04 Dilatação temporal e contração espacial Telmo

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Física Moderna
“Às vezes me pergunto como foi que justo eu fui desenvolver a teoria da relatividade.
A razão, eu acho, é que um adulto normal nunca para para pensar sobre os problemas do espaço e do tempo. Esta são coisas sobre as quais ele pensou quando era criança. Mas meu desenvolvimento intelectual foi retardado, e o resultado é que eu comecei a pensar sobre o espaço e sobre o tempo somente quando adulto.”
- Albert Einstein
einst_bike
R
F
0
v
R
F
v
R
F
v
R
F
v
R
F
Alice: no vagão
Bruno: na plataforma
0
xB
xA
v
R
F
Alice: “Eventos simultâneos!”
Bruno: “Não são simultâneos!”
Na última aula
Evento RA:
(xA=-3, tA=3s)
Evento FA:
(xA=+3, tA=3s)
Evento RB:
(xB=-2, tB=2s)
Evento FB:
(xB=+5, tB=4s)
Eventos são registrados por observadores locais, com relógios sincronizados.
O evento “explosão da bombinha” acontece em xA=xB=0 e tA=tB=0
“O culpado é o tempo”
Doisobservadoresnãoconcordarãosobreasimultaneidade
deeventos
Não concordarão nem mesmo sobre qual evento aconteceu antes!
Solução, se “batermospé”navalidadedopostuladodeconstância
davelocidadeda luzatravésdereferenciaisinerciais:
O temponãofluidamesmamaneira
paraobservadoresemdiferentesreferenciaisinerciais
pictUm argumento
Um observador e um detector estão em repouso em um referencial S. Emt= 0, o observador em S emite um pulso de luz que será recebido por um detector emx= 3 m.
Em Δt= 10 ns, a luz chega ao detector. O observador S mede um deslocamento Δx= 3 m, de modo que a velocidade da luz, no referencial S, é:
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
S
pictComparando referenciais inerciais
Agora, um referencial S’ se move com respeito ao referencial S com velocidade v = 0,2 m/ns.
Emt= 0, o observador no referencial S emite outro pulso de luz, que será detectado na mesma coordenada (do referencial S),x= 3 m.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
x
pict
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
v
x’
S
S
Dez nanossegundos depois...
1) S’ se move com respeito a S, com v = 0,2 m/ns.
Em Δt= 10 ns, a luz chega ao detector.Na relatividade Galileana, segundo o observador em S’, quanto a luz andou?
A) 3 m		B) 2 m 	C) 1 m		D) 0 m
Em S’:
S’ se move com respeito a S, com v = 0,2 m/ns.
Em Δt=10 ns, a luz chega ao detector. Na relatividade Galileana, (Δt=Δt’) o observador em S’ diria que a velocidade da luz é
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
v
Hmmm...
Dez nanossegundos depois...
pictpict
Hmmm...
Se tomarmos o postulado de Einstein como válido, então:
No referencial S
No referencial S’
Conclusão:Tendo aceito o postulado de constância da velocidade da luz (‘c’ é o mesmo em todos os referenciais inerciais) e encontramos que , é natural concluir que
.
O tempo em referenciais diferentes
Espelho
pictAlice
h
v
Alice mede um intervalo de tempo: Δt’ =2h/c
(Nada surpreendente...)
Espelho
v
v
Espelho
Espelho
v
pictBruno
O tempo em referenciais diferentes
pictBruno
h
v ·Δt/2
c ·Δt/2
O tempo em referenciais diferentes
pictBruno
h
Bruno mede o seguinte intervalo de tempo:
Mas Alice mediu
Δt’ = 2h/c!!
O tempo em referenciais diferentes
v ·Δt/2
c ·Δt/2
O tempo em referenciais diferentes
Alice mede:Δt’
Bruno mede:Δt =γΔt’,com
2) O fatorγpode ter que valores?
A)			B)			C)
									D) Alguma outra coisa…
Para Alice, o tempo passa mais lentamente.
(Alice está em movimento em relação a Bruno)
Δt =γΔt’ ≥Δt’
Dilatação temporal
Alice mede:Δt’
Bruno mede:Δt =γΔt’,com
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz:Δt
Tempo medido por Bruno entre dois pulsos de luz:Δt >Δt’
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz:Δt
Tempo medido por Alice entre dois pulsos de luz:Δt’
Noreferencialde Alice:instantesde temposãomedidospelo
mesmorelógio(relógionamesmaposiçãonoreferencialde Alice)
Noreferencialde Bruno:instantesde temposãomedidospor
relógiosdiferentes(relógiosemposiçõesdiferentesnoreferencial
deBruno)
Tempo próprio
Mesma localização espacial
…é o tempo conforme medido por um relógio em um referencial onde ele esteja em repouso.
Nenhum relógio se move com respeito a ele mesmo!
Qualquer observador se movendo com respeito a esse relógio dirá que ele funciona mais lentamente (ou seja, os intervalos de tempo, para este observador, serão maiores. Esta é a chamadadilatação temporal.
Matematicamente: 	Evento 1: (x1,y1,z1,t1)
			Evento 2: (x1,y1,z1,t2)
O tempo próprio é o menor intervalo de tempo medido entre dois eventos.
Tempo próprio
Tempo próprio: definição
Tempo próprio:O intervalo de tempo entre dois eventos medidos no referencial em que os dois eventos ocorrem na mesma coordenada espacial, isto é, um intervalo que pode ser medidocom um único relógio.
v
T:\Untitled.png
Δτ=Δt/γ,ondeΔté ointervalode tempo
medidoemalgumoutroreferencialinercial
O que vimos até agora
Asimultaneidadede dois eventos depende de qual referencial se está considerando. Para uma bombinha estourando no referencial de Alice:
Alice
Helper
Alice conclui que:
A luz atinge ambas as extremidades do vagão ao mesmo tempo.
v
R
F
…-3 -2 -1 0 1 2 3...
Bruno
Bruno conclui que:
A luz atinge a traseira do vagãoantes.
Dilatação temporal: Dois observadores, em movimento relativo ao outro, medem intervalos de tempo diferentes entre dois eventos.
h
pictBruno
v
Bruno mede:
Δt =γ(2h/c),
pictAlice
h
Alice mede:
Δt’=2h/c
Δt’ =Δτé otempo próprio
O que vimos até agora
O comprimento de um objeto
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
pict
Esta régua tem 3m de comprimento. Eu medi as posições das pontas,ao mesmo tempo, no meu referencial.
Neste caso, não importa muito se medi ao mesmo tempo ou não: no meu referencial, a régua está parada.
Este comprimento, medido no referencial em que a régua está em repouso, é o chamadocomprimento próprioda régua.
O comprimento próprio
Comprimento próprio:Comprimentoℓde um objeto, medido no referencial onde está em repouso.
... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
pict
R
x1
x2
y
x
A1
A2
v
L
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Espaçonave indo de um asteróide a outro
No referencial dos asteróides:
R'
x'
y'
L'
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Espaçonave indo de um asteróide a outro
No referencial da espaçonave:
A1
A2
-v
-v
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
No referencial dos asteróides:v=L/Δt
No referencial da espaçonave:v=L'/Δt'
Então:
Como a espaçonave verá o comprimentoL?
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
Mas, no referencialR',Δt'é um tempo próprio: Δt'= Δτ
Portanto:
Usando a definição de tempo próprio,Δτ =Δt/γ:
Comprimentos em referenciais em movimento relativo
L'é a distância entre os asteróides, medida pela espaçonave
3)L'é maior, menor, ou igual aL?
(A)L'>L
(B)L'<L
(C)L'=L
(D) Impossível afirmar
qualquer coisa sem números
Lé a distância entre os asteróides, medida por observadoresno referencial dos asteróides
A contração espacial
No referencialdos asteróides:L=ℓ(comprimento próprio)
ℓ =γL' > L'
Ocomprimentode umobjeto,emqualqueroutroreferencial,
serámenorque ocomprimentopróprio(ocomprimentodo
objetoemumreferencialemqueesteobjetoestejaemrepouso)
Contração espacial
Tempo (simultaneidade) ecomprimentodependemdoreferencial
Tempopróprio:Ointervalode tempo entredoiseventosmedidosno
referencialemqueosdoiseventosocorremnamesmacoordenadaespacial(podeser
medidocom umúnicorelógio).Emqualqueroutroreferencialointervalode tempo
seráMAIOR que o tempopróprio.
Comprimentopróprio:Comprimentoℓde umobjeto,medidonoreferencialondeoobjeto
estáemrepouso.Emqualqueroutroreferencialocomprimentomedidoserá
MENORque ocomprimentopróprio
	Sistema ->
	S
(Bruno/espaçonave)
	S’ (v c/rel a S)
(Alice/asteróide)
	Tempo
		
		
	Comprimento
		
		
Consequênciasdopostuladodaconstânciadavelocidadeda luz
E a adição de velocidades?
Espaço e tempo podem ser separados?
E a transformação de Galileu?
E a adição de velocidades?
Usando que:
Contração espacial
Dividindo por:
Obtemos:
Que resulta em:
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