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Fundamentos de Matemática Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 1 2 de janeiro de 2012 Aula 1 Fundamentos de Matemática 1 Apresentação Aula 1 Fundamentos de Matemática 2 Ementa e Bibliografia Básica Ementa Linguagem matemática: lógica proposicional; predicados e quantificadores; demonstrações. Números naturais; princípio da indução. Recursão, iteração e indução. Bibliografia Básica Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture Notes. MIT, 2004. Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill International Edition, 2007. Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Volume I. Uma Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002. Aula 1 Fundamentos de Matemática 3 Ementa e Bibliografia Básica Ementa Linguagem matemática: lógica proposicional; predicados e quantificadores; demonstrações. Números naturais; princípio da indução. Recursão, iteração e indução. Bibliografia Básica Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture Notes. MIT, 2004. Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill International Edition, 2007. Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Volume I. Uma Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002. Aula 1 Fundamentos de Matemática 4 Programação e Avaliação Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução e discussão das listas de exercícios. Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios, desempenho nas aulas e sessões de discussão. Datas das provas: 17/01/2012 (terça-feira) e 31/01/2011 (terça-feira). Página WEB: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2012.1/fgv00001/ Aula 1 Fundamentos de Matemática 5 Programação e Avaliação Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução e discussão das listas de exercícios. Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios, desempenho nas aulas e sessões de discussão. Datas das provas: 17/01/2012 (terça-feira) e 31/01/2011 (terça-feira). Página WEB: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2012.1/fgv00001/ Aula 1 Fundamentos de Matemática 6 Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas Aula 1 Fundamentos de Matemática 7 O significado das palavras linguagem do cotidiano 6= linguagem matemática Aula 1 Fundamentos de Matemática 8 O significado das palavras linguagem do cotidiano 6= linguagem matemática Aula 1 Fundamentos de Matemática 9 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 10 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 11 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 12 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 13 Exemplo O pai de João disse que: Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado no vestibular? Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter ganhado o carro em um sorteio. Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo. é verdadeira, então também é verdadeira a sentença Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular. Aula 1 Fundamentos de Matemática 14 Se A, então B: hipótese e tese Aula 1 Fundamentos de Matemática 15 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 16 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 17 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 18 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 19 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n sãointeiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 20 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Hipótese: m e n são inteiros pares. Tese: o produto m · n é um inteiro par. Aula 1 Fundamentos de Matemática 21 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 22 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 23 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 24 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3. Tese: m é um inteiro múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 25 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Aula 1 Fundamentos de Matemática 26 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Aula 1 Fundamentos de Matemática 27 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Aula 1 Fundamentos de Matemática 28 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Hipótese: m é um inteiro ímpar. Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Aula 1 Fundamentos de Matemática 29 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 30 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 31 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 32 Se A, então B: hipótese e tese Na sentença Se A, então B. A é denominada hipótese e B é denominada tese. Exemplo: Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Hipótese: n é um inteiro positivo. Tese: n2 + n + 41 é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 33 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Aula 1 Fundamentos de Matemática 34 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 35 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 36 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 37 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 38 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 39 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 40 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 41 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 42 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Exemplo: m = 18. Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3. Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Aula 1 Fundamentos de Matemática 43 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 44 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 45 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 46 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 47 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 48 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Exemplo: m = 1. Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar. Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Aula 1 Fundamentos de Matemática 49 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 50 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos deMatemática 51 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 52 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 53 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 54 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Exemplo: n = 1. Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo. Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Aula 1 Fundamentos de Matemática 55 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 56 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 57 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 58 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 59 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 60 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 61 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipóteseA e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 62 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 63 Se A, então B: exemplo e contraexemplo Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B. Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B. Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Exemplo: m = 2 e n = 2. Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares. Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Aula 1 Fundamentos de Matemática 64 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Aula 1 Fundamentos de Matemática 65 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”: (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. (4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente), chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira, respectivamente). Regras do Jogo Aula 1 Fundamentos de Matemática 66 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”: (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. (4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente), chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira, respectivamente). Regras do Jogo Aula 1 Fundamentos de Matemática 67 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”: (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. (4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente), chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira, respectivamente). Regras do Jogo Aula 1 Fundamentos de Matemática 68 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”: (1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa. (2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos. (3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo. (4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente), chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira, respectivamente). Regras do Jogo Aula 1 Fundamentos de Matemática 69 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 70 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 71 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Contraexemplo: m = 6. Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3. Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 72 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 73 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 74 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1. Contraexemplo: m = −3. Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar. Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e m = −3 < 0. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 75 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 76 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula 1 Fundamentos de Matemática 77 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo. Contraexemplo: n = 40. Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo. Não satisfaz a tese: n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é um número primo. Logo a sentença (proposição) é falsa! Aula1 Fundamentos de Matemática 78 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi- pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa- res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 79 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi- pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa- res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 80 Se A, então B: verdadeira ou falsa? Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi- pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa- res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e satisfaz a tese. Logo a sentença (proposição) é verdadeira! Aula 1 Fundamentos de Matemática 81 A recíproca de “Se A, então B.” Aula 1 Fundamentos de Matemática 82 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 83 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 84 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 85 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 86 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 87 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 88 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 89 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 90 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 91 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1. Sentença: (a sentença é falsa) Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar. Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 92 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 93 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 94 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 95 A recíproca de “Se A, então B.” A recíproca de uma sentença na forma Se A, então B. é a sentença Se B, então A. Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par. Sentença: (a sentença é verdadeira) Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares. Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!) Aula 1 Fundamentos de Matemática 96 Seção de Exercícios Aula 1 Fundamentos de Matemática 97 Apresentação Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas Se A, então B: hipótese e tese Se A, então B: exemplo e contraexemplo Se A, então B: verdadeira ou falsa? A recíproca de ``Se A, então B.'' Seção de Exercícios
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