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Estimativa da velocidade de propagação de uma onda em uma corda Angélica Torreal, Amanda Mendonça e Lauriana Vitória Gonçalves Souza 5M6 5T1, 5M45 Neste relatório é apresentado o cálculo da velocidade de propagação de uma onda que percorre um fio elástico tensionado por uma massa de prova e excitado por um autofalante ligado a uma fonte de oscilações. O valor 𝑣 = (16,8 ± 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠 ⁄ obtido da relação entre frequência e número de harmônicos é compatível (𝐾 ~ 0,035) com o valor 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠 obtido pela relação entre a tensão aplicada e a densidade linear de massa do fio. Conclui-se que o aparato experimental utilizado é adequado ao objetivo proposto. INTRODUÇÃO Uma onda é uma sequência de deformações com periodicidade definida que se propaga em um meio. Ao atingir uma barreira pode sofrer reflexão e interagir com a onda original. Essa interação pode ser construtiva ou destrutiva depende da diferença de fase entre as ondas. Um caso particular ocorre quando as ondas de mesma amplitude, frequência e comprimento de onda se propagam em direções opostas. O que resulta é um padrão de interferência chamado onda estacionária que é caracterizada por regiões com máxima amplitude de oscilação (ventres) e regiões sem oscilação (nós). Como mostrado na Figura 1, a quantidade de ventres formados na corda está relacionada ao seu comprimento, não é mostrado na figura 1, mas a frequência também influencia o número de ventres formados [1]. Figura 1. Relação entre o número de ventres e o comprimento da corda oscilante [2]. A relação entre as grandezas comprimento (L), frequência (f) e velocidade (v) é expressa pela Equação (1) . 𝑛 = 2𝐿𝑓 𝑣 (1) Essa velocidade também pode ser calculada por meio da tensão (T) na corda e sua densidade linear de massa (𝑢) (Equação 2) 𝑣 = √𝑇/𝞵 (2) MATERIAIS E MÉTODOS O aparato experimental consiste em um fio elástico fixado em um autofalante que está conectado a uma fonte de oscilações. A outra extremidade do elástico se apoia em uma roldana e é tensionado por uma massa de prova. Quando a fonte de oscilações é ligada, o elástico oscila e para frequências específicas ocorre a formação dos harmônicos mostrados na Figura 1. Dessa forma, foram anotadas as frequências relacionadas a cada harmônico formado. Assim, a grandeza independente é a frequência (f) e a dependente é o número de harmônicos (n). Como foi efetuada apenas uma medida da massa de prova (M) e da massa do elástico (m), suas incertezas são do tipo B. Assim, assumindo uma distribuição retangular das medidas da balança, a incerteza é estimada como 𝑢𝑚 = Δr/√3. Como Δr = 0,0001 kg, então 𝑢𝑚 = 5,7735E𝑥10−5kg. Logo, M = (0,140000±0,000058) kg e m = (0,009000±0,000058) kg. O comprimento total do elástico (L’), seu comprimento oscilante esticado (L) e não esticado (L”) também possuem incerteza do tipo B, pois foram medidos uma vez apenas, sendo 𝑢𝐿 = Δr/√3, como Δr = 0,001 m, então 𝑢𝐿 = 0,00058𝑚. Assim, L′ = (1,80000 ± 0,00058) m, L′ = (0,73000 ±0,00058) m e L′ = (0,69000 ± 0,00058) m. Os valores de m, L, L’ e L” foram utilizados para calcular a densidade linear do segmento oscilante do fio através da expressão 𝞵′ = 𝞵L′/𝐿" (3). As incertezas de 𝞵’ (Equação 10, em anexo) e 𝞵 (Equação 4) são do tipo C. 𝑢𝞵 = √( 1 𝐿 ) 2 (𝑢𝑚)2 + ( −m 𝐿2 ) 2 (𝑢L)2 (4) As medidas da frequência possuem incertezas do tipo B, contudo as leituras do medidor Fluke 117 (Δr = 0,01 Hz) obedecem uma distribuição triangular. Assim, a incerteza da frequência é dada por 𝑢𝑓 = Δr √6⁄ = 0,0041 𝐻𝑧. Para o cálculo da velocidade utilizando a Equação (2) foi adotado T=p=Mg, onde g = (9,782028±0,000023) 𝑚/𝑠² é a aceleração gravitacional de Goiânia [3]. A incerteza de T é do tipo C, pois essa grandeza é obtida indiretamente, dessa forma sua incerteza é dada por 𝑢𝑇 = √(𝑀)2(𝑢𝑔) 2 + (𝑔)2(𝑢g) 2 (6) Aplicando uma regressão linear ponderada, para se obter a relação entre os dados experimentais considerando a dispersão dos erros é possível relacionar o coeficiente angular da reta obtida com a Equação (1). Assim, para uma reta dada por 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥, conclui-se que A=0 e 𝐵 = 2𝐿 𝑣 (7) Assim: 𝑣 = 2𝐿 𝐵 (8) Por ser uma grandeza obtida indiretamente, a incerteza de v é do tipo C e sua magnitude é dada pela Equação (9) 𝑢𝑣 = √(− 2L 𝐵2 ) 2 (𝑢𝐵)2 + ( 2 𝐵 ) 2 (𝑢B)2 (9) Então, o resultado obtido pela Equação (8) foi comparado com a medida indireta obtida pela equação (2) utilizando o teste de compatibilidade dado por [4]. A incerteza da velocidade obtida pela Equação 2 é do tipo C e calculada por 𝑢𝑣 = √( 1 𝞵 ) 2 (𝑢𝑇)2 + ( −T 𝞵2 ) 2 (𝑢𝞵) 2 (5) RESULTADOS A Tabela 1 relaciona a frequência medida ao harmônico produzido no elástico. Estes dados também são apresentados no gráfico em anexo juntamente com a equação da reta obtida com a regressão linear. Deste ajuste realizado no Excel determinou-se o coeficiente angular da reta B= (0,087 ±0,000) 𝑠, o intercepto A= (0,00310±0,00048) 𝑠 −1. Utilizando a Equação 8 foi determinada a velocidade de propagação da onda no elástico 𝑣 = (16,8 ± 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠⁄ . i (f±𝜇𝑓) Hz n a 22,6800 ± 0,0041 2 b 34,4300 ± 0,0041 3 c 45,5700 ± 0,0041 4 d 57,0200 ± 0,0041 5 e 68,8400 ± 0,0041 6 Tabela 1. Relação entre frequência e número de harmônicos. DISCUSSÃO A velocidade de propagação da onda estimada experimentalmente foi comparada com o valor teórico previsto pela Equação (2). Assim, o valor teórico é 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠, o que é muito próximo do valor obtido pela regressão linear. O teste de compatibilidade entre a medida teórica e a medida experimental resulta em 𝐾 ~ 0,035 o que evidencia que as medidas são compatíveis. Em um trabalho semelhante, Toneguzzo (1990) observou que os modos harmônicos foram gerados para múltiplos inteiros da frequência do primeiro harmônico [5]. Apesar de não termos medido o primeiro harmônico neste trabalho, os valores de frequência para os harmônicos 2, 3 e 5 estão no mesmo intervalo de valores [5]. Não foi possível encontrar trabalhos publicados com valores semelhantes, pois a frequência de ressonância depende do comprimento e da densidade linear do fio além da tensão aplicada, e os diversos trabalhos encontrados utilizam parâmetros diferentes [5-8]. CONCLUSÃO Neste experimento estimou-se a velocidade de propagação da onda no elástico tensionado por meio da relação entre frequência e número de harmônicos e pela relação entre a tensão aplicada no fio e sua densidade linear de massa. O valor obtido pela observação dos harmônicos 𝑣 = (16,8 ± 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠⁄ é compatível com o valor obtido pela relação entre densidade linear e tensão aplicada no fio 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠 com 𝐾 ~ 0,035. Não foi possível comparar com valores da literatura, pois os parâmetros utilizados são diferentes. A substituição do elástico por um fio inextensível seria uma melhoria no aparato experimental com intuito de satisfazer as condições teóricas de aplicação das equações utilizadas. REFERÊNCIAS [1] ]D. Halliday, R. Resnick , J. Walker – Fundamentos de Física – Vol.2, 8ª Edição LTC Editora -(2009); [2] ondas Estacionárias. Disponível emhttp://cookiesefisica.blogspot.com/2016/05/ondas- estacionarias.html, Acesso em: 11 junho 2021. [3] Observatório Nacional. . Disponível em: http://www.on.br/index.php/pt-br/. Acesso em: 11 de jan. 2021. [4] JCGM/Grupo de trabalho para tradução do GUM. Avaliação de dados de medição: Guia para a expressão de incerteza de medição. INMETRO, Duque de Caxias (2012) [5] TONEGUZZO, Luigi; COELHO, Fernando Otávio. Gerador de ondas estacionáriasem uma corda. Cad. Cat. Ens. Fís, Florianópolis, v. 7, n. 3, p. 227-231, dez. 1990. Disponível em: https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/7 692/14626. Acesso em:11 maio 2021. [6] GUEDES, Anderson Guimarães. Estudo de ondas estacionárias em uma corda com a utilização de um aplicativo gratuito para smartphones. Revista Brasileira de Ensino de Física, [S.L.], v. 37, n. 2, p. 2502-1, jun. 2015. Disponível em: https://www.scielo.br/j/rbef/a/hHn5GBWWym89gWG4FX BgYvG/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 11 jun. 2021. [7] M.A. Cavalcante e C.R.C Tavolaro, In: Anais do IX Encontro Nacional de Pesquisa em Ensino de Física, Jaboticatubas, MG, 2004. Disponível em http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/ix/atas/postere s/po51-39.pdf Acesso em 22/6/2014. [8] GUEDES, Anderson Guimarães. Estudo de ondas estacionárias em uma corda com a utilização de um aplicativo gratuito para smartphones. Revista Brasileira de Ensino de Física, [S.L.], v. 37, n. 2, p. 2502-1, jun. 2015. Disponível em: ttps://www.scielo.br/j/rbef/a/hHn5GBWWym89gWG4FXB gYvG/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 11 jun. 2021 𝑢𝞵′ = √( 𝐿′ 𝐿" ) 2 (𝑢𝞵) 2 + ( 𝞵 𝐿" ) 2 (𝑢𝐿′)2 + ( −𝐿′ 𝐿"² ) 2 (𝑢𝐿")2 (4) Figura 2. Gráfico da regressão linear dos dados experimentais. Os erros em X são muito pequenos para aparecer na escala do gráfico. https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/7692/14626 https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/7692/14626
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