2015 2sem gabaAP1

Prévia do material em texto

Instituto de Física
UFRJ
Gabarito da AP1 de Física 1A
12 de setembro de 2015
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize que g é o módulo da aceleração da gravi-
dade. Todas as respostas devem ser dadas em termos dos dados fornecidos. Todas as respostas devem
ser justificadas.
1. [2,5 pontos] Um bloco de massa m, é puxado por uma corda, a partir do repouso, para cima de um
plano inclinado sem atrito, que faz um ângulo θ com a vertical, conforme a figura. Após percorrer
uma distância L ao longo do plano inclinado, o bloco possui uma velocidade de módulo vf .
~F
v0 = 0
~P
~N
θ
L
(a) [0,7 ponto] Faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre o bloco.
Atuam sobre o bloco as forças peso (~P ), normal ( ~N ) e a força que a corda exerce sobre ele
(~F ). As forças estão indicadas no próprio diagrama.
(b) [1,2 ponto] Qual o trabalho realizado por cada uma das forças que atuam no bloco entre
o instante em que o mesmo se encontra em repouso e aquele no qual o mesmo atinge a
velocidade vf?
A força normal é sempre perpendicular ao deslocamento e, portanto, não realiza trabalho.
WN = 0
A força peso é uma força conservativa e, portanto, podemos escrever que
WP = −∆UP = −mg∆h⇒ WP = −mgL cos θ
Por fim, sabemos que o trabalho total realizado sobre o bloco é igual à variação de sua energia
cinética
WT = WP +WN +WF = ∆EC ⇒ WF = 1
2
mv2f −WP ⇒ WF =
1
2
mv2f +mgL cos θ
(c) [0,6 ponto] A energia mecânica do bloco é conservada? Justifique claramente sua resposta.
Não. A variação da energia mecânica é igual ao trabalho realizado pelas forças dissipativas
que atuam sobre o bloco. Nesse caso, a força ~F realiza trabalho não nulo e, portanto, a
energia mecânica não se conserva.
1
2. [1,5 pontos] As afirmativas abaixo estão todas erradas. Justifique claramente o por quê de estarem
erradas.
(a) [0,5 ponto] Um objeto está em queda livre sob a ação apenas da força peso. Nesse caso, não
há nenhuma reação à força peso.
O par ação e reação sempre existe e atua sempre em corpos diferente. A reação à força peso
está aplicada na Terra.
(b) [0,5 ponto] Em um referencial inercial, se uma partícula de massa m está sujeita a apenas 2
forças ~F1 e ~F2, decorre da segunda Lei de Newton que, necessariamente, sua aceleração tem
módulo |~a| = |
~F1|+ |~F2|
m
.
A Segunda Lei de Newton nos diz que ~F1 + ~F2 = m~a. Isso só vai se traduzir na afirmativa
apresentada no caso específico em que as duas forças estejam nos mesmos direção e sentido.
(c) [0,5 ponto] Na prática com o trilho de ar inclinado é preciso construir um gráfico da veloci-
dade do carrinho em função do tempo. A aceleração do carrinho é a tangente do ângulo de
inclinação da reta obtida no gráfico da velocidade em função do tempo.
A aceleração será o coeficiente angular da reta obtida no gráfico da velocidade em função do
tempo. A tangente do ângulo de inclinação não é a mesma coisa que o coeficiente angular.
Podemos observar isso primeiro pelo fato de a tangente de um ângulo ser uma quantidade
adimensional, diferente do coeficiente angular. Podemos também observar que um gráfico
para o mesmo movimento feito com escalas diferentes em um papel milimetrado vai apre-
sentar ângulos de inclinação diferentes, enquanto o coeficiente angular, evidentemente, não
vai se alterar.
3. [3,5 pontos] Uma pedra é atirada, de uma altura h = 1 m acima do solo, com uma velocidade que
faz um ângulo de θ = 45o com a direção horizontal, em direção a uma casa de H = 3 m de altura,
que está localiza a uma distância horizontal de d = 4 m da posição da qual a pedra é atirada.
Observa-se que a pedra atinge a casa exatamente na sua base. No alto da casa, Felipe observa
quando a pedra é atirada, com a intenção de acertá-la, arremessando, verticalmente para baixo,
uma pequena bola. Felipe consegue arremessar a bola com velocidade de módulo vb0 = 2m/s.
Desconsidere a força de resistência do ar tanto na pedra quanto na bola e considere que a aceleração
da gravidade vale g = 10m/s2 e a massa de ambas é m = 2kg.
h
θ H
d
(a) [1,0 ponto] Quanto tempo a pedra demora para atingir a casa?
Após ser lançada a pedra se torna um projétil. Portanto, escolhendo como origem do sistema
de eixos a posição horizontal de onde a pedra é arremessada, no chão, temos que
xP (t) = v0 cos θ.t e yP (t) = h+ v0senθ.t− 1
2
gt2
No instante em que a pedra atinge a casa temos que
d = v0 cos θ.tq ⇒ v0 = d
tq cos θ
; 0 = h+ v0senθ.tq − 1
2
gt2q = h+
d
tq cos θ
senθ.tq − 1
2
gt2q
gt2q − 2d tan θ − 2h = 0⇒ t2q =
h+ d tan 45o
5
⇒ tq = 1 s
2
(b) [1,0 ponto] Quanto tempo após a pedra ser lançada, Felipe precisa atirar a bola de maneira
com que as duas atinjam a base da casa ao mesmo tempo?
Como Felipe atira a pedra verticalmente para baixo, esse é um movimento unidimensional.
Escolhendo o mesmo eixo vertical do item anterior, podemos escrever que
yb(t) = H − vb0t− 1
2
gt2
No instante em que a bola atinge a base da casa
0 = H − vb0tb − 1
2
gt2b ⇒ gt2b + 2vb0tb − 2H = 0⇒ tb =
−2vb0 +
√
4v2b0 + 8gH
2g
Onde a solução com o sinal negativo foi descartada por não ser uma solução válida.
tb =
−vb0 +
√
v2b0 + 2gH
g
=
−2 + 8
10
⇒ tb = 0,6 s
Ou seja, como a pedra leva 1 segundo para atingir a casa, é preciso que Felipe atire a bola em
um tempo posterior ao lançamento da pedra de
∆t = tp − tb ⇒ ∆t = 0,4 s
(c) [0,8 ponto] Na situação expressada no item anterior, qual dos dois objetos possui a maior
energia mecânica? Para responder esse item, considere que a energia potencial gravitacional
tanto da pedra quanto da bola é nula no chão.
A energia mecânica será a soma das energias potencial gravitacional e cinética. Como a
única força que realiza trabalho tanto na pedra quanto na bola é o peso, que é uma força
conservativa, a energia mecânica se conserva. Do item (a) temos que a velocidade inicial da
pedra é
v0 =
d
cos θtq
=
8√
2
Portanto, a energia mecânica da pedra é
EMP = EC + UP =
1
2
mv2
0
+mgh = m
(
v2
0
2
+ 10
)
= 52 J
Já a energia mecânica da bola será
EMb =
1
2
mv2
0b +mgH = m
(
v2
0b
2
+ 30
)
= 64 J
Portanto, a energia mecânica da bola é maior.
(d) [0,7 ponto] Qual o trabalho total realizado sobre a pedra entre os instantes em que ela é
lançada e aquele no qual ela atinge a base da casa?
A única força que realiza trabalho sobre a pedra é a força peso. Sendo assim
WP = −∆U = mgh⇒ WP = 20 J
3
4. [2,5 pontos] Três forças são aplicadas a um bloco de massa M que está sobre uma superfície hori-
zontal de coeficiente de atrito cinético µe = 1/
√
3, conforme a figura abaixo. O bloco permanece
em repouso e sabe-se que o ângulo θ vale 600 os módulos das forças são F1 = F , F2 = 32F e
F3 = F .
~F2
~F1
~F3
M
θ
(a) [0,7 ponto] A força de atrito está direcionada para a direita ou para a esquerda? Justifique sua
resposta.
Como o bloco está em repouso, pela Segunda Lei de Newton, temos que a soma das forças é
nula. Na direção horizontal temos as comonentes das forças ~F1 e ~F2 e valem, escolhendo o
sentido positivo do eixo para a direita
F1x = −F1 = −F e F2x = F2 cos θ = 3F
2
1
2
=
3F
4
Uma vez que em módulo, a componente horizontal de ~F1 é a maior, existe uma tendência
de movimento para a esquerda. Como a força deatrito se opõe a essa tendência, ela estará
direcionada para a direita.
(b) [0,7 ponto] Qual o módulo da força de atrito a que está submetido o bloco?
A Segunda Lei de Newton nos diz que
~F1 + ~F2 + ~F3 + ~Fat + ~P + ~N = 0
E, portanto, na direção horizontal
−F + 3F
2
cos 60o + Fat = 0⇒ Fat = F
4
(c) [1,1 pontos] Qual o maior valor que F pode ter sem que o bloco entre em movimento?
Sabemos que |~Fat| ≤ µe| ~N |. Ou seja, para não entrar em movimento é preciso que
F
4
≤ µeN
Escrevendo a componentevertical da Segunda Lei de Newton
F2senθ − F3 −Mg +N = 0⇒ N = Mg + F − 3
√
3
4
F = Mg + F
(
1− 3
√
3
4
)
Portanto
F
4
≤ 1√
3
[
Mg + F
(
1− 3
√
3
4
)]
⇒ F
√
3
4
≤Mg + F − 3
√
3
4
F ⇒ Fmax = Mg√
3− 1
4