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Apostila Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
Prof. Antonio Carlos Magalhães da Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proibida a reprodução ou divulgação, sem prévia autorização do 
autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Índice 
1 Conceitos básicos e notações 
 1.1. Juros (J) 
 1.2. Taxa de juros (i) 
 1.3. Principal, capital inicial ou valor presente (P, C0, PV) 
 1.4. Montante, valor de resgate ou valor futuro (S, Cn, FV) 
 1.5. Prazo ou número de capitalizações (n) 
2 Regime de juros simples 
 2.1. Dedução da fórmula 
 2.2. Aplicação básica 
3 Taxas proporcionais 
 3.1. Conceito 
 3.2. Exercícios resolvidos 
 3.3. Negociação com garantia 
4 Operações de desconto 
 4.1. Conceito 
 4.2. Desconto bancário 
 4.3. Exercícios de aplicação 
 4.4. Cálculo da taxa de juros efetiva de uma operação de desconto bancário simples 
 4.5. Limitações e distorções do desconto bancário 
5 Regime de Juros Compostos 
 5.1. Dedução da fórmula 
 5.2. Exercício padrão 
6 Taxas nominal, efetiva e equivalente 
 6.1. Taxa nominal 
 6.2. Taxa efetiva 
 6.3. Taxas equivalentes 
7 Mercado futuro e formação de taxa de juros 
8 Equivalência de capitais 
9 Anuidades 
 9.1. Anuidades periódicas postecipadas (inteira, constante) 
 
 
 
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 9.2. Anuidades periódicas antecipadas (inteira, constante) 
10 Sistemas de amortização 
 10.1. Conceitos básicos 
 10.2. Sistema francês de amortização 
 10.3. Sistema de amortizações constantes (SAC) 
11 Valor Presente Líquido (VPL) 
12 Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 Conclusão 
 Bibliografia 
 Material Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
O mercado financeiro brasileiro desenvolveu ao longo dos últimos 35 anos um conjunto 
de procedimentos relacionados à aplicação da matemática financeira, visando reduzir as 
distorções geradas pelo mecanismo de indexação atrelado a um errático movimento 
ascendente do nível geral de preços. De fato, a criatividade da autoridade monetária e de 
nossos financistas possibilitou a o funcionamento do sistema de financeiro no turbulento 
cenário de um processo inflacionário galopante. Foi nesse contexto que surgiram, entre 
outras inovações, o dia útil, em substituição ao dia corrido, assim como a notória taxa 
de juros overnight, a qual empregava o regime de juros compostos para calcular a taxa 
ao dia útil, e o regime de juros simples, quando a aludida taxa diária era multiplicada 
pelos 30 dias corridos do mês comercial. 
Não obstante tivesse o Plano Real contido o processo inflacionário, o perfil de curto 
prazo e a formação de taxa de juros, considerando o dia útil, ainda permanecem em 
nosso contexto financeiro. Na realidade, o Brasil é o único país do mundo cujo ano tem, 
para fins de cálculo financeiro, duzentos e cinquenta e dois dias úteis! 
Para que se possa compreender o funcionamento do referido mercado e a forma como as 
empresas tomam decisões no âmbito financeiro, é indispensável não apenas o domínio 
da matemática financeira, como entender as peculiaridades do nosso ambiente 
financeiro. 
Na medida em que os gerentes dos diferentes níveis e funções devem considerar, na 
formulação da estratégia de negócios da sua organização, os pontos fortes e fracos de 
todas as suas partes constituintes, os potenciais e os problemas da área financeira devem 
sem bem compreendidos. Ou seja, como o objetivo da estratégia a ser implementada é a 
obtenção de vantagem competitiva sustentável e considerando que a área financeira é 
uma das mais importantes na organização, os empresários, que participam da 
formulação da estratégia, não podem desconhecer as limitações e as possibilidades 
dessa área. Essa é a razão pela qual o presente trabalho apresenta os fundamentos da 
matemática financeira, procurando desenvolver a sensibilidade para o cálculo financeiro 
e discutindo as singularidades do nosso mercado. 
 
 
 
 
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1. Conceitos Básicos e Notações 
P, C0 ou PV = Principal, Capital Inicial ou Valor Presente 
n = prazo ou n.º de capitalizações 
J = juros 
i = taxa de juros 
S, Cn ou VF = Montante, Valor de resgate ou Valor Futuro 
 
1.1. Juros (J) 
A disponibilidade de recursos financeiros significa a possibilidade de consumo, se for 
uma pessoa, ou de sua utilização em atividades produtivas, se for uma empresa. O 
agente econômico estará disposto a ceder o seu capital a um terceiro se julgar 
compensatória a remuneração que receberá pelo adiamento que será obrigado a realizar 
em seu ato de consumo ou no emprego dos recursos na esfera produtiva. Essa 
remuneração ou o juro é o pagamento pela cessão dos recursos financeiros por um 
determinado período de tempo previamente acordado, constituindo o elemento 
fundamental para transposição dos valores no tempo. O valor dos juros é expresso em 
moeda. 
 
1.2. Taxa de Juros (i) 
A taxa de juros é a razão entre o valor dos juros recebidos ou pagos em uma operação 
financeira realizada em um período determinado de tempo e o Principal ou Capital 
Inicial. Quando expressa em termos percentuais é, usualmente, representada por i. 
Quando expressa na forma unitária é, freqüentemente, representada por r. No mercado, 
a taxa de juros é apresentada na forma percentual, como 5% ao ano. 
 
1.3. Principal, Capital Inicial ou Valor Presente (P, C0, PV) 
O principal compreende qualquer valor disponível em determinada data para aplicação 
em uma operação financeira. Em outras palavras, é a magnitude monetária que deverá 
ser investida no presente a uma taxa de juros i por período durante n períodos para 
produzir um valor futuro específico. 
 
 
 
 
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1.4. Montante, Valor de resgate ou Valor Futuro (S, Cn, FV) 
O montante ou o valor de resgate é igual à soma do capital inicial e dos juros. 
 
1.5. Prazo ou número de capitalizações (n) 
É o número de vezes, durante a operação, em que os juros serão calculados. Assim, em 
uma aplicação de 1 ano, com capitalização mensal, n é igual a 12, já que os juros são 
calculados 12 vezes no período da operação. É usual confundir esse fator com o tempo 
de duração da uma operação financeira. Todavia, deve-se atentar para o fato de que 
podem ser iguais ou não. 
 
2. Regime de Juros Simples 
Neste caso, os juros de cada período são calculados em função do capital inicial 
empregado. O prazo n e a taxa i devem estar na mesma unidade de tempo. 
 
2.1. Dedução da fórmula 
PV = Principal, Capital inicial ou Valor Presente 
n = n.º de períodos 
i = taxa de juros 
FV = Montante ou Valor Futuro 
A partir do principal PV queremos obter o valor do montante FV, sabendo que FV = 
PV + I, sendo I o total de juros, isto é, o principal PV submetido à taxa de juros i, 
durante o prazo de n períodos. 
Assim, teremos: I = PV.i.n 
Onde FV = PV + I 
FV = PV + PV.i.n 
FV = PV(1 + ni) 
FV = PV(1+ni) 
Outra maneira de se chegar a essa expressão é a partir do fato do montante crescer de 
acordo com uma progressão aritmética. De acordo com a fórmula do termo geral de 
uma progressão aritmética, temos: 
an = a1 + (n - 1)r 
 
 
 
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Sendo: 
an = Último termo 
a1 = Primeiro termo 
r = Razão 
Em nosso caso: a1 = FV1 e an = FVn 
FVn = FV1 + (n - 1)r 
Lembrando: 
FV1 = PV(1 + i) 
r = PV.i 
Temos: 
FVn = PV(1 + i) + (n - 1).PV.i 
FVn = PV + PV.i + (n -1).PV.i = PV + n.PV.i 
FVn = PV (1 + n.i) 
Como, porém, n é um período qualquer, podemos supor que FVn = FV = montante final. 
FV = PV(1 + n.i)