P1 Cálculo 3 UFRRJ Edivaldo T03 Gabarito

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Prova 1 de Cálculo III - IC243 - Turma: T03 - 2018/II
Aluno: Data: 10/10/2018
Questão 1: (2 pontos)
Utilize coordenadas polares para combinar a soma das 4 integrais duplas abaixo∫ 1
1p
2
∫ x
p
1−x2
x y d yd x +
∫ 1
1p
2
∫ −p1−x2
−x
x y d yd x +
∫ 4
3
1
∫ x
−x
x y d yd x +
∫ 2
4
3
∫ p(2−x)2x
−p(2−x)2x x y d yd x
em somente uma única integral dupla.
Solução:
∫ pi
4
−pi4
∫ 4cos(θ )
1+cos2(θ )
1
r3sen(θ )cos(θ )dr dθ
Questão 2: (1 1/2 pontos)
Calcule
∫ ∫
D
sen
€
x
y
Š
dA, onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelo
eixo y , a linha y = pi e a curva y =
p
x .
Solução: ∫ ∫
D
sen

x
y
‹
dA =
∫ pi2
0
∫ pi
p
x
sen

x
y
‹
d y d x = (1)
=
∫ pi
0
∫ y2
0
sen

x
y
‹
dx d y = (2)
=
∫ pi
0
(−y cos(y) + y) d y = 1
2
pi2 + 2 (3)
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Prova 1 de Cálculo III - IC243 - Turma: T03 - 2018/IIProva 1 10/10/2018
Questão 3: (1 1/2 pontos)
Seja C a curva parametrizada por σ(t) = (3(sen (t)− 1) , 3(cos (t)− 1)). Ache o
comprimento da curva σ(t) entre os pontos t = 0 e t = 2.
Solução:6
Questão 4: (2 pontos)
Considere a seguinte integral dupla I1 =
∫ 1
−1
∫ 1
|y|
f (x ,y) dxd y.
(a) (1/2 ponto) Esboce a região de integração de I1.
(b) (1 1/2 pontos) Inverta a ordem de integração em I1.
Solução:
I1 =
∫ 1
0
∫ x
−x
f (x ,y) d yd x
Questão 5: (3 pontos)
Considere I2 =
∫∫
R
y
x
ex y dS onde R é a região do primeiro quadrante delimitada
pelas curvas x y = 2, x y = 4, y = 2x e y = x2 .
(a) (1 ponto) Faça uma mudança de variáveis que simplifique I2 e determine
o Jacobiano de transformação.
(b) (1/2 ponto) Faça um esboço da região de intergração R.
(c) (2 pontos) Expresse a integral I2 no novo sistema de coordenadas adotado
no item (a). Calcule a integral I2.
Solução:(a) Seja u = yx e v = x y, assim temos x =
Æ
v
u e y =
p
uv. E o Jacobiano será
J = | − 12u |.
(b)
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(c)
I2 =
1
2
∫ 4
2
∫ 2
1
2
ev du dv =
3
4
(e4 − e2)
Identidades Coord. polares
sen2(θ ) + cos2(θ ) = 1 x = r cos(θ )
sen2(θ ) = 1−cos(2θ )2 y = r sen(θ )
cos2(θ ) = 1+cos(2θ )2 | ∂ (x ,y)∂ (r,θ ) |= r , r > 0 e θ ∈ [θ0,θ0 + 2pi]
Boa Prova!