1º Prova 11

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES 
PROVA 1 / 2011 
 
Atenção: Todos os resultados numéricos deverão ser apresentados com 3 algarismos 
significativos. 
 
Questão 1 (2,5 pontos) – A Figura 1 ilustra uma barra uniforme de aço, de massa específica  , módulo de 
elasticidade E, comprimento L e área da seção transversal A, que possui uma massa concentrada m na sua 
extremidade inferior e está engastada na extremidade superior. Assumindo que o alongamento da barra é 
linear (obedece a Lei de Hooke), determinar a freqüência natural do sistema para o seu movimento na direção 
vertical, considerando a influência da massa da barra. Dados:  = 7850 kg/m3, E = 210 GPa, L = 0,5 m, A = 
0,0005 m
2
, m = 10 kg. 
 
 
Figura 1 
 
N/m 101,2
5,0
0005,0101,2 8
11



L
EA
k
 
kg 65,10
3
5,00005,07850
10
3



AL
mm
eq

 
rad/s 4440
eq
n
m
k 
 
Questão 2 – (2,5 pontos) – A equação do movimento vibratório livre de um sistema de um grau de liberdade 
amortecido é 
 
   m 2,11000cos005,0 100   tetx t
 
Determinar: 
a) a amplitude do movimento; 
m 005,0X 
b) a freqüência do movimento; 
rad/s 1000
d

 
c) o ângulo de fase; 
rad 2,1
 
d) o fator de amortecimento do sistema; 
 
0995,0
11,0
1,0
1000
100
110001
100
22
22















n
n
 
e) a freqüência natural do sistema; 
rad/s 1005
0995,0
100100
 n
 
f) o deslocamento e a velocidade iniciais que produziram o movimento. 
 
1
2
0
2
2
00 x
xv
X
n
n 












 


 











tan 1 0 0
0
21
v x
x
n
n
 
 
1
2
0
2
2
002 x
xv
X
n
n 













 











n
n
xv
x



2
00
0
1
tan
 
   
m 1081,1
12,1tan
005,0
1tan
1tan tan
3
22
0
2
0
22
0
2
0
2








X
x
xxxX 
 
 
  m/s 48,400181,0100)2,1tan(1000
tan
0
00


v
vx
nd
 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) – Utilizando o Princípio da Conservação da Energia, determinar a equação do 
movimento da barra rígida uniforme, de comprimento l e massa m , suportada por uma mola de rigidez k, 
posicionada a uma distância b da articulação, como mostra a Fig. 2. Encontrar também sua freqüência natural. 
Dados: k = 10000 N/m, m = 100 kg, l = 0,5 m, b = 0,3 m, 
3
2ml
J
O
 . 
 
 
 
Figura 2 
 
 
 2
2
2
1
2
1


bkU
JT
O

  
 
    0
2
1
2
1 22 





  bkJ
dt
d
UT
dt
d
O
 
02    kbJ
O
 
0
3
2
2
  kb
ml  
 
rad/s 4,10
5,0100
3,01000033
2
2
2
2




ml
kb
n

 
 
Questão 4 (2,5 pontos) - Escrever a equação diferencial do movimento para o sistema mostrado na Fig. 3. 
Determinar a frequência da oscilação livre e o valor mínimo para a constante de amortecimento que não 
permitirá que o sistema oscile quando for estimulado por uma condição inicial. Dados k = 10000 N/m, m = 10 
kg, c = 200 N.s/m, L = 0,3 m. 
 
 
Figura 3 
 
Solução: Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento da massa 
 
 
22
22
22













l
c
l
kklml
 
ou 
0
4
5
4
22
2   klclml  
0
4
5
4
 
m
k
m
c 
 
Frequência natural 
rad/s 4,35
104
100005
4
5




m
k
n
 
Fator de amortecimento 
0707,0
101000020
200
20
4
5
4
8



km
c
m
k
m
c
m
c
n

 
 A frequência da vibração amortecida é obtida de 
 
rad/s 2,354,350707,011 22 
nd
 
Constante de amortecimento para amortecimento crítico 
N.s/m 28284,351088 
nc
mc 