Apostila de Pilares (Terminada)

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO 
 - FATEC SP – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: ESTRUTURAS II 
 
DEPARTAMENTO: EDIFÍCIOS 
 
PROFESSOR: JOSÉ NAGIB MIZIARA FILHO 
 
 
 
 
 
2013 
Pilares 
 
Faculdade de Tecnologia de São Paulo 
Departamento de Edifícios 
Estruturas II 
 
2 
 
 
Pilares (NBR 6118) 
 
1. Dimensões mínimas 
 
 
 
 
 
 
Para dimensões entre 12 cm e 19 cm, utilizar: 
 γ = 1,95 – 0,05b 
b = menor dimensão (cm) 
b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γ 1,0 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
 
h ≤ 5b � quando não ocorrer, o pilar deve ser calculado como parede. 
Em qualquer caso, A = bh ≥ 360 cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
h = altura da seção transversal, medida no plano da estrutura. 
Para pilar em balanço � le = 2l. 
 
 
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Pilares internos, de borda e de canto 
 
 
 
 
 
 
 
A. Quanto à solicitação inicial os: 
• Pilares internos � aqueles em que se pode admitir compressão 
simples, as excentricidades iniciais podem ser desprezadas. 
• Pilares de borda � Admite-se excentricidade inicial em uma 
direção (flexão composta normal) 
• Pilares de canto � Flexão Oblíqua. 
 
B. Quanto à esbeltez: 
• Pilares pouco esbeltos � λ ≤ λi (pilares curtos) 
• Pilares de esbeltez média � λi < λ ≤ 90 (med. Esbeltos) 
• Pilares esbeltos � 90 < λ ≤ 140 (esbeltos) 
• Pilares excessivamente esbeltos � 140 < λ ≤ 200 (muito esbelto) 
 
λmax = 200 
 
Excentricidade Inicial (em pilares de canto e borda) 
 
 
℮i topo = ������ 										 ℮i base = 
���	
� 
 
 
 
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• Na viga ��
���	������
���	 
 
• Tramo superior do pilar ��	������
���	 
 
• Tramo inferior do pilar ��
������
���	 
 
� = �� 
 
Imperfeições Locais 
 
M1 d min = Nd (0,015 + 0,03h) 
 
 
 
 
h é a altura da seção na 
direção considerada (em 
Momento mínimo de 1ª ordem 
 
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Efeitos de 2ª Ordem 
 
Corresponde ao valor da esbeltez a partir do qual os efeitos de 2ª ordem 
começam a provocar uma redução da capacidade resistente do pilar. 
Os esforços locais de 2ª ordem podem ser desprezados quando λ < λi 
 
�� =
25 + 12,5℮�ℎ
�� 									 !									35	 ≤ 	��	 ≤ 90 
 
℮i = excentricidade de 1ª ordem 
Pilares de edifícios � ℮i = 0 
 
&'('�)�*+çã 	.'	�� 
 
a) Pilares biapoiados sem forças transversais 
��	 = 	0,60	 + 	0,40	1�1+ 		≥ 0,4				 → 0,4	 ≤ 	��	 ≤ 1,0 
	
MA = momento de 1ª ordem no extremo A do pilar 
MB = momento de 1ª ordem no extremo B do pilar 
MB � positivo se tracionar a mesma face que MA 
MB � negativo em caso contrário. 
 
b) Pilares biapoiados com forças transversais ao longo da altura 
αb
 = 1,0 
 
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c) Pilares em balanço 
�� = 0,8 + 0,20151+ 	≥ 0,85 → 0,85	 ≤ 	��	 ≤ 1,0 
 
MA = momento de 1ª ordem no engaste 
MC = momento de 1ª ordem no ½ do pilar em balanço 
 
d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o 
momento mínimo. 
�� = 1,0 
Mid min = Nd (0,015 + 0,03h) 
 
Excentricidade de 2ª ordem 
 
A força normal atuante no pilar, sob excentricidade de 1ª ordem 
(excentricidade inicial) provoca deformações que dão origem a uma nova 
excentricidade, denominada de 2ª ordem. 
Métodos de cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a = 
6
7
89 :
8
�; �+<' 
M2, base = N. 
6
7
89 	:
8
�; �+<' 
8
� =
9,99=
>?@�9,=A 	≤
9,99=
> 
 ν = 
�B
CD.FDB 
Assim � Mdtotal = G��.		1�.	H + I.	. 6
7
89 	.		
8
�J ≥ 1�.	H 
 
Armaduras longitudinais 
10 mm ≤ Øl ≤ �K 
As min = 0,15 �BFLB 	≥ 0,004	H5	?0,4%A 
As max = 8% Ac 
Nº mínimo de barras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde (ν + 0,5) ≥ 1,0 -> se 
menor que 1,0, adotar o valor 
mínimo 1,0 
 
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a ≥ 20mm ; Øl ; 1,2d max (diâmetro máximo do agregado) 
Sl ≤ 2b ; 40 cm (entre eixos) 
Øt ≥ 5 mm ; Øl/4 
St ≤ 20 cm ; menor dimensão da seção ; 12Øl 
 
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Exercícios 
 
1) Determinar a armadura do pilar de seção 30/30 cm com comprimento de flambagem 
308 cm e carga N = 200 KN, fck = 20Mpa e aço CA50A. 
 
� = 3,46	N 30830 = 35 → O��+�	5!�( 
 
℮ = 0,015 + 0,03	N	0,30 = 0,024	) 
 
P = I.H5	N	Q5. =
1,4	N	200
30	N	30	N 21,4
= 0,22 
 
R = P	N	℮ℎ =
0,22	N	0,024
0,30 = 0,018	 
 
Portanto armadura mínima: 
 
 0,15	N	1,4	N S99TU
V,VT
= 0,17	5)S 
 
0,004	x	30	x	30 = 3,6	cm² 
4Ø 10 mm 
 
 
2) Determinar a armadura do pilar de seção 20/20 cm com comprimento de flambagem 
de 298 cm, carga N = 200 KN, fck = 20 Mpa e aço CA50A. 
 
� = 3,46	N 2983020 = 52 < 90 → O��+�	)'.�+*+)'*('	'<�'�( 
 
℮ = 0,015 + 0,03	N	0,20 = 0,021	) 
 
℮2 = 2,98
S
10 	N
0,005
?0,49 + 0,5A N	0,20 = 0,022	) 
 
 
 
℮ = 	℮ + 	℮2 = 0,043	) 
 
P = I.H5	N	Q5. =
1,4	N	200
20	N	20	N 21,4
= 0,49 
Adotar 1,0 
Asmin ≥ 
W = 0 
 
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R = P	N	℮ℎ =
0,49	N	0,043
0,20 = 0,105 
 
 
Logo w=0 � armadura mínima 
 
 
0,15	N	1,4	N S99TU
V,VT
= 0,97	5)S 
 	
0,004	x	20	x	20 = 1,6	cm² 
4Ø 10 mm 
 
 
 
 
 
Asmin ≥