Lab Experimental 2 - cordas vibrantes

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Estimativa da velocidade de propagação de uma onda em uma corda 
Angélica Torreal, Amanda Mendonça e Lauriana Vitória Gonçalves Souza 
5M6 5T1, 5M45 
 
Neste relatório é apresentado o cálculo da velocidade de propagação de uma onda que percorre 
um fio elástico tensionado por uma massa de prova e excitado por um autofalante ligado a uma 
fonte de oscilações. O valor 𝑣 = (16,8 ± 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠 ⁄ obtido da relação entre frequência 
e número de harmônicos é compatível (𝐾 ~ 0,035) com o valor 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠 obtido 
pela relação entre a tensão aplicada e a densidade linear de massa do fio. Conclui-se que o 
aparato experimental utilizado é adequado ao objetivo proposto. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Uma onda é uma sequência de deformações com 
periodicidade definida que se propaga em um meio. 
Ao atingir uma barreira pode sofrer reflexão e 
interagir com a onda original. Essa interação pode ser 
construtiva ou destrutiva depende da diferença de 
fase entre as ondas. Um caso particular ocorre 
quando as ondas de mesma amplitude, frequência e 
comprimento de onda se propagam em direções 
opostas. O que resulta é um padrão de interferência 
chamado onda estacionária que é caracterizada por 
regiões com máxima amplitude de oscilação (ventres) 
e regiões sem oscilação (nós). Como mostrado na 
Figura 1, a quantidade de ventres formados na corda 
está relacionada ao seu comprimento, não é mostrado 
na figura 1, mas a frequência também influencia o 
número de ventres formados [1]. 
 
Figura 1. Relação entre o número de ventres e o 
comprimento da corda oscilante [2]. 
A relação entre as grandezas comprimento (L), 
frequência (f) e velocidade (v) é expressa pela 
Equação (1) 
 
. 𝑛 = 
2𝐿𝑓
𝑣 
 (1) 
 
Essa velocidade também pode ser calculada por 
meio da tensão (T) na corda e sua densidade linear 
de massa (𝑢) (Equação 2) 
𝑣 = √𝑇/𝞵 (2) 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
O aparato experimental consiste em um fio 
elástico fixado em um autofalante que está conectado 
a uma fonte de oscilações. A outra extremidade do 
elástico se apoia em uma roldana e é tensionado por 
uma massa de prova. Quando a fonte de oscilações é 
ligada, o elástico oscila e para frequências específicas 
ocorre a formação dos harmônicos mostrados na 
Figura 1. Dessa forma, foram anotadas as frequências 
relacionadas a cada harmônico formado. Assim, a 
grandeza independente é a frequência (f) e a 
dependente é o número de harmônicos (n). Como foi 
efetuada apenas uma medida da massa de prova (M) 
e da massa do elástico (m), suas incertezas são do 
tipo B. Assim, assumindo uma distribuição retangular 
das medidas da balança, a incerteza é estimada como 
𝑢𝑚 = Δr/√3. Como Δr = 0,0001 kg, então 𝑢𝑚 =
5,7735E𝑥10−5kg. Logo, M = (0,140000±0,000058) 
kg e m = (0,009000±0,000058) kg. O comprimento 
total do elástico (L’), seu comprimento oscilante 
esticado (L) e não esticado (L”) também possuem 
incerteza do tipo B, pois foram medidos uma vez 
apenas, sendo 𝑢𝐿 = Δr/√3, como Δr = 0,001 m, 
então 𝑢𝐿 = 0,00058𝑚. Assim, L′ = (1,80000 ± 
0,00058) m, L′ = (0,73000 ±0,00058) m e L′ =
(0,69000 ± 0,00058) m. 
Os valores de m, L, L’ e L” foram utilizados para 
calcular a densidade linear do segmento oscilante do 
fio através da expressão 𝞵′ = 𝞵L′/𝐿" (3). As 
incertezas de 𝞵’ (Equação 10, em anexo) e 𝞵 
(Equação 4) são do tipo C. 
𝑢𝞵 = √(
1
𝐿
)
2
(𝑢𝑚)2 + (
−m
𝐿2
)
2
(𝑢L)2 (4) 
 
As medidas da frequência possuem incertezas do 
tipo B, contudo as leituras do medidor Fluke 117 
(Δr = 0,01 Hz) obedecem uma distribuição 
triangular. Assim, a incerteza da frequência é dada 
por 𝑢𝑓 = Δr √6⁄ = 0,0041 𝐻𝑧. 
Para o cálculo da velocidade utilizando a Equação 
(2) foi adotado T=p=Mg, onde g =
(9,782028±0,000023) 𝑚/𝑠² é a aceleração 
gravitacional de Goiânia [3]. A incerteza de T é do 
tipo C, pois essa grandeza é obtida indiretamente, 
dessa forma sua incerteza é dada por 
 
𝑢𝑇 = √(𝑀)2(𝑢𝑔)
2
+ (𝑔)2(𝑢g)
2
 (6) 
 
Aplicando uma regressão linear ponderada, para 
se obter a relação entre os dados experimentais 
considerando a dispersão dos erros é possível 
relacionar o coeficiente angular da reta obtida com a 
Equação (1). Assim, para uma reta dada por 𝑦 = 𝐴 +
𝐵𝑥, conclui-se que A=0 e 
 
𝐵 =
2𝐿
𝑣
 (7) 
Assim: 
𝑣 =
2𝐿
𝐵
 (8) 
Por ser uma grandeza obtida indiretamente, a 
incerteza de v é do tipo C e sua magnitude é dada pela 
Equação (9) 
𝑢𝑣 = √(−
2L
𝐵2
)
2
(𝑢𝐵)2 + (
2
𝐵
)
2
(𝑢B)2 (9) 
 
Então, o resultado obtido pela Equação (8) foi 
comparado com a medida indireta obtida pela 
equação (2) utilizando o teste de compatibilidade 
dado por [4]. A incerteza da velocidade obtida pela 
Equação 2 é do tipo C e calculada por 
𝑢𝑣 = √(
1
𝞵
)
2
(𝑢𝑇)2 + (
−T
𝞵2
)
2
(𝑢𝞵)
2
 (5) 
RESULTADOS 
 
A Tabela 1 relaciona a frequência medida ao 
harmônico produzido no elástico. Estes dados 
também são apresentados no gráfico em anexo 
juntamente com a equação da reta obtida com a 
regressão linear. Deste ajuste realizado no Excel 
determinou-se o coeficiente angular da reta B= (0,087 
±0,000) 𝑠, o intercepto A= (0,00310±0,00048) 𝑠 −1. 
Utilizando a Equação 8 foi determinada a velocidade 
de propagação da onda no elástico 𝑣 = (16,8 ±
 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠⁄ . 
 
i (f±𝜇𝑓) Hz n 
a 22,6800 ± 0,0041 2 
b 34,4300 ± 0,0041 3 
c 45,5700 ± 0,0041 4 
d 57,0200 ± 0,0041 5 
e 68,8400 ± 0,0041 6 
Tabela 1. Relação entre frequência e número de 
harmônicos. 
DISCUSSÃO 
 
A velocidade de propagação da onda estimada 
experimentalmente foi comparada com o valor 
teórico previsto pela Equação (2). Assim, o valor 
teórico é 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠, o que é muito 
próximo do valor obtido pela regressão linear. O teste 
de compatibilidade entre a medida teórica e a medida 
experimental resulta em 𝐾 ~ 0,035 o que evidencia 
que as medidas são compatíveis. Em um trabalho 
semelhante, Toneguzzo (1990) observou que os 
modos harmônicos foram gerados para múltiplos 
inteiros da frequência do primeiro harmônico [5]. 
Apesar de não termos medido o primeiro harmônico 
neste trabalho, os valores de frequência para os 
harmônicos 2, 3 e 5 estão no mesmo intervalo de 
valores [5]. Não foi possível encontrar trabalhos 
publicados com valores semelhantes, pois a 
frequência de ressonância depende do comprimento e 
da densidade linear do fio além da tensão aplicada, e 
os diversos trabalhos encontrados utilizam 
parâmetros diferentes [5-8]. 
 
CONCLUSÃO 
 
Neste experimento estimou-se a velocidade de 
propagação da onda no elástico tensionado por meio 
da relação entre frequência e número de harmônicos 
e pela relação entre a tensão aplicada no fio e sua 
densidade linear de massa. O valor obtido pela 
observação dos harmônicos 𝑣 = (16,8 ±
 2,9𝑥10−5) 𝑚 𝑠⁄ é compatível com o valor obtido 
pela relação entre densidade linear e tensão aplicada 
no fio 𝑣 = (16,9 ±1,8) 𝑚/𝑠 com 𝐾 ~ 0,035. Não foi 
possível comparar com valores da literatura, pois os 
parâmetros utilizados são diferentes. A substituição 
do elástico por um fio inextensível seria uma 
melhoria no aparato experimental com intuito de 
satisfazer as condições teóricas de aplicação das 
equações utilizadas. 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] ]D. Halliday, R. Resnick , J. Walker – Fundamentos de 
Física – Vol.2, 8ª Edição LTC Editora -(2009); 
[2] ondas Estacionárias. Disponível 
emhttp://cookiesefisica.blogspot.com/2016/05/ondas-
estacionarias.html, Acesso em: 11 junho 2021. 
[3] Observatório Nacional. . Disponível em: 
http://www.on.br/index.php/pt-br/. Acesso em: 11 de jan. 
2021. 
[4] JCGM/Grupo de trabalho para tradução do GUM. 
Avaliação de dados de medição: Guia para a expressão de 
incerteza de medição. INMETRO, Duque de Caxias (2012) 
[5] TONEGUZZO, Luigi; COELHO, Fernando Otávio. 
Gerador de ondas estacionáriasem uma corda. Cad. Cat. 
Ens. Fís, Florianópolis, v. 7, n. 3, p. 227-231, dez. 1990. 
Disponível em: 
https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/7
692/14626. Acesso em:11 maio 2021. 
[6] GUEDES, Anderson Guimarães. Estudo de ondas 
estacionárias em uma corda com a utilização de um 
aplicativo gratuito para smartphones. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, [S.L.], v. 37, n. 2, p. 2502-1, jun. 2015. 
Disponível em: 
https://www.scielo.br/j/rbef/a/hHn5GBWWym89gWG4FX
BgYvG/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 11 jun. 2021. 
[7] M.A. Cavalcante e C.R.C Tavolaro, In: Anais do IX 
Encontro Nacional de Pesquisa em Ensino de Física, 
Jaboticatubas, MG, 2004. Disponível em 
http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/ix/atas/postere
s/po51-39.pdf Acesso em 22/6/2014. 
[8] GUEDES, Anderson Guimarães. Estudo de ondas 
estacionárias em uma corda com a utilização de um 
aplicativo gratuito para smartphones. Revista Brasileira de 
Ensino de Física, [S.L.], v. 37, n. 2, p. 2502-1, jun. 2015. 
Disponível em: 
ttps://www.scielo.br/j/rbef/a/hHn5GBWWym89gWG4FXB
gYvG/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 11 jun. 2021 
 
 
 
𝑢𝞵′ = √(
𝐿′
𝐿"
)
2
(𝑢𝞵)
2
+ (
𝞵
𝐿"
)
2
(𝑢𝐿′)2 + (
−𝐿′
𝐿"²
)
2
(𝑢𝐿")2 (4) 
 
 
 
 
Figura 2. Gráfico da regressão linear dos dados experimentais. Os erros em X são muito pequenos para 
aparecer na escala do gráfico. 
 
https://periodicos.ufsc.br/index.php/fisica/article/viewFile/7692/14626
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