Física Moderna Exercícios resolvidos 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
FÍSICA MODERNA I
LISTA DE PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Radiação térmica, o postulado de Planck e as propriedades 
corpusculares da radiação
1°) A temperatura na superfície do Sol é de aproximadamente 5800K e as 
medidas da distribuição espectral da lux solar mostram que o astro se comporta 
como um corpo negro, a não ser para comprimentos de onda muito pequenos. 
Supondo que o Sol seja um corpo negro ideal, qual é o comprimento de onda 
para o qual a intensidade da radiação emitida é máxima?
Resposta: Para um corpo negro ideal o comprimento de onda correspondente é 
dado por: 
 ¸mT = 2;898 £ 10¡3m ¢K
Então para o valor de temperatura do Sol, podemos escrever:
 ¸m = (2;898 £ 10¡3m ¢K )=T = 5800K
(2;898 £ 10¡3m ¢K) = 499;7nm
2 °) A estrela mais brilhante do céu é Sírius, que é na verdade, um sistema binário de duas 
estrelas. A menor delas (Sírius B) é uma anã branca. A análise de Sírius B indica que sua 
temperatura de superfície é de 24000K e que ela irradia energia a uma taxa total de 
1;0 £ 1025W . Suponha que Sírius se comporte como um corpo negro ideal. A) Qual a 
quantidade total irradiada por Sírius B b) Qual é comprimento de onda máximo? c) Qual é 
o raio de Sírius B?
Resposta: 
a) Como sabemos o valor da temperatura na superfície da estrela, podemos então calcular a 
intensidade que está sendo irradiada, considerando a mesma como um corpo negro:
 
b)
c) Podemos encontrar o raio da estrela lembrando que a potencia é a intensidade vezes a área:
 resolvendo esta expressão para R temos: 
3°) Use a lei de Plank para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é 
proporcional a T 4 o que se mostra de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann. Dica: Usar o 
resultado tabelado de que 
Z
0
1
ex¡ 1
x3 = 15
¼4
Resposta: A densidade total de energia pode ser calculada integrando a função distribuição 
da densidade de energia para todos os comprimentos de onda:
 
 U =
Z
0
1
u(¸)d¸ =
Z
0
1
ehc=¸kT ¡ 1
8¼hc¸¡5 d¸ .
Para calcular tal integral fazemos uma substituição definindo uma variável adimensional 
x = hc=¸kT e neste caso, temos dx = ¡(hc=¸2kT)d¸, então obviamente teremos, Dessa 
forma encontramos a diferencial para realizar a substituição: d¸ = ¡¸2(KT=hc)dx. 
Portanto podemos escrever:
 U =
Z
0
1
ex ¡ 1
8¼hc¸¡3(hc
kT)dx = 8¼hc
³
hc
kT 4´
Z
0
1
ex ¡ 1
x3 dx
Como a integral é adimensional então isso mostra que a densidade total de energia é 
proporcional a T 4.
4°) A mecânica quântica é um instrumento muito útil na explicação das propriedades dos 
sólidos. Um exemplo disso é a sua aplicação na explicação da capacidade calorífica dos 
sólidos a baixas temperaturas. Einstein propôs um modelo para o comportamento da 
capacidade calorífica admitindo que todos os osciladores(átomos ) nas paredes de um sólido 
em uma temperatura T pudesse vibrar apenas em uma determinada frequência característica 
do sólido, fE , e que a energia média dessas oscilações fosse dada pela expressão encontrada por Planck,
 
 
 hEi= ehfE=kT¡ 1
hfE
Para um sistema composto de N osciladores, a energia interna é dada por U = 3N hEi. 
Encontre uma expressão específica da capacidade calorífica para este modelo.
Resposta:
A expressão que nos dá a capacidade calorífica a volume constante é dada pela expressão:
 CV =
³
∂ T
∂ U´
Com a qual podemos resolver o problema:
 CV = 3N
∂ T
∂
µ
ehfE=kT ¡ 1
hfE
¶
, calculando a derivada com respeito a 
temperatura teremos:
 
CV = 3N (exp(hfE=kT)¡ 1)
2
exp(hfE=kT)hfE=kT
2
£ hfE , logo podemos escrever como sendo :
CV = 3N kT2
(hfE)
2
£
(exp(hfE=kT)¡ 1)
2
exp(hfE=kT) , que é a expressão procurada
5°) Elétrons em um tudo de raios X são acelerados por uma diferença de potencial de 
10,0kV. Sabendo que um elétrons produz um fóton na colisão com o alvo, qual é o 
comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos? 
Resposta:
Para produzir um fóton de raios X com um comprimento de onda mínimo e, portanto energia 
máxima, toda a energia cinética de um elétron precisa ir para a produção de um único fóton 
de raios X. Quando o elétron é acelerado ele ganha energia cinética de valor igual a sua 
carga vezes a diferença de potencial usada para acelerá-lo:
 K = eVAB , Dessa forma o fóton mais energético é produzido quando toda a energia cinética do elétron é 
usada para produzir um fóton ou seja:
 eVAB = hfmax = ¸mim
hc
Então podemos calcular este comprimento de onda:
 ¸mim = eVAB
hc =
(1;602 £ 10¡19C )(10;0 £ 103V )
(6;626 £ 10¡34J ¢ s)(3;0 £108m=s) = 1;24 £ 10¡10m 
6 °) Em um estudo experimental do efeito Compton, observa-se que o comprimento de onda 
da radiação incidente, ¸1 , sofre um aumento de 1,5% quando o ângulo de espalhamento pe igual a 120° a) Qual é o valor de ¸1? b) Qual será o comprimento de onda ¸2 dos fótons difratados quando o ângulo de espalhamento for 75°?
Resposta:
Neste problema usamos a equação de espalhamento Compton: ¸2¡ ¸1 = mch (1¡ cosµ) a) ¸2¡ ¸1 = ¢¸ = 0;00243(1¡ cosµ) onde aqui usamos os valores tabelados da massa do elétron e da velocidade da luz, bem como o valor de h, todos já conhecidos. 
Então podemos finalmente usar: 
 ¸2¡ ¸1 = ¢¸ = 0;00243(1¡ cos120o), mas sabemos que há um aumento de 15%, neste caso teremos:
¸1
¢¸ = 0;015 então, podemos escrever: ¸1 = 0;015¢¸ = 0;015
0;00243(1¡ cos120o) = 0;243
b) Para resolver este item, usamos:
¸2 = ¸1 + 0;00243(1¡ cosµ) , onde dessa vez, usaremos o ângulo de 75° .
¸2 = ¸1 + 0;00243(1¡ cos75) = 0;243 + 0;00243(1¡ cos75) = 0;243 + 0;002 = 0;245nm
7°) A função trabalho para o efeito fotoelétrico em uma superfície de potássio é 2,3 eV. Se 
uma luz com comprimento de onda 250nm incide sobre o potássio, encontre:
a) O potencial de corte em volts 
b) A energia dos elétrons emitidos com maior energia
c) velocidade dos elétrons 
Resposta:
a) Para solucionar este problema podemos usar a equação:
eV0 = 2
1mvmax2 que representa a transformação da energia potencial do elétron eV0
totalmente em energia cinética. Então essa energia que o elétron possui, representa a 
energia que sobrou após o fóton ter arrancado tal elétron de um determinado material. A 
energia necessária para arrancar o elétron do material é que é a função trabalho © . O fóton 
naturalmente tem energia hf , onde h é a constante de Planck que pode ser escrita como:
h = 6;626 £ 10¡34J ¢ s em Joules vezes segundo ou h = 4;136 £ 10¡15eV ¢ s em elétron 
Volts vezes segundo.
Então a energia que o elétron que foi arrancado do material é igual a energia que o fóton 
tinha menos a energia que foi gasta para arrancar o elétron do material:
 eV0 = hf ¡ ©onde eV0 é o potencial de corte em elétron volt. Então:
onde aqui usamos o fato de que f = ¸c
b) 21mvmax2 = 2;7eV
c) 
8°) Uma estação de rádio transmite ondas com frequência de 89,3 MHz com potência total 
igual a 43,0kW a) Qual é o módulo do momento linear de cada fóton?
b) Quantos fótons ela emite a cada segundo?
c) Esses fótons podem ser vistos?
Resposta:
a) O problema fornece a frequência da radiação, o momento linear então é dado por:
p = chf =3 £ 108m=s
6;626 £ 10¡34J ¢ s £ 89;3 £ 106Hz = 1;97 £10¡34kg ¢m=s
b) A energia de cada fóton pode ser calculada como 
E = pc = 1;97 £ 10¡34kg ¢m=s £ 3;0 £ 108m=s = 5;92 £ 10¡26J
Mas a estação emite 43;0 £ 103 joules a cada segundo então podemos encontrar quantos 
fótons estão sendo emitidos a cada segundo:
5;92 £ 10¡26J
43;0 £ 103J=s = 7;26 £ 1029 fótons/s
c) O comprimento de onda de radiação visível está na faixa entre 380nm a 750nm, fora deste 
espectro a radiação não é visível.
O problema diz que a frequência vale f = 89;3 £ 106Hz então podemos encontrar o 
comprimento de onda fazendo ¸ = fc = 89;3 £ 106
3 £ 108 = 3;35m , lembrando que a velocidade 
está em m/s e a frequência em Hz( que é s¡1 ). Então vemos que esta radiação está fora do 
espectro visível ao ser humano.
Propriedades Ondulatórias da Matéria
9°) Calcule o comprimento de onda de:
a) uma bola de pingue-pongue de 2,0g ao ser rebatida com uma velocidade de 5m/s ,
b) um elétron com uma energia de 10eV
Resposta:
a) Para encontrar o primeiro comprimento de onda temos:
 ¸ = mvh = 2;0 £ 10¡3kg £ 5m=s
6;63 £ 10¡34J ¢ s = 6;6 £ 10¡32m = 6;6 £ 10¡23nm
ou seja, o resultado é cerca de 17 ordens de grandeza menor que um núcleo atômico.
b) Para o problema de encontrar o comprimento de onda do elétron com uma energia 
determinada, sabendo que ¸ = ph, fazemos:
Ek = 2m
p2 é a energia cinética do elétron, então podemos encontrar o valor de p e depois 
aplicar a equação ¸ = ph, achando assim o comprimento de onda:
p = p2mEk =
p
2 £ 9;11£ 10¡31kg(10eV)(1;60 £10¡19J =eV) = 1;71 £ 10¡24kg ¢m=s
lembrando que aqui, tivemos que multiplicar o valor 10eV pelo valor da carga do elétron para 
que a energia ficasse em unidade do SI .
10°) A indeterminação da posição de um elétron situado sobre o eixo x é 50pm, ou seja um 
valor aproximadamente igual ao raio de um átomo de hidrogênio. Qual é a menor 
indeterminação possível da componente px do momento do elétron?Resposta:
 
11 °) O comprimento de onda da linha amarela do sódio é 590nm. Qual é a energia cinética 
de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda da 
linha amarela do sódio?
Resposta:
 
12°) Os nêutrons em equilíbrio térmico com o meio em que se encontram têm uma energia 
cinética média de 3kT/2, onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta. 
Para T=300K, determine 
a ) a energia cinética dos nêutrons térmicos
b) o comprimento de onda de de Broglie correspondente.
 
Resposta:
a)
b) 
13°) Mostre que o número de onda angular k de uma partícula livre não relativística de 
massa m pode ser escrito na forma:
 k = h
2¼p2mK
Resposta:
Sabemos que o número de onda é dado por k = ¸2¼, mas temos também que ¸ = ph, então 
podemos escrever k = h
2¼p , mas para uma partícula livre, a única energia mecânica 
envolvida é a cinética logo K = 2m
p2 então finalmente podemos escrever:
 k = h
2¼p2mK pois p = p2mK
Modelos Atômicos 
14°) Use a fórmula de Balmer para calcular 
a) O comprimento de onda 
b) a frequência e c) a energia do fóton para a linha H(com n=5) da série de Balmer do átomo 
de hidrogênio
 Resposta:
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
15°) Encontre o valor do primeiro raio de Bohr: 
 
16°) No sistema de referência do centro de massa do átomo de hidrogênio, o elétron e o 
núcleo têm momentos com magnitudes iguais a p e direções opostas. Usando o modelo de 
Bohr, mostre que a energia cinética total do elétron e do núcleo podem ser escritas como :
K = p2=2¹ onde ¹ = meM=(M +me), quando me é a massa do elétron e M é a massa do núcleo.
Resposta : KE = p2=2me é a energia do elétron e Kn = p2=2M a do núcleo, obviamente a energia total é a soma das duas:
17°) Um átomo de hidrogênio passa por uma transição do nível n=5 para n=2. a) Quais são a 
energia e o comprimento de onda do fóton emitido? b) Se o momento angular é conservado 
e se o modelo de Bohr é usado para descrever o átomo, qual deve ser o momento do fóton 
emitido?
Resposta:
a) 
 
b)