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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
CAMPUS DE SOBRAL
ANTONIO ALAN RODRIGUES DE ARAÚJO
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR
COM FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO (NLDC-PCF) PARA OBTENÇÃO
DE PORTAS LÓGICAS TOTALMENTE ÓPTICA UTILIZANDO
MODULAÇÃO PAM.
Sobral, CE
2013
ANTONIO ALAN RODRIGUES DE ARAÚJO
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DIRECIONAL NÃO-LINEAR
COM FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO (NLDC-PCF) PARA OBTENÇÃO
DE PORTAS LÓGICAS TOTALMENTE ÓPTICA UTILIZANDO
MODULAÇÃO PAM.
Monografia apresentada como Trabalho
de Conclusão de Curso na Engenharia da
Computação, campus avançado de Sobral
como requisito para obtenção do título de
Engenheiro de Computação.
Orientador: Prof. Dr. José Cláudio do Nascimento
Coorientador: Prof. Dr. Wilton Bezerra de Fraga
Sobral, CE
2013
ANTONIO ALAN RODRIGUES DE ARAÚJO
ESTUDO NUMÉRICO DO ACOPLADOR DUPLO NÃO-LINEAR
SIMÉTRICO COM FIBRAS DE CRISTAL FOTÔNICO (NLDC-PCF) PARA
OBTENÇÃO DE PORTAS LÓGICAS TOTALMENTE ÓPTICA
UTILIZANDO MODULAÇÃO PAM.
Monografia apresentada como Trabalho
de Conclusão de Curso na Engenharia da
Computação, campus avançado de Sobral
como requisito para obtenção do título de
Engenheiro de Computação.
Aprovada em ___/___/______
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________________
Prof. Dr. José Cláudio do Nascimento (Orientador)
Universidade Federal do Ceará - UFC
__________________________________________________________
Prof. Dr. Wilton Bezerra de Fraga (Co-orientador)
Instituto Federal do Ceará - IFCE
__________________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Elmano de Alencar e Silva
Universidade Federal do Ceará - UFC
__________________________________________________________
Prof. Dr. Clemilson Costa Santos
Universidade Federal do Ceará - UFC
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho ao meu pai pelo
exemplo que me deixou e minha mãe por
sua garra e determinação. Aos meus ir-
mãos por complementarem o meu amor à
família e a minha namorada por ser minha
grande companheira longe de casa a anos.
AGRADECIMENTOS
Agradeço e homenageio meus pais Antonio de Araújo Filho (em memória e minha grande inspiração)
e Terezinha Rodrigues de Araújo, pela realização deste sonho de obter o título de Engenheiro.
Aos meus irmãos, Denys, Aline, Caroline e Fernanda por me fazerem lembrar o quanto é importante
manter a união em momentos difíceis.
À minha namorada Iracema Alves por dividir de perto os momentos mais difíceis da minha vida.
Agradeço por seu amor, carinho e companheirismo.
À minha tia Antoneide e seu esposo Mariano por sempre terem acreditado em mim e me fizeram dar
o primeiro passo rumo à esse trabalho.
Ao restante dos meus familiares que me fariam escrever várias páginas de tanto agradecimento, em
especial minha vozinha Dona Zeneide.
Ao grande amigo Francisco de Oliveira Sousa (Chico do Jeová) e sua esposa Geovanna Ribeiro pelo
grande apoio que me deram.
Aos meus professores, orientadores e amigos José Cláudio do Nascimento e Wilton Fraga pelo apoio
incondicional e paciência em todo o processo de desenvolvimento deste trabalho. Agradeço pelo co-
nhecimento acadêmico e de convivência que vocês me passaram.
Aos demais professores dos cursos de Engenharia da Computação e Elétrica da UFC/Sobral, em es-
pecial o Carlos Elmano, por servirem de referência. Agradeço todo o conhecimento que adquiri.
Ao Grupo de Estudos em Óptica do IFCE/Sobral, em especial ao Prof. Glendo e Prof. Wilton pela
oportunidade que me deram e mudaram para melhor a minha vida acadêmica.
Aos meus amigos e parceiros da UFC/Sobral, Lászlon, Henrique e Weskley e também o Alberto da
FLF pela boa convivência nos últimos anos e pelo compartilhamento de conhecimento que por vezes
me ajudou a tomar decisões.
Aos demais grandes amigos que tanto me ajudaram nesta árdua batalha da engenharia e da vida pro-
vi
fissional, Joseph Soares e Alexandre Albano.
À Universidade Federal do Ceará por me conceder a oportunidade de estudar e mudar minha vida.
À cidade de Sobral por ter aberto suas portas e me oferecido oportunidades incríveis.
RESUMO
Esta monografia traz um estudo dos cristais fotônicos e sua evolução até o desenvolvi-
mento das Fibras de Cristal Fotônico - PCF. Estas fibras, por sua vez, diferenciam das convencionais
por conta de sua alta não-linearidade além dos mecanismos de guiamento da luz. Assim, foi realizado
um estudo dos principais efeitos lineares e não-lineares consideráveis para a propagação de pulsos
ultracurtos com largura temporal de 100fs e sua aplicação em Acopladores Direcionais Não-Lineares
baseados em Fibras de Cristal Fotônico (NLDC-PCF) simétricos e obtivemos a porta lógica OU por
meio da Modulação por Amplitude de Pulso (PAM) com deslocamento de amplitude (ASK) como re-
sultado final. O estudo numérico resolveu um par equações do modo acoplado através de simulação
computacional aplicando o método numérico de Runge-Kutta.
Palavras-chave: Fibras de Cristal Fotônico, acoplador direcional não-linear, porta lógica,
pulsos ultracurtos, modulação por amplitude de pulso.
ABSTRACT
This monograph provides a study of photonic crystals and its evolution to the development
of Photonic Crystal Fibers - PCF. These fibers, in turn, differ from conventional because of their high
non-linearity beyond the mechanisms guiding light. Thus, a study of the main effects linear and
nonlinear considerable for the propagation of ultrashort pulse width time 100fs and its application
in Directional Couplers Nonlinear based on photonic crystal fibers (NLDC-PCF) and symmetric
obtained the OR gate by Pulse amplitude Modulation (PAM) with displacement amplitude (ASK) as
the final result. The numerical study solved a pair of coupled mode equations through computer
simulation applying the numerical method of Runge-Kutta.
Keywords: Photonic crystal fibers, nonlinear directional coupler, gate, ultrashort pulses,
pulse amplitude modulation.
Lista de Figuras
2.1 Ilustração esquemática de cristais fotônicos unidimensional (1D), bidimensional (2D),
e tri-dimensional (3D). A parte inferior esquerda da figura detalha a obtenção de ca-
vidade óptica, e a parte inferior direita mostra um guia de onda dentro de um cristal
fotônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Imagem microscópica da primeira fibra micro-estruturada fabricada com núcleo só-
lido [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Representação dos dois tipos mais comuns de PCFs: (a) arranjo triangular ou hexago-
nal e (c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram fotos das respectivas fibras fabricadas. 8
2.4 Esquemático que mostra os dois parâmetros que definem as propriedades na secção
transversal da fibra de cristal fotônico (Λ e d): (a) secção transversal de um cristal
fotônico com arranjo triangular; (b) fibra microestruturada com núcleo sólido; (c)
secção transversal de um cristal fotônico com arranjo quadrangular. . . . . . . . . . 9
2.5 (a) Ilustração de uma PCF de núcleo sólido com uma distribuição triangular dos furos
de ar com luz guiada por reflexão interna total. (b) Fotografia microscópica de uma
PCF triangular de núcleo oco fabricada [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 (a) Ilustração de uma PCF de núcleo oco com uma distribuição triangular dos furos de
ar com luz guiada através do efeito Band Gap Photonic. (b) Fotografia microscópica
de uma PCF triangular de núcleo sólido fabricada [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Pulso de luz branca representado esquematicamente pela junção das cores (a) antes
de entrar na fibra óptica e (b) na saída da fibra óptica. . . . . . . . . . . . . .. . . . 12
2.8 Imagem microscópica da (a) secção transversal e (b) região do núcleo em uma PCF
com alta não-linearidade caracterizada por um pequeno núcleo de sílica rodeada por
furos de ar grandes com comprimento de zero-dispersão deslocado para o visível [30]. 13
ix
LISTA DE FIGURAS x
2.9 Corte feito ao longo do comprimento de uma fibra óptica microestruturada. A parte
mais clara representa o meio com menor índice de refração. Já a parte mais escura
representa o meio com maior índice de refração. As linhas representam a orientação
de propagação dos campos eletromagnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Fuga da luz do núcleo da fibra microestruturada provocada pelo espaçamento entre
os furos na região que circunscreve o núcleo da fibra. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11 Representação da perda por curvatura com luz (a) e com um esquemático angular (b). 17
2.12 Representação da perda por curvatura com luz (a) e com um esquemático angular (b). 18
2.13 Ilustração da fabricação das PCFs em seus três estágios [54]. . . . . . . . . . . . . . 19
2.14 Ilustração da fabricação das PCFs em seus três estágios [54]. . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Pulso representado por sua frequência óptica (em azul) e seu respectivo envelope (em
vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Pulsos na entrada da fibra sem dispersão (esquerda) e na saída com dispersão (di-
reita). As semi-retas verticais representam as componentes de frequências distintas
que contém em um pulso (grupos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Ilustração gráfica da atuação do efeito chirp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Ilustração de um acoplador de fibra convencional (a) e um acoplador de fibra de cristal
fotônico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Acoplador Direcional Não-Linear (NLDC) em uma vista frontal (a) e uma visão de
sua secção transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Secção transversal de um acoplador simétrico (esquerda) e corte ao longo do compri-
mento do mesmo acoplador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Secção transversal de um NLDC-PCF [72]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1 Modelo adotado do NLDC-PCF para obter porta lógica utilizando PAM-ASK [27]. . 48
5.2 Transmissão de energia entre os dois canais. O gráfico relaciona o comprimento do
NLDC-PCF em cm com a energia normalizada quando P0 < PC . . . . . . . . . . . 49
5.3 Transmissão de energia entre os dois canais. O gráfico relaciona o comprimento do
NLDC-PCF em cm com a energia normalizada quando P0 = PC . . . . . . . . . . . 50
5.4 Transmissão de energia entre os dois canais. O gráfico relaciona o comprimento do
NLDC-PCF em cm com a energia normalizada quando P0 = 3xPC . . . . . . . . . . 51
LISTA DE FIGURAS xi
5.5 Medição na saída do sistema. Amplitude de saída na Fibra A subtraída pela amplitude
do pulso de referência (AS1 − Ar) plotada em função da diferença de fase entre os
pulsos de entrada dos dois canais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Medição na saída do sistema. Amplitude de saída na Fibra B subtraída pela amplitude
do pulso de referência (BS1 − Br) plotada em função da diferença de fase entre os
pulsos de entrada dos dois canais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lista de Abreviaturas
PCF - do inglês Photonic Crystal Fiber
PPM - do inglês Pulse-position Modulation
PAM - do inglês Pulse-amplitude Modulation
SPM - do inglês Self-phase Modulation
XPM - do inglês Cross-phase Modulation
IRA - do inglês Intrapulse Raman Scattering
SS - do inglês Self Steepening
bit - do inglês BInary digiT
NLDC - do inglês Non Linear Directional Coupler
PBG - do inglês Photonic Band Gap
NLSE - do inglês Non Linear Schrödinger Equation
CW - do inglês Continuos Wave
GVD - do inglês Group Velocity Dispersion
LMA - do inglês Large Mode Area
MFD - do inglês Mode Field Diameter
UV - Ultra Violeta
UFC - Universidade Federal do Ceará
NLSE - do inglês Nonlinear Schrödinger Equation
ENLS - Equação Não-Linear de Schrödinger
ENLGS - Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger
GNLSE - do inglês Generalized Nonlinear Schrödinger Equation
xii
Sumário
Lista de Figuras ix
Lista de Abreviaturas xii
1 Introdução 1
2 Fibras de Cristal Fotônico 4
2.1 Propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Estruturas mais comuns em PCFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Mecanismos de guia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Características das PCFs de núcleo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Mecanismos de perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.5 Processo de Fabricação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Estudo dos efeitos lineares e não-lineares em PCF 21
3.1 Propagação de onda em fibra óptica não-linear operando em monomodo . . . . . . . 21
3.2 Equação não-linear de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Equação não-linear generalizada de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Velocidade de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2 Efeitos dispersivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.3 Atenuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Estudo dos efeitos não-lineares por meio da ENLGS . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.1 Automodulação de fase (SPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xiii
SUMÁRIO xiv
3.5.2 Self-Steepening - SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5.3 Intrapulse Raman Scattering - IRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Acopladores em fibras convencionais e fibras de cristal fotônico 40
4.1 Acopladores de fibras convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Acopladores de fibras convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2 Principais características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Acoplador Direcional Não-Linear baseado em Fibras de Cristal Fotônico (NLCD-PCF) 43
4.3 Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger de modo acoplado . . . . . . . . 45
5 Resultados 47
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Funcionamento do dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.1 Curva de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Obtenção da porta lógica OU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Referências bibliográficas 54
A Método Numérico de Runge-Kutta 61
Capítulo 1
Introdução
A grande expansão dos meios de telecomunicações, como Internet e videoconferência,
vem ocupando grande espaço da largura de banda disponível fazendo-se necessária a criação de me-
canismos cada vez mais eficientes. A fibra óptica apresenta uma largura de bandaelevada que, asso-
ciada a grande disponibilidade de matéria-prima, favorecem seu uso. Em contraponto, propriedades
como a dispersão de pulsos causam interferências intersimbólica que prejudicam a comunicação.
Além disso, os sistemas ópticos de comunicação vem oferecendo uma grande expansão
das taxas de transmissão de sinais com baixas perdas e em uma ampla faixa de frequência. Com a
evolução, ambiciona-se a construção de redes totalmente ópticas haja visto que os dispositivos ópticos
existentes já desempenham um importante papel para a tecnologia das comunicações ópticas.
Muito em breve, a tecnologia eletrônica convencional atingirá seu limite máximo de velo-
cidade causando problemas inevitáveis de comunicação. Então, o desenvolvimento de portas lógicas
ópticas são elementos-chave na próxima geração de computação óptica e em redes para executar o
processamento de sinais ópticos, como a adição binária, reorganização de cabeçalho, verificação de
paridade, reconhecimento de padrões ópticos, bit de endereçamento, demultiplexação e comutação
com alta velocidade, já que o processamento óptico de sinal pode lidar com sinais de banda larga e
com fluxos de informação de grande porte.
Recentemente, um novo elemento de guia de onda utilizando fibras de cristais fotônicos
(PCFs) - do inglês Photonic Crystal Fiber - tem recebido grande atenção devido à sua estrutura de
baixa perda. As características dos cristais fotônicos associadas à fibra óptica trouxeram um con-
finamento de campo ideal em guias de onda, bem como, curvas de dispersão sob medida e baixas
perdas, tornando portanto, as PCFs um grande atrativo. Estes aspectos têm levado a novas e melhores
maneiras de conduzir experimentos de óptica não-linear em fibras.
1
2
As PCFs, também são conhecidas como fibras microestruturadas ou ainda holey fibers,
constituem uma nova classe de fibras ópticas onde confinamento da luz é alcançado por uma matriz
regular de buracos de ar ao longo do seu comprimento. Portanto, devido as características incomuns
adquiridas pela associação do cristal fotônico e da fibra óptica, as PCFs possuem uma série de pro-
priedades únicas, impossíveis de serem conseguidas nas fibras convencionais e têm sido utilizadas
para diversas aplicações importantes, tais como o controle de dispersão, operações monomodos infi-
nitas, geração de supercontínuo e transmissão de solitons de ultra-banda larga. Há muita flexibilidade
no projeto das PCFs devido aos vários parâmetros que podem ser manipulados, resultando em uma
imensa variedade de propriedades [2] [19] [20].
Neste trabalho serão utilizados métodos matemáticos com simulações computacionais
numa tentativa de modelar a propagação de pulsos ultracurtos na ordem de fs (femto segundos) de
duração. Com base nos resultados adquiridos serão analisados os termos não-lineares significativos:
automodulação de fase - SPM (do inglês Self-phase Modulation); modulação de fase cruzada - XPM
(do inglês Cross-phase Modulation), efeito Raman - IRA (do inglês Intrapulse Raman Scattering)
e Self Steepening - SS). Através da análise da amplitude do pulso será realizado um estudo com
objetivo de obter portas lógicas.
O Capítulo 1 do referido trabalho mostra um contexto histórico breve da evolução das
comunicações ópticas e a necessidade de desenvolvimento de dispositivos completamente óptico,
bem como, o surgimento da nova classe de fibras ópticas, a Fibra de Cristal Fotônico.
Contudo, o Capítulo 2 mostra um estudo conceitual dos cristais fotônicos classificando-
os. Ao seguir, Serão apresentadas as estruturas mais comuns em PCFs de núcleo sólido e oco com
seus respectivos mecanismos de guia. Ainda neste capítulo, é trago um dos objetivos do trabalho
que é a análise das PCFs de núcleo sólido com suas principais características comom mecanismos de
perdas e processo de fabricação.
No capítulo 3, é realizado um estudo físico dos efeitos não-lineares e lineares da Fibra
de Cristal Fotônico. Partindo das Equações de Maxwell, será deduzida a equação de propagação em
fibra óptica não-linear até chegar à Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger. A partir desta
equação, serão demonstrados os principais efeitos de dispersão, não-linearidade e atenuação.
Após o contexto físico e conceitual realizado até aqui, o Capítulo 4 expõe os acopladores
tanto constituído de fibras convencionais como também, de Fibra de Cristal Fotônico. Fechando o
referido capítulo, será exposto o par de equações de modo acoplado baseado na Equação Não-Linear
Generalizada de Schrödinger para aplicações em NLDC-PCF.
Por fim, o Capítulo 5 traz os resultados expostos após a explicação do funcionamento
3
dos dispositivos empregados neste trabalho. O fechamento da monografia mostra a possibilidade de
estudos futuros que podem aproveitar este trabalho como base.
Capítulo 2
Fibras de Cristal Fotônico
A grande capacidade de transmissão de dados em taxas altíssimas sob a forma de onda
guiada operando em monomodo e com baixas perdas, fez da fibra óptica, a grande evolução das
telecomunicações do século XX. Até recentemente, uma fibra óptica era um material sólido rodeado
pelo mesmo material, porém com um índice de refração menor.
Nos últimos anos surgiram as Fibras de Cristal Fotônico - PCFs (do inglês: Photonic
Crystal Fibers) que diferentemente da fibra convencional, é formada de sílica não-dopada rodeada
com arranjos periódicos de baixo índice de refração. Tais fibras, foram descobertas em 1995 e se
caracterizam em três categorias: guiamento de luz por índice de refração; por Bandgap e a híbrida.
As próximas seções mostrarão que as fibras guiadas por índice de refração são semelhan-
tes às convencionais e guiam a luz por reflexão interna total modificada, ou seja, possuem um núcleo
sólido envolvido por uma estrutura regular de buracos de ar que caracterizam um baixo índice de
refração. O guiamento por bandgap acontece quando o índice de refração do núcleo é menor que o
índice de refração do material que o envolve. Já a PCF híbrida é caracterizada pela mistura das duas
formas de guiamento da luz citadas anteriormente.
Um grande atrativo destas novas fibras é que a mudança geométria da distribuição dos
buracos de ar traz novas características, pois para cada aranjo ocorrerá a mudança no índice efetivo
de refração. Como consequência, as PCFs possuem grande flexibilidade em seu projeto.
2.1 Propriedades e aplicações
A propagação de ondas em meios perturbados periodicamente sofrem múltiplos espalha-
mentos quando seu comprimento de onda é da ordem do período dessas perturbações. A luz (onda
4
2.1 Propriedades e aplicações 5
eletromagnética) sofre espalhamento múltiplo pois o índice de refração em uma Fibra de Cristal Fotô-
nico varia de forma comparável ao comprimento de onda.
Na eletrônica, os elétrons (onda eletrônica) que se propagam num cristal sofrem espalha-
mentos múltiplos da rede de átomos, que estão distribuídos periodicamente no espaço. Esta distri-
buição de átomos, por sua vez, é de uma ordem comparável aos elétrons. Tais espalhamentos podem
atuar de forma construtiva e em sentido contrário à propagação formando, então, ondas estacionárias
impedindo que haja propagação em alguns níveis de energia. Os fótons terão um comportamento
análogo aos elétrons. Por isso chamamos de fotônica [30].
Fig. 2.1: Ilustração esquemática de cristais fotônicos unidimensional (1D), bidimensional (2D), e tri-
dimensional (3D). A parte inferior esquerda da figura detalha a obtenção de cavidade óptica, e a parte
inferior direita mostra um guia de onda dentro de um cristal fotônico.
Os cristais fotônicos podem ser diferenciados através da periodicidade de suas funções
dielétricas (periodicidade em uma, duas, ou três dimensões), conforme mostra a Fig. 2.1 [1].
Os cristais fotônicos3D são também denominados de “isoladores fotônicos” em analogia
às estruturas eletrônicas. Da mesma forma que acontece nos cristais fotônicos 1D e 3D, devido a
inserção de defeito nesses cristais fotônicos 3D, os fótons com energia dentro da PBG (Photonic
Band Gap) podem penetrar no dispositivo, porém nesse caso podem se propagar em qualquer direção
[27].
Por outro lado, o grande confinamento dos modos guiados (dentro da faixa permitida),
proporciona o uso de cristais fotônicos em chips ópticos (integração óptica). Foi demonstrado que
apesar de um intervalo de faixa fotônica (Photonic Band Gap - PBG) somente é possível em cristais
fotônicos 3D, um cristal fotônico 2D combinado com um guia de onda de índice de refração em de-
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 6
grau na sua direção vertical, oferece controle suficiente da luz, de forma que esse cristal fotônico pode
ser utilizado em aplicações de óptica integrada. Ao contrário do acontece com os dispositivos ópticos
integrados convencionais, onde as medidas estão em milímetros, essa nova geração de dispositivos
fotônicos possuem medidas em nanômetros.
Devido a enorme variedade de arranjos dos buracos de ar, as PCFs oferecem uma larga
possibilidade para controlar o contraste do índice refrativo entre núcleo e a casca do cristal fotônico
e, como consequência, obtêm novos e únicos resultados e propriedades óticas que as fibras convenci-
onais não oferecem. Assim, essas novas fibras estão encontrando um número crescente de aplicações
em áreas cada vez maiores da ciência e da tecnologia.
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico
Fibras de cristais fotônicos, conhecidas também como fibras microestruturadas ou ho-
ley, tem gerado grande interesse da comunidade científica principalmente pelas possibilidades que a
mesma traz em relação às fibras ópticas convencionais. A Fig. 2.2 mostra uma imagem microscópica
da primeira PCF fabricada.
Fig. 2.2: Imagem microscópica da primeira fibra micro-estruturada fabricada com núcleo sólido [28].
A microestrutura regular morfológica dos cristais fotônicos, quando incorporada em um
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 7
material, altera radicalmente as propriedades ópticas [29]. Elas representam uma extensão dos resul-
tados obtidos por semicondutores na óptica. Contudo, o primeiro relato de fibra de cristal fotônico foi
feito por Russel em 1995 como mostra a Fig. 2.2 (a). A primeira PCF tinha perdas intrínsecas muito
pequenas devido à ausência de dopagem do núcleo, como também, um núcleo de sílica com área
aproximadamente de um décimo da área de uma fibra monomodo convencional, permitindo assim,
um aumento correspondente em níveis de potência óptica [28]. A Fig. 2.2 (b) mostra a imagem real
adquirida por um microscópio da primeira fibra de cristal fotônico fabricada.
Resolvendo a Equação de onda de Schröedinger para um potencial periódico, obtêm-se os
estados de energia do elétron separados por bandas proibidas. PBGs (Photonic Bandgap) podem ser
obtidas em cristais fotônicos, em que variações periódicas em constantes dielétricas, logo no índice
de refração, substituem 18 variações no potencial elétrico, bem como a equação de onda clássica para
o campo magnético substitui Equação de Schröedinger [13].
2.2.1 Estruturas mais comuns em PCFs
A PCF consiste de uma estrutura de cristal fotônico com alto contraste de índice de re-
fração. Sua periodicidade é desfeita com a inserção de um “defeito” onde o modo óptico será guiado
e atuará como o núcleo da fibra. Este defeito pode ser caracterizado como a retirada de um furo
formando, assim, um núcleo sólido com índice de refração maior do que o índice da região que o
envolve, a casca (cladding). Com esta situação, o guia de onda ocorrerá através da reflexão interna
total. Em contraponto, se o defeito no arranjo periódico for a inclusão de um furo (caso contrário
ao anterior) ou região de baixo índice de refração, o guiamento óptico só será possível se o cristal
fotônico apresentar um bandgap para o comprimento de onda considerado, assim, o guia será por
PBG.
A Fig. 2.3 mostra os dois arranjos mais comuns encontrados em PCFs. A região em
branco representa o material com alto índice de refração (sílica) e a região em preto representa o
material de baixo índice de refração (furos de ar). Já a região central mostra o núcleo da fibra óptica
que pode ser oco (como mostra a Fig. 2.3 (a)) ou sólido (Fig. 2.3 (c)).
O arranjo periódico da distribuição dos furos na secção transversal da fibra de cristal
fotônico é determinado por dois parâmetros, são eles (Veja a Fig. 2.4 (a)):
• Λ: representa o espaçamento entre os furos, ou seja, o enchimento do material de alto índice
de refração (normalmente feito de sílica) ao redor dos furos que compõe o cristal fotônico da
casca (cladding);
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 8
Fig. 2.3: Representação dos dois tipos mais comuns de PCFs: (a) arranjo triangular ou hexagonal e
(c) arranjo honeycomb. (b) e (d) mostram fotos das respectivas fibras fabricadas.
• d: é o diâmetro dos furos e é composto pelo material de baixo índice de refração (normalmente
preenchidos com ar).
A Fig. 2.4 (a) mostra os parâmetros Λ e d na secção transversal de uma fibra microestru-
turada triangular. Quando há um arranjo regular de furos o parâmetro Λ é mantido inalterado. Porém,
algumas aplicações especiais podem acontecer em que a secção transversal da fibra não contém furos
circulares (por exemplo, elípticos) e o parâmetro Λ não é constante ao longo das secções transversais
da fibra óptica.
As relações d/Λ e λ/Λ são de fundamentais importâncias para determinar diversas carac-
terísticas na fibra de cristal fotônico. Caso sejam preservadas as proporções entre o comprimento de
onda e as características geométricas da PCF se tornam possível estudar o comportamento dos dis-
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 9
positivos baseados em cristal fotônico independentemente do comprimento de onda (λ). Isto ocorre
devido a escalabilidade das equações de Maxwell.
A Fig. 2.4 (b) mostra uma distribuição periódica triangular da secção transversal de
um cristal fotônico unidimensional com a inserção de um “defeito” ao centro que servirá com guia
de onda em uma PCF de núcleo sólido. Já a Fig. 2.4 (c) mostra um esquemático de um arranjo
quadrangular de um cristal fotônico mostrando também, os parâmetros d e Λ.
Fig. 2.4: Esquemático que mostra os dois parâmetros que definem as propriedades na secção trans-
versal da fibra de cristal fotônico (Λ e d): (a) secção transversal de um cristal fotônico com arranjo
triangular; (b) fibra microestruturada com núcleo sólido; (c) secção transversal de um cristal fotônico
com arranjo quadrangular.
2.2.2 Mecanismos de guia
Para que haja um modo guiado em uma fibra óptica, é preciso introduzir luz no núcleo
da fibra de forma que essa luz não se propague pela casca. Sendo β a componente de propagação
constante ao longo do comprimento da fibra, o maior valor que pode existir em um meio infinito
homogêneo com índice de refração n é β = nκ0. Onde, κ0 é constante de propagação no espaço.
Portanto, todos os valores menores de β são permitidos. Num comprimento de onda particular, este β
corresponde ao modo fundamental de uma placa infinita do material, e este valor β define o índice de
refração efetivo do material [30]. Os modos de uma fibra podem ser propagados por reflexão interna
total modificada e por Photonic Bang Gap - ou simplesmente PBG.
Reflexão interna total modificada
Para utilizar um cristal fotônico bidimensional como um revestimento de fibra é necessá-
rio que o material para o núcleo possua um índice de refração maior que o índice de refração efetivo
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 10
da casca. Um exemplo é a PCF com um núcleo sólido constituídode sílica rodeado por um revesti-
mento de cristal fotônico com uma distribuição triangular de furos de ar como mostra a Fig. 2.5 [30].
Este tipo de PCF guia a luz através de uma forma de reflexão interna total, porém modificada. As
fibras convencionais possuem um índice de refração efetivo constante. Já em fibras de cristal fotônico
o índice de refração efetivo varia na ordem do comprimento de onda. Isso explica a modificação no
sistema de guiamento da luz da fibra convencional para a PCF.
Fig. 2.5: (a) Ilustração de uma PCF de núcleo sólido com uma distribuição triangular dos furos de
ar com luz guiada por reflexão interna total. (b) Fotografia microscópica de uma PCF triangular de
núcleo oco fabricada [30].
Photonic Bandgap - PBG
Na propagação por banda proibida, o design da fibra óptica é completamente diferente da
fibra tradicional. A grande diferença além da estrutura visual é que o revestimento de cristal fotônico
tem lacunas nos intervalos do índice modal suportado (β/κ0), onde não há modos de propagação. A
Fig. 2.6 (a) mostra uma imagem ilustrativa de um corte transversal da PCF.
A primeira PCF que explorou o efeito PBG para guiar luz foi publicada em 1998. Um
esquemático da fibra é mostrada na Fig. 2.6 (b). Note que o núcleo é formado buracos adicionais
em uma rede de furos, mas, a luz ainda era guiada na sílica [30]. Um ano depois a tecnologia de
fabricação desse tipo de fibra teve melhoras ao ponto de tornar possível atingir a guia da onda por
maiores frações de enchimentos de ar necessária para atingir uma PBG. Ao produzir um núcleo
relativamente grande, as chances de encontrar um modo guiado foi melhorado já que a luz branca é
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 11
lançada no núcleo da fibra e os diversos modos são transmitidos indicando que a guia de luz só existe
em intervalos de comprimento de onda restrito, as quais coincidem com as bandgaps fotônicos [31].
Fig. 2.6: (a) Ilustração de uma PCF de núcleo oco com uma distribuição triangular dos furos de
ar com luz guiada através do efeito Band Gap Photonic. (b) Fotografia microscópica de uma PCF
triangular de núcleo sólido fabricada [30].
2.2.3 Características das PCFs de núcleo sólido
O índice de guia das PCFs com uma região de vidro sólida rodeada por uma estrutura de
furos, oferece uma série de novas oportunidades não aplicadas em fibras ópticas convencionais. Essas
oportunidades estão relacionadas com algumas propriedades especiais da casca de cristal fotônico que
prover grande contraste do índice de refração e natureza bidimensional da microestrutura, afetando,
assim, a birrefringência e a dispersão.
Adaptação da dispersão
Os diferentes comprimentos de onda de luz representam as diferentes frequências que ao
viajarem em diferentes velocidades se tornam um fator crucial nos projetos de sistemas de telecomu-
nicações. Uma sequência de pulsos de luz transportam uma informação digitalizada. Cada um desses
pulsos sofre uma dispersão no comprimento de onda chamada dispersão cromática. Tal dispersão
amplia a medida em que a luz viaja gerando, assim, um sinal ruidoso por interferência intersimbólica.
A intensidade da dispersão na fibra convencional varia com o comprimento de onda sendo igual a
zero quando λ é igual a 1.3µm [30].
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 12
A Fig. 2.7 (a) e (b) representam um pulso luminoso na entrada e na saída da fibra óptica,
respectivamente. Note que na Fig. 2.7 (a) a largura temporal é menor que na Fig. 2.7 (b). Como foi
explicado anteriormente, isso ocorre porque as frequência diferentes se propagam com velocidades
diferentes. Assim, o alargamento desse pulso demonstrado na Fig. 2.7 (b), que representa um símbolo
digital, quando for adicionado pelo alargamento temporal de um outro pulso que representa outro sinal
digital criará um interferência dos dois símbolos, chamada de interferência intersimbólica.
Fig. 2.7: Pulso de luz branca representado esquematicamente pela junção das cores (a) antes de entrar
na fibra óptica e (b) na saída da fibra óptica.
Nas PCFs, a dispersão pode ser controlada e adaptada com uma liberdade impressionante.
A grande diferença do índice de refração entre a sílica e o ar, bem como, a flexibilidade de alterar o
diâmetro dos furos de ar e seus arranjos formam uma grande faixa de comportamentos de dispersão
que podem ser obtidas com PCFs.
Por exemplo, quando os buracos de ar ficam maiores, o núcleo PCF torna-se cada vez mais
isolado, até que se assemelha a um fio de vidro de sílica em suspensão por seis teias finas também de
vidro, como é mostrado na Fig. 2.8. Se a estrutura inteira é feita muito pequena, o comprimento de
onda de zero-dispersão pode ser deslocado para a visibilidade, uma vez que a velocidade de dispersão
de grupo é radicalmente afetada pela dispersão de guia de onda.
No contrário, curvas leves de dispersão podem ser obtidas em certas faixas de comprimen-
tos de onda com pequenos buracos de ar, ou seja, com pequena relação de enchimento de ar. Como
por exemplo, uma dispersão plana em uma PCF triangular com sete anéis de buracos, caracterizada
por Λ ∼= 2.5µm e d ∼= 0.5µm , foi apresentado em [34].
Altíssima não-linearidade
Uma propriedade atrativa das PCFs de núcleo sólido é que o índice efetivo contrasta de
forma muito mais elevada do que nas fibras convencionais e pode ser obtido fazendo buracos de
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 13
Fig. 2.8: Imagem microscópica da (a) secção transversal e (b) região do núcleo em uma PCF com alta
não-linearidade caracterizada por um pequeno núcleo de sílica rodeada por furos de ar grandes com
comprimento de zero-dispersão deslocado para o visível [30].
ar maiores ou reduzindo a dimensão do núcleo. Assim, a luz é forçada dentro do núcleo de sílica.
Desta maneira um forte confinamento do modo guiado pode ser encontrado levando a um aumento
dos efeitos não-lineares devido ao alto campo de intensidade no núcleo. Contudo, experimentos não
lineares requerem propriedades de dispersão específicas das fibras. Como uma consequência, uma
das aplicações mais importantes é poder utilizá-las para realizar dispositivos de fibras não-lineares
com uma dispersão apropriada.
Um importante exemplo é o chamado gerador supercontínuo, que é a formação de espec-
tros contínuos amplo pela propagação de pulsos potentes por um meio não-linear. O termo super-
contínuo não indica um fenômeno específico, mas muitos efeitos não-lineares, que, em combinação,
leva a ampliação dos espectro ao extremo. A determinação dos fatores para geradores supercontínuos
é a dispersão da não-linearidade média relativa ao bombeamento do comprimento de onda, o tama-
nho do pulso e a potência de pico. Sendo que os efeitos não-lineares envolvidos na ampliação de
espectro são altamente dependente da dispersão média, então, um projeto proposto das propriedades
de dispersão podem reduzir significativamente a potência requerida. Os maiores espectros podem ser
obtidos quando os impulsos são lançados perto do comprimento de onda de zero-dispersão dos meios
de comunicação não-lineares. No capítulo 03 será realizado um estudo mais aprofundado sobre os
diversos efeitos causados pela propagação de onda em um meio não-linear.
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 14
Propriedade monomodo
Como já foi dito, o primeiro sólido núcleo PCF, mostrado na Fig. 2.2, consiste em uma
estrutura triangular de furos com um diâmetro de aproximadamente 300nm e um espaçamento Λ =
2.3µm de buraco para buraco. A luz, ou modo guiado, sempre tinha um lóbulo central único e forte
preenchendo todo o núcleo [31].
Fig. 2.9: Corte feito ao longo do comprimento de uma fibra óptica microestruturada. A parte mais
clara representa o meio com menor índice de refração. Já a parte mais escura representa o meio com
maior índice de refração.As linhas representam a orientação de propagação dos campos eletromag-
nético.
Russell explicou que este comportamento particular da propagação monomodo pode ser
entendido visualizando a estrutura de furos de ar como um filtro modal ou “peneira” [31]. Os furos
atuam como barreiras porque eles dificultam a passagem da luz que se espalha no ar (parte mais clara
da Fig. 2.9). Logo, comparamos os furos à “malha de arame” da peneira. O campo do modo fun-
damental que se encaixa no núcleo de sílica em um único pulso entre os furos, é o “grão de arroz”
(linhas de campo da Fig. 2.9), que não pode escapar através da malha de arame e nem pelos espaços
de sílica entre os furos pertencentes ao primeiro anel em torno do núcleo. Caso os espaçamentos do
primeiros anel de furos sejam maiores, os pulsos para modos de alta ordem são menores, assim, a luz
pode deslizar entre as aberturas. Quanto maior for d/Λ (relação do enchimento de ar do revestimento
da casca de cristal fotônico) mais modos serão guiados [31]. De acordo com um estudo mais deta-
lhado das propriedades de PCFs triangulares feito por [32] e [33] a secção transversal que propaga
apenas o modo fundamental deve ter a relação d/Λ < 0, 4.
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 15
2.2.4 Mecanismos de perdas
A perda é um fator importante para qualquer tecnologia de fibra ótica. Porém, nos últimos
30 anos tem sido reduzidas. Para valores levemente menores que 0.2dB/km com o comprimento de
onda em torno de 1550nm. Esse dado é importante para definir o espaço de cada amplificador (em
torno de 50km) em sistemas de comunicação. Contudo, esse trabalho considera um sistema sem
perda sendo que a propagação será dado na ordem de centímetro fazendo com que as perdas sejam
desprezíveis.
Fatores internos ou externos podem provocar perdas de modo geral em fibras de cristal
fotônico. A seguir serão relatadas alguns tipos de perdas tanto em PCF de núcleo sólido como em
PCF de núcleo oco provocadas por imperfeições (fatores intrínsecos) e fatores externos.
Perdas intrínsecas em PCF de núcleo sólido
As percas ópticas podem causadas por imperfeição e por absorção.
As percas por imperfeição são causadas principalmente por rugosidade na superfície.
Essa rugosidade pode causar pequenos espalhamentos e contaminação. Se esta superfície rugosa for
da ordem do comprimento de onda considerado, então aumenta-se consideravelmente as perdas por
espalhamento. No mais, a variação no diâmetro da fibra durante o processo de fabricação também
pode causar perdas por imperfeição.
É importante fabricar PCFs de grande comprimento com pequenas percas, ainda mais se
ela forem ser usadas para meios de transmissão em sistemas de comunicação. Em [30] é mostrado a
queda da perda por índice de guiamento da PCF fabricada. No início de seu desenvolvimento as fibras
microestruturadas com núcleo sólido tinham perdas na ordem de 0.24dB/m [35]. Em 2003, essas
perdas foram rapidamente diminuídas para 1dB/km devido ao processo de fabricação [36, 37, 38].
Logo mais diminuíram para 0.28dB/km. Recentemente, em 2005, essas perdas chegam em torno de
0.3dB/km e ao longo de 100 km como foi publicado em [39]. As perdas de uma PCF ainda estão
bastante maiores que as percas de uma fibra convencional. Entretanto, não espera-se que o nível de
atenuação das fibras convencionais sejam superadas.
Perdas por confinamento
Tanto a PCFs de núcleo sólido como de núcleo oco é necessário levar em conta essas
percas também conhecidas como vazamento. Isso acontece devido a um número reduzido de furos
que há na secção transversal da fibra. Ou seja, quanto menor for a quantidade de furos, maior será
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 16
o espaçamento entre eles, assim, a luz poderá fugir do núcleo e se espelhar por toda a casca. Como
consequência todos os modos guiados acabam vazando como ilustra a Fig. 2.10.
Fig. 2.10: Fuga da luz do núcleo da fibra microestruturada provocada pelo espaçamento entre os furos
na região que circunscreve o núcleo da fibra.
A PCF de núcleo sólido confina a luz na região do núcleo através dos furos. Mas, sendo
o confinamento dos furos inadequado, a luz fugirá do núcleo. Isso mostra o quanto é importante levar
em consideração tanto os espaços entre os furos, como também, seu diâmetro no momento de projetar
a PCF a fim de amenizar essas perdas. Em particular, a relação entre os furos e sua distância deve ser
projetada de modo que haja um maior confinamento de luz no núcleo.
No início dos anos 2000 foram realizados estudos rigorosos com finalidade de encontrar
perfis para projetar PCFs, tanto com modos guiados por índice de refração como as guiadas por
PBG, com o mínimo possível de perda por confinamento [40, 41, 42, 43, 44, 45]. Esses estudos
demonstraram a dependência das perdas por confinamento com o número de furos nos anéis que
formam a casca. Porém, como mostra [44] esse tipo de perda pode ser amenizado significativamente
com o aumento do número de anéis de furos.
Perdas por curvatura
As fibras convencionais sofrem grandes perdas quando são dobradas em um certo raio
crítico 2.11 (b). Assim, toda a orientação é efetivamente perdida em determinados valores de “lon-
gos comprimentos de onda com perdas pela borda”. Em PCF é observado um comportamento seme-
lhante.chamado “curtos comprimentos de onda com perdas pela borda”. Para comprimentos de ondas
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 17
curto o modo de luz guiado é confinado no núcleo da sílica. Quando λ � Λ o campo pode escapar
através do espaço que há entre furos. Como consequência, a fibra torna-se mais sensível à curvatura
[46].
Fig. 2.11: Representação da perda por curvatura com luz (a) e com um esquemático angular (b).
Considere a PCF triangular mostrada na Fig. 2.5 em que a relação entre o ar e a sílica
obtém um grande valor para d/Λ. Como consequência, esse resultado fornecerá uma maior resis-
tência para as perdas por curvatura. Para aplicações em telecomunicações as fibras convencionais
minimizam suas perdas quando operam em 1550nm de comprimento de onda [48, 49, 50, 51, 52].
Já as PCFs é otimizada quando propagam comprimentos de onda variando de 400 a 1000nm [47]. A
Fig. 2.11 (b) mostra uma ilustração desse tipo de perda em PCF.
2.2.5 Processo de Fabricação
Um aspecto importante para projetar e desenvolver essas novas fibras é o processo de
fabricação. A fabricação das fibras sílicas tem sido muito estuda por conta do custo relativamente
baixo e por ser um bom material para se trabalhar já que suas propriedades não muda muito com
a temperatura. As primeiras fibras microestruturadas eram desenvolvidas inserindo furos em um
material composto por sílica sólida. Contudo, ao passar dos anos foram desenvolvidas outras técnicas
aperfeiçoando a sua criação que dentre elas se destacam:
• Técnica de empilhamento;
• Processos de fabricação por extrusão forçada.
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 18
Técnica de empilhamento
A Fig. 2.12 ilustra um esquema para fabricação de uma fibra microestruturada. A parte
esquerda há o empilhamento de alguns tubos de sílica a fim de obter a pré-forma que contém a es-
trutura de interesse na escala microscópica. Então, a pré-forma é realizada empilhando manualmente
tubos capilares para formar a estrutura sílica de ar desejada. Esta maneira de realizar a pré-forma per-
mite um nível elevado de flexibilidade de desenho, uma vez que tanto o tamanho, a forma do núcleo,
bem como o perfil do índice de toda a região de revestimento pode ser controlada. Após o processo de
empilhamento, os capilares e as varetas são mantidos juntos por fios finos e fundidos em conjunto du-
rante um processo de desenho intermediário, onde a pré-forma é desenhada nos canos de pré-molde.
Este passo intermediário é importante a fim de proporcionarnumerosos canos pré-formados para o
desenvolvimento e optimização do desenho posterior das PCFs e suas dimensões finais [53].
Fig. 2.12: Representação da perda por curvatura com luz (a) e com um esquemático angular (b).
Pelo conseguinte, a pré-forma é desenhada descendo em uma torre aquecida a 1900 ºC
diferentemente do que acontece na fabricação da fibra convencional (2100 ºC), até adquirir o seu
comprimento ideal e uma secção transversal com diâmetro que pode variar de 20mm até 80−200µm,
como mostrado na Fig. 2.12 [53]. A Fig. 2.13 mostra a criação da pré-forma com o empilhamento
manual dos capilares de acordo com o projeto. Após isso, a pré-forma levada à torre para a confecção
da fibra.
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 19
Fig. 2.13: Ilustração da fabricação das PCFs em seus três estágios [54].
Processos de fabricação por extrusão forçada
O processo de extrusão é normalmente aplicado para outro vidros que não estão pron-
tamente disponíveis na forma de tubo como a sílica. Esses materiais podem fornecer uma série
de propriedades interessantes, como variação de comprimento de onda estendido para transmissão
e grandes valores para os coeficientes não-lineares, além de necessitarem de temperaturas menores
para obtenção das pré-formas facilitando, então, o processo de fabricação [53].
Os três procedimentos utilizados para fabricação de uma PCF altamente não-linear é mos-
trado na Fig. 2.14 (a), quando um esquemático da secção transversal de uma PCF forçada é mostrada
na Fig. 2.14 (b). Neste processo de fabricação um vidro fundido é forçado a passar por uma matriz
contendo um padrão conhecido de furos. Assim, a fibra fabricada por extrusão permite ser desenhada
diretamente de um vidro grosso, ou volumoso, usando uma torre adequada para desenhar a fibra
óptica quase que completamente [55].
2.2 Fibras ópticas de cristal fotônico 20
Fig. 2.14: Ilustração da fabricação das PCFs em seus três estágios [54].
Capítulo 3
Estudo dos efeitos lineares e não-lineares em
PCF
Neste capítulo serão estudados os pontos relevantes da propagação de pulsos nas fibras
ópticas operando em monomodo com regime não-linear. A Equação Não-linear Generalizada de
Schrödinger (ou do inglês GNLSE - Generalized Nonlinear Schrödinger Equation) soluciona a pro-
pagação de pulsos com largura temporal na ordem de 100 fs, valor este utilizado neste trabalho. A
dedução detalhada da GNLSE não será explorada neste trabalho já que foge do escopo. Mas, podem
ser encontradas em [4, 5, 6, 7, 56]. No que se segue, serão apresentados os efeitos que acontecem
em fibras ópticas convencionais e, por conseguinte, serão mostrados os efeitos não-lineares de alta
ordem que caracterizam as fibras ópticas de cristal fotônico (PCF). O presente estudo considerará
a perda desprezível por conta da pequena distância de propagação analisando, então, os efeitos de
dispersão de segunda e terceira ordens (β2 e β3), bem como os efeitos não-lineares Self-steepening
(SS), automodulação de fase (SPM) e lntrapulse Raman Scattering (IRS).
3.1 Propagação de onda em fibra óptica não-linear operando em
monomodo
A propagação de pulsos em uma fibra óptica é tida como um fenômeno eletromagnético
e é governada pelas Equações de Maxwell [8] escritas abaixo no domínio do tempo.
5× E = −∂B
∂t
, (3.1)
21
3.1 Propagação de onda em fibra óptica não-linear operando em monomodo 22
5×H = −J + ∂D
∂t
, (3.2)
5 · D = ρ, (3.3)
5 · B = 0, (3.4)
onde E e H representam o vetor de campo elétrico e magnético. A densidade de fluxo elétrico e a
densidade de fluxo magnético são representados por D e B quando a densidade de corrente elétrica e
a densidade cargas no meio são J e ρ respectivamente.
As densidades de fluxo D e B aparecem em resposta aos campos E e H, que se propagam
pelo meio, e estão relacionadas entre si através das seguintes relações constitutivas:
D = ε0E + P, (3.5)
B = µ0H + M, (3.6)
sendo P e M as polarizações, respectivas, elétrica e magnética induzidas; ε0 é a permissividade do
vácuo e µ0 é a permeabilidade do vácuo.
Em fibras ópticas a polarização magnética não existe devido ao não-magnetismo natural
do material que a constitui (a sílica). Assim, quando M = 0 implica que (3.6) pode ser reescrito como
B = µ0H. (3.7)
Utilizando as equações (3.5) e (3.7) podemos reescrever as Equações de Maxwell em
função dos campos elétricos e magnéticos e da polarização elétrica.
5× E = −µ0∂H
∂t
, (3.8)
5×H = ε0∂E
∂t
+
∂P
∂t
, (3.9)
ε05 ·E = 5 · P, (3.10)
3.1 Propagação de onda em fibra óptica não-linear operando em monomodo 23
5 ·H = 0. (3.11)
A polarização elétrica (P) normalmente exige procedimentos da mecânica quântica [4].
Contudo, P será analisada para um comprimento de onda entre 0, 5µm e 2µm. Esta é a região de
interesse para aplicações das fibras ópticas em telecomunicações e, portanto, está longe das condições
de ressonância do meio. A relação entre P e E normalmente é não-linear. A todo modo, efeitos não-
lineares podem ser interessantes como mostrarão as seções posteriores [3].
Para entender melhor o efeito da polarização vamos analisá-lo primeiramente de forma
linear e, em seguida, analisaremos de forma não-linear como ocorre em fibras de cristal fotônico. A
polarização é uma função do raio da fibra e do tempo instantâneo
P(r, t) = ε0
∫ ∞
−∞
χ(r, t− t′)E(r, t′)dt′ (3.12)
onde χ é a susceptibilidade linear. Note que a polaridade é dada pela convolução da susceptibilidade
com o campo elétrico. A susceptibilidade linear χ é um tensor de segunda ordem e indica o quão
facilmente um material é capaz de polarizar quando sujeito a um determinado campo externo. Então,
pode-se concluir que a polaridade da fibra óptica é dada pela interação do campo elétrico inserido com
um campo de polarização causado pela nova disposição dielétrica da sílica. Dessa forma, as fibras
tornam-se ligeiramente birrefrigente devido as suas variações não-intencionais por todo o núcleo.
As equações (3.8) e (3.12) fornecem um formalismo para o estudo da propagação de
ondas em fibras ópticas [3].
5×5× E = − 1
c2
∂2E
∂t2
− µ0∂
2P
∂t2
(3.13)
em que c é a velocidade da luz no vácuo que é dada pela relação c2 = 1
ε0µ0
.
Analisando de forma não-linear pode-se usar a seguinte relação [8]:
P = ε0(χ(1) · E + χ(2): EE + χ(3)...EEE + · · ·) (3.14)
Nesta equação, χ(i)(i = 1, 2, 3, ...) é a susceptibilidade elétrica de i-ésima ordem. Para
levar em conta os efeitos de polarização da luz, χ(i) é um tensor de tipo (i+ 1).
A susceptibilidade linear χ(1) representa a contribuição dominante para P. Seus efeitos
são incluídos através do índice de refração linear n(ω) e do coeficiente de atenuação linear α(ω)
dados, respectivamente, por [3]:
3.1 Propagação de onda em fibra óptica não-linear operando em monomodo 24
n(ω) = 1 +
1
2
Re[χ˜(1)(ω)]; (3.15)
α(ω) =
ω
nc
Im[χ˜(1)(ω)] (3.16)
e relacionados com a constante dielétrica linear do meio, dependente da frequência, através de [3]:
ε(ω) =
(
n+
iαc
2ω
)
(3.17)
A susceptibilidade de segunda ordem χ(2) é nula para meios que possuem simetria de
inversão em escala molecular. Como SiO2 é uma molécula simétrica, a contribuição de pode ser,
normalmente, desprezada no caso das fibras de sílica [9].
Portanto, será considerado apenas os efeitos lineares de terceira ordem. Então, podemos
reescrever (3.14) da seguinte maneira:
P(r, t) = PL(r, t) + PNL(r, t) (3.18)
onde PL(r, t) a parte linear do campo de polarização mostrado em (3.12) e PNL a parte não-linear,
obtida a partir de [4]:
PNL(r, t) = ε0
∞y
−∞
χ(3)(t− t1, t− t2, t− t3)...E(r, t1)E(r, t2)E(r, t3)dt1dt2dt3 (3.19)
Substituindo (3.18) em (3.13) temos:
5×5× E = − 1
c2
∂2E
∂t2
− µ0∂
2PL
∂t2
− µ0∂
2PNL
∂t2
(3.20)
As equações (3.13), (3.14),(3.12), (3.19) fornecem um formalismo geral para tratar dos
efeitos não-lineares de ordens mais baixas em fibras ópticas. Por meio delas pode-se obter uma
equação que descreva o comportamento dos pulsos que se propagam, nas bandas de interesse em te-
lecomunicações, pela fibra. Para fazer isso, substitui-se (3.18) em (3.13) e utiliza-se a bem conhecida
identidade de operadores diferenciais vetoriais:
5×5× E = 5(5·E)−52E = −52 E, (3.21)
3.2 Equação não-linear de Schrödinger 25
onde foi usada a equação (3.3) para um meio sem cargas livres (ρ = 0) e a relação D = εE para
definir5·E = 0.
Manipulando as equações (3.20) e (3.21) obtem-se a equação para propagação de ondas
em meios não-lineares.
52E− 1
c2
∂2E
∂t2
= −µ0∂
2PL
∂t2
− µ0∂
2PNL
∂t2
(3.22)
3.2 Equação não-linear de Schrödinger
A equação (3.22) descreve de forma adequada a propagação de pulsos em uma fibra óptica
não-linear. Perceba que a única adequação feita até aqui foi que o campo de polarização descrito em
(3.14) considera apenas os efeitos não-lineares de terceira ordem. Entretanto, para resolver esta equa-
ção é necessário fazer algumas simplificações [4]. Tal procedimento levará a dedução da Equação
Não-Linear de Schrödinger - ENLS (ou do inglês Nonlinear Schrödinger Equation - NLSE) e facili-
tará, por sua vez, a visualização da ação dos efeitos causados em campo ópticos que se propagam por
uma fibra, como efeito Kerr.
A primeira simplificação a ser feita é considerar PNL como uma pequena perturbação com
relação ao campo de polarização total, uma vez que os efeitos não-lineares são considerados fracos
em fibras de sílicas. Outra simplificação a ser considerada é a de manter o campo de polarização ao
longo do comprimento da fibra em uma aproximação escalar. Por fim, é admitido um campo óptico
quase-monocromático, isto é, a largura espectral do pulso, ∆f , é muito pequena quando relacionada
à frequência centrada do mesmo, f0. Como f0 é da ordem de 100 THz, nas regiões de interesse das
fibras em telecomunicações, essa aproximação restringe as equações que estarão sendo desenvolvidas
a descrever pulsos com duração mínima de 0, 1ps (10 THz) [4]. Em resumo, dizemos que a NLSE
descreve com precisão a propagação de pulsos ópticos com largura temporal mínima de 0, 1ps para
tais considerações.
Esta aproximação é chamada de aproximação de envelope lentamente variável ou
aproximação paraxial e permite que os vetores de campo elétrico e de campo de polarização in-
duzido sejam escritos como um produto de uma função lentamente variável no tempo e um termo que
descreve as oscilações da portadora.
Então, admitindo-se que a polarização do campo óptico seja mantida ao longo da fibra
(na direção xˆ ), podemos escrever o campo elétrico e as contribuições linear e não-linear do campo de
polarização como [4]:
3.3 Equação não-linear generalizada de Schrödinger 26
E(r, t) =
1
2
x̂[E(r, t)exp(−iω0t) + c.c], (3.23)
PL(r, t) =
1
2
x̂[PL(r, t)exp(−iω0t) + c.c], (3.24)
PNL(r, t) =
1
2
x̂[PNL(r, t)exp(−iω0t) + c.c]. (3.25)
nas quais c.c. representa o complexo conjugado do termo anterior.
Após analisar a susceptibilidade de terceira ordem (χ(3)) de forma instantânea será con-
clusivo que o índice de refração do material será uma função da frequência do campo inserido. Mai-
ores detalhes sobre essa dedução pode ser encontrada em [3]. Por fim, incluindo a participação dos
efeitos de atenuação e não-lineares, obtém-se a Equação Não-Linear de Schrödinger que descreve a
propagação de pulsos ópticos com largura temporal na ordem de picossegundo por uma fibra mono-
modo:
∂A
∂z
+ β1
∂A
∂t
+
i
2
β2
∂2A
∂t2
+
α
2
A = iγ|A|2A, (3.26)
em que β1 e β2 são os coeficientes de dispersão de primeira e segunda ordens, respectivamente; z é o
comprimento da fibra; α é o coeficiente de atenuação; A é o pulso óptico; |A|2 representa a intensidade
do pulso e o γ é o coeficiente de não-linearidade definido por:
γ =
n2ω0
cAeff
=
2pin2
λ0Aeff
(3.27)
e a área efetiva do corte transversão da fibra, Aeff , foi aproximada por Aeff = piw2 em que w pode
ser obtido a partir dos parâmetros da fibra ao ser projetada [4].
3.3 Equação não-linear generalizada de Schrödinger
A equação (3.26) é conhecida como Equação Não-Linear de Schrödinger devido a sua
semelhança matemática com a equação de Schrödinger utilizada na Mecânica Quântica que segue
abaixo
∂
∂t
ψ(z, t) =
(
− h
2
2m
∂2
∂z2
+ V (z, t, ψ)
)
.
3.3 Equação não-linear generalizada de Schrödinger 27
Adotando-se um referencial de propagação com velocidade 1
β1
e considerando um meio
sem perdas (α = 0) em (3.26), verificamos, então, a semelhança entre as duas equações apenas com
a mudança das variáveis do tempo e do espaço (z↔ t). Assim, os termos de dispersão, bem como, os
termos que representam os efeitos não-lineares da ENLS coincidem com os termos de energia cinética(
− h2
2m
∂2
∂z2
)
e de energia potencial (V (z, t)), respectivamente, da Equação da Mecânica Quântica.
Para que a ENLS seja útil em nossos estudos, é necessário fazer algumas considerações:
• Comprimentos de onda quase-monocromáticos: quando o espectro do pulso tende a ser
apenas uma componente de frequência. Em outras palavras, é quando a largura do pulso em
frequência é muito estreita ou a largura temporal é maior que 0,1 ps. Assim dizemos que o
campo tende a ser formado por um único comprimento de onda (∆f � f0,∆t > 0.1ps);
• Largura temporal mínima de 1 ps;
• Amplitude lentamente variável no tempo;
• Polarização do campo óptica mantida: Isso ocorre quando o campo de propagação polarizado
é igual ao campo de polarização (E(r, t) = ŷE(r, t));
• Envelope lentamente variável: Para melhor explicar essa situação utilizaremos como base a
Fig. 3.1. A parte em azul representa o campo em frequência óptica (altíssima frequência) e
o gráfico em vermelho denota o envelope do pulso óptico. Este é descrito por E(r, t). Note
que E(r, t) varia lentamente com relação a frequência óptica (azul). Assim, dizemos que o
envelope é lentamente variável com relação ao campo óptico;
Fig. 3.1: Pulso representado por sua frequência óptica (em azul) e seu respectivo envelope (em ver-
melho).
3.3 Equação não-linear generalizada de Schrödinger 28
• Resposta não-linear instantânea: a não-linearidade é uma resposta ao campo eletromagnético
introduzido no meio (neste caso em uma PCF). Para que a ENLS seja utilizada essa resposta
não-linear deve ser em um instante de tempo instantâneo (∆t);
• Efeito de dispersão de segunda ordem (β2) considerável: Para uma dada frequência de pro-
pagação ω o efeito de dispersão de segunda ordem deve ser suficientemente grande. Ou seja,
devemos ter ω tal que |β2(ω)| 6= 0.
Assim, satisfazendo essas condições a ENLS descrevem com boa precisão a propagação
de pulsos ópticos por uma Fibra de Cristal Fotônico (PCF) [27]. Por outro lado, caso esses limites
não sejam respeitados precisaremos descrever a propagação de pulsos por meio de outra equação mais
generalizada que a ENLS.
Agora, será apresentada a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger (ENLGS)
que descreve de forma adequada a propagação de pulsos com largura temporal de 50fs. Continu-
aremos considerando que os pulsos se propagam em uma região em que β2 6= 0. No entanto, será
acrescido da dispersão de terceira ordem (β3) que surge da expansão de β(ω):
∂A
∂z
+ β1
∂A
∂t
+
i
2
β2
∂2A
∂t2
− 1
6
β3
∂3A
∂t3
+
α
2
A = iγ|A|2A (3.28)
onde β2 e β3 são os coeficientes de dispersão de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Admitindo que a resposta não-linear do meio é instantânea e manipulando a equação que
determina o campo de polarização (3.19), conseguimos obter uma equação mais geral que a ENLS
que descrevea evolução de um pulsoA(z, t). Diferentemente da Equação Não-Linear de Schrödinger,
esta nova equação considera que o campo de polarização não-linear (PNL) varia com o tempo. Após
algumas manipulações é obtida (maiores detalhes da dedução podem ser encontrados em [27]), então,
a Equação Não-Linear Generalizada de Schrödinger, ou simplesmente ENLGS (do inglês Nonlinear
Schrödinger Equation) [56, 4]:
∂A
∂z
+ β1
∂A
∂t
+
i
2
β2
∂2A
∂t2
− 1
6
β3
∂3A
∂t3
+
α
2
A = iγ
[
|A|2A+ i
ω0
∂
∂t
(|A|2A)− TRA ∂
∂t
|A|2
]
, (3.29)
onde β1, β2 e β3 são coeficientes de dispersão de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva-
mente; A é uma função que representa o envelope do pulso óptico; α é o coeficiente de perdas; γ é o
coeficiente de não-linearidade; ω0 é a frequência óptica no centro do pulso e TR é função de resposta
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 29
Raman à não-linearidade dado por [27]:
TR =
∫ ∞
0
t′R(t′)dt′.
em que R(t′) é a resposta não-linear ao campo eletromagnético.
Como citado anteriormente, a ENLGS mostrada acima descreve com precisão a propa-
gação de pulsos com largura temporal mínima de 50fs, mas, perde a precisão para larguras menores
que 10fs devido a aproximação do envelope lentamente variável com a frequência óptica. Outra
vantagem da ENLGS com relação a ENLS é que a primeira permite analisar os fenômenos de selfste-
epening e Intrapulse Raman Scattering. É importante ressaltar que tais fenômenos serão estudados
de forma mais detalhada nas próximas seções.
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS
Como já foi visto até então, as Equações de Maxwell (3.1-3.4) são a base para o estudo
da propagação de campos eletromagnéticos. Através de suas manipulações e considerando a resposta
do meio em que esses campos atuam foi possível chegar à ENLS (3.26) que descreve com precisão
considerável pulsos ultracurtos na ordem de 100 femtossegundos. No entanto, a limitação e a quan-
tidade de parâmetros a serem considerados por (3.26) fizeram com que os estudos se aprofundassem
em busca de termos mais gerais para descrever a evolução de campos com comprimentos de onda
ainda menores chegando, então, à ENLGS mostrada em (3.29).
Esta seção realizará um estudo em cada um dos termos de (3.29) apresentando os efeitos
lineares e não-lineares que são relevantes na propagação de pulsos com largura temporal na ordem de
50 femtossegundos através de fibras monomodo e não-birrefringentes.
Os estudos consideram a propagação em um único canal óptico, ou seja, é considerado
apenas uma única frequência óptica. Contudo, no próximo capitulo a discussão será estendida para
dois canais de forma que estes trocaram energia entre si.
3.4.1 Velocidade de grupo
Em (3.29) é notório que os cinco primeiros termos é escrito de forma linear (representam
os efeitos lineares). No que se segue, o termo associado ao coeficiente β1 representa a velocidade de
propagação de um grupo (ou seja, um pulso) pelo canal. Assim, β1 é entendido como a velocidade de
grupo.
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 30
Fig. 3.2: Pulsos na entrada da fibra sem dispersão (esquerda) e na saída com dispersão (direita). As
semi-retas verticais representam as componentes de frequências distintas que contém em um pulso
(grupos).
Considere um canal de comprimento L. De acordo com a equação linear que descreve a
velocidade dos movimentos podemos calcular o tempo que um pulso leva para chegar à extremidade
do canal:
vg =
L
T
⇐⇒ T = L
vg
, (3.30)
onde vg é a velocidade de grupo. De acordo com v = λf é possível notar que cada componente
de frequência, f , viaja com uma velocidade diferente, chamada velocidade de grupo, que causará
um atraso de grupo. A Fig. 3.2 mostra que após alguns metros de propagação o pulso sofreu um
alargamento temporal. Ora, seguindo essa linha de raciocínio, então a unidade física que representa
a dispersão é medida em s/m, ou seja, quantos segundos o pulso se espalhou após evoluir em uma
determinada unidade de comprimento. Perceba, ainda, que essa grandeza é o inverso da velocidade.
Porém, como o referencial temporal utilizado varia ao longo da propagação assim como a velocidade
de grupo. Então, podemos desprezar as variações e negligenciar o termo proporcional a β1
Dessa forma podemos reescrever (3.29) da seguinte maneira:
∂A
∂z
+
i
2
β2
∂2A
∂t2
− 1
6
β3
∂3A
∂t3
+
α
2
A = iγ
[
|A|2A+ i
ω0
∂
∂t
(|A|2A)− TRA ∂
∂t
|A|2
]
(3.31)
A diferença entre (3.29) e (3.31) é que na segunda adota-se um referencial que se move
com a mesma velocidade da velocidade de grupo. Assim, a velocidade de grupo pode ser desprezada.
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 31
3.4.2 Efeitos dispersivos
Esta seção mostrará a análise dos termos proporcionais a β2 e β3 que representam os
efeitos de dispersão de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Dispersão de segunda ordem
A dispersão de segunda ordem é também conhecida como Dispersão de Velocidade de
Grupo (GVD - Group Velocity Dispersion). Ela mede a taxa de variação da velocidade de grupo em
cada componente espectral durante a propagação por uma fibra e seu termo em (3.31) está atrelado ao
coeficiente β2. Em outras palavras e com base no conceito de velocidade de grupo da seção anterior,
analisemos a Fig. 3.2 (b) e adotemos um ponto diferencial representado por um segmento vertical.
Cada ponto diferencial possui uma frequência diferente que, por sua vez, possui uma velocidade de
grupo diferente com relação à componente diferencial que está ao seu lado. Logo, podemos expressar
matematicamente a GVD como sendo a variação da velocidade de grupo:
∂
∂t
[
∂
∂t
(β1A)
]
= β2
∂2A
∂t2
,
onde β2 é o parâmetro responsável pela dispersão de velocidade de grupo (GVD).
Uma outra forma de “ver” a GVD é analisá-la como um atraso do grupo relacionado com
o comprimento de onda por unidade de comprimento [3],
D =
1
L
∂Tg
∂λ
=
d
dλ
(
1
vg
)
= −2pic
λ2
β2 =
2pi
λ2
(
2
dn
dω
+
d2n
dω2
)
= −λ
c
d2n
dλ2
(3.32)
onde Tg é o tempo do grupo; β2 é o parâmetro responsável pelo alargamento dos pulsos e n é o índice
efetivo da fibra.
Zerando os termos de (3.31) com exceção do termo proporcional a β2, podemos analisar
melhor o efeito dispersivo. Assim, temos:
∂A
∂z
= − i
2
β2
∂2A
∂T 2
, (3.33)
que possui solução no domínio da frequência, e do tempo, respectivamente:
A(z, ω) = A˜(0, ω)exp
(
i
2
β2ω
2z
)
(3.34)
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 32
A(z, T ) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
A˜(0, ω)exp
(
i
2
β2ω
2z − iωT
)
dω, (3.35)
em que A˜(0, ω) é a forma do envelope do pulso de entrada no domínio da frequência e está relacionada
da seguinte maneira com sua forma no domínio do tempo:
A(0, T ) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
A˜(0, ω)exp (−iωT ) dω, (3.36)
Uma característica essencial de pulsos que evoluem exclusivamente sob regime de dis-
persão é manter seu espectro ao longo do comprimento da fibra [27], como mostra a equação (3.34),
|A˜(z, ω)|2 = |A˜(0, ω)|2.
A buscar exemplificação, considere a potência de pico do pulso, P0, com perfil gaussiano:
A(0, T ) =
√
P0exp
(
− T
2
2T 20
)
(3.37)
Substituindo (3.37) em (3.35) é possível notar que após propagar-se por uma distância z,
o pulso terá a seguinte forma [27]:
A(z, T ) =
√
P0
T0√
T 20 − iβ2z
exp
(
− T
2
2(T 20 − iβ2z)
)
(3.38)
Comparando as funções de entrada e saída dadas por (3.37) e (3.38), respectivamente, é
possível perceber que o pulso sofrerá alargamento temporal e um decaimento na amplitude quando
estiver exclusivamente sob regime de dispersão de segunda ordem.Continuando a demostração dos efeitos, analisaremos a dispersão de terceira ordem adi-
cionando o termo proporcional a β3 em (3.33):
∂A
∂z
= − i
2
β2
∂2A
∂T 2
+
1
6
β3
∂3A
∂T 3
. (3.39)
As soluções desta equação são análogas às (3.34), (3.35) e (3.36) tanto no domínio do
tempo como no domínio da frequência:
A(z, ω) = A˜(0, ω)exp
(
i
2
β2ω
2z − i
6
β3ω
3z
)
(3.40)
A(z, T ) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
A˜(0, ω)exp
(
i
2
β2ω
2z − i
6
β3ω
3z − iωT
)
dω, (3.41)
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 33
A(0, T ) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
A˜(0, ω)exp (−iωT ) dω, (3.42)
Semelhante ao encontrado anteriormente, percebemos que o espectro do pulso não muda
por conta da ação exclusiva dos efeitos de dispersão.
Para o efeito dispersivo de terceira ordem aparecer, a magnitude de β3ω3 dever com-
parável à magnitude de β2ω2. Os parâmetros utilizados em fibras de cristais fotônicos são: β2 =
−47ps2km−1 e β3 = 0, 1ps3km−1 para comprimentos de onda entre 1540nm e 1560nm [72]. É
relevante ressaltar que quando o comprimento de onda está próximo ao comprimento de onda de dis-
persão zero ou quando a largura temporal dos pulsos forem inferiores a 100fs, a dispersão de terceira
ordem será ainda mais importante.
As figuras de mérito permitem fazer uma análise da relevância das dispersões de segunda
e terceira ordens:
LD2 =
T 20
|β2| , (3.43)
LD3 =
T 30
|β3| , (3.44)
onde T0 é a meia-largura do pulso no ponto em que sua intensidade decai a 1/e do valor máximo,
enquanto LD2 e LD3 são chamados de comprimentos de dispersão de segunda e de terceira ordem,
respectivamente.
A partir de uma simples análise, podemos verificar que quanto maior for a razão LD2
LD3
,
menor será a ação do efeito dispersivo de terceira ordem.
Contudo, os efeitos de dispersão linear, independente da ordem, é resultado da dependên-
cia do índice de refração da fibra e da frequência oscilatória do campo eletromagnético que se propaga
através da fibra. O material dielétrico que constitui a fibra oferece um campo externo resultante da
disposição dos elétrons após a interação com o campo oscilatório.
3.4.3 Atenuação
O termo −α
2
A de (3.29) é responsável pelo cálculo da atenuação na fibra. Afim de verifi-
car a sua ação, anularemos todos os demais termos de (3.29) e ficaremos com:
3.4 Estudo dos efeitos lineares por meio da ENLGS 34
∂A(z, t)
∂z
= −α
2
A(z, t) (3.45)
Resolvendo esta equação diferencial de primeira ordem temos:
A(z, t) = A(0, t)exp
(
−αz
2
)
(3.46)
em termos de potência, temos:
P (z, t) = P (0, t)exp (−αz) (3.47)
note que a potência do pulso em (3.47), onde P (z, t) = |A(z, t)|, decai exponencialmente na medida
em que o comprimento da propagação pela fibra (z) aumenta.
Os sistemas de telecomunicações buscam trabalhar em regiões espectrais onde o coefi-
ciente de atenuação é constante. Porém, as perdas normalmente é uma função do comprimento de
onda, α = α(λ) [3].
Muito embora não sendo as perdas o objetivo deste trabalho, os próximos tópicos trazem
um apanhado dos principais fatores de atenuação.
Espalhamento Rayleigh
O Espalhamento Rayleigh é a mudança aleatória da densidade do material que compõe a
fibra comparável ao comprimento de onda. Essa variação resulta em inevitáveis flutuações na compo-
sição do material, bem como, não-homogeneidade estrutural causadas de forma incontrolável durante
no processo de fabricação. Assim, o Espalhamento de Rayleigh proporciona um limite mínimo fun-
damental para a atenuação em vidros. Seu efeito é proporcional a λ−4.
Espalhamento de Mie
O processo de fabricação da fibra é o principal responsável por este tipo de perdas. O
Espalhamento de Mie ocorre pela existência de não-homogeneidades nas dimensões cilíndricas da
fibra comparáveis ao comprimento de onda.
A figura de mérito associada às perdas é denominado, comprimento de perdas e corres-
ponde ao comprimento no qual a potência de entrada injetada na fibra decai em 1/e:
LP =
1
α
. (3.48)
3.5 Estudo dos efeitos não-lineares por meio da ENLGS 35
Uma segunda maneira de representar uma figura de mérito para atenuação é o compri-
mento efetivo. Este, está relacionado com o comprimento da fibra em que as interações não-lineares
são mais fortes:
Leff =
1− e( − αL)
α
(3.49)
onde L representa o comprimento total da fibra.
3.5 Estudo dos efeitos não-lineares por meio da ENLGS
Em um sistema de transmissão real baseado em fibra óptica, os efeitos de dispersão e não-
lineares atuam ao mesmo tempo e em alguns casos podem até interagir entre eles. O que podemos
dizer é que em algumas circunstâncias do sistema alguns efeitos podem incidirem mais fortemente
que outros, ou até mesmo, que um efeito não-linear se sobressai com relação a outro. Os estudos dessa
monografia consideram pulsos ultracurtos de 100femtossegundos. Dessa forma, a não-linearidade
será bastante relevante. Esta seção irá expor os seguinte efeitos não-lineares: Automodulação de
Fase (SPM - Self Phase Modulation), Modulação de Fase Cruzada (XPM - Cross Phase Modulation),
Mistura de Quatro Ondas (FWM - Four Wave Mixing), Auto-inclinação (SS - Self-Steepening e o
Intrapulse Raman Scattering). Todos esses efeitos são provenientes do Efeito Kerr Óptico que, por
sua vez, é a dependência do índice de refração com a intensidade do campo incidente.
Os efeitos não-lineares surgem como a resposta de um dielétrico a um pacote de luz
formando, então, um intenso campo magnético. A sílica, material que constitui a fibra de cristal
fotônico, não possui grandes não-linearidades. Assim, o que justifica a atuação desse tipo de efeito
em fibras de sílica é a geometria da guia de onda, ou seja, quanto menor for a sua secção transversal,
mais relevantes serão os efeitos não-lineares. A interação entre o campo eletromagnético e a matéria
criam vibrações na rede de átomos que a constitui. Tais vibrações geram uma nova onda que podem
deslocar o espectro do campo inserido em todas as direções, tanto no sentido de propagação como em
sentido contrário.
3.5.1 Automodulação de fase (SPM)
Seguindo o mesmo raciocínio que usamos para analisar os efeitos lineares, desprezare-
mos todos os termos de (3.31) que estão relacionados com a dispersão e as variações temporais da
intensidade do pulso, ∂
∂t
|A|2 e ∂
∂t
(|A|2A). Assim, resta apenas a seguinte equação para análise dos
3.5 Estudo dos efeitos não-lineares por meio da ENLGS 36
efeitos não-lineares de ordem mais baixa:
∂A
∂z
= iγ|A|2A. (3.50)
Solucionando-a, obteremos [27]:
A(z, t) = A(0, t)eiφNL(z,t) (3.51)
em que φNL(z, t) representa a fase não-linear definida como:
φNL(z, t) = |A(0, t)|2 z
LNL
(3.52)
e LNL é a figura de mérito que representa o comprimento não-linear:
LNL =
1
γP0
(3.53)
Esta figura de mérito, LNL, define o quão serão relevantes os efeitos não-lineares.
Observando (3.51) é possível verificar que a forma do pulso permanece a mesma, |A(z, t)|2 =
|A(0, t)|2. Porém, em (3.52) é notório que a fase varia de acordo com a intensidade do pulso óptico e
é crescente durante a propagação implicando, assim, em um alargamento espectral.
A fase varável no domínio do tempo implica que a frequência óptica instantânea, f0,
sofrerá um deslocamento, ao longo da propagação [4]. Essa diferença é chamada de δω e dada por:
δω(t) = −∂φNL
∂t
=
∂
∂t
(
|A(0, t)|2 z
LNL
)
. (3.54)
Utilizando um pulso gaussiano,
A(0, t) =
√
P0exp
(
− t
2
2t20
)
,
podemos reescrever (3.53) assim,
δω(t) = 2P0
(
t
t20
)
exp
[
−
(
t
t20
)]
z
LNL
(3.55)
Podemos ver em (3.55) que a diferença de fase, δω, aumenta na medida em que z aumenta
caracterizando, então, o alargamento espectral.
O termo Automodulação