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Os vetores e suas bases Objetivos: Definir o vetor posição e representar os vetores de um plano utilizando bases ortogonais. Introdução Nas Aulas 1 iniciamos a discussão do movimento dos corpos. Concluímos que a escolha do ponto de observação é muito importante na descrição dos movimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (carrinho em um trilho de ar, esferas etc) tratando-os como partículas. Falamos sobre trajetórias e deslocamentos. Nessa aula vamos definir os conceitos do vetor posição. Serão discutidas também as decomposições de vetores em bases ortogonais. Essa aula é composta por três partes: O que sei sobre a decomposição de vetores e sobre o vetor posição? é um questionário que tem como finalidade levantar as suas idéias prévias sobre estes assuntos. Decomposição de vetores em bases ortogonais é um texto onde o assunto é discutido. Maria Antonieta Almeida 12-22 O que sei o vetor posição e a decomposição de vetores em bases ortogonais? As questões apresentadas a seguir têm como finalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idéias prévias sobre a decomposição e vetores em bases ortogonais e o vetor posição. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas às questões. Não consulte livros ou notas de aulas, mas não deixe de respondê-las. A comparação entre suas idéias e conhecimentos sobre a decomposição de vetores em bases ortogonais e o vetor posição depois de trabalhar esta aula é importante para o seu aprendizado. Questionário 1 1. 2. O que é um vetor unitário? Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário u) ? Dê exemplos. 3. 4. 5. 6. O que é uma base de vetores ortogonais? Dê exemplos. O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal? Dê exemplos. Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. O que é o vetor posição? Maria Antonieta Almeida 12-23 Projeção de vetores A regras para a somar de vetores e multiplicar vetores por números reais apresentadas na Aula 1 são geométricas. Elas têm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados. Nesta aula, vamos transformar estas regras em soma e multiplicação de números reais. Com esta finalidade vamos representar os vetores em bases apropriadas. Esta decomposição aparece naturalmente quando fazermos a seguinte pergunta: Quantos vetores existem em um plano? Infinitos!! Será eles estão relacionados? Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode ser representado como a combinação linear de dois vetores com direções diferentes. Na Figura 28, vemos que o vetor 1d r pode ser escrito como a soma de dois vetores paralelos aos vetores 2d r e 3d r , isso é, 13121 ddd rrr += . Os vetores 12d r tem a mesma direção do vetor 2d r e o vetor 13d r tem a mesma direção do vetor 3d r . Portanto, podemos escrever 212 dd rr α= e 313 dd rr β= . Conseqüentemente, temos que 13121 ddd rrr βα += . Dizemos que 12d r é a projeção do vetor na direção do vetor 1d r 2d r e que 13d r é a projeção do vetor 1d r na direção do vetor 3d r . A soma 1312 dd rr βα + é denominada combinação linear dos vetores 2d r e 3d r . Figura 28-Decomposição de vetores em uma base obliqua. Por uma questão de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores de um plano em termos de dois vetores unitários perpendiculares. Vetores unitários são aqueles que tem módulo um. Eles são representados por uma letra com um acento circunflexo em cima, por exemplo, i . Dizemos nesse caso, que os vetores unitários formam uma base ortogonal para os vetores do plano. Os vetores unitários mais utilizados são aqueles que tem a direção e o sentido dos eixos. No caso dos eixos OX e OY eles são denominados comumente por i e ˆ ˆ jˆ Figura 29-Decomposição de vetores em uma base ortogonal. .Na Figura 29 estão representados o vetor 1d r , as bases i e e as projeções do vetor na base escolhida. A projeção do vetor na direção do unitário i foi denominada por ˆ jˆ 1d r 1d r ˆ xd1 r e aquela PROJEÇÃO DE UM VETOR Maria Antonieta Almeida 12-24 na direção do unitário por jˆ yd1 r . As projeções xd1 r e yd1 r podem ser escritas da seguinte forma: idd xx ˆ11 = r ; , onde didyd y ˆ1= r 1x é o número que deve multiplicar a base para se obter o vetor projetado iˆ xd1 r na direção do unitário i e dˆ 1y é o número que se deve multiplicar a base para se obter . Os números djˆ yd1 r 1x e d1y são denominados de componentes do vetor 1d r nas direções dos vetores unitários i e . Na Figura 30, observamos que as componentes d ˆ jˆ 1x , d1y e d2y dos vetores 1d r e 2d r são positivas e que a componente d2x é negativa. A componente d2x é negativa porque para se obter o vetor projetado xd2 r a partir do vetor unitário é necessário multiplicá-lo por um número negativo, uma vez que o sentido de iˆ xd2 r é contrário ao sentido de . iˆ COMPONENTES DE UMVETOR Figura 30- Sinais das componentes dos vetores P13-O que é um vetor unitário? P14-Como se projeta um vetor na direção de um vetor unitário u) ? Dê exemplos. P15-O que é uma base de vetores ortogonais? Dê exemplos. P16-O que são componentes de um vetor em uma base ortogonal? Dê exemplos. Exemplo2: A Figura 23 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca até um ponto B que dista 80 km de A. A reta que une os pontos A e B faz um ângulo de 45o com o eixo OX . a. Desenhe o vetor deslocamento do carro. b. Desenhe os vetores projetados xd r e yd r . c. Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do carro nas direções dos vetores unitários i e . ˆ jˆ d. Escreva os vetores projetados xd r e yd r em função dos vetores unitários i e . ˆ jˆ Maria Antonieta Almeida 12-25 jˆ iˆ Figura 31 – Um carro que se desloca 80 km na direção nordeste. Resolução: a. O vetor deslocamento do carro vai de A até B e está desenhado na Figura 32-a. Figura 32-a iˆ jˆ b. Para projetar o vetor deslocamento d r na direção do vetor unitário é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário , a partir do eixo OX , e que passem pelo início e pelo final de d iˆ iˆr (Figura 32b). O vetor projetado xd r é aquele que tem a direção ao vetor unitário i , com o módulo igual a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor ˆ d r (veja Figura 23-b). Para projetar o vetor deslocamento d r na direção do vetor unitário j ) é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo final de jˆ d r (Figura 26.b). O vetor projetado yd r é aquele tem a direção do vetor unitário j ) , com o módulo igual a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor d r (veja Figura 26-b). Maria Antonieta Almeida 12-26 Figura 32-b c. A componente é o número que se deve multiplicar o vetor unitário para se obter o vetor projetado xd iˆ xd r . O módulo da componente xx dd r= é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que, xd kmdkmddd d d x o x xo 240240 2 2)45cos()45cos( =⇒===⇒= r r. Como o vetor xd r tem o mesmo sentido do vetor unitário i , a componente é positiva e igual a ˆ xd km240 . A componente é o número que se deve multiplicar o vetor unitário para se obter o vetor projetado yd jˆ yd r . O módulo da componente yy dd r= é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que, yd kmdkmddd d d y o y yo 240240 2 2)45sen()45sen( =⇒===⇒= r r . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário , a componente é positiva e igual a yd r jˆ yd km240 . d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários e iˆ j ) são: )(ˆ240 e )(ˆ240 kmjdkmid yx == rr . Exemplo 3: A Figura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca até um ponto B que dista 80 km de A. A reta que une os pontos A e B faz um ângulo de 135o com o eixo OX . Desenhe o vetor deslocamento do carro. a. Desenhe os vetores projetados xd r e yd r . Maria Antonieta Almeida 12-27 b. Calcule as componentes dx e dy do vetor deslocamento do carro nas direções dos vetores unitários associados aos eixos representados na Figura 24. c. Escreva os vetores projetados xd r e yd r em função dos vetores unitários i e . ˆ jˆ Figura 33 Resolução: a. O vetor deslocamento d r do carro vai de A até B e está desenhado na Figura 34-a. Figura 34-a b. Para projetar o vetor deslocamento d r na direção do vetor unitário é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário a partir do eixo OX que passem pelo início e pelo final de iˆ iˆ d r (Figura 34.b). O vetor projetado xd r é aquele que tem a direção ao vetor unitário i , com o módulo igual a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor ˆ d r (veja Figura 34-b). Para projetar o vetor deslocamento d r na direção do vetor unitário j ) é necessário levantar duas retas perpendiculares à direção do vetor unitário a partir do eixo OY que passem pelo início e pelo final de jˆ d r (Figura 24.b). O vetor projetado yd r é aquele tem a direção do vetor unitário j ) , com o módulo igual a distância entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor d r (veja Figura 34-b). Maria Antonieta Almeida 12-28 Figura 34-b c. A componente é o número que se deve multiplicar o vetor unitário para se obter o vetor projetado xd iˆ xd r . O módulo da componente xx dd r= é módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que, xd kmdkmddd d d x o x xo 240240 2 2)45cos()45cos( =⇒===⇒= r r . Como o vetor tem o sentido contrário ao do vetor unitário i , a componente é negativa e igual a xd r ˆ km240− . A componente é o número que se deve multiplicar o vetor unitário para se obter o vetor projetado yd jˆ yd r . O módulo da componente yy dd r= é igual ao módulo do vetor projetado. O módulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que, yd kmdkmddd d d y o y yo 240240 2 2)45sen()45sen( =⇒===⇒= r r . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitário , a componente é positiva e igual a yd r jˆ yd km240 . d. Os vetores projetados escritos em função dos unitários e iˆ j ) são: )(ˆ240 e )(ˆ240 kmjdkmid yx =−= rr . Os exemplos 2 e 3 mostram que é possível caracterizar completamente um vetor em um plano fornecendo-se ou as suas componentes e ou o seu módulo d (tamanho) e ângulo xd yd θ Maria Antonieta Almeida 12-29 medido no sentido anti-horário a partir da direção do eixo OX (e a sua direção e sentido). A representação de um vetor que utiliza o seu módulo e o ângulo que ele forma com o eixo OX é denominada de polar e aquela que utiliza as componentes nas direções dos unitários dos eixos é denominada de cartesiana. A relação entre estas duas representações de vetores pode ser deduzida facilmente da Figura 35. Representação polar de um vetor em um plano. Figura 35- Representações polar e cartesiana de um vetor Se são conhecidos d e θ é possível se obter e com as seguintes relações: xd yd )sen(;)cos( θθ dddd yx == . Quando são conhecidos e é possível se obter d e xd yd θ com as seguinte relações: 22 yx ddd += e )arctan( x y d d=θ . A Figura 36 mostra as componentes da soma de dois vetores é a soma das componentes, isso é, se . yyyxxx cbaecbacba +=+=⇒+= r rr Figura 36- Componentes de uma soma de vetores P17-Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. Exemplo 4. Um carro se desloca 80 km entre os pontos A e B e a seguir 40km entre os pontos B e C (veja Figura 37). Os deslocamentos são retilíneos. A reta que une os pontos A e B tem a Maria Antonieta Almeida 12-30 direção leste-oeste e aquela que une os pontos B e C forma um ângulo de ângulo de 30o com a direção leste –oeste. a. Desenhe os vetores deslocamentos entre os pontos A e B ( 1d r ) , entre os pontos B e C ( ) e entre os pontos A e C (2d r 3d r ). Figura 37 b. Encontre as componentes dos vetores 1d r e 2d r na direção dos eixos OXY desenhados na Figura 30. c. Encontre as componentes do vetor 3d r na direção vetores unitários desenhados na Figura 30. Expresse o vetor ji ˆ eˆ 3d r em termos dos destes vetores unitários. d. Encontre o módulo do deslocamento 3d r . Resolução: a. O vetores deslocamentos , 1d r 2d r e 3d r estão representados na Figura 38-a. i ) jˆ Figura 38-a b. A Figura 27-a mostra que o vetor projetado xd1 r é igual ao vetor . O vetor projetado 1d r yd1 r é nulo porque as duas retas perpendiculares ao vetor unitário j ) que projetam o vetor neste eixo coincidem. Por isso, as componentes do vetor são: . 1d r 1d r 0 e 211 == yx ddd Maria Antonieta Almeida 12-31 j ) Na Figura 38-b módulos das co dd xx 422 == r As componen vetores projeta vetores uni kmd x 3202 = c. As compo 13 dd xx += Portanto tem d. O módulo do A decompos três bases. Uma d vetores unitários Figura mostra a unitários. i ) Figura 38-b estão representados os vetores xd2 r e yd2 r . Os mponentes do vetor 2d r são: kmo 320)30cos(0 = e kmdd oyy 20)30sen(4022 === r . tes e são positivas , uma vez que, os dos e têm os mesmos sentidos dos tários xd2 yd 2 xd2 r yd2 r ji ˆ e ) . Portanto, temos que: km 20d e 2y = . nentes do vetor deslocamento são: .20 e 115)32080( 2132 kmdddkmkmd yyyx =+=≡+= os que: . kmjid )ˆ20ˆ115(3 += r vetor é 3d v kmddd yx 116 2 3 2 33 ≅+= . ição de vetores do espaço tridimensional requer as bases mais utilizadas é aquela que utiliza os nas direções dos eixos OX, OY e OZ. A s projeções do vetor kji ˆ e ˆ,ˆ d r nas direções destes Figura Base tridimensional Maria Antonieta Almeida 12-32 Nesta base, o vetor d é representado por kdjdidd zyx ))r ++= ˆ , onde são as componentes do vetor . zyx ddd e , P Veriique a veracidade da decomposição anterior. Existem grandezas que têm módulo, direção esentido e não são vetores. Por exemplo, as rotações em torno de um eixo. Toda rotação tem um eixo de rotação, um ângulo de rotação e um sentido (horário ou anti-horário). No entanto, você aprenderá da disciplina de Física I que duas rotações não se somam segundo a regra do paralelogramo. Várias grandezas físicas que são vetores. Na Aula 3 alguns desses vetores serão discutidos. Exercício : Na Figura 19 repetida a seguir estão representados os alguns vetores . Calcule componentes dos seguintes vetores: a. 54321 e ,,, ddddd rrrrr b. 51 ddd rrr += c. 32dd rr −= d. 1 1 d dd r rr = e. 31 2ddd rrr −= f. 541 dddd rrrr ++= Considere o tamanho do quadriculado como unidade. Nesta aula representamos os vetores de um plano utilizando bases ortogonais. Y j ) i ) O X Maria Antonieta Almeida 12-33 Os vetores e suas bases Questionário 1
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