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Cálculo Numérico
Prof. Washington S. da Silva
CEFET RJ – UnED Itaguaí
Itaguaí, 2017-1
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 1 / 94
Bibliografia básica:
CÁLCULO NUMÉRICO: ASPECTOS TEÓRICOS E COMPUTACIONAIS
2a Edição
Márcia A. Gomes Ruggiero
Vera Lúcia da Rocha Lopes
Departamento de Matemática Aplicada
IMECC – UNICAMP
Makron Books – Pearson. São Paulo
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 2 / 94
Interpolação Polinomial
Sumário
1 Interpolação Polinomial
Introdução
Fórmula de Lagrange
Fórmula de Newton
Estudo do Erro na Interpolação
Spline Linear
2 Integração Numérica
Introdução
Regra dos Trapézios
Regra 1/3 de Simpson
3 Solução Numérica das Equações Diferenciais Ordinárias
Introdução
Método de Euler
Método de Taylor
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 3 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Introdução
A aproximação de funções por polinômios é uma das idéias mais antigas da
análise numérica, e ainda uma das mais usadas. Os polinômios são
facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novamente
polinômios, suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade, etc.
A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja
obtida de vários modos, entre os quais podemos citar: Interpolação,
Método dos Mínimos Quadrados, etc, portanto é vantajoso substituir uma
função complicada por um polinômio que a represente.
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Interpolação Polinomial Introdução
Introdução
A aproximação de funções por polinômios é uma das idéias mais antigas da
análise numérica, e ainda uma das mais usadas. Os polinômios são
facilmente computáveis, suas derivadas e integrais são novamente
polinômios, suas raízes podem ser encontradas com relativa facilidade, etc.
A simplicidade dos polinômios permite que a aproximação polinomial seja
obtida de vários modos, entre os quais podemos citar: Interpolação,
Método dos Mínimos Quadrados, etc, portanto é vantajoso substituir uma
função complicada por um polinômio que a represente.
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Interpolação Polinomial Introdução
Introdução
Os Métodos de Interpolação Polinomial são usados como uma aproximação
para uma função f (x), principalmente, nas seguintes situações:
1 não conhecemos a expressão analítica de f (x), isto é, sabemos apenas
seu valor em alguns pontos x0, x1, x2, . . ., (esta situação ocorre muito
frequentemente na prática, quando se trabalha com dados
experimentais) e necessitamos manipular f (x) como, por exemplo,
calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo,
etc.
2 f (x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, às vezes,
é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos
cálculos.
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Interpolação Polinomial Introdução
Introdução
Os Métodos de Interpolação Polinomial são usados como uma aproximação
para uma função f (x), principalmente, nas seguintes situações:
1 não conhecemos a expressão analítica de f (x), isto é, sabemos apenas
seu valor em alguns pontos x0, x1, x2, . . ., (esta situação ocorre muito
frequentemente na prática, quando se trabalha com dados
experimentais) e necessitamos manipular f (x) como, por exemplo,
calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo,
etc.
2 f (x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, às vezes,
é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos
cálculos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 5 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Introdução
Os Métodos de Interpolação Polinomial são usados como uma aproximação
para uma função f (x), principalmente, nas seguintes situações:
1 não conhecemos a expressão analítica de f (x), isto é, sabemos apenas
seu valor em alguns pontos x0, x1, x2, . . ., (esta situação ocorre muito
frequentemente na prática, quando se trabalha com dados
experimentais) e necessitamos manipular f (x) como, por exemplo,
calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo,
etc.
2 f (x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, às vezes,
é interessante sacrificar a precisão em benefício da simplificação dos
cálculos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 5 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em,
dados n + 1 números (ou pontos) distintos (reais ou complexos)
x0, x1, . . . , xn e n + 1 números (reais ou complexos) y0, y1, . . . , yn, números
estes que, em geral, são n + 1 valores de uma função y = f (x) em
x0, x1, . . . , xn, determinar-se um polinômio Pn(x) de grau no máximo n tal
que
Pn(x0) = y0; Pn(x1) = y1; . . . ;Pn(xn) = yn
Tal polinômio existe e é único, na hipótese de que os pontos x0, x1, . . . , xn
sejam distintos.
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Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em,
dados n + 1 números (ou pontos) distintos (reais ou complexos)
x0, x1, . . . , xn e n + 1 números (reais ou complexos) y0, y1, . . . , yn, números
estes que, em geral, são n + 1 valores de uma função y = f (x) em
x0, x1, . . . , xn, determinar-se um polinômio Pn(x) de grau no máximo n tal
que
Pn(x0) = y0; Pn(x1) = y1; . . . ;Pn(xn) = yn
Tal polinômio existe e é único, na hipótese de que os pontos x0, x1, . . . , xn
sejam distintos.
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Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Teorema
Dados n + 1 pontos distintos x0, x1, . . . , xn (reais ou complexos) e n + 1
valores y0, y1, . . . , yn existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou
igual a n, tal que
Pn(xk) = yk , k = 0, 1, . . . , n (1)
Definição
Chama-se polinômio de interpolação de uma função y = f (x) sobre um
conjunto de pontos distintos x0, x1, . . . , xn, ao polinômio de grau no
máximo n que coincide com f (x) em x0, x1, . . . , xn. Tal polinômio será
designado por Pn(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 7 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Teorema
Dados n + 1 pontos distintos x0, x1, . . . , xn (reais ou complexos) e n + 1
valores y0, y1, . . . , yn existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou
igual a n, tal que
Pn(xk) = yk , k = 0, 1, . . . , n (1)
Definição
Chama-se polinômio de interpolação de uma função y = f (x) sobre um
conjunto de pontos distintos x0, x1, . . . , xn, ao polinômio de grau no
máximo n que coincide com f (x) em x0, x1, . . . , xn. Tal polinômio será
designado por Pn(x).
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Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Exemplo
Dados os pares de pontos: (−1, 15); (0, 8); (3,−1), determinar o
polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de
pares de pontos.
Como n = 2, devemos determinar P2(x) = a0 + a1x + a2x2, tal que
P2(xk) = yk , k = 0, 1, 2.
Resposta: P2(x) = 8− 6x + x2
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 8 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Exemplo
Dados os pares de pontos: (−1, 15); (0, 8); (3,−1), determinar o
polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de
pares de pontos.
Como n = 2, devemos determinar P2(x) = a0 + a1x + a2x2, tal que
P2(xk) = yk , k= 0, 1, 2.
Resposta: P2(x) = 8− 6x + x2
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 8 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Exemplo
Dados os pares de pontos: (−1, 15); (0, 8); (3,−1), determinar o
polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de
pares de pontos.
Como n = 2, devemos determinar P2(x) = a0 + a1x + a2x2, tal que
P2(xk) = yk , k = 0, 1, 2.
Resposta: P2(x) = 8− 6x + x2
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 8 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Observações:
1 Observe que nos pontos tabelados, o valor do polinômio encontrado e
o valor da função, devem coincidir. Se os valores forem diferentes você
terá cometido erros de cálculo.
2 A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de
sistemas é muito trabalhosa, além de poder ocorrer erros de
arredondamento, fazendo com que a solução obtida seja irreal.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 9 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Observações:
1 Observe que nos pontos tabelados, o valor do polinômio encontrado e
o valor da função, devem coincidir. Se os valores forem diferentes você
terá cometido erros de cálculo.
2 A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de
sistemas é muito trabalhosa, além de poder ocorrer erros de
arredondamento, fazendo com que a solução obtida seja irreal.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 9 / 94
Interpolação Polinomial Introdução
Polinômio de Interpolação
Observações:
1 Observe que nos pontos tabelados, o valor do polinômio encontrado e
o valor da função, devem coincidir. Se os valores forem diferentes você
terá cometido erros de cálculo.
2 A determinação do polinômio de interpolação por meio de solução de
sistemas é muito trabalhosa, além de poder ocorrer erros de
arredondamento, fazendo com que a solução obtida seja irreal.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 9 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Sejam x0, x1, . . . , xn n + 1 pontos distintos. Consideremos para
k = 0, 1, . . . , n, os seguintes polinômios Lk(x) de grau n:
Lk(x) =
(x − x0) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn) (2)
Observe que
Lk(xj) =
{
0, k 6= j
1, k = j
(3)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 10 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Sejam x0, x1, . . . , xn n + 1 pontos distintos. Consideremos para
k = 0, 1, . . . , n, os seguintes polinômios Lk(x) de grau n:
Lk(x) =
(x − x0) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn) (2)
Observe que
Lk(xj) =
{
0, k 6= j
1, k = j
(3)
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Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Para valores dados: f0 = f (x0), f1 = f (x1), . . ., fn = f (xn) de uma função
y = f (x), o polinômio
Pn(x) =
n∑
k=0
fkLk(x) (4)
é de grau no máximo n e, em vista de (3), satisfaz:
Pn(xk) = fk , k = 0, 1, . . . , n
Logo Pn(x), assim definido, é o polinômio de interpolação de f (x) sobre os
pontos x0, x1, . . . , xn. A fórmula (4) é chamada Fórmula de Lagrange do
Polinômio de Interpolação.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 11 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Para valores dados: f0 = f (x0), f1 = f (x1), . . ., fn = f (xn) de uma função
y = f (x), o polinômio
Pn(x) =
n∑
k=0
fkLk(x) (4)
é de grau no máximo n e, em vista de (3), satisfaz:
Pn(xk) = fk , k = 0, 1, . . . , n
Logo Pn(x), assim definido, é o polinômio de interpolação de f (x) sobre os
pontos x0, x1, . . . , xn. A fórmula (4) é chamada Fórmula de Lagrange do
Polinômio de Interpolação.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 11 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Exemplo
Conhecendo-se a seguinte tabela:
x -1 0 3
f (x) 15 8 -1
1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange.
2 Calcule uma aproximação para f (1), usando o item (1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 12 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Exemplo
Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f (x) 0 6 24 60
1 Determine o polinômio de interpolação na forma de Lagrange, sobre
todos os pontos.
2 Calcule uma aproximação para f (3.5), usando o item (1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 13 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Exemplo
Construir o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, para a
função y = sen(pix), escolhendo os pontos: x0 = 0; x1 = 16 ; x2 =
1
2 .
Exemplo
Calcular e3.1 usando a Fórmula de Lagrange sobre 3 pontos e a tabela:
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Observe que como queremos e3.1 usando 3 pontos, devemos escolher 3 pontos
consecutivos na vizinhança de 3.1. Opções: x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2 ou
x0 = 3.0, x1 = 3.2 e x2 = 3.4. Em ambos os casos o erro na aproximação será da
mesma ordem de grandeza.
Resposta: f (3.1) ≈ 22.20375, com x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 14 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange
Fórmula de Lagrange
Exemplo
Construir o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, para a
função y = sen(pix), escolhendo os pontos: x0 = 0; x1 = 16 ; x2 =
1
2 .
Exemplo
Calcular e3.1 usando a Fórmula de Lagrange sobre 3 pontos e a tabela:
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Observe que como queremos e3.1 usando 3 pontos, devemos escolher 3 pontos
consecutivos na vizinhança de 3.1. Opções: x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2 ou
x0 = 3.0, x1 = 3.2 e x2 = 3.4. Em ambos os casos o erro na aproximação será da
mesma ordem de grandeza.
Resposta: f (3.1) ≈ 22.20375, com x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2.
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Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Fórmula de Newton
O método de Lagrange para determinação do polinômio de interpolação de
uma função y = f (x) sobre um conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn possui
um inconveniente. Sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n
(construído sobre n + 1 pontos) para um polinômio de grau n + 1
(construído sobre n + 2 pontos) todo o trabalho tem que ser praticamente
refeito.
Seria interessante se houvesse possibilidade de, conhecido o polinômio de
grau n, passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um
termo ao de grau n. Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton
do polinômio de interpolação.
Para a construção do polinômio de interpolação por este método,
precisamos da noção de diferença dividida de uma função.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 15 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Fórmula de Newton
O método de Lagrange para determinação do polinômio de interpolação de
uma função y = f (x) sobre um conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn possui
um inconveniente. Sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n
(construído sobre n + 1 pontos) para um polinômio de grau n + 1
(construído sobre n + 2 pontos) todo o trabalho tem que ser praticamente
refeito.
Seria interessante se houvesse possibilidade de, conhecido o polinômiode
grau n, passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um
termo ao de grau n. Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton
do polinômio de interpolação.
Para a construção do polinômio de interpolação por este método,
precisamos da noção de diferença dividida de uma função.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 15 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Fórmula de Newton
O método de Lagrange para determinação do polinômio de interpolação de
uma função y = f (x) sobre um conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn possui
um inconveniente. Sempre que se deseja passar de um polinômio de grau n
(construído sobre n + 1 pontos) para um polinômio de grau n + 1
(construído sobre n + 2 pontos) todo o trabalho tem que ser praticamente
refeito.
Seria interessante se houvesse possibilidade de, conhecido o polinômio de
grau n, passar-se para o de grau n + 1 apenas acrescentando-se mais um
termo ao de grau n. Tal objetivo é alcançado através da forma de Newton
do polinômio de interpolação.
Para a construção do polinômio de interpolação por este método,
precisamos da noção de diferença dividida de uma função.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 15 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Definição
Sejam x0, x1, . . . , xn, n + 1 pontos distintos no intervalo [a, b] e sejam
f0, f1, . . . , fn, n + 1 valores de uma função y = f (x) sobre x = xk ,
k = 0, 1, . . . , n. Define-se:
f [xk ] = f (xk), k = 0, 1, . . . , n;
f [x0, x1, . . . , xn] =
f [x1,x2,...,xn]−f [x0,x1,...,xn−1]
xn−x0 ,
onde f [x0, x1, . . . , xn] é a diferença dividida de ordem n da função f (x)
sobre os pontos x0, x1, . . . , xn.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 16 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Assim, usando a definição, temos que:
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0
f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]
x3−x0
Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos
aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos
envolvam apenas o valor da função nos pontos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 17 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Assim, usando a definição, temos que:
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0
f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]
x3−x0
Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos
aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos
envolvam apenas o valor da função nos pontos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 17 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Assim, usando a definição, temos que:
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0
f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]
x3−x0
Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos
aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos
envolvam apenas o valor da função nos pontos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 17 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Assim, usando a definição, temos que:
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0
f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]
x3−x0
Observe que do lado direito de cada uma das igualdades acima devemos
aplicar sucessivamente a definição de diferença dividida até que os cálculos
envolvam apenas o valor da função nos pontos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 17 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Por exemplo,
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0
=
f [x2]−f [x1]
x2−x1 −
f [x1]−f [x0]
x1−x0
x2 − x0
Entretanto, podemos calcular as diferenças divididas de um função, de uma
maneira mais simples.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 18 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferença Dividida
Por exemplo,
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2]− f [x0, x1]
x2 − x0
=
f [x2]−f [x1]
x2−x1 −
f [x1]−f [x0]
x1−x0
x2 − x0
Entretanto, podemos calcular as diferenças divididas de um função, de uma
maneira mais simples.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 18 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
Para calcular as diferenças divididas de uma função f (x) sobre os pontos
x0, x1, . . . , xn, construímos a tabela de diferenças divididas da seguinte
maneira:
1 a primeira coluna é constituída dos pontos xk , k = 0, 1, . . . , n;
2 a segunda coluna contém os valores de f (x) nos pontos xk ,
k = 0, 1, . . . , n;
3 nas colunas 3, 4, 5, . . ., estão as diferenças divididas de ordem
1, 2, 3, . . . Cada uma dessas diferenças é uma fração cujo numerador é
sempre a diferença entre duas diferenças divididas consecutivas e de
ordem imediatamente inferior e cujo denominador é a diferença entre
os dois extremos dos pontos envolvidos.
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Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xi+1] f [xi , xi+1, xi+2] . . .
x0 f [x0]
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0
x1 f [x1] f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0
f [x1, x2] =
f [x2]−f [x1]
x2−x1 . . .
x2 f [x2] f [x1, x2, x3] =
f [x2,x3]−f [x1,x2]
x3−x1
f [x2, x3] =
f [x3]−f [x2]
x3−x2 . . .
x3 f [x3]
...
...
...
...
... . . .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 20 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
Exemplo
Para a seguinte função tabelada:
x -2 -1 0 1 2
f (x) -2 29 30 31 62
construir a tabela de diferenças divididas.
Considere j = i + 1, k = i + 2, l = i + 3 e m = i + 4.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 21 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 22 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
−1 29
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 23 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 24 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29
0 30
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 25 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29
30−29
0−(−1) = 1
0 30
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 26 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi, xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0 30
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 27 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0 30
1 31
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 28 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0 30
31−30
1−0 = 1
1 31
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 29 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
1 31
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 30 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
1 31
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 31 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
1 31
2 62
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 32 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
1 31
62−31
2−1 = 31
2 62
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 33 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
1 31 31−12−0 = 15
62−31
2−1 = 31
2 62
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 34 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
31−30
1−0 = 1
15−0
2−(−1)) = 5
1 31 31−12−0 = 15
62−31
2−1 = 31
2 62
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 35 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Tabela de Diferenças Divididas
xi f [xi ] f [xi , xj ] f [xi , xj , xk ] f [xi , . . . , xl ] f [xi , . . . , xm]
−2 −2
29−(−2)
−1−(−2) = 31
−1 29 1−310−(−2) = −15
30−29
0−(−1) = 1
0−15
1−(−2) = 5
0 30 1−11−(−1) = 0
5−5
2−(−2)) = 0
31−30
1−0 = 1
15−0
2−(−1)) = 5
1 31 31−12−0 = 15
62−31
2−1 = 31
2 62
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 36 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferenças Divididas
Teorema
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] =
k∑
i=0
f [xi ] k∏
j=0
j 6=i
1
(xi − xj)

Corolário
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0 , xj1 , . . . , xjk ]
onde xj0 , xj1 , . . . , xjk é qualquer permutação de 0, 1, . . . , k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 37 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferenças Divididas
Teorema
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] =
k∑
i=0
f [xi ] k∏
j=0
j 6=i
1
(xi − xj)

Corolário
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0 , xj1 , . . . , xjk ]
onde xj0 , xj1 , . . . , xjk é qualquer permutação de 0, 1, . . . , k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 37 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferenças Divididas
Corolário
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] =
f [x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk ]− f [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk ]
xj − xi , i 6= j
Observações:
1 O primeiro Corolário afirma que a diferença dividida de f (x), é uma
função simétrica de seus argumentos, isto é, independe da ordem dos
pontos x0, x1, . . . , xk .
2 O segundo Corolário afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos
para construir a diferença dividida de uma função, e não
necessariamente o primeiro e o último.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 38 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferenças Divididas
Corolário
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] =
f [x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk ]− f [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk ]
xj − xi , i 6= j
Observações:
1 O primeiro Corolário afirma que a diferença dividida de f (x), é uma
função simétrica de seus argumentos, isto é, independe da ordem dos
pontos x0, x1, . . . , xk .
2 O segundo Corolário afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos
para construir a diferença dividida de uma função, e não
necessariamente o primeiro e o último.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 38 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Diferenças Divididas
Corolário
As diferenças divididas de ordem k de uma função f (x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk ] =
f [x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk ]− f [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk ]
xj − xi , i 6= j
Observações:
1 O primeiro Corolário afirma que a diferença dividida de f (x), é uma
função simétrica de seus argumentos, isto é, independe da ordem dos
pontos x0, x1, . . . , xk .
2 O segundo Corolário afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos
para construir a diferença dividida de uma função, e não
necessariamente o primeiro e o último.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 38 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamos construir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn. Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0. E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamosconstruir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn. Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0. E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamos construir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn.
Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0. E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamos construir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn. Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0.
E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamos construir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn. Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0. E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja f (x) contínua e com tantas derivadas contínuas quantas necessárias
num intervalo [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < . . . < xn = b, (n + 1) pontos.
Precisamos construir o polinômio Pn(x) que interpola f (x) em
x0, x1, . . . , xn. Iniciemos a construção obtendo P0(x) que interpola f (x) em
x = x0. E assim, sucessivamente, construiremos Pk(x) que interpola f (x)
em x0, x1, . . . , xk , com k = 0, 1, . . . , n.
Seja P0(x) o polinômio de grau 0 que interpola f (x) em x = x0. Então
P0(x) = f (x0) = f [x0].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 39 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0
=
f (x)− f (x0)
x − x0
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
Note que E0(x) = (x − x0)f [x0, x ] é o erro cometido ao se aproximar f (x)
por P0(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 40 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
Note que E0(x) = (x − x0)f [x0, x ] é o erro cometido ao se aproximar f (x)
por P0(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 40 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
Note que E0(x) = (x − x0)f [x0, x ] é o erro cometido ao se aproximar f (x)
por P0(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 40 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
Note que E0(x) = (x − x0)f [x0, x ] é o erro cometido ao se aproximar f (x)
por P0(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 40 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Temos que, para todo x ∈ [a, b], x 6= x0
f [x0, x ] =
f [x ]− f [x0]
x − x0 =
f (x)− f (x0)
x − x0
⇒ (x − x0)f [x0, x ] = f (x)− f (x0)
⇒ f (x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x ]︸ ︷︷ ︸
E0(x)
Note que E0(x) = (x − x0)f [x0, x ] é o erro cometido ao se aproximar f (x)
por P0(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 40 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P1(x), o polinômio de grau ≤ 1 que interpola f (x) em
x0 e x1.
Temos que
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1 =
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 41 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P1(x), o polinômio de grau ≤ 1 que interpola f (x) em
x0 e x1.
Temos que
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1 =
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 41 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P1(x), o polinômio de grau ≤ 1 que interpola f (x) em
x0 e x1.
Temos que
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 41 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P1(x), o polinômio de grau ≤ 1 que interpola f (x) em
x0 e x1.
Temos que
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1 =
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 41 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P1(x), o polinômio de grau ≤ 1 que interpola f (x) em
x0 e x1.
Temos que
f [x0, x1, x ] = f [x1, x0, x ] =
f [x0, x ]− f [x1, x0]
x − x1
=
f (x)−f (x0)
x−x0 − f [x1, x0]
x − x1 =
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
⇒ f [x0, x1, x ] = f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]
(x − x1)(x − x0)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 41 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x1, x0]︸︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸
E1(x)
Assim
P1(x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
Q1(x)
E1(x) = (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]
Note que, de fato, P1(x) interpola f (x) em x0 e x1. Com efeito, basta
notar que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 42 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x1, x0]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸
E1(x)
Assim
P1(x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
Q1(x)
E1(x) = (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]
Note que, de fato, P1(x) interpola f (x) em x0 e x1. Com efeito, basta
notar que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 42 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x1, x0]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸
E1(x)
Assim
P1(x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
Q1(x)
E1(x) = (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]
Note que, de fato, P1(x) interpola f (x) em x0 e x1. Com efeito, basta
notar que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 42 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x1, x0]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]︸ ︷︷ ︸
E1(x)
Assim
P1(x) = f (x0)︸ ︷︷ ︸
P0(x)
+(x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
Q1(x)
E1(x) = (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x ]
Note que, de fato, P1(x) interpola f (x) em x0 e x1. Com efeito, basta
notar que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 42 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P2(x), o polinômio de grau ≤ 2 que interpola f (x) em
x0, x1 e x2.
Temos que
f [x0, x1, x2, x ] = f [x2, x1, x0, x ] =
f [x1, x0, x ]− f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f [x0,x]−f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2 =
f (x)−f (x0)
x−x0 −f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]− (x − x0)(x − x1)f [x2, x1, x0]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 43 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P2(x), o polinômio de grau ≤ 2 que interpola f (x) em
x0, x1 e x2.
Temos que
f [x0, x1, x2, x ] = f [x2, x1, x0, x ] =
f [x1, x0, x ]− f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f [x0,x]−f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2 =
f (x)−f (x0)
x−x0 −f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]− (x − x0)(x − x1)f [x2, x1, x0]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
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Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P2(x), o polinômio de grau ≤ 2 que interpola f (x) em
x0, x1 e x2.
Temos que
f [x0, x1, x2, x ] = f [x2, x1, x0, x ] =
f [x1, x0, x ]− f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f [x0,x]−f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)−f (x0)
x−x0 −f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]− (x − x0)(x − x1)f [x2, x1, x0]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
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Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P2(x), o polinômio de grau ≤ 2 que interpola f (x) em
x0, x1 e x2.
Temos que
f [x0, x1, x2, x ] = f [x2, x1, x0, x ] =
f [x1, x0, x ]− f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f [x0,x]−f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2 =
f (x)−f (x0)
x−x0 −f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]− (x − x0)(x − x1)f [x2, x1, x0]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
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Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Seja agora construir P2(x), o polinômio de grau ≤ 2 que interpola f (x) em
x0, x1 e x2.
Temos que
f [x0, x1, x2, x ] = f [x2, x1, x0, x ] =
f [x1, x0, x ]− f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f [x0,x]−f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2 =
f (x)−f (x0)
x−x0 −f [x1,x0]
x−x1 − f [x2, x1, x0]
x − x2
=
f (x)− f (x0)− (x − x0)f [x1, x0]− (x − x0)(x − x1)f [x2, x1, x0]
(x − x0)(x − x1)(x − x2)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 43 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
(x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Então
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸
Q2(x)
E2(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Observe que, assim como para P1(x) e P2(x), temos que
Pk(x) = Pk−1(x) + Qk(x), onde Qk(x) é um polinômio de grau k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 44 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
(x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Então
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸
Q2(x)
E2(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Observe que, assim como para P1(x) e P2(x), temos que
Pk(x) = Pk−1(x) + Qk(x), onde Qk(x) é um polinômio de grau k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 44 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
(x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Então
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸
Q2(x)
E2(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Observe que, assim como para P1(x) e P2(x), temos que
Pk(x) = Pk−1(x) + Qk(x), onde Qk(x) é um polinômio de grau k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 44 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
⇒ f (x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] +
(x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Então
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]︸ ︷︷ ︸
P1(x)
+(x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]︸ ︷︷ ︸
Q2(x)
E2(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x ]
Observe que, assim como para P1(x) e P2(x), temos que
Pk(x) = Pk−1(x) + Qk(x), onde Qk(x) é um polinômio de grau k .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 44 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio temos a forma de Newton
para o polinômio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn.
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + . . .
. . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . xn]
E o erro é dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . xn, x ]
Observe que tomando x = xk , k = 0, 1, . . . , n, e visto que
f (x) = Pn(x) + En(x), temos que
f (xk) = Pn(xk) + En(xk)︸ ︷︷ ︸
=0
= Pn(xk)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 45 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio temos a forma de Newton
para o polinômio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn.
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + . . .
. . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . xn]
E o erro é dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . xn, x ]
Observe que tomando x = xk , k =0, 1, . . . , n, e visto que
f (x) = Pn(x) + En(x), temos que
f (xk) = Pn(xk) + En(xk)︸ ︷︷ ︸
=0
= Pn(xk)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 45 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio temos a forma de Newton
para o polinômio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn.
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + . . .
. . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . xn]
E o erro é dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . xn, x ]
Observe que tomando x = xk , k = 0, 1, . . . , n, e visto que
f (x) = Pn(x) + En(x), temos que
f (xk) = Pn(xk) + En(xk)︸ ︷︷ ︸
=0
= Pn(xk)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 45 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio temos a forma de Newton
para o polinômio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn.
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + . . .
. . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . xn]
E o erro é dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . xn, x ]
Observe que tomando x = xk , k = 0, 1, . . . , n, e visto que
f (x) = Pn(x) + En(x), temos que
f (xk) = Pn(xk) + En(xk)︸ ︷︷ ︸
=0
= Pn(xk)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 45 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Aplicando sucessivamente o mesmo raciocínio temos a forma de Newton
para o polinômio de grau ≤ n que interpola f (x) em x0, x1, . . . , xn.
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + . . .
. . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . xn]
E o erro é dado por
En(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . xn, x ]
Observe que tomando x = xk , k = 0, 1, . . . , n, e visto que
f (x) = Pn(x) + En(x), temos que
f (xk) = Pn(xk) + En(xk)︸ ︷︷ ︸
=0
= Pn(xk)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 45 / 94
Interpolação Polinomial Fórmula de Newton
Forma de Newton
Exemplo
Conhecendo-se a seguinte tabela:
x -1 0 3
f (x) 15 8 -1
Determine o polinômio de interpolação na forma de Newton.
Exemplo
Usando a forma de Newton, determine o polinômio que interpola f (x) nos
pontos dados abaixo:
x -1 0 2
f (x) 4 1 -1
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 46 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Teorema
Sejam x0 < x1 < . . . < xn, (n + 1) pontos. Seja f (x) com derivadas até
ordem (n + 1) ∀x ∈ [x0, xn]. Então ∀x ∈ [x0, xn] temos que
En(x) = f (x)− Pn(x) =
[
n∏
i=0
(x − xi )
]
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn).
Teorema
f [x0, x1, . . . , xn, x ] =
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
, x ∈ (x0, xn) e ξx ∈ (x0, xn)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 47 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Teorema
Sejam x0 < x1 < . . . < xn, (n + 1) pontos. Seja f (x) com derivadas até
ordem (n + 1) ∀x ∈ [x0, xn]. Então ∀x ∈ [x0, xn] temos que
En(x) = f (x)− Pn(x) =
[
n∏
i=0
(x − xi )
]
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
onde ξx ∈ (x0, xn).
Teorema
f [x0, x1, . . . , xn, x ] =
f (n+1)(ξx)
(n + 1)!
, x ∈ (x0, xn) e ξx ∈ (x0, xn)
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 47 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Limitante Superior para o Erro de Truncamento
Corolário
Sob as hipóteses do primeiro Teorema, se f (n+1)(x) for contínua em
I = [x0, xn], podemos escrever a seguinte relação:
|En(x)| = |f (x)− Pn(x)| ≤
∣∣∣∣∣
n∏
i=0
(x − xi )
∣∣∣∣∣ Mn+1(n + 1)!
onde
Mn+1 = máxx∈I |f (n+1)(x)|
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 48 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Limitante Superior para o Erro de Truncamento
Corolário
Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou
seja, (x1 − x0) = (x2 − x1) = . . . = (xn − xn−1) = h, então
|En(x)| < h
n+1Mn+1
4(n + 1)
Observe que o majorante acima independe do ponto x considerado,
x ∈ [x0, xn].
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 49 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Exemplo
Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Obter f (0.7) por interpolação
linear e fazer uma análise do erro.
x 0 0.5 1 1.5 2
f (x) 0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Temos que P1(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]. Como x = 0.7 ∈ (0.5; 1),
então x0 = 0.5 e x1 = 1. Assim, temos que
P1(x) = 1.1487+ 3.1392(x − 0.5)⇒ P1(0.7) = 1.7765
Neste caso, temos condição de calcular o verdadeiro erro, dado por
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = 0.0628
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 50 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Exemplo
Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Obter f (0.7) por interpolação
linear e fazer uma análise do erro.
x 0 0.5 1 1.5 2
f (x) 0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Temos que P1(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]. Como x = 0.7 ∈ (0.5; 1),
então x0 = 0.5 e x1 = 1. Assim, temos que
P1(x) = 1.1487+ 3.1392(x − 0.5)⇒ P1(0.7) = 1.7765
Neste caso, temos condição de calcular o verdadeiro erro, dado por
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = 0.0628
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 50 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Exemplo
Seja f (x) = ex + x − 1 tabelada abaixo. Obter f (0.7) por interpolação
linear e fazer uma análise do erro.
x 0 0.5 1 1.5 2
f (x) 0 1.1487 2.7183 4.9811 8.3890
Temos que P1(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]. Como x = 0.7 ∈ (0.5; 1),
então x0 = 0.5 e x1 = 1. Assim, temos que
P1(x) = 1.1487+ 3.1392(x − 0.5)⇒ P1(0.7) = 1.7765
Neste caso, temos condição de calcular o verdadeiro erro, dado por
|E1(0.7)| = |f (0.7)− P1(0.7)| = 0.0628
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 50 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Os corolários nos fornecem as seguintes majorações para o erro:
Em x = 0.7 temos
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1)|M22
onde M2 = máxx∈[0.5;1]|f ′′(x)| = e1 = 2.7183. Então |E1(0.7)| ≤ 0.0815
(De fato, |E1(0.7)| = 0.0628 ≤ 0.0815).
Para todo x ∈ (0.5; 1), temos
|E1(x)| < h
2M2
8
=
(0.5)2(2.7183)
8
= 0.0850
que também confirma o resultado para o erro exato
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Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Os corolários nos fornecem as seguintes majorações para o erro:
Em x = 0.7 temos
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1)|M22
onde M2 = máxx∈[0.5;1]|f ′′(x)| = e1 = 2.7183. Então |E1(0.7)| ≤ 0.0815
(De fato, |E1(0.7)| = 0.0628 ≤ 0.0815).
Para todo x ∈ (0.5; 1), temos
|E1(x)| < h
2M2
8
=
(0.5)2(2.7183)
8
= 0.0850
que também confirma o resultado para o erro exato
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Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Os corolários nos fornecem as seguintes majorações para o erro:
Em x = 0.7 temos
|E1(0.7)| ≤ |(0.7− 0.5)(0.7− 1)|M22
onde M2 = máxx∈[0.5;1]|f ′′(x)| = e1 = 2.7183. Então |E1(0.7)| ≤ 0.0815
(De fato, |E1(0.7)| = 0.0628 ≤ 0.0815).
Para todo x ∈ (0.5; 1), temos
|E1(x)| < h
2M2
8
=
(0.5)2(2.7183)8
= 0.0850
que também confirma o resultado para o erro exato
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Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Exercício
Dada a tabela abaixo,
1 Calcular e3.1 usando um polinômio de interporlação sobre 3 pontos;
2 Dê um limitante para o erro cometido.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Resposta: f (3.1) ≈ 22.20375, com x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2;
|E2(3.1)| ≤ 1.23× 10−2.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 52 / 94
Interpolação Polinomial Estudo do Erro na Interpolação
Estudo do Erro na Interpolação
Exercício
Dada a tabela abaixo,
1 Calcular e3.1 usando um polinômio de interporlação sobre 3 pontos;
2 Dê um limitante para o erro cometido.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Resposta: f (3.1) ≈ 22.20375, com x0 = 2.8, x1 = 3.0 e x2 = 3.2;
|E2(3.1)| ≤ 1.23× 10−2.
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Se a função f (x) está tabelada em (n + 1) pontos, uma alternativa é
interpolar f (x) em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômio de grau
menor, e impor condições para que a função de aproximação seja contínua
e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem.
A figura abaixo mostra o caso em que aproximamos a função por uma
função linear por partes, denotada S1(x).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 53 / 94
Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Se a função f (x) está tabelada em (n + 1) pontos, uma alternativa é
interpolar f (x) em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômio de grau
menor, e impor condições para que a função de aproximação seja contínua
e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem.
A figura abaixo mostra o caso em que aproximamos a função por uma
função linear por partes, denotada S1(x).
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Observe que a função S1(x) é contínua mas não é derivável em todo
intervalo (x0, x4), uma vez que S ′1(x) não existe para x = xi , 1 ≤ i ≤ 3.
Com efeito, basta observar que sendo y = a0 + a1x e y = b0 + b1x as
equações das retas que contém os intervalos [xi−1, xi ] e [xi , xi+1],
respectivamente, com a1 6= b1, temos que
lim
x→x−i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
a0 + a1x − a0 − a1xi
x − xi = a1
Enquanto
lim
x→x+i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
b0 + b1x − b0 − b1xi
x − xi = b1
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 54 / 94
Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Observe que a função S1(x) é contínua mas não é derivável em todo
intervalo (x0, x4), uma vez que S ′1(x) não existe para x = xi , 1 ≤ i ≤ 3.
Com efeito, basta observar que sendo y = a0 + a1x e y = b0 + b1x as
equações das retas que contém os intervalos [xi−1, xi ] e [xi , xi+1],
respectivamente, com a1 6= b1, temos que
lim
x→x−i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
a0 + a1x − a0 − a1xi
x − xi = a1
Enquanto
lim
x→x+i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
b0 + b1x − b0 − b1xi
x − xi = b1
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Observe que a função S1(x) é contínua mas não é derivável em todo
intervalo (x0, x4), uma vez que S ′1(x) não existe para x = xi , 1 ≤ i ≤ 3.
Com efeito, basta observar que sendo y = a0 + a1x e y = b0 + b1x as
equações das retas que contém os intervalos [xi−1, xi ] e [xi , xi+1],
respectivamente, com a1 6= b1, temos que
lim
x→x−i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
a0 + a1x − a0 − a1xi
x − xi = a1
Enquanto
lim
x→x+i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
b0 + b1x − b0 − b1xi
x − xi = b1
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Observe que a função S1(x) é contínua mas não é derivável em todo
intervalo (x0, x4), uma vez que S ′1(x) não existe para x = xi , 1 ≤ i ≤ 3.
Com efeito, basta observar que sendo y = a0 + a1x e y = b0 + b1x as
equações das retas que contém os intervalos [xi−1, xi ] e [xi , xi+1],
respectivamente, com a1 6= b1, temos que
lim
x→x−i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
a0 + a1x − a0 − a1xi
x − xi = a1
Enquanto
lim
x→x+i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
b0 + b1x − b0 − b1xi
x − xi = b1
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Funções Spline em Interpolação
Observe que a função S1(x) é contínua mas não é derivável em todo
intervalo (x0, x4), uma vez que S ′1(x) não existe para x = xi , 1 ≤ i ≤ 3.
Com efeito, basta observar que sendo y = a0 + a1x e y = b0 + b1x as
equações das retas que contém os intervalos [xi−1, xi ] e [xi , xi+1],
respectivamente, com a1 6= b1, temos que
lim
x→x−i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
a0 + a1x − a0 − a1xi
x − xi = a1
Enquanto
lim
x→x+i
S1(x)− S1(xi )
x − xi = limx→xi
b0 + b1x − b0 − b1xi
x − xi = b1
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Spline Linear
Definição
A função spline linear interpolante de f (x), S1(x), nos nós x0, x1, . . . , xn,
pode ser escrita em cada subintervalo [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n como
si (x) = f (xi )
x − xi−1
xi − xi−1 − f (xi−1)
x − xi
xi − xi−1 ∀x ∈ [xi−1, xi ]
Com efeito, basta tomar P1(x) na forma de Newton e “abri-lo”até obter a
forma acima considerando, para isso, no final, x0 = xi−1, x1 = xi e
P1(x) = si (x).
Observe que deve valer que si (xi ) = si+1(xi ) = f (xi ).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 55 / 94
Interpolação Polinomial Spline Linear
Spline Linear
Definição
A função spline linear interpolante de f (x), S1(x), nos nós x0, x1, . . . , xn,
pode ser escrita em cada subintervalo [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n como
si (x) = f (xi )
x − xi−1
xi − xi−1 − f (xi−1)
x − xi
xi − xi−1 ∀x ∈ [xi−1, xi ]
Com efeito, basta tomar P1(x) na forma de Newton e “abri-lo”até obter a
forma acima considerando, para isso, no final, x0 = xi−1, x1 = xi e
P1(x) = si (x).
Observe que deve valer que si (xi ) = si+1(xi ) = f (xi ).
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Spline Linear
Definição
A função spline linear interpolante de f (x), S1(x), nos nós x0, x1, . . . , xn,
pode ser escrita em cada subintervalo [xi−1, xi ], i = 1, 2, . . . , n como
si (x) = f (xi )
x − xi−1
xi − xi−1 − f (xi−1)
x − xi
xi − xi−1 ∀x ∈ [xi−1, xi ]
Com efeito, basta tomar P1(x) na forma de Newton e “abri-lo”até obter a
forma acima considerando, para isso, no final, x0 = xi−1, x1 = xi e
P1(x) = si (x).
Observe que deve valer que si (xi ) = si+1(xi ) = f (xi ).
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Interpolação Polinomial Spline Linear
Spline Linear
Exemplo
Achar a função spline linear que interpola a função tabelada abaixo:
x 1 2 5 7
f (x) 1 2 3 2.5
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 56 / 94
Integração Numérica
Sumário
1 Interpolação Polinomial
Introdução
Fórmula de Lagrange
Fórmula de Newton
Estudo do Erro na Interpolação
Spline Linear
2 Integração Numérica
Introdução
Regra dos Trapézios
Regra 1/3 de Simpson
3 Solução Numérica das EquaçõesDiferenciais Ordinárias
Introdução
Método de Euler
Método de Taylor
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 57 / 94
Integração Numérica Introdução
Introdução
Integrar numericamente uma função y = f (x) num dado intervalo [a, b] é
integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f (x) no dado intervalo.
Em particular, se y = f (x) for dada por uma tabela ou, o que é o mesmo,
por um conjunto de pares ordenados (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), . . . , (xn, f (xn)),
x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a
função y = f (x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação.
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f (x) no
intervalo [a, b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f (x)
em qualquer sub-intervalo [xi , xj ], 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n, do intervalo [a, b].
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f (x) em qualquer
desses sub-intervalos.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 58 / 94
Integração Numérica Introdução
Introdução
Integrar numericamente uma função y = f (x) num dado intervalo [a, b] é
integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f (x) no dado intervalo.
Em particular, se y = f (x) for dada por uma tabela ou, o que é o mesmo,
por um conjunto de pares ordenados (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), . . . , (xn, f (xn)),
x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a
função y = f (x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação.
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f (x) no
intervalo [a, b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f (x)
em qualquer sub-intervalo [xi , xj ], 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n, do intervalo [a, b].
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f (x) em qualquer
desses sub-intervalos.
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Integração Numérica Introdução
Introdução
Integrar numericamente uma função y = f (x) num dado intervalo [a, b] é
integrar um polinômio Pn(x) que aproxime f (x) no dado intervalo.
Em particular, se y = f (x) for dada por uma tabela ou, o que é o mesmo,
por um conjunto de pares ordenados (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), . . . , (xn, f (xn)),
x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a
função y = f (x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação.
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f (x) no
intervalo [a, b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f (x)
em qualquer sub-intervalo [xi , xj ], 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n, do intervalo [a, b].
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f (x) em qualquer
desses sub-intervalos.
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Integração Numérica Introdução
Introdução
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f (x) ao invés
de f (x) são principalmente as seguintes:
1 f (x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração
praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de
integração imediata;
2 se conhece a solução analítica do resultado da integral, mas seu
cálculo só pode ser obtido aproximadamente;
3 a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se
conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x .
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Integração Numérica Introdução
Introdução
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f (x) ao invés
de f (x) são principalmente as seguintes:
1 f (x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração
praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de
integração imediata;
2 se conhece a solução analítica do resultado da integral, mas seu
cálculo só pode ser obtido aproximadamente;
3 a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se
conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 59 / 94
Integração Numérica Introdução
Introdução
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f (x) ao invés
de f (x) são principalmente as seguintes:
1 f (x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração
praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de
integração imediata;
2 se conhece a solução analítica do resultado da integral, mas seu
cálculo só pode ser obtido aproximadamente;
3 a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se
conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x .
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 59 / 94
Integração Numérica Introdução
Introdução
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f (x) ao invés
de f (x) são principalmente as seguintes:
1 f (x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração
praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de
integração imediata;
2 se conhece a solução analítica do resultado da integral, mas seu
cálculo só pode ser obtido aproximadamente;
3 a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se
conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x .
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio que aproxime f (x)
razoavelmente é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b]
igualmente espaçados.
Consideremos a partição do intervalo [a, b] em
subintervalos, de comprimento h, [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1. Assim
xi+1 − xi = h = b−an .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
x0 = a, xn = b e
∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈
n∑
i=0
Ai f (xi )
sendo os coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio
aproximador.
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de
maneira análoga às fechadas, com x0, xn ∈ (a, b).
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 60 / 94
Integração Numérica Regra dos Trapézios
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio que aproxime f (x)
razoavelmente é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b]
igualmente espaçados. Consideremos a partição do intervalo [a, b] em
subintervalos, de comprimento h, [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1.
Assim
xi+1 − xi = h = b−an .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
x0 = a, xn = b e
∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈
n∑
i=0
Ai f (xi )
sendo os coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio
aproximador.
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de
maneira análoga às fechadas, com x0, xn ∈ (a, b).
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio que aproxime f (x)
razoavelmente é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b]
igualmente espaçados. Consideremos a partição do intervalo [a, b] em
subintervalos, de comprimento h, [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1. Assim
xi+1 − xi = h = b−an .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
x0 = a, xn = b e
∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈
n∑
i=0
Ai f (xi )
sendo os coeficientes Ai determinadosde acordo com o grau do polinômio
aproximador.
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de
maneira análoga às fechadas, com x0, xn ∈ (a, b).
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio que aproxime f (x)
razoavelmente é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b]
igualmente espaçados. Consideremos a partição do intervalo [a, b] em
subintervalos, de comprimento h, [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1. Assim
xi+1 − xi = h = b−an .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
x0 = a, xn = b e
∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈
n∑
i=0
Ai f (xi )
sendo os coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio
aproximador.
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de
maneira análoga às fechadas, com x0, xn ∈ (a, b).
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Fórmulas de Newton-Cotes
Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio que aproxime f (x)
razoavelmente é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b]
igualmente espaçados. Consideremos a partição do intervalo [a, b] em
subintervalos, de comprimento h, [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1. Assim
xi+1 − xi = h = b−an .
As fórmulas fechadas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo
x0 = a, xn = b e
∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈
n∑
i=0
Ai f (xi )
sendo os coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio
aproximador.
Existem ainda as fórmulas abertas de Newton-Cotes, construídas de
maneira análoga às fechadas, com x0, xn ∈ (a, b).
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 61 / 94
Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Se usarmos a fórmula de Lagrange para expressar o polinômio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1 temos∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b=x1
a=x0
P1(x)dx =
=
∫ x1
x0
[
f (x1)
(x − x0)
h
− f (x0)(x − x1)
h
]
dx =
=
[
f (x1)
(x − x0)2
2h
− f (x0)(x − x1)
2
2h
]x1
x0
=
= f (x1)
h2
2h
+ f (x0)
h2
2h
=
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Que é a área do trapézio de bases f (x0) e f (x1) e altura h = x1 − x0.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Prof. Washington (CEFET RJ – Itaguaí) Cálculo Numérico Itaguaí, 2017-1 62 / 94
Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Observe que: se o intervalo [a, b] é pequeno a aproximação é razoável; mas
se [a, b] é grande o erro também pode ser grande. Na figura anterior, a
área entre a curva e a reta é o erro cometido ao calcularmos a integral de a
até b.
Assim, se o intervalo de integração é grande podemos dividir o intervalo
[a, b] em n sub-intervalos de amplitude h = b−an de tal forma que x0 = a,
xn = b e em cada sub-intervalo [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1, aplicar a
Regra do Trapézio. O erro agora é a soma das áreas entre a curva e as
retas, como mostrado na figura a seguir.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Observe que: se o intervalo [a, b] é pequeno a aproximação é razoável; mas
se [a, b] é grande o erro também pode ser grande. Na figura anterior, a
área entre a curva e a reta é o erro cometido ao calcularmos a integral de a
até b.
Assim, se o intervalo de integração é grande podemos dividir o intervalo
[a, b] em n sub-intervalos de amplitude h = b−an de tal forma que x0 = a,
xn = b e em cada sub-intervalo [xi , xi+1], i = 0, 1, . . . , n − 1, aplicar a
Regra do Trapézio. O erro agora é a soma das áreas entre a curva e as
retas, como mostrado na figura a seguir.
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
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Integração Numérica Regra dos Trapézios
Regra dos Trapézios
Observe ainda que, quando h→ 0, estaremos tendendo ao resultado exato
da integral pois o erro estará tendendo a zero.
Assim, utilizando o que foi descrito, obtemos:∫ xn
x0
f (x)dx =
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx ≈
n−1∑
i=0
h
2
[f (xi ) + f (xi+1)]
Na expressão acima vemos que com exceção da f calculada nos pontos x0
e xn, todas as demais aparecem duas vezes. Portanto, podemos escrever:∫ xn
x0
f (x)dx ≈ h
2
[
f (x0) + 2
n−1∑
i=1
f (xi ) + f (xn)
]
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