ESTI010-17_NA_02-04

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Material auxiliar a ser usado exclusivamente na disciplina 
 
Comunicações Ópticas 
 
da 
 
Universidade Federal do ABC. 
 
 
 
 
 
 
Este material é um apanhado dos tópicos essenciais para a referida disciplina, extraídos da 
obra de 
 
 
Govind P. Agrawal 
 
 
Fiber-Optic Communications Systems, Third Edition, 
John Wiley & Sons, Inc, 2002. 
 
 
 
 
Por 
 
Luiz Henrique Bonani 
 
 
 
 
1 
 
Fibras Ópticas 
 
O fenômeno da reflexão interna total, responsável pela orientação da luz na fibra óptica 
é conhecido desde 1854. Embora as fibras de vidro tenham sido feitas em 1920, seu uso 
tornou-se prático apenas em 1950 para geração de imagens médicas em distâncias curtas. 
Para telecomunicações só foi utilizada em 1970, quando as perdas nas fibras foram 
reduzidas para menos de 20 dB/km. Mais progressos resultaram em uma perda de apenas 
0,2 dB/km na região de 1,55 µm. A disponibilidade de baixa perda das fibras ópticas levou 
a uma revolução no campo da tecnologia lightwave e começou a era da fibra óptica nas 
comunicações. 
Uma fibra óptica consiste em um núcleo cilíndrico de vidro de sílica circundada por um 
revestimento (casca). 
O índice de refração da casca é menor que o do núcleo. Por causa de uma mudança 
abrupta do índice na interface núcleo-revestimento, tais fibras são chamadas fibras de 
índice degrau (step-index). Em um tipo diferente de fibra, conhecida como fibra de índice 
gradual (graded-index), o índice de refração diminui gradualmente no interior do núcleo. 
 
 
Descrição pela Óptica Geométrica 
Um entendimento das propriedades das fibras ópticas pode ser adquirido usando uma 
imagem de raios baseada em óptica geométrica. A descrição pela óptica geométrica, 
embora aproximada, é válida quando o raio do núcleo a é muito maior que o comprimento 
de onda λ da luz. Quando os dois se tornam comparáveis, é necessário usar a teoria 
ondulatória de propagação. 
2 
 
 
Considerando a figura, se um raio com ângulo θi com o eixo da fibra incide no centro do 
núcleo, por causa da refração na interface ar-fibra, o raio se desvia em direção à normal. O 
ângulo θr do raio refratado é dado por: 
 
em que n1 e n0 são os índices de refração do núcleo da fibra e do ar, respectivamente. 
 
Fibras de Índice Degrau 
A refração só é possível para um ângulo de incidência ϕ de tal forma que senϕ < n2/n1. 
Para ângulos maiores que o ângulo crítico ϕc o raio sofre reflexão interna total na interface 
núcleo-casca, sendo n2 o índice de refração da casca: 
 
Como as reflexões ocorrem em todo o comprimento da fibra, os raios com ϕ > ϕc ficam 
confinados no núcleo da fibra. Essas equações descrevem o ângulo máximo que o raio 
incidente deve fazer com o eixo de fibra para permanecer confinado dentro do núcleo. 
Sabendo que θr = π/2 – ϕc, pode-se escrever: 
 
Em analogia com as lentes, n0 senθi é conhecida como a abertura numérica (NA) da 
fibra. A NA representa a capacidade de coleta de luz de uma fibra óptica. Para n1 ≈ n2 a NA 
pode ser aproximada por: 
 , 
Com 1 2 1( ) /n n n   , em que Δ é a variação do índice de refração na interface núcleo-
casca. 
 
Dispersão Modal 
Claramente, Δ deve ser tão grande quanto possível, a fim de que haja acoplamento 
ri nn  sensen 10 
12/sen nnc 
2
2
2
1c10 cossenn nnni  
 2NA 1n
3 
 
máximo de luz na fibra. Entretanto, fibras com Δ grande não são úteis para o propósito de 
comunicações ópticas por causa de um fenômeno conhecido como dispersão multicaminho 
ou dispersão modal. A dispersão modal refere-se à propagação dos diferentes raios (ângulos 
de incidência) viajando ao longo de caminhos de diferentes comprimentos. Como resultado, 
esses raios se dispersam no tempo na saída da fibra, mesmo que sejam coincidentes na 
entrada e viajem com a mesma velocidade no interior da fibra. 
Pode-se estimar o atraso entre pulos considerando o caminho mais curto e o mais longo. 
O caminho mais curto ocorre por θi = 0 e é igual ao comprimento da fibra L. O caminho 
mais longo tem um comprimento L/sen ϕc. Tomando a velocidade de propagação v = c/n1, 
o atraso temporal é dado por: 
 
 
Pode-se relacionar ΔT à capacidade de transporte de informações na fibra medido por 
meio da taxa de bits B. 
Embora uma relação precisa entre B e ΔT dependa de muitos detalhes, tais como a forma 
de pulso, é claro intuitivamente que deve ser inferior ao slot alocado para o bit (TB = 1/B). 
Uma estimativa de ordem de grandeza da taxa de bit é obtida por meio da condição 
BΔT < 1. Assim, obtem-se: 
 
Esta condição fornece uma estimativa aproximada de uma limitação fundamental das 
fibras índice degrau. O efeito de dispersão modal pode ser reduzido usando-se fibras de 
índice gradual. 
 
Fibras de Índice Gradual 
O índice de refração do núcleo em fibras de índice gradual diminui gradualmente a partir 
do valor máximo n1, no centro do núcleo, para o valor mínimo n2, na interface núcleo-
casca. A maioria das fibras de índice gradual são projetadas para ter um decréscimo quase 
quadrático e são analisados usando um perfil α, dado por: 
 
 
em que, a é o raio do núcleo e o parâmetro α determina o perfil do índice. 
 
 
 
 









2
2
11
sen n
n
c
L
L
L
c
n
T
c


c
n
n
BL
2
1
2






ann
aan
n




,)1(
],)/(1[
)(
21
1
4 
 
 
A figura mostra esquematicamente os caminhos para três diferentes raios. Como no caso 
das fibras de índice degrau, o caminho é mais longo para mais raios inclinados. 
 
No entanto, há mudanças de velocidade ao longo do caminho por causa de variações no 
índice de refração. Raios inclinados têm grande parte de seu caminho em um meio de 
menor índice de refração, viajando com mais rapidez. 
Assim, os raios podem chegar juntos na saída de fibra, se uma escolha adequada do 
perfil de índice de refração for feita. Mais especificamente, a propagação de raios ao longo 
do eixo da fibra torna o caminho mais curto, mas viaja mais lentamente devido a encontrar 
um índice maior por este caminho. 
 
Solução para a Dispersão Modal 
A trajetória de um raio se propagando em uma fibra de índice gradual é obtida 
resolvendo: 
 
em que ρ é a distância radial do raio a partir do eixo. Para ρ < a com α = 2, a equação se 
reduz à equação do oscilador harmônico e tem a solução geral: 
 
Aqui ρ0 e ρ0’ são a posição e a direção do raio de entrada. A solução mostra que todos os 
raios recuperam suas posições iniciais e direções em z = 2mπ/p, em que m é um inteiro. A 
dispersão modal em fibras de índice gradual foi estudada usando técnicas de propagação de 
ondas.Isso porque que as conclusões obtidas da óptica geométrica devem ser flexibilizadas 
para fibras práticas. A quantidade ΔT/L varia consideravelmente com α e a dispersão 
mínima ocorre para α = 2 (1 – Δ) e depende de Δ: 
 
O produto BL é obtido usando o critério de ΔT < 1/B e pode ser calculado por: 
 


d
dn
ndz
d 1
2
2

2'
00 /2com),(sen)/()cos( appzppz  
cnLL 8// 21
2
1/8  ncBL
5 
 
 
 
Propagação de Ondas 
A propagação da luz em fibras ópticas pode ser descrita com as equações de Maxwell 
para ondas eletromagnéticas. Para um meio não condutor sem cargas livres, estas equações 
assumem a forma: 
 
 
 
em que E e H são os vetores campo elétrico e magnético, respectivamente, e D e B são os 
densidades de fluxo correspondentes. 
As densidades de fluxo estão relacionadas aos vetores de intensidade de campo pela 
relações: 
 
em que ε0 é a permissividade do vácuo, µ0 é a permeabilidade do vácuo, e P e M são as 
polarizações induzidas elétrica e magnética, respectivamente. Em fibras ópticas, M = 0 
(natureza não magnética da sílica). Na prática, é conveniente usar um único campo variável 
E. Para obter a equação de onda: 
 
Dada a velocidade da luz c = (ε0µ0)
-1/2 e as Transformadas de Fourier dos campos daforma: 
 , 
pode-se escrever a equação de onda no domínio da frequência: 
.0
.0
,/
,/




B
D
DH
BE
t
t
MHB
PED


0
0 ,


2
2
02
2
2
1
ttc 





PE
E 



 dttjt )exp(),(),(
~
 rErE
ErE
~
)/)(,(
~ 22 c
6 
 
A constante dielétrica pode ser definida como: 
 
em que é a transformada de Fourier da susceptibilidade linear χ. 
Em geral, ε(r, µ) é um número complexo e suas partes reais e imaginária estão 
relacionadas com n e α como: 
 
Por outro lado, tanto n como α são dependentes da frequência e podem ser escritos em 
função de : 
 
 
Considerando ε real, este pode ser simplificado por n2 e como n é independente da 
coordenada espacial r, pode-se usar a identidade: 
 
Isso leva à equação de onda: 
 , 
em que k0 = ω/c = 2π/λ é o número de onda no espaço livre. 
Essa dependência da frequência é chamada de dispersão cromática no caso de n. O 
comprimento de onda no vácuo é λ quando a frequência é ω. A equação de onda deve ser 
resolvida para obter os modos de propagação da fibra de índice degrau. 
 
Modos de Propagação 
O conceito de modo é um conceito geral em óptica ocorrendo também, por exemplo, na 
teoria de lasers. Um modo óptico refere-se a uma solução específica da equação de onda 
que satisfaz as condições de contorno adequadas. Sua distribuição espacial não muda com a 
propagação. 
Os modos na fibra podem ser classificados como guiados, modos evanescentes e modos 
de radiação. A transmissão do sinal em sistemas de fibra óptica de comunicação acontece 
apenas por meio dos modos guiados. 
A equação de onda escrita em coordenadas cilíndricas é: 
 
 
em que n = n1 para ρ ≤ a e n = n2 para ρ > a. 
),(~1),(  rr 
~
2)2/(  cjn
)}(ˆIm{)/(
)})(ˆRe{1(


nc
n


~
EEEE
~~
)
~
(
~ 22 
0
~
)(
~ 2
0
22  EE kn 
0
11 2
0
2
2
2
2
2
22
2












z
zzzz Ekn
z
EEEE

7 
 
A equação anterior é escrita para a componente Ez do vetor campo elétrico. Outras 
equações podem ser escritas paras as componentes de E e H. É costume de escolher as 
componentes Ez e Hz como independentes e obter Eρ, Eϕ, Hρ e Hϕ e em termos delas. 
Para tirar proveito da simetria cilíndrica da fibra óptica, escreve-se em coordenadas 
cilíndricas. Por simplicidade de notação, não será mais usado o til sobre os vetores e a 
dependência de frequência de todas as variáveis deve ser implicitamente entendida. Não é 
necessário para resolver todas os seis equações, uma vez que apenas dois componentes de 
cada seis são independentes. 
 
Solução da Equação de Onda 
Usando método de separação de variáveis, pode-se resolver para Ez, escrevendo: 
 
As soluções são: 
 
 
 
 
em que: . 
Aqui, A, A’, C, e C’ são constantes e Jm, Ym, Km, e Im são tipos diferentes de funções de 
Bessel. 
Simplificações possíveis levam às soluções gerais da forma: 
 
 
Ao se exigir a continuidade de Ez, Hz, Eϕ e Hϕ em ρ = a, tem-se quatro equações 
homogêneas satisfeitas por A, B, C e D. 
Estas equações têm uma solução não trivial somente se o determinante da matriz dos 
coeficientes desaparece. Os outros quatro componentes Eρ, Eϕ, Hρ, Hϕ e pode ser expressos 
em termos de Ez e Hz usando as equações de Maxwell. 
Depois de manipulações algébricas, chega-se à seguinte equação: 
 
 
Para um determinado conjunto de parâmetros k0, a, n1, e n2, a equação anterior pode ser 
resolvida numericamente para determinar a constante de propagação β. 
( ) ( ) ( ) ( )zE ρ, φ, z F ρ φ Z z 
'
'
( ) ( ),
( )
( ) ( ),
( ) exp( )
( ) exp( )
m m
m m
AJ p AY p a
F
CK q C I q a
jm
Z z j z
  

  
 

  
 
 
 

2
0
2
2
2222
0
2
1
2 e knqknp  












azjjmqDK
azjjmpBJ
H
azjjmqCK
azjjmpAJ
E
m
m
z
m
m
z




),exp()exp()(
),exp()exp()(
e
),exp()exp()(
),exp()exp()(

























22
1
2
2
2222
2'
2
1
2
2
'''
1111
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
qn
n
pqpa
m
qaqK
qaK
n
n
papJ
paJ
qaqK
qaK
papJ
paJ
m
m
m
m
m
m
m
m
8 
 
Pode-se ter múltiplas soluções para cada valor inteiro de m. É costume enumerar estas 
soluções em ordem numérica decrescente e denotá-los βmn para um dado m (n = 1,2,...). 
Cada valor de βmn corresponde a um modo de propagação do campo óptico, cuja 
distribuição espacial é obtida a partir das equações anteriores. Os modos das fibras são, 
portanto, híbridos e são indicados por HEmn ou EHmn, dependendo se Hz ou Ez domina. 
No caso especial m = 0, HE0n e EH0n também são denotados por TE0n e TM0n, 
respectivamente. Isso porque TE0n e TM0n correspondem aos modos de propagação 
transversal elétrico (Ez = 0) e transversal magnético (Hz = 0). 
Um modo é exclusivamente determinado pela sua constante de propagação β. Definindo 
o índice de refração efetivo , tem-se que cada modo possui um índice efetivo, na 
faixa . Um modo deixa de ser guiado quando . 
Isso porque o campo óptico dos modos guiados decai exponencialmente dentro da casca 
já que: 
 
Um parâmetro que desempenha um papel importante na determinação da condição de 
corte é definido como: 
 
Também costuma-se introduzir uma constante de propagação normalizada b como: 
 
 
 
 
Fibras Monomodo 
Fibras monomodo suportam apenas o modo HE11, também conhecido como o modo 
fundamental da fibra. A fibra é projetada de tal forma que todos os modos de ordem 
0/ kn 
21 nnn  2nn 
1para)exp(2/)(   qqqqKm
 2)/2()( 1
2
2
2
10 annnakV 
21
2
21
20/
nn
nn
nn
nk
b







9 
 
superior são cortados no comprimento de onda operacional. A condição de corte de vários 
modos é determinada por V e o modo fundamental sempre é suportado na fibra. 
A condição de modo único é obtida pelo valor de V no qual apenas os modos TE01 e 
TM01 alcançam o valor de corte. Esta condição é conseguida quando J0(V) = 0, cujo menor 
valor para este caso é 2,405. Assim, uma fibra projetada de modo que V < 2,405 suporta 
apenas o modo fundamental HE11, que é a condição de modo único. 
O índice efetivo no comprimento de onda de operação pode ser obtido usando a 
equação abaixo: 
 
Além disso pode-se usar uma aproximação analítica para b: 
 
As componentes axiais Ez e Hz são muito pequenas para Δ << 1. Assim, o modo HE11 é 
aproximadamente linearmente polarizado. 
 
Birrefringência 
A natureza degenerativa dos modos ortogonalmente polarizados funciona apenas para 
uma fibra monomodo ideal com um núcleo perfeitamente cilíndrico e diâmetro uniforme. 
Fibras reais apresentam variações consideráveis na forma de seu núcleo ao longo do 
comprimento da fibra. Elas também podem experimentar o stress não uniforme tal que sua 
simetria cilíndrica seja quebrada. 
A degeneração dos modos de fibra ortogonalmente polarizados é removida devido a 
esses fatores, e a fibra adquire birrefringência 
 
O grau de modal de birrefringência é definido por: 
 
em que e são os índices efetivos para os modos ortogonalmente polarizados. 
n
)1()( 2212  bnnnbnn
)/9960,01428,1()( 2VVb 
|| yxm nnB 
xn yn
10 
 
A birrefringência leva a uma troca de potência periódica entre as duas componentes de 
polarização. O período, conhecido como comprimento de batimento é dado por: 
 
 
Spot Size 
A distribuição dos campos ortogonais é complicada de se usar e é muitas vezes 
aproximada por uma distribuição gaussiana da forma 
 
em que w é o raio de campo e é referido como o spot size. 
É determinado pelo ajusteda distribuição exata para a função de Gauss ou seguindo um 
procedimento variacional. Há uma dependência de w/a sobre o parâmetro V. Uma 
comparação da distribuição de campo real com a Gaussiana também é mostrado para V = 
2,4. 
A qualidade do ajuste é geralmente muito bom para valores de V próximos de 2. O 
parâmetro w pode ser obtido a partir da figura. Pode-se determinar w também a partir de 
uma aproximação analítica com precisão de 1% para 1,2 < V < 2,4 e dada por: 
 
 
 
Fator de Confinamento 
A área efetiva do núcleo, definida como Aeff = πw
2, é um parâmetro importante para 
fibras ópticas, uma vez que determina a potência da luz que é confinada no núcleo. É 
observado que os efeitos não-lineares são mais fortes em fibras com menores valores de 
Aeff. A fração da energia contida no núcleo pode ser obtida por meio do fator de 
confinamento. 
 
mB BL /
)exp()/exp( 22 zjwAEx 
62/3 879,2619,165,0/   VVaw









 2
2
0
2
0
2
total
núcleo 2exp1
||
||
w
a
dE
dE
P
P
x
a
x


11 
 
Assim, é possível determinar a fração da potência do modo contido dentro do núcleo 
para um dado valor de V. Embora quase 75% da potência de modo reside no núcleo para 
V = 2, esse percentual cai para 20% para V = 1. Por esta razão a maioria as fibras 
monomodo para telecomunica-ções são projetadas para operar na faixa de 2 <V < 2,4. 
 
Dispersão em Fibras Monomodo 
A dispersão intermodal em fibras multimodo leva a um considerável alargamento de pulsos 
ópticos (~10 ns/km). Na descrição da óptica geométrica tal alargamento é atribuído a 
diferentes caminhos seguidos por diferentes raios. Na descrição modal está relacionada aos 
índices modais diferentes associados com diferentes modos. 
A principal vantagem de fibras monomodo é que a dispersão intermodal é ausente, porque a 
energia do pulso injetado é transportada por um único modo. No entanto, o alargamento do 
pulso não desaparece, pois a velocidade de grupo associada ao modo fundamental é 
dependente da frequência por causa da dispersão cromática. 
Diferentes componentes espectrais do pulso viajam em velocidades ligeiramente diferentes 
do grupo, um fenômeno conhecido como Dispersão de Velocidade de Grupo (GVD), 
Dispersão Intramodal, ou simplesmente a Dispersão da fibra. 
A Dispersão Intramodal tem dois mecanismos: a dispersão material e a dispersão do guia de 
onda. 
Considerando uma fibra monomodo de comprimento L, uma componente espectral 
específica na frequencia ω chegaria à saída da fibra após um período de tempo T = L/vg, em 
que vg é a velocidade de grupo, definida como: 
 
 
Velocidade de Grupo 
Usando , pode-se mostrar que , em que é o índice de grupo 
dado por: 
 
A dependência da frequência da velocidade de grupo leva ao alargamento de pulso 
simplesmente porque diferentes componentes espectrais do pulso se dispersam durante a 
propagação, não chegando simultaneamente à saída da fibra. Se Δω é a largura espectral do 
pulso, o alargamento do pulso em uma fibra de comprimento L é dado por: 
 
 
 
  1/   ddvg
cnkn /0   gg ncv / gn
  dndnng /
















 22
2
L
d
d
L
v
L
d
d
d
dT
T
g
12 
 
Parâmetro GVD 
O parâmetro β2 = d
2β/dω2 e é conhecido como GVD. Ele determina o quanto um pulso 
óptico se alargaria na propagação no interior da fibra. Geralmente em sistemas de 
comunicação óptica, usa-se Δλ no lugar de Δω. 
Usando ω = 2πc/λ e Δω = (–2πc/λ2)Δλ, o alargamento do pulso pode ser reescrito como: 
 
 
em que o parâmetro de dispersão D [ps/(km.nm)] é: 
 
 
 
Parâmetro de Dispersão 
A dependência de comprimento de onda com D é governado pela dependência da 
frequência do índice de um modo . Assim, D pode ser escrito como: 
 
 
Ou escrito como a soma de dois termos, D = DM + DW, em que DM é a dispersão 
material e DW é a dispersão do guia de onda, sendo dadas abaixo com n2g o índice de 
refração de grupo da casca da fibra. 
 
 
 
 
Dispersão Material 
A Dispersão Material ocorre porque o índice de refração da sílica, muda com a 
frequência óptica ω. A origem da Dispersão Material está relacionado com as frequências 
de ressonância características em que o material absorve a radiação eletromagnética. 
Longe das frequências de ressonância, o índice de refração n(ω) é bem aproximado pela 
Equação Sellmeier: 
 
em que ωj é a frequência de ressonância e Bj é a força do oscilador. 











 DL
v
L
d
d
T
g
22
21




c
vd
d
D
g


























2
2
22
2
212






d
nd
d
nd
vd
dc
D
g
n












dV
Vbd
d
dn
dV
VbVd
n
n
D
d
dn
cd
dn
D
gg
W
gg
M
)()(2
12
2
2
2
2
2
2
2
22
2





 

M
j j
jjB
n
1
22
2
2 1)(



13 
 
A figura mostra a dependência do comprimento de onda para n e ng na faixa de 0,5 a 1,6 
μm na sílica fundida. 
 
A Dispersão Material está relacionada com a inclinação de ng pela relação DM = c
-1 
(dng/dλ). Mas dng/dλ = 0 em λ = 1,276 μm. 
Este comprimento de onda é referido como o comprimento de onda de dispersão zero, 
λZD, uma vez DM = 0 em λ = λZD. Na faixa de comprimento de onda 1,25 a 1,66 μm pode 
ser aproximada por uma relação empírica: DM = 122(1 – λZD/λ). 
 
Dispersão do Guia de Onda 
A contribuição da Dispersão do Guia de Onda (DW) para o parâmetro de dispersão D 
depende do parâmetro V da fibra. Como ambas as derivadas são positivas, DW é negativo 
no intervalo de comprimentos de onda de 0 a 1,6 μm. Por outro lado, o DM é negativo para 
comprimentos de onda abaixo de λZD e torna-se positivo acima disso. 
 
14 
 
A Figura a seguir mostra DM, DW, e sua soma D = DM + DW, para uma fibra monomodo 
típica. Como DW depende de parâmetros de fibra, tais como o raio do núcleo e a diferença 
de índice Δ, é possível projetar uma fibra tal que λZD seja deslocada para a vizinhança de 
1,55 μm. Essas fibras são chamadas Fibras de Dispersão Deslocada. 
O principal efeito da dispersão de guia de onda é mudar λZD por um montante de 30 a 40 
nm de modo que a dispersão total é quase zero perto de 1,31 μm. Também reduz D de seu 
valor material de DM no comprimento de onda faixa de 1,3 a 1,6 μm que é de interesse para 
sistemas de comunicação óptica. Valores típicos de D estão na faixa de 15 a 18 ps / (km-
nm), perto de 1,55 μm. Esta região de comprimento de onda é de considerável interesse 
para sistemas ópticos de comunicação, uma vez que na fibra a perda é mínima perto 1,55 
μm. Altos valores de D limitam o desempenho de sistemas ópticos operando em 1,55 μm. 
Também é possível adaptar a contribuição do guia de onda tal que a dispersão total D 
seja relativamente pequena na faixa de comprimento de onda de largura que se estende 
desde 1,3 a 1,6 μm. Essas fibras são chamadas de Fibras de Dispersão Plana. 
 
A Dispersão de Guia de Onda pode ser usada para produzir fibras de dispersão 
decrescente, em que GVD diminui ao longo do comprimento da fibra. Em outro tipo de 
fibra, conhecido como o fibras de compensação por dispersão, o GVD é feito normal e tem 
uma magnitude relativamente grande. A seguir são mostradas as características de 
dispersão de várias fibras comerciais. 
 
15 
 
Dispersão de Alta Ordem 
Apesar de um sistema operar no comprimento de onda λZD, em que D = 0, os efeitos de 
dispersão não desaparecem completamente devido à presença de efeitos dispersivos de 
ordem superior. 
Assim, D não pode ser zero em todos os comprimentos de onda contidos dentro do 
espectro de pulso centrado em λZD. Efeitos dispersivos de ordem superior são regidas pelas 
inclinação de dispersão S = dD/dλ. O parâmetro S é também chamado de parâmetro 
diferencial de dispersão. 
 
em que β3 = dβ2/dω ≡ d
3β / dω3 é o parâmetro de dispersão de terceiraordem. Em λ = λZD, 
β2 = 0, e S é proporcional à β3. 
 
Inclinação da Dispersão 
Uma vez que S > 0 para a maioria das fibras, diferentes canais têm diferentes valores de 
GVD, tornando difícil tratar a dispersão em todos os canais ao mesmo tempo. Pode-se 
estimar a limitação da taxa de bits observando que 
para uma fonte de largura espectral Δλ, o valor efetivo do parâmetro de dispersão torna-se 
D = SΔλ. 
Assim, a limitação do produto taxa de bit distância pode ser obtida usando a equação: 
 
A tabela anterior mostra os valores típicos de inclinação da dispersão para fibras ópticas 
comerciais. 
 
Dispersão dos Modos de Polarização 
Uma fonte potencial de alargamento de pulso está relacionado à birrefringência da fibra, 
causada por pequenos desvios na perfeição da simetria cilíndrica. 
Imperfeições da simetria cilíndrica levam a diferenças dos índices de modo associados 
aos componentes ortogonalmente polarizados do modo fundamental. Se o pulso de entrada 
excita ambos os componentes, estes se dispersam ao longo da fibra por causa de sua 
velocidade de grupo diferente. Este fenômeno é chamado de PMD (Polarization Mode 
Dispersion). 
2
3
3
22 )/4()/2(  ccS 
1)(|| 2 SBL
16 
 
 
Em fibras com birrefringência constante o largamento do pulso pode ser estimado a 
partir da diferença no intervalo de tempo ΔT em que os componentes polarizados se 
propagam. Para uma fibra de comprimento L, ΔT é dado por: 
 
 
em que os índices x e y identificam os dois modos ortogonalmente polarizados e Δβ1 é 
relacionado com a diferença de suas respectivas velocidades de grupo. 
A situação é um pouco diferente para fibras convencionais em que a birrefringência 
varia ao longo da fibra de uma forma aleatória. 
O tratamento analítico da PMD é bastante complexa, em geral, por causa de sua natureza 
estatística. Um modelo simples divide a fibra em um grande número de segmentos, 
mantendo constante o grau de birrefringência e a orientação dos eixos principais em cada 
seção, mas mudando aleatoriamente de uma seção para outra. 
Essa análise mostra que dois principais estados de polarização existem para qualquer 
fibra, de tal forma que quando um pulso é polarizado ao longo deles, o estado de 
polarização na saída da fibra é independente da frequência em primeira ordem, apesar das 
mudanças aleatórias na birrefringência da fibra. 
Um pulso óptico não polarizado ao longo desses dois estados principais se divide em 
duas partes que viajam em velocidades diferentes. O atraso diferencial ΔT de grupo é maior 
para os dois principais estados de polarização. O alargamento de pulso induzido pela PMD 
é caracterizado pelo valor (RMS) de ΔT, obtido após uma média das mudanças aleatórias 
da birrefringência. A variância σT
2 ≡ <(ΔT)2> acaba por ser o mesmo em todos os casos e é 
dada por: 
 
sendo lc o comprimento de correlação, que é o comprimento em que os componentes da 
polarização são correlacionados. 
)(|| 111   LL
v
L
v
L
T yx
gygx
]1/)/[exp()(2)( 221
2  cccT lzlzlz 
17 
 
Para uma fibra de comprimento L, σT, torna-se (em que Dp é o parâmetro de PMD): 
 
 
Limitações Induzidas pela Dispersão 
Em geral, o largamento do pulso também depende da largura e da forma dos pulsos de 
entrada. A análise dos modos mostra que cada componente de frequência do sinal se 
propaga na fibra monomodo como: 
 
em que é o vetor unitário de polarização, é a amplitude inicial, e β é a constante de 
propagação. F(x, y) é a distribuição do campo do modo fundamental da fibra. 
Diferentes componentes espectrais de um pulso óptico se propagam no interior da fibra 
de acordo a relação: 
 
A amplitude no domínio do tempo é obtida tomando a Transformada inversa de Fourier, 
que é dada por: 
 
A amplitude espectral inicial é apenas a Transformada de Fourier da amplitude de 
entrada B(0, t). Para pulsos com Δω << ω0, expande-se β(ω) em série de Taylor em torno 
de ω0, retendo os termos até terceira ordem: 
 
em que ω = Δω-ω0 e βm = |(d
mβ / dωm)|ω = ω0 
Há uma variação da amplitude A(z, t) da envoltória do pulso: 
 
 
Equação de Propagação 
A amplitude A(z, t) é dada por: 
 
 
em que é a transformada de Fourier de A(0, t). 
Calculando ∂A/∂z e observando que Δω é substituído por j(∂A/∂t) no domínio do tempo, 
a equação pode ser reescrita: 
 
LDLl pcT  2)( 1
)exp(),0(
~
),(ˆ),(
~
zjByxF  xrE 
),0(
~
B
)exp(),0(
~
),(
~
zjBzB  



 

dtjzBtzB )exp(),(
~
2
1
),(
),0(
~
B
3322
10 )(
6
)(
2
)()()( 





 
c
n
)](exp[),(),( 00 tzjtzAtzB  


 




 tiz
j
z
j
zjAdtzA )()(
6
)(
2
exp),0()(
2
1
),( 33
2
21 

),0(
~
),0(
~
 BA 
2 3
32
1 2 3
0
2 6
jA A A A
z t t t


   
   
   
18 
 
Esta equação rege a evolução de um pulso dentro de uma fibra monomodo. Introduzindo 
novas coordenadas t’ = t – β1z e z’ = z, o termo β1 pode ser eliminado da equação: 
 
 
Pulsos Gaussianos Gorjeados 
Pode-se considerar a propagação de Pulsos Gaussianos Gorjeados (“Chirped”) nas 
fibras ópticas, escolhendo o campo inicial como: 
 
 
Aqui, A0 é a amplitude de pico. O parâmetro T0 representa a metade da largura no ponto 
de intensidade 1/e. Ela está relacionada com a FWHM do pulso pela relação: 
 
O parâmetro C governa o gorjeio (chirp) de frequência no pulso. Um pulso é dito 
gorjeado se sua frequência portadora muda com o tempo. 
 
Gorjeio (Chirp) 
Sendo ϕ a fase de A(0,t), a mudança de frequência está relacionada para a derivada de 
fase e é dada por: 
 
 
O deslocamento de frequência δω é chamado de gorjeio (chirp). O espectro de um pulso 
gorjeado (dado pela Transformada de Fourier) é mais amplo do que o pulso não gorjeado. 
 
 
A metade da largura espectral (no ponto de intensidade 1/e) é dada por: 
 
Na ausência de gorjeio de frequência (C = 0), a largura espectral satisfaz a relação 
Δω0T0 = 1. A largura espectral é aumentada por um fator de (1 + C
2)1/2 na presença de 
gorjeio linear. A propagação do pulso pode ser resolvida no domínio da frequência: 
 
 
2 3
32
2 3
0
' 2 ' 6 '
jA A A
z t t
  
  
  

















2
0
0
2
1
exp),0(
T
tjC
AtA
00
2/1
FWHM 665,1)2(ln2 TTT 
t
T
C
t
t
2
0
)( 




















)1(2
exp
1
2
),0(
~
2
0
2
2/1
2
0
0
jC
T
jC
T
AtA

1
0
2/12
0 )1(
 TC


djz
j
z
j
AtzA 








 33
2
2
62
exp),0(
~
2
1
),(
19 
 
Caso o comprimento de onda esteja longe do comprimento de onda de dispersão zero, a 
contribuição do termo β3 é desprezível e a integração da equação pode ser feita 
analiticamente, com Q(z) = 1 + (C – j) β2z/T0
2: 
 
 
Esta equação mostra que um pulso gaussiano permanece Gaussiano na propagação, mas 
altera a sua largura, chirp, e amplitude com o fator Q(z). Mudanças na largura de pulso em 
z são quantificados por meio do fator de alargamento: 
 
 
Neste caso, T1 é a metade da largura definida similarmente a T0. A figura mostra o fator 
de alargamento T1/T0 em função da distância de propagação z/LD, em que LD = T0
2/|β2| é o 
comprimento de dispersão. 
 
A equação anterior pode ser generalizada para incluir os termos de alta ordem regidos 
por β3. Neste caso, o pulso não permanece Gaussiano na propagação, não podendo ser 
caracterizado por sua FWHM, mas sim por sua largura RMS σ. O fator de alargamento 
σ/σ0, em que σ0 é a largura RMS de entrada de um pulso Gaussiano (σ0 = T0/√2) é dado por: 
 
 
Na prática, a fonte óptica não é totalmente monocromática, levando o fator de 
alargamento a ser revisado para: 
 
 





 

)(2
)1(
exp
)(
),(
2
0
2
0
zQT
tjC
zQ
A
tzA
2/1
2
2
0
2
2
2
0
2
0
1 1

























T
z
T
zC
T
T 2
3
0
322
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
24
)1(
22
1
































 L
C
LLC
2
3
0
3222
2
2
0
22
2
2
0
2
2
0
2
24
)1(
2
)1(
2
1


































L
VC
L
V
LC
20 
 
A discussão anterior assume que a fonte óptica usada para produzir a os pulsos de 
entrada é tão monocromática que sua largura espectral satisfaz ΔωL << Δω0, o que não é 
sempre conseguido na prática. Aqui, Vω é definido como Vω = 2σωσ0 e o espectro da fonte é 
Gaussiano com RMS da largura espectral σω. 
 
Fontes de Luz com Grande Largura Espectral 
O parâmetroVω é definido como Vω = 2σωσ0 e o espectro da fonte é Gaussiano com RMS 
da largura espectral σω.Este caso corresponde a Vω >> 1. Operando longe de λZD, o termo 
β3 pode ser suprimido. Os efeitos do gorjeio são insignificantes para fontes com um grande 
largura espectral e definindo C = 0, obtém-se: 
 
em que σλ é a largura espectral RMS da fonte (em unidades de comprimento de onda). 
A largura do pulso de saída, com o parâmetro σD ≡ | D |Lσλ sendo uma medida do 
alargamento devido à dispersão é: 
 
 
Pode-se relacionar σ com a taxa de bits usando o critério de que o pulso alargado deve 
permanecer dentro do slot do bit TB = 1/B, em que B é a taxa de bits. 
Um critério comumente usado é σ ≤ TB/4; para pulsos Gaussianos pelo menos 95% da 
energia do pulso permanece dentro do slot do bit. 
A limitação da taxa de bits é dada por 4Bσ ≤ 1. No limite, σD >> σ0, σ ≈ σD = |D| Lσλ, e 
a condição torna-se: 
 
Para um sistema operando exatamente em λZD (β2 = 0), com C = 0 e Vω >> 1, a relação 
pode ser aproximada por: 
 
 
Fontes de Luz com Pequena Largura Espectral 
Relacionando β3 à inclinação da dispersão S, quando D ≡ |S|Lσλ
2/√2 e σD >> σ0, pode-se 
limitar a taxa de bits pela condição 4Bσ ≤ 1 por meio de: 
 
 
 
22
0
2
2
2
0
2 )()(   DLL 
  2/12202 D 
41|| DBL
222
0
22
3
2
0
2 )(
2
1
)(
2
1
  SLL 
81|| 2 

SBL
21 
 
Este caso corresponde a Vω << 1 na equação que rege o alargamento do pulso. Como 
antes, considera-se β3 = 0 e definindo C = 0, a equação pode ser aproximada por: 
 
Uma comparação com o caso para grande largura espectral revela uma grande 
divergência entre os dois. O parâmetro σ pode ser minimizado pela escolha de um valor 
ótimo de σ0. O valor mínimo de σ ocorre então quando σ0 = σD = (|β2|L/2 )
1/2 e é dado por 
σ = (|β2|L )
1/2. A limitação da taxa de bits é obtida usando 4Bσ ≤ 1 e leva à condição: 
 
A principal diferença é que B cresce com L-1/2 ao invés de L-1. Para um sistema óptico 
operando perto de λZD, β2 ≈ 0 e usando Vω << 1 e C = 0, a largura de pulso é dada por: 
 
Similarmente, σ pode ser minimizado por meio da otimização da largura σ0do pulso de 
entrada. O valor mínimo de σ ocorre para σ0 = (|β3| L/4 )
1/3 e é dada por: 
 
 
A limitação da taxa de bits é obtida com a condição 4Bσ ≤ 1: 
 
A figura compara a diminuição da taxa de bits com o aumento da distância L para σλ 
igual a 0, 1 e 5 nm, usando D = 16 ps/(km.nm). 
 
 
22
0
2
02
2
0
2 )2/( DL  
41|| 2 LB 
22
0
22
03
2
0
2 2/)4/( DL  
  3/13
2/1
)4/|(|5,1 L 
324,0)|(| 3/13 LB 
22 
 
Efeitos do Gorjeio 
O pulso de entrada em todos os casos anteriores foi assumido como um pulso Gaussiano 
não Gorjeado. Na prática, pulsos ópticos são frequentemente não-gaussianos e podem 
apresentar gorjeio. 
Um modelo super-gaussiano foi usado para estudar a limitação de taxa de bits imposta 
pela dispersão da fibra para um fluxo de bits formato NRZ. Neste modelo, a propagação do 
pulso é substituída pela equação: 
 
 
em que o parâmetro m controla a forma de pulso. Pulsos Gaussianos com Gorjeio 
correspondem a m = 1. Para valor de m grande o pulso se torna quase retangular. 
A limitação do produto BL pode ser obtida, exigindo-se que o valor RMS da largura de 
pulso não aumente acima de um valor tolerável. 
 
A figura mostra o produto BL como uma função do parâmetro C para pulsos de entrada 
Gaussianos (m = 1) e super-Gaussianos (m = 3). 
 
Largura de Banda da Fibra 
O conceito de largura de banda da fibra deriva da teoria geral de sistemas lineares 
invariantes no tempo. 
Se a fibra óptica pode ser tratada como um sistema linear, suas potências de entrada e de 
saída devem ser relacionadas por uma relação geral: 
 

















m
T
tjC
AtA
2
0
0
2
1
exp),0(



 ')'()'()( inout dttPtthtP
23 
 
Para um pulso Pin(t) = δ(t), em que δ(t) é a função delta, e Pout(t) = h(t). Por esta razão, 
h(t) é chamada de resposta ao impulso do sistema linear e sua transformada de Fourier 
provê a chamada Função de Transferência, que é dada por: 
 
Em geral, |H(f)| decai com f crescente, indicando que os componentes de alta frequência 
do sinal de entrada são atenuados pela fibra. 
A fibra óptica funciona como um filtro passa-faixa. A frequência de corte f3dB 
corresponde à frequência f = f3dB em que |H (f)| é reduzida por um fator de 2 (ou de 3 dB): 
 
Para um espectro Gaussiano, H(f) é dada por: 
 
 
em que os parâmetros f1 e f2 são dados por: 
 
Para sistemas ópticos operando longe de λZD (f1 << f2), a função de transferência é 
aproximadamente Gaussiana. 
Assim, a largura de banda da fibra é dada por: 
 
Para sistemas ópticos operando em λZD, a função de transferência é obtida com a 
equação geral, definindo D = 0. Assim, encontra-se a seguinte expressão para a largura de 
banda da fibra: 
 
 
Perdas em Fibras Ópticas 
A dispersão na fibra limita o desempenho dos sistemas de comunicação óptica, 
alargando os pulsos ópticos à medida que se propagam no interior da fibra. As perdas nas 
fibras representam outro fator limitante, pois reduzem a potência do sinal no receptor. 
Como receptores ópticos precisam de uma quantidade mínima de energia para a 
recuperação o sinal com precisão, a distância de transmissão é limitada pela perda na fibra. 
Com o advento dos amplificadores ópticos na década de 1990, as distâncias de transmissão 
puderam ser superiores a vários milhares quilômetros por compensarem perdas acumuladas 
periodicamente. 
O uso de fibras de sílica para comunicações ópticas só se tornou prática quando as 
perdas foram reduzidas a um nível aceitável durante a década de 1970. Baixas perdas nas 



 dtftjthfH )2exp()()( 
2/1|)0(/)(| 3dB HfH















)/1(2
)/(
exp1)(
2
2
1
2/1
2 fjf
ff
f
jf
fH
1212
32
11
21 ])/||2(2[)2(e)||2()2(
    LDSLfLDLf
1
1
2/1
3dB )|(|188,0)2ln2(
 LDff
12
23dB )(606,015
 SLff
24 
 
fibras ainda são necessárias, uma vez que o espaçamento entre amplificadores é definido 
pelas perdas da fibra. 
 
Coeficiente de Atenuação 
As alterações na potência média óptica P na propagação de um fluxo no interior de uma 
fibra são regidas pela lei de Beer: 
 
em que α é o coeficiente de atenuação. 
Se Pin é a potência lançada na entrada de uma fibra óptica de comprimento L, a potência 
de saída Pout é dada por: 
 
Expressa-se α em unidades de dB/km, sendo referido como o parâmetro de atenuação ou 
perda na fibra óptica. 
 
 
Embora a perda seja representada pelo símbolo igual ao coeficiente de absorção, α na 
equação anterior inclui não só a absorção de material, mas também outras fontes de 
atenuação de energia 
 
Atenuação em Fibras Ópticas 
A atenuação nas fibras depende do comprimento de onda da luz transmitida. A fibra tem 
perda de apenas ~0,2 dB/km na região 1,55 μm. Este valor está próximo do limite 
fundamental de cerca de 0,16 km dB/km para fibras de sílica. 
As perdas são maiores para comprimentos de onda mais curtos e excedem 5 dB/km na 
região do visível, tornando-a inadequada para transmissão de longa distância. Vários 
fatorescontribuem para as perdas e os dois mais importantes são a absorção material e o 
espalhamento Rayleigh. A figura mostra a perda do espectro α(λ) de uma fibra monomodo 
feita em 1979 com 9,4 μm de diâmetro do núcleo, Δ = 1,9 x 10-3 e 1,1 μm de comprimento 
de onda de corte. 
 
PdzdP /
)exp( LPP inout 
 343,4log
10
)dB/km( 10 








in
out
P
P
L
25 
 
 
Absorção Material 
A absorção material pode ser dividida em duas categorias: a absorção intrínseca, 
correspondente à absorção pela sílica fundida (material usado para fazer fibras); e a 
absorção extrínseca, que está relacionada às perdas causadas por impurezas dentro da sílica. 
Qualquer material absorve em certos comprimentos de onda correspondentes às 
ressonâncias eletrônicas e vibracionais associadas com moléculas específicas. 
Devido à natureza amorfa da sílica fundida, essas ressonâncias estão na forma de bandas 
de absorção cujas caudas se estendem até a região do visível. Para moléculas de sílica 
(SiO2) ressonâncias eletrônicas ocorrem na região do ultravioleta (λ < 0,4 μm), enquanto as 
ressonâncias vibracionais ocorrem na região do infravermelho (λ > 7 μm). 
 
Absorção Material Extrínseca 
A absorção extrínseca resulta da presença de impurezas (metais como Fe, Cu, Co, Ni, 
Mn, Cr) e absorvem fortemente na faixa de comprimento de onda de 0,6 a 1,6 μm. Seu 
valor deve ser reduzido para menos de 1 parte por bilhão para se obter uma perda abaixo de 
1 dB/km. 
A principal fonte de absorção extrínseca nas fibras de sílica é a presença de vapores de 
água. A ressonância vibracional do íon OH ocorre perto 2,73 μm e seus tons harmônicos e a 
combinação com sílica produzem absorção nos comprimentos de onda de 1,39; 1,24 e 0,95. 
Os três picos espectrais visto na figura ocorrem perto destes comprimentos de onda e são 
devidos à presença de vapor de água residual em sílica. 
26 
 
A figura mostra os perfis de dispersão e de perdas de fibras modernas, conhecidas como 
fibras secas. 
 
Essas fibras podem ser usadas para transmitir sinais WDM na faixa de comprimentos de 
onda de 1,3 a 1,65 μm. 
 
Espalhamento Rayleigh 
O Espalhamento Rayleigh é um mecanismo de perda fundamental decorrente de 
flutuações microscópicas locais na densidade. Flutuações de densidade levam a flutuações 
aleatórias no índice de refração em uma escala menor do que o comprimento de onda λ. 
O espalhamento de luz em tal meio é conhecido como espalhamento Rayleigh. A seção 
transversal de espalhamen-to varia em λ-4. 
A perda intrínseca das fibras de sílica a partir de espalhamen-to Rayleigh pode ser escrita 
como , sendo C da ordem de 0,7 a 0,9 (dB/km).μm4. 
As moléculas se movem aleatoriamente na sílica no estado fundido e congelam em 
determinado lugar durante a fabricação da fibra. A contribuição de espalhamento Rayleigh 
pode ser reduzida para menos de 0,01 dB/km para comprimentos de onda maiores do que 3 
μm, mas fibras de sílica não podem ser usadas nesta região de comprimento de onda, dado 
que a absorção do infravermelho começa a dominar a perda de fibra além de 1,6 μm. 
 
Imperfeições no Guia de Onda 
Uma fibra monomodo ideal, com geometria perfeitamente cilíndrica, guia o modo óptico 
sem perda de energia para a casca da fibra. Na prática, as imperfeições na interface núcleo-
casca (por exemplo, variações aleatórias no raio do núcleo) podem levar a perdas adicionais 
4/ CR 
27 
 
que contribuem para a perda na fibra. 
O processo físico por trás dessas perdas é chamado espalhamento Mie, vindo da falta de 
homogeneidade do índice em uma escala maior do que o comprimento de onda. Tais 
variações podem ser mantidas abaixo de 1%, e a perda de espalhamento resultante fica 
abaixo de 0,03 dB/km. Um cuidado é geralmente tomado para garantir que o raio do núcleo 
não varie significativamente ao longo do comprimento da fibra durante a fabricação. 
As curvaturas na fibra são outra fonte de perdas por espalhamento e a razão pode ser 
entendida usando a imagem de raios. Um raio atinge a interface núcleo-casca com um 
ângulo maior que o ângulo crítico para prover reflexão interna total. No entanto, o ângulo 
diminui perto de uma curva e pode tornar-se menor do que o ângulo crítico para curvas 
apertadas. O raio, então, escapa da fibra. 
Uma das principais fontes de perda nas fibras, particularmente em forma de cabo, está 
relacionado com a distorção axial aleatória que, invariavelmente, ocorrem durante o 
cabeamento, quando a fibra é pressionada contra uma superfície que não é perfeitamente 
lisa. Tais perdas são referidos como perdas microbending. 
 
Efeitos Não Lineares 
A resposta de qualquer dielétrico à luz torna-se não-linear com campos eletromagnéticos 
intensos e as fibras ópticas não são exceção. Mesmo não sendo a sílica um material 
altamente não-linear, a geometria de guia de onda que confina a luz em uma pequena seção 
transversal faz com que esses efeitos sejam muito importantes no projeto de sistemas de 
comunicação. 
O espalhamento Rayleigh é um exemplo de espalhamento elástico para o qual a 
frequência da luz dispersa (ou a energia do fóton) permanece inalterada. Por outro lado, a 
frequência da luz espalhada é deslocada para baixo durante espalhamentos inelásticos. 
Dois exemplos de espalhamento inelástico são o Espalhamento Raman e Espalhamento 
Brillouin. 
Ambos podem ser entendidos como espalhamento de um fóton para um fóton de menor 
energia de tal forma que a diferença de energia aparece na forma de um fônon. As 
principais diferenças entre os dois é que fônons ópticos participam do espalhamento 
Raman, enquanto fônons acústicos participam do espalhamento Brillouin. 
Ambos os processos de espalhamento resultam em uma perda de potência na frequência 
incidente. Em níveis de alta potência, os fenômenos não-lineares de Espalhamento Raman 
Estimulado (SRS) e Espalhamento Brillouin Estimulado (SBS) se tornam importantes. No 
entanto, a sua seção transversal de dispersão são suficientemente pequenas para que a perda 
seja insignificante em níveis de baixa potência. 
 
28 
 
Espalhamento Brillouin Estimulado 
O processo físico por trás do espalhamento de Brillouin é a tendência dos materiais se 
comprimirem na presença de um campo elétrico. 
Para um campo elétrico oscilante na frequência de bombeio Ωp, este processo gera uma 
onda acústica em alguma frequência Ω. 
O SBS pode ser visto como o espalhamento da onda de bombeio a partir desta onda 
acústica, resultando na criação de uma nova onda na frequência Ωs. 
O processo de dispersão deve conservar a energia e o momento. Usando a relação de 
dispersão |kA| = Ω/vA, em que vA é a velocidade acústica, a frequência acústica é 
determinada como: . 
Aqui, θ representa o ângulo entre a onda espalhada e a de bombeio. A conservação de 
energia exige que o deslocamento Ω seja igual a ωp-ωs. A conservação do momento exige 
que os vetores de onda satisfaçam kA = kp – ks. 
Em fibras monomodo, a luz pode viajar somente para frente e para trás. Como resultado, 
SBS ocorre na direção para trás (θ = π) com uma frequência de desvio ΩB = 2vA |kp|. 
Usando kp = 2π /λp, com λp sendo o comprimento de onda de bombeio, o deslocamento 
de Brillouin é dado por 
 
em que é o índice modal. 
Uma vez que a onda espalhada é gerada espontaneamente, ela bate com a frequência de 
bombeio e cria uma componente na frequência de batimento ωp – ωs, que é 
automaticamente igual à frequência acústica Ω. 
Usando vA = 5,96 km/s e n = 1,45 como valores típicos para fibras de sílica, vB = 11,1 
GHz em λp = 1,55 μm. A equação anterior mostra que vB cresce inversamente com o 
comprimento de onda de bombeio. 
O comprometimento do sistema se inicia quando a amplitude da onda espalhada é 
comparável à potência do sinal. Para fibras típicas, o limiar de potência para esse processo 
é de cerca de 10 mWpara trechos com uma única fibra. Em uma cadeia longa de fibra 
usando amplificadores ópticos, normalmente existem isoladores ópticos para evitar a 
entrada de sinais no amplificador. 
O termo de batimento age aumentando a amplitude da onda acústica, que por sua vez 
aumenta a amplitude da onda espalhada em um ciclo de retroalimentação positiva. 
 
 
 
)2/(sen||2|| pAAA kvvk 
pABB vn  /22/ 
n
29 
 
O SBS pode transferir toda a potência da onda de bombeio para a onda dispersa. O 
processo é regido pelo conjunto de equações acopladas: 
 
 
 
em que Ip e Is são as intensidades dos campos de bombeio e de Stokes, gB é o ganho SBS, e 
αp e αs são as perdas na fibra. 
O ganho SBS gB é dependente da frequência por causa do tempo de amortecimento TB 
das ondas acústicas (a vida de fônons acústicos). 
Se as ondas acústicas decaem como exp(– t/TB), o ganho Brillouin tem um perfil 
espectral Lorentziano dado por: 
 
 
O valor de pico do ganho Brillouin ocorre para Ω = ΩB e depende de diversos 
parâmetros de materiais, tais como a densidade e o coeficiente elasto-óptico. 
Para fibras de sílica gB ≈ 5 ×10
-11 m/W. O limiar de potência Pth = IpAeff, em que Aeff é a 
área efetiva, satisfaz: 
 
Aqui, α representa a perda nas fibras e Leff é o comprimento de interação efetiva definido 
como: 
 
De sistemas ópticos de comunicação Leff pode ser aproximado por 1/α, já que na prática 
αL >> 1. Usando Aeff = πw
2, em que w é o spot size, Pth pode ser tão baixo quanto 1 mW 
dependendo dos valores de w e α. 
 
Espalhamento Raman 
O Espalhamento Raman Espontâneo (SRS) ocorre em fibras ópticas quando uma onda 
de bombeio está dispersa pelas moléculas de sílica. O processo pode ser entendido usando o 
diagrama de energia de nível mostrado na figura. 
Fótons de bombeio desistem de suas energias para criar outros fótons de energias 
reduzidas em uma frequência menor. 
ssspB
s
ppspB
p
IIIg
dz
dI
IIIg
dz
dI




22)(1
)(
)(
BB
BB
B
T
g
g



21/ effeffth ALPgB
 /)]exp(1[eff LL 
30 
 
 
A energia restante é absorvida pelas moléculas de sílica, que acabam em um estado 
vibracional excitado. Uma diferença importante do Espalhamento Brillouin é que os níveis 
de energia vibracional da sílica ditam o valor do deslocamento Raman ΩR = ωp – ωs. 
Como não há uma onda acústica envolvida, o Espalhamento Raman Espontâneo é um 
processo isotrópico e ocorre em todas as direções. O processo de espalhamento Raman 
torna-se estimulado se a potência de bombeio excede um valor de limiar. O SRS pode 
ocorrer nas direções para frente e para trás. 
O batimento do bombeio com a luz espalhada nessas duas direções cria uma componente 
de frequência na frequência de ωp – ωs, atuando como uma fonte de oscilações moleculares. 
A amplitude da onda espalhada aumenta em resposta a estas oscilações e uma 
retroalimentação positiva se estabelece. Com gR sendo o ganho SRS, esse processo é regido 
pelas equações acopladas: 
 
 
 
No SRS para trás, um sinal de menos é adicionado na frente da derivada de Is, e este 
conjunto de equações torna-se idêntico ao do caso SBS. O ganho espectral Raman depende 
do tempo de decaimento associado ao estado vibracional excitado. 
No caso de um gás molecular ou líquido, o tempo de decaimento é relativamente longo 
(~ 1 ns), resultando em uma largura de banda de ganho Raman de ~1 GHz. Para fibras 
ópticas, a largura de banda excede 10 THz e a figura mostra o ganho espectral Raman. 
ssspR
s
ppspR
p
IIIg
dz
dI
IIIg
dz
dI




31 
 
 
Similarmente ao caso da SBS, a potência limiar Pth é definida como a potência incidente 
em que metade da potência de bombeio é transferida para o campo de Stokes na saída de 
uma fibra de comprimento L. Estima-se a partir de: 
 
em que gR é o valor de pico do ganho Raman. Como antes, Leff pode ser aproximada por 
1/α. Se forem usados πw2 = 50 μm2 e α = 0,2 dB/km como os valores representativos, Pth é 
de cerca de 570 mW perto 1,55 μm. 
Tanto SBS como SRS podem ser usados vantajosamente em sistemas ópticos de 
comunicação, já que podem amplificar um sinal transferindo potência de um comprimento 
de onda a outro. SRS é melhor por causa da maior largura de banda. 
 
Modulação de Fase Não-Linear 
O índice de refração da sílica foi tomado como independente da potência na discussão 
sobre modos da fibra óptica. Na realidade, todos os materiais se comportam de forma não 
linear em intensidades elevadas de campo e seus índices de refração aumentam com essa 
intensidade. Isso porque a resposta dos elétrons é não harmônica para campos ópticos, 
levando a uma susceptibilidade não-linear. 
Para incluir a refração não linear, os índices do núcleo e da casca de uma fibra de sílica 
devem ser escritos como: 
 
em que é o índice não-linear, P é a potência óptica, e Aeff é a área efetiva. 
Devido ao valor relativamente pequeno de n, a parte não-linear do índice de refração é 
muito pequena (menor que 10-12 em um nível de potência de 1 mW), afetando entretanto os 
modernos sistemas de comunicação, com os fenômenos de automodulação e modulação 
16/ effeffth ALPgR
.2,1),/( eff2
'  jAPnnn jj
2n
32 
 
cruzada de fase. 
 
Automodulação de Fase (SPM) 
Se for usada a teoria das perturbações de primeira ordem para estudar a dependência do 
termo não linear, conclue-se que o modo de vibração não muda, mas a constante de 
propagação torna-se dependente da potência. Assim: 
 
em que é um importante parâmetro não-linear com valores variando de 1 a 
5W-1/km. 
Observando que a fase óptica aumenta linearmente com z, o termo γ produz uma 
mudança de fase não-linear dada por: 
 
em que P(z) = Pin exp(– αz) é responsável por perdas na fibra. 
Na equação anterior, Pin é constante. Na prática, a dependência do tempo de Pin faz ϕNL 
variar com o tempo. Na verdade, a fase óptica muda com o tempo exatamente da mesma 
maneira como o sinal óptico. 
Uma vez que esta modulação de fase não-linear é autoinduzida, o fenômeno não-linear 
responsável por isso é chamado de automodulação de fase (SPM). A SPM leva ao gorjeio 
de frequência dos pulsos ópticos. 
Em contraste com o gorjeio linear considerado anteriormente, o gorjeio de frequência é 
proporcional à derivada dPin/dt e depende da forma do pulso. 
A figura mostra como o gorjeio varia com o tempo para pulsos Gaussianos (m = 1) e 
super-Gaussianos (m = 3). 
 
PAPnk   eff20 /'
)/(2 eff2  An
effin
00
NL )()'( LPdzzPdz
LL
  
33 
 
Se as perdas na fibra são compensadas periodicamente usando amplificadores ópticos, 
ϕNL é multiplicada pelo número de amplificadores NA porque a fase induzida pela SPM se 
acumula ao longo de vários amplificadores. Para reduzir o impacto da SPM nos sistemas 
ópticos de comunicação é necessário que ϕNL << 1. 
Com ϕNL = 0,1 como o valor máximo tolerável e substituindo Leff por 1/α para as fibras 
longas, esta condição pode ser escrita como um limite para a potência de pico de entrada: 
 
Claramente, SPM pode ser um importante fator limitante para sistemas ópticos de 
comunicação de longa distância. 
 
Modulação Cruzada de Fase (XPM) 
A dependência da intensidade do índice de refração também pode levar a outro 
fenômeno não-linear conhecido como modulação cruzada de fase (XPM). A XPM ocorre 
quando dois ou mais canais são transmitidos ao mesmo tempo em uma fibra óptica usando 
WDM. 
Nesses sistemas, o deslocamento de fase não-linear para um canal específico depende 
não só da potência desse canal, mas também da potência de outros canais. 
O deslocamento de fase do canal j torna-se: 
 
 
em que a soma se estende sobre o número de canais. O fator de 2 na equação tem sua 
origem na forma da suscetibilidade não linear e indica que a XPM é duas vezes mais eficaz 
que a SPM para a mesma quantidade de potência. 
O deslocamento de fase total depende da potência em todos os canais,variando bit a bit, 
e depende do padrão de bits dos canais vizinhos. Se forem assumidas potências iguais dos 
M canais, a mudança de fase na pior das hipóteses (em que todos os canais 
simultaneamente carregam bits 1 e todos os pulsos se sobrepõem) é dada por: 
 
Na prática, os pulsos em diferentes canais viajam em velocidades diferentes e o 
deslocamento de fase induzido pela XPM só ocorre com dois pulsos se sobrepondo no 
tempo. É difícil estimar o impacto da XPM sobre o desempenho de sistemas ópticos 
multicanais. A razão é que a discussão anterior assumiu implicitamente que a XPM atua 
isoladamente, sem efeitos dispersivos, e é válida somente para feixes ópticos de onda 
contínua. Para canais que são separados por uma grande largura de faixa eles se sobrepõem 
por um tempo tão curto que os efeitos da XPM são praticamente insignificantes. 
Por outro lado, pulsos em canais vizinhos irão se sobrepor o tempo suficiente para 
efeitos XPM se acumularem. 
)/(1,0 Ain NP 








 
 jm
mjj PPL 2eff
NL 
jj PM )12)(/(
NL  
34 
 
Esses argumentos mostram que a equação não pode ser usada para estimar a potência de 
entrada limitante. 
Outro método para estudar a SPM e a XPM usa uma nova equação escrita para incluir o 
SPM e XPM. A equação resultante é a equação não-linear de Schrödinger: 
 
em que se despreza a dispersão de terceira ordem e acrescenta-se o termo α contendo as 
perdas nas fibras. Esta equação é muito útil para a concepção de sistemas ópticos de 
comunicação. 
 
Mistura de Quatro Ondas (FWM) 
A dependência da potência do índice de refração tem sua origem na susceptibilidade 
não-linear de terceira ordem χ(3). O fenômeno não-linear, conhecido como mistura de 
quatro ondas (FWM), também é originário de χ(3). 
Se três campos ópticos com frequências ω1, ω2 e ω3 se copropagam no interior da fibra 
ao mesmo tempo, χ(3) gera um quarto campo cuja frequência ω4 está relacionado com as 
outras frequências por um relação ω4 = ω1 ± ω2 ± ω3. 
Diversas frequências correspondentes aos sinais positivos e negativos são possíveis. As 
combinações de frequência da forma ω4 = ω1 + ω2 – ω3 são problemáticas para sistemas de 
comunicação multicanais. Na prática, a maioria dessas combinações não são percebidas por 
causa de uma exigência de correspondência de fase. 
Em um nível fundamental, o processo FWM pode ser visto como um processo de 
espalhamento, no qual dois fótons de energias hω1 e hω2 são destruídos, e suas energias 
aparecem na forma de dois novos fótons de energias hω3 e hω4. 
Uma vez que todas as quatro ondas se propagam na mesma direção, o descasamento de 
fase pode ser escrito como: 
 
em que β(ω) é a constante de propagação de um campo óptico com frequência ω. 
No caso degenerado, ω2 = ω1, ω3 = ω1 + Ω, e ω3 = ω1 – Ω, em que Ω representa o 
espaçamento entre canais. A condição de correspondência de fase decorre da exigência de 
conservação do momento. 
Fazendo as manipulações algébricas pertinentes, obtém-se simplesmente Δ = β2Ω
2. O 
processo de FWM é casado em fase quando β2 = 0. Com β2 pequeno (< 1 ps
2/km) e o 
espaçamento do canal também pequeno (Ω <100 GHz), o FWM pode transferir potência de 
cada canal para seus vizinhos mais próximos. 
Essa transferência de potência não só resulta em perda de potência para o canal, mas 
AAjA
t
Aj
z
A 2
2
2
2 ||
22








)()()()( 2143  
35 
 
também induz diafonia (crosstalk) intercanal que degrada o desempenho do sistema. 
Sistemas WDM evitam FWM usando gerenciamento de dispersão, no qual a GVD é 
mantida localmente alta em cada seção da fibra, embora seja baixa na média. O fenômeno 
FWM também pode ser útil na concepção de sistemas ópticos de comunicação. Ela é 
frequentemente usada para demultiplexação de canais individuais quando TDM é usado no 
domínio óptico.