várias áreas, vamos destacar 
algumas:
Diferencial – utilizado para aproximações:
f x x f x f x( )0 0 0+ ≅ ( ) + ( )∆ ∆’ . x
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CálCulo DiferenCial De uma VariáVel
Sinal da 1ª derivada:
f’(x) > 0, em um intervalo ⇒ f é crescente neste intervalo
f’(x) < 0, em um intervalo ⇒ f é decrescente neste intervalo
f’(x) > 0 f’(x)=0 f’(x) < 0
crescente decrescente
ponto máximo
f’(x) < 0 f’(x) = 0 f’(x) > 0
crescentedecrescente
ponto mínimo
Sinal da 2ª derivada:
f”(x) > 0, em um intervalo ⇒ f tem concavidade para cima, neste intervalo
f”(x) < 0, em um intervalo ⇒ f tem concavidade para baixo, neste intervalo
ponto de inflexão
f”(x) < 0 f”(x)= 0 f”(x) > 0
ponto de inflexão
f”(x) > 0 f”(x)= 0 f”(x) < 0
Regras de L’Hospital:
x a x a x a x a
f x g x
f x
g x
L
f x
g→ → → →
= = = ⇒lim lim lim lim( ) ( )
( )
( )
( )
0 e 
’
’ (( )
( )
( )
( ) ( )
lim
lim lim lim
x
f x
g x
L
f x g x
f
x a
x a x a x a
= =
= = ∞
→
→ → →
’
’
 e 
’(( )
( )
( )
( )
( )
( )lim lim
x
g x
L
f x
g x
f x
g x
L
x a x a’
’
’
= ⇒ = =
→ →
 Exercícios
Questão 1 Um balão de borracha de forma esférica é cheio de ar, de modo que seu raio 
aumenta à razão de 0,2 cm/s. Então, a taxa de variação do volume desse balão em relação ao 
tempo, no instante em que o raio for igual a 10 cm é, em cm3/s, de:
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(A) 20
(B) 40
(C) 80
(D) 40π
(E) 80π
Resposta correta: Alternativa (E)
Análise das alternativas:
Como o balão tem uma forma esférica, devemos utilizar o volume da esfera que é dado por: 
V Resfera =
4
3
3π
Sabendo-se que 
dR
dt
= 0 2, cm/s e considerando-se o volume da esfera, podemos aplicar a derivada 
 
em relação ao tempo, em ambos os lados da igualdade. Assim,
V R
dV
dt
R
dR
dt
dV
dt
dV
dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =4
3
4
3
3
4
3
310 0 2 803 2 2π π π π( ) ( ) , cm3/s
Então, a taxa de variação do volume desse balão em relação ao tempo, no instante em que o raio for 
igual a 10 cm, é 
dV
dt
= 80π cm3/s.
Assim:
(A) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(B) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(C) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
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(D) Alternativa Incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
(E) Alternativa Correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2 No projeto de aviões, uma característica importante é chamada “fator de arraste”, 
isto é, a força de frenagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo que mede a força de 
arraste pode ser representado pela função: F v Av
B
v
( ) = +2 2 , sendo A (em 
N
mph( )2
) e B (em 
N.(mph)2) constantes positivas, F a força de arraste (em N) e v a velocidade em mph (milhas por hora). 
Considerando-se que a força de arraste éminimizada quando v=160mph, o valor da razão 
B
A
em (mph)4 
é:
(A) 1
(B) 0,5
(C) (160)3
(D) (160)4
(E) (160)5
Resolução desta questão na plataforma.
166
APÊNDICE
Aplicativo computacional – Maxima
Software Livre
Fundação Software Livre América Latina3
Entendemos que um software seja livre quando ele for licenciado, por meio de termos que respeitem 
as seguintes liberdades de seus usuários:
•	 A	liberdade	de	executar	o	programa,	para	qualquer	propósito	(liberdade	nº	0).
•	 A	liberdade	de	estudar	como	o	programa	funciona	e	adaptá‑lo	às	suas	necessidades	(liberdade	
nº 1). Acesso ao código fonte é um pré-requisito para esta liberdade.
•	 A	liberdade	de	redistribuir	cópias,	de	modo	que	você	possa	ajudar	o	seu	próximo	(liberdade	nº	2).
•	 A	liberdade	de	aperfeiçoar	o	programa	e	distribuir	os	seus	aperfeiçoamentos,	de	modo	que	toda	
a comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao código fonte é um pré-requisito para esta 
liberdade (AUSLA, 2011).
 Saiba mais
Você pode saber mais sobre software livre, acessando:
<http://www.fsfla.org/svnwiki/about/what-is-free-software.pt.html>
A.1 Maxima: o software, a instalação e os recursos básicos
A.1.1 Origens e potencialidades do Maxima
Nós, professores de Matemática, durante nossa carreira profissional utilizamos alguns 
softwares computacionais, seja no auxílio à preparação de aulas, na resolução de problemas e 
exercícios, elaboração de projetos e preparação de atividades ou aulas a serem desenvolvidas 
com nossos alunos. Aqui, em nosso curso de Matemática da UNIP, oferecemos uma introdução 
a alguns softwares livres ou gratuitos (Winplot, Maxima, Mupad) para que no desenvolvimento 
de suas funções profissionais você, já sendo possuidor de alguma familiaridade com pacotes 
computacionais, possa fazer uso e aprofundar seus conhecimentos conforme suas necessidades 
ou seus interesses.
3 Alexandre Oliva e Pedro Antonio Dourado de Rezende – Fundação Software Livre América Latina. Disponível em: 
<http://www.fsfla.org/svnwiki/texto/pref–const–br–swl.pt>.
167
Nesta disciplina, apresentaremos a você o Maxima, que é um software livre e gratuito. O Maxima é 
um pacote computacional para cálculos matemáticos, semelhante aos softwares MatLab, Mathematica 
e Maple, que não são livres nem gratuitos e representam alto custo aos usuários. O Maxima é um sistema 
de álgebra computacional para trabalharmos com expressões numéricas e simbólicas. O pacote pode 
ser baixado no seguinte endereço: <http://Maxima.sourceforge.net>; também encontra-se postado em 
nosso Blackboard.
O Maxima tem sua origem no sistema Macsyma (1968–1982), desenvolvido noInstituto de 
Tecnologia de Massachusetts (MIT). O MIT, em 1982, remanejou uma cópia/versão do código fonte do 
Macsyma ao departamento de energia; essa versão é conhecida com Macsyma DOE (Departamento 
de Energia).
O professor William F. Schelter (2001†) obteve, em 1998, permissão para liberar o código fonte 
sob a GNU General Public License (GPL). A sobrevivência e a abertura do código fonte do Maxima se 
deveram aos esforços e às habilidades de muitas pessoas, em especial do professor Schelter. Um grupo 
cada vez maior de colaboradores e usuários deram forma e disponibilizaram o Maxima a todos os que 
se interessassem.
Para que você tenha noção da abrangência do Maxima, saiba que ele inclui: limites, diferenciação, 
integração, gráficos 2D e 3D, curvas de nível, séries de Taylor, transformações de Laplace, equações 
diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, séries, listas, conjuntos, números complexos, vetores, 
matrizes, determinantes, autovalores e autovetores, raízes de polinômios, polinômio característico, entre 
outras.
A.1.2 Baixando e instalando o Maxima
A versão que iremos usar do Maxima ficará disponível para você baixar dentro do site da própria 
UNIP, em nosso curso, junto com o material desta disciplina.
Instalação do Maxima
Após efetuar o download do software Maxima, dê dois cliques com o botão direito do mouse ou 
selecione o ícone figura A.1 e pressione a tecla Enter:
Figura A.1 – Ícone do instalador do Maxima
Após executar o instalador do software, a primeira tela que aparece é para selecionar a língua de 
instalação do software (figura A.2); como padrão, está a língua inglesa, mas clicando nas opções, se 
168
pode escolher a opção Português do Brasil (figura A.3). Após selecionar a língua, basta clicar em ok 
para prosseguir com a instalação:
Figura A.2 – Línguas disponíveis para instalação
Figura A.3 – Selecionando a língua portuguesa (Brasil)
Atenção: Existem algumas razões para que, mesmo seguindo os passos indicados acima, você não 
consiga ter a versão em português do Maxima (não entraremos nesse mérito). Apresentamos a imagem 
em português, uma vez que lhe será mais significativa. Qualquer que seja o idioma em que o pacote 
for instalado, a posição dos temas, funções ou operações será sempre a mesma. Com essa versão em 
português, ficará fácil você compreender o que aparece em sua tela, caso sua versão esteja em inglês. 
Tudo tem um lado positivo, se sua versão ficar instalada em inglês, além de aprender a ser um usuário 
desse pacote computacional, você também irá agregar aos seus conhecimentos novos termos técnicos 
em inglês. Desta forma, você poderá e saberá transitar em qualquer versão do Maxima e aumentará o 
entendimento de termos em outros pacotes computacionais.
Voltemos à instalação do Maxima. O próximo passo é o Contrato de Licença de Uso; basta ler 
os termos, ativar a opção Eu aceito os termos do contrato e clicar em Avançar para continuar. 
A figura A.4 mostra a tela como é apresentada e a opção Eu aceito os termos de Contrato já 
selecionada:
169
Figura A. 4 – Licença de contrato de uso
Após as configurações iniciais de instalação, é apresentada uma tela de boas-vindas do assistente de 
instalação (figura A.5); basta clicar em Avançar e prosseguir com a instalação do software:
Figura A. 5 – Boas-vindas do instalador
A próxima tela apresenta as seguintes informações:
•	 Usuários	do	sistema	operacional	MS	Windows	9X	devem	ler	a	sessão	referente	à	falta de espaço 
para ambiente no arquivo Readme.
•	 Se	a	interface do software Maxima não funcionar, ler a sessão referente à firewall no arquivo 
Readme.
170
A figura A.6 ilustra a parte que contém essas informações; depois de lidas, clique em Avançar para 
prosseguir com a instalação:
Figura A.6 – Informações gerais
O passo seguinte da instalação consiste em definir o diretório para instalação do Maxima. A figura 
A.7 mostra o diretório-padrão escolhido pelo instalador; caso deseje mudar o diretório destino, clique 
no botão Procurar... e defina o diretório de sua preferência. Após definir o diretório ou aceitar o padrão, 
clique em Avançar para continuar com a instalação:
Figura A.7 – Definição do diretório de instalação do Maxima
171
A tela seguinte do instalador (figura A.8) é referente aos componentes a serem instalados. Por padrão, 
é definido Full installation ou instalação completa, que consiste em todos os componentes do software 
Maxima. Existem outras duas opções:
•	 Compact installation ou instalação compacta, que consiste somente no Maxima core with 
command line interface.
•	 Custom installation ou instalação customizada, na qual o usuário pode definir quais pacotes 
deseja instalar.
Por padrão, deixaremos a opção Full installation; clique no botão Avançar para continuar com a 
instalação:
Figura A.8 – Componentes do Maxima
A tela seguinte (figura A.9) confirma o nome da pasta em que serão salvos os atalhos no Menu 
Iniciar, você pode alterar o nome, clicar em Procurar e definir outro local ou aceitar o padrão, como em 
nosso caso, clicar em Avançar para prosseguir com a instalação:
172
Figura A.9 – Diretório do menu iniciar
A próxima tela define tarefas adicionais (figura A.10) de como adicionar ícones à área de trabalho; 
por padrão, está definida a criação do ícone do Maxima na área de trabalho, basta clicar em Avançar 
e continuar com a instalação:
Figura A.10 – Tarefas adicionais
173
As próximas telas mostram as definições da instalação; basta clicar em Instalar para efetuar a 
instalação.
Após clicar em Instalar ocorrerá a instalação do software Maxima. Espera-se a barra de progresso 
para o fim da instalação, conforme a figura A.12:
Figura A.11 – Definições de instalação
Figura A.12 – Progresso da instalação
174
Após a instalação, é exibida uma tela com informações gerais conforme a figura A.13; basta clicar 
em Avançar:
Figura A.13 – Informações gerais
Concluída a instalação, é exibida a tela da figura A.14. Clique em Concluir. O ícone do Maxima pode 
ser encontrado na área de trabalho, como na figura A.15:
Figura A.14 – Instalação concluída
Figura A.15 – Ícone do Maxima
175
A.1.3 A interface do Maxima
A interface wxMaxima é planejada para facilitar o uso do Maxima. A tela do programa é como está 
aparecendo abaixo (figura A.16), que é a padrão para está versão; possui 12 botões de atalho na parte 
inferior da tela abaixo da Entrada. Informo aos “futuros amantes do Maxima” que esta quantidade pode 
ser aumentada.
Figura A.16 – Interface do wxMaxima
Caso deseje visualizar ou trabalhar com a versão completa, você deve clicar em Editar e selecionar 
Configurar no painel de botões; selecione a opção Completo (como ilustrado na figura A.17) e clique 
em ok. Caso não deseje, tudo bem, não vamos usar esses botões de atalho em nossa excursão pelo 
Maxima.
 Figura A.17 – Configuração do wxMaxima
176
Na sequência, você deve fechar o programa e abri-lo novamente. Após seguir os procedimentos 
acima listados, irá visualizar uma janela semelhante a que apresentamos na figura A.18:
Figura A.18 – Interface do wxMaxima com painel de botões completo
Nessa imagem, pode-se observar a existência de 20 botões de atalho. Você também tem a opção de 
ocultar todos os botões de atalho.
O Maxima foi desenvolvido em C++ e possui o código fonte aberto, que permite ser modificado e 
aprimorado por qualquer pessoa que se interesse e desenvolva o conhecimento suficiente para fazê-lo. 
Caso, no futuro, você queira desenvolver algum trabalho nesse sentido, este poderá ser configurado 
como um projeto de iniciação científica tanto na Matemática quanto na Computação, que são ciências 
social e culturalmente construídas.
O Maxima também possui potencialidades a serem desenvolvidas e existem características a 
melhorar. Saiba que é usual aprimorar programas computacionais. Existem pelo mundo pessoas 
investindo tempo, inteligência e paixão para fazê-lo. Um exemplo desses esforços está na busca 
por modificações no sentido de aumentar