Prova com Gab - Final

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
PROVA FINAL. SEGUNDO SEMESTRE DE 2011
19 de dezembro de 2011
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: Dado o campo vetorial ~F =
(
y + ex
2
, x + ln(1 + y2), sin(2z)− x
)
;
(a) Calcule seu rotacional e diga se ele e´ conservativo. (0.5 pt.)
(b) Encontre um vetor normal a` superf´ıcie, z = 2x y, isto e´: ~r(x, y) = (x, y, 2xy). (0.5 pt.)
(c) Calcule a a´rea de z = 2x y que esta´ dentro do cil´ındro x2 + y2 = 1. (1.0 pt.)
(d) Usando um teorema conhecido encontre o trabalho realizado pelo campo atrave´s da
curva dada pela intercepc¸a˜o das superf´ıcies: z = 2x y e x2 + y2 = 1. (1.5 pt.)
Em (c) e (d) use o resultado do quesito (b).
Resposta:
(a) Ele na˜o e´ conservativo, pois: ~∇× ~F = (Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py) = (0, 1, 0) 6= (0, 0, 0).
(b) ~rx × ~ry =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 0 2 y
0 1 2x
∣∣∣∣∣∣ = −2 y~i− 2x~j + ~k = (−2 y,−2x, 1).
(c)
∫∫
S
dS =
∫∫
x2+y2≤1
√
4y2 + 4x2 + 1 dx dy =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
√
4ρ2 + 1 ρ dρ dθ =
2π
12
(4ρ2 + 1)
3
2
∣∣∣∣∣
1
0
(d)
∮
C
~F · d~r =
∫∫
S
~∇× ~F · d~S =
∫∫
x2+y2≤1
(0, 1, 0) · (−2 y,−2x, 1)︸ ︷︷ ︸
−2x
dx dy
∮
C
~F ·d~r = −2
∫ 1
−1
∫ √1−y2
−
√
1−y2
x dx dy = 0 ou
∮
C
~F ·d~r = −2
∫ 2pi
0
∫ 1
0
ρ2 cos(θ) dρ dθ = 0.
2a Questa˜o: Sejam dadas a superf´ıcie parabo´lica z = x2 + y2 e o plano z = 1, tal que x2 + y2 ≤ 1, i.e.
Sparb =
{
(x, y, z) ∈ R3; x = x, y = y, z = x2 + y2},
Splan =
{
(x, y, z) ∈ R3; x = x, y = y, z = 1}, sempre que: x2 + y2 ≤ 1.
Use o teorema de Gauss para calcular o fluxo do vetor ~F = (y z2, x z2, 2) atrave´s da
superf´ıcie Sparb. Observar que S = Sparb + Splan e´ uma superf´ıcie fechada. (2,5pt.)
Resposta: Satisfeitas as condic¸o˜es do teorema da divergeˆncia temos
∫∫∫
Ω
~∇ · ~F dV =
∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
Sparb
~F · d~S +
∫∫
Splan
~F · d~S
Ja´ que: ~∇ · ~F = Px + Qy + Rz = 0 + 0 + 0 = 0, temos que
∫∫∫
Ω
~∇ · ~F dV = 0 e
∫∫
Sparb
~F · d~S = −
∫∫
Splan
~F · d~S = −
∫∫
x2+y2≤1
(y z2, x z2, 2) · (0, 0, 1)︸ ︷︷ ︸
2
dx dy = π.
3a Questa˜o: Diga se as se´ries convergem ou na˜o, especifique o tipo de convergencia. (2,0 pt.)
(a)
∞∑
n=1
n32 e−n/2, (b)
∞∑
n=3
(−1)n√
n− 1 .
Resposta:
(a) lim
n→∞
n
√
|n32 e−n/2| = lim
n→∞
( n
√
n )32√
e
=
1√
e
< 1, Logo pelo teste da raiz a se´rie converge.
(b) Temos uma se´ria alternada convergente, pois
se bn =
1√
n− 1 , limn→∞
1√
n− 1 = 0 e
1√
n + 1− 1 <
1√
n− 1
A se´rie de seus modulos
∞∑
n=3
1√
n− 1 ∼
∞∑
n=3
1√
n
e´ divergente. Logo a se´rie
∞∑
n=3
(−1)n√
n− 1
e´ condicionalmente convergente.
4a Questa˜o: A func¸a˜o erro de Gauss, Efr(x) =
2√
π
∫ x
0
e−t
2
dt, foi criada devido a que a integral na˜o
pode ser expressa por meio de combinac¸o˜es algebra´ıcas das func¸o˜es elementares.
- Encontre uma expansa˜o de Taylor da func¸a˜o Efr(x) ao redor do ponto x0 = 0, indicando
o intervalo de convergeˆncia. (2,0 pt.)
Dica: Encontre a se´rie de Taylor da func¸a˜o ex e use ela para encontrar o da func¸a˜o e−t
2
.
Encontrada a se´rie para a func¸a˜o ex =
∞∑
n=0
xn
n!
, temos que: e−t
2
=
∞∑
n=0
(−t2)n
n!
. De aqui
Efr(x) =
2√
π
∫ x
0
∞∑
n=0
(−1)nt2n
n!
dt =
2√
π
∞∑
n=0
(−1)n
n!
∫ x
0
t2n dt =
2√
π
∞∑
n=0
(−1)n
n! (2n + 1)
x2n+1.
A se´rie obtida converge para todo valor de x ∈ R pois, pelo teste da raza˜o
lim
n→∞
|(−1)n+1|
(n + 1)! (2n + 3)
|x2n+3|
|(−1)n|
n! (2n + 1)
|x2n+1|
= lim
n→∞
n! (2n + 1) |x|2
(n + 1)! (2n + 3)
= lim
n→∞
(2n + 1) |x|2
(n + 1) (2n + 3)
= 0 < 1.
BOA PROVA!!!