Livro diagramado geometria.analitica

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 2 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Si lva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUÍ 
José Well ington Barroso de Araújo Dias 
 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso José da Costa 
 
DIRETOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA 
UFPI 
Gildásio Guedes Fernandes 
 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
Helder Nunes da Cunha 
 
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA NA MODALIDADE EaD 
Miguel Arcanjo Costa 
 
COORDENADORA DO MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI/UAPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Olivei ra 
 
DIAGRAMAÇÃO 
Gisel le da Si lva Castro 
 
COORDENADOR DE REVISÃO DE TEXTO 
Naziozênio Antonio Larcerda 
 
REVISÃO ORTOGRÁFICO-GRAMATICAL 
Francisco Well ington Borges Gomes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
Este texto é destinado aos estudantes do Curso de 
Licenciatura em Física – Modalidade a Distância e tem a 
pretensão de se tornar o primeiro contato deles com o estudo 
de Geometria Analítica. 
O texto é composto de nove unidades, contendo itens e 
subitens que discorrem sobre: Sistemas de coordenadas 
cartesianas, vetores no plano e no espaço, produto interno no 
plano IR2, a reta no IR2, curvas planas, lugares geométricos, o 
espaço vetorial IR3, e superfícies. 
 
Na Unidade 01, estudaremos os conceitos de pares e 
ternos ordenados, além das operações de adição de pares e 
ternos e da multiplicação de escalar por um par e por um terno.
 Em seguida, apresentaremos os conceitos de sistemas 
cartesianos no plano e no espaço com suas respectivas 
representações geométricas. 
 
Na Unidade 02, estudaremos os conceitos de vetores, 
as operações de adição de dois vetores e a multiplicação de 
um escalar (número real) por um vetor e as propriedades. 
 
Na Unidade 03, formalizaremos os conceitos de produto 
interno, módulo de um vetor, ângulo de dois vetores, 
paralelismo, ortogonalidade e projeção ortogonal. 
 
Na Unidade 04, apresentaremos e formalizaremos o 
estudo da equação da reta em várias formas, suas posições 
relativas e a distância entre ponto e reta. 
 
Na Unidade 05, estudaremos os conceitos de curvas 
planas e, em particular, os conceitos envolvendo 
 
 
 4 
circunferência, além das posições relativas entre ponto e 
circunferência e entre reta e circunferência. 
 
Na Unidade 06, estudaremos os lugares geométricos e 
suas equações, destacando, entretanto, o estudo das cônicas, 
suas equações reduzidas, seus elementos e representações 
gráficas. 
 
Na Unidade 07, estudaremos os conceitos de produto 
interno, produto vetorial, produto misto e aplicaremos estes 
conceitos no cálculo do módulo de um vetor, distância entre 
pontos, ângulo de dois vetores, áreas e volumes. 
 
 Na Unidade 08, estudaremos as equações do plano e 
da reta nas suas várias formas. 
 
Na Unidade 09, apresentamos as características de 
algumas superfícies, suas equações e gráficos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
UNIDADE 01 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS 
1.1 Pares ordenados .................................................................. 11 
1.1.1 Condição de igualdade ...................................................... 11 
1.2 Produto cartesiano ............................................................... 11 
1.3 Sistemas de coordenadas no plano ...................................... 12 
1.4 Ternos ordenados ................................................................ 14 
1.5 Sistemas de coordenadas no espaço ................................... 14 
1.6 Adição em IR2 ..................................................................... 16 
1.7 Multiplicação de um escalar por um elemento de R2 ............ 16 
1.8 Adição em IR3 ...................................................................... 17 
1.9 Multiplicação de um escalar por um elemento de R3 ............ 17 
1.10 Propriedades ...................................................................... 17 
1.11 Lista de exercícios .............................................................. 18 
 
UNIDADE 02 VETORES ............................................................ 21 
2.1 Quantidades escalares ........................................................ 23 
2.2 Quantidades vetoriais .......................................................... 23 
2.3 Segmento orientado ............................................................. 23 
2.4 Segmento nulo .................................................................... 24 
2.5 Segmento oposto ................................................................. 24 
2.6 Medida de um segmento de reta .......................................... 24 
2.7 Direção ................................................................................. 25 
2.8 Sentido ................................................................................. 25 
2.9 Segmentos equipolentes ...................................................... 26 
2.10 Propriedades da relação de equipolência ........................... 26 
2.11 Vetor determinado por um segmento orientado AB. ........... 27 
2.12 Vetores: casos particulares ................................................ 27 
2.13 Vetores no plano cartesiano ............................................... 28 
2.14 Operações com vetores...................................................... 29 
2.15 Representação geométrica ................................................. 30 
2.16 Lista de exercícios .............................................................. 31 
2.17 Propriedades da aritmética vetorial ................................... 32 
2.18 Lista de exercícios ............................................................. 33 
 
 
 
 6 
UNIDADE 03 PRODUTO INTERNO NO PLANO IR2 ................. 35 
3.1 Produto Interno ..................................................................... 37 
3.2 Propriedades do produto interno ........................................... 37 
3.3 Módulo de um vetor .............................................................. 38 
3.4 Vetor unitário ......................................................................... 38 
3.5 Versor de um vetor ................................................................ 38 
3.6 Paralelismo ........................................................................... 38 
3.7 Ortogonalidade ..................................................................... 39 
3.8 Lista de exercícios ................................................................ 40 
3.9 Ângulo de dois vetores .......................................................... 41 
3.10 Afirmação ............................................................................ 41 
3.11 Lista de exercícios .............................................................. 42 
3.12 Projeção ortogonal - caso particular .................................... 43 
3.13 Cálculo do vetor projeção .................................................... 43 
3.14 Projeção ortogonal - caso geral ........................................... 44 
3.15 Lista de exercícios ............................................................. 44 
 
UNIDADE 04 A RETA NO IR2 .................................................... 46 
4.1 A equação vetorial da reta ....................................................48 
4.2 Equações paramétricas da reta ............................................. 48 
4.3 Equação da reta definida por dois pontos ............................. 49 
4.4 Lista de exercícios ................................................................ 51 
4.5 Posições relativas de duas retas ........................................... 52 
4.6 Equação geral da reta ........................................................... 53 
4.7 Lista de exercícios ................................................................ 54 
4.8 Distância entre ponto e reta .................................................. 55 
4.9 Lista de exercícios ................................................................ 56 
 
UNIDADE 05 CURVAS PLANAS ............................................... 58 
5.1 Equação de uma curva plana ................................................ 60 
5.2 Equação reduzida da circunferência ..................................... 61 
5.3 Equação geral da circunferência ........................................... 61 
5.4 Reta e circunferência: posições relativas .............................. 64 
5.5 Ponto e circunferência: posições relativas ............................ 66 
5.6 Lista de exercícios ............................................................... 67 
 
 
 
 7 
UNIDADE 06 LUGARES GEOMÉTRICO................................... 69 
6.1 Definição .............................................................................. 71 
6.2 Equação de um lugar geométrico ......................................... 71 
6.3 Lista de exercícios ................................................................ 73 
6.4 Parábola ............................................................................... 74 
6.5 Equação da parábola com vértice na origem ........................ 75 
6.6 Equação da parábola: caso geral ......................................... 76 
6.7 Lista de exercícios ................................................................ 80 
6.8 Elipse ................................................................................... 82 
6.9 Equação da elipse ................................................................ 83 
6.10 Lista de exercícios .............................................................. 85 
6.11 Hipérbole ............................................................................ 88 
6.12 Equação da hipérbole ......................................................... 88 
6.13 Lista de exercícios .............................................................. 90 
 
UNIDADE 07 O ESPAÇO VETORIAL IR3 ................................. 93 
7.1 Produto interno no espaço IR3 ............................................. 95 
7.2 Módulo de um vetor .............................................................. 96 
7.3 Distância entre dois pontos .................................................. 96 
7.4 Paralelismo e ortogonalidade ............................................... 97 
7.5 Ângulo de dois vetores ......................................................... 98 
7.6 Lista de exercícios ................................................................ 98 
7.7 Produto vetorial .................................................................... 100 
7.8 Propriedades ........................................................................ 101 
7.9 Produto misto ....................................................................... 103 
7.10 Cálculo do produto misto .................................................... 104 
7.11 Propriedades ...................................................................... 104 
7.12 Vetores coplanares ............................................................. 105 
7.13 Lista de exercícios .............................................................. 107 
7.14 Áreas .................................................................................. 108 
7.14.1 Área de um paralelogramo .............................................. 108 
7.14.2 Área de um triângulo ....................................................... 109 
7.15 Volumes ............................................................................. 110 
7.15.1 Volume de um paralelepípedo ......................................... 110 
7.15.2 Volume de um tetraedro .................................................. 110 
7.16 Lista de exercícios .............................................................. 112 
 
 
 8 
UNIDADE 08 PLANO E RETA ................................................... 113 
8.1 Equação geral do plano ........................................................ 115 
8.2 O plano definido por três pontos ........................................... 118 
8.3 Lista de Exercícios ................................................................ 119 
8.4 Equação da reta .................................................................... 121 
8.5 Lista de Exercícios ................................................................ 124 
8.6 Distância de um ponto a um plano ....................................... 126 
8.7 Lista de exercícios ................................................................ 128 
 
UNIDADE 09 SUPERFICIES ...................................................... 129 
9.1 Introdução ............................................................................. 131 
9.2 O Estudo dos casos .............................................................. 131 
9.3 Cilindros: definição ................................................................ 135 
9.4 Os cilindros eliticos, hiperbólico e parabólicos ...................... 135 
 
REFERÊNCIAS .......................................................................... 137 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
UNIDADE 01 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS 
1.1 Pares ordenados ................................................................... 11 
1.1.1 Condição de igualdade ....................................................... 11 
1.2 Produto cartesiano ................................................................ 11 
1.3 Sistemas de coordenadas no plano ...................................... 12 
1.4 Ternos ordenados ................................................................. 14 
1.5 Sistemas de coordenadas no espaço .................................... 14 
1.6 Adição em IR2 ..................................................................... 16 
1.7 Multiplicação de um escalar por um elemento de R2 ........... 16 
1.8 Adição em IR3 ...................................................................... 17 
1.9 Multiplicação de um escalar por um elemento de R3 ........... 17 
1.10 Propriedades ....................................................................... 17 
1.11 Lista de exercícios .............................................................. 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
OBJETIVO 
 
Nosso objetivo, nesta unidade, é identificar os sistemas 
de coordenadas retangulares no plano IR2 e no espaço IR3. 
 
1.1 Pares ordenados 
Entendemos por par ordenado um conjunto de dois 
elementos considerados numa dada ordem. 
( x, y ) é o par ordenado em que o primeiro termo é x e o 
segundo é y 
 
1.1.1 Condição de igualdade 
 Dois pares ordenados são iguais se tiverem os primeiros 
termos iguais entre si e também os segundos termos iguais 
entre si, isto é, 
( a, b ) = ( c, d ) ⇔ a = c e b = d 
 
Exemplos 
a) ( a, b ) = ( 3, 5 ) ⇔ a = 3 e b = 5 
b) ( a, b ) = ( 7, 2 ) ⇔ a = 7 e b = 2 
 
1.2 Produto cartesiano 
 O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o 
conjunto denotado porA x B e tal que: 
 i) A x B = φ se A =φ ou B = φ 
 ii) A x B = {( x, y ) Ax ∈ e y∈ B } 
 
Exemplo 
Se A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3 } tem-se 
A x B = {( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 1, 3 ), ( 2, 1 ), ( 2, 2 ), ( 2, 3 ) } 
 
 
 
 12 
Y
 
0
Y '
 XX'
1.3 Sistema de coordenadas retangulares no plano 
 
Um sistema de coordenadas cartesianas tem por 
finalidade, entre outras, dar uma visualização geométrica aos 
pares ordenados do produto cartesiano A x B. 
 Considere duas retas xx’ e yy’ perpendiculares entre si e 
com um ponto em comum 0 
 
 A reta xx’ é denominada eixo dos x; 
 A reta yy’ é denominada eixo dos y; 
 O ponto 0 é chamado de origem. 
 
 A partir dessas duas retas e da origem 0, 
estabeleceremos um sistema de coordenadas para o plano da 
seguinte maneira: a cada ponto P do plano, conduzimos 
perpendiculares aos eixos x e y. Essas perpendiculares 
encontrarão os eixos em pontos de coordenadas x e y, 
respectivamente. Assim, colocamos em correspondência os 
pontos do plano e os pares (x, y)∈IR2. 
Agora, a cada par ordenado (x, y)∈ IR2, consideremos 
no eixo x o ponto de coordenada x e no eixo y o ponto de 
coordenada y. Por cada um desses pontos, conduzimos as 
perpendiculares ao eixo. O cruzamento dessas retas determina 
um ponto P. 
Desta forma, temos uma correspondência biunívoca 
entre os pontos P do plano e os pares (x, y), pertencentes a 
IR2. 
A essa correspondência damos o nome de sistema de 
coordenadas cartesianas no plano. 
 
 
 
 
 
 13 
y
 x 0
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo A = { 0, 1, 2 } e B = { -1, 0, 1 }, então A x B será 
representado como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
Se A = B, representamos A x B por A2 ou B2. 
 
Exemplo 
Se A = B = R, então A x B = IR2 e sua representação 
geométrica é todo o plano, isto é, o conjunto de pares ( x, y ) 
tais que x, y ∈ IR. 
 
 
 
 IR2 
 
 
y
xx
y P
 0
-1 
1 
x 
y 
0 1 2 
 
 14 
1.4 Ternos ordenados 
 
 O conceito de par ordenado pode ser estendido para o 
conceito de terno ou tripla ordenada. Para tanto, basta 
considerá-lo como sendo um conjunto de três elementos 
tomados numa determinada ordem. 
Assim, (x, y, z) é o terno ordenado no qual o primeiro 
terno é x, o segundo é y e o terceiro é z. 
Da mesma forma, temos o produto cartesiano A x B x C, 
que é o conjunto dos ternos ordenados (x, y, z) tais que x∈A, 
y∈B e z∈C. 
A x B x C = {(x, y, z) x∈A, y∈B e z∈C} 
 
Aqui, como em IR2, temos também a igualdade de ternos 
ordenados, isto é, (x, y, z) e (a, b, c) são iguais se, e somente 
se x = a, y = b, z = c. 
 
(x, y, z) = (a, b, c) ⇔ x = a, y = b, z = c 
 
Exemplo 
Sendo A = B = C = IR, temos que 
A x B x C = IR x IR x IR = IR3 = {(x, y, z)/ x, y, z ∈ IR }. 
 
1.5 Sistema de coordenadas retangulares no espaço. 
 
Neste caso, para o sistema de coordenadas cartesianas, 
considera-se três retas xx’, yy’ e zz’ perpendiculares duas a 
duas e com um ponto em comum 0. 
 
 
A reta xx’ é denominado eixo dos x, yy’ eixo dos y e zz’ 
eixo dos z. 
 
z
x'
 y
 z'
 x
 y '
0 
 
 15 
Observe que os três eixos determinam os planos xy, xz 
e yz. Dado um ponto P do espaço, seja P’ a projeção ortogonal 
de P sobre o plano xy, e seja (x, y) o par associado a P’; Seja z 
a coordenada no eixo z, do pé da perpendicular ao eixo z, 
passando por P; Daí, associamos a cada ponto P um terno ( x, 
y, z ) de números reais. 
 
Seja, agora, um terno ( x, y, z ) ∈IR3 e façamos a 
seguinte associação: seja P’ o ponto do plano xy de 
coordenadas x e y; Passando por P’, consideremos uma reta s 
perpendicular ao plano xy; Seja P, em s, o pé da perpendicular 
a s, passando pelo ponto do eixo z cuja coordenada é z; Assim, 
obtemos uma correspondência entre os ternos ( x, y, z ) e os 
pontos do espaço 
 A correspondência biunívoca descrita é chamada de 
sistema de coordenadas cartesianas para o espaço. 
 
Exercício resolvido 
 
No sistema a seguir, identifique os pontos A, B, C, D, E, 
F, G, O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 3, 0), C(0, 3, 0), D(0, 3, 4), 
E(0, 0, 4), F(2, 0, 4) e G(2, 3, 4) 
 
 
x
y
z
0
x
y
 z
P'
 P
s
A B
 C
 F
E D
G
Z
 y
 0
X
 
 16 
 
z
y
x
 0
Observação 
O IR3 é representado pelo conjunto de todos os pontos 
do espaço, isto é, o conjunto dos ternos (x, y, z) tais que x, y, z 
∈ IR. 
 
 
 
 IR3 
 
 
 
1.6 Adição em IR2 
Chamamos soma dos pares ( x1, y1 ) e ( x2, y2 ) o par 
( x1 + x2, y1 + y2 ) e o indicamos por ( x1, y1 ) + ( x2, y2 ). 
( x1, y1 ) + ( x2, y2 ) = ( x1 + x2, y1 + y2 ) 
 
Exemplo 
 (8, 3) + (-5, 2) = (8 + (-5), 3 + 2) = (3, 5) 
(2, 1) + (3, 2) = (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3) 
 
 
1.7 Multiplicação de um escalar (k ∈ IR) por um elemento 
de IR2 
 
Chamamos produto do número real k pelo par (x, y) o 
par (kx, ky) e o indicamos por k(x, y). 
k(x, y) = (kx, Ky) 
 
Exemplos 
5(2, 1) = (5.2, 5.1) = (10, 5) 
3(2, 3) = (3.2, 3.3) = (6, 9) 
 
 
 
 17 
1.8 Adição em IR3 
 
Chamamos soma dos ternos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) o 
terno (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) e indicamos por (x1, y1, z1) + (x2, 
y2, z2). 
 
( x1, y1, z1 ) + ( x2, y2, z2 ) = ( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2 ) 
 
Exemplos 
( 1, 2, 3 ) + ( -3, 4, 1 ) = ( 1 + ( -3 ), 2 + 4, 3 + 1 ) = ( -2, 6, 4 ) 
( 6, 2, 3 ) + ( 2, 4, 3 ) = ( 6 + 2, 2 + 4, 3 + 3 ) = ( 8, 6, 6 ) 
 
1.9 Multiplicação de um escalar (k∈IR) por um elemento de 
IR3 
 
Chamamos produto do número real k pelo terno (x, y, z) o 
terno (kx, ky, kz) e o indicamos por k(x, y, z). 
k(x, y, z) = (kx, ky, kz) 
 
Exemplos 
 3( 1, 2, 3 ) = ( 3.1, 3.2, 3.3 ) = ( 3, 6, 9 ) 
 5( 2, 0, 3 ) = ( 5.2, 5.0, 5.3 ) = ( 10, 0, 15 ) 
 
1.10 Propriedades 
Sejam A, B e C elementos quaisquer de IR2 (ou IR3 ) e 
sejam m e n números reais quaisquer, 
Temos: 
i) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) 
ii) A + B = B + A (comutativa) 
iii) ∃ 0 tal que A + 0 = 0 + A = A ∀ A (elemento neutro) 
iv) ∀ A ∃ -A ∈ IR2 tal que A + (-A) = (-A) + A = 0 
(elemento oposto) 
v) m(A + B) = mA + mB 
 
 18 
vi) (m + n)A = mA + nA 
vii) m(nA) = (mn) A 
viii) 1 A = A 
 
NOTA: A veracidade de tais propriedades pode ser constatada 
usando os conceitos de adição e multiplicação e propriedades 
usuais vistas no conjunto dos números reais. 
 
 
1.11 Lista de exercícios 
 
1) Determine x e y de modo que seja verdadeira a igualdade 
a) ( x, y ) = ( 1, 3 ) 
b) ( x + 1, 2y ) = ( 3, 6 ) 
c) ( x + 2y, 2x – y ) = ( 6, 2 ) 
 
2) Determine x, y e z de modo que seja verdadeira a 
igualdade 
 a) ( 1, 3, 2 ) = ( x, y + 1, z – 4 ) 
 b) ( x + y, x – z , y + z ) = ( 3, -3, 6 ) 
 
3) Dadas A = ( 1, 3 ), B = ( 3, 4 ), determinar 
 a) A + B 
 b) 2A + B 
 c) -2B 
 
4) Dados A = ( 3,-1, 2 ), B = ( 5, 7, 1 ) e C = ( 0, -3, 5 ), 
determine 
 a) A – B + 2C 
 b) 2(3B) + 5A – 3C 
 c) B + 2A 
 
 
 19 
5) Represente geometricamente, em cada caso, os pontos (x, 
y) sabendo que: 
 a) x - y = 0 
 b) x = 2 
 c) y = 2 
 d) xy ≥ 0 
 
6) Determinar os valores de x e y, sabendo que 
x ( 1, 0 ) + y ( 0, 1 ) = ( 3, 2 ). 
 
7) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que 
x ( 1, 0, 0 ) + y ( 0, 1, 0 ) + z ( 0, 0, 1 ) = ( -3, 3, 2 ). 
 
Respostas dos exercícios 
 
1) a) x = 1 e y =3 
b) x = 2 e y = 3 
c) x = 2 e y = 2 
 
 2) a) x = 1, y = 2 e z = 6 
 b) x = 1, y = 2 e z = 4 
 
3) a) ( 4, 7 ) 
b) ( 5, 10 ) 
c) ( -6, -8 ) 
 
4) a) ( -2, -1, 11 ) 
b) ( 45, 46, 1 ) 
c) ( 11, 5, 5 ) 
 
 
 
 
 
 20 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: a resposta do exercício 5d) é a área 
correspondente aos quadrantes 01 e 03 
 
6) x = 3 e y = 2 
 
7) x = -3, y = 3, z = 2 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para um maior aprofundamento dos 
conteúdos abordados nesta unidade, sugerimos a consulta aos 
links abaixo relacionados: 
a) http:// pt.wikipedia.org 
b) www.ccmn.ufrj.br/ 
c) http:// fma.rf.usp.br/~abramo/aulas/node9.html 
 
 
5 a) 5 b)
5 c)
x
y
0 0 x
y
x
y
0 0 x
y
quadrante 03
 '
5 d)
quadrante 01
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 
 
UNIDADE 02 VETORES ............................................................. 21 
2.1 Quantidades escalares ......................................................... 23 
2.2 Quantidades vetoriais .......................................................... 23 
2.3 Segmento orientado .............................................................. 23 
2.4 Segmento nulo ..................................................................... 24 
2.5 Segmento oposto .................................................................. 24 
2.6 Medida de um segmento de reta ........................................... 24 
2.7 Direção ................................................................................. 25 
2.8 Sentido .................................................................................. 25 
2.9 Segmentos equipolentes ....................................................... 26 
2.10 Propriedades da relação de equipolência ........................... 26 
2.11 Vetor determinado por um segmento orientado AB. ............ 27 
2.12 Vetores: casos particulares ................................................. 27 
2.13 Vetores no plano cartesiano ................................................ 28 
2.14 Operações com vetores ...................................................... 29 
2.15 Representação geométrica ................................................. 30 
2.16 Lista de exercícios .............................................................. 31 
2.17 Propriedades da aritmética vetorial .................................... 32 
2.18 Lista de exercícios ............................................................. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
OBJETIVO 
 
 Apresentar os conceitos de vetores algebricamente e 
geometricamente nos casos IR2 e IR3, ou seja, nos casos de 
duas e três dimensões. 
 
2.1 Quantidades escalares 
 
Chamamos de quantidades escalares as quantidades 
físicas que ficam completamente determinadas por sua 
magnitude. 
 
Exemplos 
 Área, comprimento, massa, temperatura. 
 
2.2 Quantidades vetoriais 
 
 Chamamos de quantidades vetoriais as quantidades físicas 
que só estão completamente determinadas quando estão 
especificadas a magnitude, uma direção e um sentido. 
 
Exemplos 
Força, deslocamento. 
 
2.3 Segmento orientado 
 
Segmento orientado de origem A e extremidade B, 
representado por AB, é o conjunto dos pontos da reta que 
passa por A e B, compreendidos entre tais pontos e os 
incluindo. 
 
 
 
 
 
 24 
u
B
A 
B
A 
 
 Representação 
 
 
 
 
 
 
2.4 Segmento nulo 
 
Segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com 
a origem. 
 
 2.5 Segmento oposto 
 
Chamamos de segmento oposto do segmento orientado 
AB o segmento orientado BA. 
 
 Representação 
 
 
 
 
2.6 Medida de um segmento de reta 
 
 Chamamos de medida de AB, e representamos por AB , o 
número de vezes que uma determinada unidade pré-definida 
está contida nele. 
 
Exemplo 
Sendo a unidade, tem-se que a medida do segmento 
AB a seguir é 5u. 
 
 
 
 
 u
 
 u
 u 
 u
 u
 B
 A
 
 25 
B 
A 
C 
D 
 A
 B
 C
 D
B 
A 
C 
D 
 A
 B
 C
 D
B 
A 
C 
D 
 A
 B
 C
 D
2.7 Direção 
 
 Dois segmentos não nulos AB e CD têm a mesma 
direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas 
ou coincidentes. 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 Sentido 
 
Diz-se que dois segmentos AB e CD de mesma direção 
têm mesmo sentido se, estando em retas paralelas, os 
segmentos AC e BD (unindo as origens e as extremidades) são 
disjuntos (AC ∩ BD = φ ) e, estando em retas coincidentes, 
deslocando-se um de modo a fazer as origens 
coincidirem (A = C), as novas extremidades estarão numa 
mesma semi-reta de origem A = C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mesmo sentido Sentidos contrários 
 
 
 
 
 
 
 26 
2.9 Segmentos equipolentes 
 
Dois segmentos orientados AB e CD são ditos 
equipolentes se tiverem mesmo comprimento, mesma direção 
e mesmo sentido. 
 
 
 
 
 
 
Observação 
 Se AB e CD estiverem em uma mesma reta; se 
deslocarmos o ponto C de modo a coincidir com o A e o ponto 
D de modo a coincidir co m o B, se estiverem em retas 
paralelas; se traçarmos segmentos unindo os pontos A e C e B 
e D, o quadrilátero de vértices A, B, D e C é um 
paralelogramo. 
 
Notação 
Usaremos a representação AB~CD para indicar que AB 
e CD são segmentos equipolentes. 
 
 
2.10 Propriedades da relação de equipolência 
 
 1ª) Reflexiva : AB~AB; 
 2ª) Simétrica: AB~CD ⇒ CD~AB; 
 3ª) Transitiva: AB~CD e CD~EF ⇒AB~EF; 
 4ª) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, 
existe um único ponto D tal que AB~CD. 
 
 
 A
 B
 C
 D
 A
 B
C
 D
Observação: 
 
Dois segmentos 
nulos são sempre 
equipolentes. 
 
 
 27 
2.11 Vetor determinado por um segmento orientado AB. 
 
Chamamos de vetor determinado pelo segmento AB o 
conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. 
 
Notação 
v
r
 = 
→
AB = { XY ABXY ~ } 
 
 
2.12 Vetores: casos particulares 
 
a) Diz-se que →AB e →CD são iguais quando AB é equipolente 
a CD; 
b) Diz-se que →AB é o vetor nulo quando A coincide com B; 
c) Chamamos de oposto de →AB o vetor →BA e o indicamos 
por -
→
AB ; 
d) Diz-se que ur= →AB é um vetor unitário quando o 
comprimento do segmento AB é igual a 1; 
e) Diz-se que um vetor unitário ur é o versor de vrse ur e 
v
r
 tiverem mesma direção e mesmo sentido; 
f) Dois vetores ur = →AB e vr = →CD são ditos colineares se 
AB e CD tiverem a mesma direção; 
g) Diz-se que três vetores wevu rrr , não nulos são coplanares 
quando possuem representantes AB, CD e EF situados em 
um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
Nota: 
Os segmentos 
orientados XY 
equipolentes a AB 
são chamados de 
representantes do 
vetor vr = 
→
AB . 
 
 28 
 G 
 F
 E 
 C
 X 
 A
 B 
 D
 y
y
x0
A
B
a
 b
2.13 Vetores no plano cartesiano 
 
A introdução de coordenadas retangulares tem também 
uma outra razão: simplificar as situações envolvendo cálculos 
vetoriais 
Na figura abaixo considere o vetor vr = 
→
AB : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A este vetor, podemos associar um par ordenado (a, b) 
∈ IR2 em que a é a medida algébrica da projeção de AB na 
direção do eixo x e b é a medida algébrica da projeção de AB 
na direção do eixo y. 
Desta forma, com esta associação, dizemos que o vetor 
v
r
 é o vetor de coordenadas a e b e o indicamos por vr = (a, b). 
 
Exemplos 
 
Na figura ao lado temos 
 
 
→
AB = ( 2, 3 ) 
 
→
CD
 = ( 2, -1 ) 
 
→
EF = ( -3, -2 ) 
 
→
GH = ( -3, 2 ) 
 H 
 
 
 
 
 29 
A
B
 C
a
b
Sendo A = ( x1, y1 ) e B = ( x2, y2 ), determine as 
coordenadas do vetor vr =
→
AB . 
 
 
 y 2 
 
 12 yy −



 
 0 x 1 321
12 xx −
x 2 y 1 
 
 
Solução: Observando o triângulo ABC, podemos constatar 
que a medida algébrica a da projeção do segmento AB na 
direção do eixo x é x2 – x1 e a medida algébrica b da projeção 
do segmento AB na direção do eixo y é y2 – y1. 
Daí, vr = 
→
AB = B – A = ( x2 – x1, y2 – y1 ). 
 
Exemplo 
Sendo A = ( 2, 1 ) e B = ( 4, 4 ), tem-se 
→
v = 
→
AB = B – A = ( 2, 3 ). 
 
 
2.14 Operações com vetores 
 
Sejam ur = ( x1, y1 ) e vr = ( x2, y2 ) e m∈IR. 
 
Definição: a) ur + vr = ( x1 + x2, y1 + y2 ) 
 b) mur=( mx1, my1 ) 
 
Exemplos 
 
Sendo ur= ( 1, 3 ) e vr = ( 5, 2 ), temos: 
 
a) ur + vr = ( 1, 3 ) + ( 5, 2 ) = ( 6, 5 ) 
 
b) 2ur = ( 2, 6 ) 
 
c) -2ur + vr = ( -2, -6 ) + ( 5, 2 ) = ( 3, -4 ) 
 
 
 30 
 0 0
2.15 Representação geométrica 
 
 Representando geometricamente a soma ur + vr e o 
produto mur em que ur= ( x1, y1 ) e vr = ( x2, y2 ), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é, ur
 + v
r
 
é o vetor representado pela diagonal OC do 
paralelogramo determinado por ur= 
→
OA e vr = 
→
OB e o vetor 
um
r
 tem como representante o segmento OD, que tem mesma 
direção de um segmento representante de ur , comprimento 
m vezes a medida de um de seus representantes, e mesmo 
sentido se m > 0, e sentido oposto se m< 0. Além disso, um r = 
0
r
 se m = 0 ou 0
rr
=u . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
21 yy +
2y
A
B
1y
2x 1x 21 xx +
D
1x 1mx
1y
1my
um
r
A
 
 31 
 
2.16 Lista de exercícios 
 
 
1) Dar as coordenadas de cada um dos seguintes 
vetores: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados A(1, 2), B(3, 2), C(0, 4) e D(-1, -3), calcular os 
seguintes vetores: 
a) →→ + CDAB 2 c) 3 →→ − BCAD 2 
b) →→ − BDAC d) →→→ ++ CABCAB 
 
3) Sendo →= ABvr , A( 2, 3 ) e )5,7(=vr , então qual é o 
ponto B? 
4) Determine o ponto C tal que →→ = ABAC
4
1
, sendo A(3, 
9) e B(13, 17). 
u
x
 y y
 u
x
x
 y y
x
u
 
 32 
5) Sendo A(2, 3) B(9, 0), C(-1, 4) e D(5, 1), determine 
→→→
−+ ADBCAB 2 . 
6) Sendo A(2, 3), B(9, 0), C(-1, 4) e D(5, 1), determine 
X tal que 
→
DX =
→→→
−+ ADBCAB 2 . 
 
Respostas dos exercícios 
 
1) a) ( 4, 3 ) 
 b) ( 3, -3 ) 
 c) ( -2, 2 ) 
 d) (-4, -3 ) 
 
2) a) ( 0, -14 ) 
 b) ( 3, 7 ) 
 c) ( 0, -19 ) 
d) ( 0, 0 ) 
 
3) (9, 8) 
 
4) ( 11,
2
11 ) 
5) (-9, 5) 
 
6) (-4, 6) 
 
 
2.17 Propriedades da aritmética vetorial 
 
 Se wevu rrr , são vetores do IR2 e m e n são escalares 
(números reais), então: 
 a) vu rr + = uv rr + 
b) wvu rrr ++ )( = )( wvu rrr ++ 
c) ur + 0 = 0 + ur = ur 
d) ur + ( -ur ) + 0 
e) m( nur ) = ( m.n )ur 
f) m (ur + vr ) = mur + m vr 
g) ( m + n ) ur = mur + nur 
h) 1ur = ur 
 
 
 
 
 33 
 
2.18 Lista de exercícios 
 
 
1) Da igualdade (x + y, x – y) = (5, 7) podemos concluir 
que: 
 a) x = 6 e y = -1 b) x = 1 e y = -6 
 c) x = 3 e y = 2 d) x = 5 e y = 0 
 e) x = - 1 e y = -6 
 
2) Dado o ponto P(3, 2), os pontos simétricos de P em 
relação ao eixo x, ao eixo y e à origem do sistema 
cartesiano são, respectivamente: 
a) (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) b) (3, -2), (-3, 2), (2, 3) 
c) (-3, 2), (3, -2), (-3, -2) d) (-3, -2), (3, -2), (3,-2) 
e) nra 
 
3) Os vetores ur = (1, 2), vr = (9, 12) e wr = (x, 6) são 
tais que 3ur + wr = vr . O valor de x é: 
a) x = 12 b) x = 9 c) x = 6 
d) x = 8 e) x = 10 
 
4) Dados A(2, -1) e B(5, 2), o ponto do segmento AB que 
dista de A a metade do que dista de B é: 
a) (3, 0) b) (2, 2) c) (4, 1) 
d) ( )
2
1
,
2
7
 e) nra 
 
5) Dos pontos que dividem o segmento AB, sendo A (2, 
9) e B (16, -5), em sete partes iguais, o que está mais 
próximo de B é: 
a) (4, 7) b) (9, 2) c) (13, -2 ) d) ( 14, -3 ) 
e) nra 
 
 
 34 
Respostas dos exercícios 
 
1) a 2) a 3) c 4) a 
 
5) d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para um maior aprofundamento dos 
conteúdos abordados nesta unidade, sugerimos a 
consulta aos links abaixo relacionados: 
 
a) http:// educar.sc.usp.br/física/vetores.html 
b) www.mat.ufmg.br/~Regi/gaalt/gaalt1.pdf 
c)http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometri
a/vetor2d:htm#vet02 
 
 
3536 
 
 
UNIDADE 03 PRODUTO INTERNO NO PLANO IR2 ................. 35 
3.1 Produto Interno ..................................................................... 37 
3.2 Propriedades do produto interno ........................................... 37 
3.3 Módulo de um vetor .............................................................. 38 
3.4 Vetor unitário ......................................................................... 38 
3.5 Versor de um vetor ................................................................ 38 
3.6 Paralelismo ........................................................................... 38 
3.7 Ortogonalidade ..................................................................... 39 
3.8 Lista de exercícios ................................................................ 40 
3.9 Ângulo de dois vetores .......................................................... 41 
3.10 Afirmação ............................................................................ 41 
3.11 Lista de exercícios .............................................................. 42 
3.12 Projeção ortogonal - caso particular .................................... 43 
3.13 Cálculo do vetor projeção .................................................... 43 
3.14 Projeção ortogonal - caso geral ........................................... 44 
3.15 Lista de exercícios ............................................................. 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
OBJETIVO 
 
 Compreender o conceito de produto interno de dois 
vetores e utilizá-los no cálculo de módulo de um vetor, no 
cálculo do ângulo de dois vetores, na identificação de vetores 
ortogonais e no cálculo da projeção ortogonal de vetores. 
 
 
3.1 Definição 
 
Produto escalar (ou produto interno usual) de dois 
vetores ur = (x1, y1) e vr = (x2, y2) do espaço IR2 é o número 
real x1x2 + y1y2, indicado por u
r
. v
r
. 
u
r
. v
r
 = x1x2 + y1 y2 
 
Exemplo 
Dados ur = ( 2, 3 ) e vr = ( 1, 4 ), temos ur .vr = 2.1 + 
3.4 = 14. 
 
3.2 Propriedades 
 
a) ur .vr = vr . ur 
b) ur .(vr + wr ) = ur .vr + ur . wr , ∀ ur , vr , wr ∈ IR2 
c) ur ( λ vr ) = λ (ur .vr ) , ∀ ur , vr ∈ IR2 e λ ∈ IR 
d) ur .ur ≥ 0 ∀ ur ∈ IR2 e ur .ur = 0 ⇔ ur = 0 
 
Exemplos 
 Dados ur= ( 1, 3 ), vr = ( 2, 2 ) e wr = ( 3, 2 ), temos: 
i) ur .vr = 1.2 + 3.2 = 8 = 2.1 + 2.3 = vr . ur 
 ii) ur .ur = 1.1 + 3.3 = 12 + 32 = 10 
 iii) ww rr . = 3.3 + 2.2 = 32 + 22 = 13 
 
 
 
 
 
 38 
3.3 Definição 
 
Módulo de um vetor ur = ( x, y ) do IR2 é o número real 
não negativo, indicado por ur e dado por 22 yx + = uu rr . 
u
r
=
22 yx + ou u
r
= uu
rr
. . 
 
Exemplos 
Dados ur = ( 3, 4 ) e vr = ( 6, 8 ), temos: 
u
r
= 169 + = 25 = 5 
v
r
= 6436 + = 100 = 10 
 
3.4 Definição 
Diz-se que um vetor ur é unitário se ur = 1. 
 
Exemplo 
u
r
 = 







2
3
,
2
1
 é unitário, pois ur = 
4
3
4
1
+
 = 
4
4
= 1. 
 
3.5 Definição 
Versor de um vetor vr é o vetor unitário ur que tem a 
mesma direção e mesmo sentido de vr . 
 
Exemplo 
O versor do vetor vr = ( 3, 4 ) é o vetor ur = 





5
4
,
5
3
. 
3.6 Definição 
Dois vetores ur e vr são paralelos e indicados por ur //vr , 
quando possuem mesma direção, isto é, possuem 
representantes em uma mesma reta ou em retas paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 39 
 u
 v u
v
u 
v 
u 
v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelos e mesmo Paralelos e sentidos 
 sentido contrários 
 
 
Desta forma, se vr ≠ 0, então ur é um múltiplo de vr , ou 
seja, ur = λ vr onde λ = ± 
v
u
r
r
, sendo ur = ( x1, y1 ) e vr = ( x2, 
y2 ). 
 
 



=
=
=
21
21
yy
xx
ouvu
λ
λ
λrr
 ou 
2
1
2
1
y
y
x
x
=
 se 0. 22 ≠yx 
 
Exemplos: 
 
Os vetores ur = ( 2, 6 ) e vr = ( 1, 3 ) são paralelos, 
pois 
3
6
1
2
= ; enquanto os vetores ur = ( 1, 5 ) e vr = ( 3, 7 ) 
não são paralelas, pois 
7
5
3
1
≠ . 
 
3.7 Condição de ortogonalidade de dois vetores 
 
 Dados ur e vr vetores, diz-se ur e vr são ortogonais. Os 
indicamos por ur ⊥ vr quando o ângulo formado por dois de 
seus representantes, tendo a mesma origem, medir 90°. 
 
Observe que 222 vuvu rrrr +=+ (Teorema de Pitágoras). 
Daí temos: 
(ur + vr ).( ur+ vr ) = 2vu rr + = ur .ur + vr .vr = 22 vu rr + 
u
r
.u
r
 + u
r
.v
r
 + v
r
. u
r
 + v
r
.v
r
 = u
r
. u
r
 = v
r
.v
r
 
2ur .vr = 0 
 
ou 
 
A B
C
 u + v
u
v
 
 40 
u
r
.v
r
 = 0 
Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for 
igual a zero. 
 
Exemplos 
 
 u
r
 = (3, 2) e vr = (-2, 3) são ortogonais, pois ur .v = 3.(-2) 
+ 2.3 = 0. 
 
 u
r
 = (1, 1) e vr = (-3, 2) não são ortogonais, pois ur .vr = 
-1 ≠ 0. 
 
Observações 
 
a) O vetor nulo é paralelo e também ortogonal a 
qualquer outro vetor. 
b) O paralelismo de dois vetores ur = (x1, y1) e vr = (x2, 
y2) também pode ser visto via determinantes (
22
11
yx
yx
=∆ ), 
sendo u//v se 0=∆ . 
 
 
3.8 Lista de exercícios 
 
1) Complete com //, caso sejam paralelos; com , ⊥ caso 
sejam ortogonais; ou com × , caso não sejam paralelos nem 
ortogonais. 
a) ( 4, 2 ) .... ( 12, 6 ) 
b) ( -1,-3 ) .... ( 3,-1 ) 
c) ( a, b ) .... ( b, -a ) 
d) ( 2, 0 ) .... ( 3, 0 ) 
e) ( -1, 1 ) .... ( 2, 0 ) 
 
2) Determine o valor de m para que ur = ( 1, m ) e 
v
r
 = ( -1, 1 ) sejam: 
a) paralelos 
b) ortogonais 
 
 41 
 
3) Determine um vetor v ortogonal a ur = ( 1, 3 ) cujo 
módulo seja 103 . 
 
4) Determine m de modo que os pontos A(m, 3), B(4, 
0), C(6, 4) sejam vértices de um triângulo retângulo em 
A. 
 
Respostas dos exercícios 
 1) a) // b) ⊥ c) ⊥ d) // e) × 
 2) a) m = -1 b) m = 1 
 3) ( -9, 3 ) ou ( 9, -3 ) 
 4) 3 ou 7 
 
3.9 Ângulo de dois vetores 
 
 Chamamos de ângulo entre dois vetores o ângulo θ , 
variando de 0° a 180°, determinado por duas semirretas de 
mesma origem, contendo cada uma um representante dos 
vetores. 
 
 
 
 
 θ θ = 90° vr θ 
 
 0° < θ < 90° ur 90º < θ < 
180º 
 
 
 θ 
 
u v
 
 θ = 0° θ = 180º 
 
3.10 Afirmação 
 
Dados ur e vr , vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, 
então: 
u
r
.v
r
 = cosvu
rr
θ 
 
u v
u
r
v
r
v
r
 
 42 
C
 u_v u
A v B
Prova: Considere o triângulo ABC da figura,sendo θ o 
ângulo formado pelos vetores ur= 
→
AC e vr = 
→
AB . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela lei dos cossenos, temos: 
 
vuvuvu
rrrrrr 2222 −+=− cosθ 
(ur - vr ).( ur -vr ) = ur . ur + vr .vr -2 cosvu rr θ 
u
r
. u
r
 – 2ur .vr + vv rr. = ur . ur + vv rr. – 2 cosvu rr θ 
-2ur .vr = -2 cosvu rr θ 
u
r
.v
r
 = cosvu
rr
θ 
 
Exemplo 
 
Determinando o ângulo entre ur e vr , sendo ur = ( 3,0) e 
v
r
 = ( 1, 3 ), temos que 
cos θ = 
2
1
2.3
3
)3(1.03
3.01.3
2222
==
++
+
. 
 
Daí concluímos que θ = 60°. 
 
 
 
 
3.11 Lista de exercícios 
 
1) Obter em cada caso o ângulo entre os vetores ur e vr . 
 a) ur= ( 1, -2 ) e vr = ( 4, 2 ) 
 b) ur= ( 2, 3 ) e vr = ( 4, 6 ) 
 c) ur= ( 1, 3 ) e vr = ( -2, -6 ) 
 
2) Calcular as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC, 
em que A(1, 2 ), B (2, 0) e C (0, -1). 
 
 
 43 
A B
C
 u w
v
Resposta dos exercícios 
 
 1) a) 90° 
 b) 0° 
 c) 180° 
 2) Aˆ = 45° , Bˆ = 90° , Cˆ = 45° 
 
 
3.12 Projeção ortogonal 
 
 Na figura a seguir, o vetor wr é a projeção 
ortogonal de vr na direção do vetor unitário ur . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação wr =
→
AB = vpru
r
r
 
 
3.13 Cálculo de wr = vpru
r
r
 onde 1=ur 
 
Observe que wr = uλ , em que λ = 
→
AB . Também observe 
que cosv=λ θ. Daí, 
 w
r
 = vpru
r
r
 = cosvu
r
=λ θ ur = cosvu rr θ ur . Portanto, 
 
w
r
 = vpru
r
r
 = (ur .vr )ur . 
 
Exemplo 
 
 Seja vr = ( 7, 2 ) e ur= 






2
2
,
2
2
, 
 
 44 
então vpru
r
r = ( ) 






















2
2
,
2
2
2
2
,
2
2
.2,7 
 
vpru
r
r = 





2
9
,
2
9
. 
 
3.14 Projeção ortogonal: caso geral 
 
 Sendo ur um vetor não necessariamente unitário, a 
projeção ortogonal de um vetor vr na direção de ur pode ser 
vista como sendo a projeção ortogonal de vr na direção do 
versor de ur que é 
u
u
r
r
. Daí temos: 
 
w
r
 = vpru
r
r
 = (
u
u
r
r
.v
r )
u
u
r
r
= u
u
vu r
r
rr
).( 2 
Exemplo 
 
 Determine a projeção ortogonal de vr = ( 7, 2 ) na 
direção de ur= ( )1,1 . 
Solução: Observe que o vetor ur não é unitário. Daí a projeção 
 
w
r
 = vpru
r
r = )1,1()1,1(.)1,1(
)1,1(.)2,7(
= )1,1(
2
9
= 





2
9
,
2
9
. 
 
 
3.15 Lista de exercícios 
 
 1) Determinar a projeção de vr na direção de ur nos 
seguintes casos: 
 a) vr = ( 1, 3 ) e ur = ( -2, -6 ) 
 b) vr = ( 5, 7 ) e ur = ( 0, 1 ) 
 c) vr = ( 4, 5 ) e ur = ( -1, 2 ) 
 
 45 
 2) Se wr é a projeção de vr = ( 1, -1 ) na direção 
de ur = ( 3, 4 ), determine vr - wr . 
 
 3) Calcular o módulo da projeção de vr = (1, -1) na 
direção de ur = (3, 4). 
 
Respostas dos exercícios 
 1) a) (1, 3) b) (0, 7) c) (
5
12
,
5
6
− ) 
 2) (
25
21
,
25
28
− ) 
3) 
5
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para um maior aprofundamento dos 
conteúdos abordados nesta unidade, sugerimos a consulta 
aos links abaixo relacionados: 
 
www.isa.utp.pt/dm/algebra/material_apoio/teorico/projea_t.
pdf 
 
www.fisica.ufpb.br/prolincen/cursos/curso1/cv13pi.html_6k 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
 
 
UNIDADE 04 A RETA NO IR2 ................................................... 46 
4.1 A equação vetorial da reta .................................................... 48 
4.2 Equações paramétricas da reta ............................................ 48 
4.3 Equação da reta definida por dois pontos ............................. 49 
4.4 Lista de exercícios ................................................................ 51 
4.5 Posições relativas de duas retas .......................................... 52 
4.6 Equação geral da reta .......................................................... 53 
4.7 Lista de exercícios ................................................................ 54 
4.8 Distância entre ponto e reta .................................................. 55 
4.9 Lista de exercícios ................................................................ 56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
vtAP
ou
vtAP
ou
vtAP
+=
=−
=
→
OBJETIVO 
 
 Desenvolver habilidades de cálculo de equações de 
retas em suas várias formas, identificar retas paralelas, retas 
ortogonais e, também, determinar distâncias entre pontos e 
retas. 
 
4.1 A Equação vetorial da reta 
 
 
Seja r a reta que passa pelo ponto A e tem a direção do 
vetor não nulo vr ; 
 
 
Considerando um ponto genérico P(x, y) da reta, temos 
que 
→
AP e vr são paralelos, isto é: 
 
 
 
 ∈t IR 
 
 
 
 
 
chamada de equação vetorial da reta que passa por A 
na direção de vr 
 
Exemplo 
 
 (x, y) = (2, 3) + t(1, 2) é a equação vetorial da reta que 
passa por A(2, 3) na direção de vr = (1, 2). 
 
 
4.2 Equações paramétrica da reta 
 
 Sendo vr = ( )ba, e A ( x1, y1 ) e P ( x, y ), a equação 
vetorial da reta que passa por A e tem a direção de vr é 
 
 
 
 y
v
 A
 P
 x
1
y
 x
A
2
 1
 2
 3
 
v
 
 0
 
 49 
( ) ( ) ( ) IRttyx ∈+= ,3,22,1, 
 
 
( ) ( ) ( ) IRtbatyxyx ∈+= ,,, 11 . 
 
Daí temos IRt
btyy
atxx
∈



+=
+=
1
1
 
 
 chamadas de equações paramétricas da reta que passa 
por A (x1, y1) e tem a direção do vetor vr = (a, b). 
 
Observação: O IRt ∈ é chamado de parâmetro. 
 
Exemplo 
 
 IRt
ty
tx
∈



+=
+=
23
2
 
 
 São as equações paramétricas da reta que passa 
por A (2, 3) e tem a direção de vr = (1, 2). 
 
4.3 Equação da reta definida por dois pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para obtermos a reta r, devemos observar que ela 
passa pelo ponto A (ou B) e tem a direção do vetor vr = →AB . 
Daí, a equação vetorial da reta r pode ser dada por: 
 
vtAP r+= )( ABtAP −+= 
 assim como 
vtBP r+= )( ABtBP −+= 
 y
 0
 A
 B
 R
 x
 
 50 
Considerando A ( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) e P ( x, y ) , 
obtemos as seguintes equações paramétricas: 
 
IRt
yytyy
xxtxx
∈



−+=
−+=
)(
)(
121
121
 
ou 
IRt
yytyy
xxtxx
∈



−+=
−+=
)(
)(
122
122
 
 
Exemplo 
 
 Determinar a equação vetorial e as equações 
paramétricas da reta que passa pelos pontos A (1, 3) e B (3, 4). 
 
Solução. Escrevemos inicialmente a equação vetorial : 
 
( ) ( )
( ) ( )1,24,3
1,23,1
tP
IRtou
tP
+=
∈
+=
 
 
Considerando um ponto genérico P(x, y), obtemos as equações 
 



+=
+=
ty
tx
3
21
 ou IRtty
tx
∈



+=
+=
4
23
 
 
que são as equações paramétricas da reta que passa por A e 
B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
 
4.4 Lista de exercícios 
 
 
 1) Os pontos C (5, 5), D (4, 7) estão na reta 
r: IRt
ty
tx
∈



+=
+=
3
21
 ? Justifique sua resposta. 
 
 2) Determine pontos E e F pertencentes à reta r : 
IRt
ty
tx
∈



+=
+=
4
23
 
 
3) Os pontos A(1, 2), B(1, 2) e C(5, 4) são colineares? 
Justifique sua resposta. 
 
 4) Esboce o gráfico da reta dada em cada um dos casos: 
 a) P = (1, 2 ) + t (2, 1) t∈ IR 
 b) IRt
ty
tx
∈



−=
=
3
3
 
 
Respostas dos exercícios 
 
1) O ponto C pertence. Basta fazer em r, t = 2 
O ponto D não pertence, pois não existe t tal que 4 = 3t 
+ 2 e 7 = 3 + t. 
 
2) E = ( 3, 4 ) para t = 0 e F = ( 5, 5 ) para t = 1 
3) Sim, pois →AB = ( -4, -2 ) e →AC = ( 8, 4 ) são paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
4) a) 4) b) 
y
x0
1
2
3
1 2 3
 
 
4.5 Posições relativas de duas retas 
 
 Sejam r: P = A + tvr 
 s: P = B + tur 
 com ( ) ( ) IRtveu ∈≠≠ 0,00,0 
 
Podemos afirmar: 
a) r e s são paralelas se vr // ur 
b) r e s são perpendiculares se uv rr⊥ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r e s retas paralelas r e s retas perpendiculares 
 
 
Exemplos 
 
 Dados 
a) r: P = ( 1, 2 ) + t ( 2, 3 ) 
s: P = ( 3, 1 ) + t ( 4, 6 ) t ∈ IR, temos r e s 
paralelas pois vr = ( 2, 3 ) e ur = ( 4, 6 ) são vetores 
paralelos, isto é , 
0
64
32
6
3
4
2
== ou 
 
y
x0
1
2
3
1 2 3
x
y
s
r
v
u
r
s
u
v
x
y
 
 53 
b) r: P = ( 2, 2 ) + t ( 1, 2 ) 
 s: P = ( 1, 5 ) + t ( -2, 1 ) t∈IR, temos r e s são 
perpendiculares pois vr = ( 1, 2 ) e ur = ( -2, 1 ) são vetores 
ortogonais, isto é, vr . ur = 0. 
 
4.6 Equação geral da reta 
 Suponhamos que r é uma reta não paralela ao eixo x, que 
passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) (A ≠ B). Se P(x, y) 
pertence a r, temos que 
→→
ABAP // , isto é, 
12
12
1
1
yy
xx
yy
xx
−
−
=
−
−
. ( )11 yy ≠ 
Daí, temos (y2 – y1) x + (x1 – x2) y – x1 (y2 – y1) + y1 (x2 – 
x1) = 0 ou (y2 – y1) x + (x1 - x2) y + x2y1 – x1y2 = 0. 
 
Fazendo a = y2 – y1, b = x1 – x2 e c = x2y1 – x1y2 , temos 
 
ax + by + c = 0 
 
chamada “equação geral da reta que passa por A e B”. 
 
 
Exemplo 
 
 Determine a equação geral da reta que passa por A(1, 5) 
e B(3, 1). 
 
Solução: Devemos determinar a, b e c tais que 
ax + by + c = 0. 
 
Desta forma, temos 
 



==−+−=⇒=+
=++



=++
=++
.207570214
05
03
05
baoubbaebccb
cba
cba
cba
 
 
 54 
 R
 S
t 
u
Daí, atribuindo um valor qualquer para b, obtemos o 
desejado. Por exemplo, fazendo b = 1, temos a = 2 e c = -7. A 
equação da reta é: 
r: 2x + y – 7 = 0 
 
 
 
 
4.7 Lista de exercícios 
 
 
1) Determine a equação da reta que passa por A(3, 1) 
e B(0, 3). 
 
2) Determine as equações das retas r, s, t e u, 
indicadas no gráfico: 
 
 
 
 2 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 
 
 -2 
 
 
3) Calcular k para que a reta 3x – 4y + 1 = 0 contenha o 
ponto P(1, k). 
 
4) Calcular k para que a reta 2x + ky + 4 = 0 passe pelo 
ponto P(-3, 2). 
 
5) Dar a posição relativa de r e s nos casos: 
a) r : 5x – 2y – 1 = 0 e s : x –2y + 3 = 0 
b) r : x + y + 1 = 0 e s : 2x + 2y + 5 = 0 
c) r : 2x – y + 3 = 0 e s : x + 2y + 1 = 0 
d) r : 3x – y + 2 = 0 e s : 6x – 2y + 4 = 0 
 
 
 55 
Respostas dos exercícios 
 
1) P = ( 3, 1 ) + t( -3, 2 ) ou P = ( 0, 3 ) + t ( -3, 2 ), t∈ IR 
2) r: P = ( 0, 2 ) + t( 3, 2 ), t ∈ IR 
s: P = ( 3, 0 ) + t( 3, 2 ), t ∈ IR 
t: P = ( 3, 0 ) + t( -3, 2 ), t ∈ IR 
u: P = ( 0, -2 ) + t( -3, 2 ), t ∈ IR 
3) k = 1 
4) k = 1 
5) a) concorrentes, isto é, a interseção de r e s é um ponto 
 b) paralelas 
 c) perpendiculares 
 d) paralelas 
 
4.8 Distância entre ponto e reta 
 
 Dado uma reta de equação r: ax + by + c = 0 e um ponto 
A( x0, y0 ), queremos determinar a distância d entre a reta r e o 
ponto A. 
 
 
 
 Afirmação: 
22
00
ba
cbyaxd
+
++
=
 
 
Prova: Seja B(x1, y1) um ponto de r. Observe que 
→
CA é a 
projeção de →BA na direção de ( )ban ,=→ , portanto, sendo θ 
o ângulo entre 
→→
neBA , temos 
→
→→
→→
===
n
nBA
n
nBABAd .1coscos r
r θθ
 como 
 
( ) ( )baneyyxxBABA ,, 1010 =−−=−=→ r temos 
 
 A B
C
d
n r
θ
 
 
 56 
 
22
1010 )()(
ba
yybxxad
+
−+−
=
 
 
22
1010
ba
ybybaxxad
+
−+−
=
 
 
22
1100
ba
ybaxbyxad
+
−−+
= . 
Sendo B( x1, y1 ) ponto de r, temos ax1 + by1 + c = 0 ou c = - 
ax1 – by1. 
 Daí, 
22
00
ba
cbyaxd
+
++
=
 
 
Exemplo 
 Determinar a distância entre o ponto A (1, 5) e a reta 
de equação x + 2x -6 = 0. 
 
Solução: Sabemos que a distância entre um ponto e uma reta é 
dado por 
22
00
ba
cbyaxd
+
++
=
 
 
 
e que, neste caso, temos a = 1, b = 2, c = -6 , x0 = 1 e y0 = 5. 
 
Desta forma, 
22 21
65.21.1
+
−+
=d
 = 5
5
55
5
5
== . 
 
 
 
4.9. Lista de exercícios 
 
 
 1) Determinar a distância entre a reta de equação y = 
5x – 7 e o ponto A( 3, 4 ). 
 
 57 
 
 2) Determine o valor de k para que a distância entre o 
ponto A ( 1, 5 ) e a reta 3x + 4y – k = 0 seja 7. 
 
3) Os pontos A (1, 5) e B (
5
31
,
5
37
−− ) são pontos equidistantes 
da reta 3x + 4y + 12 = 0? Justifique sua resposta. 
 
4) Obtenha o ponto do eixo y cuja distância da reta r : 3x - 4y + 
3 =0 seja 5. 
 
 5) Determine a distância entre as retas paralelas r: 3x + 
4y + 12 = 0 e s: 3x + 4y + 11 = 0. 
 
 
Respostas dos exercícios 
 1) d = 
13
262
 
 2) k = -12 ou k = 58 
 3) Sim, pois dAr = dBr = 7 
 4) ( 0, - 
2
11 ) ou ( 0, 7 ) 
5) d = 
5
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para um maior aprofundamento dos conteúdos 
abordados nesta unidade, sugerimos a consulta aos links abaixo 
relacionados: 
 
a) www.ficharionline.com/ExibeConteudo.php5.idconteudo=5885 
 
b) www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/3916/31095/file 
 
 
 58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
 
 
UNIDADE 05 CURVAS PLANAS .............................................. 58 
5.1 Equação de uma curva plana ............................................... 60 
5.2 Equação reduzida da circunferência ..................................... 61 
5.3 Equação geral da circunferência .......................................... 61 
5.4 Reta e circunferência: posições relativas .............................. 64 
5.5 Ponto e circunferência: posições relativas ............................ 66 
5.6 Lista de exercícios ............................................................... 6760 
y
 0 x
OBJETIVOS 
 
 Desenvolver habilidades de cálculo de equações de 
circunferência e identificar as posições relativas entre reta e 
circunferência e entre ponto e circunferência 
 
5.1 Equação de uma curva plana 
 
 Entendemos por equação de uma curva plana a toda 
equação em x e y cujas soluções ( x, y ) são as coordenadas 
dos pontos da curva. 
 
 
Exemplos 
 
a) y = x 2 é a equação da parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) y = 
x
1
 é a equação da hipérbole equilátera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
0
 
 61 
c) y = sen x é a equação da senóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Equação reduzida da circunferência 
 
 Circunferência de centro C( a, b ) e raio r é a curva 
plana formada pelo conjunto de todos os pontos P de um 
plano para os quais d ( P, C ) = r 
 
 
Sendo P( x, y ) um ponto genérico , C( a, b ) o centro e 
r o raio, temos ( ) ( ) rbyax =−+− 22 . 
 
Da igualdade, elevando a dois os seus membros obtemos 
 ( ) ( ) 222 rbyax =−+− , 
chamada equação reduzida da circunferência de raio r 
e centro C( a, b ). 
 
Exemplo 
 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 é a equação da circunferência 
de centro C(1, -2) e raio r = 3. 
 
 
5.3 Equação geral da circunferência 
 Da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos desenvolvendo 
os quadrados que, 
x2 – 2xa + a2 + y2 – 2y b + b2 = r2 . 
Daí, temos x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 
x
y
0
y
b
0 a x
 r
c 
p
 
 62 
 
em que D = -2a; E = -2b, F = a2 + b2 – r 2, que é chamada de 
equação geral da circunferência de centro C(a, b) e raio r. 
 
Exercícios resolvidos 
 
a) Determine a equação geral da circunferência que tem 
centro C(1, 2) e raio 3. 
 
Solução: Sabemos que a equação reduzida é 
 
(x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 9 
 
e, assim, desenvolvendo os quadrados e, em seguida, 
ordenando, temos 
x 2 – 2x + 1 + y 2 – 4y + 4 = 9 
ou 
x 2 + y 2 – 2x – 4y – 4 = 0 
que é a equação procurada. 
 
b) Da circunferência x2 + y2 – 2x – 6 – 6 = 0, determine o 
centro e o raio. 
 
Solução: Da equação x2 + y2 -2x – 6y – 6 = 0, temos 
x2 – 2x + … + y 2 – 6y + … = b + … + … 
 
e completando os espaços indicados (isto é, completando 
os quadrados) fica 
x2 – 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 6 + 1 + 9 
 
 
Daí, (x – 1)2 + (y – 3)2 = 42. 
 
Desta forma, temos C(1, 3) e r = 4. 
 
 
 
 63 
 
Lista de exercícios 
 
1) Dar a equação reduzida da circunferência de centro 
C e raio r, em cada um dos casos: 
i) C ( 3, -2 ) e r = 4 
ii) C ( 0, 3 ) e r = 3 
 
2) Dar o centro e o raio das circunferências em cada um 
dos casos a seguir: 
i) ( x + 3 ) 2 + ( y – 4 ) 2 = 16 
ii) ( x + 1 ) 2 + y 2 = 4 
iii) x 2 + y 2 – 12x + 16y = 0 
iv) x 2 + y 2 – 9 = 0 
 
3) Obter a equação reduzida da circunferência de 
centro C(1, 3) que passa pelo ponto P0 (2, 5). 
 
4) Determinar a equação da circunferência que possui 
um diâmetro de extremidades A(10, 7) e B(2, 1). 
 
5) Determinar a equação da circunferência que tem raio 
r = 10 e passa pelos pontos A(-1, 0) e B(1, 0). 
 
6) Obter a equação da circunferência que passa pelos 
pontos A(4, 0) B(0, 2) e C (-2, 0). 
 
Respostas dos exercícios 
 1) a) ( x – 3 )2 + ( y + 2 )2 = 16 
 b) ( x – 0 )2 + ( y – 3 )2 = 9 
 2) a) C( -3, 4 ) e r = 4 
 b) C( -1, 0 ) e r = 2 
 c) C( 6, -8 ) e r = 10 
 
 64 
c
 d
A
 r
d
C
r
A B
d
C
r
 d) C( 0, 0 ) e r = 3 
 3) ( x – 1 )2 + ( y - 3 )2 = 5 
 4) ( x – 6 )2 + ( y - 4 )2 = 25 
 5) ( x – 0 )2 + ( y - 3 )2 = 10 ou ( x – 0 )2 + ( y + 3 )2 = 10 
 6) ( x – 1 )2 + ( y + 1 )2 = 10 
 
5.4 Reta e circunferência: posições relativas. 
 
Uma reta t e uma circunferência لا de centro C e raio r, cuja 
distância da reta t ao centro C é d, no plano cartesiano 
podem apresentar as seguintes posições relativas: 
 
 
 
 
 لا لا 
 
 Secantes Tangentes Exteriores 
 
{ }BAterd ,=∩< γ { }Aterd =∩= γ φγ =∩> terd 
 
Podemos afirmar que para estabelecermos a posição de 
uma reta relativamente a uma circunferência, podemos 
proceder por meio de dois métodos: 
 
1º) Considera-se a reta t dada pela equação geral ax + 
by + c = 0 e usa-se o fato que a distância entre uma reta e um 
ponto, no caso o centro C(xo, yo) da circunferência é dada por 
d = 
22
00
ba
cbyax
+
++
 . 
Daí, comparando d e r temos as informações desejadas. 
 
 
 65 
2º) Considera-se o sistema ( ) ( )

=−+−
=++
22
0
2
0
0
ryyxx
cbyax
 
 
e analisa-se com relação ao número de soluções, isto é, duas 
soluções para reta secante, uma para reta tangente e nenhuma 
solução para reta exterior. 
 
Exercícios resolvidos 
 
Sendo t a reta de equação 3x + 4y + 15 = 0 e لا a 
circunferência de equação ( x – 1 )2 + ( y + 6 )2 = 16, determine 
a posição relativa entre t e لا 
 
 Solução: Método 1) Temos que o centro C ( !, -6 ) e a 
distância d entre C e t é d =
22 43
15)6(41.3
+
+−+
 = 
5
6
 . Daí, 
comparando d e r, temos que r > d. Logo, t لا e são secantes. 
 
 Solução: Método 2) Resolvendo o sistema 




=++−
=++
16)6()1(
01543
22 yx
yx
, substituindo o valor de y = 
4
153 −− x
 na equação da circunferência, temos 
( x – 1 ) 2 + (
4
153 −− x
 + 6 )2 = 16 
ou 
( x – 1 ) 2 + (
4
93 +− x )2 = 16 
ou 
x2 – 2x + 1 + 
16
81549 2 +− xx
 = 16 
ou 
 
 66 
16x2 -32x + 16 + 9x2 – 54x + 81 = 256 
ou 
25x2 – 86x – 159 = 0. 
 
 Resolvendo esta equação encontramos ∆ > 0, o que 
nos leva a concluir que a interseção acontece em dois pontos 
e, portanto, a reta t e a circunferência لا são secantes. 
 
5.5 Ponto e circunferência: posições relativas. 
 Um ponto A e uma circunferência لا de centro C e 
raio r, no plano cartesiano, podem apresentar as seguintes 
posições relativas: 
 
 
C
A
d 
 
C
A
d 
 
لا لا لا 
 
 
∈= Ard ,
 لا deerioraoArd int, ∈< لا 
deexterioraoArd ∈> , لا 
 
em que d é a distância entre o ponto C e o ponto A. 
 
Nota: Se لا: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 e A (xA, yA), temos: 
a) ( xA – x0 )2 + ( yA – y0 )2 = r2 ⇔ A ∈ لا 
b)
 
( xA – x0 )2 + ( yA – y0 )2 < r2 ⇔ A ∈ interior de لا 
c) ( xA – x0 )2 + ( yA – y0 )2 > r2 ⇔ A ∈ exterior de لا 
 
 
 
 
 
C
A
d 
 
 67 
Exercícios resolvidos 
 
 a) Verifique a posição dos pontos A(1, 1), B (2, -1) e 
C (3, 2) em relação à circunferência لا : x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 
0. 
 
Solução: Escrevendo a equação de لا na forma reduzida 
obtemos 
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 32 
 
e substituindo os valores de A, B e C nesta, encontramos os 
seguintes resultados: 
 
( 1 – 1 )2 + ( 1 + 2 )2 = 9, 
 
( 2 – 1 )2 + ( -1 + 2 )2 = 2 < 9 e 
 
( 3 – 1 )2 + ( 2 + 2 )2 = 20 > 9. 
 
Assim sendo, podemos constatar que A pertence a لا , B 
está no interior de لا e C está no exterior de لا 
 
 
 
5.6 Lista de exercícios 
 
 
1) Dar a posição do ponto A em relação a circunferência 
γ nos casos:a) A ( 3, 2 ) e γ : ( x – 1 )2 + ( y – 4 )2 = 9 
 b) A ( 0, 0 ) e γ : ( x + 1 )2 + y2 = 1 
 
 2) Determinar o valor de k para que o ponto A( 2, k ) 
pertença ao interior de γ : x2 + y2 – 4x = 0. 
 
 
 68 
3) Determinar a reta tangente à circunferência γ : x2 + y2 
= 25 no ponto A (3, 4). 
 
Respostas dos exercícios 
 1) a) Interior, pois dAC = 22 < r = 3. 
 b) Pertence à circunferência, pois dAC = 1 = r 
 2) -2 < k < 2. 
 3) P = (3, 4) + t(-4, 3) t ∈ IR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAIBA MAIS: Para um maior aprofundamento dos conteúdos 
abordados nesta unidade, sugerimos a consulta aos links abaixo 
relacionados: 
 
a) www.brasilescola.com/matematica/posiçoes-relativas 
b) www.pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo 
c)www.expoente.com.br/professores/kalinke/estudo/circunfer%EA
ncia.htm 
 
 
69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 70 
 
 
UNIDADE 06 LUGARES GEOMÉTRICO ................................... 69 
6.1 Definição ............................................................................... 71 
6.2 Equação de um lugar geométrico .......................................... 71 
6.3 Lista de exercícios ................................................................ 73 
6.4 Parábola ............................................................................... 74 
6.5 Equação da parábola com vértice na origem ........................ 75 
6.6 Equação da parábola: caso geral .......................................... 76 
6.7 Lista de exercícios ................................................................ 80 
6.8 Elipse .................................................................................... 82 
6.9 Equação da elipse ................................................................. 83 
6.10 Lista de exercícios .............................................................. 85 
6.11 Hipérbole............................................................................. 88 
6.12 Equação da hipérbole ......................................................... 88 
6.13 Lista de exercícios .............................................................. 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
OBJETIVO 
 
 Compreender o conceito de lugar geométrico e utilizá-los 
na obtenção das suas equações. 
 
6.1 Definição. 
Lugar geométrico é qualquer conjunto de pontos tais que 
todos eles e só eles possuem uma dada propriedade. 
 
Exemplos. 
 Circunferência, parábola, elipse etc. 
 
6.2 Definição de um lugar geométrico. 
Equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é 
toda equação nas incógnitas x e y cujas soluções ( x, y ) são as 
coordenadas dos pontos do lugar geométrico. 
 
NOTA 
 Para determinarmos a equação de um lugar geométrico, 
devemos impor a um ponto genérico P( x, y ) as condições 
para que ele pertença a aquele lugar e, usando propriedades 
elementares, obter tal equação. 
 
Exemplos 
a) Obter a equação do lugar geométrico dos pontos do 
plano que distam de um ponto C ( ba , ) r unidades. 
Solução: Sendo γ o lugar geométrico, 
Temos: 
( )
( ) ( ) 222
22
,
rbyax
rd
rd
yxP
PC
PC
=−+−⇔
⇔=⇔
=⇔
∈ γ
 
 
 
 72 
x0
B
A
 P( x, y )
Como vimos, tal lugar geométrico é uma circunferência 
de raio r e centro C ( ba , ). 
 
b) Obter o lugar geométrico dos pontos do plano que 
são equidistantes de dois pontos A e B (A ≠ B). 
Solução: No caso particular dos pontos A(0, 2) e B(3, 1), 
podemos obter o lugar geométrico destes pontos chamado de 
mediatriz do segmento AB como segue: 
Seja P( x, y ) um ponto genérico do lugar geométrico, 
então 
 
 dAP = dBP 
 
 c y 
 dAP2 = dBP2 
 c 
x2 + ( y – 2 )2 = ( x – 3 )2 + ( y – 1 )2 
 c 
6x – 2y – 6 = 0 
 ou 
 3x – y – 3 = 0 
 
c) Determinar o lugar geométrico ( ..GL ) dos pontos 
equidistantes das retas r: 3 x + 4 y = 0 e s: 4 x – 3 y = 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
.0707
5
34
5
43
5
34
5
43
34
34
43
43
.,
2222
,,
=+=−⇔







+−
=
+
−
=
+
⇔
−+
−
=
+
+
⇔
=⇔∈
yxouyx
yxyx
ou
yxyx
yxyx
ddLGyxP sPrP
 
 73 
Daí, concluímos que o lugar geométrico é formado 
pelas retas de equações 07 =− yx e 7 x + y = 0. 
Tal situação pode ser observada via representação 
gráfica abaixo, isto é, o lugar geométrico é constituído pelas 
bissetrizes dos ângulos formados pelas retas r e s dadas. 
Logo, as equações das bissetrizes são 07 =− yx e 7 x + 
y = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.3 Lista de exercícios 
 
 
1) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos 
eqüidistantes das retas 
4x + 3y + 5 = 0 e 6x + 8y + 9 = 0. 
 
2) Determinar as equações das retas paralelas à reta r: 12x – 
5y = 0 e distantes duas unidades de r. 
 
3) Dados A (1, 0) e B (4, 0), determinar o lugar geométrico 
dos pontos P ( x, y ) tais que dAP = 2dBP 
 
 r
y s
P
 x
r
s
bissetriz de r e s
 
bissetriz de r e s 
 
 74 
4) Dados A(1, 0) e B(3, 0), determinar a equação do lugar 
geométricos dos pontos P(x. y) tais que (dAP)2 + (dBP)2 = 16 
 
 
Respostas dos exercícios 
 
 1) 2x - 2y + 1 = 0 ou 14x + 14y + 19 = 0. 
 
 2) 12 x -5y + 26 = 0 e 12x – 5y – 26 = 0. 
 
 3) ( x – 5 )2 + ( y – 0 )2 = 4, que é uma circunferência de 
centro C( 5, 0 ) e raio 2. 
 
 4) ( x -2 )2 + ( y – 0 )2 = 7, que é uma circunferência de 
centro C( 2, 0 ) e raio 7 . 
 
 
6.4 Parábola 
 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano 
que são equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta dada 
d, F ∉ d, deste plano. 
 
 
dPFP ddparábolaP ,, =⇔∈ 
 
 
 
Elementos da parábola 
 
F: o foco da parábola 
V: o vértice da parábola 
d: a diretriz da parábola 
reta VF: eixo da parábola ou eixo 
de simetria da parábola 
2 p = distância entre o foco e a diretriz, chamado de parâmetro 
da parábola. 
 
 
 
 P
V F
d
{{
pp
 
 75 
 
Observação 
 
 O ponto V é tal que pdd dVFV == ,, 
 
6.5 Equação da parábola 
 a) Sendo V( 0, 0 ) o vértice, F( p, 0 ) o foco da 
parábola e diretriz x = -p, então a equação da parábola que 
tem estes elementos é da forma 
y2 = 4px 
 b) Sendo V( 0, 0 ) o vértice, F( 0, p ) o foco da parábola 
e diretriz y = -p, então a equação da parábola que tem estes 
elementos é da forma 
x2 = 4py 
 
Exercícios resolvidos 
a) Obter a equação da parábola de foco 




 0,
2
1F e 
cuja diretriz é a reta de equação 2x + 1 = 0. 
Solução: Neste caso, temos V( 0, 0 ) , F ( p, 0 ) = 




 0,
2
1F e 
diretriz x = - 
2
1
. Sendo assim, p = 
2
1
. Da afirmação anterior 
(letra a), temos que a equação é y2 = 4
2
1
x ou y2 = 2x. 
b) Obter a equação da parábola de foco 





2
1
,0F cuja 
diretriz é a reta de equação 2y + 1 = 0. 
 
 
 76 
Solução: Neste caso, temos V( 0, 0 ) , F ( 0, p ) = 





2
1
,0F e 
diretriz y = - 
2
1
. Sendo assim, p = 
2
1
. Da afirmação anterior 
(letra b), temos que a equação é x2 = 4
2
1 y ou