Mecânica dos Fluidos_Aula 09

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FACULDADE MAURICIO DE NASSAU
CURSO BIOMEDICINA
DISCIPLINA: MECÂNICA DOS FLUIDOS
PROF. DR. IDNEY CAVALCANTI DA SILVA
EQUAÇÕES BÁSICAS PARA UM VOLUME DE CONTROLE - AULA 09
CONSERVAÇÃO DE MASSA
O primeiro princípio físico para o qual nós aplicamos a relação entre as formulações de
sistema e de volume de controle é o princípio de conservação da massa: a massa do sistema
permanece constante.
0
Sistemadt
dM
Eq. 01
Em que
 
M V
Sistema dVdmM  Eq. 02
As formulações de sistema e de volume de controle são relacionadas pela Eq. 03
 


VC SCSistema
AdvdV
tdt
dN . Eq. 03
Em que  
M V
Sistema dVdmN  Eq. 04
Para deduzir a formulação de volume de controle da conservação de massa, fazemos
MN  e 1 .
Com essa substituição, obtemos  


VC SCSistema
AdvdV
tdt
dM . Eq. 05
Comparando a Eq. 01 com a Eq. 05, chega-se à formulação da equação de volume de
controle da conservação de massa:
0. 


 
VC SC
AdvdV
t
 Eq. 06
Na Eq. 06, o primeiro termo representa a taxa de variação da massa dentro do volume de
controle; o segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa para fora através da
superfície de controle. A Eq. 06 indica que a soma da taxa de variação dentro do volume de
controle com a taxa líquida de fluxo de massa através da superfície de controle é zero. A
equação da conservação de massa é também chamada de equação da continuidade. Em
outras palavras, a taxa de aumento da massa no volume de controle é decorrente do fluxo
líquido de entrada de massa:
Taxa de Aumento de Massa no VC = Taxa Líquida de Massa para dentro do VC
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 

VC SC
AdvdV
t
. Eq. 07
Mais uma vez, notamos que, ao usar a Eq. 06, um cuidado deve ser tomado na avaliação do
produto escalar cos. vdAAdv 

: ele pode ser positivo (escoamento para fora,
2
  ),
negativo (escoamento para dentro,
2
  ) e até mesmo zero (
2
  ). A figura 01 ilustra
o caso geral, bem como os casos convenientes 0 e   .
Fig. 03. Avaliando o produto escalar.
CASOS ESPECIAIS
Em casos especiais, é possível simplificar a Eq. 06. Considere primeiramente, o caso de um
fluido incompressível, no qual a massa específica permanece constante. Quando  é
constante, ele não é uma função do espaço e nem do tempo. Consequentemente, para
fluidos incompressíveis, a Eq. 06 pode ser escrita como:
  

VC SC
AdvdV
t
0.
 Eq. 08
A integral de sobre todo o volume de controle é simplesmente o volume total do volume
de controle. Assim, dividindo por  , escreve-se:
 

SC
Adv
t
V 0.

Eq. 09
Para um volume de controle não deformável, de forma e tamanho fixo, V constante. A
conservação de massa para escoamento incompressível através de um volume de controle
fixo torna-se,
 
SC
Adv 0.

Eq. 10
Um caso especial útil é quando a velocidade é, ou pode ser aproximada, como uniforme em
cada entrada e saída. Neste caso, a Eq. 10 é simplificada para:
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0. SC Av

Eq. 11
Note que não consideramos escoamento permanente na redução da Eq. 06 para as formas
da Eq. 10 e da Eq. 11. Impusemos apenas a restrição de escoamento incompressível. Assim,
as Eqs. 10 e 11 são expressões da conservação de massa para um escoamento de um fluido
incompressível que pode ser em permanente ou em regime transiente.
As dimensões do integrando na Eq. 10 são tL /3 . A integral sobre uma seção da superfície
de controle é comumente chamada taxa de fluxo de volume ou vazão em volume, ou ainda
vazão volumétrica. Desse modo, para um escoamento incompressível, a vazão volumétrica
para dentro de um volume de controle deve ser igual a uma vazão volumétrica para fora de
um volume de controle. A vazão volumétrica Q , através de uma seção de uma superfície de
controle de área A , é dada por

A
AdvQ
. Eq. 12
O módulo da velocidade média, v , em uma seção é definido por

A
Adv
AA
Qv
 .1 Eq. 13
Considere agora o caso geral de escoamento permanente, compressível, através de um
volume de controle fixo. Como o escoamento é permanente, significa que, no máximo,
 zyx ,,  . Por definição, nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo em um
escoamento permanente. Consequentemente, o primeiro termo da Eq. 06 deve ser zero e,
assim, para escoamento permanente, o enunciado da conservação de massa reduz-se a
 
SC
Adv 0.
 Eq. 14
Um caso especial útil é quando a velocidade é, ou pode ser aproximada como, uniforme em
cada entrada e saída. Nesse caso, a Eq. 14 é simplificada para
SC Av
. Eq. 15
Então, para o escoamento permanente, a vazão mássica para dentro do volume de controle
deve ser igual a vazão mássica para fora do volume de controle.
EXEMPLO 01: Fluxo de Massa em uma junção de tubos
Considere o escoamento permanente da água em uma junção de tubos conforme mostrado
na ilustração. As áreas das seções são: 221 2,0 mAA  e
2
3 15,0 mA  . O fluido também
vaza para fora do tubo através de um orifício em (4) com uma vazão volumétrica estimada
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em sm /1,0 3 . As velocidades médias nas seções (1) e (3) são smV /51  e smV /123  ,
respectivamente. Determinar a velocidade de escoamento na seção (2)
Dados: Escoamento permanente de água
nos tubos.
3
3
431
2
3
2
21
/999
/1,0;/12;/5
15,0;2,0
mkg
smQsmVsmV
mAmAA




Solução: Como o escoamento é permanente e a velocidade é, ou pode ser aproximada como,
uniforme em cada entrada e saída.
0. SC Av

, se  é constante, implica que 00. 2243311  VAQVAVAAvSC

02,01,01215,052,00. 2
2
3
22 









 Vms
m
s
mm
s
mmAv
SC

2
333
2
3
22
2 2,0
1,08,10,1
2,0
1,01215,052,0
m
s
m
s
m
s
m
m
s
m
s
mm
s
mm
V














sm
m
s
m
V /5,4
2,0
9,0
2
3
2 
EXEMPLO 02: Vazão Mássica na Camada Limite
O fluido em contato direto com a fronteira sólida estacionária tem velocidade zero; não há
deslizamento na fronteira. Então, o escoamento sobre a placa plana adere-se sobre a
superfície da placa e forma uma camada-limite, como esquematizado na ilustração a seguir.
O escoamento a montante da placa é uniforme com a velocidade iUv ˆ , smU /30 . A
distribuição da velocidade dentro da camada limite   y0 ao longo de cd é
aproximada por    2//2/  yyUu  .
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A espessura da camada limite na posição d é mm5 . O fluido é ar com massa específica
3/24,1 mkg . Supondo que a largura da placa perpendicular ao papel seja mw 6,0 ,
calcule a vazão mássica através da superfície bc do volume de controle abcd.
Solução:
    
Aab Abc Acd AdaSC
AdvAdvAdvAdvAdv 0....0.
 
  skgAdvAdvAdv
Aab AcdAbc
/038,074,0112,0...   
 
 
skgmm
s
m
m
kgUw
UwUwyUwdyuwdyudAAdv
yb
yaAabAab
/112,0005,0.6,0.30.24,1
.
3
0
0

 

 






0
2
32
0
2
3
2. 




































 
yywUdyyywUuwdyudAAdv
yc
ydAcdAcd

s
kgm
s
mm
m
kgwUwU 074,0005,0.30.6,0.24,1.
3
2
3
2
3 3











 
EXEMPLO 03: Um tanque, com volume 305,0 mV  , contém ar com pressão kPap 800 e
temperatura CT 15 . Em 0t , o ar começa a escapar do tanque por maio de uma
válvula com área de escapamento de 265mm . O ar passando pela válvula tem velocidade de
300 m/s e massa específicade 3/6 mkg . Determine a taxa instantânea de variação da massa
específica do ar no tanque em t = 0.
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Solução:
  

VC SC
AdvdV
t
0.

 




SCSC
AdvV
t
AdvV
t
 .0. 
33263
22
3
3
2
3
111
111
.
34,2
.000.50
117000
10.05,0
1.653006
05,0
653006
ms
kg
ms
kg
mmm
mmm
s
m
m
kg
t
m
mm
s
m
m
kg
tV
Av
t
Av
t
V




















