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Fundamentos de Matemática
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 1
2 de janeiro de 2012
Aula 1 Fundamentos de Matemática 1
Apresentação
Aula 1 Fundamentos de Matemática 2
Ementa e Bibliografia Básica
Ementa
Linguagem matemática: lógica proposicional; predicados e
quantificadores; demonstrações. Números naturais; princípio
da indução. Recursão, iteração e indução.
Bibliografia Básica
Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture
Notes. MIT, 2004.
Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill
International Edition, 2007.
Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Volume I. Uma
Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 3
Ementa e Bibliografia Básica
Ementa
Linguagem matemática: lógica proposicional; predicados e
quantificadores; demonstrações. Números naturais; princípio
da indução. Recursão, iteração e indução.
Bibliografia Básica
Lehman, E.; Leighton, T. Mathematics for Computer Science. Lecture
Notes. MIT, 2004.
Rosen, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill
International Edition, 2007.
Malta, I.; Pesco, S.; Lopes, H. Cálculo a Uma Variável. Volume I. Uma
Introdução ao Cálculo. Editora PUC-Rio, 2002.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 4
Programação e Avaliação
Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às
segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta
serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução
e discussão das listas de exercícios.
Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios,
desempenho nas aulas e sessões de discussão.
Datas das provas: 17/01/2012 (terça-feira) e 31/01/2011
(terça-feira).
Página WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2012.1/fgv00001/
Aula 1 Fundamentos de Matemática 5
Programação e Avaliação
Programação: O curso terá aulas expositivas com o instrutor às
segundas, quartas e sextas. As sessões de terça e quinta
serão realizadas com o monitor e consistirão de resolução
e discussão das listas de exercícios.
Avaliação: Baseada em duas provas, listas de exercícios,
desempenho nas aulas e sessões de discussão.
Datas das provas: 17/01/2012 (terça-feira) e 31/01/2011
(terça-feira).
Página WEB:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2012.1/fgv00001/
Aula 1 Fundamentos de Matemática 6
Elementos de Lógica e Linguagem
Matemáticas
Aula 1 Fundamentos de Matemática 7
O significado das palavras
linguagem do cotidiano
6=
linguagem matemática
Aula 1 Fundamentos de Matemática 8
O significado das palavras
linguagem do cotidiano
6=
linguagem matemática
Aula 1 Fundamentos de Matemática 9
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 10
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 11
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 12
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 13
Exemplo
O pai de João disse que:
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
Admita que o pai de João esteja dizendo a verdade. Depois da divulgação do resultado
do vestibular, João foi visto com um carro novo. É então verdade que João foi aprovado
no vestibular?
Resposta: não! João poderia, por exemplo, não ter sido aprovado no vestibular e ter
ganhado o carro em um sorteio.
Equívoco: na linguagem do cotidiano, é comum assumir que se a sentença
Se João for aprovado no vestibular, então João terá um carro novo.
é verdadeira, então também é verdadeira a sentença
Se João tem um carro novo, então João foi aprovado no vestibular.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 14
Se A, então B: hipótese e tese
Aula 1 Fundamentos de Matemática 15
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 16
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 17
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 18
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 19
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n sãointeiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 20
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Hipótese: m e n são inteiros pares.
Tese: o produto m · n é um inteiro par.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 21
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.
Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 22
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.
Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 23
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.
Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 24
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Hipótese: m é um inteiro múltiplo de 3.
Tese: m é um inteiro múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 25
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.
Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 26
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.
Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 27
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.
Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 28
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Hipótese: m é um inteiro ímpar.
Tese: existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 29
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.
Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 30
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.
Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 31
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.
Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 32
Se A, então B: hipótese e tese
Na sentença
Se A, então B.
A é denominada hipótese e B é denominada tese.
Exemplo:
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Hipótese: n é um inteiro positivo.
Tese: n2 + n + 41 é um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 33
Se A, então B: exemplo e
contraexemplo
Aula 1 Fundamentos de Matemática 34
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 35
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 36
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 37
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 38
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 39
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 40
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 41
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 42
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Exemplo: m = 18.
Satisfaz a hipótese: m = 18 é múltiplo de 3.
Satisfaz a tese: m = 18 é múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 43
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 44
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 45
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 46
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 47
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 48
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Exemplo: m = 1.
Satisfaz a hipótese: m = 1 é um inteiro ímpar.
Satisfaz a tese: se k = 0, então 2 · k2 + 1 = 2 · (0)2 + 1 = 1 = m.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que 2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0
para todo inteiro k e m = −3 < 0.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 49
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 50
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos deMatemática 51
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 52
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 53
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 54
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Exemplo: n = 1.
Satisfaz a hipótese: n = 1 é um inteiro positivo.
Satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (1)2 + 1 + 41 = 43 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese: n2 + n + 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não é
um número primo.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 55
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 56
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 57
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 58
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 59
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 60
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 61
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipóteseA e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 62
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 63
Se A, então B: exemplo e contraexemplo
Um exemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e satisfaz a tese B.
Um contraexemplo para uma sentença “Se A, então B.” é um objeto
matemático que satisfaz a hipótese A e não satisfaz a tese B.
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Exemplo: m = 2 e n = 2.
Satisfaz a hipótese: m = 2 e n = 2 são inteiros pares.
Satisfaz a tese: m · n = (2) · (2) = 4 é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hipótese, obrigatoriamente
também irá satisfazer a tese. De fato: se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são
inteiros pares. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é inteiro par e
satisfaz a tese.
Aula 1 Fundamentos de Matemática 64
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Aula 1 Fundamentos de Matemática 65
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
(4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui
um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente),
chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir
que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira,
respectivamente).
Regras do Jogo
Aula 1 Fundamentos de Matemática 66
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
(4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui
um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente),
chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir
que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira,
respectivamente).
Regras do Jogo
Aula 1 Fundamentos de Matemática 67
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
(4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui
um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente),
chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir
que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira,
respectivamente).
Regras do Jogo
Aula 1 Fundamentos de Matemática 68
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Com relação a uma sentença da forma “Se A, então B.”:
(1) Ela possui um e somente um dos atributos: verdadeira e falsa.
(2) Ela é verdadeira se não possui contraexemplos.
(3) Ela é falsa se possui pelo menos um contraexemplo.
(4) (Demonstração por absurdo) Se ao admitirmos que ela possui
um determinado atributo (verdadeira ou falsa, respectivamente),
chegamos à uma contradição da regra (1), devemos concluir
que o atributo correto é o outro (falsa ou verdadeira,
respectivamente).
Regras do Jogo
Aula 1 Fundamentos de Matemática 69
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 70
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 71
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Contraexemplo: m = 6.
Satisfaz a hipótese: m = 6 é múltiplo de 3.
Não satisfaz a tese: m = 6 não é múltiplo de 9.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 72
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que
2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e
m = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 73
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que
2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e
m = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 74
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Sem é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal quem = 2·k2+1.
Contraexemplo: m = −3.
Satisfaz a hipótese: m = −3 é um inteiro ímpar.
Não satisfaz a tese: não existe inteiro k tal que
2 · k2 + 1 = m, pois 2 · k2 + 1 > 0 para todo inteiro k e
m = −3 < 0.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 75
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese:
n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não
é um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 76
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese:
n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não
é um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 77
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se n é um inteiro positivo, então n2 + n + 41 é um número primo.
Contraexemplo: n = 40.
Satisfaz a hipótese: n = 40 é um inteiro positivo.
Não satisfaz a tese:
n2 + n+ 41 = (40)2 + 40 + 41 = 1681 = 412 = 41 · 41 não
é um número primo.
Logo a sentença (proposição) é falsa!
Aula1 Fundamentos de Matemática 78
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-
pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:
se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-
res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é
inteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 79
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-
pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:
se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-
res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é
inteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 80
Se A, então B: verdadeira ou falsa?
Se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Contraexemplo: não existe, pois todo objeto que satisfaz a hi-
pótese, obrigatoriamente também irá satisfazer a tese. De fato:
se m e n satisfazem a hipótese, então m e n são inteiros pa-
res. Mas o produto de inteiros pares é inteiro par. Logo, m · n é
inteiro par e satisfaz a tese.
Logo a sentença (proposição) é verdadeira!
Aula 1 Fundamentos de Matemática 81
A recíproca de “Se A, então B.”
Aula 1 Fundamentos de Matemática 82
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 83
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 84
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 85
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 86
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 87
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro múltiplo de 3, então m é um inteiro múltiplo de 9.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se m é um inteiro múltiplo de 9, então m é um inteiro múltiplo de 3.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 88
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 89
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 90
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 91
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m é um inteiro ímpar, então existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1.
Sentença: (a sentença é falsa)
Recíproca: se existe um inteiro k tal que m = 2 · k2 + 1, então m é um inteiro ímpar.
Recíproca: (a recíproca é verdadeira: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 92
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.
Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 93
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.
Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 94
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.
Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 95
A recíproca de “Se A, então B.”
A recíproca de uma sentença na forma
Se A, então B.
é a sentença
Se B, então A.
Sentença: se m e n são inteiros pares, então o produto m · n é um inteiro par.
Sentença: (a sentença é verdadeira)
Recíproca: se o produto m · n é um inteiro par, então m e n são inteiros pares.
Recíproca: (a recíproca é falsa: prove!)
Aula 1 Fundamentos de Matemática 96
Seção de Exercícios
Aula 1 Fundamentos de Matemática 97
	Apresentação
	Elementos de Lógica e Linguagem Matemáticas
	Se A, então B: hipótese e tese
	Se A, então B: exemplo e contraexemplo
	Se A, então B: verdadeira ou falsa?
	A recíproca de ``Se A, então B.''
	Seção de Exercícios

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