fentran iii aula 4

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Mecânica dos Fluidos – 4ª Aula 
 
Prof.: Gabriel de Carvalho Nascimento (gabrielcn@me.com) 
Universidade Federal Fluminense 
TER - Departamento de Engenharia 
Agrícola e do Meio Ambiente 
SUMÁRIO: 
 
 4ª Aula – Equações diferenciais 
 Equação da continuidade 
 Equação da quantidade de movimento linear 
 Equação de Navier-Stokes 
 Equação de Euler 
 
 
 
 Teorema de transporte de Reynolds: 
 
 Conversão das leis básicas para análise 
de um sistema num volume de controle. 
 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
 
 Teorema de transporte de Reynolds: 
 
    







SC
r
VC
sistema dAnVd
dt
d
dt
Bd 
Conservação da massa: 
dm
dB
 mB
1  

dt
md sistema 0
 

dt
md sistema 








VC
d
dt
d
   
SC
r dAnV
0     0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
 
 Conservação da massa: 
 
Volume de controle infinitesimal: 
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
dzdydx
t
d
dt
d
VC




 Volume de controle infinitesimal: 
 
Face Vazão mássica de entrada Vazão mássica de saída 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
= 
dzdydxu
x
)(


dzdydxu
y
)(


dzdydxu
z
)(


Face Vazão mássica de entrada Vazão mássica de saída 
 
 Conservação da massa: 
 
Volume de controle infinitesimal: 
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
dzdydx
t
d
dt
d
VC




   
dzdydxw
z
dzdydxv
y
dzdydxu
x
AVAV
i
entrainrii
i
saiinrii
)()()( 










 
 Conservação da massa: 
 
Volume de controle infinitesimal: 
    0 
i
entrainrii
i
saiinrii
VC
AVAVd
dt
d 
0)()()( 











dzdydxw
z
dzdydxv
y
dzdydxu
x
dzdydx
t

0)()()( 











w
z
v
y
u
xt

0)( 


V
t


 
 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
Face Fluxo de momentum de entrada Fluxo de momentum de saída 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 
 Volume de controle infinitesimal: 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 
 Forças de campo (gravidade): 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Forças de contato (pressão + viscosidade): 
 
 Tensões nas faces do volume de controle: 
 
 Forças nas faces do volume de controle: 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Forças viscosas: 
 
 
 
 
 
 
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Forças de pressão: 
 
kdxdydz
z
p
jdxdzdy
y
p
idydzdx
x
p
dFp 
























dxdydzk
z
p
j
y
p
i
x
p
dFp 














dxdydzpdFp 
p
d
dFp


 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 Forças de campo: 
 
 Forças viscosas: 
 
 
 
 
 Forças de pressão: 
 
p
 Equação da quantidade de movimento 
linear. 
 
 
 Fluidos newtonianos: 
 Tensões viscosas para o caso 1D: 
 
 
 Tensões viscosas para o caso 3D: 
 
 
dy
du
μτ 
 Fluidos newtonianos (Navier-Stokes): 
 
 





 






























 






























 

























z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
w
y
w
x
w
z
p
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
y
x



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 Fluidos ideais (Euler): 
 
 
 Exercício: 
 
 Um fluido viscoso de massa 
específica  e viscosidade dinâmica 
 constantes escorre devido a 
gravidade entre duas placas 
distantes 2h uma da outra, conforme 
figura abaixo. O fluxo está totalmente 
desenvolvido, com uma única 
componente de velocidade w = w(x). 
Não há gradientes de pressão 
aplicados, somente a gravidade. 
Resolva a equação de Navier-Stokes 
para o perfil de velocidade entre as 
placas. 
 
 
 
 Bibliografia: 
 
 White, F.M., "Mecânica dos Fluidos", McGraw-Hill, 
Brasil, 6a Edição, 2001 
 Fox R.W. & Mc Donald A.T.; “Introdução à 
Mecânica dos Fluídos”; John Wiley and Sons, 
N.Y., Tradução: LTC–Livros Técnicos e 
Científicos, RJ. 
 Porto, Rodrigo de Melo; “Hidráulica Básica”; 3ª 
Edição, EESC-USP, 2004. 
 Azevedo Netto, J. M. & Alvarez, G. A. “Manual de 
Hidráulica”, 6ª Edição, Edgard Blucher, 1973. 
 
 
 
 
 
 
www.hidrouff.uff.br