Apostila calculo IIa

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03/03/2016 EDO linear de 1ª ORdem: resumão da sua universidade no Responde Aí
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TODOS OS RESUMOS > CÁLCULO
Teoria Exercícios
Equações exatas
Uma EDO do tipo
é dita exata se existir uma função , tal
que e .
E as soluções da EDO são dadas
implicitamente pela equação
Por exemplo, a equação
É exata, pois existe a função 
, tal que e 
.
Você deve estar pensando... Ah, beleza
15. EQUAÇÕES EXATAS E QUASE
EXATAS
� 	4
5
 4 � � 	4
5
 5 � �
X
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5
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5
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CÁLCULO IIA
Guia Provas
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1. Introdução à Integrais
2. Teorema Fundamental do
Cálculo
3. Integração por Substituição
Simples
4. Área entre Curvas
5. Integrais Trigonométricas
6. Integração por Partes
7. Substituição Trigonométrica
8. Integração por Frações
Parciais
9. Cálculo de Volume Através
de Integrais
10. Comprimento de Arco
11. Integrais Impróprias
12. Equações Separáveis
13. EDO linear de 1ª ORdem
14. EDO do tipo y’=f(y/x)
15. Equações Exatas e Quase
Exatas
Teoria Exercícios
16. Equação de Bernoulli
17. Equação de Riccati

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entendi o que é uma EDO exata, mas
como eu acho essa função ? Mágica,
inspiração divina ou coisa parecida? A
resposta felizmente é NÃO. Existe um
critério para saber se a EDO é exata e
um método para resolver EDO’s exatas.
Como saber se uma equação
diferencial é ou não exata
O critério, também conhecido como
Condição de Euler, é o seguinte:
Uma EDO do tipo
será exata se
Voltando a EDO que dei como exemplo
acima:
Nela e 
de fato . O que mostra
que ela é exata. Quer dizer, não
precisávamos nem ter encontrado a
função para saber se a equação era ou
não exata.
Mais um pouco de prática!
A equação diferencial 
X
� 	4
5
 4 � � 	4
5
 5 � �
�
¼�
¼5
¼�
¼4
7 4 � 7 5 � �4
�
5
�
4
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5
�
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5
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5
�
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5
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5
�
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¼�
¼5
5
�
4
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¼�
¼4
X
� à 5 DPT45� 4 � ��4 à 4 DPT45 � � 5 � �!
�5
!
�5
5
�
18. Equação de Clairaut
19. Trajetórias Ortogonais
20. EDO de 2ª Ordem
homogênea com coeficientes
constantes
21. EDO de 2ª Ordem não
homogênea com coeficientes
constantes
22. Método da Variação de
Parâmetro
23. EDO de 2ª Ordem com
Coeficientes Variáveis
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é exata?
Logo, essa equação satisfaz a condição
de Euler, ou seja, é exata. Isso significa
que existe uma função , tal que 
 e , mas nós
nem sabemos que função é essa. É isso
que a condição de Euler faz: podemos
saber se uma equação diferencial é
exata sem ter que resolver a equação.
E a equação 
é exata?
Vamos aplicar a condição de Euler nela.
Observando a equação vemos que 
 e que 
. Então
Logo ela não é exata.
Método para resolver EDO’s
exatas
Sabendo que a equação é exata o método
consiste no seguinte:
1. Integrar em relação a 
� � � 45 TFO45 Ã DPT45
¼�
¼5
!
�5
� � � 45 TFO45 Ã DPT45
¼�
¼4
!
�5
X 	4
5
� � 	4
5
¼X
¼4
� � 	4
5
¼X
¼5
	4 Ã 5
 4 � 	4 � 5
 5 � �
� 	4
5
 � 	4 Ã 5
� 	4
5
 � 	4 � 5
� Ã� Ü � �
¼�
¼5
¼�
¼4
� 	4
5
 4
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2. Derivar o resultado encontrado em (1)
em relação a 
3. Comparar o resultado encontrado em
(2) com 
4. Pronto! Encontramos e as
soluções são dadas implicitamente por 
5. Se tivermos um PVI, na maioria dos
casos, poderemos encontrar a solução
explicitamente
Exemplo 1
Resolva a equação diferencial
A primeira coisa é verificar se ela é
mesmo exata, tem muita cara, mas tem
que verificar porque se não for e você
resolver como se fosse exata deu ruim!
então
logo é exata!
Então podemos aplicar o método
1.
5
� 	4
5
X 	4
5
X 	4
5
 � �
57 4 � 	4 � �5
 5 � �
� 	4
5
 � 5777F777� 	4
5
 � 4 � �5
� � �
¼�
¼5
¼�
¼4
� � 	4
5
 4
� �
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 depende de , se estamos
integrando em relação a , natural que a
constante dependa de . Captou? Você já
deve ter observado que o que
encontramos é a função que estamos
procurando. 
2.
3. Comparar o resultado encontrado
acima com 
⇓
k y = y 2
4. Encontramos φ
φ x , y = x y + y 2
E as soluções da equação são dadas
implicitamente pela equação
� 5 4 � 5� 4 � 54 � ' 	5
� 47F75
4
5
X
� 	4
5
 � · � � 	4
5
 4 � � 4 � X
¼X
¼4
¼X
¼4
¼X
¼5
	54 � ' 	5
 � 4 � 	5
¼
¼5
'
�
� 	4
5
4 � 	5
 � 4 � �5'
�
¸
	5
 � �5'
�
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x y + y 2 = c
Equações quase exatas
Algumas equações tem muita cara de
equação exata, mas para nossa
infelicidade não são. Mas podemos
forçar uma barra e fazer elas se
tornarem exatas e resolver igualzinho
aprendemos para exatas. O nome formal
para essas equações é equações
redutíveis a exatas.
Olhe bem a equação x 2 + y 2 d x + x 3 + 3 x
y 2 + 2 x y d y = 0 , ela tem a maior cara de
exata não é? Mas se aplicarmos a
condição de Euler nela vamos concluir
que que ela não é exata. De fato
∂ P ∂ y = 2 y ≠ 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y = ∂ Q ∂ x
Agora que vem a mágica. Vamos
multiplicar toda a equação por e 3 y
e 3 y x 2 + y 2 d x + e 3 y x 3 + 3 x y 2 + 2 x y d
y = 0
Vamos aplicar a condição de Euler de
novo pra ver se mudou alguma coisa?
Agora P x , y = e 3 y x 2 + y 2 e Q x , y = e 3 y x
3 + 3 x y 2 + 2 x y . Logo
∂ P ∂ y = e 3 y 2 y + 3 e 3 y x 2 + y 2 = e 3 y 2 y
+ 3 x 2 + 3 y 2
∂ Q ∂ x = e 3 y 3 x 2 + 3 y 2 + 2 y
Olha que manero, a equação agora é
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exata! Bom o que que fizemos aqui?
Tínhamos uma equação com muita cara
de ser exata, mas que não era. Daí
multiplicamos ela por um “cara”
(função) que fez ela virar exata. Essa
função que multiplicamos se chama
fator integrante. E não! Ela não é
descoberta através de magia! Tudo tem
um porquê e vou explicar.
Se a equação tem muita cara de exata,
mas não é, talveeez ela admita um fator
integrante! E como saber se ela admite
esse tal fator e que fator é esse?
Fator integrante
Dada uma equação da forma P x , y d x +
Q x , y d y = 0
Se
∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ x Q = h x
com h x contínua, a equação admitirá o
fator integrante
u x = e ∫ h x d x
Calma! Na prática, isso quer dizer o
seguinte:
Se ∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ x Q for uma expressão
que depende apenas de x , a equação
pode ser transformada numa exata
multiplicando toda ela por e ∫ h x d x .
OU
Se
∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P = f y
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com f y contínua, a equação admitirá o
fator integrante
u y = e ∫ f y d y
Na prática, isso quer dizer:
Se ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y P for uma expressão que
depende apenas de y a equação pode ser
transformada numa exata multiplicando
toda ela por e ∫ f y d y .
E aí é só partir pro abraço resolvendo a
equação igualzinho aprendemos a
resolver uma exata.
Exemplo
Considere a equação x y 2 + 2 d x + 3 x 2 y  
d y = 0 ,   x > 0 encontre o fator integrante
dela.
∂ Q ∂ x = 6 x y
∂ P ∂ y = 2 x y
∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ x = 2 x y - 6 x y = - 4 x y
∂ P ∂ y - ∂ Q ∂ x Q = - 4 x y 3 x 2 y = - 4 3 x = h
x
Que depende apenas de x e é contítuna
para x > 0 .
Logo o fator integrante será
e ∫ - 4 3 x d x
∫ - 4 3 x d x = - 4 3 ∫ 1 x d x = - 4 3 ln x = ln x -
4 3
x > 0 então não precisamos usar o
módulo
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Então o fator integrante fica
e ln x - 4 3 = x - 4 3
Daí a equação
x - 4 3 x y 2 + 2 d x + x - 4 3 3 x 2 y   d y = 0 ,   x
> 0
x - 1 3 y 2 + 2 x - 4 3 d x + 3 x 2 3 y   d y = 0 ,   x
> 0
é exata.
Fogos de artifício!
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