01 MA ET Cálculo numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Roberto Carlos Lourenço dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 MATRIZES E DETERMINANTES ................................................................. 3 
2 SISTEMAS LINEARES I............................................................................. 14 
3 SISTEMAS LINEARES II............................................................................ 22 
4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ....................................... 35 
5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL ................................................................ 47 
6 RESOLUÇÕES NUMÉRICAS ..................................................................... 56 
 
 
 
3 
 
 
1 MATRIZES E DETERMINANTES 
Neste bloco, estudaremos as definições de Matrizes e Determinantes, passando pelas 
operações que envolvem Matrizes e propriedades dos Determinantes. 
No curso de Cálculo Numérico é fundamental conhecer e dominar esse conteúdo para 
resolver diversos problemas de equações lineares e sistemas lineares, assim como 
outros tópicos que estudaremos. 
Desejo um ótimo período de estudos! 
 
1.1 Matrizes 
Nesse tópico temos como objetivo compreender a definição e operações com 
matrizes. 
Por definição: Sendo m e n números naturais não nulos, chama-se matriz retangular m 
x n uma tabela formada por m x n números dispostos em m linhas e n colunas. 
 
mxnij
aA 
 
Igualdade entre Matrizes 
Para duas matrizes serem iguais: 
*mesma quantidade de linhas e colunas; 
*todos os elementos correspondentes iguais. 
 





















34
24
14
33
23
13
32
22
12
31
21
11
34
24
14
33
23
13
32
22
12
31
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
 
 
4 
 
Determine os valores de x e y, sendo A e B matrizes iguais. 














3
13
39
1
y
B
x
A
 x = 3 e y = 9 
 
 
Exemplo de matriz transposta: 
Sendo 







9
5
7
1
4
2
A
 , apresente a matriz transposta de A 











9
7
4
5
1
2
tA
 
 
Matrizes quadradas 
Sendo m= n, número de linhas igual ao número de colunas, temos uma matriz 
quadrada. 














nnnn
n
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
...
......
...
...
.........
21
2
1
23
13
22
12
21
11
 
 
Matrizes Identidade 
É uma matriz quadrada diagonal, onde os elementos da diagonal principal assumem o 
valor 1 e os demais elementos da matriz são nulos. 
 
5 
 















1...00
...
0
0
...
...
...
...
0
0
...
1
0
...
0
1
nI
 
Dada a matriz 









 

9
8
2
7
5
1
4
3
2
A
, apresente: 
a) diagonal principal; 
Resposta: 
 










9
5
2
 
 
b) diagonal secundária; 
Resposta: 









  2
5
4
 
 
c) tr(A) (traço da matriz A); 
Resposta: 










9
5
2
 
tr(A) = 2 + 5 + 9 = 16 
 
 
6 
 
Adição e Subtração de Matrizes 
Para ocorrer adição ou subtração é obrigatório: 
Am x n e Bm x n 
m = m (linhas) 
e 
n = n (colunas) 
Exemplos: 
Sendo A = 






8
3
5
2
0
1
 e B = 






9
0
4
7
0
3
 , calcule: 
a) A + B 
Resolução: 
 
 
 
 
 
b) A – B 
Resolução 
 
 
 
7 
 
 
 
 
Multiplicação de matriz por um escalar 












fk
ck
ek
bk
dk
ak
f
c
e
b
d
a
k.
 
 
Multiplicação de matriz por matriz 
Para ocorrer uma multiplicação de: 
 Am x n por Br x s, onde n = r 
Número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da 
segunda matriz. Caso contrário não é possível a operação. 
 
 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
8 
 
b) 
6
4
2
5
3
1
.
0
8
9
7






 
 Não é possível, pois o número de colunas da primeira (2) matriz é diferente do 
número de linhas da segunda matriz (3). 
 
1.2 – Determinantes I 
Nesse momento vamos compreender e desenvolver cálculo de determinantes de 
ordem 1, 2 e 3. 
 
Propriedades dos determinantes: 
 
 
 
 
9 
 
Determinante de ordem 1 
Dada uma matriz quadrada de ordem 1, seu determinante é igual ao único elemento 
da matriz. 
 
Determinante de ordem 2 
Dada uma matriz quadrada de ordem 2, seu determinante é igual ao produto dos 
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
cbdaA
dc
ba
A ..det 






 
Exemplo: 
212143.47.2det
73
42






 AA
 
Determinante de ordem 3 
Dada uma matriz quadrada de ordem 3, calculamos seu determinante da 
seguinte maneira: 
 
 
10 
 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz A: 
 
 
 
1.3 – Determinantes II 
Agora será possível compreender como calcular determinantes de ordem superior 
trabalhando com Teorema de Laplace e Regra de Chiò. 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
7)125).(1(
54
31
.)1( 2222 
A
 
7)81).(1(
14
21
.)1( 3223 
A
 
 
12 
 
 
 
Regra de Chiò 
Sendo D, determinante de uma matriz A de ordem n que possui pelo menos um 
elemento igual a 1. Observamos a linha e a coluna em que se encontra o elemento 
igual a 1. 
Seja
1ija . 
Suprimimos a linha e a coluna de: 
 ij
a
. 
De cada elemento restante k, subtraímos o produto daqueles dois elementos que se 
encontram nos pés das perpendiculares baixadas de k sobre a linha e a coluna 
suprimidas, obtendo um determinante D’. 
E por fim, '.)1( DD
ji 
 
 
 
13 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição das Matrizes, as operações envolvendo matrizes e 
ainda os cálculos de Determinantes. 
Espero que você tenha compreendido os tópicos apresentados. Como dica, recomendo 
refazer cada exemplo sem observar as resoluções para, posteriormente, conseguir 
fazer a devida comparação. 
Tudo de bom! 
 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, 
M. L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. 
R. S.; MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
14 
 
 
2 SISTEMAS LINEARES I 
Neste bloco, estudaremos os Sistemas Lineares, onde conheceremos as equações 
lineares para ser possível compreender sua definição. Ainda teremos a oportunidade 
de estudar as caraterísticas dos sistemas lineares como sistema possível e 
determinado, ou ainda, sistema possível, indeterminado e sistema impossível. Para 
concluir, conheceremos o sistema homogêneo. 
Conhecer os sistemas lineares é fundamental para dar sequência aos estudos em 
Cálculo Numérico, sendo necessário para resolver diversos problemas e situações. 
Bons estudos! 
 
2.1 Equação Linear 
Estudar a teoria das equações lineares é fundamental no campo da Álgebra Linear. 
Onde, muitos dos problemas dessa área são solucionados quando resolvemos um 
sistema de equações lineares. 
Definição de Equação Linear 
Por uma equação linear sobre o corpo real R, entendemos uma expressão da seguinte 
forma: 
bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211 
onde ia assume o papel de coeficiente da incógnitas, sendo naaaaa ,...,,, 43,21 
números reais que acompanham nxxxxx ,...,,, 43,21 . Os ix são as incógnitas ou 
variáveis que possuem valores desconhecidos e b é o termo independente, chamado 
de termo constante, sendo também um número real. 
 
Para um conjunto de valores dados as incógnitas: 
 
15 
 
nn kx
kx
kx
kx
kx





44
33
22
11
 
Podemos afirmar que esse conjunto definido por  nkkkkk ,...,,, 43,21 é a solução para a 
equação linear: bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211, onde é possível obter: 
bkakakakaka nn  ........ 54332211 
Dessa forma, está correto afirmar que S =  nkkkkk ,...,,, 43,21 é o conjunto solução ou 
conjunto verdade para a equação linear. 
 
Exemplos de Equações Lineares: 
Conforme definição de equação linear, uma equação só pode ser classificada como 
equação linear se o expoente da incógnita for exatamente o valor 1. Caso contrário, a 
equação não é uma equação linear. 
bxaxaxaxaxa nn  ........ 54332211 
Veja os exemplos a seguir: 
a) 09427  zyx 
Nesse exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 7, 2 e 4. 
As incógnitas são x, y e z, onde todas estão elevadas ao expoente 1. 
Dessa forma é possível classificar essa equação como equação linear. 
b) 123542 5432  xxxxx 
 
Neste outro exemplo, temos os coeficientes das incógnitas sendo 1, 2, 4 , 5 e (-3). 
 
16 
 
As incógnitas são 543,21 ,, xexxxx , onde todas estão elevadas ao expoente 1. 
Dessa forma é possível classificá-la como equação linear. 
 
c) 63²  yxx 
Nesse caso não temos uma equação linear, pois a incógnita x está elevada ao expoente 
2 no segundo termo. 
 
d) 34  tyx 
Nesse outro caso, a equação não é linear porque a incógnita x é radicando de uma raiz 
quadrada, onde x está elevado ao expoente ½ . 
 
e) x.y + 3z + 4 t + 7w = 13 
Neste novo exemplo a equação não é linear, pois existe a multiplicação das incógnitas 
x e y, e assim, a equação apresentada não é linear. 
 
 
2.2 Sistemas Lineares I 
Nesse tópico os objetivos são compreender a definição de sistemas lineares e tornar 
possível classificar cada sistema como sistema possível determinado, sistema possível 
indeterminado ou sistema impossível. 
 
 
 
 
17 
 
Equação Linear 
 
Sistema de Equação Linear 
Denomina-se sistema de equações lineares ou sistema linear um conjunto de duas ou 
mais equações lineares: 












nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
Se uma ênupla ordenada de números reais 
 n ,,,, 321  tornarem verdadeira 
todas as equações do sistema linear de n incógnitas, ela é uma solução do sistema 
linear. 
Resolver um sistema linear significa determinar o conjunto de todas as soluções desse 
sistema. 
Classificação dos sistemas lineares quanto ao número de soluções 
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em compatível 
(ou possível) e incompatível (ou impossível). 
 
18 
 
 
 
 
 
 
Forma Matricial de um sistema linear 
 
19 
 












nnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
tesindependen
termospelos
aconstituíd
colunamatriz
n
incógnitaspelas
aconstituíd
colunamatriz
n
incógnitasdasescoeficient
pelosaconstituídmatriz
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa







































  




2
1
2
1
21
22221
11211
 
 
2.3 – Sistemas Lineares II 
Nesse momento será possível compreender a definição de sistema linear homogêneo. 
Sistema homogêneo 












nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
Denomina-se sistema linear homogêneo quando 
.0ib 












0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nnnnnn
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
S





 
 
20 
 
Qualquer sistema linear homogêneo possui a solução (0, 0, 0, 0, ..., 0), porém nem 
sempre será a única solução. O sistema será sempre possível, mas pode ser 
determinado ou indeterminado. 












0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nnnnnn
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
S





 
Teorema: Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do que 
equações tem alguma solução não nula. 
Exemplo: 
Resolva o sistema a seguir 








043
0532
0542
wzyx
wzyx
wzyx
S
 
Demonstração 








043
0532
0542
wzyx
wzyx
wzyx
S
 









014132
0555
0542
wzy
wzy
wzyx
S
 









014132
0
0542
wzy
wzy
wzyx
S
 









01211
0
0542
wz
wzy
wzyx
S
 









01211
0
0542
wz
wzy
wzyx
S
 
11
12
01211
w
zwz 
 
Nesse caso, o w pode assumir um valor real qualquer! 
 
21 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as equações lineares. Sistema linear e suas classificações 
como sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado, sistema 
impossível e, para concluir, sistema homogêneo, estudando um teorema que colabora 
na resolução de sistema homogêneo. 
Tudo de bom! 
 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
 
22 
 
 
3 SISTEMAS LINEARES II 
Neste bloco, estudaremos três métodos para solucionar um sistema linear. Teremos a 
oportunidade de estudar a Regra de Cramer, uma ferramenta que trabalha com o 
cálculo de determinantes, depois o Método de Gauss e, para finalizar, o Método de 
Jordan. 
Bons estudos. 
3.1 Regra de Cramer 
Nesse momento vamos estudar um método para solucionar um sistema linear quando 
o mesmo for um sistema possível e determinado. 
Para um sistema denominado como S, onde existem n equações lineares e n 
quantidade de incógnitas indicadas por nxxxx ,...,,, 321 , definimos da seguinte maneira 
a Regra de Cramer: 
B é a matriz incompleta do sistema S, onde os elementos de B são os coeficientes das 
incógnitas do sistema S. 
iB é uma matriz obtida de B, onde a coluna dos coeficientes de ix é substituída pelos 
termos independentes do sistema S. 
Sendo o det B ≠ 0, logo o sistema é spd e com isso será possível encontrar o valor de 
cada incógnita desenvolvendo o seguinte cálculo: 
B
B
x ii
det
det
 . 
Exemplo 1 
Resolva o sistema linear a seguir usando a Regra de Cramer: 








223
52
13
zyx
zyx
zyx
 
Resolução: 
 
23 
 
No primeiro momento montamos a matriz B, sendo uma matriz incompleta formada 
pelos coeficientes das incógnitas do sistema dado. 









 

231
112
113
B
 
det B = -11 
Como det B ≠ 0, temos um sistema linear possível e determinado. Agora, vamos 
calcular os determinantes das outras matrizes substituindo a coluna de cada 
coeficiente da seguinte forma: 
Temos a matriz









 

232
115
111
xB , onde a coluna dos coeficientes de x foi substituída 
pelos termos independentes do sistema. 
 
22det xB 
Nesse caso, temos a matriz









 

221
152
113
yB , sendo a coluna dos coeficientes de y 
substituída pelos termos independentes do sistema. 
22det yB 
 
Agora, vamos trabalhar com a matriz 











231
512
113
zB , onde a coluna dos coeficientes 
de z foi substituída pelos termos independentes do sistema. 
33det yB 
 
24 
 
Para concluir, vamos determinar o valor de cada incógnita: 
2
11
22
det
det




B
B
x x
 
2
11
22
det
det


B
B
y
y
 
3
11
33
det
det




B
B
z z
 
 
Portanto, o conjunto solução para o sistema dado é V = {(2, -2, 3)}. 
 
Exemplo 2 
Apresente o valor de m para que o sistema a seguir seja possível e determinado. 








95
632
1
zymx
zyx
zyx
 
Resolução: 
Com a Regra de Cramer podemos resolver um sistema possível e determinado. Sendo 
assim, o determinante da matriz incompleta formada pelos coeficientes das incógnitas 
precisa resultar em um valor diferente de zero. 
 
A seguir, matriz incompleta: 









 

51
312
111
m
B
 
Agora, considerando que o sistema é possível e determinado, temos det B ≠ 0. 
 
25 
 
 
1
1
1
2
1
51
312
111 









 

mm
B
 
det B = 5 – 3m – 2 + 10 – 3 + m ≠ 0 
 - 2m + 10 ≠ 0 
 m ≠ 5 
 
Dessa forma, temos que m pode assumir qualquer valor real, exceto o 5, para que o 
sistema linear apresentado seja possível e determinado. 
 
3.2 Método de Gauss 
Como objetivos desse tópico, vamos compreender e aplicar o Método de Gauss para 
solucionar sistemas lineares. 
Trabalhar com o Método de Gauss, consiste em transformar o sistema linear original 
em um sistema linear triangular, com matriz dos coeficientes triangulares superiores 
que seja equivalente ao sistema dado, isto é, que tenha a mesma solução, mediante 
permutações e combinações lineares de linha. Onde, após referida transformação, 
encontramos a solução do sistema através da substituição. 
 
Exemplo: 
Resolva, pelo método de Gauss, o sistema linear a seguir 
 
26 
 
 
Essa é a tabela para trabalhar com o Método de Gauss 
 
Onde preenchemos com os dados do sistema: 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Após operações envolvendo os coeficientes das incógnitas e os termos independentes, 
voltamos para o sistema: 
 
 
 
 
Por substituição encontramos os valores das incógnitas: 
 
29 
 
4 y – 10 z = - 25 
4 y – 10 . 0,5 = - 25 
4 y – 5 = - 25 
4 y = - 25 + 5 
y = - 20 / 4 
y = - 5 
 
x – y + 4z = 7 
x –(-5) + 4.0,5 = 7 
x + 5 + 2 = 7 
x + 7 = 7 
x = 7 – 7 
x = 0 
Portanto, o conjunto solução para o sistema é: 
 tS 5,050  
 
3.3 Método de Jordan 
Trabalhar com o Método de Jordan, consiste em operar transformações elementares 
sobre as equações do sistema linear dado até que se obtenha um sistema diagonal 
equivalente. 
 
Exemplo: Resolva o sistema linear a seguir trabalhando com o método de Jordan. 
 
30 
 
 
Preenchemos a tabela com os valores dados no sistema: 
 
 
 
31 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
33 
 
 
 
Voltamos para o sistema: 
 
 
34 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a Regra de Cramer, Método de Gauss e Método de Jordan, 
ferramentas importantes e fundamentais para solucionar problemas envolvendo 
sistemas lineares. 
 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
 
35 
 
 
4 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES 
Neste bloco, estudaremos as Equações Algébricas e Transcendentes. Será possível 
conhecer métodos para solucionar Equações Algébricas, como Algoritmo de Briot-
Ruffini, as Relações de Girard e o Método de Newton-Raphson. 
Aproveite esse momento para complementar seus estudos realizando uma breve 
pesquisa sobre os nomes desses grandes ícones da Matemática. 
Bons estudos! 
 
4.1 Equações Algébricas 
Nesse momento, conheceremos a definição e exemplos de equações algébricas. Em 
muitos problemas da Engenharia há necessidade de se determinar um número λ para 
o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(λ) = 0. Chamamos esse valor λ de zero da 
função f(x) ou raiz da equação f(x) = 0. 
 
Definição de Equação Algébrica 
Seja uma equação algébrica de grau n, sendo n ϵ N*: 
Temos que: 
0......)( 0
2
2
1
1 



 axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 
Onde os coeficientes ia são números reais e .0na 
O grau da equação algébrica P(x) = 0 é justamente o grau do polinômio P(x). 
 
Exemplos de equações algébricas que também são chamadas de equações 
polinomiais: 
 
36 
 
a) 3x + 5 = 0 (grau 1) 
b) 5x² - 9x + 1 = 0 (grau 2) 
c) x³ + 12 x² - 5x + 2 = 0 (grau 3) 
d) 0952 37  xxx (grau 7) 
Toda equação algébrica de grau n (n ≥ 1) admite n raízes, distintas ou iguais. 
 
Isolamento de Raízes 
Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: 
I) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a, b], o menor possível, que contenha uma 
e somente uma raiz da equação f(x) = 0. 
II) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão 
requerido. 
Teorema: Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos 
extremos do intervalo [a, b], isto é f(a) . f(b) < 0, então o intervalo conterá, no mínimo, 
uma raiz da equação f(x) = 0, ou seja, λ ϵ [a, b] onde f(λ) = 0. 
Ilustração do teorema: 
 
 
37 
 
 
f(a) . f(b) < 0 
 
Forma fatorada de um polinômio 
Como toda equação algébrica e grau n (n ≥ 1) admite pelo menos uma raiz complexa, 
temos que: 
Para a equação algébrica: 
0......)( 0
2
2
1
1 



 axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 
Temos 1 tal que 0)( 1 P , ou seja: 
0)().()( 1  xQxxP  
Realizando fatoração sucessivamente obtemos: 
0).(...)).().(()( 321  nn QxxxxxP  
Como o coeficiente de nx em P(x) é na , concluímos por identidade de polinômios que 
a constante nQ é na e, então: 
)(...)).().(()( 321 nn xxxxaxP   
Sendo essa a forma fatorada do polinômio. 
 
38 
 
Exemplo: 
Apresente o polinômio P(x) na forma fatorada: 
P(x) = 2x³ - 5x² + 3x 
 
Resolução: 
P(x) = 2x³ - 5x² + 3x 
 
  




















2
3
.1.2)(
2
3
.1.2.)(
3) +5x - (2x² x.= P(x)
xxxxP
xxxxP
 
 
Relações de Girard 
Em 1629 o matemático Albert Girard (1590 – 1633) obteve informações gerais sobre as 
raízes de uma equação algébrica ao relacioná-las com os seus coeficientes. 
Para estabelecer essas relações, consideremos a identidade entre um polinômio de 
grau n e sua forma fatorada, onde comparecem as raízes .,...,,, 321 n 
A seguir temos as Relações de Girard: 
Equação do 2° grau 
 a
c
a
b
eraízes
acbxax



21
21
21
)2
)1
00²



 
Equação do 3° grau 
 
39 
 
a
d
a
c
a
b
eraízes
adcxbxax




321
323121
321
321
)3
)2
)1
,
00²³




 
 
Equação do 4° grau 
a
e
a
d
a
c
a
b
eraízes
aedxcxbxax





4321
432431421321
4314232413121
4321
4321
234
)4
)3
)2
)1
,,
00





 
E dessa forma é possível construir as Relações de Girard para as demais equações de 
grau superior. 
É importante destacar que equações de grau n, onde n ≥ 3, somente as relações de 
Girard não é o suficiente para encontrar as raízes. Dessa forma, é necessário conhecer 
alguma informação sobre as raízes para ser possível determinar a solução da equação. 
 
 
 
 
 
 
40 
 
4.2 Equações Transcendentes 
A leitura indicada apresenta a definição das Equações Transcendentes (Equações Não 
Lineares) onde será possível rever os gráficos de funções importantes para a 
compreensão desse conteúdo. Ótima leitura. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. p. 62-76. 
 
 
4.3 Métodos para resolver Equações Algébricas 
Nesse tópico temos como objetivos compreender e aplicar métodospara resolver 
equações algébricas. 
Algoritmo de Briot-Ruffini 
Exemplo: 
Resolva a equação P(x) = 2x³ - x² - 7x + 6 = 0, sabendo que o número 1 é raiz. 
 
 
41 
 
 
 
Raízes Racionais 
Nesse momento vamos estudar que nas equações algébricas com coeficientes inteiros 
é possível descobrir as raízes racionais se elas existirem. 
 
Exemplo: 
Resolva a equação 2x³ - 11x² + 13x – 4 = 0. 
 
 
42 
 
 
Método de Newton-Raphson 
Para resolver uma equação com o Método de Newton-Raphson seguimos os passos: 
1. Separar f(x) em g(x) e h(x); 
2. Gráfico das funções no mesmo plano; 
3. Determinar o intervalo da raiz; 
4. Aplicar a equação para determinar o valor de 1nx ; 
5. Verifique a tolerância determinada. 
 
Exemplo: Ache a raiz positiva de f(x) = x³ - 6, com є ≤ 0,001. 
Resolução 
1° Passo: Separar f(x) em g(x) e h(x) 
f(x) = g(x) – h(x) 
g(x) = x³ 
h(x) = 6 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
5. Verifique a tolerância determinada. 
є ≤ 0,001 
Encontramos: 
 
0,001 ≤ 0,166667 
 
Como a tolerância não foi atendida ainda, é necessário calcular novamente. 
 
 
45 
 
 
 
 
Novamente realizamos os cálculos: 
 
 
46 
 
 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as Equações Algébricas e Transcendentes, onde foi possível 
conhecer métodos para solucionar Equações Algébricas, trabalhando com o Algoritmo 
de Briot-Ruffini, as Relações de Girard e o Método de Newton-Raphson. 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
47 
 
 
5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
Neste bloco, estudaremos a Interpolação Polinomial, estudando sua definição e 
passando pela Interpolação Linear, Interpolação Quadrática e Outras Formas de 
Polinômio de Interpolação. 
Nesse momento será obrigatório a utilização de ferramentas estudadas anteriormente 
para solucionar sistemas lineares. Caso exista alguma dificuldade em resolver é 
necessário retomar os estudos anteriores para dar continuidade no tema a seguir. 
Bons estudos! 
 
5.1 Interpolação Linear 
Nesse momento temos como objetivo compreender e desenvolver a interpolação 
linear. 
Realizar a interpolação polinomial é uma ferramenta para determinar uma função 
aproximada de outra função desconhecida. 
Sendo assim, tal estudo é fundamental: 
I. Quando não conhecemos a expressão analítica de f(x), isto é, sabemos apenas seu 
valor em alguns pontos distintos: n
xxxx ,...,,, 210 
II. Sendo f(x) uma função extremamente complicada e de difícil manejo. Trocando 
dessa forma a precisão pela simplificação dos cálculos. 
Definição: Polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de 
pontos distintos n
xxxx ,...,,, 210 ao polinômio de grau máximo n que coincide com 
f(x) em n
xxxx ,...,,, 210 . Tal polinômio será designado por: 
)();( xPouxfP nn 
 
48 
 
Exemplo: 
Conhecendo a seguinte tabela: 
 
 
Determine o polinômio de interpolação para a função definida por esse conjunto de 
pares. 
 
 
 
49 
 
 
 
Interpolação Linear 
Dados dois pontos distintos de uma função 
),(),(:)( 1100 yxeyxxfy  
geramos uma reta que passa pelos dois pontos, 
),(),( 1100 yxeyx onde P1 é uma 
reta que está se aproximando da função original f(x). 
011 )( axaxP  
Exemplo: 
Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1; 2,94). Determine o valor 
aproximado para f(0,73). 
 
 
50 
 
Resolução: 
 
 
 
Erro de Truncamento 
Erro de truncamento (ET) é cometido quando a fórmula de interpolação a ser utilizada 
é escolhida, pois a aproximação de uma função conhecida apenas através de dois 
pontos dados é feita por um polinômio de primeiro grau. 
Fórmula: 
 
 10
10
,
2
)(''
)..()(
xx
f
xxxxxET




 
 
 
 
51 
 
Exemplo: 
Seja a função f(x) = x² - 3x + 1, usando os valores de para x (x1 = 1,0 e x2 = 1,5) e os 
valores correspondentes f(x1) e f(x2), calcule: 
a) o valor aproximado para f(1,2); 
b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. 
 
Resolução: 
a) O valor aproximado para f(1,2); 
i. f(1,0) = - 1 e f(1,5) = -1,25 
 
b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. 
 
 
 
52 
 
5.2 Interpolação Quadrática 
Vamos conhecer a Interpolação Quadrática, sendo uma maneira de encontrar uma 
função aproximada quando conhecemos apenas três pontos distintos de uma 
determinada função. 
Sendo assim, se de uma função, são conhecidos três pontos distintos, então o 
polinômio interpolador será: 
01
2
22 )( axaxaxP  
O polinômio )(2 xP é conhecido como função quadrática, cuja imagem geométrica é 
uma parábola. 
Resolvendo o sistema gerado pela substituição das coordenadas dos pontos distintos 
 );(),;(),;( 221100 yxyxyx na função, encontramos os valores de 
.,
210
aeaa 
 








2021
2
22
1011
2
12
0001
2
02
yaxaxa
yaxaxa
yaxaxa
 
 
Exemplo 1: 
 
Utilizando os três pontos da tabela abaixo, determine a função quadrática que se 
aproxima da função 
1
².2
)(


x
xsen
xf . 
 
 
 
53 
 
x y = f(x) 
0 0 
π/6 0,328 
π/4 0,560 
 
Resolução: 
Substituindo as coordenadas dos três pontos no polinômio 01
2
22 )( axaxaxP  
formamos o sistema a seguir: 
 
 














































































333,0
452,0
0
560,0
6
.
4
.
328,0
6
.
6
.
0
560,0
6
.
4
.
328,0
6
.
6
.
00.0.
2
1
0
1
2
2
1
2
2
0
01
2
2
01
2
2
01
2
2
a
a
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa




 
 
Após encontrar os valores de 
210
, aeaa , determinamos o polinômio 
xxxP .452,0.333,0)( 22  
 
Exemplo 2: 
Determinar o valor aproximado de f (0, 2) trabalhando com a interpolação quadrática, 
usando os valores tabelados da função f(x) = x² - 2x + 1. Usando apenas 2 casas 
decimais. 
 
54 
 
 
x y = f(x) 
0,5 0,25 
0,3 0,49 
0,1 0,81 
Resolução: 
Para o polinômio interpolador 01
2
22 )( axaxaxP  , substituímos os pontos dados e 
geramos o sistema: 


























00,1
00,2
00,1
81,01,0..01,0
49,03,0.09,0
25,05,0.25,0
81,01,0.1,0.
49,03,0.3,0.
25,05,0.5,0.
2
1
0
012
012
012
01
2
2
01
2
2
01
2
2
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
 
Logo, 64,0)2,0(12)( 2
2
2  PxxxP 
Portanto, o valor aproximado para f (0,2) definido pela interpolação quadrática é 0,64. 
 
5.3 Outras Formas de Polinômio de Interpolação 
Nesse momento será possível conhecer Outras Formas do Polinômio de Interpolação, 
estudando a Diferença Dividida, o Cálculo Sistemático das Diferenças Divididas e a 
Fórmula de Newton do Polinômio de Interpolação. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. p. 304 – 312. 
Ótima leitura. 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a Interpolação Polinomial, sua definição, Interpolação Linear, 
Interpolação Quadrática e Outras Formas de Polinômio de Interpolação. 
 
55 
 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática.São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
6 RESOLUÇÕES NUMÉRICAS 
Chegamos ao último bloco, no qual estudaremos as Resoluções Numéricas, passando 
pelo Método dos Mínimos Quadrados, depois Resolução Numérica de Integrais e 
Resolução Numérica com Equações Diferenciais. 
Desejo um ótimo estudo. 
 
6.1 Método dos Mínimos Quadrados 
Vamos compreender e desenvolver o Método dos Mínimos Quadrados para 
determinar uma função aproximada. 
O Método dos Mínimos Quadrados trabalha com aproximação de funções tendo como 
base a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço. Dessa forma, esse 
método consiste em aproximar uma função f(x) de E por uma função F(x) de E’ tal que 
a distância de f(x) a E’ seja mínima. 
 
Para aproximar f(x) ϵ C [a, b] por um polinômio Pm(x) de grau no máximo m, basta 
determinar a projeção ortogonal de f(x) sobre Km(x), o qual é gerado por 
},...,,,,1{ 32 mxxxx 
Onde os coeficientes de Pm(x) serão vetor solução do sistema linear: 
 
57 
 











































),(
...
),(
)1,(
...
.
),(...),(),1(
......
),(...),(),1(
)1,(...)1,()1,1(
1
0
m
m
mmmm
m
m
xf
xf
f
a
a
a
xxxxx
xxxxx
xx
 
 
Usando dessa forma o produto escalar usual de C[a, b], isto é, para f, g Є C[a, b]: 

b
a
dxxgxfgf ).().(),(
 
Exemplo: 
Dada a função ]1,1[,5)(
4  xxxxf , aproxime f(x) por um polinômio do 2º grau 
usando o método dos mínimos quadrados. 
 
 
 
58 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 
 
6.2 Resolução Numérica de Integrais 
Estudando o cálculo de integral definida em Cálculo Diferencial e Integral de uma 
função f (x), sendo contínua em um intervalo [a, b] e sua primitiva F (x) é conhecida, da 
seguinte forma: 
 
b
a
aFbFdxxf )()()( , onde F’(x) = f(x). 
Porém, existem casos onde não é possível determinar a função ou até mesmo sua 
primitiva para calcular a integral definida. 
Dessa forma, para se calcular o valor da integral definida de f(x) quando não 
conhecemos a função torna-se necessário trabalhar com métodos numéricos. 
Para aproximar a integral usaremos Fórmulas de Quadratura. Tais fórmulas são 
também chamadas de Fórmulas de Integração Numérica. 
As fórmulas de quadratura são aquelas que aproximam a integral usando combinação 
linear dos valores da função. 
 
60 
 
 
Regra dos Trapézios 
A Fórmula de Newton-Cotes é conhecida como a Regra dos Trapézios, é dada da 
seguinte forma: 
  .,.
2
)(
)( 1010
01 bxeaxondeyy
xx
IdxxfI
b
a


  
 
Exemplo: 
Calcule, pela Regra dos Trapézios, o valor de 
6,3
3
x
dx
. 
Resolução: 
Para integrar utilizando a Regra dos Trapézios   


b
a
yy
xx
IdxxfI 10
01 .
2
)(
)( : 
Observando o enunciado, temos; 
6,3
11
3
11
1
)(
1
1
1
0
0
0



y
x
y
y
x
y
x
xf
 
Sendo assim, desenvolvemos: 
 
18333,0
6,3
1
3
1
.
2
)36,3(
.
1
6,3
3








  IIdxx
I 
 
 
61 
 
Agora resolvendo o cálculo de 
6,3
3
x
dx
, sem utilizar a Regra dos Trapézios, temos: 
 
18232,0)3ln()6,3ln()ln(
6,3
3
6,3
3
  IxIx
dx
I 
 
Fórmula Composta 
Uma forma que se tem de melhorar o resultado obtido utilizando-se a Regra dos 
Trapézios é substituindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude h e a cada 
subintervalo aplicar a Regra dos Trapézios. 
 
Dessa forma, temos as aplicações sucessivas da Regra dos Trapézios determinando: 
 
       
 
n
ab
hsendoyyyyyy
h
I
yny
h
yy
h
yy
h
yy
h
IdxxfI
nn
n
b
a





,22...222.
2
.
2
....
2
.
2
.
2
)(
13210
1322110
 
 
62 
 
 
Exemplo: 
Calcule a integral 
6,3
3
x
dx
, utilizando a Regra dos Trapézios composta e subdividindo o 
intervalo em 6 subintervalos. 
 
Resolução 
Primeiro passo calculamos o valor de h: 
1,0
6
6,0
6
36,3


h 
Em seguida determinamos os valores da tabela: 
i xi yi 
0 3,0 0,333333 
1 3,1 0,322581 
2 3,2 0,312500 
3 3,3 0,303030 
4 3,4 0,294118 
5 3,5 0,285714 
6 3,6 0,277778 
 
Terceiro e último passo será resolver: 
 
63 
 
 
182350,0
)277778,0.2285714,0.2294118,0.2303030,0.2312500,0.2322581,0.2333333,0.(
2
1,0
,22...222.
2
13210



 
I
I
n
ab
hsendoyyyyyy
h
I nn
 
Portanto, o valor aproximado para 
6,3
3
x
dx
 utilizando a Rega dos Trapézios Compostos é 
0,182350. 
 
6.3 Resolução Numérica de Equações Diferenciais 
Para uma melhor compreensão do conteúdo é recomendado realizar essa leitura, que 
irá explicar a Solução Numérica de Equações Diferenciais, apresentando o Método de 
Taylor d Ordem q, o Erro de Truncamento Local e Métodos Lineares de Passo Múltiplo. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
Ótima leitura. 
 
Conclusão 
Estudamos as Resoluções Numéricas, envolvendo o Método dos Mínimos Quadrados, 
Resolução Numérica de Integrais e finalizamos com a Resolução Numérica com 
Equações Diferenciais. 
Desejo sucesso e uma ótima jornada para todos! 
 
 
 
 
 
64 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994.