Relatorio VI Ondas estacionárias 98

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO 6 – ONDAS ESTACIONÁRIAS
Camila Fredo
Eduardo Ricken Mattiello
Mauricio Tombini Munaro
Pâmella Renata Sackser
TOLEDO - PR
Julho/2014
Camila Fredo
Eduardo Ricken Mattiello
Mauricio Tombini Munaro
Pâmella Renata Sackser
RELATÓRIO 6 – ONDAS ESTACIONÁRIAS
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo.
Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones
TOLEDO – PARANÁ
2014
ÍNDICE
INTRODUÇÃO...........................................................................................pág. 5
PARTE EXPERIMENTAL..........................................................................pág. 8
RESULTADOS E DISCUSSÃO................................................................pág. 9
CONCLUSÃO..........................................................................................pág. 14
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................pág. 15
ANEXO......................................................................................................pág 14
RESUMO 
A partir de ondas estacionárias produzidas em fios, pode-se determinar a densidade de diferentes tipos de fios. As ondas foram produzidas com a passagem de corrente alternada nos fios tensionados com pesos nas extremidades e utilizando um imã permanente como fonte de oscilação. Analisando as características da onda, pode-se também determinar o comprimento de onda e velocidade de propagação para cada modo de vibração, que variou de acordo com a tensão em que era submetido o fio. Os valores de comprimento de onda e velocidades foram determinados pelo método indireto (utilizando a tensão submetida, frequência da fonte de corrente e propriedades dos fios) e pelo método direto (considerando apenas os modos de vibração, frequência da fonte e distância entre as extremidades do fio). As tensões encontradas para os modos de vibração (n = 3 a n = 6) variaram de 0,7 N a 5,6 N. O experimento constitui uma maneira prática de determinar as características de uma onda num fio a partir de suas propriedades e condições submetidas.
Palavras chave: Ondas estacionárias, modo de vibração, oscilações
INTRODUÇÃO
Ondas mecânicas são aquelas que se propagam em um meio material, transportando energia. Estas podem ser classificadas em ondas transversais, onde as partículas se propagam na direção perpendicular e ondas longitudinais, em que a perturbação transmitida pela tem lugar ao longo da direção de propagação da onda. 
	Para caracterização de uma onda três características físicas são importantes: a velocidade da onda (velocidade de propagação da perturbação) e o comprimento de onda e frequência, que são parâmetros relacionados à periocidade da onda, tanto espaciais como temporais, respectivamente. (HALLIDAY, 1993)
	As ondas podem ainda ser classificadas como uni, bi e tridimensionais, de acordo com o número de dimensões em que ela transmite energia.
	As ondas mecânicas em uma corda são ondas unidimensionais do tipo transversal que se propagam ao longo da corda. A Equação da Onda governa a onda mecânica unidimensional. As soluções para esse tipo de equação pode ser do tipo progressiva à direita ou esquerda, ou ainda uma superposição delas (interferência). O perfil da onda depende da fonte de oscilação do tipo harmônico. Esta equação dá uma completa descrição do movimento da onda.
	Quando se tem uma corda presa e tensionada nas suas extremidades e nela aplica-se uma força, produz-se então uma onda que se desloca com uma determinada velocidade, conforme mostra a Figura 1. Esta velocidade depende das propriedades elásticas e inerciais
Figura 1- Corda com tensão sendo aplicada em seus extremos.
	Numa corda podem ocorrer ondas progressivas propagando-se num determinado sentido (para a esquerda ou para a direita), até estas não atingirem a extremidade. Quando atingem a extremidade, a onda normalmente é refletida, gerando outra onda progressiva, no sentido oposto (Figura 2). (ESPINOZA, 2014)
Figura 2 - Descrição do movimento de uma onda progressiva refletida.
	O fenômeno de interferência de ondas progressivas harmônicas à direita e à esquerda resulta na formação das ondas estacionárias. Esse tipo de onda é fácil de obter sobrepondo uma onda progressiva em uma corda com a onda refletida que se move no sentido oposto.
	As ondas estacionárias possuem várias possíveis frequências naturais, que surgem em cordas tracionadas. A perturbação propaga-se até cada uma das extremidades, refletem-se e retornam em sentido contrário formando as ondas estacionarias com nós (ponto que não vibra) e ventres (distância entre dois nós), caracterizando assim os diversos modos de vibração (Figura 3). 
Figura 3 – Diferentes modos de vibração da corda relacionados com o comprimento de onda.
Nesse contexto, o objetivo desta prática é obter a velocidade de propagação da onda e o lambda (λ), nos diferentes modos de vibrações, além de determinar a densidade linear por diferentes métodos. (ESPINOZA, 2014)
PARTE EXPERIMENTAL
Para a realização da prática, utilizou-se um módulo para ondas estacionárias composto por dois suportes, um fio de nylon revestido com aço de espessura variável, uma fonte de corrente alternada, uma chave liga-desliga, uma roldana, amperímetro, imã permanente e um conjunto de pesos de discos metálicos. A Figura 4 apresenta um esquema simplificado do aparato experimental utilizado.
P. E.
Fonte de corrente
M
Imã
Figura 4 – Aparato experimental utilizado para o estudo das ondas estacionárias em cordas vibrantes
Os fios de nylon utilizados foram identificados pela tensão máxima que cada um suportava em 20, 30, 40, 50 e 60 libras. As massas e o comprimento de cada fio foram aferidos. Para analisar os modos de vibração, o seguinte procedimento foi realizado para cada fio: fixou-se os extremos desencapados do fio condutor a roldana e ao ponto fixo; mediu-se o comprimento entre tais extremos; posicionou-se o imã permanente perto do fio condutor; ligou-se a fonte de corrente alternada aos extremos do fio como representado na Figura 4. Para cada fio a corrente foi medida por meio de um amperímetro para a identificação de cada um. Discos metálicos foram colocados em um cesto para a regulagem da tensão do fio e a observação de diferentes modos de vibração. 
RESULTADOS E DISCUSSOES
Propriedades dos fios
	Para discussão dos resultados, mediu-se as densidades lineares dos fios utilizados no experimento. Os fios foram identificadas de 20 a 60, variando em 10, de acordo com sua força de resistência fornecida pelo fabricante. Os valores estão dispostos na Tabela 1.
Tabela 1 - Valores obtidos de comprimento e massa dos fios e sua densidade linear.
	Fio
(lb)
	Comprimento
(± 0,5)·10-2 m
	Massa
(± 0,01) ·10-3 kg
	Densidade linear (µ)
10-4 kg·m
	20
	183,0
	1,27
	6,93 ± 0,24
	30
	180,0
	1,59
	8,83 ± 0,30
	40
	1,780
	1,79
	10,05 ± 0,34
	50
	1,790
	1,93
	10,78 ± 0,36
	60
	1,810
	2,57
	14,24 ± 0,45
Método indireto
	O método indireto para determinação do comprimento de onda e velocidade de propagação para cada fio e para cada modo de vibração consiste em relacionar a tensão aplicada a cada fio em suas respectivas situações e a densidade linear de cada fio. 
Os valores de tensões aplicados em cada fio, que foram aferidos através da massa dos pesos, estão na Tabela 2. 
Tabela 2 - Tensões usadas nos fios para determinar os respectivos modos de vibração.
	
	Tensões (± 0,2)(N)
	 n
Fio 
	3
	4
	5
	6
	20
	2,72
	1,54
	1,03
	0,69
	30
	3,42
	2,07
	1,33
	0,87
	40
	3,62
	2,14
	1,33
	0,94
	50
	4,00
	2,14
	1,26
	0,8760
	5,57
	3,12
	1,98
	1,35
 
As velocidades obtidas pela a Equação 01 do Anexo para cada modo de vibração encontrado no experimento estão na Tabela 3.
Tabela 3 - Velocidades de propagação de onda para os fios em seus diferentes modos de vibração pelo método indireto.
	
	Velocidades (m/s)
	 n
Fio 
	3
	4
	5
	6
	20
	62,62 ± 3,40
	47,17 ± 3,88
	38,52 ± 4,42
	31,51 ± 5,13
	30
	62,21 ± 2,88
	47,79 ± 3,18
	38,77 ± 3,58
	31,35 ± 4,14
	40
	59,97 ± 2,67
	46,16 ± 2,93
	36,47 ± 3,34
	30,62 ± 3,76
	50
	60,92 ± 2,53
	44,55 ± 2,82
	34,18 ± 3,28
	28,35 ± 3,74
	60
	62,54 ± 2,11
	46,82 ± 2,24
	36,98 ± 2,48
	30,79 ± 2,77
	Observa-se que para menores valores da tensão, obtém-se menores velocidades de propagação da onda e modos de vibração maiores. O tipo de fio não apresentou influência significativa nas observações. Considerando apenas o modo de vibração e distância das extremidades do fio para ondas estacionárias, o comprimento de onda e consequentemente a velocidade de propagação dependem exclusivamente do modo de vibração observado e não das propriedade do fio. Esta observação é concordante com o método direto de determinação das características da onda estacionária que utiliza apenas o modo de vibração e distância entre as extremidades. 
	Usando a frequência da fonte de corrente alternada, de 60 Hz, a tensão para cada modo de vibração e a densidade linear de cada fio, determinou-se o comprimento de onda respectivo de cada fio e modo de vibração onde seus valores estão dispostos na Tabela 4.
Tabela 4 - Valores de lambda (λ) para os modos de vibração obtidos pelo método indireto.
	
	λ (m)
	 n
Fio 
	3
	4
	5
	6
	20
	1,044 ± 0,057
	0,786 ± 0,065
	0,642 ± 0,074
	0,525 ± 0,085
	30
	1,037 ± 0,048
	0,796 ± 0,053
	0,646 ± 0,060
	0,523 ± 0,069
	40
	0,999 ± 0,044
	0,769 ± 0,049
	0,607 ± 0,056
	0,510 ± 0,063
	50
	1,015 ± 0,042
	0,743 ± 0,047
	0,570 ± 0,055
	0,472 ± 0,062
	60
	1,042 ± 0,035
	0,780 ± 0,037
	0,616 ± 0,041
	0,513 ± 0,046
	
Método direto
	O método direto consiste em utilizar a Equação Y para determinação de λ, que depende somente da distância entre os pontos de fixação do fio e o respectivo modo de vibração. Assim encontra-se os valores de λ (Tabela 5) para cada modo.
Tabela 5 - Valores de comprimento de onda para cada modo de vibração.
	
	n
	
	3
	4
	5
	6
	λ (± 10-3) (m)
	1,080
	0,810
	0,648
	0,540
Ajuste linear dos dados
Relacionando os valores de λ do método direto com a raiz quadrada das tensões dos fios obteve-se os gráficos apresentados na Figura 5. Os parâmetros obtidos no ajuste linear da curva foram dispostos na Tabela 6.
Figura 5 – Ajuste linear do comprimento de onda do método direto vs a raiz quadrada da tensão aplicada a cada modo de tensão para os fios de:(a) 20 lb, (b) 30 lb, (c) 40 lb, (d) 50 lb, (e) 60 lb. 
Tabela 6 - Parâmetros dos ajustes lineares obtidos.
	
	λ=A·T1/2+B
	Fio 
	A (kg-1/2m1/2s)
	B (m)
	R2
	20
	0,665 ± 0,012
	-0,018 ± 0,015
	0,999
	30
	0,594 ± 0,020
	-0,026 ± 0,028
	0,996
	40 
	0,577 ± 0,014
	-0,022 ± 0,020
	0,998
	50 
	0,501 ± 0,010
	0,079 ± 0,011
	0,999
	60 
	0,449 ± 0,003
	0,018 ± 0,005
	0,999
	Os ajustes pelo modelo linear apresentaram um elevado coeficiente de correlação e coeficientes lineares desprezíveis, concordando com o modelo físico adotado. Utilizando a Equação x do Anexo e o coeficiente angular (A) para cada ajuste pode-se determinar a densidade linear do cada fio. Os valores estão apresentados na Tabela 7.
Tabela 7 - Densidades lineares dos fios obtidas pelo ajuste linear.
	Fio
	Densidade linear (µ)
10-4 kg·m
	20
	6,37 ± 0,51
	30
	7,86 ± 0,62
	40
	8,37 ± 0,79
	50
	11,10 ± 0,85
	60
	13,72 ± 0,94
	Comparando os valores de densidade linear de cada fio obtidos pelo ajuste e os determinados pela massa e comprimento, observa-se que para os fios de 20, 50 e 60lb os valores foram concordantes. Para os outros dois fios isso não ocorreu, porém a discrepância foi diminuta. Neste contexto, o ajuste proporcionou um método simples de verificação da densidade linear de fios por meio da relação entre tensão aplicada para a observação de cada modo de vibração do fio e o comprimento de onda respectivo.
	Além disso, também pode-se determinar as tensões que devem ser aplicadas em cada fio para se observar o fenômeno da ressonância, o qual caracteriza-se pelo modo de vibração fundamental da onda. Relacionando os comprimentos de onda obtidos pelo método direto, frequência da fonte de corrente alternada e as densidades lineares de cada fio, determinou-se tais valores de tensão na ressonância (Tabela 8). Esses valores de tensão podem ser considerados como valores de forças externas requeridas para que a frequência de oscilação do fio seja próxima da frequência natural.
Tabela 8 - Valores de tensões necessárias para a ressonância para cada fio e modo de vibração respectivo.
	
	Tensões (N)
	 N
Fio 
	3
	4
	5
	6
	20
	2,91 ± 0,10 
	1,63 ± 0,07
	1,05 ± 0,06
	0,73 ± 0,05
	30
	3,71 ± 0,12
	2,09 ± 0,09
	1,33 ± 0,07
	0,93 ± 0,06
	40
	4,22 ± 0,14
	2,37 ± 0,10
	1,52 ± 0,08
	1,05 ± 0,07
	50
	4,53 ± 0,15
	2,55 ± 0,11
	1,63 ± 0,09
	1,13 ± 0,07
	60
	5,98 ± 0,18
	3,36 ± 0,14
	2,15 ± 0,11
	1,49 ± 0,09
CONCLUSÃO
Diante dos dados, conclui-se que diferentes modos de vibração podem ser ajustados à partir da tensão aplicada no meio de propagação, e que a velocidade de propagação de uma onda, para uma mesma tensão, independe da densidade linear do fio utilizado. Ondas geradas em fios possibilitam um estudo mais prático e visual do comportamento de ondas estacionárias. Mesmo que intuitivamente não pareçam influenciar na realidade, as ondas estacionárias são responsáveis pela constituição da matéria, uma vez que seguindo a dualidade onda-partícula os elétrons apresentam comportamento de ondas estacionárias.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Fundamentos de física 2- Movimento ondulatório e Gravitação. 4a edição Rio de Janeiro: Ltc, 1993.
Apostila de Física Geral Experimental II. Ondas Estacionárias. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones. 2014.
ANEXO	
	A velocidade da onda depende propriedade elástica que é a intensidade de força de tensão T, e da propriedade inercial é a relação entre a massa e o comprimento da corda chamada de densidade linear da massa µ.
 		 (1)
 
A condição de que as duas extremidades da corda permaneçam fixas se exprime pelas condições de contorno.
 Para qualquer 
	Isso implica que , se n é um número inteiro isto só será satisfeito quando:
 e 
		Assim, pelo método direto:
 						(2)
		Pela relação:
 e 
		Obtém-se a equação 3 para o método indireto:
 					(3)