apêndice D teoria

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Apêndice D: Equacionamento básico da grandeza genérica N, pertencente ao sistema em escoamento, 
na forma integral, para um volume de controle 
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Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba 
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Apêndice D 
 
Equacionamento básico da grandeza 
genérica N, pertencente ao sistema 
em escoamento, na forma integral, 
para um volume de controle 
 
D1. Objetivos deste equacionamento 
 
Os objetivos deste estudo são: 
 
I) estudar o escoamento de um volume de fluido ao longo do tempo; 
II) estudar a taxa de variação de uma certa grandeza N do sistema de 
controle ao longo do escoamento do volume de fluido; 
 
D2. Motivos deste estudo 
 
Os motivos deste estudo são: 
 
I) equacionar o sistema de controle é mais trabalhoso do que equacionar 
o volume de fluido, pois, para equacionar o sistema é preciso identificar e 
seguir a mesma massa de fluido em todos os instantes de tempo; 
II) interessa-se, sobretudo, nos efeitos do movimento da massa fluida 
sobre algum dispositivo ou estrutura; 
 
D3. Definições fundamentais 
 
Algumas definições fundamentais: 
 
I) Superfície de controle (SC): superfície onde, em seu interior, se escoa 
a massa fluida; 
II) Volume de controle (VC): volume de massa fluida em escoamento, 
tendo como fronteira espacial a superfície de controle; 
III) Sistema de controle: a reunião dos conceitos anteriores. 
 
D4. Dedução da equação geral da taxa de variação da grandeza N 
 
Seja a fig. D1, onde se encontra a massa fluida, nos instantes t e t + ∆∆∆∆t: 
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na forma integral, para um volume de controle 
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Fig. D1: Deslocamento da massa fluida ao longo do tempo 
 
Nota-se que a massa fluida, ao deslocar-se de t a t + ∆∆∆∆t, sofre um 
deslocamento que a divide em três sub-regiões distintas: I, II e III. 
O objetivo é determinar a taxa de variação da grandeza genérica N ao longo 
das regiões I, II e III, ou seja: 
 
 
Princípio: o deslocamento da massa fluida deve ser analisado sobre dois aspectos: 
o estudo dos fenômenos envolvidos no seu deslocamento no início e no fim de seu 
translado (sub-regiões I e III) e no meio de seu deslocamento (sub-região II). A soma 
total destes fenômenos resulta na variação total da grandeza N ao longo do 
escoamento da massa fluída, o que resulta: 
 
 
Significado físico da equação geral: 
 
) )
t
NN
dt
dN tSttS
t
sistema ∆
−
=

 ∆+
→∆ 0
lim






∂
∂
+=


∫∫
VCSCsistema
dVol
t
AdV
dt
dN ηρηρ
r
o
r
controle de superfície da saindo N, extensiva epropriedad da massa, em líquida vazão
sistema do arbitrária extensiva epropriedadqualquer de total variaçãode taxa
=
=


∫
SC
sistema
AdV
dt
dN
r
o
r
ηρ
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controle de volumedo dentro N, extensiva epropriedad da tempoo com variaçãode taxa=





∂
∂
∫
VC
dVol
t
ηρ
 
Onde: ηηηη = é a propriedade intensiva correspondente a N → ηηηη = N por unidade de 
massa. 
 
D5. Casos particulares do equacionamento básico para o volume de controle 
 
 Três são os casos mais importantes da aplicação da equação geral da 
grandeza N, a saber: 
 
I) Equação da Continuidade: 
 
Fazendo-se: 
 
N = ms →→→→ massa total do sistema 
 
ηηηη = 1 
 
Tem-se que: 
Como a massa total de conserva tem-se que a equação acima deve ser igual 
a 0. Assim: 
 
 
Princípio da Continuidade, de acordo com o Dr. Hunter Rouse, cientista 
norte americano, diretor do Instituto de Pesquisas de Hidráulica da Universidade do 
Iowa, USA: 
 
“A menos que se tenha contração ou compressão do volume no interior de 
um tubo de corrente, a vazão líquida de fluido que passa por ele é a soma 
das vazões da entrada e da saída do mesmo.” 
 
∫∫ ∂
∂
+=
→→
VC
ol
SC
s dV
t
AdV
dt
dm
.. ρρ o
∫∫ ∂
∂
−=
→→
VC
ol
SC
dV
t
AdV .. ρρ o
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Hunter Rouse (1906 – 1966) 
 
Em resumo, considerando-se um EPI (escoamento permanente e 
incompressível) tem-se que: 
 
II) Equação da Quantidade de Movimento: 
 
Fazendo-se: 
 
N = p = m.v →→→→ quantidade de movimento 
 
ηηηη = v 
 
Tem-se que: 
 
Num EPI tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
2221110 AVAVAdV
SC
..... ρρρ =→=∫
→→
 o
∫∫
→→→→→
→
∂
∂
+==
VC
ol
SC
R dVV
t
AdVVF
dt
pd
.... ρρ o
∫
→→→→
=
SC
R AdVVF o..ρ
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III) Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um Volume de Controle: 
 
Fazendo-se: 
 
N = E = Q – W →→→→ energia total 
 
ηηηη = e →→→→ energia total por unidade de massa 
 
Tem-se que: 
 
 
Num EPI tem-se que: 
 
 
Este assunto em particular será mais bem tratado no capítulo 7 da apostila de 
teoria. 
 
∫∫ ∂
∂
+=−=
→→
VC
ol
SC
dVe
t
AdVe
dt
dW
dt
dQ
dt
dE
..... ρρ
∫
→→
=
SC
AdVe
dt
dE
...ρ