LIVRO EAD INTRODUÇÃO A FISICA

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PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luiz Inácio Lula da Si lva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUÍ
Well ington Dias
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC
Carlos Eduardo Bie lschowsky
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
Celso Costa
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ
Antonio José Medeiros
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA 
UFPI
Gildásio Guedes Fernandes
SUPERINTENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO DO PIAUÍ
El iane Mendonça
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA
Helder Nunes da Cunha
COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM FÍSICA NA MODALIDADE DE 
EAD
Miguel Arcanjo Costa
CHEFE DO DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Valdemiro da Paz Br ito
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI
Cleidinalva Maria Barbosa Ol iveira
DIAGRAMAÇÃO
Thamara Lisyane Pires de Ol iveira
 S237i santos, Maria de Nazaré Bandeira dos
 Introdução à Física / Maria de Nazaré Bandeira dos
 Santos - Teresina: UFPI/UAPI, 2008.
 145p. il
 
1. Medição, 2. Vetores, 3. Cinemática da Partícula, 4. Forças
e Leis de Newton, 5. Teoria da Relatividade Especial ou Restrita. I. 
Universidade Federal do Piauí/Universidade Aberta do Piauí.II.Título.
 
 CDU: 530
1
Este texto constitui o material instrucional da disciplina
Introdução à Física, do Curso de Licenciatura em Física –
Modalidade a Distância, oferecido pelo programa de Educação a
Distância da Universidade Federal do Piauí (UAPI). 
A conteúdo da disciplina Introdução a Física, está dividido em
cinco unidades, descritas abaixo, que visam, de um modo geral,
propiciar aos estudantes iniciantes do Curso de Licenciatura em
Física, uma visão satisfatória dos principais conceitos, leis, princípios
e aplicações da Mecânica Básica. 
A Unidade 1, trata sobre Medição, onde apresentamos os
conhecimentos essenciais do tema, incluindo desde grandezas
físicas, unidades e padrões, até precisão, cálculo de erros e análise
dimensional.
A Unidade 2 expõe o conteúdo de Vetores, onde são
mostradas as operações fundamentais com vetores, para tratamento
vetorial e aplicação em problemas de Física Básica.
Na Unidade 3, discorremos sobre Cinemática da Partícula,
com o objetivo de mostrar as leis que descrevem o movimento dos
corpos tratados como partículas.
Na Unidade 4, tratamos das leis do movimento que explicam
inclusive as causas dos movimentos, são as Leis de Newton para o
Movimento. Essa unidade visa proporcionar, ao estudante de
Física, o conhecimento, análise, interpretação e aplicação das Leis
de Newton a situações do cotidiano.
1
Finalmente, a Unidade 5 trata de Noções e Princípios
Básicos da Relatividade Restrita. 
Na elaboração deste material, utilizamos um grande número de
recursos, tais como: aspectos históricos, saiba mais, reflita, desafio e
atividades de aprendizagem e de fixação. Todos estes recursos, em
conjunto, visam tornar a relação conteúdo-aluno a mais interativa e
dinâmica possível. Buscamos sempre que possível, contextualizar
os conteúdos em situações do cotidiano do aluno, para que o
mesmo sinta uma maior “intimidade” com o que está sendo tratado. 
Enfim, esperamos que este texto consiga prender a atenção do
estudante, proporcione-lhe aprendizagem e o ajude a desenvolver e
aplicar seu raciocínio formal.
Colocamo-nos a disposição de leitores e alunos para
esclarecimentos e aguardamos suas críticas e sugestões, que
certamente contribuirão para tornar esse texto mais eficiente,
agradável e prazeroso.
1
 
UNIDADE 1. Medição
1.1. Grandezas Físicas, Unidade e Padrões.....................................11
1.2. Sistemas de Unidades................................................................14
1.3. Padrões de Comprimento, Massa e Tempo...............................15
1.3.1. Padrão de comprimento..........................................................15
1.3.2. Padrão de massa.....................................................................15
1.3.3. Padrão de tempo.....................................................................16
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos................17
1.5. Atividade de Fixação..................................................................19
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão..............................20
1.7. Análise Dimensional...................................................................26
1.8. Atividade de Fixação..................................................................26
1.9. Experimente!...............................................................................28
1.10 Referências Bibliográficas.........................................................30
1.10.1. Livro texto..............................................................................30
1.10.2. Bibliografia complementar.....................................................30
1.10.3. Web-bibliografia.....................................................................30
UNIDADE 2. Vetores
2.1. Introdução...................................................................................33
2.2. Adição de Vetores.......................................................................34
2.2.1. Método geométrico e aplicações.............................................35
2.2.2. Método analítico ou das componentes e aplicações..............37
2.3. Multiplicação de Vetores.............................................................40
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações.........41
2.3.2. Produto escalar de dois vetores e aplicações.........................42
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem..................................................43
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações.........................43
1
2.4. Atividade de Fixação..................................................................45
2.5. Experimente!...............................................................................46
2.6. Referências Bibliográficas..........................................................47
2.6.1. Livro texto................................................................................47
2.6.2. Bibliografia complementar.......................................................47
2.6.3. Web-bibliografia.......................................................................47
UNIDADE 3. Cinemática da Partícula
3.1. Introdução...................................................................................50
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula......................53
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial........................53
3.2.2. Trajetória..................................................................................57
3.2.3. Grandezas físicas gerais da cinemática..................................58
3.2.4. Atividade de aprendizagem.....................................................65
3.3. Movimento de uma partícula com velocidade constante...........70
3.4. Movimento de uma partícula com aceleração constante...........73
3.4.1. Movimento retilíneo uniformemente variado...........................74
3.4.2. Movimento circular e uniforme................................................77
3.4.3. Movimento circular uniformemente variado............................82
3.5. Movimentos combinados de uma partícula................................83
3.5.1. Lançamento oblíquo................................................................843.5.2. Lançamento horizontal............................................................87
3.6. Atividade de Fixação..................................................................87
3.7. Experimente!...............................................................................88
3.8. Referências Bibliográficas..........................................................89
3.8.1. Livro texto................................................................................89
3.8.2. Bibliografia complementar.......................................................89
3.8.3. Web-bibliografia.......................................................................89
UNIDADE 4. Forças e Leis de Newton
4.1. Aristóteles explica o Movimento.................................................92
1
4.2. Ptolomeu e o Movimento do Sol................................................94
4.3. Copérnico e o Movimento da Terra............................................94
4.4. Galileu e a Torre Inclinada..........................................................95
4.5. Newton e as Leis do Movimento dos Corpos.............................96
4.5.1. Força e massa.........................................................................99
4.5.2. A Primeira Lei de Newton – Lei da Inércia............................100
4.5.3. A Segunda Lei de Newton - Princípio Fundamental da 
Dinâmica..........................................................................................102
4.5.4. A Terceira Lei de Newton – Lei da Ação e Reação..............106
4.5.5. Aplicações das Leis de Newton............................................108
4.6. Atividade de Fixação................................................................110
4.7. Experimente!.............................................................................111
4.8. Referências Bibliográficas........................................................111
4.8.1. Livro texto..............................................................................111
4.8.2. Bibliografia complementar.....................................................112
4.8.3. Web-bibliografia....................................................................112
UNIDADE 5. Teoria da Relatividade Especial ou 
Restrita
5.1. Introdução.................................................................................115
5.2. O Princípio da Relatividade na Mecânica e na Eletrodinâmica
.........................................................................................................119
5.3. O Éter e o Experimento de Michelson-Morley.........................122
5.4. Teoria da Relatividade Especial ou Restrita.............................124
5.4.1. Generalidades.......................................................................124
5.4.2. Postulados da teoria da relatividade especial ou restrita......125
5.4.3. Conseqüências da relatividade de Einstein..........................127
5.4.3.1. Simultaneidade...................................................................127
5.4.3.2. Espaço-Tempo....................................................................128
5.4.3.3. Dilatação do Tempo............................................................130
5.4.3.4. Contração do Comprimento...............................................133
5.4.3.5. As Transformações de Lorentz..........................................138
1
5.4.3.6. Momento Relativístico........................................................140
5.4.3.7. A Relação Massa - Energia................................................141
5.5. A Teoria da Relatividade Geral.................................................142
5.6. Atividade de Fixação................................................................143
5.7. Referências Bibliográficas........................................................145
5.7.1. Livro texto..............................................................................145
5.7.2. Bibliografia complementar.....................................................145
5.7.3. Web-bibliografia.....................................................................145
1
1
UNIDADE 1. Medição
1.1. Grandezas Físicas, Unidade e Padrões.....................................11
1.2. Sistemas de Unidades................................................................14
1.3. Padrões de Comprimento, Massa e Tempo...............................15
1.3.1. Padrão de comprimento..........................................................15
1.3.2. Padrão de massa.....................................................................15
1.3.3. Padrão de tempo.....................................................................16
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos................17
1.5. Atividade de Fixação..................................................................19
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão..............................20
1.7. Análise Dimensional...................................................................26
1.8. Atividade de Fixação..................................................................26
1.9. Experimente!...............................................................................28
1.10 Referências Bibliográficas.........................................................30
1.10.1. Livro texto..............................................................................30
1.10.2. Bibliografia complementar.....................................................30
1.10.3. Web-bibliografia.....................................................................30
1
1.1. Grandezas Físicas, Unidades e Padrões 
Em nossa vida, freqüentemente, realizamos medidas e
fazemos uso dela. Por exemplo, um motorista ao chegar em um
posto de gasolina, pede que abasteça seu carro com R$ 50,00
desse combustível, a “bomba” do posto, que já está programada
para medir gasolina com o valor de R$ 2,681 por litro do
combustível, mede 18,649 litros. Outra medida que comumente
qualquer pessoa costuma fazer, é a de sua altura, obtendo por
exemplo um valor de 1,750 m; um colega seu vai à mercearia e
compra 5,50 kg de arroz. 
Em todas essas situações, e em outras que você poderá
imaginar, é fácil perceber o envolvimento das medidas nas
atividades diárias de qualquer pessoa. O quanto você conhece sobre
algo depende de quão bem você pode medi-lo. Isto foi claramente
expresso pelo famoso físico Lord Kelvin no século XIX.
“Digo freqüentemente, que quando se pode medir algo e
expressá-lo em números, alguma coisa se conhece sobre
ele. Quando não se pode medi-lo, quando não se pode
expressá-lo em números, o conhecimento que se tem
dele é estéril e insatisfatório. Ele pode até ser um início
para o conhecimento, mas ainda se avançou muito pouco
em direção ao estágio da ciência, seja ele qual for”. 
As medidas científicas não são algo novo, mas remetem aos
tempos antigos. No século III a. C. por exemplo, foram feitas
medidas bastantes precisas sobre os tamanhos da Terra, da Lua e
do Sol, bem como das distâncias entre eles. 
No estudo da física, por ser uma ciência essencialmente
experimental, as medidas desempenham também um papel muito
importante, pois os próprios conceitos fundamentais da física são as
grandezas que usamos para expressar suas leis. Podemos citar
William Thomson 
(1824-1907), físico 
irlandês ficou conhecido
como Lord Kelvin ou 
Barão Kelvin de Largs. 
Filho de matemático, 
formou-se em 
Cambridge e dedicou-
0se à ciência 
experimental. A partir 
de seus experimentos 
com os conceitos de 
trabalho e calor, 
deduziu o conceito de 
energia disponível, um 
dos principais temas da 
termodinâmica. 
Desenvolveu a escala 
termodinâmica de 
temperaturas absolutas,
que resolveu as 
dificuldades da 
termometria comas 
medições dependentes 
do material 
termométrico utilizado.
Quem foi Lord Kelvin?
1
como grandezas físicas: comprimento, massa, tempo, temperatura,
campo elétrico, velocidade, aceleração, campo magnético e campo
gravitacional, força, pressão, densidade, volume, corrente elétrica
etc.
Ao se definir uma grandeza física estabelecemos uma série
de procedimentos para medi-la e atribuir-lhe uma unidade,
quantidade que se toma arbitrariamente para termos de comparação
entre grandezas de uma mesma espécie. Por exemplo, suponha que
você queira saber quantos litros de água cabem num dado garrafão.
Para isso você pode enchê-lo completamente com água e, depois
despejar essa água em garrafas com capacidade de um litro. Assim
você descobre a capacidade do garrafão, 5 litros, por exemplo.
Nesse procedimento você fez uma medição, ou seja, mediu o
volume que o garrafão contém. Note que, para medir esse volume,
você precisou usar outro volume que foi tomado como unidade de
medida: o litro. Do mesmo modo, para medir o comprimento de uma
corda, você precisa de outro comprimento tomado como unidade: o
metro, por exemplo. Assim, você pode determinar quantos metros o
comprimento da corda contém.
CONCLUSÃO
Tudo aquilo que pode ser medido utilizando-se um instrumento
adequado, onde está registrada a unidade de medida, chama-se
grandeza física. Medir uma grandeza física significa encontrar um
número que indique quantas vezes ela contém uma unidade de
medida.
REFLITA!
O que é uma grandeza 
física? Será todo 
observável que pode ser
avaliado ou medi-do?
Sobre tamanhos da 
Terra, da Lua e do Sol?
Consulte o livro Física 
Conceitual de Paul G. 
Hewitt. Editora 
Bookman, Porto Alegre,
2002.
Visite também o 
site:<http://www.zenite.n
u/tema/>
Quer saber mais!
 
DESAFIO
Cite outras grandezas físicas que você pode
encontrar em seu dia-a-dia.
SUGESTÃ0: Para conhecer mais sobre as diversas grandezas físicas e
suas unidades, consulte os sites:
www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema003/SI.htm
www.e-escola.pt/site/ftema.asp?tema=24&cana=2
1
Como vimos anteriormente, há tantas grandezas físicas que se
torna difícil organizá-las, pois muitas não são independentes umas
das outras. No entanto, entre todas as grandezas físicas envolvidas
num dado sistema físico, podemos selecionar o menor número
possível dessas, que fazem uma descrição física completa do
sistema nos termos mais simples. Estas grandezas são chamadas
de fundamentais. Daí então, atribuímos padrões para cada uma
dessas grandezas fundamentais, sendo as demais grandezas
derivadas. Um padrão é um modelo oficial de pesos e medidas
legais que poderá ou não, ser reconhecido internacionalmente, é um
aferidor da unidade. Por exemplo, a grandeza física massa, pode
ser medida na unidade quilograma (kg), que por sua vez possui um
modelo oficial internacionalmente reconhecido, chamado padrão de
massa. A combinação de duas ou mais grandezas fundamentais
resulta numa grandeza derivada, cujas unidades é uma combinação
de unidades básicas.
O padrão de qualquer medida deve ter as seguintes
características: ser acessível, ser invariável no tempo e ter alta
precisão. A busca de padrões com essas características, é uma
importante tarefa científica dos físicos e pesquisadores em
laboratórios de todo o mundo.
Nos EUA, os Laboratórios do Instituto Nacional de Padrões e
Tecnologia, antigo National Bureal of Standart, são os responsáveis
pela manutenção, desenvolvimento e verificação dos padrões, tanto
para pesquisadores de ciência básica como para cientistas e
engenheiros na indústria. No Brasil, o órgão governamental
incumbido nas questões relativas a padrões e unidades, é o Instituto
Nacional de Metrologia, Normatização e Qualidade Industrial –
1
INMETRO (inserir <http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegais
Med.asp>).
1.2. Sistemas de Unidades
A 14a. Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971),
selecionou como unidades básicas as sete unidades das
grandezas fundamentais para formar a base do Sistema
Internacional (SI) de unidades, apresentadas na Tab. 1, abaixo.
Tabela 1- Unidades básicas do SI
GRANDEZAS NOME SÍMBOLO
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente elétrica Ampère A
Temperatura
termodinâmica Kelvin K
Quantidade de
matéria mol mol
Intensidade
luminosa candela cd
As demais unidades do sistema, denominadas derivadas, são
definidas a partir das unidades fundamentais, tendo em vista
expressões analíticas de leis físicas ou de equações de definição de
grandezas. Por exemplos: área, velocidade, força, energia.
Outros sistemas de unidades são ainda bastante utilizados no
mundo inteiro, tais como, o sistema Gaussiano ou CGS (em
mecânica) e o sistema britânico ou inglês. Em engenharia é muito
comum se utilizar o sistema técnico.
REFLITA!
Você conseguiria imaginar
um sistema de unidades 
de base que não inclua a 
grandeza física tempo?
1
1.3 Padrões de Comprimento, Massa e Tempo
1.3.1. Padrão de comprimento
O primeiro modelo de padrão internacional de comprimento,
construído em 1889, foi uma barra de platina-irídio, chamada de
metro padrão, mantida na Repartição Internacional de Pesos e
Medidas, em Paris. Historicamente, o metro foi estabelecido como
um décimo milionésimo (1/107) da distância do pólo norte ao
equador, através do meridiano que passa por Paris.
 Ao longo dos anos, com os avanços tecnológicos e as
crescentes exigências de um padrão cada vez mais acessível,
invariável e altamente preciso, o padrão de comprimento foi sendo
redefinido.
Em 1983 tivemos a última redefinição do metro, como a
distância percorrida por uma onda luminosa em determinado
intervalo de tempo. Segundo a 17a. Conferência Geral de Pesos e
Medidas:
“O metro é a distância percorrida pela luz, no vácuo, no
intervalo de tempo de 1/299.792.458 do segundo”.
1.3.2. Padrão de massa
O padrão de massa do SI é um cilindro feito com uma liga de
platina-irídio guardado também na Repartição Internacional de
Pesos e Medidas, e designado, por acordo internacional, como
sendo a massa de um quilograma.
Na escala atômica, temos um segundo padrão de massa ou
padrão secundário de massa, que não é uma unidade do sistema
internacional. É a massa do átomo de C12, que por acordo
internacional, foi designada como sendo uma massa de 12 unidades
de massa atômica (abreviação u.m.a. ou simplesmente u),
Sobre sistemas de 
unidades? Consulte o 
livro FISICA 1, Resnick, 
Halliday e Krane, editora 
LTC, Rio de Janeiro, 
1996.
Quer saber mais!
1
exatamente e por definição. As massas dos átomos podem ser
comparadas entre si, com precisão maior do que se fossem
comparadas com o quilograma padrão. A relação entre os dois
padrões é
1 u.m.a = 1,6605402 x 10-27 kg
Precisamos de um segundo padrão de massa, porque as
técnicas de laboratório atuais nos permitem comparar massas
atômicas entre si, com muito maior precisão do que quando as
comparamos com o quilograma padrão. Ainda está em estudos o
desenvolvimento de um padrão de massa atômica para substituir o
quilograma padrão.
Uma unidade do SI correlata é o mol, que mede a quantidade
de substância ou de matéria. Um mol de átomos de C12 tem uma
massa de exatamente 12 gramas e contém uma quantidade de
átomos numericamente igual à constante de Avogadro NA, que vale
NA = 6,0221367x1023 átomos por mol
Este é um número determinado experimentalmente, com um
incerteza de cerca de 1 parte em 1 milhão.
1.3.3. Padrão de tempo
Na maioria dos trabalhos científicos precisamos saber quanto
dura um determinado evento? Por isso qualquer padrão de tempo
deve ser capaz de responder a perguntas do tipo “Quando ocorre?”
e “Quantotempo dura?”
Podemos usar qualquer fenômeno que se repete para medir o
tempo. A medição é feita pela contagem das repetições e suas
frações. Dos vários fenômenos repetitivos naturais, o movimento de
rotação da Terra que determinar a duração dos dias, foi usado como
REFLITA!
Mencione alguns 
fenômenos repetitivos que 
ocorrem na natureza e que 
podem servir como um 
razoável padrão de tempo. 
1
padrão de tempo durante séculos. Um segundo foi definido como a
fração 1/86400 de um dia (período de 24 h).
Várias tentativas de construção de padrão de tempo foram
feitas ao longo dos anos, por exemplos relógios de cristal de
quartzo, que operam baseados nas vibrações periódicas desse
cristal alimentadas eletricamente. O melhor deles marca o tempo
com um erro máximo acumulado de 5s em um ano, mas mesmo
essa precisão não é suficiente para a ciência e tecnologias atuais.
Para suprir a necessidade de um padrão de tempo mais
preciso, foram desenvolvidos relógios atômicos em vários países.
Um relógio atômico baseado na freqüência característica emitida
pelo átomo de césio, é mantido no Instituto Nacional de Padrões e
Tecnologia dos EUA, formando a base para as Coordenadas de
Tempo Universal (UTC) daquele país.
O segundo, baseado no relógio de Césio, foi adotado como
padrão internacional pela 13a. Conferência Geral de Pesos e
Medidas, em 1967, com a seguinte definição:
“Um segundo é o tempo de duração de 9.192.631.770
vibrações de radiação (de um comprimento de onda específico)
emitido pelo átomo de Césio”
Dois relógios modernos de Césio poderiam funcionar por
300.000 anos sem que suas leituras diferissem mais do que um
segundo.
1.4. Precisão de uma Medida e Algarismos Significativos
Quanto melhor a qualidade de um instrumento de medida e
mais sofisticadas as técnicas de medição, tanto maiores os níveis de
precisão alcançáveis nos experimentos, isto é, os resultados das
O que é precisão ou 
resolução de uma medida 
ou de um instrumento?
Sobre Padrões de 
Comprimento, Massa e 
Tempo? 
Visite o site: 
www.ifi.unicamp.br/~grad/f1
28/aulas/aula1.pdf
Quer saber mais!
1
medições poderão conter mais algarismos significativos e, por
conseqüência, reduzir a incerteza experimental do resultado. Tanto o
número de algarismos significativos como a incerteza, nos dizem
algo acerca da precisão estimada do resultado. Por exemplo, qual a
medida mais precisa x = 3,03 m ou x = 3,03159 m? Quantos
algarismos significativos têm cada medida?
Observe que a segunda leitura foi obtida por um instrumento
capaz de nos dar os décimos de milésimo da medida com certeza,
isto é, a precisão do instrumento é de décimos de milésimos;
enquanto a primeira leitura foi dada por um instrumento que nos
forneceu apenas uma precisão de décimos da medida. Assim,
através da primeira medida sabemos menos, sobre o valor da
medida. 
Se ao medirmos com uma régua milimetrada, o comprimento
de um disquete, encontrarmos um valor entre 8,8 e 8,9 cm, como
mostrado na Fig. 1.1, quantos décimos de milímetros devemos
considerar? É impossível precisar. 
O algarismo que deverá aparecer após o número 8 não carrega
a mesma certeza que depositamos nos outros. Ele é por esta razão,
denominado duvidoso ou avaliado, e os outros são algarismos
LEMBRE-SE:
Qualquer medida, 
independente da forma 
como é feita, carrega 
consigo uma imprecisão.
Fig. 1.1 – Medida do comprimento de um disquete com uma 
régua milimetrada e a ampliação da leitura obtida.
1
corretos. Então, a medida do comprimento do disquete deverá ser
expressa por quatro algarismos. Por exemplo, 8,83, 8,84 ou 8,86 cm.
Os três algarismos dessas medidas são assim chamados,
significativos. Algarismos significativos em uma medida são aqueles
que sabemos estarem corretos e mais um avaliado ou duvidoso.
Ao ler a medida de uma grandeza física é necessário
observarmos a precisão do instrumento para que possamos utilizar
os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso na
expressão da leitura da medida. No nosso exemplo, não tem sentido
registrarmos a medida do comprimento do azulejo como 8,843 cm. O
algarismo 3 é desnecessário, porque o 4 que o antecede já é um
algarismo duvidoso.
Veja que é importante saber de fato, quantos algarismos
significativos representam uma leitura dada por um instrumento de
medida. Precisamos inclusive, ficar atentos também quando
efetuamos cálculos com as medidas obtidas dos instrumentos, para
não incluir demasiadamente algarismos nem excessivamente
poucos.
1.5. Atividade de Fixação
1. Qual é a precisão de uma balança que nos dá a medida 3,5279
kg?
2. Uma pessoa, utilizando uma régua milimetrada, realiza a
medição de uma haste metálica como mostra a Fig.1.2. Que
leitura ela obtém?
 
DESAFIO
Pesquise sobre as regras usadas nas operações
fundamentais com algarismos significativos.
1
3. Identifique quantos algarismos significativos e
qual a precisão dos instrumentos, através das
seguintes medidas:
a) 20,20 m;
b) 0,047 km;
c) 4,00 m/s; 
4. Faça as operações e obtenha os resultados com o número
correto de algarismos significativos.
a) 2,4 m + 3,28 m + 2,319 m;
b) 2,48 g x 3,14159 g;
c) 9,8 g x 1,03 g;
d) 45,98 h / 7,4 h.
1.6. Cálculos de Médias, Erros e Desvio Padrão
Como vimos anteriormente, no estudo da física estamos
sempre envolvidos com medidas, e essas em geral, são afetadas
por erros de diversas causas. Algumas destas causas têm origem na
precisão e na exatidão dos instrumentos de medida. De forma
simplificada, podemos dizer que um instrumento é preciso se a
menor divisão de sua escala, chamada resolução, for pequena e,
conseqüentemente, uma leitura (reprodutível) for acompanhada de
pequena incerteza. O que é incerteza numa medida?
Suponha que utilizemos uma régua graduada
em centímetros para ler o comprimento de uma
haste metálica, através de uma única leitura
efetuada, conforme mostra a Fig. 1.3, abaixo. 
O comprimento do objeto está entre 3 e 4 cm,
podemos estimar a medida, por exemplo, para 3,8
Fig.1.3: Medida de uma haste metálica 
com uma régua centimetrada
Fig.1.2: medida de uma haste metálica 
com uma régua milimetrada.
1
cm, mas não podemos ter certeza. Podemos explicitar esta dúvida
com o seguinte raciocínio: para que decidíssemos que o algarismo
duvidoso fosse o oito, imaginamos subdivisões unitárias na escala
(de 0,1 em 0,1cm), ao mesmo tempo em que observamos que a
medida ultrapassou 3,5 cm, que é a metade da distância entre 3 e 4
cm. Assim, uma medida satisfatória para este caso, será 3,8 cm. Na
verdade, isso significa que a extremidade do objeto deve estar além
de 3,75 cm e aquém de 3,85 cm. Logo a dúvida ou incerteza
implícita na leitura pode ser explicitada, uma vez que, o comprimento
do objeto (L) deva estar compreendido entre 3,75 e 3,85 cm, assim, 
3,75 cm  L  3,85 cm.
Esse intervalo dá-se o nome de intervalo de confiança da
leitura, e essa leitura pode então ser escrita da seguinte forma:
L = (3,80  0,05) cm
Observe que o zero após o oito foi escrito apenas para
compatibilizar o valor da leitura com a sua incerteza, mas ao
escrevermos a medida dessa forma, com três algarismos,
continuamos tendo apenas dois algarismos significativos: o
algarismo da unidade, que temos certeza, e o algarismo dos
décimos que é o duvidoso. Isso percebemos claramente,
observando os limites inferior e superior do intervalo que contém a
medida L.
Podemos generalizar para uma leitura estimada x, na qual a
subdivisão avaliada é x , da seguinte forma:
2
xxx  ............................................ 1.1
Nessa expressão, x é a subdivisão avaliada, que também
podemos chamar de degrau da leitura, e o termo2
x
, metade da
Sobre algarismos 
significativos e 
incertezas?
Visite o sites:
http://efisica.if.usp.br/m
ecanica/basico/algaris
mos/
http://efisica.if.usp.br/m
ecanica/universitario/in
certeza/algarismos/
Quer saber mais!
1
divisão avaliada, é chamado de imprecisão da leitura, imprecisão
do instrumento ou desvio avaliado. Este é o critério da meia
unidade na última casa. Alguns autores, por segurança, usam o
critério da própria unidade avaliada, assim
xxx  .................................1.2
Vimos como expressar uma medida através de uma única
leitura efetuada. Como uma leitura está sujeita a diversos tipos de
erros, o mais correto seria executar a medição muitas vezes, isto é, N
vezes, de forma independente, obtendo 1V , 2V , 3V , ... NV , e extrair do
conjunto de leituras o seu valor médio, que será o resultado mais
próximo possível do verdadeiro, ou mais provável.
 O valor médio (V) de uma série de leituras ( iV ) pode ser
calculado da seguinte forma:
 N iVNV 1
1
 .............................................. 1.3
Onde iV é o valor da i-ésima leitura efetuada, escrita na forma
implícita.
Intuitivamente, percebemos que quanto maior for o número N de
leituras efetuadas, mais próximo o valor médio V , deve estar do
valor mais provável ou valor médio verdadeiro.
Definimos o desvio de uma leitura particular i através da
expressão
VVV ii  .............................................. 1.4
Quando executamos uma série de medições independentes,
de uma determinada grandeza física, e calculamos seu valor mais
provável ou valor médio, é de grande interesse encontrarmos o
desvio médio associado a esta medida, para que possamos
1
expressar seu resultado final através de um intervalo de confiança
centrado em V. Com tal objetivo, podemos calcular o valor médio ( V )
dos desvios individuais (Vi) e, através dele, definir a amplitude do
intervalo de confiança da medida. Como temos N desvios individuais,
o desvio médio deve ser dado por
i
N
i
V
N
V 


1
1  ....................................... 1.5
Lembrando que VVV ii  , temos
)(1
1
VV
N
V i
N
i
 

 ou ])[(1
1
VNV
N
V
N
i
i  

 ....1.6
Por outro lado, através da definição dada para o valor médio V,
podemos escrever
VNV
N
i
i 
1
 ..................................................1.7
Substituindo a eq. (1.7) na eq. (1.6), encontramos
0V .....................................................1.8
o resultado é nulo, pois os desvios negativos (provenientes de
leituras menores que o valor médio) anulam-se com os desvios
positivos (provenientes de leituras maiores que o valor médio).
Para contornar o problema da soma de desvios que se anulam,
os desvios são definidos em termos da soma dos módulos dos
desvios individuais. Assim sendo definimos:
- desvio médio absoluto (soma de módulos);
- desvio relativo e percentual;
- desvio padrão da média (soma de quadrados).
O desvio médio absoluto ou simplesmente, desvio médio é
dado por
1



N
i
iVN
V
1
1  ........................................ 1.8
Nesse caso, o resultado final da medida deve ser expresso
assim:
VVV  .................................... 1.9
Onde V é o valor médio dos N dados obtidos e a incerteza é
dada pelo desvio médio V . A última expressão, Eq.(1.9), significa
que o valor verdadeiro, desconhecido, deve estar dentro de um
intervalo de confiança, esquematizado da seguinte forma:
Não há garantias de que o valor verdadeiro esteja dentro deste
intervalo, mas é provável que esteja.
Os desvios relativo e percentual nos auxiliam a avaliar se um
determinado desvio é “pequeno ou grande”, comparando-o com o
valor médio. Isso é feito do seguinte modo:
V
VVR
  ...................................... 1.10
Onde RV é o desvio relativo e dá a incerteza por unidade de
medida da grandeza. A esse desvio multiplicado por 100 dá-se o
nome de desvio percentual
..................... 1.11
O desvio padrão da média (soma de quadrados) é definido
como o desvio padrão do valor médio das leituras, ou simplesmente,
desvio padrão da média:
 


N
i
ivm VN 1
2)(1  ..................... 1.12
100x
V
VVp
 
Cálculos de medias, 
erros e desvio padrão.
Consulte SILVA, W.P. e 
SILVA, C. M. D. S. 
Tratamento de Dados 
Experimentais. Editora 
UFPB, João Pessoa, 
1998.
Saiba mais! 
1
Com esse estudo, percebemos que o valor mais provável da
medida de uma grandeza física se aproxima de seu valor médio,
podendo desviar, para mais ou para menos, pelas quantidades V ou
vm . Assim, o valor verdadeiro escrito em função do intervalo de
confiança dado pelo desvio padrão do valor médio, será
)()( vmvvm VVV  
ou ................. 1.13
As últimas expressões, Eq.(1.13), mostram que o valor
verdadeiro, deve estar dentro de um intervalo de confiança que
podemos esquematizar da seguinte forma:
Para um dado número de leituras efetuadas, quanto mais
estreito for o intervalo de confiança do valor mais provável, menor
será a variação dessa leitura.
1.7. Análise Dimensional
A cada grandeza física medida ou calculada podemos associar
uma dimensão. As dimensões das grandezas não são afetadas
pelas unidades dessas grandezas. Por exemplo, uma área continua
sendo uma área, estando expressa em m2 ou em km2.
Tal como foi feito para as grandezas fundamentais, podemos
definir um conjunto de dimensões fundamentais, com base em
padrões de medição independentes. Como a massa, o comprimento
e o tempo são grandezas mecânicas elementares e independentes,
podem servir como dimensões fundamentais, sendo representadas
por M, L e T, respectivamente. Vamos usar colchetes [ ] para
)( vmv VV 
Sobre análise 
dimensional.
Refaça os exemplos 4
e 5, resolvidos no livro
FISICA 1, Resnick, 
Halliday e Krane, 
editora LTC, Rio de 
Janeiro, 1996, Cap.1, 
página 9.
Saiba mais! 
1
representar “a dimensão de”, por exemplo, se m é massa, x é
distância, t tempo e a aceleração, as dimensões destas grandezas
físicas são dadas respectivamente, por [m] = M, [x] = L, [t] = T e [a]
= ML-2.
A análise dimensional é muito importante no dia-a-dia de um
físico, pois além de evitar erros ao escrever as equações, ela muitas
vezes pode ajudar a resolvê-las. Qualquer equação deve ser
dimensionalmente correta, ou seja, as dimensões devem ser as
mesmas em ambos os membros da equação. 
1.8. Atividade de Fixação
1. Resolva no mínimo 8 (oito) problemas da capítulo 1, do livro texto
(Halliday, D., Resnick, R. e Krane, K. S. Física 1, LTC, 1996, Rio de
Janeiro), distribuídos nas seções 3, 4, 5 e 6.
2. Para medir o período de um pêndulo simples, um observador mediu
um intervalo de tempo de 39,4 s para 30 oscilações. Depois, para 40
oscilações, mediu 54,5 s. Numa terceira etapa, obteve 32,5 s para 25
oscilações. Qual é o período do pêndulo em cada etapa? Qual o valor
médio dos períodos obtidos?
3. Dadas as leituras: 31,04,201 L e 011,0452,02 L , responda qual
tem:
a) a melhor precisão absoluta;
b) a melhor precisão relativa.
4. Em duas experiências diferentes sobre lançamento de projéteis,
foram feitos vários lançamentos e ao final, obteve-se os seguintes
alcances (em mm):
EXPERIÊNCIA 1: L1 = 795; 805; 797; 800; 800; 803; 801; 803; 796;
797; 803.
1
EXPERIÊNCIA 2: L2 = 902; 902; 901; 902; 902; 902; 901; 902; 902;
902.
Desprezando os erros sistemáticos, faça o tratamento dos
dados, calcule o desvio mais apropriado para L em cada experimento
e expresse os dois alcances de forma mais adequada. 
5.Resolva no mínimo 8 (oito) problemas da capítulo 1, do livro texto
(Halliday, D., Resnick, R. e Krane, K. S. Física 1, LTC, 1996, Rio de
Janeiro), distribuídos nas seções 3, 4, 5 e 6.
6. Para medir o período de um pêndulo simples, um observador mediu
um intervalo de tempo de 39,4 s para 30 oscilações. Depois, para 40
oscilações, mediu 54,5 s. Numa terceira etapa, obteve 32,5 s para 25
oscilações. Qual é o período do pêndulo em cada etapa? Qual o valor
médio dos períodos obtidos? 
7. Dadas as leituras: 31,04,201 L e 011,0452,02 L , responda qual
tem:
a) a melhor precisão absoluta;
b) a melhor precisão relativa.
8. Em duas experiências diferentes sobre lançamento de projéteis,
foram feitos vários lançamentos e ao final, obteve-se os seguintes
alcances (em mm):
EXPERIÊNCIA 1: L1 = 795; 805; 797; 800; 800; 803; 801; 803; 796;
797; 803.
EXPERIÊNCIA 2: L2 = 902; 902; 901; 902; 902; 902; 901; 902; 902;
902.
Desprezando os erros sistemáticos, faça o tratamento dos
dados, calcule o desvio mais apropriado para L em cada experimento
e expresse os dois alcances de forma mais adequada.
1.9. Experimente!
MEDIÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS
1
1. Objetivos
 Distinguir grandezas físicas, unidades e padrões;
 Reconhecer o sistema de unidade utilizado;
 Fazer medidas utilizando corretamente o número de
algarismos significativos;
 Reconhecer a precisão de um instrumento de medida;
 Fazer o tratamento de dados experimentais e definir o
intervalo de confiança das leituras feitas nas medidas;
2. Materiais
 uma régua milimetrada
 uma resma de papel A4 ou ofício
3. Procedimento Experimental e Análise
3.1. Meça, com uma régua milimetrada, a espessura de uma resma
de papel, com uma única medida.
A) Que grandeza física, que unidade e que padrão você
utilizou na medida realizada?
B) Você utilizou o sistema internacional de unidades?
Explique.
C) Expresse o valor obtido com seu intervalo de confiança.
D) Qual o desvio médio e o desvio percentual da leitura
mais provável?
E) Qual a espessura média de cada folha?
F) Qual o erro percentual obtido na leitura da medida de
uma única folha?
G) Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido
feita usando-se somente 20 folhas.
3.2. Faça 8 (oito) medidas, com uma régua milimetrada, da mesma
resma de papel.
REFLITA!
Sobre os algarismos 
significativos. Cuidado na 
sua utilização.
1
A) Faça o tratamento dos dados, expressando finalmente, a
medida com seu respectivo intervalo de confiança.
B) Qual a espessura média de cada folha, obtida por esse
processo?
C) Qual o erro percentual obtido na leitura da medida de
uma única folha?
D) Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido
feita usando-se somente 20 folhas.
E) Se a medida da espessura da resma de papel fosse feita
com um paquímetro, e se obtivesse 61,9 mm de desvio avaliado,
faça análise seguinte.
 Qual a precisão ou resolução do paquímetro usado?
 Qual é a espessura média da de cada folha?
 Qual deve ser o desvio percentual na espessura da folha?
 Estime o desvio percentual no caso da leitura ter sido feita
usando-se somente 20 folhas.
4. Discussões e Conclusões
A) Compare os métodos usados na medida da espessura da resma
de papel, e discuta qual o mais preciso.
B) Faça uma crítica da experiência realizada e anote os
conhecimento que você conseguiu construir, a partir dos dados,
discussões e conclusões resultantes deste trabalho.
1.10. Referências Bibliográficas
1.10.1. Livro texto
HALLIDAY, D., RESNICK, R., e KRANE, K. S. Física. Vol 1, 4A. ed.,
Editora LTC S.A., Rio de Janeiro, 1996.
1.10.2. Bibliografia complementar
1
HEWITT, Paul G. e BOOKMAN. Física Conceitual, Editora,Porto
Alegre, 2002.
SILVA, W.P. e SILVA, C. M. D. S. Tratamento de Dados
Experimentais, Editora UFPB, João Pessoa, 1998.
TIPLER, P. Física, Vol 1. 4a. ed. Editora Guanabara Dois, Rio da
Janeiro, 1999.
1.10.3. Web-bibliografia
www.zenite.nu/tema/
www.demec.ufmg.br/disciplinas/ema003/SI.htm
www.e-escola.pt/site/ftema.asp?tema=24&cana=2
www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp 
www.ifi.unicamp.br/~grad/f128/aulas/aula1.pdf
http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/algarismos/
http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/incerteza/algarismos/
1
UNIDADE 2. Vetores
2.1. Introdução...................................................................................33
2.2. Adição de Vetores.......................................................................34
2.2.1. Método geométrico e aplicações.............................................35
2.2.2. Método analítico ou das componentes e aplicações..............37
2.3. Multiplicação de Vetores.............................................................40
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações.........41
1
2.3.2. Produto escalar de dois vetores e aplicações.........................42
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem..................................................43
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações.........................43
2.4. Atividade de Fixação..................................................................45
2.5. Experimente!...............................................................................46
2.6. Referências Bibliográficas..........................................................47
2.6.1. Livro texto................................................................................47
2.6.2. Bibliografia complementar.......................................................47
2.6.3. Web-bibliografia.......................................................................47
2.1. Introdução
Ao estudarmos os fenômenos físicos do dia-a-dia sempre nos
deparamos com grandezas físicas, tais como: tempo, massa,
energia temperatura, corrente elétrica etc, que são grandezas
chamadas escalares. As grandezas escalares são aquelas que
para serem bem compreendidas e, portanto, definidas, basta que se
expresse a sua quantidade (módulo ou intensidade) e a unidade de
medida. Por exemplo, a massa de um dado bloco é de 2,00 kg (qual
a precisão desta balança?). As grandezas escalares são
manipuladas matematicamente, pelas regras da álgebra ordinária. 
A lei do paralelogramo 
para a adição de vetores é
tão intuitiva que sua 
origem é desconhecida. 
Pode ter aparecido com 
Aristóteles (384 – 322 a 
C.). Aparece na Mecânica 
de Herão (séc. I a C.) de 
Alexandria. Aparece 
também como o primeiro 
corolário no Principia 
Mathematica (1687) de 
Isaac Newton (1642-
1727). No Principia, 
Newton lidou 
extensivamente com o que
agora são consideradas 
entidades vetoriais (por 
exemplo, velocidade, 
força), mas nunca com o 
conceito de vetor. O 
estudo sistemático e o uso
de vetores, já se deu no 
final século XIX. Os 
vetores bidimensionais 
surgiram com os números 
complexos por Argand 
(1768-1822) e Gauss 
(1777-1855). Foi muito 
usado por Hamilton, 
Grassmann, Lagrange e 
Laplace. Final do séc. XIX 
e início do séc. XX, 
Heaviside e Maxwell 
desenvolve-ram a análise 
vetorial. Os vetores hoje 
são a linguagem moderna 
de grande parte da física e
da matemática aplicada.
Quando surgiram
os vetores?
1
Nos deparamos também com grandezas vetoriais, aquelas
grandezas representadas geometricamente por vetores, tais como:
força, velocidade, aceleração, campo elétrico etc, que, para serem
completamente definidas são necessários especificar seu módulo,
direção e sentido. Observe que para você ter a informação completa
sobre uma força que está sendo aplicada num bloco, você deve
conhecer além de sua intensidade, sua direção e sentido; pois
infinitas forças poderão atuar num bloco, se você não especificarpelo menos uma destas propriedades. As grandezas vetoriais são
manipuladas matematicamente, pelas regras da álgebra vetorial.
Observe que um vetor é um instrumento matemático que
facilita a visualização e manipulação das grandezas física ditas
vetoriais. Muitas das leis físicas podem ser expressas de forma
compacta usando vetores, e as deduções que envolvem estas leis
são freqüentemente muito simplificadas se usarmos esta
representação.
Nesta Unidade vamos nos deter ao formalismo vetorial e suas
aplicações em mecânica básica.
2.2. Adição de Vetores
Para representar um vetor num diagrama desenhamos uma
flecha, como mostra a Fig. 2.1. O comprimento da flecha é
proporcional ao módulo do vetor (isto é escolhe-se uma escala), e o
sentido da flecha, é o sentido do vetor. 
De um modo geral, um vetor é representado
em textos impressos por um símbolo em negrito, tal
como d (é esta a notação que iremos utilizar), que
denota o vetor com todas suas propriedades:
Fig. 2.1: Diagrama representando um vetor 
d de módulo 24,0 u, direção 30 com a 
horizontal e sentido dado pela seta.
1
módulo, direção e sentido. Na escrita manual
normalmente colocamos uma flecha acima do
símbolo para denotar uma grandeza vetorial, tal
como d. Apenas o módulo do vetor é representado
pelo letra d, em itálico.
Consideremos dois vetores a e b como mostrados na Fig. 2.2.
A adição de dois vetores a e b pode ser escrita da seguinte forma:
a + b = s .................................... 2.1
Como os vetores diferem de números ordinários, utilizamos
regras diferentes em sua manipulação. O símbolo “+” na Eq. (2.1),
tem um significado diferente do que possui na aritmética ou álgebra
escalar, ele nos diz para efetuar um conjunto diferente de operações.
A adição vetorial pode ser feita de duas formas ou métodos:
 Método Geométrico e
 Método Analítico ou das Componentes.
2.2.1. Método geométrico e aplicações
Queremos efetuar a soma, expressa na Eq. (2.1), dos vetores a e b
mostrados na Fig. (2.2), pelo método geométrico. As regras a serem
seguidas para se realizar esta adição vetorial são as seguintes:
Fig. 2.2: 
Representação de 
dois vetores a e b.
1
I. trace o vetor a, preservando suas características, isto é, seu
módulo (adote uma escala), sua direção e sentido, como
mostrado na Fig. (2.3); 
II. desenhe o vetor b na mesma escala, com sua origem colocada
na extremidade de a, certificando-se de que foram preservados
sua direção e sentido;
III. desenhe o vetor soma s obtido, com a origem na origem do
vetor a, e extremidade na extremidade do vetor b. 
Se os vetores desta soma representarem deslocamentos,
então o vetor s será o deslocamento equivalente, em comprimento,
direção e sentido, aos deslocamentos sucessivos a e b. Esse
procedimento pode ser generalizado para obter a soma de qualquer
número de vetores. 
Fig. 2.3: Vetor soma a + b = s, 
pelo método geométrico.
DESAFIO
Represente quatro vetores quaisquer, m, n, p, e y no
plano, escolhidos por você, e efetue a soma vetorial
pelo método geométrico.
SUGESTÃO: Acesse o site de Laboratório Virtual de Física: 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm 
Faça o applet: Adição de Vetores I e II 
1
APLICAÇÃO
Como você informaria para um amigo a posição de sua casa
em relação ao seu Pólo de Apoio Presencial (PAP), de seu curso de
EaD?
Normalmente você dá ao seu amigo a posição de sua casa,
fornecendo o nome da rua e o número da casa; quantas quadras ele
tem que caminhar por sua rua, onde deve virar à direita ou à
esquerda etc. Um mapa também ajudaria na localização. Você está
usando a grandeza física deslocamento (que representa mudança
de posição), que é uma grandeza física vetorial. 
Vamos admitir que você more na casa A, e que seu PAP fica
localizado no ponto P, ambos representados no mapa da Fig 2.4.
Quais os deslocamentos sucessivos que seu colega deverá fazer
para ir do PAP à sua casa? E qual o deslocamento resultante entre
sua casa e o PAP? 
Com uma régua milimetrada, você pode medir a distância entre
os pontos A e P, anote o resultado obtido ___________ cm. Para
obter a distância real, é preciso utilizar a escala do mapa.
Consideremos que o mapa tenha sido feito na escala de 1,00 cm no
Sobre as propriedades 
da adição vetorial. 
Consulte o livro FISICA 
1, Cap. 2, Resnick, 
Halliday e Krane, editora
LTC, Rio de Janeiro, 
1996.
Saiba mais!
Fig. 2.4: Mapa mostrando a casa no ponto A e o PAP no ponto P
1
mapa correspondendo a 10.000,00 m reais; logo, sua casa fica a
uma distância da ordem de _____ m.
Se você apenas informar ao seu amigo, que sua casa fica a
________m do PAP, ele será capaz de localizá-la?
Provavelmente não, porque outras casas estarão também a
essa mesma distância do PAP, como ilustra o próprio mapa.
Que informações adicionais você deveria fornecer ao seu
amigo, para que ele consiga chegar até sua casa, e ainda calcule o
deslocamento que ele teria que fazer neste percurso? Ajude-o a
resolver esta situação.
2.2.2. Método Analítico ou das Componentes e Aplicações
O método analítico envolve a decomposição de um vetor em
suas componentes com relação a um sistema particular de
coordenadas. Para adicionar vetores pelo método analítico ou das
componentes, primeiramente, precisamos recordar como decompor
um vetor em suas componentes.
Considere agora o vetor a do plano xy, já mostrado na Fig. 2.2,
formando um ângulo 1 com o eixo x. Considere também, que as
coordenadas do plano xy, abcissa x e ordenada y, são orientadas,
respectivamente, pelos vetores unitários i, j (vetores cujo módulo é
igual a unidade), como mostra a Fig. 2.5. O vetor a em função de
suas componentes pode ser escrito como 
jia yx aa  ........................ (2.2)
Agora escreva as componentes do vetor a, em termos
de seu módulo e de sua direção.
Recorde como decompor 
um vetor em suas 
componentes escalares. 
Faça para o caso de um 
vetor no plano xy.
Fig. 2.5: Vetor a tem componentes 
a
x
 na direção de i e a
y
 na direção j.
y
α
1
1
Inversamente, também podemos calcular seu módulo em
termos de suas componentes, bem como de sua direção. Faça isso
agora.
Suponha que desejamos, agora, adicionar ao vetor jia yx aa  ,
pelo método das componentes, um novo vetor
jib yx bb  que forma um ângulo 2 , com o eixo x,
como mostra a Fig. 2.6, obtendo um vetor s, tal que
bas  ..................... (2.3)
Podemos escrever a Eq. (2.3), como
 )()( jijiji yxyxyx bbaass 
ou ................ (2.4)
 jiji )()( yyxxyx babass 
Veja que, igualando as componentes de
ambos os lados da Eq. (2.4), obtemos
 xxx bas 
 ou ............................ (2.5)
 yyy bas 
Estas duas equações algébricas, em conjunto, são
equivalentes a relação vetorial da Eq. (2.3).
 
Você deve ter encontrado o módulo e a direção do vetor s,
dados por
Fig 2.6: Adição dos vetores a e b pelo método 
das componentes.
DESAFIO
Observe o vetor s, na Fig.2.6. 
Como poderíamos projetar suas componentes nas
coordenadas do plano xy? Tente fazê-lo. Além de
especificar as componentes de s, podemos também
calcular seu módulo e direção. Tente encontrá-los?
1
2222 )()()()( yyxxyx babasss  ...........(2.6)
e
xx
yy
x
y
ba
ba
s
s
tg


 ...................................................(2.7)
onde  é o ângulo que o vetor s faz com o eixo x.
Assim, podemos escolher entre as descrições de um vetor em
termos de suas componentes, xs e ys , e a equivalente descrição emtermos de seu módulo s e direção .
Enfim, a soma de vetores pelo método analítico ou das
componentes, como mostrada na Fig.2.6, é efetuada da seguinte
forma: (1) decompõe-se cada vetor em suas componentes, com
atenção para seus sinais algébricos; (2) soma-se as componentes
em cada eixo coordenad, levando em consideração o sinal
algébrico.
As somas obtidas são as componentes do vetor soma, com
estas podemos facilmente reconstruir o vetor s da Fig. 2.6.
Agora consideremos um vetor V no espaço, cuja
origem está num sistema de coordenadas cartesianas
(xyz), orientadas, respectivamente, pelos vetores
unitários i, j, k, e formando um ângulo  com o eixo z,
como mostra a Fig 2.7. 
Ao traçarmos perpendiculares da extremidade do
vetor, a cada um dos eixos, as grandezas xV , yV e zV
formadas, são as componentes cartesianas do vetor V.
Uma maneira fácil, que freqüentemente usamos, para
representar graficamente as componentes em três
dimensões (3D), é a seguinte: traçamos primeiramente a projeção
do vetor V no plano xy (desenhe esta projeção), e a partir de sua
extremidade, podemos encontrar as componentes individuais xV e yV ,
através de retas perpendiculares a estas coordenadas. O vetor V é
Fig. 2.7: Vetor V no espaço 3D em 
função de suas componentes 
1
completamente e univocamente especificado por essas
componentes. Dadas xV , yV e zV podemos imediatamente reconstruir o
vetor V em termos dos vetores unitários, como
kjiV zyx VVV  ...................... (2.8)
As componentes do vetor V são facilmente encontradas de
suas definições. Da geometria da Fig. 2.7, e considerando o ângulo
entre a projeção do vetor V no plano xy e a coordenada x, um
ângulo  podemos deduzir as componentes do vetor V, como
CosVSenVx 
SenVSenVy  ........................................(2.9) 
VCosVz 
Analogamente, ao que foi feito para duas dimensões,
podemos escolher entre as descrições de um vetor em termos de
suas componentes, xV , yV , e zV , e a equivalente descrição em termos
de seu módulo V e direção, através de seus ângulos diretores.
Encontre-os.
2.3. Multiplicação de Vetores
Assim como as escalares, grandezas vetoriais de dimensões
diferentes podem ser multiplicadas, gerando assim, grandezas
físicas de dimensões novas. Como os vetores têm direção e sentido,
além de módulo, a multiplicação vetorial não pode seguir
exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar.
Por esse motivo são estabelecidas novas regras para multiplicação
de vetores.
São definidos três tipos de operações básicas de multiplicação
com vetores, a saber:
Sobre componentes de 
um vetor em 3D. 
Consulte o livro: 
Resnick, Halliday e 
Krane, FISICA 1, Cap. 
2, pág.36. Editora LTC, 
Rio de Janeiro, 1996.
Saiba mais! 
1
 Multiplicação de um vetor por um escalar;
 Multiplicação de dois vetores resultando num escalar,é o
chamado produto escalar, produto interno ou produto ponto;
 Multiplicação de dois vetores resultando num vetor,é o chamado
de produto vetorial, produto externo ou produto ponto.
A seguir descreveremos cada tipo de operações.
2.3.1. Multiplicação de um vetor por um escalar e aplicações
Observe que quando multiplicamos um vetor a por um
escalar k, obtendo um vetor b, isto é,
ab k ...................................... (2.10)
o módulo do vetor b é aumentado pelo fator k, sua direção
não é alterada e seu sentido é definido pelo sinal do escalar k.
Observe que, se k > 0, o vetor b terá mesmo sentido de a, e o
vetor b terá sentido contrário de a se k < 0. Veja o que mostra
a Fig. 2.8, b = 2a, o vetor b tem a mesma direção e sentido do vetor
a, porém módulo igual ao dobro do módulo de a; temos também
ac
2
3
 , onde o vetor c tem mesma direção de a, porém sentido
contrário e módulo 2
3 vezes o módulo do vetor a.
Em Física encontramos muitas situações em que usamos este
produto. Veja alguns exemplos:
I. Segunda lei de Newton aF m , nesta caso, veja que a força terá
sempre mesma direção e sentido da aceleração, pois a massa
m é um escalar sempre maior que zero.
II. Momento linear vp m .
III. A força elástica rF k etc
Fig.2.8: Multiplicação de um 
vetor a pelo escalar k = 2 e 
pelo escalar k = -3/2.
1
Para dividir um vetor por um escalar, basta multiplicá-lo pelo
inverso do escalar. Sendo assim, não é necessário definir divisão de
um vetor por um escalar, pois a multiplicação já inclui estes casos.
2.3.2 Produto escalar de dois vetores e aplicações
O produto escalar entre dois vetores, é também conhecido
como produto interno ou produto ponto. Este produto de dois vetores
a e b quaisquer, é definido por
abCosba. .......................................... 2.11
onde a é o módulo do vetor a, b é o módulo do vetor b e  é o ângulo
entre os vetores a e b,como mostra a Fig. 2.9. Observe que este
produto de dois vetores resulta num escalar. 
Pela definição de produto escalar, dada pela Eq. 2.11, este
produto se resume, no produto do módulo de um vetor pela
componente do outro vetor na direção do primeiro, como indica a
Fig.2.9, pois )(. bCosaba ou baCos )(. ba .
A definição de um produto vetorial, nos permite escrever um
número importante de grandezas físicas, tais como:
 trabalho mecânico: dF. ;
 energia potencial gravitacional: dg.gU ;
 potencial elétrico: dE.eU ;
 potência: vF.P
Fig.2.9: Produto escalar 
entre os vetores a e b, que 
formam entre si um ângulo .
DESAFIO
Encontre outras aplicações do produto de um escalar
por um vetor. Consulte em revistas, livros ou mesmo 
na internet, outros exemplos de grandezas físicas 
que são dadas pelo produto de um escalar por um 
vetor.
1
2.3.2.1. Atividade de aprendizagem
1. Faça os produtos escalares entre os vetores unitários paralelos
do plano cartesiano: i.i, j.j e k.k;
2. Faça o produto escalar entre os vetores unitários
perpendiculares entre si, do plano cartesiano: j.i; j.k e i.k.
3. Com base nos resultados acima, como encontrar o trabalho
realizado por uma força dada por kjiF 342  aplicada sobre um
bloco de massa M, produzindo no mesmo um deslocamento
espacial dado por kjid 24  ? Qual o módulo e direção da
força aplicada?
2.3.3. Produto vetorial de dois vetores e aplicações
O produto vetorial entre dois vetores é também conhecido
como produto externo ou produto cruz. Este produto para dois
vetores a e b quaisquer, é definido por
ubac )( abSenx  ....................................... (2.12)
onde  é o menor ângulo entre os vetores a e b, e u é um vetor
unitário perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b.
Observe que este produto de dois vetores resulta num vetor, no
nosso caso no vetor c, cuja direção, como já dissemos, é
perpendicular ao plano formado pelos vetores que estão sendo
multiplicados a e b, como mostrada na Fig. 2.10. O sentido de c é
dado pelo vetor unitário u, que por sua vez tem o sentido dado pela
regra da mão direita. Como entender esta regra?
O produto vetorial de dois 
vetores a e b, resulta num 
vetor cuja direção é 
perpendicular ao plano 
formado pelos vetores 
multiplicados. 
Faça essa análise.
DESAFIO
 
Encontre outros exemplos de grandezas físicas, que
são escritas em termos de um produto escalar de
dois vetores.
1
Para entender a regra da mão direita, observe a Fig. 2.10, onde
os vetores a e b foram desenhados com uma origem comum.
Imagine um eixo perpendicular ao plano de a e b que passe pela
origem. Coloque todos os seus dedos, com exceção do polegar, na
direção do primeiro vetor do produto, o vetor a; rebata-o na direção
do segundo vetor, o vetor b, pelo menor ângulopossível entre eles.
A direção do polegar, que coincidirá com a direção do eixo
perpendicular ao plano formado por a e b, será a direção do vetor
resultante do produto vetorial bax , veja a Fig. 2.10a . Quando
comutamos os vetores do produto, isto é, quando fazemos o produto
abx , obtemos um vetor simétrico, mostrando que o poduto vetorial não
obedece a propriedade comutativa de dois vetores. Veja na Fig.
2.10b, dois sentidos (opostos) para o vetor c, que é perpendicular ao
plano.
Observe que os dois vetores a e b, formam um plano, e o vetor
bac x , apontando para cima, bem como o vetor abc x , apontando para
baixo, são antiparalelos e perpendiculares a este plano. Assim, 
cc 
ou .................................................... (2.13)
abba xx 
Existem muitas grandezas físicas que resultam do produto
vetorial de dois vetores, tais como: 
Fig. 2.10: A regra da mão direita para produtos vetoriais: (a) para o produto c = 
a x b . (b) para o produto c` = b x a.
(a) (b)
1
 momento de uma força ou torque Frx ;
 momento angular FrL x ;
 força sobre uma carga em movimento em um campo magnético B
, dada por BvF xq
2.4. Atividade de Fixação
1. É possível que dois vetores com módulos diferentes possam ser
combinados de modo a dar resultante nula? 
2. Uma grandeza física vetorial pode ter módulo igual a zero, se um
dos seus componentes for diferente de zero?
3. Você pode ordenar os acontecimentos no tempo. Por exemplo, o
evento B pode preceder o evento C, porém seguir o evento A,
dando a ordenação temporal A, B e C. Conseqüentemente,
existe um sentido para o tempo, distinguindo o passado do
presente e do futuro. Será que o tempo, então é uma grandeza
vetorial? Se não, por quê?
4. Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais
informações que uma equação escalar?
5. Analise em que condições os seguintes produtos acontecem:
A) a . b = 0
B) a x b = 0
C) a . b = ab
6. Usando a definição de produto interno entre dois vetores, mostre
que:
A) i . i = j . j = k . k = 1
DESAFIO
 
Encontre outros exemplos de grandezas físicas, que
são obtidas de um produto vetorial de vetores.
1
B) i. j = j . k = k . i = 0
7. Usando a definição de produto externo entre dois vetores,
mostre que:
A) i x i = j x j = k x k = 0
B) k x i = j
C) j x k = i
D) i x j = k
E) j x i = - k
8. Faça pelo menos oito poblemas, do capítulo 3 do nosso livro
texto.
9. Que força de atrito lhe permite andar, se num exercício de
Cooper você desenvolve uma aceleração dada pelo vetor a = 3i
+ 2j, sendo o plano xy, o plano do chão no qual você caminha?
10. Uma mosca está presa numa caixa em forma de paralelepípedo
de 5cm de aresta. Num dado instante ela está posicionada no
interior da caixa, numa posição que projetada em cada arestas
da caixa encontra-se 2 cm. Qual o vetor que melhor indica a
posição da mosca no interior da caixa, considerando que as
arestas podem ser orientadas por i, j e k? 
2.5. Experimente!
Realize o exprimento, envolvendo Vetores, encontrado no site:
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml
2.6. Referências Bibliográficas
2.6.1. Livro texto
1
HALLIDAY, D., RESNICK, R., e KRANE, K. S. Física. Vol 1, 4A. ed.,
Editora LTC S.A., Rio de Janeiro, 1996.
2.6.2. Bibliografia complementar
HEWITT, Paul G. e BOOKMAN. Física Conceitual, Editora,Porto
Alegre, 2002.
NUSSENZVEIG, H. M., Curso de Física Básica, Vol 1, Editora
Edgard Blucher, São Paulo, 1996.
SERWAY, R. A. Física para Cientistas e Engenheiros com Física
Moderna, Vol. 1. 3a. ed. Editora LTC S.A, Rio de Janeiro,1997
TIPLER, P. Física, Vol 1. 4a. ed. Editora Guanabara Dois, Rio da
Janeiro, 1999.
2.6.3. Web-bibliografia
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm 
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml
1
1
UNIDADE 3. Cinemática da Partícula
3.1. Introdução...................................................................................50
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula......................53
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial........................53
3.2.2. Trajetória..................................................................................57
3.2.3. Grandezas físicas gerais da cinemática..................................58
3.2.4. Atividade de aprendizagem.....................................................65
3.3. Movimento de uma partícula com velocidade constante...........70
3.4. Movimento de uma partícula com aceleração constante...........73
3.4.1. Movimento retilíneo uniformemente variado...........................74
3.4.2. Movimento circular e uniforme................................................77
3.4.3. Movimento circular uniformemente variado............................82
3.5. Movimentos combinados de uma partícula................................83
3.5.1. Lançamento oblíquo................................................................84
3.5.2. Lançamento horizontal............................................................87
3.6. Atividade de Fixação..................................................................87
3.7. Experimente!...............................................................................88
3.8. Referências Bibliográficas..........................................................89
3.8.1. Livro texto................................................................................89
3.8.2. Bibliografia complementar.......................................................89
3.8.3. Web-bibliografia.......................................................................89
3.1. Introdução
Desde a mais remota Antigüidade, o homem preocupou-se em
explicar os fenômenos que a natureza punha à sua frente. O
movimento dos corpos foi o alvo das primeiras atenções.
Aristóteles (384 a 322 a
C.), foi um dos mais 
importantes filósofos da 
Antiguidade, dedicando-
se também à política, à 
crítica e à ética. 
Particularmente na 
Física, sua obra refere-
se ao estudo dos 
movimentos, incluindo o 
dos corpos celestes.
Arquimedes (287-212 a 
C.), foi considerado o pai
da ciência mecânica.
Ptolomeu (87-150 d.C.) 
foi um grande astrônomo
grego da Antiguidade; 
desenvolveu um modelo 
para o mundo no qual a 
Terra ocupava o centro, 
modelo esse que 
predominou até o início 
do século XVI.
Começaram o estudo 
sobre movimentos
1
Aristóteles, Arquimedes, Ptolomeu, Copérnico, Galileu, Kepler,
Newton e Einstein, são alguns dos grandes expoentes que
contribuíram para a evolução dos conhecimentos estudados pela
Mecânica. Assim, a Mecânica é um dos mais antigos ramos da
Física, e tem como objeto de estudo, o movimento e o repouso dos
corpos. Mas veja que a Mecânica, mais precisamente a Mecânica
Clássica, estuda o movimento dos corpos, sem levar em conta os
movimentos microscópicos que acontecem no seu interior, tais
como, oscilações de núcleos atômicos e movimentos de elétrons.
Por exemplo, a Mecânica estuda o movimento de um automóvel
numa estrada, no entanto, não se preocupa com a agitação dos
átomos e moléculas da estrutura do automóvel.
Por conveniência didática, o estudo da Mecânica é dividido em
três partes:
- Cinemática;
- Estática e
- Dinâmica.
A Cinemática é a parte da Mecânica que trata do repouso e do
movimento, apenas descrevendo-os, isto é, sem considerar as
causas que determinam o estado de repouso ou as características
do estado de movimento. As grandezas físicas envolvidas neste
estudo são as fundamentais, comprimento e tempo, e as derivadas
destas,tais como posição, deslocamento, velocidade e
aceleração.
Estática é a parte da Mecânica que investiga o equilíbrio dos
corpos sujeitos a forças, portanto, trata-se das forças aplicadas às
massas.
A Dinâmica é a parte da Mecânica que relaciona os
movimentos com as forças a eles associadas e com as propriedades
dos objetos que se deslocam, pois o movimento é determinado pela
Copérnico 
(1473-1543)
 Foi um grande 
astrônomo, matemático, 
sacerdote, diplomata, 
médico e economista. 
Em seu livro: Sobre as 
Revoluções dos Corpos 
Celestes, apresentou a 
Teoria Heliocêntrica, que 
proporcionou uma vi-são 
completamente nova do 
universo
Galileu (1564-1642) fez 
sucessivos 
aperfeiçoamento na 
luneta, então recém-
inventada na Holanda. 
Com o uso deste 
instrumento, Galileu fez 
observações 
astronômicas, o que lhe 
ajudou a defender o 
odelo Heliocêntrico.
Newton (1642-1727), 
promoveu o início de 
uma verdadeira 
revolução na ciência 
física, ao formular as três
leis báicas da mecânica, 
isto é, os princípios 
fundamentais que são 
usados até hoje para 
analisar o movimento dos
corpos. 
1
natureza e disposição de outros corpos que constituem sua
vizinhança. Assim as grandezas físicas utilizadas na Dinâmica são
as envolvidas em Cinemática e as envolvidas na Estática, isto é,
deslocamento, velocidade, aceleração, tempo, massa e força. 
Esta unidade será dedicada ao estudo dos movimentos dos
corpos, do ponto de vista da Cinemática, ou seja, iremos aqui,
apenas fazer uma descrição dos movimentos dos corpos sem levar
em consideração a influência da vizinhança (forças) sobre os
mesmos.
Em Cinemática podemos tratar um corpo em movimento de
três formas diferentes, com grau de complexidades crescentes, a
saber:
- Podemos fazer um tratamento idealizado, considerando-o como
partícula, ou seja, utilizando o modelo físico de partícula.
- Podemos tratar o corpo como um conjunto de partículas que
guardam relações fixas entre si, e considerar o movimento de
todas elas simultaneamente. Neste caso, o corpo é um corpo
rígido;
- Podemos tratar um corpo como um conjunto de partículas que se
movimentam entre si, enquanto o corpo se desloca. Este é o caso
do movimento de corpos deformáveis.
Assim sendo, a maneira mais simplificada de se estudar o
movimento de um corpo é considerando-o como partícula, ou seja,
consideramos um objeto complexo, sem dimensões como se fosse
um único ponto com massa. 
Sabemos da experiência diária que, uma bola, por exemplo, ao
se deslocar (movimento de translação), pode também girar em torno
de seu próprio eixo (movimento de rotação) ou mesmo vibrar.
Entretanto, se considerarmos a bola como uma partícula, estas
complicações poderão se evitadas. Matematicamente, uma partícula
REFLITA!
O estudo dos fenômenos 
mecânicos é um dos pilares 
da compreensão física da 
natureza, pois o movimento 
está presente em todos os 
fenômenos, de alguma 
forma. Relembre alguns 
desses fenômenos.
1
é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira
que rotações e vibrações não estão envolvidas em seu movimento,
mas apenas translações. 
Na realidade, um objeto sem dimensões não existe na
natureza, entretanto, mesmo que um corpo seja muito grande, em
um problema particular, ele poderá sempre ser considerado como
constituído de um grande número de partículas. Se estas partículas
fazem parte de uma estrutura rígida que constitui o corpo, o estudo
do movimento de uma das partículas substitui o estudo do
movimento de translação do corpo como um todo. E assim, um
corpo não precisa ser "pequeno", para ser tratado como partícula. 
Por outro lado, mesmo que o corpo apresente outros
movimentos além do de translação, em uma dada situação
particular, desprezando estes movimentos este corpo pode ser
considerado uma partícula. Outra análise bastante comum, feita ao
se considerar um corpo como partícula, é a que considera as
dimensões do corpo em estudo, realmente desprezíveis,
comparadas com as dimensões envolvidas no problema, por
exemplo, no estudo do movimento da Terra em torno do Sol, as
dimensões destes astros comparadas com as distâncias que os
separa, são tais que, podemos considerá-los como partículas, e
podemos, sem erro apreciável, descobrir muitas coisas sobre o
movimento do Sol e dos planetas. 
O modelo físico de partículas tem uma implicação que
contribui para sua simplicidade, a de reduzir os movimentos do
corpo, apenas para o de translação, pois uma partícula possui
apenas movimento de translação. Observe que um carrinho
descendo um plano inclinado satisfaz este requisito, ou seja, pode
ser estudado satisfatoriamente por este modelo, no entanto, uma
roda girante não satisfaz esta exigência, pois um ponto da periferia
da roda move-se diferentemente de um ponto de seu eixo.
Sobre translação, 
rotação e vibração. 
Consulte o site....
Saiba mais !
1
3.2. Descrição Geral do Movimento de uma Partícula 
Estudaremos aqui, os conceitos básicos relacionados aos
movimentos dos corpos, tais como, os conceitos de posição,
referencial, trajetória, deslocamento, caminho percorrido,
velocidades e acelerações. Estes conceitos, como já vimos,
constituem a base da Cinemática, e são gerais, válidos para todo
tipo de movimento. 
3.2.1. O movimento é relativo: posição e referencial
Tudo na natureza se move, mesmo o que parece estar em
repouso move-se relativamente ao Sol e às estrelas. Enquanto você
está lendo este texto, está se movendo aproximadamente a 107.000
km/h em relação ao Sol. E está se movendo ainda mais
rapidamente, em relação ao centro de nossa galáxia. Quando
discutimos o movimento de um corpo, descrevemos relativamente a
alguma outra coisa. Por exemplo, se você caminha no corredor de
um ônibus em movimento, sua rapidez ou velocidade em relação ao
piso do ônibus, provavelmente é completamente diferente de sua
velocidade em relação a uma pessoa numa posição fixa da estrada.
Quando dizemos que um carro de Fórmula 1, alcança a velocidade
de 400 km/h, queremos dizer que tal velocidade é relativa à estrada.
Assim, podemos dizer que o movimento é relativo, isto é, depende
do que você toma como referencial.
Em todos os casos em que você percebe que um objeto está
em movimento, a posição do objeto em relação a você, está
variando com o decorrer do tempo. Da mesma forma, você identifica
que uma lâmpada do teto de seu quarto está em repouso em
relação as paredes, porque ela continua sempre na mesma posição
com o passar do tempo. 
REFLITA!
Um corpo pode estar em 
movimento em relação a um
certo observador e estar em 
repouso em relação a um 
outro observador? Dê 
exemplos dessa situação.
1
Então, para definir movimento e repouso de um dado corpo,
necessitamos ter noção de sua posição ou posições ocupadas em
relação a um dado referencial. 
Você deve ter observado que, para definir a posição de uma
partícula precisamos tomar algo como referência, formalmente
podemos considerar este referencial como um sólido ou conjunto de
sólidos indeformáveis, por exemplo, as paredes, o chão e o teto da
sala, conjunto esse, dotado de um sistema de eixos coordenados
mutuamente ortogonais, orientados por seus respectivos vetores
unitários, como mostra a Fig. 3.1, onde é dada a posição de uma
lâmpada em relação a um canto da sala, que constitui o referencial
Oxyz. Para descobrir se essa partícula está em repouso ou em
movimento, precisamos ainda medir o intervalo de tempo, de modo
que, junto ao sólido de referência, deverá existir um relógio. 
Assim, de fato, podemos generalizar o conceito de referencial
como, um conjunto indeformável de sólidos dotados de um sistema
de eixos coordenados mutuamente ortogonais